Опростяване на тригонометрични уравнения. Тъждествени преобразувания на тригонометрични изрази

Видео урокът „Опростяване на тригонометрични изрази“ е предназначен да развие уменията на учениците за решаване на тригонометрични задачи с помощта на основни тригонометрични идентичности. По време на видео урока се обсъждат видове тригонометрични тъждества и примери за решаване на задачи с тях. Използвайки визуални средства, за учителя е по-лесно да постигне целите на урока. Яркото представяне на материала помага да се запомнят важни точки. Използването на анимационни ефекти и глас зад кадър ви позволява напълно да замените учителя на етапа на обяснение на материала. По този начин, използвайки това визуално помагало в уроците по математика, учителят може да повиши ефективността на преподаването.

В началото на видео урока е обявена неговата тема. След това си припомняме тригонометричните идентичности, изучени по-рано. Екранът показва равенствата sin 2 t+cos 2 t=1, tg t=sin t/cos t, където t≠π/2+πk за kϵZ, ctg t=cos t/sin t, правилно за t≠πk, където kϵZ, tg t· ctg t=1, за t≠πk/2, където kϵZ, наречени основни тригонометрични идентичности. Отбелязва се, че тези идентичности често се използват при решаване на проблеми, където е необходимо да се докаже равенство или да се опрости израз.

По-долу разглеждаме примери за прилагането на тези идентичности при решаване на проблеми. Първо, предлага се да се обмисли решаването на проблеми с опростяване на изрази. В пример 1 е необходимо да се опрости изразът cos 2 t- cos 4 t+ sin 4 t. За да разрешите примера, първо извадете общия множител cos 2 t извън скоби. В резултат на това преобразуване в скоби се получава изразът 1- cos 2 t, чиято стойност от основното тъждество на тригонометрията е равна на sin 2 t. След трансформирането на израза е очевидно, че още един общ фактор sin 2 t може да бъде изваден от скоби, след което изразът приема формата sin 2 t(sin 2 t+cos 2 t). От същата основна идентичност извличаме стойността на израза в скоби, равна на 1. В резултат на опростяването получаваме cos 2 t- cos 4 t+ sin 4 t= sin 2 t.

В пример 2 изразът цена/(1- синт)+ цена/(1+ синт) трябва да бъде опростен. Тъй като числителите на двете дроби съдържат израза цена, той може да бъде изваден от скоби като общ фактор. След това дробите в скоби се свеждат до общ знаменател чрез умножаване (1- синт)(1+ синт). След привеждане на подобни членове числителят остава 2, а знаменателят 1 - sin 2 t. От дясната страна на екрана се извиква основната тригонометрична идентичност sin 2 t+cos 2 t=1. Използвайки го, намираме знаменателя на дробта cos 2 t. След като намалим дробта, получаваме опростена форма на израза цена/(1- синт)+ цена/(1+ синт)=2/цена.

След това разглеждаме примери за доказателства за тъждества, които използват придобитите знания за основните тъждества на тригонометрията. В пример 3 е необходимо да се докаже идентичността (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t. Дясната страна на екрана показва три идентичности, които ще са необходими за доказателството - tg t·ctg t=1, ctg t=cos t/sin t и tg t=sin t/cos t с ограничения. За доказване на тъждеството първо се отварят скобите, след което се образува произведение, което отразява израза на основното тригонометрично тъждество tg t·ctg t=1. След това, съгласно тъждеството от дефиницията на котангенс, ctg 2 t се трансформира. В резултат на трансформациите се получава изразът 1-cos 2 t. Използвайки основната идентичност, намираме значението на израза. По този начин е доказано, че (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t.

В пример 4 трябва да намерите стойността на израза tg 2 t+ctg 2 t, ако tg t+ctg t=6. За да изчислите израза, първо повдигнете на квадрат дясната и лявата страна на равенството (tg t+ctg t) 2 =6 2. Съкратената формула за умножение се извиква от дясната страна на екрана. След отваряне на скобите от лявата страна на израза се образува сумата tg 2 t+2· tg t·ctg t+ctg 2 t, за преобразуването на която можете да приложите една от тригонометричните идентичности tg t·ctg t=1 , чиято форма се извиква от дясната страна на екрана. След преобразуването се получава равенството tg 2 t+ctg 2 t=34. Лявата страна на равенството съвпада с условието на задачата, така че отговорът е 34. Задачата е решена.

Видео урокът „Опростяване на тригонометрични изрази“ се препоръчва за използване в традиционен училищен урок по математика. Материалът ще бъде полезен и на учителите, провеждащи дистанционно обучение. С цел развиване на умения за решаване на тригонометрични задачи.

ДЕКОДИРАНЕ НА ТЕКСТ:

"Опростяване на тригонометрични изрази."

Равенства

1) sin 2 t + cos 2 t = 1 (синус квадрат te плюс косинус квадрат te е равно на едно)

2)tgt =, за t ≠ + πk, kϵZ (тангенс te е равен на отношението на синус te към косинус te, като te не е равно на pi с две плюс pi ka, ka принадлежи на zet)

3)ctgt = , за t ≠ πk, kϵZ (котангенс te е равен на отношението на косинус te към синус te, като te не е равно на pi ka, ka принадлежи на zet).

4) tgt ∙ ctgt = 1 за t ≠ , kϵZ (произведението на тангенса te по котангенса te е равно на едно, когато te не е равно на връх ka, делено на две, ka принадлежи на zet)

се наричат ​​основни тригонометрични тъждества.

Те често се използват за опростяване и доказване на тригонометрични изрази.

Нека да разгледаме примери за използване на тези формули за опростяване на тригонометрични изрази.

ПРИМЕР 1. Опростете израза: cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t. (израз a косинус на квадрат te минус косинус на четвърта степен te плюс синус на четвърта степен te).

Решение. cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t = cos 2 t∙ (1 - cos 2 t) + sin 4 t = cos 2 t ∙ sin 2 t + sin 4 t = sin 2 t (cos 2 t + sin 2 t) = sin 2 t 1= sin 2 t

(изваждаме общия множител косинус на квадрат te, в скоби получаваме разликата между единица и квадратния косинус te, който е равен на квадратния синус te по първото тъждество. Получаваме сбора на четвъртата степен син te на продукт косинус квадрат te и синус квадрат te. Изваждаме общия множител синус квадрат te извън скобите, в скоби получаваме сумата от квадратите на косинуса и синуса, която според основното тригонометрично тъждество е равна на 1 , В резултат на това получаваме квадрата на синуса te).

ПРИМЕР 2. Опростете израза: + .

(изразът е сумата от две дроби в числителя на първия косинус te в знаменателя едно минус синус te, в числителя на втория косинус te в знаменателя на втория плюс синус te).

(Нека извадим общия множител косинус te от скобите и в скоби го приведем към общ знаменател, който е произведението на едно минус синус te по едно плюс синус te.

В числителя получаваме: едно плюс синус te плюс едно минус синус te, даваме подобни, числителят е равен на две след привеждане на подобни.

В знаменателя можете да приложите формулата за съкратено умножение (разлика на квадратите) и да получите разликата между единица и квадрата на синуса te, който според основната тригонометрична идентичност

равно на квадрата на косинус te. След като намалим с косинус te, получаваме крайния отговор: две делено на косинус te).

Нека да разгледаме примери за използване на тези формули при доказване на тригонометрични изрази.

ПРИМЕР 3. Докажете идентичността (tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t = sin 2 t (произведението на разликата между квадратите на тангенса te и синуса te по квадрата на котангенса te е равно на квадрата на sine te).

Доказателство.

Нека трансформираме лявата страна на равенството:

(tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t = tg 2 t ∙ ctg 2 t - sin 2 t ∙ ctg 2 t = 1 - sin 2 t ∙ ctg 2 t =1 - sin 2 t ∙ = 1 - cos 2 t = грях 2 t

(Нека отворим скобите; от получената по-рано зависимост е известно, че произведението на квадратите на тангенса te по котангенса te е равно на единица. Нека си припомним, че котангенсът te е равен на отношението на косинус te към синус te, което означава, че квадратът на котангенса е отношението на квадрата на косинус te към квадрата на синус te.

След намаляване със синус квадрат te получаваме разликата между единица и косинус квадрат te, която е равна на синус квадрат te). Q.E.D.

ПРИМЕР 4. Намерете стойността на израза tg 2 t + ctg 2 t, ако tgt + ctgt = 6.

(сумата от квадратите на тангенса te и котангенса te, ако сумата на тангенса и котангенса е шест).

Решение. (tgt + ctgt) 2 = 6 2

tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36

tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36

tg 2 t + ctg 2 t = 36-2

tg 2 t + ctg 2 t = 34

Нека повдигнем на квадрат двете страни на първоначалното равенство:

(tgt + ctgt) 2 = 6 2 (квадратът на сумата от тангенс te и котангенс te е равен на шест на квадрат). Нека си припомним формулата за съкратено умножение: Квадратът на сумата от две количества е равен на квадрата на първото плюс два пъти произведението на първото по второто плюс квадрата на второто. (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 Получаваме tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36 (тангенс на квадрат te плюс удвоеното произведение на тангенс te по котангенс te плюс котангенс на квадрат te е равно на тридесет и шест).

Тъй като произведението на тангенса te и котангенса te е равно на едно, тогава tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36 (сумата от квадратите на тангенса te и котангенса te и две е равна на тридесет и шест),

Воронкова Олга Ивановна

МБОУ "Средно училище"

№ 18"

Енгелс, Саратовска област.

Учител по математика.

"Тригонометрични изрази и техните трансформации"

Въведение……………………………………………………………………………………...3

Глава 1 Класификация на задачите за използване на трансформации на тригонометрични изрази …………………………………………………...5

1.1. Изчислителни задачи стойности на тригонометрични изрази……….5

1.2.Задачи за опростяване на тригонометрични изрази.... 7

1.3. Задачи за преобразуване на числови тригонометрични изрази.....7

1.4 Задачи от смесен тип…………………………………………………….....9

Глава 2. Методически аспекти на организирането на окончателното повторение на темата „Преобразуване на тригонометрични изрази“…………………………………11

2.1 Тематично повторение в 10. клас………………………………………………………...11

Тест 1…………………………………………………………………………………..12

Тест 2…………………………………………………………………………………..13

Тест 3…………………………………………………………………………………..14

2.2 Последно повторение в 11. клас…………………………………………………………...15

Тест 1…………………………………………………………………………………..17

Тест 2…………………………………………………………………………………..17

Тест 3…………………………………………………………………………………..18

Заключение.……………………………………………………………………………………..19

Списък с литература…………………………………………………………..…….20

Въведение.

В днешните условия най-важният въпрос е: „Как можем да помогнем за премахването на някои от пропуските в знанията на учениците и да ги предупредим за възможни грешки на Единния държавен изпит?“ За да се реши този проблем, е необходимо да се постигне от учениците не формално усвояване на програмен материал, а неговото дълбоко и съзнателно разбиране, развитие на скоростта на устни изчисления и трансформации, както и развитие на умения за решаване на прости проблеми „в умът." Необходимо е да се убедят учениците, че само ако имат активна позиция, когато изучават математика, при усвояване на практически умения и умения и тяхното използване, те могат да разчитат на реален успех. Необходимо е да се използва всяка възможност за подготовка за Единния държавен изпит, включително избираеми предмети в 10-11 клас, и редовно да се преглеждат сложни задачи с учениците, като се избира най-рационалният начин за решаването им в уроци и допълнителни часове.Положителен резултат приобласти на решаване на стандартни проблеми могат да бъдат постигнати, ако учителите по математика, чрез създаванедобро основно обучение на учениците, търсете нови начини за решаване на проблемите, които са се отворили пред нас, активно експериментирайте, прилагайте съвременни педагогически технологии, методи, техники, които създават благоприятни условия за ефективна самореализация и самоопределяне на учениците в нови социални условия.

Тригонометрията е неразделна част от училищния курс по математика. Добрите познания и силни умения по тригонометрия са доказателство за достатъчно ниво на математическа култура, задължително условие за успешно изучаване на математика, физика и редица технически направления в университет.дисциплини.

Уместност на работата. Значителна част от завършилите училище показват от година на година много лоша подготовка в този важен раздел на математиката, както се вижда от резултатите от минали години (процент на завършване през 2011 г. - 48,41%, 2012 г. - 51,05%), тъй като анализът на преминаването единният държавен изпит показа, че учениците правят много грешки при изпълнение на задачите от този конкретен раздел или изобщо не се заемат с такива задачи. В един На държавния изпит въпроси по тригонометрия има в почти три вида задачи. Това включва решаване на най-простите тригонометрични уравнения в задача B5 и работа с тригонометрични изрази в задача B7 и изучаване на тригонометрични функции в задача B14, както и задачи B12, които съдържат формули, които описват физични явления и съдържат тригонометрични функции. И това е само част от задачите B! Но има и любими тригонометрични уравнения с избор на корени C1 и „не толкова любими“ геометрични задачи C2 и C4.

Цел на работата. Анализирайте материала на задачите за единен държавен изпит B7, посветени на трансформациите на тригонометрични изрази и класифицирайте задачите според формата на тяхното представяне в тестове.

Работата се състои от две глави, въведение и заключение. Уводът подчертава актуалността на работата. Първата глава предоставя класификация на задачите за използване на трансформации на тригонометрични изрази в тестови задачи за Единен държавен изпит (2012 г.).

Във втората глава се разглежда организацията на повторението на темата „Преобразуване на тригонометрични изрази” в 10 и 11 клас и са разработени тестове по тази тема.

Списъкът с литература включва 17 източника.

Глава 1. Класификация на задачи с помощта на трансформации на тригонометрични изрази.

В съответствие със стандарта за средно (пълно) образование и изискванията за нивото на подготовка на учениците, кодификаторът на изискванията включва задачи за познаване на основите на тригонометрията.

Изучаването на основите на тригонометрията ще бъде най-ефективно, когато:

ще бъде осигурена положителна мотивация на учениците да повтарят вече научен материал;

в образователния процес ще се прилага личностно ориентиран подход;

ще се използва система от задачи, която спомага за разширяване, задълбочаване и систематизиране на знанията на учениците;

Ще се използват съвременни педагогически технологии.

След като анализирахме литературата и интернет ресурсите за подготовка за Единния държавен изпит, ние предложихме една от възможните класификации на задачите B7 (KIM Единен държавен изпит 2012-тригонометрия): изчислителни задачистойности на тригонометрични изрази; задачи запреобразуване на числени тригонометрични изрази; задачи за преобразуване на буквени тригонометрични изрази; задачи от смесен тип.

1.1. Изчислителни задачи значения на тригонометричните изрази.

Един от най-често срещаните видове прости тригонометрични задачи е изчисляването на стойностите на тригонометрични функции от стойността на една от тях:

а) Използване на основното тригонометрично тъждество и неговите последствия.

Пример 1 . Намерете дали
И
.

Решение.
,
,

защото , Че
.

Отговор.

Пример 2 . намирам
, Ако
И .

Решение.
,
,
.

защото , Че
.

Отговор. .

б) Използване на формули за двоен ъгъл.

Пример 3 . намирам
, Ако
.

Решение. , .

Отговор.
.

Пример 4 . Намерете значението на израза
.

Решение. .

Отговор.
.

, Ако
И
. Отговор. -0,2

2. намирам , Ако
И
. Отговор. 0,4

, Ако . Отговор. -12.88

намирам

, Ако
. Отговор. -0,84

. Отговор. 6

1.2.Задачи за опростяване на тригонометрични изрази. Формулите за редукция трябва да се разбират добре от учениците, тъй като те ще намерят по-нататъшно приложение в геометрията, физиката и други свързани дисциплини.

Пример 5 . Опростете изразите
.

Решение. .

Отговор.
.

Задачи за самостоятелно решаване:

Опростете израза
.

намирам
, Ако
И

Намерете значението на израза
, Ако
.

1.3. Задачи за преобразуване на числови тригонометрични изрази.

Когато практикувате уменията на задачите за преобразуване на числени тригонометрични изрази, трябва да обърнете внимание на познаването на таблицата със стойности на тригонометричните функции, свойствата на паритета и периодичността на тригонометричните функции.

а) Използване на точни стойности на тригонометрични функции за някои ъгли.

Пример 6 . Изчисли
.

Решение.
.

Отговор.
.

б) Използване на свойства за четност тригонометрични функции.

Пример 7 . Изчисли
.

Решение. .

Отговор.

V) Използване на свойства на периодичносттригонометрични функции.

Пример 8 . Намерете значението на израза
.

Решение. .

Отговор.
.

Задачи за самостоятелно решаване:

Намерете значението на израза
.

2. Намерете значението на израза
.

3. Намерете значението на израза
. Отговор. 6

.

1.4 Задачи от смесен тип.

Формулярът за тест за сертифициране има много важни характеристики, така че е важно да се обърне внимание на задачите, свързани с използването на няколко тригонометрични формули едновременно.

Пример 9. намирам
, Ако
.

Решение.
.

Отговор.
.

Пример 10 . намирам
, Ако
И
.

Решение. .

защото , Че
.

Отговор.
.

Пример 11. намирам
, Ако .

Решение. , ,
,
,
,
,
.

Отговор.

Пример 12. Изчисли
.

Решение. .

Отговор.
.

Пример 13. Намерете значението на израза
, Ако
.

Решение. .

Отговор.
.

Задачи за самостоятелно решаване:

намирам
, Ако
.

намирам
, Ако
.

3. Намерете
, Ако .

4. Открийте значението на израза
, Ако
.

5. Намерете значението на израза
, Ако
.

Глава 2. Методически аспекти на организирането на окончателното повторение на темата „Трансформация на тригонометрични изрази“.

Един от най-важните въпроси, които допринасят за по-нататъшното подобряване на академичната успеваемост и постигането на задълбочени и трайни знания сред учениците, е въпросът за повторението на вече преминатия материал. Практиката показва, че в 10. клас е по-целесъобразно да се организира тематично повторение; в 11 клас - финално повторение.

2.1. Тематичен преговор в 10 клас.

В процеса на работа върху математическия материал повторението на всяка завършена тема или цял раздел от курса става особено важно.

При тематичното повторение знанията на учениците по дадена тема се систематизират в последния етап от нейното завършване или след известно прекъсване.

За тематично повторение се отделят специални уроци, в които се концентрира и обобщава материалът от една конкретна тема.

Повторението в урока се извършва чрез разговор с широкото участие на учениците в този разговор. След това учениците получават задача да повторят определена тема и се предупреждават, че ще се проведе контролна работа.

Тестът по дадена тема трябва да включва всички основни въпроси. След приключване на работата се анализират характерни грешки и се организира повторение за отстраняването им.

За тематични уроци за повторение предлагаме разг оценяваща работа под формата на тестовена тема "Преобразуване на тригонометрични изрази."

Тест №1

Тест No2

Тест No3

Таблица с отговори

Тест

2.2. Заключителен преглед в 11 клас.

Окончателното повторение се извършва на последния етап от изучаването на основните въпроси на курса по математика и се извършва в логическа връзка с изучаването на учебния материал за този раздел или курса като цяло.

Окончателното повторение на учебния материал преследва следните цели:

1. Активизиране на материала от целия курс на обучение за изясняване на логическата му структура и изграждане на система от предметни и междупредметни връзки.

2. Задълбочаване и, ако е възможно, разширяване на знанията на студентите по основните въпроси на курса в процеса на повторение.

В контекста на задължителния изпит по математика за всички възпитаници, постепенното въвеждане на Единния държавен изпит принуждава учителите да възприемат нов подход към подготовката и провеждането на уроците, като отчитат необходимостта да се гарантира, че всички ученици овладяват учебния материал на основен ниво, както и възможност за мотивирани студенти, заинтересовани от получаване на високи резултати за прием в университет, динамичен напредък в усвояването на материала на напреднало и високо ниво.

По време на уроците за последен преговор можете да разгледате следните задачи:

Решение. =
= =
=
=
=
=0,5.

Посочете най-голямото цяло число, което изразът може да приеме
.

Решение. защото
може да приема произволна стойност, принадлежаща на сегмента [–1; 1], тогава
приема произволна стойност от сегмента [–0,4; 0,4], следователно . Изразът има една цяло число – числото 4.

Опростете израза
.

Решение: Нека използваме формулата за разлагане на сумата от кубове: . Ние имаме

Ние имаме:
.

Отговор: 1

Пример 4. Изчисли
.

Решение. .

Отговор: 0,28

За уроците за последен преговор предлагаме разработени тестове по темата „Преобразуване на тригонометрични изрази“.

Въведете най-голямото цяло число, което не надвишава 1

Заключение.

След като проучихме съответната методическа литература по тази тема, можем да заключим, че способността и умението за решаване на проблеми, свързани с тригонометрични трансформации в училищния курс по математика, е много важно.

В хода на извършената работа беше извършена класификация на задачите B7. Разгледани са най-често използваните тригонометрични формули в CMM през 2012 г. Дадени са примерни задачи с решения. Разработени са диференцирани тестове за организиране на повторение и систематизиране на знанията при подготовката за Единния държавен изпит.

Препоръчително е да продължите започнатата работа с обмисляне решаване на най-прости тригонометрични уравнения в задача B5, изучаване на тригонометрични функции в задача B14, задачи B12, които съдържат формули, които описват физични явления и съдържат тригонометрични функции.

В заключение бих искал да отбележа, че ефективността на полагането на Единния държавен изпит до голяма степен се определя от това колко ефективно е организиран процесът на подготовка на всички нива на образование, с всички категории ученици. И ако успеем да възпитаме у учениците независимост, отговорност и готовност да продължат да учат през целия си живот, тогава не само ще изпълним поръчката на държавата и обществото, но и ще повишим собственото си самочувствие.

Повторението на учебния материал изисква творческа работа от учителя. Той трябва да осигури ясна връзка между видовете повторение и да приложи дълбоко обмислена система за повторение. Овладяването на изкуството на организиране на повторението е задача на учителя. Силата на знанията на учениците до голяма степен зависи от неговото решение.

Литература.

Вигодски Я.Я., Наръчник по елементарна математика. -М .: Наука, 1970.

Проблеми с повишена трудност по алгебра и началото на анализа: Учебник за 10-11 клас на средното училище / B.M. Ивлев, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин, С.И. Шварцбурд. – М.: Образование, 1990.

Приложение на основни тригонометрични формули за преобразуване на изрази (10 клас) // Фестивал на педагогическите идеи. 2012-2013 г.

Корянов А.Г. , Прокофиев А.А. Подготвяме добри и отлични ученици за Единния държавен изпит. - М .: Педагогически университет "Първи септември", 2012.- 103 с.

Кузнецова E.N.Опростяване на тригонометрични изрази. Решаване на тригонометрични уравнения с различни методи (подготовка за Единен държавен изпит). 11 клас. 2012-2013 г.

Куланин Е. Д. 3000 състезателни задачи по математика. 4-то издание, правилно. и допълнителни – М.: Ролф, 2000.

Мордкович А.Г. Методически проблеми на изучаването на тригонометрията в средните училища // Математика в училище. 2002. № 6.

Пичурин Л.Ф. За тригонометрията и не само за нея: -М. Просвещение, 1985г

Решетников Н.Н. Тригонометрия в училище: -М. : Педагогически университет „Първи септември”, 2006, lx 1.

Шабунин M.I., Прокофиев A.A. Математика. Алгебра. Начало на математическия анализ Профилно ниво: учебник за 10 клас - М.: БИНОМ. Лаборатория на знанието, 2007 г.

Образователен портал за подготовка за Единен държавен изпит.

Подготовка за Единния държавен изпит по математика „О, тази тригонометрия! http://festival.1september.ru/articles/621971/

Проект "Математика? Лесно!!!" http://www.resolventa.ru/

Раздели: Математика

клас: 11

Урок 1

Предмет: 11 клас (подготовка за Единния държавен изпит)

Опростяване на тригонометрични изрази.

Решаване на прости тригонометрични уравнения. (2 часа)

Цели:

• Систематизира, обобщава, разширява знанията и уменията на учениците, свързани с използването на тригонометрични формули и решаването на прости тригонометрични уравнения.

Оборудване за урока:

Структура на урока:

1. Организационен момент
2. Тестване на лаптопи. Обсъждане на резултатите.
3. Опростяване на тригонометрични изрази
4. Решаване на прости тригонометрични уравнения
5. Самостоятелна работа.
6. Обобщение на урока. Обяснение на домашна работа.

1. Организационен момент. (2 минути.)

Учителят поздравява публиката, обявява темата на урока, напомня им, че преди това им е дадена задача да повторят тригонометричните формули и подготвя учениците за тестване.

2. Тестване. (15 мин. + 3 мин. дискусия)

Целта е да се проверят знанията за тригонометричните формули и умението да се прилагат. Всеки ученик има лаптоп на бюрото си с версия на теста.

Може да има произволен брой опции, ще дам пример за една от тях:

I опция.

Опростете изразите:

а) основни тригонометрични тъждества

1. sin 2 3y + cos 2 3y + 1;

б) формули за добавяне

3. sin5x - sin3x;

в) превръщане на произведение в сума

6. 2sin8y cos3y;

г) формули за двоен ъгъл

7. 2sin5x cos5x;

д) формули за полуъгли

е) формули за троен ъгъл

ж) универсално заместване

з) намаляване на степента

16. cos 2 (3x/7);

Учениците виждат своите отговори на лаптопа до всяка формула.

Работата моментално се проверява от компютъра. Резултатите се показват на голям екран, за да могат всички да ги видят.

Също така, след приключване на работата, верните отговори се показват на лаптопите на учениците. Всеки ученик вижда къде е допусната грешка и какви формули трябва да повтори.

3. Опростяване на тригонометрични изрази. (25 мин.)

Целта е да се повтори, упражни и затвърди използването на основни тригонометрични формули. Решаване на задачи B7 от Единния държавен изпит.

На този етап е препоръчително класът да се раздели на групи от силни ученици (работят самостоятелно с последващо тестване) и слаби ученици, които работят с учителя.

Задача за силни ученици (предварително подготвена на печатна основа). Основният акцент е върху формулите за намаляване и двоен ъгъл, съгласно Единния държавен изпит 2011.

Опростете изрази (за силни ученици):

В същото време учителят работи със слаби ученици, обсъждайки и решавайки задачи на екрана под диктовката на учениците.

Изчисли:

5) sin(270º - α) + cos (270º + α)

6)

Опростете:

Време беше да обсъдим резултатите от работата на силната група.

Отговорите се появяват на екрана, а също така с помощта на видеокамера се показва работата на 5 различни ученика (по една задача за всеки).

Слабата група вижда условието и начина на решение. Предстои обсъждане и анализ. С използването на технически средства това става бързо.

4. Решаване на прости тригонометрични уравнения. (30 мин.)

Целта е да се повтори, систематизира и обобщи решаването на най-простите тригонометрични уравнения и да се запишат корените им. Решение на задача B3.

Всяко тригонометрично уравнение, независимо как го решаваме, води до най-простото.

При изпълнение на задачата учениците трябва да обърнат внимание на записването на корените на уравнения от частни случаи и общ вид и на избирането на корените в последното уравнение.

Решете уравнения:

Запишете най-малкия положителен корен като отговор.

5. Самостоятелна работа (10 мин.)

Целта е тестване на придобитите умения, идентифициране на проблеми, грешки и начини за отстраняването им.

Предлага се многостепенна работа по избор на студента.

Вариант "3"

1) Намерете стойността на израза

2) Опростете израза 1 - sin 2 3α - cos 2 3α

3) Решете уравнението

Вариант за "4"

1) Намерете стойността на израза

2) Решете уравнението Запишете най-малкия положителен корен във вашия отговор.

Вариант "5"

1) Намерете tanα if

2) Намерете корена на уравнението Запишете най-малкия положителен корен като отговор.

6. Обобщение на урока (5 мин.)

Учителят обобщава факта, че по време на урока те повториха и затвърдиха тригонометричните формули и решаването на най-простите тригонометрични уравнения.

Задава се домашна работа (предварително подготвена на хартиен носител) със случайна проверка на следващия урок.

Решете уравнения:

9)

10) В отговора си посочете най-малкия положителен корен.

Урок 2

Предмет: 11 клас (подготовка за Единния държавен изпит)

Методи за решаване на тригонометрични уравнения. Избор на корен. (2 часа)

Цели:

• Обобщават и систематизират знанията за решаване на тригонометрични уравнения от различни видове.
• Да насърчава развитието на математическото мислене на учениците, способността да наблюдават, сравняват, обобщават и класифицират.
• Насърчавайте учениците да преодоляват трудностите в процеса на умствена дейност, самоконтрол и интроспекция на дейността си.

Оборудване за урока:КРМу, лаптопи за всеки ученик.

Структура на урока:

1. Организационен момент
2. Обсъждане на д/з и самост. работа от миналия урок
3. Преглед на методите за решаване на тригонометрични уравнения.
4. Решаване на тригонометрични уравнения
5. Избор на корени в тригонометрични уравнения.
6. Самостоятелна работа.
7. Обобщение на урока. Домашна работа.

1. Организационен момент (2 мин.)

Учителят поздравява публиката, обявява темата на урока и плана за работа.

2. а) Анализ на домашната работа (5 мин.)

Целта е да се провери изпълнението. Една работа се показва на екрана с помощта на видеокамера, останалите се събират избирателно за проверка от учителя.

б) Анализ на самостоятелна работа (3 мин.)

Целта е да се анализират грешките и да се посочат начини за тяхното преодоляване.

Отговорите и решенията са на екрана, учениците имат предварително дадена работа. Анализът протича бързо.

3. Преглед на методите за решаване на тригонометрични уравнения (5 мин.)

Целта е да се припомнят методи за решаване на тригонометрични уравнения.

Попитайте учениците какви методи за решаване на тригонометрични уравнения знаят. Подчертайте, че има така наречените основни (често използвани) методи:

• променлива замяна,
• факторизация,
• хомогенни уравнения,

и има приложени методи:

• използвайки формулите за преобразуване на сбор в произведение и произведение в сбор,
• според формулите за намаляване на степента,
• универсално тригонометрично заместване
• въвеждане на спомагателен ъгъл,
• умножение по някаква тригонометрична функция.

Трябва също да се припомни, че едно уравнение може да бъде решено по различни начини.

4. Решаване на тригонометрични уравнения (30 мин.)

Целта е да се обобщят и затвърдят знанията и уменията по тази тема, да се подготви за решение С1 от Единния държавен изпит.

Считам за препоръчително уравненията за всеки метод да се решават заедно с учениците.

Ученикът диктува решението, учителят го записва на таблета и целият процес се показва на екрана. Това ще ви позволи бързо и ефективно да извикате в паметта си вече разгледан материал.

Решете уравнения:

1) замяна на променливата 6cos 2 x + 5sinx - 7 = 0

2) факторизация 3cos(x/3) + 4cos 2 (x/3) = 0

3) хомогенни уравнения sin 2 x + 3cos 2 x - 2sin2x = 0

4) преобразуване на сумата в продукт cos5x + cos7x = cos(π + 6x)

5) преобразуване на произведението в сумата 2sinx sin2x + cos3x = 0

6) намаляване на степента sin2x - sin 2 2x + sin 2 3x = 0,5

7) универсално тригонометрично заместване sinx + 5cosx + 5 = 0.

При решаването на това уравнение трябва да се отбележи, че използването на този метод води до стесняване на обхвата на дефиниция, тъй като синус и косинус се заменят с tg(x/2). Следователно, преди да напишете отговора, трябва да проверите дали числата от множеството π + 2πn, n Z са коне на това уравнение.

8) въвеждане на допълнителен ъгъл √3sinx + cosx - √2 = 0

9) умножение по някаква тригонометрична функция cosx cos2x cos4x = 1/8.

5. Избор на корени на тригонометрични уравнения (20 мин.)

Тъй като в условията на ожесточена конкуренция при влизане в университети решаването само на първата част от изпита не е достатъчно, повечето студенти трябва да обърнат внимание на задачите от втората част (C1, C2, C3).

Следователно целта на този етап от урока е да запомните вече изучения материал и да се подготвите за решаване на задача C1 от Единния държавен изпит 2011 г.

Има тригонометрични уравнения, в които трябва да изберете корени, когато изписвате отговора. Това се дължи на някои ограничения, например: знаменателят на дробта не е равен на нула, изразът под четния корен е неотрицателен, изразът под знака логаритъм е положителен и т.н.

Такива уравнения се считат за уравнения с повишена сложност и във версията на Единния държавен изпит те се намират във втората част, а именно C1.

Решете уравнението:

Една дроб е равна на нула, ако тогава с помощта на единичната окръжност ще изберем корените (вижте Фигура 1)

Снимка 1.

получаваме x = π + 2πn, n Z

Отговор: π + 2πn, n Z

На екрана изборът на корени е показан в кръг в цветно изображение.

Продуктът е равен на нула, когато поне един от множителите е равен на нула и дъгата не губи значението си. Тогава

Използвайки единичния кръг, ние избираме корените (вижте Фигура 2)

Раздели: Математика

клас: 11

Урок 1

Предмет: 11 клас (подготовка за Единния държавен изпит)

Опростяване на тригонометрични изрази.

Решаване на прости тригонометрични уравнения. (2 часа)

Цели:

• Систематизира, обобщава, разширява знанията и уменията на учениците, свързани с използването на тригонометрични формули и решаването на прости тригонометрични уравнения.

Оборудване за урока:

Структура на урока:

1. Организационен момент
2. Тестване на лаптопи. Обсъждане на резултатите.
3. Опростяване на тригонометрични изрази
4. Решаване на прости тригонометрични уравнения
5. Самостоятелна работа.
6. Обобщение на урока. Обяснение на домашна работа.

1. Организационен момент. (2 минути.)

Учителят поздравява публиката, обявява темата на урока, напомня им, че преди това им е дадена задача да повторят тригонометричните формули и подготвя учениците за тестване.

2. Тестване. (15 мин. + 3 мин. дискусия)

Целта е да се проверят знанията за тригонометричните формули и умението да се прилагат. Всеки ученик има лаптоп на бюрото си с версия на теста.

Може да има произволен брой опции, ще дам пример за една от тях:

I опция.

Опростете изразите:

а) основни тригонометрични тъждества

1. sin 2 3y + cos 2 3y + 1;

б) формули за добавяне

3. sin5x - sin3x;

в) превръщане на произведение в сума

6. 2sin8y cos3y;

г) формули за двоен ъгъл

7. 2sin5x cos5x;

д) формули за полуъгли

е) формули за троен ъгъл

ж) универсално заместване

з) намаляване на степента

16. cos 2 (3x/7);

Учениците виждат своите отговори на лаптопа до всяка формула.

Работата моментално се проверява от компютъра. Резултатите се показват на голям екран, за да могат всички да ги видят.

Също така, след приключване на работата, верните отговори се показват на лаптопите на учениците. Всеки ученик вижда къде е допусната грешка и какви формули трябва да повтори.

3. Опростяване на тригонометрични изрази. (25 мин.)

Целта е да се повтори, упражни и затвърди използването на основни тригонометрични формули. Решаване на задачи B7 от Единния държавен изпит.

На този етап е препоръчително класът да се раздели на групи от силни ученици (работят самостоятелно с последващо тестване) и слаби ученици, които работят с учителя.

Задача за силни ученици (предварително подготвена на печатна основа). Основният акцент е върху формулите за намаляване и двоен ъгъл, съгласно Единния държавен изпит 2011.

Опростете изрази (за силни ученици):

В същото време учителят работи със слаби ученици, обсъждайки и решавайки задачи на екрана под диктовката на учениците.

Изчисли:

5) sin(270º - α) + cos (270º + α)

6)

Опростете:

Време беше да обсъдим резултатите от работата на силната група.

Отговорите се появяват на екрана, а също така с помощта на видеокамера се показва работата на 5 различни ученика (по една задача за всеки).

Слабата група вижда условието и начина на решение. Предстои обсъждане и анализ. С използването на технически средства това става бързо.

4. Решаване на прости тригонометрични уравнения. (30 мин.)

Целта е да се повтори, систематизира и обобщи решаването на най-простите тригонометрични уравнения и да се запишат корените им. Решение на задача B3.

Всяко тригонометрично уравнение, независимо как го решаваме, води до най-простото.

При изпълнение на задачата учениците трябва да обърнат внимание на записването на корените на уравнения от частни случаи и общ вид и на избирането на корените в последното уравнение.

Решете уравнения:

Запишете най-малкия положителен корен като отговор.

5. Самостоятелна работа (10 мин.)

Целта е тестване на придобитите умения, идентифициране на проблеми, грешки и начини за отстраняването им.

Предлага се многостепенна работа по избор на студента.

Вариант "3"

1) Намерете стойността на израза

2) Опростете израза 1 - sin 2 3α - cos 2 3α

3) Решете уравнението

Вариант за "4"

1) Намерете стойността на израза

2) Решете уравнението Запишете най-малкия положителен корен във вашия отговор.

Вариант "5"

1) Намерете tanα if

2) Намерете корена на уравнението Запишете най-малкия положителен корен като отговор.

6. Обобщение на урока (5 мин.)

Учителят обобщава факта, че по време на урока те повториха и затвърдиха тригонометричните формули и решаването на най-простите тригонометрични уравнения.

Задава се домашна работа (предварително подготвена на хартиен носител) със случайна проверка на следващия урок.

Решете уравнения:

9)

10) В отговора си посочете най-малкия положителен корен.

Урок 2

Предмет: 11 клас (подготовка за Единния държавен изпит)

Методи за решаване на тригонометрични уравнения. Избор на корен. (2 часа)

Цели:

• Обобщават и систематизират знанията за решаване на тригонометрични уравнения от различни видове.
• Да насърчава развитието на математическото мислене на учениците, способността да наблюдават, сравняват, обобщават и класифицират.
• Насърчавайте учениците да преодоляват трудностите в процеса на умствена дейност, самоконтрол и интроспекция на дейността си.

Оборудване за урока:КРМу, лаптопи за всеки ученик.

Структура на урока:

1. Организационен момент
2. Обсъждане на д/з и самост. работа от миналия урок
3. Преглед на методите за решаване на тригонометрични уравнения.
4. Решаване на тригонометрични уравнения
5. Избор на корени в тригонометрични уравнения.
6. Самостоятелна работа.
7. Обобщение на урока. Домашна работа.

1. Организационен момент (2 мин.)

Учителят поздравява публиката, обявява темата на урока и плана за работа.

2. а) Анализ на домашната работа (5 мин.)

Целта е да се провери изпълнението. Една работа се показва на екрана с помощта на видеокамера, останалите се събират избирателно за проверка от учителя.

б) Анализ на самостоятелна работа (3 мин.)

Целта е да се анализират грешките и да се посочат начини за тяхното преодоляване.

Отговорите и решенията са на екрана, учениците имат предварително дадена работа. Анализът протича бързо.

3. Преглед на методите за решаване на тригонометрични уравнения (5 мин.)

Целта е да се припомнят методи за решаване на тригонометрични уравнения.

Попитайте учениците какви методи за решаване на тригонометрични уравнения знаят. Подчертайте, че има така наречените основни (често използвани) методи:

• променлива замяна,
• факторизация,
• хомогенни уравнения,

и има приложени методи:

• използвайки формулите за преобразуване на сбор в произведение и произведение в сбор,
• според формулите за намаляване на степента,
• универсално тригонометрично заместване
• въвеждане на спомагателен ъгъл,
• умножение по някаква тригонометрична функция.

Трябва също да се припомни, че едно уравнение може да бъде решено по различни начини.

4. Решаване на тригонометрични уравнения (30 мин.)

Целта е да се обобщят и затвърдят знанията и уменията по тази тема, да се подготви за решение С1 от Единния държавен изпит.

Считам за препоръчително уравненията за всеки метод да се решават заедно с учениците.

Ученикът диктува решението, учителят го записва на таблета и целият процес се показва на екрана. Това ще ви позволи бързо и ефективно да извикате в паметта си вече разгледан материал.

Решете уравнения:

1) замяна на променливата 6cos 2 x + 5sinx - 7 = 0

2) факторизация 3cos(x/3) + 4cos 2 (x/3) = 0

3) хомогенни уравнения sin 2 x + 3cos 2 x - 2sin2x = 0

4) преобразуване на сумата в продукт cos5x + cos7x = cos(π + 6x)

5) преобразуване на произведението в сумата 2sinx sin2x + cos3x = 0

6) намаляване на степента sin2x - sin 2 2x + sin 2 3x = 0,5

7) универсално тригонометрично заместване sinx + 5cosx + 5 = 0.

При решаването на това уравнение трябва да се отбележи, че използването на този метод води до стесняване на обхвата на дефиниция, тъй като синус и косинус се заменят с tg(x/2). Следователно, преди да напишете отговора, трябва да проверите дали числата от множеството π + 2πn, n Z са коне на това уравнение.

8) въвеждане на допълнителен ъгъл √3sinx + cosx - √2 = 0

9) умножение по някаква тригонометрична функция cosx cos2x cos4x = 1/8.

5. Избор на корени на тригонометрични уравнения (20 мин.)

Тъй като в условията на ожесточена конкуренция при влизане в университети решаването само на първата част от изпита не е достатъчно, повечето студенти трябва да обърнат внимание на задачите от втората част (C1, C2, C3).

Следователно целта на този етап от урока е да запомните вече изучения материал и да се подготвите за решаване на задача C1 от Единния държавен изпит 2011 г.

Има тригонометрични уравнения, в които трябва да изберете корени, когато изписвате отговора. Това се дължи на някои ограничения, например: знаменателят на дробта не е равен на нула, изразът под четния корен е неотрицателен, изразът под знака логаритъм е положителен и т.н.

Такива уравнения се считат за уравнения с повишена сложност и във версията на Единния държавен изпит те се намират във втората част, а именно C1.

Решете уравнението:

Една дроб е равна на нула, ако тогава с помощта на единичната окръжност ще изберем корените (вижте Фигура 1)

Снимка 1.

получаваме x = π + 2πn, n Z

Отговор: π + 2πn, n Z

На екрана изборът на корени е показан в кръг в цветно изображение.

Продуктът е равен на нула, когато поне един от множителите е равен на нула и дъгата не губи значението си. Тогава

Използвайки единичния кръг, ние избираме корените (вижте Фигура 2)

Фигура 2.

5)

Да преминем към системата:

В първото уравнение на системата правим заместването log 2 (sinx) = y, след което получаваме уравнението , да се върнем към системата

използвайки единичната окръжност, избираме корените (вижте Фигура 5),

Фигура 5.

6. Самостоятелна работа (15 мин.)

Целта е да се консолидира и провери усвояването на материала, да се идентифицират грешките и да се очертаят начини за коригирането им.

Работата се предлага в три варианта, предварително подготвени на печатна основа, по избор на учениците.

Можете да решавате уравнения по всякакъв начин.

Вариант "3"

Решете уравнения:

1) 2sin 2 x + sinx - 1 = 0

2) sin2x = √3cosx

Вариант за "4"

Решете уравнения:

1) cos2x = 11sinx - 5

2) (2sinx + √3)log 8 (cosx) = 0

Вариант "5"

Решете уравнения:

1) 2sinx - 3cosx = 2

2)

7. Обобщение на урока, домашна работа (5 мин.)

Учителят обобщава урока и отново обръща внимание на факта, че тригонометричното уравнение може да бъде решено по няколко начина. Най-добрият начин за постигане на бързи резултати е този, който е научен най-добре от конкретен ученик.

Когато се подготвяте за изпита, трябва систематично да повтаряте формули и методи за решаване на уравнения.

Раздават се домашни (предварително подготвени на хартиен носител) и се коментират методите за решаване на някои уравнения.

Решете уравнения:

1) cosx + cos5x = cos3x + cos7x

2) 5sin(x/6) - cos(x/3) + 3 = 0

3) 4sin 2 x + sin2x = 3

4) sin 2 x + sin 2 2x - sin 2 3x - sin 2 4x = 0

5) cos3x cos6x = cos4x cos7x

6) 4sinx - 6cosx = 1

7) 3sin2x + 4 cos2x = 5

8)cosx cos2x cos4x cos8x = (1/8)cos15x

9) (2sin 2 x - sinx)log 3 (2cos 2 x + cosx) = 0

10) (2cos 2 x - √3cosx)log 7 (-tgx) = 0

11)

IN трансформации на идентичността тригонометрични изразиМогат да се използват следните алгебрични техники: събиране и изваждане на еднакви членове; извеждане на общия множител извън скоби; умножение и деление с една и съща величина; прилагане на формули за съкратено умножение; избор на пълен квадрат; разлагане на квадратен трином; въвеждане на нови променливи за опростяване на трансформациите.

Когато преобразувате тригонометрични изрази, които съдържат дроби, можете да използвате свойствата на пропорция, редуциране на дроби или редуциране на дроби до общ знаменател. Освен това можете да използвате избора на цялата част от фракцията, като умножите числителя и знаменателя на фракцията с една и съща сума и също така, ако е възможно, да вземете предвид хомогенността на числителя или знаменателя. Ако е необходимо, можете да представите дроб като сбор или разлика на няколко по-прости дроби.

Освен това, когато се прилагат всички необходими методи за преобразуване на тригонометрични изрази, е необходимо постоянно да се взема предвид диапазонът от допустими стойности на преобразуваните изрази.

Нека да разгледаме няколко примера.

Пример 1.

Изчислете A = (sin (2x – π) cos (3π – x) + sin (2x – 9π/2) cos (x + π/2)) 2 + (cos (x – π/2) cos ( 2x – 7π /2) +
+ sin (3π/2 – x) sin (2x –5π/2)) 2

Решение.

От формулите за намаляване следва:

sin (2x – π) = -sin 2x; cos (3π – x) = -cos x;

sin (2x – 9π/2) = -cos 2x; cos (x + π/2) = -sin x;

cos (x – π/2) = sin x; cos (2x – 7π/2) = -sin 2x;

sin (3π/2 – x) = -cos x; sin (2x – 5π/2) = -cos 2x.

Откъдето, по силата на формулите за добавяне на аргументи и основното тригонометрично тъждество, получаваме

A = (sin 2x cos x + cos 2x sin x) 2 + (-sin x sin 2x + cos x cos 2x) 2 = sin 2 (2x + x) + cos 2 (x + 2x) =
= sin 2 3x + cos 2 3x = 1

Отговор: 1.

Пример 2.

Преобразувайте израза M = cos α + cos (α + β) · cos γ + cos β – sin (α + β) · sin γ + cos γ в произведение.

Решение.

От формулите за добавяне на аргументи и формулите за преобразуване на сумата от тригонометрични функции в произведение след подходящо групиране имаме

M = (cos (α + β) cos γ – sin (α + β) sin γ) + cos α + (cos β + cos γ) =

2cos ((β + γ)/2) cos ((β – γ)/2) + (cos α + cos (α + β + γ)) =

2cos ((β + γ)/2) cos ((β – γ)/2) + 2cos (α + (β + γ)/2) cos ((β + γ)/2)) =

2cos ((β + γ)/2) (cos ((β – γ)/2) + cos (α + (β + γ)/2)) =

2cos ((β + γ)/2) 2cos ((β – γ)/2 + α + (β + γ)/2)/2) cos ((β – γ)/2) – (α + ( β + γ)/2)/2) =

4cos ((β + γ)/2) cos ((α +β)/2) cos ((α + γ)/2).

Отговор: M = 4cos ((α + β)/2) · cos ((α + γ)/2) · cos ((β + γ)/2).

Пример 3.

Покажете, че изразът A = cos 2 (x + π/6) – cos (x + π/6) cos (x – π/6) + cos 2 (x – π/6) взема единица за всички x от R и същото значение. Намерете тази стойност.

Решение.

Ето два начина за решаване на този проблем. Прилагайки първия метод, чрез изолиране на пълен квадрат и използване на съответните основни тригонометрични формули, получаваме

A = (cos (x + π/6) – cos (x – π/6)) 2 + cos (x – π/6) cos (x – π/6) =

4sin 2 x sin 2 π/6 + 1/2(cos 2x + cos π/3) =

Sin 2 x + 1/2 · cos 2x + 1/4 = 1/2 · (1 – cos 2x) + 1/2 · cos 2x + 1/4 = 3/4.

Решавайки задачата по втория начин, разгледайте A като функция на x от R и изчислете нейната производна. След трансформациите получаваме

А´ = -2cos (x + π/6) sin (x + π/6) + (sin (x + π/6) cos (x – π/6) + cos (x + π/6) sin (x + π/6)) – 2cos (x – π/6) sin (x – π/6) =

Sin 2(x + π/6) + sin ((x + π/6) + (x – π/6)) – sin 2(x – π/6) =

Sin 2x – (sin (2x + π/3) + sin (2x – π/3)) =

Sin 2x – 2sin 2x · cos π/3 = sin 2x – sin 2x ≡ 0.

Следователно, поради критерия за постоянство на функция, диференцируема на интервал, заключаваме, че

A(x) ≡ (0) = cos 2 π/6 - cos 2 π/6 + cos 2 π/6 = (√3/2) 2 = 3/4, x € R.

Отговор: A = 3/4 за x € R.

Основните техники за доказване на тригонометрични идентичности са:

а)намаляване на лявата страна на идентичността в дясната чрез подходящи трансформации;
б)намаляване на дясната страна на идентичността вляво;
V)редуциране на дясната и лявата страна на идентичността до една и съща форма;
G)свеждане до нула на разликата между лявата и дясната страна на доказваната идентичност.

Пример 4.

Проверете дали cos 3x = -4cos x · cos (x + π/3) · cos (x + 2π/3).

Решение.

Трансформирайки дясната страна на тази идентичност, използвайки съответните тригонометрични формули, имаме

4cos x cos (x + π/3) cos (x + 2π/3) =

2cos x (cos ((x + π/3) + (x + 2π/3)) + cos ((x + π/3) – (x + 2π/3))) =

2cos x (cos (2x + π) + cos π/3) =

2cos x · cos 2x - cos x = (cos 3x + cos x) – cos x = cos 3x.

Дясната страна на идентичността е намалена до лявата.

Пример 5.

Докажете, че sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ – 2cos α · cos β · cos γ = 2, ако α, β, γ са вътрешни ъгли на някакъв триъгълник.

Решение.

Като се има предвид, че α, β, γ са вътрешните ъгли на някакъв триъгълник, получаваме, че

α + β + γ = π и следователно γ = π – α – β.

sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ – 2cos α · cos β · cos γ =

Sin 2 α + sin 2 β + sin 2 (π – α – β) – 2cos α · cos β · cos (π – α – β) =

Sin 2 α + sin 2 β + sin 2 (α + β) + (cos (α + β) + cos (α – β) · (cos (α + β) =

Sin 2 α + sin 2 β + (sin 2 (α + β) + cos 2 (α + β)) + cos (α – β) (cos (α + β) =

1/2 · (1 – cos 2α) + ½ · (1 – cos 2β) + 1 + 1/2 · (cos 2α + cos 2β) = 2.

Първоначалното равенство е доказано.

Пример 6.

Докажете, че за да бъде един от ъглите α, β, γ на триъгълника равен на 60°, е необходимо и достатъчно sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0.

Решение.

Условието на този проблем включва доказване както на необходимост, така и на достатъчност.

Първо нека докажем необходимост.

Може да се покаже, че

sin 3α + sin 3β + sin 3γ = -4cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2).

Следователно, като вземем предвид, че cos (3/2 60°) = cos 90° = 0, получаваме, че ако един от ъглите α, β или γ е равен на 60°, тогава

cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2) = 0 и следователно sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0.

Нека докажем сега адекватностпосоченото състояние.

Ако sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0, тогава cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2) = 0, и следователно

или cos (3α/2) = 0, или cos (3β/2) = 0, или cos (3γ/2) = 0.

следователно

или 3α/2 = π/2 + πk, т.е. α = π/3 + 2πk/3,

или 3β/2 = π/2 + πk, т.е. β = π/3 + 2πk/3,

или 3γ/2 = π/2 + πk,

тези. γ = π/3 + 2πk/3, където k ϵ Z.

От факта, че α, β, γ са ъглите на триъгълник, имаме

0 < α < π, 0 < β < π, 0 < γ < π.

Следователно, за α = π/3 + 2πk/3 или β = π/3 + 2πk/3 или

γ = π/3 + 2πk/3 от всички kϵZ само k = 0 е подходящо.

От това следва, че или α = π/3 = 60°, или β = π/3 = 60°, или γ = π/3 = 60°.

Твърдението е доказано.

Все още имате въпроси? Не сте сигурни как да опростите тригонометрични изрази?
За да получите помощ от преподавател, регистрирайте се.
Първият урок е безплатен!

уебсайт, при пълно или частично копиране на материал се изисква връзка към източника.