§13. Steinerova teorema o momentu inercije oko proizvoljne ose
Tijela m po kvadratu udaljenosti d između osi:
J = J c + m d 2 , (\displaystyle J=J_(c)+md^(2),)Gdje m- ukupna tjelesna težina.
Na primjer, moment inercije štapa u odnosu na osu koja prolazi kroz njegov kraj jednak je:
J = J c + m d 2 = 1 12 m l 2 + m (l 2) 2 = 1 3 m l 2. (\displaystyle J=J_(c)+md^(2)=(\frac (1)(12))ml^(2)+m\left((\frac (l)(2))\desno)^ (2)=(\frac (1)(3))ml^(2).)Aksijalni momenti inercije nekih tijela
| Tijelo | Opis | Položaj osovine a | Moment inercije J a |
|---|---|---|---|
| Masa materijalne tačke m | Na daljinu r iz tačke, stacionarno | ||
| Šuplji cilindar tankih stijenki ili polumjerni prsten r i mase m | Osa cilindra | m r 2 (\displaystyle mr^(2)) | |
| Puni cilindar ili disk radijusa r i mase m | Osa cilindra | 1 2 m r 2 (\displaystyle (\frac (1)(2))mr^(2)) | |
| Šuplji masni cilindar debelih zidova m sa spoljnim radijusom r 2 i unutrašnji radijus r 1 | Osa cilindra | m r 2 2 + r 1 2 2 (\displaystyle m(\frac (r_(2)^(2)+r_(1)^(2))(2))) | |
| Čvrsta dužina cilindra l, radijus r i mase m | 1 4 m ⋅ r 2 + 1 12 m ⋅ l 2 (\displaystyle (1 \preko 4)m\cdot r^(2)+(1 \preko 12)m\cdot l^(2)) | ||
| Dužina šupljeg cilindra tankog zida (prstena). l, radijus r i mase m | Osa je okomita na cilindar i prolazi kroz njegovo središte mase | 1 2 m ⋅ r 2 + 1 12 m ⋅ l 2 (\displaystyle (1 \preko 2)m\cdot r^(2)+(1 \preko 12)m\cdot l^(2)) | |
| Ravna šipka tanke dužine l i mase m | Osa je okomita na štap i prolazi kroz njegovo središte mase | 1 12 m l 2 (\displaystyle (\frac (1)(12))ml^(2)) | |
| Ravna šipka tanke dužine l i mase m | Os je okomita na štap i prolazi kroz njegov kraj | 1 3 m l 2 (\displaystyle (\frac (1)(3))ml^(2)) | |
| Sfera radijusa tankih zidova r i mase m | Osa prolazi kroz centar sfere | 2 3 m r 2 (\displaystyle (\frac (2)(3))mr^(2)) | |
| Radius lopta r i mase m | Osa prolazi kroz centar lopte | 2 5 m r 2 (\displaystyle (\frac (2)(5))mr^(2)) | |
| Radius cone r i mase m | Osa konusa | 3 10 m r 2 (\displaystyle (\frac (3)(10))mr^(2)) | |
| Jednakokraki trougao sa visinom h, osnova a i masa m | Osa je okomita na ravan trougla i prolazi kroz vrh | 1 24 m (a 2 + 12 h 2) (\displaystyle (\frac (1)(24))m(a^(2)+12h^(2))) | |
| Pravilan trougao sa stranom a i masa m | Osa je okomita na ravan trougla i prolazi kroz centar mase | 1 12 m a 2 (\displaystyle (\frac (1)(12))ma^(2)) | |
| Kvadrat sa stranom a i masa m | Osa je okomita na ravan kvadrata i prolazi kroz centar mase | 1 6 m a 2 (\displaystyle (\frac (1)(6))ma^(2)) | |
| Pravougaonik sa stranicama a I b i masa m | Osa je okomita na ravan pravougaonika i prolazi kroz centar mase | 1 12 m (a 2 + b 2) (\displaystyle (\frac (1)(12))m(a^(2)+b^(2))) | |
| Regularni n-ugao poluprečnika r i masa m | Osa je okomita na ravan i prolazi kroz centar mase | m r 2 6 [ 1 + 2 cos (π / n) 2 ] (\displaystyle (\frac (mr^(2))(6))\left) | |
| Torus (šuplji) sa polumjerom kružnice vodilice R, polumjer generirajuće kružnice r i masa m | Osa je okomita na ravan kružnice vodilice torusa i prolazi kroz centar mase | I = m (3 4 r 2 + R 2) (\displaystyle I=m\left((\frac (3)(4))\,r^(2)+R^(2)\desno)) |
Izvođenje formula
Tankozidni cilindar (prsten, obruč)
Derivacija formule
Moment inercije tijela jednak je zbiru momenata inercije njegovih sastavnih dijelova. Podijelimo cilindar tankih stijenki na elemente s masom dm i momente inercije dJ i. Onda
J = ∑ d J i = ∑ R i 2 d m . (1) . (\displaystyle J=\sum dJ_(i)=\sum R_(i)^(2)dm.\qquad (1).)Budući da su svi elementi tankozidnog cilindra na istoj udaljenosti od ose rotacije, formula (1) se pretvara u oblik
J = ∑ R 2 d m = R 2 ∑ d m = m R 2 . (\displaystyle J=\suma R^(2)dm=R^(2)\suma dm=mR^(2).)Cilindar debelih zidova (prsten, obruč)
Derivacija formule
Neka postoji homogeni prsten sa spoljnim radijusom R, unutrašnji radijus R 1, debljina h i gustina ρ. Izlomimo ga na tanke kolutiće debljine dr. Masa i moment inercije tankog polumjernog prstena r bice
d m = ρ d V = ρ ⋅ 2 π r h d r ; d J = r 2 d m = 2 π ρ h r 3 d r . (\displaystyle dm=\rho dV=\rho \cdot 2\pi rhdr;\qquad dJ=r^(2)dm=2\pi \rho hr^(3)dr.)Nađimo moment inercije debelog prstena kao integral
J = ∫ R 1 R d J = 2 π ρ h ∫ R 1 R r 3 d r = (\displaystyle J=\int _(R_(1))^(R)dJ=2\pi \rho h\int _ (R_(1))^(R)r^(3)dr=) = 2 π ρ h r 4 4 | R 1 R = 1 2 π ρ h (R 4 − R 1 4) = 1 2 π ρ h (R 2 − R 1 2) (R 2 + R 1 2) . (\displaystyle =2\pi \rho h\lijevo.(\frac (r^(4))(4))\desno|_(R_(1))^(R)=(\frac (1)(2 ))\pi \rho h\left(R^(4)-R_(1)^(4)\desno)=(\frac (1)(2))\pi \rho h\left(R^(2) )-R_(1)^(2)\desno)\lijevo(R^(2)+R_(1)^(2)\desno).)Pošto su zapremina i masa prstena jednake
V = π (R 2 − R 1 2) h ; m = ρ V = π ρ (R 2 − R 1 2) h , (\displaystyle V=\pi \left(R^(2)-R_(1)^(2)\right)h;\qquad m= \rho V=\pi \rho \levo(R^(2)-R_(1)^(2)\desno)h,)dobijamo konačnu formulu za moment inercije prstena
J = 1 2 m (R 2 + R 1 2) . (\displaystyle J=(\frac (1)(2))m\levo(R^(2)+R_(1)^(2)\desno).)Homogeni disk (puni cilindar)
Derivacija formule
Razmatrajući cilindar (disk) kao prsten sa nultim unutrašnjim radijusom ( R 1 = 0 ), dobijamo formulu za moment inercije cilindra (diska):
J = 1 2 m R 2 . (\displaystyle J=(\frac (1)(2))mR^(2).)Čvrsti konus
Derivacija formule
Razbijmo konus na tanke diskove debljine dh, okomito na os konusa. Radijus takvog diska je jednak
r = R h H , (\displaystyle r=(\frac (Rh)(H)),)Gdje R– poluprečnik osnove konusa, H– visina konusa, h– udaljenost od vrha konusa do diska. Masa i moment inercije takvog diska će biti
d J = 1 2 r 2 d m = 1 2 π ρ r 4 d h = 1 2 π ρ (R h H) 4 d h ; (\displaystyle dJ=(\frac (1)(2))r^(2)dm=(\frac (1)(2))\pi \rho r^(4)dh=(\frac (1)( 2))\pi \rho \left((\frac (Rh)(H))\desno)^(4)dh;)Integrisanje, dobijamo
J = ∫ 0 H d J = 1 2 π ρ (R H) 4 ∫ 0 H h 4 d h = 1 2 π ρ (R H) 4 h 5 5 | 0 H == 1 10 π ρ R 4 H = (ρ ⋅ 1 3 π R 2 H) 3 10 R 2 = 3 10 m R 2 . (\displaystyle (\begin(aligned)J=\int _(0)^(H)dJ=(\frac (1)(2))\pi \rho \left((\frac (R)(H)) \desno)^(4)\int _(0)^(H)h^(4)dh=(\frac (1)(2))\pi \rho \left((\frac (R)(H) )\desno)^(4)\lijevo.(\frac (h^(5))(5))\desno|_(0)^(H)==(\frac (1)(10))\pi \rho R^(4)H=\lijevo(\rho \cdot (\frac (1)(3))\pi R^(2)H\desno)(\frac (3)(10))R^( 2)=(\frac (3)(10))mR^(2).\end(poravnano)))Čvrsta homogena lopta
Derivacija formule
Razbijmo loptu na tanke diskove debljine dh, okomito na os rotacije. Radijus takvog diska koji se nalazi na visini h iz centra sfere, nalazimo ga pomoću formule
r = R 2 − h 2 . (\displaystyle r=(\sqrt (R^(2)-h^(2))).)Masa i moment inercije takvog diska će biti
d m = ρ d V = ρ ⋅ π r 2 d h ; (\displaystyle dm=\rho dV=\rho \cdot \pi r^(2)dh;) d J = 1 2 r 2 d m = 1 2 π ρ r 4 d h = 1 2 π ρ (R 2 − h 2) 2 d h = 1 2 π ρ (R 4 − 2 R 2 h 2 + h 4) d h . (\displaystyle dJ=(\frac (1)(2))r^(2)dm=(\frac (1)(2))\pi \rho r^(4)dh=(\frac (1)( 2))\pi \rho \left(R^(2)-h^(2)\desno)^(2)dh=(\frac (1)(2))\pi \rho \left(R^( 4)-2R^(2)h^(2)+h^(4)\desno)dh.)Moment inercije lopte nalazimo integracijom:
J = ∫ − R R d J = 2 ∫ 0 R d J = π ρ ∫ 0 R (R 4 − 2 R 2 h 2 + h 4) d h = = π ρ (R 4 h − 2 3 R 2 h 3 + 1 5 h 5) | 0 R = π ρ (R 5 − 2 3 R 5 + 1 5 R 5) = 8 15 π ρ R 5 = = (4 3 π R 3 ρ) ⋅ 2 5 R 2 = 2 5 m R 2 . (\displaystyle (\begin(aligned)J&=\int _(-R)^(R)dJ=2\int _(0)^(R)dJ=\pi \rho \int _(0)^(R) )\left(R^(4)-2R^(2)h^(2)+h^(4)\desno)dh=\\&=\pi \rho \left.\left(R^(4) h-(\frac (2)(3))R^(2)h^(3)+(\frac (1)(5))h^(5)\right)\right|_(0)^( R)=\pi \rho \left(R^(5)-(\frac (2)(3))R^(5)+(\frac (1)(5))R^(5)\desno) =(\frac (8)(15))\pi \rho R^(5)=\\&=\left((\frac (4)(3))\pi R^(3)\rho \right) \cdot (\frac (2)(5))R^(2)=(\frac (2)(5))mR^(2).\end(poravnano)))Sfera tankih zidova
Derivacija formule
Da bismo to izveli, koristimo formulu za moment inercije homogene lopte poluprečnika R :
J 0 = 2 5 M R 2 = 8 15 π ρ R 5 . (\displaystyle J_(0)=(\frac (2)(5))MR^(2)=(\frac (8)(15))\pi \rho R^(5).)Izračunajmo koliko će se promijeniti moment inercije lopte ako se, pri konstantnoj gustoći ρ, njen polumjer poveća za beskonačno mali iznos dR .
J = d J 0 d R d R = d d R (8 15 π ρ R 5) d R = = 8 3 π ρ R 4 d R = (ρ ⋅ 4 π R 2 d R) 2 3 R 2 = 2 3 m R 2 . (\displaystyle (\begin(aligned)J&=(\frac (dJ_(0))(dR))dR=(\frac (d)(dR))\left((\frac (8)(15))\ pi \rho R^(5)\desno)dR=\\&=(\frac (8)(3))\pi \rho R^(4)dR=\left(\rho \cdot 4\pi R^ (2)dR\desno)(\frac (2)(3))R^(2)=(\frac (2)(3))mR^(2).\end(poravnano)))Tanka šipka (os prolazi kroz centar)
Derivacija formule
Razbijmo štap na male fragmente dužine dr. Masa i moment inercije takvog fragmenta su jednaki
d m = m d r l ; d J = r 2 d m = m r 2 d r l . (\displaystyle dm=(\frac (mdr)(l));\qquad dJ=r^(2)dm=(\frac (mr^(2)dr)(l)).)Integrisanje, dobijamo
J = ∫ − l / 2 l / 2 d J = 2 ∫ 0 l / 2 d J = 2 m l ∫ 0 l / 2 r 2 d r = 2 m l r 3 3 | 0 l / 2 = 2 m l l 3 24 = 1 12 m l 2 . (\displaystyle J=\int _(-l/2)^(l/2)dJ=2\int _(0)^(l/2)dJ=(\frac (2m)(l))\int _ (0)^(l/2)r^(2)dr=(\frac (2m)(l))\levo.(\frac (r^(3))(3))\desno|_(0) ^(l/2)=(\frac (2m)(l))(\frac (l^(3))(24))=(\frac (1)(12))ml^(2.)Tanka šipka (os prolazi kroz kraj)
Derivacija formule
Kada se os rotacije pomiče od sredine štapa do njegovog kraja, težište štapa se pomiče u odnosu na os za razdaljinu l ⁄ 2. Prema Steinerovoj teoremi, novi moment inercije će biti jednak
J = J 0 + m r 2 = J 0 + m (l 2) 2 = 1 12 m l 2 + 1 4 m l 2 = 1 3 m l 2 . (\displaystyle J=J_(0)+mr^(2)=J_(0)+m\levo((\frac (l)(2))\desno)^(2)=(\frac (1)( 12))ml^(2)+(\frac (1)(4))ml^(2)=(\frac (1)(3))ml^(2.)Bezdimenzionalni momenti inercije planeta i satelita
Njihovi bezdimenzijski momenti inercije su od velike važnosti za proučavanje unutrašnje strukture planeta i njihovih satelita. Bezdimenzionalni moment inercije tijela poluprečnika r i mase m jednak je omjeru njenog momenta inercije u odnosu na os rotacije i momenta inercije materijalne tačke iste mase u odnosu na fiksnu os rotacije koja se nalazi na udaljenosti r(jednak gospodin 2). Ova vrijednost odražava raspodjelu mase po dubini. Jedna od metoda za mjerenje u blizini planeta i satelita je određivanje Doplerovog pomaka radio signala koji prenosi AMS koji leti u blizini date planete ili satelita. Za sferu tankih zidova, bezdimenzionalni moment inercije jednak je 2/3 (~0,67), za homogenu kuglu - 0,4, i općenito, što je manje, to je veća masa tijela koncentrisana u njegovom središtu. Na primjer, Mjesec ima bezdimenzionalni moment inercije blizu 0,4 (jednako 0,391), pa se pretpostavlja da je relativno homogen, njegova gustina se malo mijenja sa dubinom. Bezdimenzionalni moment inercije Zemlje manji je od momenta homogene lopte (jednak 0,335), što je argument u prilog postojanja gustog jezgra.
Centrifugalni moment inercije
Centrifugalni momenti inercije tijela u odnosu na osi pravougaonog kartezijanskog koordinatnog sistema su sljedeće veličine:
J x y = ∫ (m) x y d m = ∫ (V) x y ρ d V , (\displaystyle J_(xy)=\int \limits _((m))xydm=\int \limits _((V))xy\ rho dV,) J x z = ∫ (m) x z d m = ∫ (V) x z ρ d V , (\displaystyle J_(xz)=\int \limits _((m))xzdm=\int \limits _((V))xz\ rho dV,) J y z = ∫ (m) y z d m = ∫ (V) y z ρ d V , (\displaystyle J_(yz)=\int \limits _((m))yzdm=\int \limits _((V))yz\ rho dV,)Gdje x , y I z- koordinate malog elementa tijela sa zapreminom dV, gustina ρ i masa dm .
Osa OX se zove glavna osa inercije tela, ako su centrifugalni momenti inercije J xy I J xz su istovremeno jednaki nuli. Kroz svaku tačku tijela mogu se povući tri glavne osi inercije. Ove ose su međusobno okomite jedna na drugu. Momenti inercije tijela u odnosu na tri glavne osi inercije povučene u proizvoljnoj tački O tijela se nazivaju glavni momenti inercije ovog tela.
Glavne osi inercije koje prolaze kroz centar mase tijela nazivaju se glavne centralne osi inercije tela, a momenti inercije oko ovih osa su njegovi glavni centralni momenti inercije. Osa simetrije homogenog tijela uvijek je jedna od njegovih glavnih centralnih osi inercije.
Geometrijski momenti inercije
Geometrijski moment inercije zapremine
J V a = ∫ (V) r 2 d V , (\displaystyle J_(Va)=\int \limits _((V))r^(2)dV,)gde, kao i ranije r- udaljenost od elementa dV do ose a .
Geometrijski moment inercije površine u odnosu na osu - geometrijska karakteristika tijela, izražena formulom:
J S a = ∫ (S) r 2 d S , (\displaystyle J_(Sa)=\int \limits _((S))r^(2)dS,)gdje se integracija vrši preko površine S, A dS- element ove površine.
Dimenzija JSa- dužina na četvrtu potenciju ( d i m J S a = L 4 (\displaystyle \mathrm (dim) J_(Sa)=\mathrm (L^(4)) )), odnosno SI jedinica mjere je 4. U građevinskim proračunima, literaturi i asortimanima valjanih metala često se navodi u cm 4.
Moment otpora presjeka izražava se kroz geometrijski moment inercije površine:
W = J S a r m a x . (\displaystyle W=(\frac (J_(Sa))(r_(max))).)Evo rmax- maksimalna udaljenost od površine do ose.
| Geometrijski momenti inercije površine nekih figura | |
|---|---|
| Visina pravougaonika h (\displaystyle h) i širina b (\displaystyle b): | J y = b h 3 12 (\displaystyle J_(y)=(\frac (bh^(3))(12)))
J z = h b 3 12 (\displaystyle J_(z)=(\frac (hb^(3))(12))) |
| Pravokutni kutijasti presjek visine i širine duž vanjskih kontura H (\displaystyle H) I B (\displaystyle B), i za interne h (\displaystyle h) I b (\displaystyle b) respektivno | J z = B H 3 12 − b h 3 12 = 1 12 (B H 3 − b h 3) (\displaystyle J_(z)=(\frac (BH^(3))(12))-(\frac (bh^( 3))(12))=(\frac (1)(12))(BH^(3)-bh^(3)))
J y = H B 3 12 − h b 3 12 = 1 12 (H B 3 − h b 3) (\displaystyle J_(y)=(\frac (HB^(3))(12))-(\frac (hb^( 3))(12))=(\frac (1)(12))(HB^(3)-hb^(3))) |
| Prečnik kruga d (\displaystyle d) | J y = J z = π d 4 64 (\displaystyle J_(y)=J_(z)=(\frac (\pi d^(4))(64))) |
Moment inercije u odnosu na ravan
Moment inercije krutog tijela u odnosu na određenu ravan je skalarna veličina jednaka zbroju proizvoda mase svake tačke tijela na kvadrat udaljenosti od ove tačke do ravnine o kojoj je riječ.
Ako kroz proizvoljnu tačku O (\displaystyle O) nacrtati koordinatne ose x , y , z (\displaystyle x,y,z), zatim momenti inercije u odnosu na koordinatne ravni x O y (\displaystyle xOy), y O z (\displaystyle yOz) I z O x (\displaystyle zOx)će se izraziti formulama:
J x O y = ∑ i = 1 n m i z i 2 , (\displaystyle J_(xOy)=\sum _(i=1)^(n)m_(i)z_(i)^(2)\ ,) J y O z = ∑ i = 1 n m i x i 2 , (\displaystyle J_(yOz)=\sum _(i=1)^(n)m_(i)x_(i)^(2)\ ,) J z O x = ∑ i = 1 n m i y i 2 . (\displaystyle J_(zOx)=\suma _(i=1)^(n)m_(i)y_(i)^(2)\ .)U slučaju čvrstog tijela, sumiranje je zamijenjeno integracijom.
Centralni moment inercije
Centralni moment inercije (moment inercije oko tačke O, moment inercije oko pola, polarni moment inercije) J O (\displaystyle J_(O)) je količina određena izrazom:
J a = ∫ (m) r 2 d m = ∫ (V) ρ r 2 d V , (\displaystyle J_(a)=\int \limits _((m))r^(2)dm=\int \limits _((V))\rho r^(2)dV,)Središnji moment inercije može se izraziti kroz glavne aksijalne momente inercije, kao i kroz momente inercije oko ravni:
J O = 1 2 (J x + J y + J z) , (\displaystyle J_(O)=(\frac (1)(2))\left(J_(x)+J_(y)+J_(z) \desno)) J O = J x O y + J y O z + J x O z . (\displaystyle J_(O)=J_(xOy)+J_(yOz)+J_(xOz).)Tenzor inercije i elipsoid inercije
Moment inercije tijela u odnosu na proizvoljnu osu koja prolazi kroz centar mase i ima smjer određen jediničnim vektorom s → = ‖ s x , s y , s z ‖ T , | s → | = 1 (\displaystyle (\vec (s))=\left\Vert s_(x),s_(y),s_(z)\desno\Vert ^(T),\left\vert (\vec (s) )\desno\vert =1), može se predstaviti u obliku kvadratnog (bilinearnog) oblika:
I s = s → T ⋅ J ^ ⋅ s → , (\displaystyle I_(s)=(\vec (s))^(T)\cdot (\hat (J))\cdot (\vec (s)) ,\qquad) (1)gdje je tenzor inercije. Matrica tenzora inercije je simetrična i ima dimenzije 3 × 3 (\displaystyle 3\puta 3) a sastoji se od komponenti centrifugalnih momenata:
Izborom odgovarajućeg koordinatnog sistema, matrica tenzora inercije se može svesti na dijagonalni oblik. Da biste to učinili, morate riješiti problem svojstvenih vrijednosti za tenzorsku matricu J ^ (\displaystyle (\šešir (J))):
Gdje Q ^ (\displaystyle (\šešir (Q)))- ortogonalna matrica prijelaza na vlastitu bazu tenzora inercije. U pravilnoj osnovi, koordinatne ose su usmjerene duž glavnih osa tenzora inercije, a također se poklapaju s glavnim poluosama elipsoida tenzora inercije. Količine J X , J Y , J Z (\displaystyle J_(X),J_(Y),J_(Z))- glavni momenti inercije. Izraz (1) u vlastitom koordinatnom sistemu ima oblik:
iz koje dobijamo jednačinu elipsoida u sopstvenim koordinatama. Deljenje obe strane jednačine sa I s (\displaystyle I_(s))
i izrada zamjene:
ξ = s x I s , η = s y I s , ζ = s z I s , (\displaystyle \xi =(s_(x) \preko (\sqrt (I_(s)))),\eta =(s_(y ) \preko (\sqrt (I_(s)))),\zeta =(s_(z) \preko (\sqrt (I_(s)))),)dobijamo kanonski oblik elipsoidne jednadžbe u koordinatama ξ η ζ (\displaystyle \xi \eta \zeta ):
ξ 2 ⋅ J X + η 2 ⋅ J Y + ζ 2 ⋅ J Z = 1. (\displaystyle \xi ^(2)\cdot J_(X)+\eta ^(2)\cdot J_(Y)+\zeta ^( 2)\cdot J_(Z)=1.)Udaljenost od centra elipsoida do određene tačke povezana je sa vrijednošću momenta inercije tijela duž prave linije koja prolazi kroz centar elipsoida i ovu tačku.
Neka bude čvrsto telo. Odaberimo neku pravu OO (sl. 6.1), koju ćemo nazvati osa (prava OO može biti izvan tijela). Podijelimo tijelo na elementarne dijelove (materijalne tačke) sa masama 
nalazi na udaljenosti od ose 
respektivno.
Moment inercije materijalne tačke u odnosu na osu (OO) je proizvod mase materijalne tačke sa kvadratom njene udaljenosti do ove ose:
. (6.1)
Moment inercije (MI) tijela u odnosu na osu (OO) je zbir proizvoda masa elementarnih presjeka tijela na kvadrat njihove udaljenosti do ose:
. (6.2)
Kao što vidite, moment inercije tijela je aditivna veličina - moment inercije cijelog tijela u odnosu na određenu osu jednak je zbroju momenata inercije njegovih pojedinačnih dijelova u odnosu na istu osu.
U ovom slučaju
.
Moment inercije se mjeri u kgm2. Jer
, (6.3)
gdje je
– gustina supstance, 
- volumen i- onda sekcija
,
ili, prelazeći na beskonačno male elemente,
. (6.4)
Formula (6.4) je pogodna za izračunavanje MI homogenih tijela pravilnog oblika u odnosu na osu simetrije koja prolazi kroz centar mase tijela. Na primjer, za MI cilindra u odnosu na osu koja prolazi kroz centar mase paralelno sa generatricom, ova formula daje
,
Gdje T- težina; R- radijus cilindra.
Steinerova teorema pruža veliku pomoć pri izračunavanju MI tijela u odnosu na određene ose: MI tijela I u odnosu na bilo koju osu jednak je zbiru MI ovog tijela I c u odnosu na osu koja prolazi kroz centar mase tijela i paralelna sa datom, i proizvod mase tijela na kvadrat udaljenosti d između naznačenih osa:
. (6.5)
Moment sile oko ose
Neka sila djeluje na tijelo F. Pretpostavimo radi jednostavnosti da je sila F leži u ravni okomitoj na neku pravu OO (slika 6.2, A), koju ćemo nazvati osom (na primjer, ovo je os rotacije tijela). Na sl. 6.2, A
A- tačka primene sile F,
- tačka preseka ose sa ravninom u kojoj leži sila; r- radijus vektor koji definiše poziciju tačke A u odnosu na tačku O";
O"B
= b
-
rame snage. Krak sile u odnosu na osu je najmanja udaljenost od ose do prave linije na kojoj leži vektor sile F(dužina okomice povučene iz tačke 
na ovu liniju).
Moment sile u odnosu na osu je vektorska veličina definisana jednakošću
. (6.6)
Modul ovog vektora je . Ponekad, stoga, kažu da je moment sile oko ose proizvod sile i njenog kraka.
Ako snaga F je usmjeren proizvoljno, onda se može razložiti na dvije komponente; 
I 
(Sl.6.2, b), tj. 
+
, Gdje 
- komponenta usmjerena paralelno sa OO osom, i 
leži u ravni okomitoj na osu. U ovom slučaju, pod momentom sile F u odnosu na OO osu razumjeti vektor
. (6.7)
U skladu sa izrazima (6.6) i (6.7), vektor M usmjerena duž ose (vidi sliku 6.2, A,b).
Moment kretanja tijela u odnosu na osu rotacije
P 
Neka tijelo rotira oko određene ose OO ugaonom brzinom 
. Hajde da mentalno razbijemo ovo tijelo na elementarne dijelove sa masama 
, koji se nalaze od ose, odnosno na udaljenostima 
i rotiraju u krugovima, imaju linearne brzine 
Poznato je da je vrijednost jednaka 
- postoji impuls i-plot. moment impulsa i-presjek (materijalna tačka) u odnosu na os rotacije naziva se vektor (tačnije, pseudovektor)
, (6.8)
Gdje r i– radijus vektor koji definira poziciju i- površina u odnosu na osu.
Ugaoni moment cijelog tijela u odnosu na os rotacije naziva se vektor
(6.9)
čiji modul 
.
U skladu sa izrazima (6.8) i (6.9), vektori
I 
usmjerena duž ose rotacije (slika 6.3). Lako je pokazati da je ugaoni impuls tijela L u odnosu na os rotacije i moment inercije I ovog tijela u odnosu na istu osu povezane su relacijom
. (6.10)
Moment inercije tijela (sistema) u odnosu na datu osu Oz (ili aksijalni moment inercije) je skalarna veličina koja se razlikuje od zbira proizvoda masa svih tačaka tijela (sistema) za kvadrati njihovih udaljenosti od ove ose:
Iz definicije proizilazi da je moment inercije tijela (ili sistema) u odnosu na bilo koju osu pozitivna veličina i nije jednak nuli.
U budućnosti će se pokazati da aksijalni moment inercije igra istu ulogu pri rotacionom kretanju tela kao i masa prilikom translacionog kretanja, odnosno da je aksijalni moment inercije mera inercije tela pri rotacionom kretanju. kretanje.
Prema formuli (2), moment inercije tijela jednak je zbiru momenata inercije svih njegovih dijelova u odnosu na istu osu. Za jednu materijalnu tačku koja se nalazi na udaljenosti h od ose, . Jedinica mjerenja momenta inercije u SI će biti 1 kg (u MKGSS sistemu -).
Da bi se izračunali aksijalni momenti inercije, udaljenosti tačaka od osi mogu se izraziti kroz koordinate ovih tačaka (na primjer, kvadrat udaljenosti od ose Ox će biti, itd.).
Tada će se momenti inercije oko osi odrediti formulama:
Često se tokom proračuna koristi koncept radijusa rotacije. Polumjer inercije tijela u odnosu na osu je linearna veličina određena jednakošću
gdje je M tjelesna masa. Iz definicije proizlazi da je polumjer inercije geometrijski jednak udaljenosti od ose tačke u kojoj se masa cijelog tijela mora koncentrirati tako da je moment inercije ove jedne tačke jednak momentu inercije celog tela.
Poznavajući radijus inercije, možete koristiti formulu (4) da pronađete moment inercije tijela i obrnuto.
Formule (2) i (3) vrijede i za kruto tijelo i za bilo koji sistem materijalnih tačaka. U slučaju čvrstog tijela, razbijajući ga na elementarne dijelove, nalazimo da će se u granici zbir u jednakosti (2) pretvoriti u integral. Kao rezultat, uzimajući u obzir da je gdje je gustina, a V volumen, dobijamo
Integral se ovdje proteže na cijeli volumen V tijela, a gustina i udaljenost h zavise od koordinata tačaka tijela. Slično, formule (3) za čvrsta tijela imaju oblik
Formule (5) i (5) pogodne su za korištenje pri izračunavanju momenata inercije homogenih tijela pravilnog oblika. U ovom slučaju, gustina će biti konstantna i padaće izvan predznaka integrala.
Nađimo momente inercije nekih homogenih tijela.
1. Tanak homogeni štap dužine l i mase M. Izračunajmo njegov moment inercije u odnosu na osu okomitu na štap i koja prolazi kroz njegov kraj A (Sl. 275). Usmjerimo koordinatnu osu duž AB Tada je za bilo koji elementarni segment dužine d vrijednost , a masa je , gdje je masa jedinične dužine štapa. Kao rezultat, formula (5) daje
Zamjenjujući ovdje svojom vrijednošću, konačno nalazimo
2. Tanak okrugli homogeni prsten poluprečnika R i mase M. Nađimo njegov moment inercije u odnosu na osu koja je okomita na ravan prstena i koja prolazi kroz njegov centar C (slika 276).
Kako se sve tačke prstena nalaze na udaljenosti od ose, daje formula (2).
Dakle, za prsten
Očigledno, isti rezultat će se dobiti i za moment inercije tanke cilindrične ljuske mase M i polumjera R u odnosu na njegovu os.
3. Okrugla homogena ploča ili cilindar poluprečnika R i mase M. Izračunajmo moment inercije okrugle ploče u odnosu na osu koja je okomita na ploču i koja prolazi kroz njeno središte (vidi sliku 276). Da bismo to učinili, odabiremo elementarni prsten polumjera i širine (Sl. 277, a). Površina ovog prstena je , a masa je gdje je masa po jedinici površine ploče. Tada će prema formuli (7) za odabrani elementarni prsten postojati i za cijelu ploču
Kao što je gore navedeno, jednostavne ravne figure uključuju tri figure: pravougaonik, trokut i krug. Ove figure se smatraju jednostavnim jer je položaj težišta ovih figura unaprijed poznat. Sve ostale figure mogu biti sastavljene od ovih jednostavnih figura i smatraju se složenim. Izračunajmo aksijalne momente inercije jednostavnih figura u odnosu na njihove središnje ose.
1. Pravougaonik. Razmotrimo poprečni presjek pravokutnog profila sa dimenzijama (slika 4.6). Odaberimo element preseka sa dva beskonačno bliska preseka na udaljenosti 
od centralne ose 
.
Izračunajmo moment inercije pravokutnog poprečnog presjeka u odnosu na osu:
.
(4.10)
Moment inercije pravokutnog presjeka oko ose 
naći ćemo slično. Zaključak ovdje nije dat.
.
(4.11)
I 
je jednak nuli, budući da su ose 
I 
su ose simetrije, a samim tim i glavne ose.
2. Jednakokraki trougao. Razmotrimo dio trokutastog profila s dimenzijama 
(Sl.4.7). Odaberimo element preseka sa dva beskonačno bliska preseka na udaljenosti 
od centralne ose 
. Težište trougla je na udaljenosti 
iz baze. Pretpostavlja se da je trokut jednakokraki, dakle os 
presjek je osa simetrije.
Izračunajmo moment inercije presjeka u odnosu na osu 
:
.
(4.12)
Veličina 
određujemo iz sličnosti trokuta:
; gdje 
.
Zamjena izraza za 
u (4.12) i integrišući, dobijamo:
.
(4.13)
Moment inercije za jednakokraki trokut oko ose 
nalazi se na sličan način i jednako je:
(4.14)
Centrifugalni moment inercije oko osi 
I 
jednaka je nuli, budući da je os 
je osa simetrije presjeka.
3. Krug. Razmotrite poprečni presjek kružnog profila s promjerom 
(Sl.4.8). Istaknimo element presjeka s dva beskonačno bliska koncentrična kruga smještena na udaljenosti 
od težišta kružnice 
.
Izračunajmo polarni moment inercije kružnice koristeći izraz (4.5):
.
(4.15)
Koristeći uvjet invarijantnosti za zbir aksijalnih momenata inercije oko dvije međusobno okomite ose (4.6) i uzimajući u obzir da je za kružnicu, zbog simetrije 
, određujemo vrijednost aksijalnih momenata inercije:
.
(4.16)
.
(4.17)
Centrifugalni moment inercije oko osi 
I 
je jednak nuli, budući da su ose 
I 
su osi simetrije presjeka.
4.4. Zavisnosti između momenata inercije u odnosu na paralelne ose
Prilikom izračunavanja momenata inercije za složene figure, treba imati na umu jedno pravilo: vrijednosti za momente inercije mogu se dodati, ako se računaju u odnosu na istu osu. Za složene figure najčešće se težišta pojedinačnih jednostavnih figura i cijele figure ne poklapaju. Shodno tome, središnje ose za pojedinačne jednostavne figure i cijela figura se ne poklapaju. U tom smislu, postoje tehnike za dovođenje momenata inercije na jednu os, na primjer, središnju os cijele figure. To može biti zbog paralelnog prevođenja osi inercije i dodatnih proračuna.
Razmotrimo određivanje momenata inercije u odnosu na paralelne osi inercije prikazane na slici 4.9.
Neka su aksijalni i centrifugalni momenti inercije prikazani na slici 4.9. figure u odnosu na proizvoljno odabrane ose 
I 
sa ishodištem u tački 
poznato. Potrebno je izračunati aksijalne i centrifugalne momente inercije figure u odnosu na proizvoljne paralelne osi 
I 
sa ishodištem u tački 
. Osovine 
I 
izvode na daljinama 
I 
odnosno sa osi 
I 
.
Koristimo izraze za aksijalne momente inercije (4.4) i za centrifugalni moment inercije (4.7). Zamijenimo u ove izraze umjesto trenutnih koordinata 
I 
element sa beskonačno malom koordinatnom površinom 
I 
u novom koordinatnom sistemu. Dobijamo:
Analizirajući dobijene izraze, dolazimo do zaključka da prilikom izračunavanja momenata inercije u odnosu na paralelne ose, momentima inercije izračunatim u odnosu na prvobitne osi inercije, koji mogu biti mnogo veći, treba dodati aditive u vidu dodatnih članova. od vrijednosti za momente inercije u odnosu na originalne ose. Stoga se ovi dodatni uslovi ni u kom slučaju ne smiju zanemariti.
Razmatrani slučaj je najopštiji slučaj paralelnog prijenosa osa, kada su kao početne uzete proizvoljne osi inercije. U većini proračuna postoje posebni slučajevi određivanja momenata inercije.
Prvi poseban slučaj. Početne ose su centralne ose inercije figure. Zatim, koristeći glavno svojstvo za statički moment površine, možemo isključiti iz jednačina (4.18)–(4.20) članove jednadžbi koje uključuju statički moment površine figure. Kao rezultat dobijamo:
.
(4.21)
.
(4.22)
.
(4.23)
Evo sjekire 
I 
-centralne osi inercije.
Drugi poseban slučaj. Referentne ose su glavne osi inercije. Zatim, uzimajući u obzir da je u odnosu na glavne osi inercije centrifugalni moment inercije jednak nuli, dobijamo:
.
(4.24)
.
(4.25)
.
(4.26)
Evo sjekire 
I 
glavne osi inercije.
Iskoristimo dobivene izraze i razmotrimo nekoliko primjera izračunavanja momenata inercije za ravne figure.
Primjer 4.2. Odredite aksijalne momente inercije figure prikazane na sl. 4.10, u odnosu na centralne ose 
I 
.
U prethodnom primjeru 4.1, za sliku prikazanu na slici 4.10, određen je položaj težišta C Koordinata centra gravitacije je iscrtana iz ose 
i kompajlirano 
. Izračunajmo udaljenosti 
I 
između osovina 
I 
i sjekire 
I 
. Ove udaljenosti su bile respektivno 
I 
. Od originalnih sjekira 
I 
su središnje osi za jednostavne figure u obliku pravokutnika, za određivanje momenta inercije figure u odnosu na osu 
Koristimo zaključke za prvi poseban slučaj, posebno formulu (4.21).
Moment inercije oko ose 
dobijamo zbrajanjem momenata inercije jednostavnih figura u odnosu na istu osu, budući da je os 
je zajednička središnja os za jednostavne figure i za cijelu figuru.
cm 4.
Centrifugalni moment inercije oko osi 
I 
jednaka je nuli, budući da je os inercije 
je glavna osa (osa simetrije figure).
Primjer 4.3. Koja je veličina? b(u cm)
figura prikazana na sl. 4.11, ako je moment inercije figure u odnosu na osu 
jednako 1000 cm 4?
Izrazimo moment inercije oko ose 
kroz nepoznatu veličinu sekcije 
, koristeći formulu (4.21), uzimajući u obzir da je rastojanje između osa 
I 
jednako 7 cm:
cm 4. (A)
Rješavanje izraza (a) u odnosu na veličinu presjeka 
, dobijamo:
cm.
Primjer 4.4. Koja od slika prikazanih na slici 4.12 ima veći moment inercije u odnosu na osu 
ako obje figure imaju istu površinu 
cm 2?
1. Izrazimo površine figura kroz njihove veličine i odredimo:
a) prečnik presjeka za okrugli presjek:
cm 2; Gdje 
cm.
b) kvadratna veličina stranice:
; Gdje 
cm.
2. Izračunajte moment inercije za kružni presjek:
cm 4.
3. Izračunajte moment inercije za kvadratni presjek:
cm 4.
Upoređujući dobijene rezultate, dolazimo do zaključka da će kvadratni presjek imati najveći moment inercije u odnosu na kružni presjek iste površine.
Primjer 4.5. Odrediti polarni moment inercije (u cm 4) pravokutnog presjeka u odnosu na njegovo težište, ako je širina presjeka 
cm, visina presjeka 
cm.
1. Odrediti momente inercije presjeka u odnosu na horizontalu 
i vertikalno 
centralne osi inercije:
cm 4; 
cm 4.
2. Određujemo polarni moment inercije presjeka kao zbir aksijalnih momenata inercije:
cm 4.
Primjer 4.6. Odredite moment inercije trouglaste figure prikazane na slici 4.13, u odnosu na centralnu osu 
, ako je moment inercije figure u odnosu na osu 
jednako 2400 cm 4.
Moment inercije trouglastog presjeka u odnosu na glavnu os inercije 
će biti manji u odnosu na moment inercije oko ose 
po iznosu 
. Stoga, kada 
cm moment inercije presjeka u odnosu na osu 
nalazimo ga na sledeći način.
DEFINICIJA
Mjera inercije rotirajućeg tijela je moment inercije(J) u odnosu na osu oko koje dolazi do rotacije.
Ovo je skalarna (općenito, tenzorska) fizička veličina, koja je jednaka proizvodu masa materijalnih tačaka () na koje tijelo o kojem je riječ treba podijeliti na kvadrate udaljenosti () od njih do ose rotacije:
gdje je r funkcija položaja materijalne točke u prostoru; - gustina tijela; - zapremina elementa tela.
Za homogeno tijelo izraz (2) se može predstaviti kao:
Moment inercije u međunarodnom sistemu jedinica mjeri se u:
Veličina J je uključena u osnovne zakone kojima se opisuje rotacija krutog tijela.
U opštem slučaju, veličina momenta inercije zavisi od smera ose rotacije, a kako tokom kretanja vektor obično menja smer u odnosu na telo, moment inercije treba posmatrati kao funkciju vremena. Izuzetak je moment inercije tijela koje rotira oko fiksne ose. U ovom slučaju, moment inercije ostaje konstantan.
Steinerova teorema
Steinerova teorema omogućava da se izračuna moment inercije tijela u odnosu na proizvoljnu os rotacije kada je poznat moment inercije tijela o kojem je riječ u odnosu na osu koja prolazi kroz centar mase ovog tijela i te ose su paralelno. U matematičkom obliku, Steinerova teorema je predstavljena kao:
gdje je moment inercije tijela u odnosu na os rotacije koja prolazi kroz centar mase tijela; m je masa dotičnog tijela; a je rastojanje između osa. Obavezno zapamtite da osi moraju biti paralelne. Iz izraza (4) slijedi:
Neki izrazi za izračunavanje momenata inercije tijela
Kada se rotira oko ose, materijalna tačka ima moment inercije jednak:
gdje je m masa tačke; r je rastojanje od tačke do ose rotacije.
Za homogeni tanki štap mase m i dužine l J u odnosu na osu koja prolazi kroz njegovo središte mase (os je okomita na štap) jednaka je:
Tanak prsten čija se masa rotira oko ose koja prolazi kroz njegovo središte, okomito na ravninu prstena, tada se moment inercije izračunava kao:
gdje je R radijus prstena.
Okrugli homogeni disk polumjera R i mase m ima J u odnosu na osu koja prolazi kroz njegovo središte i okomita na ravan diska, jednako:
Za homogenu loptu
gdje je m masa lopte; R je poluprečnik lopte. Lopta se rotira oko ose koja prolazi kroz njen centar.
Ako su osi rotacije ose pravougaonog Dekartovog koordinatnog sistema, tada se za neprekidno telo momenti inercije mogu izračunati kao:
gdje su koordinate infinitezimalnog elementa tijela.
Primjeri rješavanja problema
PRIMJER 1
| Vježbajte | Dvije lopte, koje se mogu smatrati točkastim kuglicama, drže zajedno tanki bestežinski štap. Dužina šipke l. Koliki je moment inercije ovog sistema u odnosu na osu koja prolazi okomito na štap kroz centar mase. Mase tačaka su iste i jednake su m. |
| Rješenje | Nađimo moment inercije jedne lopte () u odnosu na osu koja se nalazi na udaljenosti od nje:
Moment inercije druge lopte bit će jednak: Ukupan moment inercije sistema jednak je zbiru:
|
| Odgovori |
PRIMJER 2
| Vježbajte | Koliki je moment inercije fizičkog klatna u odnosu na osu koja prolazi kroz tačku O (slika 1)? Osa je okomita na ravan crteža. Uzmite u obzir da se fizičko klatno sastoji od tankog štapa dužine l mase m i diska mase . Disk je pričvršćen za donji kraj šipke i ima radijus jednak |
| Rješenje | Moment inercije našeg klatna (J) bit će jednak zbroju momenta inercije štapa () koji rotira oko ose koja prolazi kroz tačku O i diska () koji se rotira oko iste ose: |
