2 pronađite površinu paralelograma. Kako pronaći površinu paralelograma? Formule za pronalaženje površine paralelograma
Izvođenje formule za površinu paralelograma svodi se na konstruisanje pravougaonika koji je po površini jednak datom paralelogramu. Uzmimo jednu stranu paralelograma kao osnovu, a okomicu povučenu iz bilo koje tačke na suprotnoj strani na pravu liniju koja sadrži bazu nazivat ćemo visinom paralelograma. Tada će površina paralelograma biti jednaka umnošku njegove baze i visine.
Teorema.Površina paralelograma jednaka je umnošku njegove osnove i visine.
Dokaz. Razmotrimo paralelogram sa površinom. Uzmimo stranu kao osnovu i nacrtamo visine (slika 2.3.1). To je potrebno dokazati.
Slika 2.3.1
Hajde da prvo dokažemo da je i površina pravougaonika jednaka. Trapez se sastoji od paralelograma i trougla. Sa druge strane, sastavljen je od pravougaonika NVSC i trougla. Ali pravokutni trouglovi su jednaki po hipotenuzi i oštrom kutu (njihove hipotenuze su jednake kao suprotne strane paralelograma, a uglovi 1 i 2 jednaki su odgovarajućim uglovima na presjeku paralelnih pravih i transverzale), pa su im površine jednake. Dakle, površine paralelograma i pravokutnika su također jednake, odnosno površina pravokutnika je jednaka. Prema teoremi o površini pravougaonika, ali od tada.
Teorema je dokazana.
Primjer 2.3.1.
U romb je upisan krug sa stranicom i oštrim uglom. Odredite površinu četverokuta čiji su vrhovi dodirne točke kružnice sa stranicama romba.
Rješenje:
Poluprečnik kružnice upisane u romb (slika 2.3.2), budući da je četvorougao pravougaonik, budući da njegovi uglovi počivaju na prečniku kružnice. Njegova površina je gdje (strana suprotna kutu). 
Slika 2.3.2
dakle, 
odgovor:
Primjer 2.3.2.
Dat je romb čije su dijagonale 3 cm i 4 cm. Iz vrha tupog ugla povučene su visine i izračunajte površinu četvorougla
Rješenje:
Površina romba (slika 2.3.3).
dakle, 
odgovor:
Primjer 2.3.3.
Površina četvorougla je Nađite površinu paralelograma čije su stranice jednake i paralelne dijagonalama četvorougla.
Rješenje:
Pošto je i (slika 2.3.4), onda je paralelogram i, prema tome,.
Slika 2.3.4
Slično, dobijamo iz čega sledi da.
odgovor:.
2.4 Površina trougla
Postoji nekoliko formula za izračunavanje površine trokuta. Pogledajmo one koje se uče u školi.
Prva formula proizlazi iz formule za površinu paralelograma i nudi se studentima u obliku teoreme.
Teorema.Površina trokuta jednaka je polovini umnoška njegove osnove i visine.
Dokaz. Neka je površina trokuta. Uzmite stranu u osnovi trokuta i nacrtajte visinu. Dokažimo to:
Slika 2.4.1
Izgradimo trokut u paralelogram kao što je prikazano na slici. Trokuti su jednaki na tri strane (njihova zajednička stranica i suprotne strane paralelograma), pa su im površine jednake. Prema tome, površina S trougla ABC jednaka je polovini površine paralelograma, tj. 
Teorema je dokazana.
Važno je skrenuti pažnju učenika na dvije posljedice koje slijede iz ove teoreme. naime:
Površina pravokutnog trokuta jednaka je polovini proizvoda njegovih nogu.
Ako su visine dva trokuta jednake, onda su njihove površine povezane kao osnovice.
Ove dvije posljedice igraju važnu ulogu u rješavanju raznih vrsta problema. Na osnovu toga je dokazana još jedna teorema koja ima široku primjenu u rješavanju problema.
Teorema. Ako je ugao jednog trokuta jednak uglu drugog trokuta, tada su njihove površine povezane kao proizvod stranica koje zatvaraju jednake uglove.
Dokaz. Neka i budu površine trouglova čiji su uglovi jednaki.
Slika 2.4.2
Hajde da dokažemo da: 
.
Primijenimo trougao. na trougao tako da se vrh poravna sa vrhom, a stranice preklapaju zrake respektivno.
Slika 2.4.3
Trouglovi imaju zajedničku visinu, pa... Trouglovi takođe imaju zajedničku visinu – dakle,. Množenjem dobijenih jednakosti dobijamo 
.
Teorema je dokazana.
Druga formula.Površina trokuta jednaka je polovini umnoška njegovih dviju stranica i sinusa ugla između njih. Postoji nekoliko načina za dokazivanje ove formule, a ja ću koristiti jedan od njih.
Dokaz. Iz geometrije postoji dobro poznata teorema da je površina trokuta jednaka polovini umnoška baze i visine spuštene ovom bazom:
U slučaju oštrog trougla. U slučaju tupog ugla. Ho, i stoga 
. Dakle, u oba slučaja. Zamjenom geometrijske formule za površinu trokuta, dobijamo trigonometrijsku formulu za površinu trokuta:
Teorema je dokazana.
Treća formula za površinu trougla - Heronova formula, nazvana po starogrčkom naučniku Heronu iz Aleksandrije, koji je živeo u prvom veku nove ere. Ova formula vam omogućava da pronađete površinu trokuta, znajući njegove strane. Pogodan je jer vam omogućava da ne pravite dodatne konstrukcije ili merite uglove. Njegov zaključak se zasniva na drugoj od formula površine trougla koje smo razmatrali i kosinus teoremi: i .
Prije nego što nastavite sa implementacijom ovog plana, imajte na umu da
Na potpuno isti način imamo:
Sada izrazimo kosinus u terminima i:
Pošto je svaki ugao u trokutu veći i manji, onda. znači, 
.
Sada posebno transformišemo svaki od faktora u radikalnom izrazu. Imamo:
Zamjenom ovog izraza u formulu za površinu, dobijamo:
Tema "Površina trougla" je od velike važnosti u školskom kursu matematike. Trokut je najjednostavniji geometrijski oblik. To je „strukturni element“ školske geometrije. Velika većina geometrijskih problema svodi se na rješavanje trouglova. Problem pronalaženja površine pravilnog i proizvoljnog n-ugla nije izuzetak.
Primjer 2.4.1.
Kolika je površina jednakokračnog trokuta ako mu je osnova , a stranica ?
Rješenje:
-jednakokraki,
Slika 2.4.4
Koristimo svojstva jednakokračnog trougla - medijana i visina. Onda 
Prema Pitagorinoj teoremi:
Pronalaženje površine trokuta:
odgovor:
Primjer 2.4.2.
U pravokutnom trokutu simetrala oštrog ugla dijeli suprotnu nogu na segmente dužine 4 i 5 cm. Odredite površinu trokuta.
Rješenje:
Neka (slika 2.4.5). Tada (pošto je BD simetrala). Odavde imamo 
, to je. znači,
Slika 2.4.5
odgovor: 
Primjer 2.4.3.
Nađite površinu jednakokračnog trokuta ako je njegova baza jednaka , a dužina visine povučene do baze jednaka je dužini segmenta koji povezuje sredine baze i stranice.
Rješenje:
Prema uslovu, – srednja linija (slika 2.4.6). Pošto imamo:
ili 
, odatle, 
Prilikom rješavanja zadataka na ovu temu, osim osnovna svojstva paralelogram i odgovarajuće formule, možete zapamtiti i primijeniti sljedeće:
- Simetrala unutrašnjeg ugla paralelograma odsiječe od njega jednakokraki trokut
- Simetrale unutrašnjih uglova uz jednu od stranica paralelograma međusobno su okomite
- Simetrale koje dolaze iz suprotnih unutrašnjih uglova paralelograma paralelne su jedna s drugom ili leže na istoj pravoj liniji
- Zbir kvadrata dijagonala paralelograma jednak je zbroju kvadrata njegovih stranica
- Površina paralelograma jednaka je polovini umnoška dijagonala i sinusa ugla između njih
Razmotrimo probleme u kojima se ova svojstva koriste.
Zadatak 1.
Simetrala ugla C paralelograma ABCD siječe stranicu AD u tački M i nastavak stranice AB iza tačke A u tački E. Nađi obim paralelograma ako je AE = 4, DM = 3.
Rješenje.
1. Trougao CMD je jednakokračan. (Svojstvo 1). Dakle, CD = MD = 3 cm.
2. Trougao EAM je jednakokračan.
Dakle, AE = AM = 4 cm.
3. AD = AM + MD = 7 cm.
4. Perimetar ABCD = 20 cm.
Odgovori. 20 cm.
Zadatak 2.
Dijagonale su nacrtane u konveksnom četvorouglu ABCD. Poznato je da su površine trouglova ABD, ACD, BCD jednake. Dokazati da je ovaj četvorougao paralelogram.
Rješenje.
1. Neka je BE visina trougla ABD, CF visina trougla ACD. Kako su, prema uslovima zadatka, površine trouglova jednake i imaju zajedničku osnovu AD, onda su i visine ovih trouglova jednake. BE = CF.
2. BE, CF su okomite na AD. Tačke B i C nalaze se na istoj strani u odnosu na pravu liniju AD. BE = CF. Dakle, prava BC || A.D. (*)
3. Neka je AL visina trougla ACD, BK visina trougla BCD. Kako su, prema uslovima zadatka, površine trouglova jednake i imaju zajedničku osnovu CD, onda su i visine ovih trouglova jednake. AL = BK.
4. AL i BK su okomite na CD. Tačke B i A nalaze se na istoj strani u odnosu na pravu liniju CD. AL = BK. Dakle, prava AB || CD (**)
5. Iz uslova (*), (**) slijedi da je ABCD paralelogram.
Odgovori. Dokazan. ABCD je paralelogram.
Zadatak 3.
Na stranicama BC i CD paralelograma ABCD označene su tačke M i H, tako da se segmenti BM i HD sijeku u tački O;<ВМD = 95 о,
Rješenje.
1. U trouglu DOM<МОD = 25 о (Он смежный с <ВОD = 155 о); <ОМD = 95 о. Тогда <ОDМ = 60 о.
2. U pravokutnom trokutu DHC Onda<НСD = 30 о. СD: НD = 2: 1 Ali CD = AB. Tada je AB: HD = 2:1. 3. <С = 30 о, 4. <А = <С = 30 о, <В = Odgovor: AB: HD = 2: 1,<А = <С = 30 о, <В = Zadatak 4. Jedna od dijagonala paralelograma dužine 4√6 sa osnovom čini ugao od 60°, a druga dijagonala sa istom osnovom čini ugao od 45°. Pronađite drugu dijagonalu. Rješenje.
1. AO = 2√6. 2. Teoremu sinusa primjenjujemo na trougao AOD. AO/sin D = OD/sin A. 2√6/sin 45 o = OD/sin 60 o. OD = (2√6sin 60 o) / sin 45 o = (2√6 · √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6. Odgovor: 12.
Zadatak 5. Za paralelogram sa stranicama 5√2 i 7√2, manji ugao između dijagonala jednak je manjem uglu paralelograma. Nađite zbir dužina dijagonala. Rješenje.
Neka su d 1, d 2 dijagonale paralelograma, a ugao između dijagonala i manjeg ugla paralelograma jednak je φ. 1. Izbrojimo dva različita S ABCD = AB AD sin A = 5√2 7√2 sin f, S ABCD = 1/2 AC VD sin AOB = 1/2 d 1 d 2 sin f. Dobijamo jednakost 5√2 · 7√2 · sin f = 1/2d 1 d 2 sin f ili 2 · 5√2 · 7√2 = d 1 d 2 ; 2. Koristeći odnos između stranica i dijagonala paralelograma, zapisujemo jednakost (AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2. ((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = d 1 2 + d 2 2. d 1 2 + d 2 2 = 296. 3. Kreirajmo sistem: (d 1 2 + d 2 2 = 296, Pomnožimo drugu jednačinu sistema sa 2 i dodajmo je prvoj. Dobijamo (d 1 + d 2) 2 = 576. Otuda je Id 1 + d 2 I = 24. Pošto su d 1, d 2 dužine dijagonala paralelograma, onda je d 1 + d 2 = 24. Odgovor: 24.
Zadatak 6. Stranice paralelograma su 4 i 6. Oštar ugao između dijagonala je 45 stepeni. Pronađite površinu paralelograma. Rješenje.
1. Iz trougla AOB, koristeći kosinus teoremu, zapisujemo odnos između stranice paralelograma i dijagonala. AB 2 = AO 2 + VO 2 2 · AO · VO · cos AOB. 4 2 = (d 1 /2) 2 + (d 2 /2) 2 – 2 · (d 1/2) · (d 2 /2)cos 45 o; d 1 2 /4 + d 2 2 /4 – 2 · (d 1/2) · (d 2 /2)√2/2 = 16. d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64. 2. Slično pišemo relaciju za trougao AOD. Uzmimo to u obzir<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2. Dobijamo jednačinu d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144. 3. Imamo sistem Oduzimanjem prve od druge jednačine dobijamo 2d 1 · d 2 √2 = 80 ili d 1 d 2 = 80/(2√2) = 20√2 4. S ABCD = 1/2 AC VD sin AOB = 1/2 d 1 d 2 sin α = 1/2 20√2 √2/2 = 10. Bilješka: U ovom i prethodnom zadatku nema potrebe rješavati sistem u potpunosti, predviđajući da nam je u ovom zadatku potreban proizvod dijagonala za izračunavanje površine. Odgovor: 10. Zadatak 7. Površina paralelograma je 96, a njegove stranice su 8 i 15. Nađite kvadrat manje dijagonale. Rješenje.
1. S ABCD = AB · AD · sin VAD. Napravimo zamjenu u formuli. Dobijamo 96 = 8 · 15 · sin VAD. Otuda je sin VAD = 4/5. 2. Nađimo cos VAD. sin 2 VAD + cos 2 VAD = 1. (4 / 5) 2 + cos 2 VAD = 1. cos 2 VAD = 9 / 25. Prema uslovima zadatka nalazimo dužinu manje dijagonale. Dijagonala VD će biti manja ako je ugao VAD oštar. Tada je cos VAD = 3 / 5. 3. Iz trougla ABD, koristeći kosinus teorem, nalazimo kvadrat dijagonale BD. VD 2 = AV 2 + AD 2 – 2 · AV · VD · cos VAD. VD 2 = 8 2 + 15 2 – 2 8 15 3 / 5 = 145. Odgovor: 145.
Imate još pitanja? Ne znate kako riješiti problem geometrije? web stranicu, kada kopirate materijal u cijelosti ili djelomično, link na izvor je obavezan. Prije nego naučimo kako pronaći površinu paralelograma, moramo se sjetiti šta je paralelogram i kako se zove njegova visina. Paralelogram je četverougao čije su suprotne strane parno paralelne (leže na paralelnim pravima). Okomita povučena iz proizvoljne tačke na suprotnoj strani na pravu koja sadrži ovu stranu naziva se visina paralelograma. Kvadrat, pravougaonik i romb su posebni slučajevi paralelograma. Površina paralelograma je označena kao (S). S=a*h, gdje je a osnova, h visina koja je povučena do baze. S=a*b*sinα, gdje su a i b osnove, a α je ugao između osnova a i b. S =p*r, gdje je p poluperimetar, r je poluprečnik kružnice koja je upisana u paralelogram. Površina paralelograma, koju čine vektori a i b, jednaka je modulu proizvoda datih vektora, i to: Razmotrimo primjer br. 1: Dat je paralelogram čija je stranica 7 cm, a visina 3 cm. Kako pronaći površinu paralelograma, potrebna nam je formula za rješenje. Tako je S= 7x3. S=21. Odgovor: 21 cm 2. Razmotrimo primjer br. 2: Date osnovice su 6 i 7 cm, a također je dat ugao između osnova od 60 stepeni. Kako pronaći površinu paralelograma? Formula koja se koristi za rješavanje: Dakle, prvo nalazimo sinus ugla. Sinus 60 = 0,5, odnosno S = 6*7*0,5=21 Odgovor: 21 cm 2. Nadam se da će vam ovi primjeri pomoći u rješavanju problema. I zapamtite, glavna stvar je poznavanje formula i pažnja Šta je paralelogram? Paralelogram je četverougao čije su suprotne strane paralelne u parovima. 1. Površina paralelograma se izračunava po formuli: \[ \LARGE S = a \cdot h_(a)\] gdje: 2. Ako su poznate dužine dviju susjednih stranica paralelograma i ugao između njih, tada se površina paralelograma izračunava po formuli: \[ \LARGE S = a \cdot b \cdot sin(\alpha) \] 3. Ako su dijagonale paralelograma date i ugao između njih je poznat, tada se površina paralelograma izračunava po formuli: \[ \LARGE S = \frac(1)(2) \cdot d_(1) \cdot d_(2) \cdot sin(\alpha) \] U paralelogramu su suprotne strane jednake: \(AB = CD\), \(BC = AD\) U paralelogramu su suprotni uglovi jednaki: \(\ugao A = \ugao C\), \(\ugao B = \ugao D\) Dijagonale paralelograma u točki presjeka podijeljene su na pola \(AO = OC\) , \(BO = OD\) Dijagonala paralelograma dijeli ga na dva jednaka trougla. Zbir uglova paralelograma uz jednu stranu je 180o: \(\ugao A + \ugao B = 180^(o)\), \(\ugao B + \ugao C = 180^(o)\) \(\ugao C + \ugao D = 180^(o)\), \(\ugao D + \ugao A = 180^(o)\) Dijagonale i stranice paralelograma povezane su sljedećim odnosom: \(d_(1)^(2) + d_(2)^2 = 2a^(2) + 2b^(2) \) U paralelogramu, ugao između visina jednak je njegovom oštrom uglu: \(\ugao K B H =\ugao A\) . Simetrale uglova uz jednu stranu paralelograma međusobno su okomite. Simetrale dva suprotna ugla paralelograma su paralelne. Četvorougao će biti paralelogram ako: \(AB = CD\) i \(AB || CD\) \(AB = CD\) i \(BC = AD\) \(AO = OC\) i \(BO = OD\) \(\ugao A = \ugao C\) i \(\ugao B = \ugao D\) Formula za površinu paralelograma Površina paralelograma jednaka je umnošku njegove stranice i visine te stranice. Dokaz Ako je paralelogram pravougaonik, onda je jednakost zadovoljena teoremom o površini pravokutnika. Zatim pretpostavljamo da uglovi paralelograma nisu pravi. Neka je $\ugao BAD$ oštar ugao u paralelogramu $ABCD$ i $AD > AB$. U suprotnom ćemo preimenovati vrhove. Tada visina $BH$ od temena $B$ do prave $AD$ pada na stranu $AD$, pošto je krak $AH$ kraći od hipotenuze $AB$, a $AB< AD$. Основание $K$ высоты $CK$ из точки $C$ на прямую $AB$ лежит на продолжении отрезка $AD$ за точку $D$, так как угол $\angle BAD$ острый, а значит $\angle CDA$ тупой. Вследствие параллельности прямых $BA$ и $CD$ $\angle BAH = \angle CDK$. В параллелограмме противоположные стороны равны, следовательно, по стороне и двум углам, треугольники $\triangle ABH = \triangle DCK$ равны. Uporedimo površinu paralelograma $ABCD$ i površinu pravokutnika $HBCK$. Površina paralelograma je veća za površinu $\trokut ABH$, ali manja za površinu $\trokut DCK$. Pošto su ti trouglovi jednaki, njihove površine su jednake. To znači da je površina paralelograma jednaka površini pravougaonika sa stranicama dužine do jedne strane i visinom paralelograma. Formula za površinu paralelograma koristeći stranice i sinus Površina paralelograma jednaka je umnošku susjednih stranica i sinusa ugla između njih. Dokaz Visina paralelograma $ABCD$ spuštenog na stranu $AB$ jednaka je proizvodu segmenta $BC$ i sinusa ugla $\ugla ABC$. Ostaje primijeniti prethodnu izjavu. Formula za površinu paralelograma koristeći dijagonale Površina paralelograma jednaka je polovini umnoška dijagonala i sinusa kuta između njih. Dokaz Neka se dijagonale paralelograma $ABCD$ sijeku u tački $O$ pod uglom $\alpha$. Tada je $AO=OC$ i $BO=OD$ po svojstvu paralelograma. Sinusi uglova koji iznose $180^\circ$ su jednaki, $\ugao AOB = \ugao COD = 180^\circ - \ugao BOC = 180^\circ - \ugao AOD$. To znači da su sinusi uglova na preseku dijagonala jednaki $\sin \alpha$. $S_(ABCD)=S_(\trokut AOB) + S_(\trokut BOC) + S_(\trokut COD) + S_(\trokut AOD)$ prema aksiomu mjerenja površine. Primjenjujemo formulu površine trougla $S_(ABC) = \dfrac(1)(2) \cdot AB \cdot BC \sin \angle ABC$ za ove trouglove i uglove kada se dijagonale sijeku. Strane svake su jednake polovini dijagonala, a sinusi su također jednaki. Stoga su površine sva četiri trokuta jednake $S = \dfrac(1)(2) \cdot \dfrac(AC)(2) \cdot \dfrac(BD)(2) \cdot \sin \alpha = \ dfrac(AC \ cdot BD)(8) \sin \alpha$. Sumirajući sve gore navedeno, dobijamo $S_(ABCD) = 4S = 4 \cdot \dfrac(AC \cdot BD)(8) \sin \alpha = \dfrac(AC \cdot BD \cdot \sin \alpha)(2)$
(
(Budući da je u pravokutnom trokutu krak koji leži nasuprot kuta od 30° jednak polovini hipotenuze).
načine svoje područje.
(d 1 + d 2 = 140.
(d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144.
Da biste dobili pomoć od tutora, registrujte se.
Prva lekcija je besplatna!
Formule za pronalaženje površine paralelograma
a je strana paralelograma,
h a – visina povučena na ovu stranu.Svojstva paralelograma
Znakovi paralelograma
Da biste izvršili proračune, morate omogućiti ActiveX kontrole!
