Koja je srednja linija trapeza? Svojstva trapeza

U rješavanju planimetrijskih zadataka, osim stranica i uglova figure, često aktivno učestvuju i druge veličine - medijane, visine, dijagonale, simetrale i druge. To uključuje srednju liniju.
Ako je originalni poligon trapez, koja je njegova srednja linija? Ovaj segment je dio prave linije koja siječe stranice figure u sredini i nalazi se paralelno s druge dvije strane - bazama.

Kako pronaći srednju liniju trapeza kroz liniju sredine i baze

Ako su poznate vrijednosti gornje i donje baze, tada će izraz pomoći da se izračuna nepoznato:

a, b – osnove, l – srednja linija.

Kako pronaći srednju liniju trapeza kroz područje

Ako izvorni podaci sadrže površinu figure, tada pomoću ove vrijednosti možete izračunati i dužinu linije u sredini trapeza. Koristimo formulu S = (a+b)/2*h,
S – površina,
h – visina,
a, b – baze.
Ali, pošto je l = (a+b)/2, onda je S = l*h, što znači l=S/h.

Kako pronaći srednju liniju trapeza kroz bazu i njegove uglove

S obzirom na dužinu veće osnove figure, njenu visinu, kao i poznate stepene mjere uglova na njoj, izraz za pronalaženje linije sredine trapeza imat će sljedeći oblik:

l=a – h*(ctgα+ctgβ)/2, dok
l je tražena vrijednost,
a – veća baza,
α, β su uglovi kod njega,
h – visina figure.

Ako je poznata vrijednost manje baze (s obzirom na iste druge podatke), sljedeća relacija će pomoći da se pronađe srednja linija:

l=b+h*(ctgα+ctgβ)/2,

l je tražena vrijednost,
b – manja baza,
α, β su uglovi kod njega,
h – visina figure.

Pronađite srednju liniju trapeza koristeći visinu, dijagonale i uglove

Razmotrimo situaciju u kojoj uvjeti problema uključuju vrijednosti dijagonala figure, uglove koje formiraju kada se međusobno sijeku, kao i visinu. Možete izračunati središnju liniju koristeći sljedeće izraze:

l=(d1*d2)/2h*sinγ ili l=(d1*d2)/2h*sinφ,

l – srednja linija,
d1, d2 – dijagonale,
φ, γ – uglovi između njih,
h – visina figure.

Kako pronaći srednju liniju trapeza za jednakokračnu figuru

Ako je osnovna figura jednakokraki trapez, gornje formule će imati sljedeći oblik.

• Ako su prisutne vrijednosti baza trapeza, neće biti promjena u izrazu.

l = (a+b)/2, a, b – osnove, l – srednja linija.

• Ako su visina, baza i uglovi uz nju poznati, tada:

l=a-h*ctgα,
l=b+h*ctgα,

l – srednja linija,
a, b – baze (b< a),
α su uglovi na njemu,
h – visina figure.

• Ako su poznate bočna strana trapeza i jedna od baza, onda se željena vrijednost može odrediti pozivanjem na izraz:

l=a-√(c*c-h*h),
l=b+√(c*c-h*h),
l – srednja linija,
a, b – baze (b< a),
h – visina figure.

• S poznatim vrijednostima visine, dijagonala (i one su jednake jedna drugoj) i uglova nastalih kao rezultat njihovog presjeka, srednja linija se može naći na sljedeći način:

l=(d*d)/2h*sinγ ili l=(d*d)/2h*sinφ,

l – srednja linija,
d – dijagonale,
φ, γ – uglovi između njih,
h – visina figure.

• Poznate su površina i visina figure, tada:

l=S/h,
S – površina,
h – visina.

• Ako je visina okomice nepoznata, može se odrediti pomoću definicije trigonometrijske funkcije.

h=c*sinα, dakle
l=S/c*sinα,
l – srednja linija,
S – površina,
c – strana,
α je ugao u osnovi.

Srednja linija trapeza, a posebno njegova svojstva, vrlo se često koriste u geometriji za rješavanje problema i dokazivanje određenih teorema.

je četverougao sa samo 2 stranice paralelne jedna s drugom. Paralelne stranice se nazivaju baze (na slici 1 - AD I B.C.), druga dva su bočna (na slici AB I CD).

Srednja linija trapeza je segment koji povezuje sredine njegovih stranica (na slici 1 - KL).

Svojstva srednje linije trapeza

Dokaz teoreme srednje linije trapeza

Dokazati da je srednja linija trapeza jednaka polovini zbira njegovih osnova i paralelna je sa ovim osnovama.

Dat je trapez A B C D sa srednjom linijom KL. Da bi se dokazala svojstva koja se razmatraju, potrebno je povući pravu liniju kroz tačke B I L. Na slici 2 ovo je prava linija BQ. I također nastaviti osnivanje AD do raskrsnice sa linijom BQ.

Razmotrite rezultirajuće trouglove L.B.C. I LQD:

1. Po definiciji srednje linije KL dot L je sredina segmenta CD. Iz toga slijedi da su segmenti C.L. I LD su jednaki.
2. ∠BLC = ∠QLD, pošto su ovi uglovi vertikalni.
3. ∠BCL = ∠LDQ, jer ovi uglovi leže poprečno na paralelnim linijama AD I B.C. i secant CD.

Iz ove 3 jednakosti slijedi da su prethodno razmatrani trouglovi L.B.C. I LQD jednak na 1 strani i dva susedna ugla (vidi sliku 3). dakle, ∠LBC = ∠ LQD, BC=DQ i najvažnija stvar - BL=LQ => KL, što je srednja linija trapeza A B C D, je također srednja linija trougla ABQ. Prema svojstvu srednje linije trougla ABQ dobijamo.

Koncept srednje linije trapeza

Prvo, prisjetimo se kakva se figura zove trapez.

Definicija 1

Trapez je četverougao kod kojeg su dvije stranice paralelne, a druge dvije nisu paralelne.

U ovom slučaju, paralelne stranice nazivaju se osnove trapeza, a neparalelne stranice nazivaju se bočne strane trapeza.

Definicija 2

Srednja linija trapeza je segment koji povezuje sredine bočnih strana trapeza.

Teorema srednje linije trapeza

Sada uvodimo teoremu o srednjoj liniji trapeza i dokazujemo je vektorskom metodom.

Teorema 1

Srednja linija trapeza je paralelna sa bazama i jednaka je njihovom poluzbiru.

Dokaz.

Neka nam je dat trapez $ABCD$ sa bazama $AD\ i\ BC$. I neka je $MN$ srednja linija ovog trapeza (slika 1).

Slika 1. Srednja linija trapeza

Dokažimo da je $MN||AD\ i\ MN=\frac(AD+BC)(2)$.

Razmotrimo vektor $\overrightarrow(MN)$. Zatim koristimo pravilo poligona za dodavanje vektora. S jedne strane, to shvatamo

Na drugoj strani

Dodajmo zadnje dvije jednakosti i dobijemo

Pošto su $M$ i $N$ sredine bočnih strana trapeza, imaćemo

Dobijamo:

Dakle

Iz iste jednakosti (pošto su $\overrightarrow(BC)$ i $\overrightarrow(AD)$ kosmjerne i, prema tome, kolinearne) dobijamo da je $MN||AD$.

Teorema je dokazana.

Primjeri zadataka o konceptu srednje linije trapeza

Primjer 1

Bočne strane trapeza su $15\ cm$ i $17\ cm$ respektivno. Opseg trapeza je $52\cm$. Pronađite dužinu srednje linije trapeza.

Rješenje.

Označimo srednju liniju trapeza sa $n$.

Zbir strana je jednak

Prema tome, pošto je obim $52\ cm$, zbir baza je jednak

Dakle, prema teoremi 1, dobijamo

odgovor:$10\cm$.

Primjer 2

Krajevi prečnika kružnice su udaljeni $9$ cm i $5$ cm od njegove tangente.

Rješenje.

Neka nam je data kružnica sa centrom u tački $O$ i prečnikom $AB$. Nacrtajmo tangentu $l$ i konstruirajmo udaljenosti $AD=9\ cm$ i $BC=5\ cm$. Nacrtajmo poluprečnik $OH$ (slika 2).

Slika 2.

Pošto su $AD$ i $BC$ udaljenosti do tangente, onda je $AD\bot l$ i $BC\bot l$ i pošto je $OH$ poluprečnik, onda je $OH\bot l$, dakle, $OH |\left|AD\right||BC$. Iz svega ovoga dobijamo da je $ABCD$ trapez, a $OH$ njegova srednja linija. Prema teoremi 1, dobijamo

Trapez je poseban slučaj četverougla kod kojeg je jedan par stranica paralelan. Izraz "trapez" dolazi od grčke riječi τράπεζα, što znači "sto", "sto". U ovom članku ćemo pogledati vrste trapeza i njegova svojstva. Osim toga, shvatit ćemo kako izračunati pojedinačne elemente ovoga Na primjer, dijagonalu jednakokračnog trapeza, središnju liniju, površinu itd. Materijal je predstavljen u stilu elementarne popularne geometrije, tj. u lako dostupnom obliku .

Opće informacije

Prvo, hajde da shvatimo šta je četvorougao. Ova figura je poseban slučaj poligona koji sadrži četiri strane i četiri vrha. Dva vrha četverougla koji nisu susjedni nazivaju se suprotnim. Isto se može reći i za dvije nesusjedne strane. Glavne vrste četverokuta su paralelogram, pravougaonik, romb, kvadrat, trapez i deltoid.

Pa da se vratimo na trapeze. Kao što smo već rekli, ova brojka ima dvije paralelne strane. Zovu se baze. Druge dvije (neparalelne) su bočne strane. U materijalima za ispite i razne testove često se mogu naći problemi vezani za trapeze, za čije rješavanje često od studenta zahtijevaju znanje koje nije predviđeno programom. Školski predmet geometrije upoznaje učenike sa svojstvima uglova i dijagonala, kao i središnje linije jednakokračnog trapeza. Ali, pored ovoga, pomenuta geometrijska figura ima i druge karakteristike. Ali o njima malo kasnije...

Vrste trapeza

Postoji mnogo vrsta ove figure. Međutim, najčešće je uobičajeno uzeti u obzir dva od njih - jednakokračne i pravokutne.

1. Pravougaoni trapez je figura kod koje je jedna od stranica okomita na osnovice. Njena dva ugla su uvek jednaka devedeset stepeni.

2. Jednakokraki trapez je geometrijska figura čije su stranice jednake jedna drugoj. To znači da su uglovi na bazama također jednaki u parovima.

Glavni principi metodologije za proučavanje svojstava trapeza

Glavni princip uključuje korištenje tzv. pristupa zadataka. U stvari, nema potrebe uvoditi nova svojstva ove figure u teorijski kurs geometrije. Mogu se otkriti i formulisati u procesu rješavanja različitih problema (najbolje sistemskih). Istovremeno, veoma je važno da nastavnik zna koje zadatke treba zadati učenicima u jednom ili drugom trenutku tokom obrazovnog procesa. Štaviše, svako svojstvo trapeza može se predstaviti kao ključni zadatak u sistemu zadataka.

Drugi princip je takozvana spiralna organizacija proučavanja "izvanrednih" svojstava trapeza. To podrazumijeva povratak u procesu učenja na pojedinačne karakteristike date geometrijske figure. Ovo olakšava učenicima da ih pamte. Na primjer, svojstvo četiri boda. To se može dokazati kako proučavanjem sličnosti tako i naknadnom upotrebom vektora. A ekvivalentnost trokuta koji su susjedni bočnim stranicama figure može se dokazati primjenom ne samo osobina trokuta jednakih visina povučenih na stranice koje leže na istoj pravoj liniji, već i korištenjem formule S = 1/2( ab*sinα). Osim toga, možete raditi na upisanom trapezu ili pravokutnom trokutu na upisanom trapezu itd.

Upotreba „vannastavnih“ karakteristika geometrijske figure u sadržaju školskog predmeta je tehnologija zasnovana na zadacima za njihovo podučavanje. Konstantno pozivanje na svojstva koja se proučavaju dok prolazite kroz druge teme omogućava studentima da steknu dublje znanje o trapezu i osigurava uspješnost rješavanja zadatih problema. Dakle, počnimo proučavati ovu divnu figuru.

Elementi i svojstva jednakokrakog trapeza

Kao što smo već primijetili, ova geometrijska figura ima jednake strane. Poznat je i kao ispravan trapez. Zašto je tako izvanredan i zašto je dobio takvo ime? Posebnost ove figure je da nisu samo stranice i uglovi u bazama jednaki, već i dijagonale. Osim toga, zbir uglova jednakokračnog trapeza je 360 ​​stepeni. Ali to nije sve! Od svih poznatih trapeza, samo jedan jednakokraki se može opisati kao kružnica. To je zbog činjenice da je zbir suprotnih uglova ove figure jednak 180 stepeni, a samo pod tim uslovom može se opisati krug oko četvorougla. Sljedeće svojstvo geometrijske figure koja se razmatra je da će udaljenost od vrha baze do projekcije suprotnog vrha na pravu liniju koja sadrži ovu osnovu biti jednaka srednjoj liniji.

Sada ćemo shvatiti kako pronaći uglove jednakokračnog trapeza. Razmotrimo rješenje ovog problema, pod uvjetom da su poznate dimenzije stranica figure.

Rješenje

Obično se četverougao obično označava slovima A, B, C, D, gdje su BS i AD baze. U jednakokrakom trapezu, stranice su jednake. Pretpostavit ćemo da je njihova veličina jednaka X, a veličine baza jednake Y i Z (manje, odnosno veće). Da bismo izvršili proračun, potrebno je povući visinu H iz ugla B. Rezultat je pravougli trokut ABN, gdje je AB hipotenuza, a BN i AN katete. Izračunavamo veličinu kraka AN: od veće baze oduzimamo manji, a rezultat dijelimo sa 2. Zapisujemo ga u obliku formule: (Z-Y)/2 = F. Sada, da izračunamo akutnu ugao trokuta, koristimo funkciju cos. Dobijamo sljedeći unos: cos(β) = X/F. Sada izračunavamo ugao: β=arcos (X/F). Nadalje, znajući jedan ugao, možemo odrediti drugi, za to izvodimo elementarnu aritmetičku operaciju: 180 - β. Svi uglovi su definisani.

Postoji drugo rješenje za ovaj problem. Prvo ga spuštamo od ugla do visine H. Izračunavamo vrijednost noge BN. Znamo da je kvadrat hipotenuze pravokutnog trokuta jednak zbiru kvadrata kateta. Dobijamo: BN = √(X2-F2). Zatim koristimo trigonometrijsku funkciju tg. Kao rezultat, imamo: β = arktan (BN/F). Pronađen je oštar ugao. Zatim ga definiramo slično kao i prvi metod.

Svojstvo dijagonala jednakokračnog trapeza

Prvo, zapišimo četiri pravila. Ako su dijagonale jednakokračnog trapeza okomite, tada:

Visina figure bit će jednaka zbroju baza podijeljenih sa dva;

Njegova visina i srednja linija su jednake;

Središte kružnice je točka u kojoj ;

Ako je bočna strana podijeljena tačkom dodira na segmente H i M, onda je jednaka kvadratnom korijenu proizvoda ovih segmenata;

Četvorougao koji čine tačke tangente, vrh trapeza i centar upisane kružnice je kvadrat čija je stranica jednaka poluprečniku;

Površina figure jednaka je umnošku osnova i umnošku polovine zbira osnovica i njegove visine.

Slični trapezi

Ova tema je vrlo zgodna za proučavanje svojstava ovoga Na primjer, dijagonale dijele trapez na četiri trokuta, a oni koji su susjedni bazama su slični, a oni susjedni stranicama jednake su veličine. Ova tvrdnja se može nazvati svojstvom trouglova na koje je trapez podijeljen svojim dijagonalama. Prvi dio ove tvrdnje dokazuje se znakom sličnosti pod dva ugla. Da biste dokazali drugi dio, bolje je koristiti metodu datu u nastavku.

Dokaz teoreme

Prihvatamo da je lik ABSD (AD i BS osnove trapeza) podijeljen dijagonalama VD i AC. Tačka njihovog preseka je O. Dobijamo četiri trougla: AOS - na donjoj osnovi, BOS - na gornjoj osnovi, ABO i SOD na stranicama. Trokuti SOD i BOS imaju zajedničku visinu ako su im segmenti BO i OD osnovice. Nalazimo da je razlika između njihovih površina (P) jednaka razlici između ovih segmenata: PBOS/PSOD = BO/OD = K. Dakle, PSOD = PBOS/K. Slično, trouglovi BOS i AOB imaju zajedničku visinu. Za bazu uzimamo segmente CO i OA. Dobijamo PBOS/PAOB = CO/OA = K i PAOB = PBOS/K. Iz ovoga slijedi da je PSOD = PAOB.

Za konsolidaciju gradiva učenicima se preporučuje da pronađu vezu između površina dobijenih trouglova na koje je dijagonala podijeljen trapez rješavanjem sljedećeg zadatka. Poznato je da trokuti BOS i AOD imaju jednake površine, potrebno je pronaći površinu trapeza. Pošto PSOD = PAOB, to znači PABSD = PBOS+PAOD+2*PSOD. Iz sličnosti trouglova BOS i AOD slijedi da je BO/OD = √(PBOS/PAOD). Dakle, PBOS/PSOD = BO/OD = √(PBOS/PAOD). Dobijamo PSOD = √(PBOS*PAOD). Tada je PABSD = PBOS+PAOD+2*√(PBOS*PAOD) = (√PBOS+√PAOD)2.

Svojstva sličnosti

Nastavljajući da razvijamo ovu temu, možemo dokazati i druge zanimljive karakteristike trapeza. Dakle, koristeći sličnost, može se dokazati svojstvo segmenta koji prolazi kroz tačku formiranu presjekom dijagonala ove geometrijske figure, paralelno sa bazama. Da bismo to uradili, riješimo sljedeći problem: trebamo pronaći dužinu segmenta RK koji prolazi kroz tačku O. Iz sličnosti trouglova AOD i BOS slijedi da je AO/OS = AD/BS. Iz sličnosti trouglova AOP i ASB slijedi da je AO/AC=RO/BS=AD/(BS+AD). Odavde dobijamo da je RO=BS*BP/(BS+BP). Slično, iz sličnosti trouglova DOC i DBS, slijedi da je OK = BS*AD/(BS+AD). Odavde dobijamo da je RO=OK i RK=2*BS*AD/(BS+AD). Segment koji prolazi kroz tačku preseka dijagonala, paralelan sa bazama i povezuje dve bočne strane, podeljen je na pola tačkom preseka. Njegova dužina je harmonijska sredina osnova figure.

Razmotrimo sljedeće svojstvo trapeza, koje se naziva svojstvom četiri tačke. Točke sjecišta dijagonala (O), sjecišta nastavka stranica (E), kao i sredine osnova (T i F) uvijek leže na istoj pravoj. Ovo se lako može dokazati metodom sličnosti. Dobijeni trouglovi BES i AED su slični, au svakom od njih medijane ET i EJ dijele ugao vrha E na jednake dijelove. Dakle, tačke E, T i F leže na istoj pravoj liniji. Na isti način, tačke T, O i Zh nalaze se na istoj pravoj liniji. Sve ovo proizilazi iz sličnosti trouglova BOS i AOD. Odavde zaključujemo da će sve četiri tačke - E, T, O i F - ležati na istoj pravoj liniji.

Koristeći slične trapeze, možete zamoliti učenike da pronađu dužinu segmenta (LS) koji dijeli figuru na dva slična. Ovaj segment mora biti paralelan sa bazama. Pošto su rezultirajući trapezi ALFD i LBSF slični, onda je BS/LF = LF/AD. Iz toga slijedi da je LF=√(BS*AD). Nalazimo da segment koji dijeli trapez na dva slična ima dužinu jednaku geometrijskoj sredini dužina osnova figure.

Razmotrite sljedeće svojstvo sličnosti. Zasnovan je na segmentu koji dijeli trapez na dvije jednake figure. Pretpostavljamo da je trapez ABSD segmentom EH podijeljen na dva slična. Iz temena B je izostavljena visina, koja je segmentom EN podijeljena na dva dijela - B1 i B2. Dobijamo: PABSD/2 = (BS+EN)*B1/2 = (AD+EN)*B2/2 i PABSD = (BS+AD)*(B1+B2)/2. Zatim sastavljamo sistem čija je prva jednačina (BS+EN)*B1 = (AD+EN)*B2, a druga (BS+EN)*B1 = (BS+AD)*(B1+B2)/2. Iz toga slijedi da je B2/B1 = (BS+EN)/(AD+EN) i BS+EN = ((BS+AD)/2)*(1+B2/B1). Nalazimo da je dužina segmenta koji dijeli trapez na dva jednaka jednaka srednjem kvadratu dužina baza: √((BS2+AD2)/2).

Nalazi sličnosti

Tako smo dokazali da:

1. Segment koji povezuje sredine bočnih stranica trapeza paralelan je sa AD i BS i jednak je aritmetičkoj sredini BS i AD (dužina osnove trapeza).

2. Prava koja prolazi kroz tačku O preseka dijagonala paralelnih sa AD i BS biće jednaka harmonijskoj sredini brojeva AD i BS (2*BS*AD/(BS+AD)).

3. Odsječak koji dijeli trapez na slične ima dužinu geometrijske sredine baza BS i AD.

4. Element koji dijeli figuru na dva jednaka ima dužinu srednjeg kvadrata brojeva AD i BS.

Da bi konsolidirao gradivo i razumio vezu između razmatranih segmenata, učenik ih treba konstruirati za određeni trapez. On može lako prikazati srednju liniju i segment koji prolazi kroz tačku O - presek dijagonala figure - paralelno sa bazama. Ali gdje će se nalaziti treći i četvrti? Ovaj odgovor će učenika dovesti do otkrića željene veze između prosječnih vrijednosti.

Segment koji povezuje sredine dijagonala trapeza

Razmotrite sljedeću osobinu ove slike. Pretpostavljamo da je segment MH paralelan bazama i da polovi dijagonale. Nazovimo tačke preseka Š i Š. Ovaj segment će biti jednak polovini razlike baza. Pogledajmo ovo detaljnije. MS je srednja linija ABS trougla, jednaka je BS/2. MSH je srednja linija trougla ABD, jednaka je AD/2. Tada dobijamo da je ShShch = MSh-MSh, dakle, ShShch = AD/2-BS/2 = (AD+VS)/2.

Centar gravitacije

Pogledajmo kako se ovaj element određuje za datu geometrijsku figuru. Da biste to učinili, potrebno je proširiti baze u suprotnim smjerovima. Šta to znači? Morate dodati donju bazu na gornju bazu - u bilo kojem smjeru, na primjer, udesno. I produžimo donji za dužinu gornjeg ulijevo. Zatim ih povezujemo dijagonalno. Tačka presjeka ovog segmenta sa srednjom linijom figure je težište trapeza.

Upisani i opisani trapezi

Navedimo karakteristike takvih figura:

1. Trapez se može upisati u krug samo ako je jednakokraki.

2. Trapez se može opisati oko kruga, pod uslovom da je zbir dužina njihovih osnova jednak zbiru dužina stranica.

Posljedice upisanog kruga:

1. Visina opisanog trapeza uvijek je jednaka dva radijusa.

2. Strana opisanog trapeza posmatra se iz središta kruga pod pravim uglom.

Prvi zaključak je očigledan, ali za dokazivanje drugog potrebno je utvrditi da je ugao SOD pravi, što, zapravo, takođe nije teško. Ali poznavanje ovog svojstva omogućit će vam korištenje pravokutnog trokuta prilikom rješavanja problema.

Sada ćemo specificirati ove posljedice za jednakokraki trapez upisan u krug. Nalazimo da je visina geometrijska sredina osnova figure: H=2R=√(BS*AD). Uvježbavajući osnovnu tehniku ​​rješavanja zadataka za trapeze (princip crtanja dvije visine), učenik mora riješiti sljedeći zadatak. Pretpostavljamo da je BT visina jednakokračne figure ABSD. Potrebno je pronaći segmente AT i TD. Koristeći gore opisanu formulu, to neće biti teško učiniti.

Sada ćemo shvatiti kako odrediti polumjer kružnice koristeći površinu opisanog trapeza. Spuštamo visinu od temena B do baze AD. Pošto je kružnica upisana u trapez, onda je BS+AD = 2AB ili AB = (BS+AD)/2. Iz trougla ABN nalazimo sinα = BN/AB = 2*BN/(BS+AD). PABSD = (BS+BP)*BN/2, BN=2R. Dobijamo PABSD = (BS+BP)*R, iz toga slijedi da je R = PABSD/(BS+BP).

Sve formule za srednju liniju trapeza

Sada je vrijeme da prijeđemo na posljednji element ove geometrijske figure. Hajde da shvatimo koliko je jednaka srednja linija trapeza (M):

1. Kroz baze: M = (A+B)/2.

2. Po visini, osnovi i uglovima:

M = A-H*(ctgα+ctgβ)/2;

M = B+N*(ctgα+ctgβ)/2.

3. Kroz visinu, dijagonale i ugao između njih. Na primjer, D1 i D2 su dijagonale trapeza; α, β - uglovi između njih:

M = D1*D2*sinα/2N = D1*D2*sinβ/2N.

4. Područje i visina: M = P/N.

U ovom članku pokušat ćemo što potpunije prikazati svojstva trapeza. Posebno ćemo govoriti o općim karakteristikama i svojstvima trapeza, kao i osobinama upisanog trapeza i kruga upisanog u trapez. Dotaknut ćemo se i osobina jednakokračnog i pravokutnog trapeza.

Primjer rješavanja problema pomoću opisanih svojstava pomoći će vam da ga sortirate na mjesta u glavi i bolje zapamtite gradivo.

Trapez i sve-sve-sve

Za početak, prisjetimo se ukratko što je trapez i koji su drugi koncepti povezani s njim.

Dakle, trapez je četverokutna figura, čije su dvije strane paralelne jedna s drugom (ovo su baze). I to dvoje nije paralelno - ovo su strane.

U trapezu se visina može spustiti - okomito na baze. Središnja linija i dijagonale su nacrtane. Također je moguće nacrtati simetralu iz bilo kojeg ugla trapeza.

Sada ćemo govoriti o različitim svojstvima povezanim sa svim ovim elementima i njihovim kombinacijama.

Svojstva dijagonala trapeza

Da vam bude jasnije, dok čitate, skicirajte trapez ACME na komad papira i nacrtajte dijagonale u njemu.

1. Ako pronađete sredine svake od dijagonala (nazovimo ove tačke X i T) i povežete ih, dobićete segment. Jedno od svojstava dijagonala trapeza je da segment HT leži na srednjoj liniji. A njegova dužina se može dobiti dijeljenjem razlike baza sa dva: HT = (a – b)/2.
2. Pred nama je isti trapez ACME. Dijagonale se seku u tački O. Pogledajmo trouglove AOE i MOK, formirane segmentima dijagonala zajedno sa osnovama trapeza. Ovi trokuti su slični. Koeficijent sličnosti k trokuta izražava se omjerom osnova trapeza: k = AE/KM.
   Odnos površina trouglova AOE i MOK opisuje se koeficijentom k 2 .
3. Isti trapez, iste dijagonale koje se sijeku u tački O. Samo ovaj put ćemo razmatrati trouglove koje su segmenti dijagonala formirali zajedno sa stranicama trapeza. Površine trouglova AKO i EMO su jednake po veličini - njihove su površine iste.
4. Još jedno svojstvo trapeza uključuje konstrukciju dijagonala. Dakle, ako nastavite stranice AK i ME u smjeru manje baze, tada će se prije ili kasnije ukrstiti u određenoj tački. Zatim povucite ravnu liniju kroz sredinu osnova trapeza. Seče baze u tačkama X i T.
   Ako sada produžimo pravu XT, ona će spojiti točku presjeka dijagonala trapeza O, tačku u kojoj se sijeku produžeci stranica i sredine baza X i T.
5. Kroz tačku presjeka dijagonala nacrtaćemo segment koji će spojiti osnove trapeza (T leži na manjoj osnovici KM, X na većoj AE). Točka presjeka dijagonala dijeli ovaj segment u sljedećem omjeru: TO/OX = KM/AE.
6. Sada ćemo kroz tačku presjeka dijagonala povući segment paralelan s osnovama trapeza (a i b). Tačka presjeka će ga podijeliti na dva jednaka dijela. Pomoću formule možete pronaći dužinu segmenta 2ab/(a + b).

Svojstva srednje linije trapeza

Nacrtajte srednju liniju u trapezu paralelno sa njegovim osnovama.

1. Dužina srednje linije trapeza može se izračunati dodavanjem dužina baza i podjelom na pola: m = (a + b)/2.
2. Ako povučete bilo koji segment (visinu, na primjer) kroz obje baze trapeza, srednja linija će ga podijeliti na dva jednaka dijela.

Svojstvo simetrale trapeza

Odaberite bilo koji ugao trapeza i nacrtajte simetralu. Uzmimo, na primjer, ugao KAE našeg trapeza ACME. Nakon što ste sami dovršili konstrukciju, lako možete provjeriti da li simetrala odsijeca od baze (ili njenog nastavka na pravoj liniji izvan same figure) segment iste dužine kao i stranica.

Svojstva trapeznih uglova

1. Koji god od dva para uglova uz stranu da odaberete, zbir uglova u paru je uvijek 180 0: α + β = 180 0 i γ + δ = 180 0.
2. Spojimo sredine baza trapeza sa segmentom TX. Pogledajmo sada uglove u osnovima trapeza. Ako je zbir uglova za bilo koji od njih 90 0, dužina segmenta TX može se lako izračunati na osnovu razlike u dužinama baza, podijeljenih na pola: TX = (AE – KM)/2.
3. Ako se kroz stranice ugla trapeza povuku paralelne linije, one će podijeliti stranice ugla na proporcionalne segmente.

Svojstva jednakokračnog (jednakostranog) trapeza

1. U jednakokračnom trapezu, uglovi na bilo kojoj osnovi su jednaki.
2. Sada ponovo napravite trapez da biste lakše zamislili o čemu govorimo. Pažljivo pogledajte bazu AE - vrh suprotne baze M je projektovan na određenu tačku na liniji koja sadrži AE. Udaljenost od temena A do tačke projekcije temena M i srednja linija jednakokrakog trapeza su jednake.
3. Nekoliko riječi o svojstvu dijagonala jednakokračnog trapeza - njihove su dužine jednake. I uglovi nagiba ovih dijagonala prema bazi trapeza su isti.
4. Krug se može opisati samo oko jednakokračnog trapeza, jer je zbir suprotnih uglova četvorougla 180 0 - preduslov za to.
5. Svojstvo jednakokrakog trapeza slijedi iz prethodnog stava - ako se krug može opisati u blizini trapeza, to je jednakokraki.
6. Iz karakteristika jednakokračnog trapeza slijedi svojstvo visine trapeza: ako se njegove dijagonale sijeku pod pravim uglom, tada je dužina visine jednaka polovini zbira osnovica: h = (a + b)/2.
7. Ponovo povucite segment TX kroz sredine osnova trapeza - u jednakokračnom trapezu on je okomit na osnovice. A u isto vrijeme TX je osa simetrije jednakokračnog trapeza.
8. Ovaj put spustite visinu iz suprotnog vrha trapeza na veću osnovu (nazovimo je a). Dobićete dva segmenta. Dužina jednog se može naći ako se dužine baza zbroje i podijele na pola: (a + b)/2. Drugi dobijemo kada od veće baze oduzmemo manju i rezultujuću razliku podijelimo sa dva: (a – b)/2.

Svojstva trapeza upisanog u krug

Budući da već govorimo o trapezu upisanom u krug, zadržimo se na ovom pitanju detaljnije. Konkretno, gdje je centar kruga u odnosu na trapez. I ovdje se preporučuje da odvojite vrijeme da uzmete olovku i nacrtate ono o čemu će biti riječi u nastavku. Na taj način ćete brže razumjeti i bolje zapamtiti.

1. Položaj središta kruga određen je kutom nagiba dijagonale trapeza na njegovu stranu. Na primjer, dijagonala se može pružati od vrha trapeza pod pravim uglom u stranu. U ovom slučaju, veća baza siječe centar opisane kružnice tačno u sredini (R = ½AE).
2. Dijagonala i strana se također mogu sastati pod oštrim uglom - tada je središte kruga unutar trapeza.
3. Središte opisane kružnice može biti izvan trapeza, izvan njegove veće osnove, ako između dijagonale trapeza i stranice postoji tup ugao.
4. Ugao koji formiraju dijagonala i velika baza trapeza ACME (upisani ugao) je polovina središnjeg ugla koji mu odgovara: MAE = ½MOE.
5. Ukratko o dva načina za pronalaženje polumjera opisane kružnice. Prvi metod: pažljivo pogledajte svoj crtež - šta vidite? Lako možete primijetiti da dijagonala dijeli trapez na dva trokuta. Radijus se može naći omjerom stranice trokuta i sinusom suprotnog ugla, pomnoženim sa dva. Na primjer, R = AE/2*sinAME. Formula se može napisati na sličan način za bilo koju stranu oba trokuta.
6. Drugi metod: pronađite polumjer opisane kružnice kroz površinu trokuta formiranog od dijagonale, stranice i baze trapeza: R = AM*ME*AE/4*S AME.

Svojstva trapeza opisanog oko kružnice

Možete uklopiti krug u trapez ako je ispunjen jedan uslov. Više o tome pročitajte u nastavku. A zajedno ova kombinacija figura ima niz zanimljivih svojstava.

1. Ako je krug upisan u trapez, dužina njegove srednje linije može se lako pronaći dodavanjem dužina stranica i dijeljenjem rezultirajućeg zbroja na pola: m = (c + d)/2.
2. Za trapez ACME, opisan oko kružnice, zbir dužina baza jednak je zbiru dužina stranica: AK + ME = KM + AE.
3. Iz ovog svojstva osnova trapeza slijedi suprotna tvrdnja: u trapez se može upisati krug čiji je zbir osnova jednak zbiru njegovih stranica.
4. Tačka tangente kružnice poluprečnika r upisanog u trapez dijeli stranu na dva segmenta, nazovimo ih a i b. Poluprečnik kruga može se izračunati pomoću formule: r = √ab.
5. I još jedna nekretnina. Da ne bude zabune, nacrtajte i ovaj primjer sami. Imamo stari dobri trapez ACME, opisan oko kruga. Sadrži dijagonale koje se sijeku u tački O. Trokuti AOK i EOM formirani segmentima dijagonala i bočnih stranica su pravokutni.
   Visine ovih trouglova, spuštenih na hipotenuze (tj. bočne strane trapeza), poklapaju se sa polumjerima upisane kružnice. A visina trapeza se poklapa sa prečnikom upisane kružnice.

Svojstva pravougaonog trapeza

Trapez se naziva pravougaonim ako mu je jedan od uglova pravi. I njegova svojstva proizlaze iz ove okolnosti.

1. Pravougaoni trapez ima jednu stranu okomitu na osnovu.
2. Visina i stranica trapeza pored pravog ugla su jednake. Ovo vam omogućava da izračunate površinu pravokutnog trapeza (opća formula S = (a + b) * h/2) ne samo kroz visinu, već i kroz stranu koja se nalazi uz pravi ugao.
3. Za pravokutni trapez relevantna su opća svojstva dijagonala trapeza koja su već opisana.

Dokaz o nekim svojstvima trapeza

Jednakost uglova pri osnovici jednakokrakog trapeza:

• Vjerovatno ste već pogodili da će nam ovdje opet trebati AKME trapez - nacrtajte jednakokraki trapez. Nacrtajte pravu liniju MT iz temena M, paralelnu sa stranicom AK (MT || AK).

Rezultirajući četverougao AKMT je paralelogram (AK || MT, KM || AT). Budući da je ME = KA = MT, ∆ MTE je jednakokračan i MET = MTE.

AK || MT, dakle MTE = KAE, MET = MTE = KAE.

Gdje je AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME.

Q.E.D.

Sada, na osnovu svojstva jednakokrakog trapeza (jednakost dijagonala), to dokazujemo trapez ACME je jednakokraki:

• Prvo, nacrtajmo pravu liniju MX – MX || KE. Dobijamo paralelogram KMHE (baza – MX || KE i KM || EX).

∆AMX je jednakokračan, budući da je AM = KE = MX, a MAX = MEA.

MH || KE, KEA = MXE, dakle MAE = MXE.

Ispostavilo se da su trouglovi AKE i EMA međusobno jednaki, jer su AM = KE i AE zajednička stranica dva trougla. I također MAE = MXE. Možemo zaključiti da je AK ​​= ME, a iz ovoga slijedi da je trapez AKME jednakokračan.

Zadatak pregleda

Osnove trapeza ACME su 9 cm i 21 cm, bočna stranica KA, jednaka 8 cm, sa manjom osnovom čini ugao od 150 0. Morate pronaći površinu trapeza.

Rješenje: Od temena K spuštamo visinu na veću osnovu trapeza. I počnimo gledati uglove trapeza.

Uglovi AEM i KAN su jednostrani. To znači da ukupno daju 180 0. Prema tome, KAN = 30 0 (na osnovu svojstva trapeznih uglova).

Razmotrimo sada pravougaoni ∆ANC (vjerujem da je ovo očito čitaocima bez dodatnih dokaza). Iz nje ćemo pronaći visinu trapeza KH - u trokutu je to krak koji leži nasuprot kuta od 30 0. Dakle, KN = ½AB = 4 cm.

Površinu trapeza nalazimo pomoću formule: S ACME = (KM + AE) * KN/2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 cm 2.

Pogovor

Ako ste pažljivo i promišljeno proučili ovaj članak, niste bili previše lijeni da nacrtate trapeze za sva data svojstva olovkom u rukama i analizirate ih u praksi, trebali ste dobro savladati materijal.

Naravno, ovdje ima puno informacija, različitih, a ponekad čak i zbunjujućih: nije tako teško pomiješati svojstva opisanog trapeza sa svojstvima upisanog. Ali i sami ste vidjeli da je razlika ogromna.

Sada imate detaljan pregled svih općih svojstava trapeza. Kao i specifična svojstva i karakteristike jednakokrakih i pravokutnih trapeza. Veoma je zgodan za pripremu za testove i ispite. Probajte sami i podijelite link sa prijateljima!

blog.site, prilikom kopiranja materijala u cijelosti ili djelimično, potrebna je veza do originalnog izvora.