Уравнения на равнинни и сферични вълни. Уравнение на равнинна движеща се вълна Откъс, характеризиращ плоска вълна

Трептящ процес, разпространяващ се в среда под формата на вълна, чийто фронт е самолет, Наречен плоска звукова вълна. На практика плоска вълна може да се формира от източник, чиито линейни размери са големи в сравнение с дългата дължина на вълната, която излъчва, и ако зоната на вълновото поле е разположена на достатъчно голямо разстояние от него. Но това е случаят в неограничена среда. Ако източникът ограденавсяко препятствие, тогава класически пример за плоска вълна са трептения, възбудени от твърдо, неогъваемо бутало в дълга тръба (вълновод) с твърди стени, ако диаметърът на буталото е значително по-малък от дължината на излъчваните вълни. Поради твърдите стени, предната повърхност в тръбата не се променя, когато вълната се разпространява по вълновода (виж фиг. 3.3). Ние пренебрегваме загубите на звукова енергия поради абсорбция и разсейване във въздуха.

Ако емитерът (буталото) трепти по хармоничния закон с честота
, а размерите на буталото (диаметър на вълновода) са значително по-малки от дължината на звуковата вълна, тогава налягането, създадено близо до повърхността му
. Очевидно от разстояние хналягането ще бъде
, Където
– време на пътуване на вълната от излъчвателя до точката x. По-удобно е да напишете този израз като:
, Където
- вълново число на разпространение на вълната. работа
- определено фазово отместване на колебателния процес в отдалечена на разстояние точка хот излъчвателя.

Замествайки получения израз в уравнението на движение (3.1), ние интегрираме последното по отношение на скоростта на колебание:

(3.8)

Като цяло за произволен момент се оказва, че:

. (3.9)

Дясната страна на израз (3.9) е характеристиката, вълната или специфичното акустично съпротивление на средата (импеданс). Самото уравнение (3.) понякога се нарича акустичен „закон на Ом“. Както следва от решението, полученото уравнение е валидно в полето на плоска вълна. Налягане и скорост на вибрация във фаза, което е следствие от чисто активното съпротивление на средата.

Пример: Максимално налягане в плоска вълна
татко Определете амплитудата на изместване на въздушните частици по честота?

Решение: Тъй като , тогава:

От израз (3.10) следва, че амплитудата на звуковите вълни е много малка, поне в сравнение с размера на самите звукови източници.

В допълнение към скаларния потенциал, налягането и вибрационната скорост, звуковото поле се характеризира и с енергийни характеристики, най-важната от които е интензитетът - векторът на плътността на енергийния поток, пренасян от вълната за единица време. А-приорат
- е резултат от произведението на звуковото налягане и скоростта на вибрациите.

При липса на загуби в средата плоска вълна, теоретично, може да се разпространява без затихване на произволно големи разстояния, т.к. запазването на формата на плоския фронт показва липсата на "дивергенция" на вълната и следователно липсата на затихване. Ситуацията е различна, ако вълната има извит фронт. Такива вълни включват, на първо място, сферични и цилиндрични вълни.

3.1.3. Модели на вълни с неравнинен фронт

За сферична вълна повърхността на еднакви фази е сфера. Източникът на такава вълна също е сфера, всички точки на която осцилират с еднакви амплитуди и фази, а центърът остава неподвижен (виж фиг. 3.4, а).

Сферична вълна се описва от функция, която е решението на вълновото уравнение в сферична координатна система за потенциала на вълната, разпространяваща се от източника:

. (3.11)

Работейки по аналогия с плоска вълна, може да се покаже, че на разстояния от източника на звук дължината на изследваните вълни е значително по-голяма:
. Това означава, че акустичният „закон на Ом“ също е верен в този случай. В практически условия сферичните вълни се възбуждат главно от компактни източници с произволна форма, чиито размери са значително по-малки от дължината на възбудените звукови или ултразвукови вълни. С други думи, „точковият“ източник излъчва предимно сферични вълни. На големи разстояния от източника или, както се казва, в „далечната“ зона, сферичната вълна по отношение на участъци с ограничен размер на вълновия фронт се държи като плоска вълна или, както се казва: „дегенерира в плоска вълна." Изискванията за малка площ се определят не само от честотата, но
- разликата в разстоянията между сравняваните точки. Имайте предвид, че тази функция
има функция:
при
. Това създава определени трудности при строгото решаване на дифракционните проблеми, свързани с излъчването и разсейването на звука.

На свой ред, цилиндричните вълни (повърхността на фронта на вълната е цилиндър) се излъчват от безкрайно дълъг пулсиращ цилиндър (виж фиг. 3.4).

В далечната зона изразът за потенциалната функция на такъв източник асимптотично клони към израза:


. (3.12)

Може да се покаже, че и в този случай връзката е в сила
. Цилиндрични вълни, като сферични, в далечната зона изроденив плоски вълни.

Отслабването на еластичните вълни по време на разпространение е свързано не само с промяна в кривината на вълновия фронт („разминаване“ на вълната), но и с наличието на „затихване“, т.е. отслабване на звука. Формално, наличието на затихване в дадена среда може да се опише чрез представяне на вълновото число като комплексно
. Тогава, например, за плоска вълна на налягане може да се получи: R(х, T) = ПМакс
=
.

Вижда се, че реалната част от комплексното вълново число описва пространствено разпространяващата се вълна, а имагинерната част характеризира затихването на вълната по амплитуда. Следователно стойността  се нарича коефициент на затихване (атенюация),  е размерна стойност (Neper/m). Един „Naper“ съответства на промяна в амплитудата на вълната с „e“ пъти, когато вълновият фронт се движи на единица дължина. В общия случай затихването се определя от абсорбцията и разсейването в средата:  =  absorb +  diss. Тези ефекти се определят от различни причини и могат да се разглеждат отделно.

Като цяло абсорбцията е свързана с необратими загуби на звукова енергия, когато тя се преобразува в топлина.

Разсейването е свързано с преориентирането на част от енергията на падащата вълна в други посоки, които не съвпадат с падащата вълна.

Тази функция трябва да бъде периодична както по отношение на времето, така и по отношение на координатите (вълната е разпространяващо се трептене, следователно периодично повтарящо се движение). Освен това точките, разположени на разстояние l една от друга, вибрират по същия начин.

Уравнение на плоска вълна

Нека намерим формата на функцията x в случай на плоска вълна, като приемем, че трептенията са хармонични по природа.

Нека насочим координатните оси така, че оста хсъвпада с посоката на разпространение на вълната. Тогава вълновата повърхност ще бъде перпендикулярна на оста х. Тъй като всички точки на вълновата повърхност вибрират еднакво, изместването x ще зависи само от хИ T: . Нека трептенето на точките, лежащи в равнината, има формата (в началната фаза)

Нека намерим типа вибрация на частиците в равнина, съответстваща на произволна стойност х. Да вървя по пътя х, отнема време.

следователно вибрации на частици в равнинахще изостане във времето отTот вибрации на частици в равнината, т.е.

,

(5.2.3)

- Това уравнение на равнинна вълна.

Така че х Има пристрастиевсяка от точките с координатахв даден моментT. При извеждането приехме, че амплитудата на трептенето е . Това ще се случи, ако вълновата енергия не се абсорбира от средата.

Уравнение (5.2.3) ще има същата форма, ако вибрациите се разпространяват по оста гили z.

Общо взето уравнение на равнинна вълнае написано така:

Изразите (5.2.3) и (5.2.4) са уравнения на пътуващи вълни .

Уравнение (5.2.3) описва вълна, разпространяваща се в посока на нарастване х. Вълна, разпространяваща се в обратна посока, има формата:

.

Вълновото уравнение може да бъде написано в друга форма.

Нека се запознаем вълново число , или във векторна форма:

където е вълновият вектор и е нормалата към вълновата повърхност.

От тогава . Оттук. Тогава уравнение на равнинна вълна ще бъде написана така:

.

(5.2.6)

Сферично вълново уравнение

Вълни в зависимост от една пространствена координата

Анимация

Описание

В плоска вълна всички точки от средата, лежащи в която и да е равнина, перпендикулярна на посоката на разпространение на вълната, съответстват във всеки момент от време на едни и същи премествания и скорости на частиците на средата. По този начин всички величини, характеризиращи плоска вълна, са функции на времето и само на една координата, например x, ако оста Ox съвпада с посоката на разпространение на вълната.

Вълновото уравнение за надлъжна плоска вълна има формата:

d 2 j /dx 2 = (1/c 2 )d 2 j /dt 2 . (1)

Неговото общо решение се изразява по следния начин:

j = f 1 (ct - x)+f 2 (ct + x) , (2)

където j е потенциал или друга величина, характеризираща вълновото движение на средата (преместване, скорост на преместване и др.);

c е скоростта на разпространение на вълната;

f 1 и f 2 са произволни функции, като първият член (2) описва плоска вълна, разпространяваща се в положителната посока на оста Ox, а вторият в обратната посока.

Вълнови повърхности или геометрични места на точки в средата, където в даден момент от време фазата на вълната има една и съща стойност, за PV те представляват система от успоредни равнини (фиг. 1).

Вълнови повърхности на плоска вълна

Ориз. 1

В хомогенна изотропна среда вълновите повърхности на плоска вълна са перпендикулярни на посоката на разпространение на вълната (посоката на пренос на енергия), наречена лъч.

Времеви характеристики

Време за започване (вход до -10 към 1);

Живот (log tc от -10 до 3);

Време на разграждане (log td от -10 до 1);

Време на оптимално развитие (log tk от -3 до 1).

Диаграма:

Технически изпълнения на ефекта

Техническо изпълнение на ефекта

Строго погледнато, нито една истинска вълна не е плоска вълна, т.к Плоска вълна, разпространяваща се по оста x, трябва да покрива цялата област на пространството по координатите y и z от -Ґ до +Ґ. Въпреки това, в много случаи е възможно да се посочи част от вълната, ограничена в y, z, където тя практически съвпада с плоска вълна. На първо място, това е възможно в хомогенна изотропна среда на достатъчно големи разстояния R от източника. Така за хармонична плоска вълна фазата във всички точки на равнината, перпендикулярна на посоката на нейното разпространение, е една и съща. Може да се покаже, че всяка хармонична вълна може да се счита за плоска вълна върху участък с ширина r<< (2R l )1/2 .

Прилагане на ефект

Някои вълнови технологии са най-ефективни при приближаване на равнинни вълни. По-специално е показано, че по време на сеизмоакустични въздействия (за да се увеличи добивът на нефт и газ) върху нефтени и газови образувания, представени от слоести геоложки структури, взаимодействието на директни и плоски вълнови фронтове, отразени от границите на слоевете, води до появата на стоящи вълни, иницииращи постепенно движение и концентрация на въглеводородни течности в антинодите на стояща вълна (вижте описанието на FE „Стоящи вълни“).

ПЛОЧА ВЪЛНА

ПЛОЧА ВЪЛНА

Вълна, чиято посока на разпространение е еднаква във всички точки на пространството. Най-простият пример е хомогенен едноцветен. незатихнала P.v.:

u(z, t)=Aeiwt±ikz, (1)

където A е амплитудата, j= wt±kz - , w=2p/T - кръгова честота, T - период на трептене, k - . Повърхнини с постоянна фаза (фазови фронтове) j=const P.v. са самолети.

При липса на дисперсия, когато vph и vgr са идентични и постоянни (vgr = vph = v), има стационарни (т.е. движещи се като цяло) движещи се линейни движения, които позволяват общо представяне на формата:

u(z, t)=f(z±vt), (2)

където f е произволна функция. В нелинейни среди с дисперсия са възможни и стационарни работещи PV. тип (2), но формата им вече не е произволна, а зависи както от параметрите на системата, така и от характера на движението. В абсорбиращи (дисипативни) среди P. v. намаляват амплитудата им, докато се разпространяват; с линейно затихване, това може да се вземе предвид чрез заместване на k в (1) с комплексното вълново число kd ± ikм, където km е коефициентът. затихване на P. v.

Хомогенна PV, която заема цялата безкрайност, е идеализация, но всяка вълна, концентрирана в краен регион (например, насочена от предавателни линии или вълноводи), може да бъде представена като суперпозиция на PV. с едно или друго пространство. спектър k. В този случай вълната все още може да има плосък фазов фронт, но неравномерна амплитуда. Такива P. v. Наречен плоски нехомогенни вълни. Някои области са сферични. и цилиндрични вълни, които са малки в сравнение с радиуса на кривината на фазовия фронт, се държат приблизително като фазова вълна.

Физически енциклопедичен речник. - М.: Съветска енциклопедия. . 1983 .

ПЛОЧА ВЪЛНА

- вълна,посоката на разпространение е една и съща във всички точки на пространството.

Където А -амплитуда, - фаза, - кръгова честота, T -период на трептене к-вълново число. = const P.v. са самолети.
При липса на дисперсия, когато фазовата скорост v f и група v gr са еднакви и постоянни ( v gr = v f = v) има неподвижни (т.е. движещи се като цяло) работещи P. в., които могат да бъдат представени в общ вид

Където f- произволна функция. В нелинейни среди с дисперсия са възможни и стационарни работещи PV. тип (2), но формата им вече не е произволна, а зависи както от параметрите на системата, така и от характера на вълновото движение. В абсорбиращи (дисипативни) среди, P. k върху комплексното вълново число кд и Км, къде к m - коеф затихване на P. v. Хомогенно вълново поле, което заема цялата безкрайност, е идеализация, но всяко вълново поле, концентрирано в краен регион (например насочено далекопроводиили вълноводи),може да се представи като суперпозиция P. V. с един или друг пространствен спектър к.В този случай вълната все още може да има плосък фазов фронт с неравномерно разпределение на амплитудата. Такива P. v. Наречен плоски нехомогенни вълни. Дълбочина. областисферични или цилиндрични вълни, които са малки в сравнение с радиуса на кривината на фазовия фронт, се държат приблизително като PTs.

Лит.виж по чл. Вълни.

М. А. Милър, Л. А. Островски.

Физическа енциклопедия. В 5 тома. - М.: Съветска енциклопедия. Главен редактор А. М. Прохоров. 1988 .

: такава вълна не съществува в природата, тъй като фронтът на плоската вълна започва от $-\backslash mathcal(1)$и завършва на $+\backslash mathcal(1)$, което очевидно не може да бъде. Освен това една плоска вълна би носила безкрайна мощност и ще е необходима безкрайна енергия, за да се създаде плоска вълна. Вълна със сложен (реален) фронт може да бъде представена като спектър от плоски вълни с помощта на преобразуването на Фурие в пространствени променливи.

Квазиплоска вълна- вълна, чийто фронт е близък до плоския в ограничена област. Ако размерите на областта са достатъчно големи за разглеждания проблем, тогава квазиплоската вълна може приблизително да се счита за равнинна. Вълна със сложен фронт може да бъде апроксимирана чрез набор от локални квазиравнинни вълни, чиито вектори на фазовата скорост са нормални към реалния фронт във всяка негова точка. Примери за източници на квазиравнинни електромагнитни вълни са лазерни, огледални и лещовидни антени: разпределението на фазата на електромагнитното поле в равнина, успоредна на отвора (излъчващ отвор), е близко до равномерното. Докато се отдалечава от блендата, фронтът на вълната придобива сложна форма.

Определение

Уравнението на всяка вълна е решение на диференциално уравнение, наречено вълна. Вълново уравнение за функцията $А$написана във формуляра

$\backslash Делта\; A(\backslash vec(r),t)\; =\; \backslash frac\; (1)\; (v^2)\; \backslash ,\; \backslash frac\; (\backslash partial^2\; A(\backslash vec(r),t))\; (\backslash partial\; t^2)$Където

• $\backslash Делта$- оператор на Лаплас;
• $A(\backslash vec(r),t)$- необходимата функция;
• $r$- радиус вектор на желаната точка;
• $v$- скорост на вълната;
• $T$- време.

Едномерен случай

Общата енергия е

$W\; =\; \backslash Delta\; W\_k\; +\; \backslash Delta\; W\_p\; =\; \backslash cfrac(\backslash rho)(2)\; \backslash bigg[\; \backslash left(\backslash cfrac\; (\backslash partial\; A)\; (\backslash partial\; t)\; \backslash right)^2\; +\; v^2\; \backslash left(\backslash \; cfrac(\backslash partial\; A)(\backslash partial\; (x))\; \backslash right)^2\; \backslash bigg]\; \backslash Delta\; V\; .$

Енергийната плътност съответно е равна на

$\backslash omega\; =\; \backslash cfrac\; (W)\; (\backslash Delta\; V)\; =\; \backslash cfrac(\backslash rho)(2)\; \backslash bigg[\; \backslash left(\backslash cfrac\; (\backslash partial\; A)\; (\backslash partial\; t)\; \backslash right)^2\; +\; v^2\; \backslash left(\backslash cfrac\; (\backslash partial\; A)\; (\backslash partial\; (x))\; \backslash right)^2\; \backslash bigg]\; =\; \backslash rho\; A^2\; \backslash omega^2\; \backslash sin^2\; \backslash left(\backslash omega\; t\; -\; k\; x\; +\; \backslash varphi\_0\; \backslash вдясно)\; .$

Поляризация

Напишете отзив за статията "Плоска вълна"

Литература

• Савелиев И.В.[Част 2. Вълни. Еластични вълни.] // Курс по обща физика / Под редакцията на Gladnev L.I., Mikhalin N.A., Миртов D.A.. - 3-то изд. - М.: Наука, 1988. - Т. 2. - С. 274-315. - 496 стр. - 220 000 копия.

Бележки

Вижте също

Откъс, характеризиращ плоска вълна

На площада, където отиде суверенът, батальон войници Преображенски стоеше лице в лице отдясно, а батальон от френската гвардия в шапки от меча кожа отляво.
Докато суверенът се приближаваше до единия фланг на батальоните, които бяха на стража, друга тълпа конници скочи на противоположния фланг и пред тях Ростов разпозна Наполеон. Не можеше да е някой друг. Той яздеше в галоп в малка шапка, с Андреевска лента през рамо, в синя униформа, отворена върху бяла камизола, на необичайно чистокръвен арабски сив кон, на пурпурно, бродирано със злато седло. След като се приближи до Александър, той вдигна шапката си и с това движение кавалерийското око на Ростов не можеше да не забележи, че Наполеон седи зле и не е здраво на коня си. Батальоните извикаха: Ура и Виве l "Empereur! [Да живее императорът!] Наполеон каза нещо на Александър. И двамата императори слязоха от конете си и се хванаха за ръце. На лицето на Наполеон имаше неприятна престорена усмивка. Александър каза нещо на него с нежно изражение.
Ростов, без да откъсва очи, въпреки тропота на конете на френските жандарми, обсаждащи тълпата, следваше всяко движение на император Александър и Бонапарт. Той беше изненадан от факта, че Александър се държеше като равен с Бонапарт и че Бонапарт беше напълно свободен, сякаш тази близост със суверена му беше естествена и позната, като равен се отнасяше към руския цар.
Александър и Наполеон с дълга опашка от свитата си се приближиха до десния фланг на Преображенския батальон, точно към тълпата, която стоеше там. Тълпата изведнъж се оказа толкова близо до императорите, че Ростов, който стоеше в първите редове, се уплаши да не го разпознаят.
„Сър, е vous requeste la permission de donner la legion d"honneur au plus brave de vos soldats, [Сър, моля за вашето разрешение да дам ордена на Почетния легион на най-храбрите от вашите войници,] каза рязко, точен глас, завършващ всяка буква Говореше краткият Бонапарт, гледайки право в очите на Александър, Александър слушаше внимателно казаното и навеждаше глава, усмихвайки се приятно.
„A celui qui s"est le plus vaillament conduit dans cette derieniere guerre, [На този, който се показа най-смел по време на войната]", добави Наполеон, наблягайки на всяка сричка, със спокойствие и увереност, възмутително за Ростов, оглеждайки редиците руснаци, изпънати пред тях, стоят войници, държат всичко нащрек и неподвижно гледат в лицето на своя император.
„Votre majeste me permettra t elle de demander l"avis du colonel? [Ваше величество ще ми позволите ли да попитам мнението на полковника?] - каза Александър и направи няколко припряни стъпки към княз Козловски, командир на батальона. Междувременно Бонапарт започна да поема свали бялата си ръкавица, малката ръка и я разкъса, адютантът я хвърли, припряно се втурна отзад и я вдигна.
- На кого да го дам? – попита император Александър Козловски не високо, на руски.
- На кого нареждате, Ваше Величество? „Императорът трепна от недоволство и като се огледа, каза:
- Но ти трябва да му отговориш.
Козловски погледна към редиците с решителен поглед и в този поглед улови и Ростов.
„Не съм ли аз?“ — помисли Ростов.
- Лазарев! – изкомандва намръщено полковникът; и първият войник Лазарев умно пристъпи напред.
-Къде отиваш? Спри тук! - шепнеха гласове на Лазарев, който не знаеше накъде да отиде. Лазарев се спря, погледна уплашено полковника настрани и лицето му потрепери, както се случва с войниците, повикани на фронта.
Наполеон леко обърна глава назад и дръпна назад малката си пухкава ръка, сякаш искаше да вземе нещо. Лицата на свитата му, досетили се в същия миг какво става, започнаха да се суетят, да шепнат, да си предават нещо, а пажът, същият, когото Ростов видя вчера при Борис, изтича напред и почтително се наведе. протегнатата ръка и не я накара да чака нито секунда, той постави орден на червена панделка в нея. Наполеон, без да гледа, стисна два пръста. Орденът се озова между тях. Наполеон се приближи до Лазарев, който, въртейки очи, упорито продължи да гледа само своя суверен и погледна назад към император Александър, като по този начин показа, че това, което прави сега, той прави за своя съюзник. Малка бяла ръка със заповед докосна бутона на войника Лазарев. Сякаш Наполеон знаеше, че за да бъде този войник щастлив, възнаграден и отличаван от всички останали в света завинаги, беше необходимо само той, ръката на Наполеон, да бъде достоен да докосне гърдите на войника. Наполеон просто постави кръста на гърдите на Лазарев и, като пусна ръката си, се обърна към Александър, сякаш знаеше, че кръстът трябва да се придържа към гърдите на Лазарев. Кръстът наистина се заби.