Извеждане на основния закон на динамиката на въртеливото движение. Проверка на основния закон на динамиката на въртеливото движение на твърдо тяло Основен закон на въртеливото движение на твърдо тяло

Момент на сила спрямо фиксирана точкаО е векторна физическа величина, дефинирана от векторния продукт на радиус вектора изтеглена от точкатаО точноА прилагане на сила, сила (фиг.1.4.1):

(1.4.1)

Тук – псевдовектор, посоката му съвпада с посоката на движение на дясното витло, когато се върти от Да се .

Модул на момент на сила

Където
– ъгъл между И ,
– най-късото разстояние между линията на действие на силата и точката ОТНОСНО–сила на раменете.

Силов момент около неподвижна ос z
, равна на проекцията върху тази ос на вектора момент на сила, определен спрямо произволна точкаО дадена осz (фиг. 1.4.1).

Работата, извършена при въртене на тялото, е равна на произведението на момента на действащата сила и ъгъла на въртене:

.

От друга страна, тази работа върви към увеличаване на неговата кинетична енергия:

, Но

, Ето защо

, или
.

Като се има предвид това
, получаваме

. (1.4.2)

Има основното уравнение за динамиката на въртеливото движение на твърдо тяло спрямо неподвижна ос: моментът на външните сили, действащи върху тялото, е равен на произведението на инерционния момент на тялото и ъгловото ускорение.

Може да се покаже, че ако оста на въртене съвпада с главната инерционна ос, минаваща през центъра на масата, тогава е валидно векторното равенство:

,

Където аз– главен инерционен момент на тялото (инерционен момент спрямо главната ос).

1.5 Ъгловият момент и законът за неговото запазване

момент на импулс материална точкаА спрямо фиксирана точка ОТНОСНО е векторна физическа величина, дефинирана от векторния продукт:

(1.5.1)

Където – радиус вектор, изтеглен от точката ОТНОСНОточно А;
– импулс на материална точка (фиг. 1.5.1).
– псевдовектор, посоката му съвпада с посоката на постъпателното движение на дясното витло, когато се върти от Да се .

,

Където
– ъгъл между векторите И ,– векторно рамо спрямо точката ОТНОСНО.

Импулс на импулса спрямо фиксирана ос z наречена скаларна величина
, равна на проекцията върху тази ос на вектора на ъгловия момент, определен спрямо произволна точкаОТНОСНО тази ос.Стойност на импулса
не зависи от позицията на точката ОТНОСНОпо оста z.

Когато абсолютно твърдо тяло се върти около фиксирана ос z всяка отделна точка от тялото се движи в окръжност с постоянен радиус с някаква скорост . Скорост и инерция
перпендикулярно на този радиус, т.е. радиус е рамото на вектора
. Следователно можем да напишем, че ъгловият импулс на отделна частица

и е насочен по оста в посоката, определена от правилото на десния винт.

Импулс на твърдо тялоспрямо оста е сумата от ъгловия момент на отделните частици:

.

Използване на формула
, получаваме

, т.е.
. (1.5.2)

По този начин ъгловият момент на твърдо тяло спрямо ос е равен на произведението на инерционния момент на тялото спрямо същата ос и ъгловата скорост.

Нека диференцираме уравнение (1.5.2) по отношение на времето:

, т.е.
. (1.5.3)

Този израз е друга форма основното уравнение (закон) на динамиката на въртеливото движение на твърдо тяло спрямо неподвижна ос: производната по време на момента на импулса на механична система (твърдо тяло) спрямо оста е равна на главния момент на всички външни сили, действащи върху тази система спрямо същата ос.

Може да се покаже, че има векторно равенство
.

В затворена система моментът на външните сили
И
, където

. (1.5.4)

Изразът (1.5.4) е закон за запазване на ъгловия момент : Ъгловият момент на системата със затворен контур се запазва.

Нека сравним основните величини и уравнения, които определят въртенето на тяло около фиксирана ос и неговото транслационно движение (Таблица 1.5.1).

Таблица 1.5.1

Основни понятия.

Момент на силаспрямо оста на въртене - това е векторното произведение на радиус вектора и силата.

Силовият момент е вектор , чиято посока се определя от правилото на гимлета (десен винт) в зависимост от посоката на силата, действаща върху тялото. Силовият момент е насочен по оста на въртене и няма определена точка на приложение.

Числената стойност на този вектор се определя по формулата:

M=r×F× сина(1.15),

къде - ъгълът между радиус вектора и посоката на силата.

Ако a=0или стр, момент на сила М=0, т.е. сила, преминаваща през оста на въртене или съвпадаща с нея, не предизвиква въртене.

Най-големият модул на въртящ момент се създава, ако силата действа под ъгъл a=p/2 (M > 0)или a=3p/2 (М< 0).

Използване на концепцията за ливъридж д- това е перпендикуляр, спуснат от центъра на въртене към линията на действие на силата), формулата за момента на силата приема формата:

Където (1.16)

Правило за моментите на силите(условие на равновесие на тяло с фиксирана ос на въртене):

За да бъде тяло с фиксирана ос на въртене в равновесие, е необходимо алгебричната сума на моментите на силите, действащи върху това тяло, да бъде равна на нула.

S M i =0(1.17)

Единицата SI за момент на сила е [N×m]

При въртеливо движение инерцията на тялото зависи не само от неговата маса, но и от разпределението му в пространството спрямо оста на въртене.

Инерцията по време на въртене се характеризира с инерционния момент на тялото спрямо оста на въртене Дж.

Момент на инерцияматериална точка спрямо оста на въртене е стойност, равна на произведението на масата на точката на квадрата на нейното разстояние от оста на въртене:

J i = m i × r i 2(1.18)

Инерционният момент на тялото спрямо ос е сумата от инерционните моменти на материалните точки, които изграждат тялото:

J=S m i × r i 2(1.19)

Инерционният момент на тялото зависи от неговата маса и форма, както и от избора на оста на въртене. За да се определи инерционният момент на тялото спрямо определена ос, се използва теоремата на Щайнер-Хюйгенс:

J=J 0 +m × d 2(1.20),

Където J 0– инерционен момент спрямо успоредна ос, минаваща през центъра на масата на тялото, д– разстояние между две успоредни оси . Инерционният момент в SI се измерва в [kg × m 2 ]

Инерционният момент по време на въртеливото движение на човешкото тяло се определя експериментално и се изчислява приблизително по формулите за цилиндър, кръгъл прът или топка.

Инерционният момент на човек спрямо вертикалната ос на въртене, която минава през центъра на масата (центърът на масата на човешкото тяло е разположен в сагиталната равнина малко пред втория сакрален прешлен), в зависимост от позицията на човека има следните стойности: когато стои на внимание - 1,2 kg × m 2; с поза "арабеск" - 8 kg × m 2; в хоризонтално положение – 17 кг × м 2.

Работете във въртеливо движениевъзниква, когато тялото се върти под въздействието на външни сили.

Елементарната работа на силата при въртеливо движение е равна на произведението на момента на силата и елементарния ъгъл на завъртане на тялото:

dA i =M i × dj(1.21)

Ако върху едно тяло действат няколко сили, тогава елементарната работа на резултата от всички приложени сили се определя по формулата:

dA=M× dj(1.22),

Където М– сумарният момент на всички външни сили, действащи върху тялото.

Кинетична енергия на въртящо се тялоW къмзависи от инерционния момент на тялото и ъгловата скорост на неговото въртене:

Ъгъл на импулса (ъглов момент) –количество, числено равно на произведението на импулса на тялото и радиуса на въртене.

L=p×r=m×V×r(1.24).

След подходящи трансформации можете да напишете формулата за определяне на ъглов импулс във формата:

(1.25).

Ъгловият импулс е вектор, чиято посока се определя от правилото на десния винт. Единицата SI за ъглов момент е [kg×m 2 /s]

Основни закони на динамиката на въртеливото движение.

Основното уравнение за динамиката на въртеливото движение:

Ъгловото ускорение на тялото, което се върти, е право пропорционално на общия момент на всички външни сили и обратно пропорционално на инерционния момент на тялото.

(1.26).

Това уравнение играе същата роля при описването на ротационното движение, както вторият закон на Нютон за транслационното движение. От уравнението става ясно, че под действието на външни сили, колкото по-голямо е ъгловото ускорение, толкова по-малък е инерционният момент на тялото.

Вторият закон на Нютон за динамиката на въртеливото движение може да бъде записан в друга форма:

(1.27),

тези. първата производна на ъгловия момент на тялото по отношение на времето е равна на общия момент на всички външни сили, действащи върху дадено тяло.

Закон за запазване на ъгловия момент на тялото:

Ако общият момент на всички външни сили, действащи върху тялото, е равен на нула, т.е.

S M i =0, Тогава dL/dt=0 (1.28).

Това предполага или (1.29).

Това твърдение съставлява същността на закона за запазване на ъгловия момент на тялото, който се формулира по следния начин:

Ъгловият момент на тялото остава постоянен, ако общият момент на външните сили, действащи върху въртящо се тяло, е нула.

Този закон е валиден не само за абсолютно твърдо тяло. Пример е фигурист, който извършва въртене около вертикална ос. Чрез натискане на ръцете си скейтърът намалява инерционния момент и увеличава ъгловата скорост. За да забави въртенето, той, напротив, разперва широко ръцете си; В резултат на това инерционният момент се увеличава и ъгловата скорост на въртене намалява.

В заключение представяме сравнителна таблица на основните количества и закони, характеризиращи динамиката на транслационните и ротационните движения.

Таблица 1.4.

Движение напред	Ротационно движение
Физическо количество	Формула	Физическо количество	Формула
Тегло	м	Момент на инерция	J=m×r 2
Сила	Е	Момент на сила	M=F×r, ако
Импулс на тялото (количество движение)	p=m×V	Инерция на тяло	L=m×V×r; L=J×w
Кинетична енергия		Кинетична енергия
Механична работа	dA=FdS	Механична работа	dA=Mdj
Основно уравнение на динамиката на постъпателното движение		Основно уравнение за динамиката на въртеливото движение	,
Закон за запазване на импулса на тялото	или Ако	Закон за запазване на ъгловия момент на тялото	или SJ i w i = const,Ако

Центрофугиране.

Разделянето на нехомогенни системи, състоящи се от частици с различна плътност, може да се извърши под въздействието на гравитацията и силата на Архимед (плаваща сила). Ако има водна суспензия от частици с различна плътност, тогава върху тях действа обща сила

F r =F t – F A =r 1 ×V×g - r×V×g, т.е.

F r =(r 1 - r)× V ×g(1.30)

където V е обемът на частицата, r 1И r– съответно плътността на веществото на частицата и водата. Ако плътностите се различават леко една от друга, тогава получената сила е малка и отделянето (отлагането) става доста бавно. Следователно се използва принудително разделяне на частиците поради въртене на отделената среда.

Центрофугиранее процесът на разделяне (отделяне) на хетерогенни системи, смеси или суспензии, състоящи се от частици с различни маси, протичащи под въздействието на центробежната сила на инерцията.

Основата на центрофугата е ротор с гнезда за епруветки, разположен в затворен корпус, който се задвижва от електродвигател. Когато роторът на центрофугата се върти с достатъчно висока скорост, суспендираните частици с различна маса под въздействието на центробежната сила на инерцията се разпределят на слоеве на различна дълбочина, а най-тежките се отлагат на дъното на епруветката.

Може да се покаже, че силата, под въздействието на която възниква разделянето, се определя по формулата:

(1.31)

Където w- ъглова скорост на въртене на центрофугата, r– разстояние от оста на въртене. Колкото по-голяма е разликата в плътностите на отделените частици и течност, толкова по-голям е ефектът от центрофугирането, а също така значително зависи от ъгловата скорост на въртене.

Ултрацентрофугите, работещи при скорост на ротора от около 10 5 –10 6 оборота в минута, са способни да отделят частици с размер под 100 nm, суспендирани или разтворени в течност. Те са намерили широко приложение в биомедицинските изследвания.

Ултрацентрофугирането може да се използва за разделяне на клетките на органели и макромолекули. Първо, по-големи части (ядра, цитоскелет) се утаяват (седимент). С по-нататъшно увеличаване на скоростта на центрофугиране последователно се утаяват по-малки частици - първо митохондрии, лизозоми, след това микрозоми и накрая рибозоми и големи макромолекули. По време на центрофугиране различните фракции се утаяват с различни скорости, образувайки отделни ивици в епруветката, които могат да бъдат изолирани и изследвани. Фракционираните клетъчни екстракти (безклетъчни системи) се използват широко за изследване на вътреклетъчните процеси, например за изследване на биосинтеза на протеини и дешифриране на генетичния код.

За стерилизиране на наконечници в стоматологията се използва маслен стерилизатор с центрофуга за отстраняване на излишното масло.

Центрофугирането може да се използва за утаяване на частици, суспендирани в урината; отделяне на формирани елементи от кръвна плазма; разделяне на биополимери, вируси и субклетъчни структури; контрол върху чистотата на лекарството.

Задачи за самоконтрол на знанията.

Упражнение 1 . Въпроси за самоконтрол.

Каква е разликата между равномерното кръгово движение и равномерното линейно движение? При какво условие тялото ще се движи равномерно по окръжност?

Обяснете причината, поради която равномерното движение в кръг се извършва с ускорение.

Може ли да се извърши криволинейно движение без ускорение?

При какво условие моментът на сила е равен на нула? взема най-голяма стойност?

Посочете границите на приложимост на закона за запазване на импулса и ъгловия момент.

Посочете характеристиките на отделянето под въздействието на гравитацията.

Защо разделянето на протеини с различно молекулно тегло може да се извърши чрез центрофугиране, но методът на фракционна дестилация е неприемлив?

Задача 2 . Тестове за самоконтрол.

Попълнете липсващата дума:

Промяната в знака на ъгловата скорост показва промяна в_ _ _ _ _ въртеливото движение.

Промяната в знака на ъгловото ускорение показва промяна в_ _ въртеливото движение

Ъгловата скорост е равна на _ _ _ _ _производната на ъгъла на въртене на радиус вектора спрямо времето.

Ъгловото ускорение е равно на _ _ _ _ _ _производната на ъгъла на въртене на радиус вектора спрямо времето.

Моментът на силата е равен на_ _ _ _ _, ако посоката на силата, действаща върху тялото, съвпада с оста на въртене.

Намерете верния отговор:

Силовият момент зависи само от точката на приложение на силата.

Инерционният момент на тялото зависи само от масата на тялото.

Равномерното кръгово движение се извършва без ускорение.

А. Правилно. Б. Неправилно.

Всички горепосочени величини са скаларни, с изключение на

А. момент на сила;

Б. механична работа;

В. потенциална енергия;

Г. инерционен момент.

Векторните величини са

А. ъглова скорост;

Б. ъглово ускорение;

В. момент на сила;

D. ъглов момент.

Отговори: 1 – посоки; 2 – характер; 3 – първи; 4 – втори; 5 – нула; 6 – Б; 7 – Б; 8 – Б; 9 – А; 10 – A, B, C, D.

Задача 3. Получете връзката между мерните единици :

линейна скорост cm/min и m/s;

ъглово ускорение rad/min 2 и rad/s 2 ;

момент на сила kN×cm и N×m;

телесен импулс g×cm/s и kg×m/s;

инерционен момент g × cm 2 и kg × m 2.

Задача 4. Задачи с медико-биологично съдържание.

Задача No1.Защо по време на фазата на полет на скок спортистът не може да използва никакви движения, за да промени траекторията на центъра на тежестта на тялото? Мускулите на спортиста извършват ли работа, когато позицията на частите на тялото в пространството се промени?

Отговор:Движейки се в свободен полет по парабола, спортистът може само да промени местоположението на тялото и отделните му части спрямо неговия център на тежестта, който в този случай е центърът на въртене. Спортистът извършва работа, за да промени кинетичната енергия на въртене на тялото.

Задача No2.Каква средна мощност развива човек при ходене, ако продължителността на стъпката е 0,5 s? Помислете, че работата се изразходва за ускоряване и забавяне на долните крайници. Ъгловото движение на краката е около Dj=30o. Инерционният момент на долния крайник е 1,7 kg × м 2. Движението на краката трябва да се разглежда като равномерно редуващо се ротационно.

Решение:

1) Нека напишем кратко условие на проблема: Dt= 0,5 s; DJ=30 0 =п/ 6; аз=1,7 кг × м 2

2) Определете работата в една стъпка (десен и ляв крак): А= 2×Iw 2 / 2= Iw 2 .

Използване на формулата за средна ъглова скорост w av =Dj/Dt,получаваме: w= 2w ср = 2×Dj/Dt; N=A/Dt= 4×I×(Dj) 2 /(Dt) 3

3) Заменете числовите стойности: н=4× 1,7× (3,14) 2 /(0,5 3 × 36)=14,9(W)

Отговор: 14,9 W.

Задача No3.Каква е ролята на движението на ръцете при ходене?

Отговор: Движението на краката, движещи се в две успоредни равнини, разположени на известно разстояние една от друга, създава момент на сила, който се стреми да завърти човешкото тяло около вертикална ос. Човек замахва с ръце „към“ движението на краката си, като по този начин създава момент на сила с противоположен знак.

Задача No4.Една от областите за подобряване на бормашините, използвани в стоматологията, е увеличаването на скоростта на въртене на борера. Скоростта на въртене на бормашината при крачните бормашини е 1500 об / мин, при стационарните електрически бормашини - 4000 об / мин, при турбинните бормашини - вече достига 300 000 об / мин. Защо се разработват нови модификации на свредла с голям брой обороти за единица време?

Отговор: Дентинът е няколко хиляди пъти по-податлив на болка от кожата: има 1-2 точки на болка на 1 mm кожа и до 30 000 точки на болка на 1 mm дентин на резеца. Увеличаването на броя на оборотите, според физиолозите, намалява болката при лечение на кариозна кухина.

З задача 5 . Попълнете таблиците:

Таблица №1. Направете аналогия между линейните и ъгловите характеристики на въртеливото движение и посочете връзката между тях.

Таблица № 2.

Задача 6. Попълнете индикативната карта за действие:

Глава 2. Основи на биомеханиката.

Въпроси.

Лостове и стави в опорно-двигателния апарат на човека. Концепцията за степените на свобода.

Видове мускулни контракции. Основни физични величини, описващи мускулни контракции.

Принципи на двигателната регулация при човека.

Методи и инструменти за измерване на биомеханични характеристики.

2.1. Лостове и стави в опорно-двигателния апарат на човека.

Анатомията и физиологията на опорно-двигателния апарат на човека имат следните особености, които трябва да се вземат предвид при биомеханичните изчисления: движенията на тялото се определят не само от мускулните сили, но и от външни сили на реакция, гравитация, инерционни сили, както и еластични сили и триене; структурата на опорно-двигателния апарат позволява изключително ротационни движения. Използвайки анализа на кинематичните вериги, транслационните движения могат да бъдат намалени до ротационни движения в ставите; движенията се контролират от много сложен кибернетичен механизъм, така че има постоянна промяна в ускорението.

Човешката мускулно-скелетна система се състои от скелетни кости, съчленени една с друга, към които мускулите са прикрепени в определени точки. Костите на скелета действат като лостове, които имат опорна точка в ставите и се задвижват от теглителната сила, генерирана от мускулната контракция. Разграничете три вида лост:

1) Лост, към който действа силата Еи съпротивителна сила Рприложени от противоположните страни на опорната точка. Пример за такъв лост е черепът, гледан в сагиталната равнина.

2) Лост, който има активна сила Еи съпротивителна сила Рприложена от едната страна на опорната точка, и силата Еприложена към края на лоста и силата Р- по-близо до опорната точка. Този лост дава печалба в сила и загуба в дистанция, т.е. е лост на властта. Пример е действието на свода на стъпалото при повдигане върху полупръстите, лостовете на лицево-челюстната област (фиг. 2.1). Движенията на дъвкателния апарат са много сложни. При затваряне на устата повдигането на долната челюст от положение на максимално спускане до положение на пълно затваряне на зъбите със зъбите на горната челюст се извършва от движението на мускулите, които повдигат долната челюст. Тези мускули действат върху долната челюст като лост от втори вид с опорна точка в ставата (увеличава дъвкателната сила).

3) Лост, при който действащата сила е приложена по-близо до опорната точка, отколкото съпротивителната сила. Този лост е лост за скорост, защото дава загуба на сила, но печалба в движение. Пример са костите на предмишницата.

Ориз. 2.1. Лостове на лицево-челюстната област и свода на стъпалото.

Повечето от костите на скелета са под действието на няколко мускула, развиващи сили в различни посоки. Техният резултат се намира чрез геометрично събиране по правилото на успоредника.

Костите на опорно-двигателния апарат са свързани помежду си в стави или стави. Краищата на костите, които образуват ставата, се държат заедно от ставната капсула, която плътно ги обхваща, както и връзки, прикрепени към костите. За да се намали триенето, контактните повърхности на костите са покрити с гладък хрущял и между тях има тънък слой лепкава течност.

Първият етап от биомеханичния анализ на двигателните процеси е определянето на тяхната кинематика. Въз основа на такъв анализ се изграждат абстрактни кинематични вериги, чиято мобилност или стабилност може да се провери въз основа на геометрични съображения. Има затворени и отворени кинематични вериги, образувани от стави и твърди връзки, разположени между тях.

Състоянието на свободна материална точка в триизмерното пространство се дава от три независими координати - x, y, z. Наричат ​​се независими променливи, които характеризират състоянието на механична система степени на свобода. За по-сложни системи броят на степените на свобода може да бъде по-висок. Като цяло броят на степените на свобода определя не само броя на независимите променливи (които характеризират състоянието на механичната система), но и броя на независимите движения на системата.

Брой степенисвободата е основната механична характеристика на ставата, т.е. определя брой оси, около които е възможно взаимно въртене на съчленените кости. Причинява се главно от геометричната форма на повърхността на костите в контакт в ставата.

Максималният брой степени на свобода в ставите е 3.

Примери за едноосни (плоски) стави в човешкото тяло са раменната, супракаленалната и фалангеалната стави. Те позволяват само флексия и екстензия с една степен на свобода. Така лакътната кост с помощта на полукръгъл изрез покрива цилиндрична издатина на раменната кост, която служи като оста на ставата. Движенията в ставата са флексия и екстензия в равнина, перпендикулярна на оста на ставата.

Ставата на китката, в която се извършва флексия и екстензия, както и аддукция и абдукция, може да се класифицира като стави с две степени на свобода.

Ставите с три степени на свобода (пространствена артикулация) включват тазобедрената и скапулохумералната става. Например, в скапулохумералната става, топковидната глава на раменната кост се вписва в сферичната кухина на издатината на лопатката. Движенията в ставата са флексия и екстензия (в сагиталната равнина), аддукция и абдукция (във фронталната равнина) и ротация на крайника около надлъжната ос.

Затворените плоски кинематични вериги имат редица степени на свобода f F, което се изчислява от броя на връзките нпо следния начин:

Ситуацията с кинематичните вериги в космоса е по-сложна. Тук връзката се запазва

(2.2)

Където е аз -брой ограничения на степените на свобода аз-та връзка.

Във всяко тяло можете да изберете оси, чиято посока по време на въртене ще се поддържа без никакви специални устройства. Имат си име свободни оси на въртене

В тази глава твърдото тяло се разглежда като набор от материални точки, които не се движат една спрямо друга. Такова тяло, което не може да се деформира, се нарича абсолютно твърдо.

Нека твърдо тяло с произволна форма се върти под действието на сила около фиксирана ос 00 (фиг. 30). Тогава всички негови точки описват окръжности с центрове на тази ос. Ясно е, че всички точки на тялото имат еднаква ъглова скорост и еднакво ъглово ускорение (в даден момент).

Нека разложим действащата сила на три взаимно перпендикулярни компоненти: (успоредна на оста), (перпендикулярна на оста и лежаща на права, минаваща през оста) и (перпендикулярна. Очевидно въртенето на тялото се причинява само от компонента, която е допирателна към окръжността, описана от точката на приложение на силата. Компонентите на въртене не са причина. Нека го наречем въртяща се сила. Както е известно от училищния курс по физика, действието на силата зависи не само от нейната големина, но и от разстоянието на точката на нейното приложение А до оста на въртене, т.е зависи от момента на силата Моментът на въртящата сила (въртящ момент) Произведението на въртящата сила и радиуса на окръжността, описана от точката на приложение на силата, се нарича:

Нека мислено разделим цялото тяло на много малки частици - елементарни маси. Въпреки че силата е приложена към една точка А на тялото, нейният въртящ се ефект се предава на всички частици: елементарна въртяща се сила ще бъде приложена към всяка елементарна маса (виж Фиг. 30). Според втория закон на Нютон,

където е линейното ускорение, придадено на елементарната маса. Умножавайки двете страни на това равенство по радиуса на окръжността, описана от елементарната маса, и въвеждайки ъглово ускорение вместо линейно (виж § 7), получаваме

Като се има предвид, че въртящият момент, приложен към елементарната маса, и обозначаващ

където е инерционният момент на елементарната маса (материална точка). Следователно инерционният момент на материална точка спрямо определена ос на въртене е произведението на масата на материалната точка с квадрата на нейното разстояние до тази ос.

Обобщавайки въртящите моменти, приложени към всички елементарни маси, които изграждат тялото, получаваме

където е въртящият момент, приложен към тялото, т.е. моментът на силата на въртене е инерционният момент на тялото. Следователно инерционният момент на тялото е сумата от инерционните моменти на всички материални точки, които изграждат тялото.

Сега можем да пренапишем формула (3) във формата

Формула (4) изразява основния закон на динамиката на въртене (втори закон на Нютон за въртеливо движение):

моментът на въртяща се сила, приложен към тялото, е равен на произведението от инерционния момент на тялото и ъгловото ускорение.

От формула (4) става ясно, че ъгловото ускорение, придадено на тялото от въртящия момент, зависи от инерционния момент на тялото; Колкото по-голям е инерционният момент, толкова по-малко е ъгловото ускорение. Следователно моментът на инерция характеризира инерционните свойства на тялото по време на въртеливо движение, точно както масата характеризира инерционните свойства на тялото по време на транслационно движение.Въпреки това, за разлика от масата, моментът на инерция на дадено тяло може да има много стойности в съответствие с много възможни оси на въртене. Следователно, когато се говори за инерционния момент на твърдо тяло, е необходимо да се посочи спрямо коя ос се изчислява. На практика обикновено трябва да имаме работа с инерционни моменти спрямо осите на симетрия на тялото.

От формула (2) следва, че единицата за измерване на инерционния момент е килограм квадратен метър

Ако въртящият момент и инерционният момент на тялото, тогава формулата (4) може да бъде представена като

Тази статия описва важен раздел от физиката - „Кинематика и динамика на ротационното движение“.

Основни понятия от кинематиката на въртеливото движение

Ротационно движение на материална точка около фиксирана ос се нарича такова движение, чиято траектория е окръжност, разположена в равнина, перпендикулярна на оста, а центърът й лежи върху оста на въртене.

Въртеливото движение на твърдо тяло е движение, при което всички точки на тялото се движат по концентрични (чиито центрове лежат на една ос) окръжности в съответствие с правилото за въртеливото движение на материална точка.

Нека произволно твърдо тяло T се върти около оста O, която е перпендикулярна на равнината на чертежа. Нека на това тяло изберем точка M. При завъртане тази точка ще описва окръжност с радиус около оста O r.

След известно време радиусът ще се завърти спрямо първоначалното си положение под ъгъл Δφ.

Посоката на десния винт (по часовниковата стрелка) се приема за положителна посока на въртене. Промяната на ъгъла на въртене във времето се нарича уравнение на въртеливото движение на твърдо тяло:

φ = φ(t).

Ако φ се измерва в радиани (1 rad е ъгълът, съответстващ на дъга с дължина, равна на нейния радиус), тогава дължината на кръговата дъга ΔS, която материалната точка M ще премине за време Δt, е равна на:

ΔS = Δφr.

Основни елементи на кинематиката на равномерното въртеливо движение

Мярка за движението на материална точка за кратък период от време дтслужи като елементарен ротационен вектор dφ.

Ъгловата скорост на материална точка или тяло е физическа величина, която се определя от отношението на вектора на елементарно въртене към продължителността на това въртене. Посоката на вектора може да се определи по правилото на десния винт по оста O. В скаларна форма:

ω = dφ/dt.

Ако ω = dφ/dt = const,тогава такова движение се нарича равномерно въртеливо движение. При него ъгловата скорост се определя по формулата

ω = φ/t.

Според предварителната формула размерът на ъгловата скорост

[ω] = 1 rad/s.

Равномерното въртеливо движение на тялото може да се опише с периода на въртене. Периодът на въртене T е физична величина, която определя времето, за което тялото прави един пълен оборот около оста на въртене ([T] = 1 s). Ако във формулата за ъглова скорост приемем t = T, φ = 2 π (един пълен оборот на радиус r), тогава

ω = 2π/T,

Следователно, ние определяме периода на ротация, както следва:

T = 2π/ω.

Броят на оборотите, които едно тяло прави за единица време, се нарича честота на въртене ν, която е равна на:

ν = 1/T.

Честотни единици: [ν]= 1/s = 1 s -1 = 1 Hz.

Сравнявайки формулите за ъглова скорост и честота на въртене, получаваме израз, свързващ тези количества:

ω = 2πν.

Основни елементи на кинематиката на неравномерното въртеливо движение

Неравномерното въртеливо движение на твърдо тяло или материална точка около фиксирана ос се характеризира с неговата ъглова скорост, която се променя с времето.

вектор ε , характеризиращ скоростта на промяна на ъгловата скорост, се нарича вектор на ъглово ускорение:

ε = dω/dt.

Ако едно тяло се върти, ускорявайки се, т.е dω/dt > 0, векторът има посока по протежение на оста в същата посока като ω.

Ако въртеливото движение е бавно - dω/dt< 0 , тогава векторите ε и ω са противоположно насочени.

Коментирайте. Когато възникне неравномерно въртеливо движение, векторът ω може да се промени не само по големина, но и по посока (когато оста на въртене се върти).

Връзка между величини, характеризиращи постъпателно и въртеливо движение

Известно е, че дължината на дъгата с ъгъла на завъртане на радиуса и неговата стойност са свързани със съотношението

ΔS = Δφ r.

Тогава линейната скорост на материална точка, извършваща въртеливо движение

υ = ΔS/Δt = Δφr/Δt = ωr.

Нормалното ускорение на материална точка, която извършва въртеливо транслационно движение, се определя, както следва:

a = υ 2 /r = ω 2 r 2 /r.

И така, в скаларна форма

a = ω 2 r.

Тангенциално ускорена материална точка, която извършва въртеливо движение

a = ε r.

Импулс на материална точка

Векторното произведение на радиус вектора на траекторията на материална точка с маса m i и нейния импулс се нарича ъглов импулс на тази точка спрямо оста на въртене. Посоката на вектора може да се определи с помощта на правилото за десния винт.

Инерция на материална точка ( L i) е насочен перпендикулярно на равнината, прекарана през r i и υ i, и образува дясна тройка от вектори с тях (тоест, когато се движи от края на вектора r iДа се υ i десният винт ще покаже посоката на вектора Ли).

В скаларна форма

L = m i υ i r i sin(υ i, r i).

Като се има предвид, че при движение в кръг радиус векторът и векторът на линейната скорост за i-тата материална точка са взаимно перпендикулярни,

sin(υ i, r i) = 1.

Така че ъгловият импулс на материална точка за въртеливо движение ще приеме формата

L = m i υ i r i .

Силовият момент, който действа върху i-тата материална точка

Векторното произведение на радиус-вектора, което се изтегля към точката на прилагане на силата, и тази сила се нарича момент на сила, действаща върху i-тата материална точка спрямо оста на въртене.

В скаларна форма

M i = r i F i sin(r i, F i).

Като се има предвид това r i sinα = l i,M i = l i F i .

величина л i, равна на дължината на перпендикуляра, спуснат от точката на въртене към посоката на действие на силата, се нарича рамо на силата F i.

Динамика на въртеливото движение

Уравнението за динамиката на въртеливото движение се записва по следния начин:

M = dL/dt.

Формулировката на закона е следната: скоростта на промяна на ъгловия момент на тялото, което се върти около фиксирана ос, е равна на резултантния момент спрямо тази ос на всички външни сили, приложени към тялото.

Момент на импулс и момент на инерция

Известно е, че за i-та материална точка ъгловият момент в скаларна форма се дава по формулата

L i = m i υ i r i .

Ако вместо линейна скорост заместим нейния израз чрез ъглова скорост:

υ i = ωr i,

тогава изразът за ъгловия момент ще приеме формата

L i = m i r i 2 ω.

величина I i = m i r i 2се нарича инерционният момент спрямо оста на i-тата материална точка на абсолютно твърдо тяло, минаваща през неговия център на масата. След това записваме ъгловия момент на материалната точка:

L i = I i ω.

Записваме ъгловия импулс на абсолютно твърдо тяло като сумата от ъгловия импулс на материалните точки, които изграждат това тяло:

L = Iω.

Момент на сила и момент на инерция

Законът за въртеливото движение гласи:

M = dL/dt.

Известно е, че ъгловият импулс на тялото може да бъде представен чрез инерционния момент:

L = Iω.

M = Idω/dt.

Като се има предвид, че ъгловото ускорение се определя от израза

ε = dω/dt,

получаваме формула за момента на силата, представена чрез момента на инерцията:

М = Iε.

Коментирайте.Моментът на сила се счита за положителен, ако ъгловото ускорение, което го причинява, е по-голямо от нула и обратно.

Теорема на Щайнер. Закон за събиране на инерционните моменти

Ако оста на въртене на тялото не минава през неговия център на масата, тогава спрямо тази ос може да се намери неговият инерционен момент, като се използва теоремата на Щайнер:
I = I 0 + ma 2,

Където аз 0- начален инерционен момент на тялото; м- телесна маса; а- разстояние между осите.

Ако система, която се върти около неподвижна ос, се състои от нтела, тогава общият инерционен момент на този тип система ще бъде равен на сумата от моментите на нейните компоненти (законът за добавяне на инерционните моменти).

Момент на сила

Ротационният ефект на една сила се определя от нейния момент. Моментът на сила около всяка точка се нарича векторно произведение

Радиус вектор, начертан от точка до точка на прилагане на сила (фиг. 2.12). Мерна единица за момент на сила.

Фигура 2.12

Големината на момента на силата

или можете да пишете

където е рамото на силата (най-късото разстояние от точката до линията на действие на силата).

Посоката на вектора се определя от правилото за векторно произведение или от правилото за "десния винт" (векторите и паралелната транслация се комбинират в точка O, посоката на вектора се определя така, че от края му да се вижда въртенето от вектор k обратно на часовниковата стрелка - на фиг. 2.12 векторът е насочен перпендикулярно на чертежа на равнината „от нас“ (подобно на правилото на гимлета - транслационното движение съответства на посоката на вектора, ротационното движение съответства на въртенето от до)).

Моментът на силата около всяка точка е равен на нула, ако линията на действие на силата минава през тази точка.

Проекцията на вектор върху която и да е ос, например оста z, се нарича момент на сила около тази ос. За да определите момента на сила около ос, първо проектирайте силата върху равнина, перпендикулярна на оста (фиг. 2.13), и след това намерете момента на тази проекция спрямо точката на пресичане на оста с равнината, перпендикулярна на то. Ако линията на действие на силата е успоредна на оста или я пресича, тогава моментът на силата около тази ос е равен на нула.

Фигура 2.13

Импулс

Momentumulse материална точка маса, движеща се със скорост спрямо всяка референтна точка, се нарича векторно произведение

Радиус-векторът на материална точка (фиг. 2.14) е нейният импулс.

Фигура 2.14

Големината на ъгловия импулс на материална точка

където е най-късото разстояние от векторната линия до точката.

Посоката на импулсния момент се определя подобно на посоката на момента на силата.

Ако умножим израза за L 0 и разделим на l, получаваме:

Къде е инерционният момент на материална точка - аналог на маса при въртеливо движение.

Ъглова скорост.

Инерционен момент на твърдо тяло

Вижда се, че получените формули са много подобни на изразите за импулс и съответно на втория закон на Нютон, само че вместо линейна скорост и ускорение се използват ъглова скорост и ускорение, а вместо маса се използва величината I=mR 2, т.нар инерционен момент на материална точка .

Ако едно тяло не може да се счита за материална точка, но може да се счита за абсолютно твърдо, тогава неговият инерционен момент може да се счита за сумата от инерционните моменти на неговите безкрайно малки части, тъй като ъгловите скорости на въртене на тези части са еднакви (фиг. 2.16). Сумата от безкрайно малки е интегралът:

За всяко тяло има оси, минаващи през неговия център на инерция, които имат следното свойство: когато тялото се върти около такива оси при липса на външни влияния, осите на въртене не променят позицията си. Такива оси се наричат свободни телесни оси . Може да се докаже, че за тяло с произволна форма и с произволно разпределение на плътността има три взаимно перпендикулярни свободни оси, т.нар. главни инерционни оси тела. Инерционните моменти на тялото спрямо главните оси се наричат основни (присъщи) инерционни моменти тела.

Основните инерционни моменти на някои тела са дадени в таблицата:

Теорема на Хюйгенс-Щайнер.

Този израз се нарича Теорема на Хюйгенс-Щайнер : инерционният момент на тялото спрямо произволна ос е равен на сумата от инерционния момент на тялото спрямо ос, успоредна на дадената и минаваща през центъра на масата на тялото, и произведението на телесната маса на квадрата на разстоянието между осите.

Основно уравнение за динамиката на въртеливото движение

Основният закон на динамиката на въртеливото движение може да бъде получен от втория закон на Нютон за транслационното движение на твърдо тяло

Където Е– сила, приложена към тялото от маса м; А– линейно ускорение на тялото.

Ако към твърдо тяло с маса мв точка А (фиг. 2.15) приложете сила Е, тогава в резултат на твърда връзка между всички материални точки на тялото, всички те ще получат ъглово ускорение ε и съответните линейни ускорения, сякаш сила F 1 ...F n действа върху всяка точка. За всяка материална точка можем да запишем:

Къде следователно

Където m i- тегло аз-ти точки; ε – ъглово ускорение; r i– разстоянието му до оста на въртене.

Умножавайки лявата и дясната страна на уравнението по r i, получаваме

Където - моментът на сила е произведението на силата и нейното рамо.

Ориз. 2.15. Твърдо тяло, което се върти под въздействието на сила Еотносно оста "OO"

- момент на инерция азта материална точка (аналог на масата при въртеливо движение).

Изразът може да бъде написан така:

Нека сумираме лявата и дясната част по всички точки на тялото:

Уравнението е основният закон на динамиката на въртеливото движение на твърдо тяло. Големината е геометричната сума на всички моменти на сила, т.е. моментът на сила Е, придавайки ускорение ε на всички точки на тялото. – алгебрична сума от инерционните моменти на всички точки на тялото. Законът е формулиран по следния начин: „Моментът на силата, действащ върху въртящо се тяло, е равен на произведението на инерционния момент на тялото и ъгловото ускорение.“

От друга страна

На свой ред - промяна в ъгловия момент на тялото.

Тогава основният закон на динамиката на ротационното движение може да бъде пренаписан като:

Или - импулсът на момента на силата, действащ върху въртящо се тяло, е равен на изменението на неговия ъглов момент.

Закон за запазване на ъгловия момент

Подобно на ZSI.

Съгласно основното уравнение на динамиката на въртеливото движение моментът на сила спрямо оста Z: . Следователно в затворена система и следователно общият ъглов момент спрямо оста Z на всички тела, включени в затворената система, е постоянна величина. Това изразява закон за запазване на ъгловия момент . Този закон действа само в инерционни референтни системи.

Нека направим аналогия между характеристиките на транслационното и ротационното движение.