Теорема за рационални корени на полином. Рационални числа, определение, примери

и т.н. е с общообразователен характер и е от голямо значение за изучаване на ЦЕЛИЯ курс по висша математика. Днес ще повторим „училищните“ уравнения, но не само „училищните“ - а тези, които се срещат навсякъде в различни проблеми на vyshmat. Както обикновено, историята ще бъде разказана по приложен начин, т.е. Няма да се спирам на дефиниции и класификации, а ще споделя с вас личния си опит от решаването му. Информацията е предназначена предимно за начинаещи, но по-напредналите читатели също ще намерят много интересни точки за себе си. И, разбира се, ще има нов материал, който надхвърля гимназията.

Така че уравнението.... Мнозина си спомнят тази дума с тръпка. Какво струват „сложните“ уравнения с корени... ...забравете за тях! Защото тогава ще срещнете най-безобидните „представители“ на този вид. Или скучни тригонометрични уравнения с десетки методи за решаване. Честно казано, аз самият не ги харесах много... Не изпадайте в паника! – тогава ви очакват предимно „глухарчета“ с очевидно решение в 1-2 стъпки. Въпреки че „репеят“ със сигурност се придържа, трябва да сте обективни тук.

Колкото и да е странно, във висшата математика е много по-често да се работи с много примитивни уравнения като линеенуравнения

Какво означава да се реши това уравнение? Това означава намиране на ТАКАВА стойност на “x” (корен), която го превръща в истинско равенство. Нека хвърлим „тройката“ надясно с промяна на знака:

и пуснете „двойката“ от дясната страна (или същото нещо - умножете двете страни по) :

За да проверим, нека заместим спечеления трофей в оригиналното уравнение:

Получава се правилното равенство, което означава, че намерената стойност наистина е коренът на това уравнение. Или, както се казва, удовлетворява това уравнение.

Моля, имайте предвид, че коренът може да бъде записан и като десетична дроб:
И се опитайте да не се придържате към този лош стил! Повтарях причината повече от веднъж, по-специално в първия урок по висша алгебра.

Между другото, уравнението може да се реши и „на арабски“:

И най-интересното е, че този запис е напълно легален! Но ако не сте учител, тогава е по-добре да не правите това, защото оригиналността тук е наказуема =)

А сега малко за

метод на графично решение

Уравнението има формата и коренът му е Координата "X". пресечни точки графика на линейна функцияс графика на линейна функция (ос x):

Изглежда, че примерът е толкова елементарен, че тук няма какво повече да се анализира, но още един неочакван нюанс може да бъде „изстискан“ от него: нека представим същото уравнение във формата и да изградим графики на функциите:

при което, моля, не бъркайте двете понятия: уравнението е уравнение и функция– това е функция! Функции само помощнамерете корените на уравнението. От които може да има две, три, четири или дори безкрайно много. Най-близкият пример в този смисъл е известният квадратно уравнение, алгоритъмът за решение, за който получи отделен параграф "горещи" училищни формули. И това не е случайно! Ако можете да решите квадратно уравнение и да знаете Питагорова теорема, тогава може да се каже, че „половината от висшата математика вече е в джоба ви“ =) Преувеличено, разбира се, но не толкова далеч от истината!

Затова, нека не бъдем мързеливи и да решим някакво квадратно уравнение, използвайки стандартен алгоритъм:

, което означава, че уравнението има две различни валиденкорен:

Лесно е да се провери дали и двете намерени стойности действително отговарят на това уравнение:

Какво да направите, ако изведнъж сте забравили алгоритъма за решение и нямате средства/ръце за помощ под ръка? Тази ситуация може да възникне например по време на тест или изпит. Използваме графичния метод! И има два начина: можете изграждане точка по точкапарабола , като по този начин установява къде пресича оста (ако изобщо се пресича). Но е по-добре да направите нещо по-хитро: представете си уравнението във формата, начертайте графики на по-прости функции - и "X" координатипресечните им точки са ясно видими!


Ако се окаже, че правата линия докосва параболата, тогава уравнението има два съвпадащи (множествени) корена. Ако се окаже, че правата не пресича параболата, значи няма истински корени.

За да направите това, разбира се, трябва да можете да строите графики на елементарни функции, но от друга страна дори и ученик може да направи тези умения.

И отново - уравнението си е уравнение, а функциите са функции, които само помогнареши уравнението!

И тук, между другото, би било уместно да запомните още нещо: ако всички коефициенти на едно уравнение се умножат по ненулево число, тогава неговите корени няма да се променят.

Така например уравнението има същите корени. Като просто „доказателство“ ще извадя константата извън скоби:
и ще го махна безболезнено (Ще разделя двете части на „минус две“):

НО!Ако разгледаме функцията, тогава тук не можем да се отървем от константата! Допустимо е само множителят да бъде изваден от скоби: .

Много хора подценяват метода на графичното решение, смятайки го за нещо „недостойно“, а някои дори напълно забравят за тази възможност. И това е фундаментално погрешно, тъй като начертаването на графики понякога просто спасява ситуацията!

Друг пример: да предположим, че не помните корените на най-простото тригонометрично уравнение: . Общата формула е в училищните учебници, във всички справочници по елементарна математика, но те не са достъпни за вас. Решаването на уравнението обаче е критично (известно още като „две“). Има изход! – изграждане на графики на функции:


след което спокойно записваме координатите „X“ на техните пресечни точки:

Има безкрайно много корени и в алгебрата е приета тяхната съкратена нотация:
, Където ( – набор от цели числа) .

И без да „излизаме“, няколко думи за графичния метод за решаване на неравенства с една променлива. Принципът е същият. Така че, например, решението на неравенството е всяко „x“, защото Синусоидата лежи почти изцяло под правата линия. Решението на неравенството е набор от интервали, в които частите от синусоидата лежат строго над правата линия (ос x):

или накратко:

Но ето многото решения на неравенството: празен, тъй като нито една точка от синусоидата не лежи над правата линия.

Има ли нещо, което не разбирате? Спешно изучавайте уроците за комплектиИ функционални графики!

Да загреем:

Упражнение 1

Решете графично следните тригонометрични уравнения:

Отговори в края на урока

Както можете да видите, за да изучавате точни науки, изобщо не е необходимо да тъпчете формули и справочници! Освен това това е фундаментално погрешен подход.

Както вече ви уверих в самото начало на урока, сложните тригонометрични уравнения в стандартния курс по висша математика трябва да се решават изключително рядко. Цялата сложност, като правило, завършва с уравнения като , чието решение е две групи корени, произхождащи от най-простите уравнения и . Не се притеснявайте много за решаването на последното - погледнете в книга или я намерете в Интернет =)

Методът на графичното решение може да помогне и в по-малко тривиални случаи. Помислете, например, за следното уравнение на „парцал“:

Перспективите за неговото решение изглеждат... изобщо не приличат на нищо, но просто трябва да си представите уравнението във формата, изградете функционални графикии всичко ще се окаже невероятно просто. В средата на статията има рисунка за безкрайно малки функции (ще се отвори в следващия раздел).

Използвайки същия графичен метод, можете да разберете, че уравнението вече има два корена и единият от тях е равен на нула, а другият, очевидно, ирационалени принадлежи към сегмента. Този корен може да се изчисли приблизително, например, метод на допирателната. Между другото, при някои проблеми се случва, че не е нужно да намирате корените, а да разберете съществуват ли изобщо. И тук може да помогне чертеж - ако графиките не се пресичат, значи няма корени.

Рационални корени на полиноми с цели коефициенти.
Схема на Хорнер

А сега ви каня да обърнете поглед към Средновековието и да усетите уникалната атмосфера на класическата алгебра. За по-добро разбиране на материала ви препоръчвам да прочетете поне малко комплексни числа.

Те са най-добрите. Полиноми.

Обект на нашия интерес ще бъдат най-често срещаните полиноми от вида с цялокоефициенти Нарича се естествено число степен на полином, число – коефициент от най-висока степен (или само най-високия коефициент), а коефициентът е безплатен член.

Ще обознача накратко този полином с .

Корени на полиномнаричаме корените на уравнението

Обичам желязната логика =)

За примери отидете в самото начало на статията:

Няма проблеми с намирането на корените на полиноми от 1-ва и 2-ра степен, но с увеличаването тази задача става все по-трудна. Въпреки че от друга страна всичко е по-интересно! И точно на това ще бъде посветена втората част на урока.

Първо, буквално половината екран на теорията:

1) Според следствието основна теорема на алгебрата, степенният полином има точно комплекскорени. Някои корени (или дори всички) може да са особено валиден. Освен това сред истинските корени може да има еднакви (множество) корени (минимум две, максимум бройки).

Ако някакво комплексно число е корен на полином, тогава конюгатнеговият номер също е задължително корен на този полином (конюгираните сложни корени имат формата ).

Най-простият пример е квадратно уравнение, което се среща за първи път в 8 (като)клас, и който най-после „довършихме“ в темата комплексни числа. Нека ви напомня: едно квадратно уравнение има или два различни реални корена, или множество корени, или спрегнати комплексни корени.

2) От Теорема на Безуследва, че ако едно число е корен на уравнение, тогава съответният полином може да бъде факторизиран:
, където е полином със степен .

И отново, нашият стар пример: тъй като е коренът на уравнението, тогава . След което не е трудно да се получи добре познатото „училищно“ разширение.

Следствието от теоремата на Безу има голяма практическа стойност: ако знаем корена на уравнение от 3-та степен, тогава можем да го представим във формата и от квадратното уравнение е лесно да се намерят останалите корени. Ако знаем корена на уравнение от 4-та степен, тогава е възможно да разширим лявата страна в продукт и т.н.

И тук има два въпроса:

Въпрос първи. Как да намерите този корен? Първо, нека да определим неговата същност: в много проблеми на висшата математика е необходимо да се намери рационален, в частност цялокорени на полиноми и в тази връзка по-нататък ще се интересуваме основно от тях.... ...толкова са хубави, толкова пухкави, че направо ти се иска да ги намериш! =)

Първото нещо, което идва на ум, е методът на избор. Помислете, например, за уравнението. Уловката тук е в свободния термин - ако беше равен на нула, тогава всичко щеше да е наред - изваждаме „x“ от скобите и самите корени „изпадат“ на повърхността:

Но нашият свободен член е равен на „три“ и затова започваме да заместваме различни числа в уравнението, които претендират да бъдат „корен“. На първо място, подмяната на единични стойности се предполага. Нека заместим:

получено неправилноравенство, следователно единицата „не пасва“. Е, добре, нека заместим:

получено вярноравенство! Тоест стойността е коренът на това уравнение.

За намиране на корените на полином от 3-та степен има аналитичен метод (така наречените формули на Кардано), но сега ни интересува малко по-различна задача.

Тъй като - е коренът на нашия полином, полиномът може да бъде представен във формата и възниква Втори въпрос: как да намерим „по-малък брат“?

Най-простите алгебрични съображения предполагат, че за да направим това, трябва да разделим на . Как да разделя полином на полином? Същият училищен метод, който разделя обикновените числа - „колона“! Обсъдих този метод подробно в първите примери от урока. Комплексни граници, а сега ще разгледаме друг метод, който се нарича Схема на Хорнер.

Първо записваме „най-високия“ полином с всички , включително нулеви коефициенти:
, след което въвеждаме тези коефициенти (стриктно в ред) в горния ред на таблицата:

Пишем корена отляво:

Веднага ще направя резервация, че схемата на Хорнър също работи, ако "червеното" число Нее коренът на полинома. Нека обаче не бързаме.

Премахваме водещия коефициент отгоре:

Процесът на запълване на долните клетки донякъде напомня на бродиране, където „минус едно“ е вид „игла“, която прониква в следващите стъпки. Умножаваме „пренесеното“ число по (–1) и добавяме числото от горната клетка към продукта:

Умножаваме намерената стойност по „червената игла“ и добавяме следния коефициент на уравнението към продукта:

И накрая, получената стойност отново се „обработва“ с „иглата“ и горния коефициент:

Нулата в последната клетка ни казва, че полиномът е разделен на без следа (както би трябвало да бъде), докато коефициентите на разширение се „премахват“ директно от долния ред на таблицата:

Така преминахме от уравнението към еквивалентно уравнение и всичко е ясно с двата останали корена (в този случай получаваме спрегнати комплексни корени).

Уравнението, между другото, може да се реши и графично: начертайте "мълния" и вижте, че графиката пресича оста x () в точка . Или същият „хитър“ трик - пренаписваме уравнението във формата, рисуваме елементарни графики и откриваме координатата „X“ на тяхната пресечна точка.

Между другото, графиката на всяка функция-полином от 3-та степен пресича оста поне веднъж, което означава, че съответното уравнение има понеедин валиденкорен. Този факт е верен за всяка полиномна функция от нечетна степен.

И тук също искам да се спра важен моменткоето се отнася до терминологията: полиномИ полиномна функция – не е едно и също нещо! Но на практика те често говорят например за „графика на полином“, което, разбира се, е небрежност.

Да се ​​върнем обаче към схемата на Хорнер. Както споменах наскоро, тази схема работи и за други номера, но ако номерът Нее коренът на уравнението, тогава в нашата формула се появява ненулева добавка (остатък):

Нека „изпълним“ „неуспешната“ стойност според схемата на Horner. В този случай е удобно да използвате същата таблица - напишете нова „игла“ отляво, преместете водещия коефициент отгоре (лява зелена стрелка), и тръгваме:

За да проверим, нека отворим скобите и представим подобни термини:
, ДОБРЕ.

Лесно се вижда, че остатъкът („шест“) е точно стойността на полинома при . А всъщност - как е:
, и още по-хубаво - така:

От горните изчисления е лесно да се разбере, че схемата на Хорнър позволява не само да се факторира полинома, но и да се извърши „цивилизована“ селекция на корена. Предлагам ви сами да консолидирате алгоритъма за изчисление с малка задача:

Задача 2

Използвайки схемата на Хорнер, намерете корена на цялото число на уравнението и факторизирайте съответния полином

С други думи, тук трябва последователно да проверявате числата 1, –1, 2, –2, ... – докато в последната колона не се „начертае“ остатък нула. Това ще означава, че "иглата" на тази линия е коренът на полинома

Удобно е да подредите изчисленията в една таблица. Подробно решение и отговор в края на урока.

Методът за избор на корени е добър за относително прости случаи, но ако коефициентите и/или степента на полинома са големи, тогава процесът може да отнеме много време. Или може би има някои стойности от същия списък 1, –1, 2, –2 и няма смисъл да се разглежда? И освен това корените може да се окажат частични, което ще доведе до напълно ненаучно мушкане.

За щастие има две мощни теореми, които могат значително да намалят търсенето на „кандидат“ стойности за рационални корени:

Теорема 1Нека помислим нередуцируемдроб , където . Ако числото е коренът на уравнението, тогава свободният член се разделя на и водещият коефициент се разделя на.

В частност, ако водещият коефициент е , тогава този рационален корен е цяло число:

И ние започваме да използваме теоремата само с този вкусен детайл:

Да се ​​върнем към уравнението. Тъй като неговият водещ коефициент е , тогава хипотетичните рационални корени могат да бъдат изключително цели числа и свободният член трябва задължително да бъде разделен на тези корени без остатък. А „три“ може да се раздели само на 1, –1, 3 и –3. Тоест имаме само 4 „коренни кандидати“. И според Теорема 1, други рационални числа не могат да бъдат корени на това уравнение ПО ПРИНЦИП.

Има малко повече „претенденти“ в уравнението: свободният член е разделен на 1, –1, 2, – 2, 4 и –4.

Моля, обърнете внимание, че числата 1, –1 са „обикновени“ в списъка с възможни корени (очевидно следствие от теоремата)и най-добрият избор за приоритетно тестване.

Нека да преминем към по-смислени примери:

Проблем 3

Решение: тъй като водещият коефициент е , тогава хипотетичните рационални корени могат да бъдат само цели числа и те задължително трябва да бъдат делители на свободния член. „Минус четиридесет“ е разделено на следните двойки числа:
– общо 16 „кандидати”.

И тук веднага се появява съблазнителна мисъл: възможно ли е да се отсеят всички отрицателни или всички положителни корени? В някои случаи е възможно! Ще формулирам два знака:

1) Ако всичкоАко коефициентите на полинома са неотрицателни или всички неположителни, тогава той не може да има положителни корени. За съжаление, това не е нашият случай (Сега, ако ни беше дадено уравнение - тогава да, когато заместваме която и да е стойност на полинома, стойността на полинома е строго положителна, което означава, че всички положителни числа (и ирационални също)не могат да бъдат корени на уравнението.

2) Ако коефициентите за нечетни степени са неотрицателни и за всички четни степени (включително безплатен член)са отрицателни, тогава полиномът не може да има отрицателни корени. Или „огледално“: коефициентите за нечетни степени са неположителни, а за всички четни степени са положителни.

Това е нашият случай! Поглеждайки малко по-отблизо, можете да видите, че при заместване на който и да е отрицателен „X“ в уравнението, лявата страна ще бъде строго отрицателна, което означава, че отрицателните корени изчезват

Така остават 8 числа за изследване:

„Зареждаме“ ги последователно по схемата на Хорнер. Надявам се, че вече сте усвоили умствените изчисления:

При тестването на „двойката“ ни чакаше късмет. По този начин е коренът на разглежданото уравнение и

Остава да проучим уравнението . Това е лесно да се направи чрез дискриминанта, но аз ще проведа индикативен тест по същата схема. Първо, нека отбележим, че безплатният член е равен на 20, което означава Теорема 1числата 8 и 40 отпадат от списъка с възможни корени, оставяйки стойностите за изследване (един е елиминиран по схемата на Хорнер).

Записваме коефициентите на тринома в горния ред на новата таблица и Започваме проверката със същите „две“. Защо? И тъй като корените могат да бъдат кратни, моля: - това уравнение има 10 еднакви корена. Но да не се разсейваме:

И тук, разбира се, малко се излъгах, знаейки, че корените са рационални. В крайна сметка, ако бяха ирационални или сложни, тогава щях да се изправя пред неуспешна проверка на всички останали числа. Затова на практика се ръководете от дискриминанта.

Отговор: рационални корени: 2, 4, 5

В проблема, който анализирахме, имахме късмет, защото: а) отрицателните стойности веднага паднаха и б) намерихме корена много бързо (и теоретично можехме да проверим целия списък).

Но в действителност ситуацията е много по-лоша. Каня ви да гледате една вълнуваща игра, наречена „Последният герой“:

Проблем 4

Намерете рационалните корени на уравнението

Решение: От Теорема 1числителите на хипотетични рационални корени трябва да отговарят на условието (четем „дванадесет е разделено на el“), а знаменателите отговарят на условието . Въз основа на това получаваме два списъка:

"списък el":
и "списък хм": (за щастие числата тук са естествени).

Сега нека направим списък на всички възможни корени. Първо, разделяме „el list“ на . Абсолютно ясно е, че ще се получат същите числа. За удобство нека ги поставим в таблица:

Много дроби са намалени, което води до стойности, които вече са в „списъка с герои“. Добавяме само „новобранци“:

По същия начин разделяме същия „списък“ на:

и накрая на

Така екипът от участници в нашата игра е завършен:


За съжаление, полиномът в този проблем не удовлетворява критерия "положителен" или "отрицателен" и следователно не можем да отхвърлим горния или долния ред. Ще трябва да работите с всички числа.

Как се чувстваш? Хайде, вдигнете главата – има още една теорема, която образно може да се нарече „убийствената теорема“…. ..."кандидати", разбира се =)

Но първо трябва да прегледате диаграмата на Хорнър за поне един цялоточисла. Традиционно, нека вземем един. В горния ред записваме коефициентите на полинома и всичко е както обикновено:

Тъй като четири очевидно не е нула, стойността не е коренът на въпросния полином. Но тя ще ни помогне много.

Теорема 2Ако за някои общо взетостойността на полинома е различна от нула: , тогава неговите рационални корени (ако са)отговарят на условието

В нашия случай и следователно всички възможни корени трябва да отговарят на условието (да го наречем Условие № 1). Тази четворка ще бъде „убиецът” на много „кандидати”. Като демонстрация ще разгледам няколко проверки:

Да проверим "кандидата". За да направите това, нека изкуствено да го представим под формата на дроб, от която ясно се вижда, че . Нека изчислим тестовата разлика: . Четири се дели на „минус две“: , което означава, че възможният корен е преминал теста.

Да проверим стойността. Тук разликата в теста е: . Разбира се, и следователно вторият „субект“ също остава в списъка.

Този полином има цели коефициенти. Ако цяло число е коренът на този полином, то е делител на числото 16. Така, ако даден полином има цели корени, то това могат да бъдат само числата ±1; ±2; ±4; ±8; ±16. Чрез пряка проверка се убеждаваме, че числото 2 е коренът на този полином, т.е. x 3 – 5x 2 – 2x + 16 = (x – 2)Q (x), където Q (x) е полином на втората степен. Следователно полиномът се разлага на множители, един от които е (x – 2). За да намерим вида на полинома Q (x), използваме така наречената схема на Хорнер. Основното предимство на този метод е компактността на записа и възможността за бързо разделяне на полином на бином. Всъщност схемата на Хорнер е друга форма на записване на метода на групиране, въпреки че, за разлика от последния, тя е напълно невизуална. Отговорът (факторизацията) тук се получава сам по себе си и не виждаме процеса на получаването му. Няма да се занимаваме със строго обосноваване на схемата на Хорнер, а само ще покажем как работи.

Числото от клетката над него се „премества“ във втората клетка на долния ред, тоест 1. След това те правят това. Коренът на уравнението (число 2) се умножава по последното написано число (1) и резултатът се добавя с числото, което е в горния ред над следващата свободна клетка, в нашия пример имаме:

Ирационално число- Това реално число, което не е рационално, тоест не може да бъде представено като дроб, където са цели числа, . Ирационално число може да бъде представено като безкрайна непериодична десетична дроб.

Множеството от ирационални числа обикновено се обозначава с главна латинска буква в удебелен стил без засенчване. Така: , т.е. има много ирационални числа разлика между множеството от реални и рационални числа.

За съществуването на ирационални числа, по-точно сегменти, несъизмерими с сегмент с единична дължина, вече са били известни на древните математици: те са знаели, например, несъизмеримостта на диагонала и страната на квадрата, което е еквивалентно на ирационалността на числото.

Имоти

• Всяко реално число може да се запише като безкрайна десетична дроб, докато ирационалните числа и само те се записват като непериодични безкрайни десетични дроби.
• Ирационалните числа определят съкращенията на Дедекинд в множеството от рационални числа, които нямат най-голямо число в по-ниския клас и нямат най-малко число в по-горния клас.
• Всяко реално трансцендентно число е ирационално.
• Всяко ирационално число е алгебрично или трансцендентално.
• Наборът от ирационални числа е плътен навсякъде на числовата ос: между всеки две числа има ирационално число.
• Редът върху множеството от ирационални числа е изоморфен на реда върху множеството от реални трансцендентални числа.
• Множеството от ирационални числа е неизброимо и е множество от втора категория.

Примери

Ирационални са:

Примери за доказателство за ирационалност

Корен от 2

Нека приемем обратното: то е рационално, т.е. представено е под формата на несъкратима дроб, където е цяло число, а е естествено число. Нека повдигнем на квадрат предполагаемото равенство:

От това следва, че дори е дори и . Нека бъде там, където е цялото. Тогава

Следователно дори означава дори и . Открихме, че и са четни, което противоречи на нередуцируемостта на фракцията . Това означава, че първоначалното предположение е било неправилно и е ирационално число.

Двоичен логаритъм на числото 3

Нека приемем обратното: той е рационален, т.е. представен е като дроб, където и са цели числа. Тъй като , и могат да бъдат избрани да бъдат положителни. Тогава

Но четно и нечетно. Получаваме противоречие.

д

История

Концепцията за ирационални числа е имплицитно възприета от индийските математици през 7 век пр. н. е., когато Манава (ок. 750 г. пр. н. е. - около 690 г. пр. н. е.) установява, че квадратните корени на някои естествени числа, като 2 и 61, не могат да бъдат изразени изрично. .

Първото доказателство за съществуването на ирационални числа обикновено се приписва на Хипас от Метапонт (ок. 500 г. пр. н. е.), питагореец, който намери това доказателство чрез изучаване на дължините на страните на пентаграмата. По времето на питагорейците се е смятало, че има една единица дължина, достатъчно малка и неделима, която влиза във всеки сегмент цял ​​брой пъти. Хипас обаче твърди, че няма единна единица за дължина, тъй като предположението за нейното съществуване води до противоречие. Той показа, че ако хипотенузата на равнобедрен правоъгълен триъгълник съдържа цяло число единични сегменти, то това число трябва да бъде едновременно четно и нечетно. Доказателството изглеждаше така:

• Съотношението на дължината на хипотенузата към дължината на катета на равнобедрен правоъгълен триъгълник може да се изрази като а:b, Където аИ bизбран като възможно най-малък.
• Според теоремата на Питагор: а² = 2 b².
• защото а- дори, атрябва да е четен (тъй като квадратът на нечетно число би бил нечетен).
• Тъй като а:bнередуцируем bтрябва да е странно.
• защото адори, обозначаваме а = 2г.
• Тогава а² = 4 г² = 2 b².
• b² = 2 г², следователно b- дори и тогава bдори.
• Доказано е обаче, че bстранно. Противоречие.

Гръцките математици наричат ​​това съотношение на несъизмерими количества alogos(неописуемо), но според легендите не са отдали дължимото уважение на Хипас. Има легенда, че Хипас е направил откритието по време на морско пътешествие и е бил хвърлен зад борда от други питагорейци „за създаването на елемент от вселената, който отрича доктрината, че всички същества във вселената могат да бъдат сведени до цели числа и техните съотношения“. Откриването на Хипас постави сериозен проблем за питагорейската математика, унищожавайки основното предположение, че числата и геометричните обекти са едно и неразделно.

Както вече отбелязахме, един от най-важните проблеми в теорията на полиномите е проблемът за намирането на техните корени. За да разрешите този проблем, можете да използвате метода за избор, т.е. вземете произволно число и проверете дали то е корен на даден полином.

В този случай можете бързо да се „блъснете“ в корена или никога да не го намерите. В крайна сметка е невъзможно да се проверят всички числа, тъй като има безкрайно много от тях.

Друг въпрос би било, ако можехме да стесним областта на търсене, например да знаем, че корените, които търсим, са, да речем, сред тридесетте посочени числа. И за тридесет номера можете да направите проверка. Във връзка с всичко казано по-горе това твърдение изглежда важно и интересно.

Ако нередуцируемата дроб l/m (l,m са цели числа) е коренът на полином f (x) с цели коефициенти, тогава водещият коефициент на този полином се разделя на m, а свободният член се разделя на 1.

Наистина, ако f (x) =anxn+an-1xn-1+... +a1x+a0, an?0, където an, an-1,...,a1, a0 са цели числа, тогава f (l/ m) =0, т.е. аn (l/m) n+an-1 (l/m) n-1+... +a1l/m+a0=0.

Нека умножим двете страни на това равенство по mn. Получаваме anln+an-1ln-1m+... +a1lmn-1+a0mn=0.

Това предполага:

anln=m (-an-1ln-1-... - a1lmn-2-a0mn-1).

Виждаме, че цялото число anln се дели на m. Но l/m е несъкратима дроб, т.е. числата l и m са взаимно прости, а тогава, както е известно от теорията за делимостта на целите числа, числата ln и m също са взаимно прости. И така, anln се дели на m и m е взаимнопросто с ln, което означава, че an се дели на m.

Доказаната тема ни позволява значително да стесним областта на търсене на рационални корени на полином с цели коефициенти. Нека демонстрираме това с конкретен пример. Нека намерим рационалните корени на полинома f (x) =6x4+13x2-24x2-8x+8. Съгласно теоремата рационалните корени на този полином са сред несъкратимите дроби от вида l/m, където l е делителя на свободния член a0=8, а m е делителя на водещия коефициент a4=6. Освен това, ако фракцията l/m е отрицателна, тогава знакът „-“ ще бъде присвоен на числителя. Например, - (1/3) = (-1) /3. Така че можем да кажем, че l е делител на числото 8, а m е положителен делител на числото 6.

Тъй като делителите на числото 8 са ±1, ±2, ±4, ±8, а положителните делители на числото 6 са 1, 2, 3, 6, то рационалните корени на въпросния многочлен са сред числата ±1, ±1/2, ± 1/3, ±1/6, ±2, ±2/3, ±4, ±4/3, ±8, ±8/3. Нека си припомним, че изписахме само несъкратими дроби.

Така имаме двадесет числа - „кандидати“ за корени. Остава само да проверите всеки от тях и да изберете тези, които наистина са корени. Но отново ще трябва да направите доста проверки. Но следната теорема опростява тази работа.

Ако нередуцируемата дроб l/m е корен на полином f (x) с цели коефициенти, тогава f (k) се дели на l-km за всяко цяло число k, при условие че l-km?0.

За да докажете тази теорема, разделете f (x) на x-k с остатък. Получаваме f (х) = (х-к) с (х) +f (к).Тъй като f (x) е полином с цели коефициенти, такъв е и полиномът s (x), а f (k) е цяло число. Нека s (x) =bn-1+bn-2+…+b1x+b0. Тогава f (x) - f (k) = (x-k) (bn-1xn-1+bn-2xn-2+ …+b1x+b0). Нека поставим x=l/m в това равенство. Като се има предвид, че f (l/m) =0, получаваме

f (k) = ((l/m) - k) (bn-1 (l/m) n-1+bn-2 (l/m) n-2+…+b1 (l/m) +b0) .

Нека умножим двете страни на последното равенство по mn:

mnf (k) = (l-km) (bn-1ln-1+bn-2ln-2m+…+b1lmn-2+b0mn-1).

От това следва, че цялото число mnf (k) се дели на l-km. Но тъй като l и m са взаимно прости, тогава mn и l-km също са взаимно прости, което означава, че f (k) се дели на l-km. Теоремата е доказана.

Нека сега се върнем към нашия пример и, използвайки доказаната теорема, ще стесним допълнително кръга от търсения на рационални корени. Нека приложим тази теорема за k=1 и k=-1, т.е. ако несъкратимата дроб l/m е коренът на полинома f (x), тогава f (1) / (l-m) и f (-1) / (l+m). Лесно намираме, че в нашия случай f (1) = -5 и f (-1) = -15. Обърнете внимание, че в същото време изключихме ±1 от разглеждане.

И така, рационалните корени на нашия полином трябва да се търсят сред числата ±1/2, ±1/3, ±1/6, ±2, ±2/3, ±4, ±4/3, ±8, ±8 /3.

Помислете за l/m=1/2. Тогава l-m=-1 и f (1) =-5 е разделено на това число. Освен това l+m=3 и f (1) =-15 също се дели на 3. Това означава, че частта 1/2 остава сред „кандидатите” за корени.

Нека сега lm=- (1/2) = (-1) /2. В този случай l-m=-3 и f (1) =-5 не се дели на - 3. Това означава, че дробта - 1/2 не може да бъде корен на този полином и ние го изключваме от по-нататъшно разглеждане. Нека проверим за всяка от дробите, написани по-горе, и ще открием, че търсените корени са сред числата 1/2, ±2/3, 2, - 4.

По този начин, използвайки доста проста техника, ние значително стеснихме областта на търсене на рационални корени на разглеждания полином. Е, за да проверим останалите числа, ще използваме схемата на Horner:

Таблица 10

Открихме, че остатъкът при деление на g (x) на x-2/3 е равен на - 80/9, т.е. 2/3 не е корен на полинома g (x) и следователно нито f (x).

След това лесно намираме, че - 2/3 е коренът на полинома g (x) и g (x) = (3x+2) (x2+2x-4). Тогава f (x) = (2x-1) (3x+2) (x2+2x-4). Допълнителна проверка може да бъде извършена за полинома x2+2x-4, който, разбира се, е по-прост, отколкото за g (x) или още повече за f (x). В резултат откриваме, че числата 2 и - 4 не са корени.

И така, полиномът f (x) =6x4+13x3-24x2-8x+8 има два рационални корена: 1/2 и - 2/3.

Спомнете си, че описаният по-горе метод дава възможност да се намерят само рационални корени на полином с цели коефициенти. Междувременно полиномът може да има и ирационални корени. Така например разглежданият в примера полином има още два корена: - 1±v5 (това са корените на полинома x2+2x-4). И най-общо казано, един полином може изобщо да няма рационални корени.

Сега нека дадем няколко съвета.

Когато се тестват „кандидатите“ за корените на полинома f (x), като се използва втората от доказаните по-горе теореми, последната обикновено се използва за случаи k=±1. С други думи, ако l/m е "кандидат" корен, тогава проверете дали f (1) и f (-1) се делят съответно на l-m и l+m. Но може да се случи, че например f (1) = 0, т.е. 1 е корен и тогава f (1) се дели на произволно число и нашата проверка става безсмислена. В този случай трябва да разделите f (x) на x-1, т.е. получете f(x) = (x-1)s(x) и проверете за полинома s(x). В същото време не трябва да забравяме, че вече сме намерили един корен на многочлена f (x) - x1=1. Ако при проверката на „кандидатите“ за оставащи корени след използването на втората теорема за рационалните корени, използвайки схемата на Хорнер, установим, че например l/m е корен, тогава трябва да се намери неговата кратност. Ако е равно на, да речем, k, тогава f (x) = (x-l/m) ks (x) и може да се направи допълнително тестване за s (x), което намалява изчисленията.

Така се научихме да намираме рационални корени на полином с цели коефициенти. Оказва се, че по този начин сме се научили да намираме ирационалните корени на полином с рационални коефициенти. Всъщност, ако имаме, например, полином f (x) =x4+2/3x3+5/6x2+3/8x+2, тогава, привеждайки коефициентите към общ знаменател и поставяйки го извън скоби, ние вземете f (x) =1/24 (24x4+16x3-20x2+9x+48). Ясно е, че корените на полинома f (x) съвпадат с корените на полинома в скоби, а коефициентите му са цели числа. Нека докажем например, че sin100 е ирационално число. Нека използваме добре познатата формула sin3?=3sin?-4sin3?. Следователно sin300=3sin100-4sin3100. Имайки предвид, че sin300=0,5 и извършвайки прости трансформации, получаваме 8sin3100-6sin100+1=0. Следователно sin100 е коренът на полинома f (x) =8x3-6x+1. Ако потърсим рационални корени на този полином, ще се убедим, че такива няма. Това означава, че коренът sin100 не е рационално число, т.е. sin100 е ирационално число.

Полином в променливата x е израз на формата: anxn+an-1 xn-1+. . . +a 1 x+a 0, където n е естествено число; аn, an-1, . . . , a 1, a 0 - всякакви числа, наречени коефициенти на този полином. Изрази anxn, an-1 xn-1, . . . , a 1 x, a 0 се наричат ​​членове на полинома, а 0 е свободният член. an е коефициентът на xn, an-1 е коефициентът на xn-1 и т.н. Полином, в който всички коефициенти са равни на нула, се нарича нула. например полиномът 0 x2+0 x+0 е нула. От записа на полинома става ясно, че той се състои от няколко члена. Оттук идва терминът ‹‹полином›› (много членове). Понякога полиномът се нарича полином. Този термин идва от гръцките думи πολι - много и νομχ - член.

Полином в една променлива x се означава: . f (x), g (x), h (x) и т.н. например, ако първият от горните полиноми е обозначен с f (x), тогава можем да напишем: f (x) =x 4+2 x 3 + (- 3) x 2+3/7 x+√ 2. 1. Полиномът h(x) се нарича най-голям общ делител на полиномите f(x) и g(x), ако дели f(x), g (x) и всеки техен общ делител. 2. Полином f(x) с коефициенти от полето P от степен n се казва, че е редукционен над полето P, ако съществуват полиноми h(x), g(x) О P[x] от степен, по-малка от n такива че f(x) = h( x)g(x).

Ако има полином f (x) =anxn+an-1 xn-1+. . . +a 1 x+a 0 и an≠ 0, тогава числото n се нарича степен на полинома f (x) (или казват: f (x) - n-та степен) и напишете чл. f(x)=n. В този случай an се нарича водещ коефициент, а anxn е водещ член на този полином. Например, ако f (x) =5 x 4 -2 x+3, тогава чл. f (x) =4, водещ коефициент - 5, водещ член - 5 x4. Степента на полином е най-голямото ненулево число от неговите коефициенти. Полиноми от степен нула са числа, различни от нула. , нулевият полином няма степен; полиномът f (x) =a, където a е ненулево число и има степен 0; степента на всеки друг полином е равна на най-големия показател на променливата x, чийто коефициент е равен на нула.

Равенство на полиноми. Два полинома f (x) и g (x) се считат за равни, ако техните коефициенти за еднакви степени на променливата x и свободните членове са равни (съответстващите им коефициенти са равни). f (x) = g (x). Например полиномите f (x) =x 3+2 x 2 -3 x+1 и g(x) =2 x 23 x+1 не са равни, първият от тях има коефициент на x3 равен на 1, а вторият има нула ( според приетите конвенции можем да запишем: g (x) =0 x 3+2 x 2 -3 x+1. В този случай: f (x) ≠g (x). Полиномите не са равни: h (x) =2 x 2 -3 x+5, s (x) =2 x 2+3 x+5, тъй като техните коефициенти за x са различни.

Но полиномите f 1 (x) =2 x 5+3 x 3+bx+3 и g 1 (x) =2 x 5+ax 3 -2 x+3 са равни тогава и само ако a = 3, a b = -2. Нека е даден полиномът f (x) =anxn+an-1 xn-1+. . . +a 1 x+a 0 и някакво число c. Число f (c) =ancn+an-1 cn-1+. . . +a 1 c+a 0 се нарича стойността на полинома f (x) при x=c. По този начин, за да намерите f (c), трябва да замените c в полинома вместо x и да извършите необходимите изчисления. Например, ако f (x) =2 x 3+3 x 2 -x+5, тогава f (-2) =2 (-2) 3+ (-2) 2 - (-2) +5=3. Полиномът може да приема различни стойности за различни стойности на променливата x. Числото c се нарича корен на полинома f (x), ако f (c) =0.

Нека обърнем внимание на разликата между две твърдения: „полиномът f (x) е равен на нула (или, което е същото, полиномът f (x) е нула)“ и „стойността на полинома f (x ) при x = c е равно на нула.“ Например полиномът f (x) =x 2 -1 не е равен на нула, има ненулеви коефициенти и стойността му при x=1 е нула. f (x) ≠ 0 и f (1) = 0. Съществува тясна връзка между понятията за равенство на полиноми и стойността на полином. Ако са дадени два равни полинома f (x) и g (x), тогава съответните им коефициенти са равни, което означава f (c) = g (c) за всяко число c.

Операции с полиноми Полиномите могат да се добавят, изваждат и умножават, като се използват обичайните правила за отваряне на скоби и привеждане на подобни членове. Резултатът отново е полином. Тези операции имат известни свойства: f (x) +g (x) =g (x) +f (x), f (x) + (g (x) +h (x)) = (f (x) +g (x)) +h (x), f (x) g (x) =g (x) f (x), f (x) (g (x) h (x)) = (f (x) g ( x)) h (x), f (x) (g (x) +h (x)) =f (x) g (x) +f (x) h (x).

Нека са дадени два полинома f(x) =anxn+an-1 xn-1+. . . +a 1 x+a 0, an≠ 0 и g(x)=bmxm+bm-1 xm-1+. . . +b 1 x+bm≠ 0. Ясно е, че чл. f(x)=n и чл. g(x)=m. Ако умножим тези два полинома, получаваме полином от формата f(x) g(x)=anbmxm+n+. . . +a 0 b 0. Тъй като an≠ 0 и bn≠ 0, тогава anbm≠ 0, което означава st. (f(x)g(x))=m+n. От това следва важно твърдение.

Степента на произведението на два ненулеви полинома е равна на сумата от степените на множителите, чл. (f (x) g (x)) = st. f (x) +st. g(x). Главният член (коефициент) на произведението на два ненулеви полинома е равен на произведението на водещите членове (коефициенти) на факторите. Свободният член на произведението на два полинома е равен на произведението на свободните членове на факторите. Степените на полиномите f (x), g (x) и f (x) ±g (x) са свързани със следната връзка: чл. (f (x) ±g (x)) ≤ max (st. f (x), st. g (x)).

Суперпозицията на полиноми f (x) и g (x) се нарича. полином, обозначен с f (g (x)), който се получава, ако в полинома f (x) заместим полинома g (x) вместо x. Например, ако f(x)=x 2+2 x-1 и g(x) =2 x+3, тогава f(g(x))=f(2 x+3)=(2 x+3) 2 +2(2 x+3)-1=4 x 2+16 x+14, g(f(x))=g(x 2+2 x-1)=2(x 2+2 x-1) + 3=2 х 2+4 х+1. Може да се види, че f (g (x)) ≠g (f (x)), т.е. суперпозицията на полиномите f (x), g (x) и суперпозицията на полиномите g (x), f ( x) са различни. По този начин операцията на суперпозиция няма комутативното свойство.

, Алгоритъм за деление с остатък За всяко f(x), g(x), съществуват q(x) (частно) и r(x) (остатък), така че f(x)=g(x)q(x)+ r(x) и степента r(x)

Делители на полином Делителят на полином f(x) е полином g(x), такъв че f(x)=g(x)q(x). Най-големият общ делител на два полинома Най-големият общ делител на полиномите f(x) и g(x) е техният общ делител d(x), който се дели на всеки от другите им общи делители.

Евклидов алгоритъм (алгоритъм за последователно деление) за намиране на най-големия общ делител на полиномите f(x) и g(x) Тогава е най-големият общ делител на f(x) и g(x).

Редуциране на фракцията Решение: Намерете gcd на тези полиноми с помощта на евклидовия алгоритъм 1) x3 + 6 x2 + 11 x + 6 x3 + 7 x2 + 14 x + 8 1 – x2 – 3 x – 2 2) x3 + 7 x2 + 14 x + 8 x3 + 3 x2 + 2 x – x2 – 3 x – 2 –x– 4 4 x2 + 12 x + 8 0 Следователно полиномът (– x2 – 3 x – 2) е НОД на числителя и знаменател на дадена дроб. Резултатът от разделянето на знаменателя на този полином е известен.

Нека намерим резултата от деленето на числителя. x 3 + 6 x2 + 11 x + 6 – x2 – 3 x – 2 x3 + 3 x2 + 2 x –x– 3 3 x2 + 9 x + 6 0 Така отговорът:

Схема на Хорнер. Разделянето на полином f(x) с остатък на ненулев полином g(x) означава представяне на f(x) във формата f(x)=g(x) s(x)+r(x), където s (x ) и r(x) са полиноми и или r(x)=0, или st. r(x)

Полиномите от лявата и дясната страна на тази връзка са равни, което означава, че съответните им коефициенти са равни. Нека ги приравним, като първо отворим скобите и поставим подобни членове от дясната страна на това равенство. Получаваме: a= bn-1, a-1 = bn-2 - cbn-1, a-2 = bn-3 - cbn-2, a 2 = b 1 - cb 2, a 1 = b 0 - cb 1 , a 0 = r - cb 0. Спомнете си, че трябва да намерим непълното частно, т.е. неговите коефициенти, и остатъка. Нека ги изразим от получените равенства: bn-1 = an, b n-2 = cbn-1 + an-1, b n-3 = cbn-2 + a n-2, b 1 = cb 2 + a 2 , b 0 = cb 1 +a 1, r = cb 0 + a 0. Намерихме формули, които могат да се използват за изчисляване на коефициентите на частичното частно s (x) и остатъка r. В този случай изчисленията са представени под формата на следната таблица; тя се нарича схема на Хорнер.

Таблица 1. Коефициенти f (x) c an bn-1 an-1 bn-2=cbn-1+ an-1 an-2 bn-3 = cbn-2+an-2 … … a 0 r = cb 0 + a 0 Коефициенти s (x) остатък В първия ред на тази таблица запишете всички коефициенти на полинома f (x) подред, като оставите първата клетка свободна. Във втория ред, в първата клетка, напишете числото c. Останалите клетки на този ред се попълват чрез изчисляване един по един на коефициентите на непълното частно s (x) и остатъка r. Във втората клетка напишете коефициента bn-1, който, както установихме, е равен на an.

Коефициентите във всяка следваща клетка се изчисляват по следното правило: числото c се умножава по числото в предходната клетка и към резултата се добавя числото над попълваната клетка. За да запомните, да речем, петата клетка, тоест да намерите коефициента в нея, трябва да умножите c по числото в четвъртата клетка и да добавите числото над петата клетка към резултата. Нека разделим, например, полинома f (x) =3 x 4 -5 x 2+3 x-1 на x-2 с остатък, използвайки схемата на Horner. Когато попълвате първия ред на тази диаграма, не трябва да забравяме нулевите коефициенти на полинома. И така, коефициентите f (x) са числата 3, 0, - 5, 3, - 1. И вие също трябва да запомните, че степента на непълно частно е с единица по-малка от степента на полинома f (x).

И така, извършваме разделянето по схемата на Хорнер: Таблица 2. 2 3 3 0 6 -5 7 3 17 -1 33 Получаваме частичното частно s (x) =3 x 3+6 x 2+7 x+17 и остатъкът r=33. Имайте предвид, че в същото време изчислихме стойността на полинома f (2) =33. Нека сега разделим същия полином f (x) на x+2 с остатък. В този случай c=-2. получаваме: Таблица 3. -2 3 3 0 -6 -5 7 3 -11 -1 21 В резултат на това имаме f (x) = (x+2) (3 x 3 -6 x 2+7 x- 11) +21 .

Корени на полиноми Нека c1, c2, …, cm са различни корени на полинома f (x). Тогава f (x) се дели на x-c1, т.е. f (x) = (x-c 1) s 1 (x). Нека поставим x=c2 в това равенство. Получаваме f (c 2) = (c 2 -c 1) s 1 (c 2) и, така че f (c 2) =0, тогава (c2 -c1) s 1 (c 2) =0. Но с2≠с1, т.е. с2 -с1≠ 0, което означава s 1 (c 2) =0. Така c2 е коренът на полинома s 1 (x). От това следва, че s 1 (x) се дели на x-c2, т.е. s 1 (x) = (x-c 2) s 2 (x). Нека заместим получения израз за s 1 (x) в равенството f (x) = (x-c 1) s 1 (x). Имаме f (x) = (x-c 1) (x-c 2) s 2 (x). Поставяйки x=c3 в последното равенство, като вземем предвид факта, че f (c 3) =0, c3≠c1, c3≠c2, получаваме, че c3 е коренът на полинома s 2 (x). Това означава s 2 (x) = (x-c 3) s 3 (x) и след това f (x) = (x-c 1) (x-c 2) (x-c 3) s 3 (x) и т.н. Продължавайки това разсъждение за оставащи корени c4, c5, ..., cm, накрая получаваме f (x) = (x-c 1) (x-c 2) ... (x-cm) sm (x), т.е. твърдението, формулирано по-долу, е доказано.

Ако с1, с2, …, сm са различни корени на полинома f (x), тогава f (x) може да се представи като f(x)=(x-c 1) (x-c 2)…(x-cm) sm(x ). От това следва едно важно следствие. Ако c1, c2, ..., cm са различни корени на полинома f(x), тогава f(x) се дели на полинома (x-c1) (x-c2) ... (x-cm). Броят на различните корени на ненулев полином f (x) не е по-голям от неговата степен. Наистина, ако f(x) няма корени, тогава е ясно, че теоремата е вярна, защото чл. f(x) ≥ 0. Нека сега f(x) има m корена с1, с2, …, сm и всички те са различни. Тогава, според това, което току-що беше доказано, f (x) се разделя на (x-c1) (x -c2)…(x-cm). В случая чл. f(x)≥st. ((x-c1) (x-c2)…(x-cm))= st. (x-c1)+st. (x-s2)+...+st. (x-cm)=m, т.е. f(x)≥m и m е броят на корените на въпросния полином. Но нулевият полином има безкрайно много корени, тъй като стойността му за всяко x е равна на 0. По-специално, поради тази причина не му е предписана никаква конкретна степен. Следното твърдение следва от току-що доказаната теорема.

Ако полином f(x) не е полином със степен по-голяма от n и има повече от n корена, тогава f(x) е нулев полином. Всъщност от условията на това твърдение следва, че или f (x) е нулев полином, или чл. f (x) ≤n. Ако приемем, че полиномът f (x) не е нула, тогава чл. f (x) ≤n и тогава f (x) има най-много n корена. Стигаме до противоречие. Това означава, че f(x) е ненулев полином. Нека f (x) и g (x) са ненулеви полиноми със степен най-висока n. Ако тези полиноми приемат еднакви стойности за n+1 стойности на променливата x, тогава f (x) = g (x).

За да докажете това, разгледайте полинома h (x) =f (x) - g (x). Ясно е, че или h (x) =0 или st. h (x) ≤n, т.е. h (x) не е полином със степен по-голяма от n. Сега нека числото c е такова, че f (c) = g (c). Тогава h (c) = f (c) - g (c) = 0, т.е. c е коренът на полинома h (x). Следователно полиномът h (x) има n+1 корена и когато, както току-що беше доказано, h (x) =0, т.е. f (x) = g (x). Ако f (x) и g (x) приемат еднакви стойности за всички стойности на променливата x, тогава тези полиноми са равни

Множество корени на полином Ако число c е корен на полином f (x), е известно, че този полином се дели на x-c. Може да се случи f (x) също да се дели на някаква степен на полинома x-c, т.е. на (x-c) k, k>1. В този случай c се нарича кратен корен. Нека формулираме определението по-ясно. Число c се нарича корен от кратност k (k-кратен корен) на полином f (x), ако полиномът се дели на (x - c) k, k>1 (k е естествено число), но не се дели чрез (x - c) k+ 1. Ако k=1, тогава c се нарича прост корен, а ако k>1, тогава се нарича кратен корен на полинома f (x).

Ако полиномът f(x) е представен като f(x)=(x-c)mg(x), m е естествено число, тогава той се дели на (x-c) m+1 тогава и само ако g(x) се дели на х-с. Всъщност, ако g(x) се дели на x-c, т.е. g(x)=(x-c)s(x), тогава f(x)=(x-c) m+1 s(x), а това означава f(x ) се дели на (x-c) m+1. Обратно, ако f(x) се дели на (x-c) m+1, тогава f(x)=(x-c) m+1 s(x). Тогава (x-c)mg(x)=(x-c)m+1 s (x) и след редукция с (x-c)m получаваме g(x)=(x-c)s(x). От това следва, че g(x) се дели на x-c.

Нека да разберем например дали числото 2 е корен на многочлена f (x) =x 5 -5 x 4+3 x 3+22 x 2 -44 x+24 и ако е така, да намерим неговата кратност. За да отговорим на първия въпрос, нека проверим с помощта на схемата на Хорнер дали f (x) се дели на x-2. имаме: Таблица 4. 2 1 1 -5 -3 3 -3 22 16 -44 -12 24 0 Както можете да видите, остатъкът при деление на f(x) на x-2 е равен на 0, т.е. разделено на x-2. Това означава, че 2 е коренът на този полином. Освен това получихме, че f(x)=(x-2)(x 4 -3 x 3 -3 x 2+16 x-12). Сега нека разберем дали f(x) е върху (x-2) 2. Това зависи, както току-що доказахме, от делимостта на полинома g (x) =x 4 -3 x 3 -3 x 2+16 x -12 на x-2.

Нека отново използваме схемата на Хорнер: Таблица 5. 1 -3 -3 16 -12 2 1 -1 -5 6 0 Открихме, че g(x) се дели на x-2 и g(x)=(x-2)( x 3 -x 2 -5 x+6). Тогава f(x)=(x-2)2(x 3 -x 2 -5 x+6). Така че f(x) се дели на (x-2)2, сега трябва да открием дали f(x) се дели на (x-2)3. За да направим това, нека проверим дали h (x) =x 3 -x 2 -5 x+6 се дели на x-2: Таблица 6. 1 -1 -5 6 2 1 1 -3 0 Откриваме, че h(x ) се дели на x-2, което означава, че f(x) се дели на (x-2) 3 и f(x)=(x-2)3(x 2+x-3).

След това по подобен начин проверяваме дали f(x) се дели на (x-2)4, т.е. дали s(x)=x 2+x-3 се дели на x-2: Таблица 7. 2 1 1 1 3 -3 3 Откриваме, че остатъкът при деление на s(x) на x-2 е равен на 3, т.е. s(x) не се дели на x-2. Това означава, че f(x) не се дели на (x-2)4.Така f(x) се дели на (x-2)3, но не се дели на (x-2)4. Следователно числото 2 е корен от кратност 3 на полинома f(x).

Обикновено проверката на корена за множественост се извършва в една таблица. За този пример тази таблица изглежда така: Таблица 8. 1 -5 3 22 -44 -24 2 2 1 1 -3 -1 1 3 -3 -5 -3 3 16 6 0 -12 0 0 С други думи, съгласно схемата Хорнер разделяне на полинома f (x) на x-2, във втория ред получаваме коефициентите на полинома g (x). След това считаме този втори ред за първия ред на новата система на Хорнер и разделяме g (x) на x-2 и т.н. Продължаваме изчисленията, докато получим остатък, който е различен от нула. В този случай кратността на корена е равна на броя на получените нулеви остатъци. Редът, съдържащ последния ненулев остатък, също съдържа коефициентите на частното при деление на f (x) на (x-2) 3.

Сега, използвайки току-що предложената схема за проверка на корена за множественост, ще решим следната задача. За какви a и b полиномът f(x) =x 4+2 x 3+ax 2+ (a+b)x+2 има числото - 2 като корен от кратно 2? Тъй като кратността на корена - 2 трябва да е равна на 2, то при деление на x+2 по предложената схема трябва да получим два пъти остатък 0, а третия път - остатък, различен от нула. Имаме: Таблица 9. -2 -2 -2 1 1 2 0 -2 -4 a a a+4 a+12 a+b -3 a+b-8 2 2 a-2 b+2

По този начин числото - 2 е корен от кратност 2 на първоначалния полином тогава и само ако

Рационални корени на полином Ако несъкратимата дроб l/m (l, m са цели числа) е корен на полином f (x) с цели коефициенти, тогава водещият коефициент на този полином се разделя на m, а свободният член е делено на 1. Действително, ако f (x)=anxn+an-1 xn-1+…+a 1 x+a 0, an≠ 0, където an, an-1, . . . , a 1, a 0 са цели числа, тогава f(l/m) =0, т.е. аn (l/m) n+an-1 (l/m) n-1+. . . +a 1 l/m+a 0=0. Нека умножим двете страни на това равенство по mn. Получаваме anln+an-1 ln-1 m+. . . +a 1 lmn-1+a 0 mn=0. Това предполага anln=m (-an-1 ln-1 -…- a 1 lmn-2 -a 0 mn-1).

Виждаме, че цялото число anln се дели на m. Но l/m е несъкратима дроб, т.е. числата l и m са взаимно прости, а след това, както е известно от теорията за делимостта на целите числа, числата ln и m също са взаимно прости. И така, anln се дели на m и m е взаимнопросто с ln, което означава, че an се дели на m. Нека намерим рационалните корени на полинома f (x) =6 x 4+13 x 2 -24 x 2 -8 x+8. Съгласно теоремата рационалните корени на този полином са сред несъкратимите дроби от вида l/m, където l е делителя на свободния член a 0=8, а m е делителя на водещия коефициент a 4=6 . Освен това, ако фракцията l/m е отрицателна, тогава знакът „-“ ще бъде присвоен на числителя. Например, - (1/3) = (-1) /3. Така че можем да кажем, че l е делител на числото 8, а m е положителен делител на числото 6.

Тъй като делителите на числото 8 са ± 1, ± 2, ± 4, ± 8, а положителните делители на числото 6 са 1, 2, 3, 6, тогава рационалните корени на въпросния многочлен са сред числата ± 1, ± 1/2, ± 1/3, ± 1/6, ± 2/3, ± 4, ± 4/3, ± 8/3. Нека си припомним, че изписахме само несъкратими дроби. Така имаме двадесет числа - „кандидати“ за корени. Остава само да проверите всеки от тях и да изберете тези, които наистина са корени. следната теорема опростява тази работа. Ако нередуцируемата дроб l/m е корен на полином f (x) с цели коефициенти, тогава f (k) се дели на l-km за всяко цяло число k, при условие че l-km≠ 0.

За да докажете тази теорема, разделете f(x) на x-k с остатък. Получаваме f(x)=(x-k)s(x)+f(k). Тъй като f(x) е полином с цели коефициенти, такъв е и полиномът s(x), а f(k) е цяло число. Нека s(x)=bn-1+bn-2+…+b 1 x+b 0. Тогава f(x)-f(k)=(x-k) (bnxn-1+bn-2 xn-2+ … +b 1 x+b 0). Нека поставим 1 x=l/m в това равенство. Като се има предвид, че f(l/m)=0, получаваме f(k)=((l/m)-k)(bn-1(l/m)n-1+bn-2(l/m)n- 2+…+b 1(l/m)+b 0). Нека умножим двете страни на последното равенство по mn: mnf(k)=(l-km)(bn-1 ln-1+bn-2 ln-2 m+…+b 1 lmn-2+b 0 mn-1) . От това следва, че цялото число mnf (k) се дели на l-km. Но тъй като l и m са взаимно прости, тогава mn и l-km също са взаимно прости, което означава, че f(k) се дели на l-km. Теоремата е доказана.

Нека се върнем към нашия пример и, използвайки доказаната теорема, ще стесним допълнително кръга от търсения на рационални корени. Нека приложим тази теорема за k=1 и k=-1, т.е. ако несъкратимата дроб l/m е коренът на полинома f(x), тогава f(1)/(l-m) и f(-1) /(l +m). Лесно намираме, че в нашия случай f(1)=-5 и f(-1)= -15. Имайте предвид, че в същото време изключихме от разглеждането ± 1. Така че рационалните корени на нашия полином трябва да се търсят сред числата ± 1/2, ± 1/3, ± 1/6, ± 2, ± 2/3, ± 4/3, ± 8 /3. Помислете за l/m=1/2. Тогава l-m=-1 и f (1) =-5 е разделено на това число. Освен това l+m=3 и f (1) =-15 също се дели на 3. Това означава, че частта 1/2 остава сред „кандидатите” за корени.

Нека сега lm=-(1/2)=(-1)/2. В този случай l-m=-3 и f (1) =-5 не се дели на - 3. Това означава, че дробта -1/2 не може да бъде корен на този полином и ние го изключваме от по-нататъшно разглеждане. Нека проверим за всяка от дробите, написани по-горе, и ще открием, че търсените корени са сред числата 1/2, ± 2/3, 2, - 4. По този начин, използвайки доста проста техника, ние значително стеснихме областта на търсене на рационални корени на въпросния полином. Е, за да проверим останалите числа, ще използваме схемата на Хорнер: Таблица 10. 6 13 -24 -8 8 1/2 6 16 -16 0

Виждаме, че 1/2 е коренът на полинома f(x) и f(x)= (x-1/2) (6 x 3+16 x 2 -16 x-16) = (2 x-1) (3 x 3+8 x 2 -8 x-8). Ясно е, че всички други корени на полинома f (x) съвпадат с корените на полинома g (x) =3 x 3+8 x 2 -8 x-8, което означава, че по-нататъшната проверка на „кандидатите“ за корени може да се извърши за този полином. Намираме: Таблица 11. 3 8 -8 -8 2/3 3 10 -4/3 -80/9 Открихме, че остатъкът при деление на g(x) на x-2/3 е равен на - 80/9, т.е. 2/3 не е корен на полинома g(x) и следователно нито f(x). След това намираме, че - 2/3 е коренът на полинома g(x) и g (x) = (3 x+2) (x 2+2 x-4).

Тогава f(x) = (2 x-1) (3 x+2) (x 2+2 x-4). Допълнителна проверка може да бъде извършена за полинома x 2+2 x-4, който, разбира се, е по-прост, отколкото за g (x) или още повече за f (x). В резултат откриваме, че числата 2 и - 4 не са корени. И така, полиномът f (x) =6 x 4+13 x 3 -24 x 2 -8 x+8 има два рационални корена: 1/2 и - 2/3. Този метод дава възможност да се намерят само рационални корени на полином с цели коефициенти. Междувременно полиномът може да има и ирационални корени. Така, например, полиномът, разглеждан в примера, има още два корена: - 1±√ 5 (това са корените на полинома x2+2 x-4). един полином може изобщо да няма рационални корени.

Когато се тестват "кандидат" корените на полинома f(x) с помощта на втората от теоремите, доказани по-горе, последната обикновено се използва за случаи k = ± 1. С други думи, ако l/m е "кандидат" корен, тогава проверете дали f( 1) и f (-1) съответно с l-m и l+m. Но може да се случи, че например f(1) =0, т.е. 1 е корен и тогава f(1) се дели на произволно число и нашата проверка става безсмислена. В този случай трябва да разделите f(x) на x-1, т.е. да получите f(x)=(x-1)s(x) и да проверите за полинома s(x). В същото време не трябва да забравяме, че вече сме намерили един корен от полинома f(x)-x 1=1. Ако проверим „кандидатите“ за оставащи корени след използване на втората теорема за рационални корени, използвайки схемата на Хорнер, откриваме, че например l/m е корен, тогава трябва да се намери неговата кратност. Ако е равно на, да речем, k, тогава f(x)=(x-l/m) ks (x) и може да се направи допълнително тестване на s(x), което намалява изчислението.

Решение. След като заменим променливата y=2 x, преминаваме към полином с коефициент равен на единица на най-висока степен. За да направите това, първо умножете израза по 4. Ако получената функция има цели числа, тогава те са сред делителите на свободния член. Нека ги запишем: ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 5, ± 6, ± 10, ± 12, ± 15 ±, ± 20, ± 30, ± 60

Нека последователно изчислим стойностите на функцията g(y) в тези точки, докато стигнем до нула. Тоест y=-5 е корен и следователно е корен на оригиналната функция. Нека разделим полинома на бином с помощта на колона (ъгъл)

Не е препоръчително да продължите да проверявате останалите делители, тъй като е по-лесно да разложите на множители получения квадратичен трином. Следователно,

Използване на формули за съкратено умножение и бином на Нютон за разлагане на многочлен Понякога външният вид на полином подсказва начин за разлагането му. Например, след прости трансформации, коефициентите се подреждат в една линия от триъгълника на Паскал за коефициентите на бинома на Нютон. Пример. Разложете полинома на множители.

Решение. Нека трансформираме израза във формата: Последователността от коефициенти на сумата в скоби ясно показва, че това е Следователно, Сега прилагаме формулата за разликата на квадратите: Изразът във втората скоба няма реални корени и за полинома от първата скоба отново прилагаме формулата за разликата на квадратите

Формули на Виета, изразяващи коефициентите на полином чрез неговите корени. Тези формули са удобни за използване за проверка на правилността на намиране на корените на полином, както и за съставяне на полином въз основа на дадените му корени. Формулировка Ако са корените на полином, тогава коефициентите се изразяват под формата на симетрични полиноми на корените, а именно

С други думи, ak е равно на сумата от всички възможни произведения на k корени. Ако водещият коефициент е полином, тогава за прилагане на формулата на Vieta е необходимо първо всички коефициенти да се разделят на 0. В този случай формулите на Vieta дават израз за отношението на всички коефициенти към водещия. От последната формула на Виета следва, че ако корените на полином са цяло число, то те са делители на неговия свободен член, който също е цяло число. Доказателството се извършва чрез разглеждане на равенството, получено чрез разширяване на полинома с корени, като се вземе предвид, че a 0 = 1 Приравнявайки коефициентите при същите степени на x, получаваме формулите на Vieta.

Решете уравнението x 6 – 5 x 3 + 4 = 0 Решение. Нека означим y = x 3, тогава първоначалното уравнение приема формата y 2 – 5 y + 4 = 0, решавайки което получаваме Y 1 = 1; Y 2 = 4. Така първоначалното уравнение е еквивалентно на набор от уравнения: x 3 = 1 или x 3 = 4, т.е. X 1 = 1 или X 2 = Отговор: 1;

Определение на теоремата на Безу 1. Един елемент се нарича корен на полином, ако f(c)=0. Теорема на Безу. Остатъкът от деленето на полинома Pn(x) на бинома (x-a) е равен на стойността на този полином при x = a. Доказателство. По силата на алгоритъма за разделяне, f(x)=(xc)q(x)+r(x), където или r(x)=0, или, и следователно. Така че f(x)=(x-c)q(x)+r, следователно f(c)=(c-c)q(c)+r=r, и следователно f(x)=(xc)q(x) +f (° С).

Следствие 1: Остатъкът от деленето на полинома Pn (x) на бинома ax+b е равен на стойността на този полином при x = -b/a, т.е. R=Pn (-b/a). Следствие 2: Ако числото a е корен на многочлена P (x), то този многочлен се дели на (x-a) без остатък. Следствие 3: Ако полиномът P(x) има по двойки различни корени a 1 , a 2 , ... , an, тогава той се дели на произведението (x-a 1) ... (x-an) без остатък. Следствие 4: Полином от степен n има най-много n различни корена. Следствие 5: За всеки полином P(x) и число a разликата (P(x)-P(a)) се дели на бинома (x-a) без остатък. Следствие 6: Число a е корен на полином P(x) от степен най-малко тогава и само ако P(x) се дели на (x-a) без остатък.

Разлагане на рационална дроб на прости дроби Нека покажем, че всяка правилна рационална дроб може да се разложи на сбор от прости дроби. Нека е дадена правилна рационална дроб (1).

Теорема 1. Нека x=a е коренът на знаменателя на краткост k, т.е. където f(a)≠ 0, тогава тази правилна дроб може да бъде представена като сбор от две други правилни дроби, както следва: (2) , където A е константа, която не е равна на нула, а F 1(x) е полином, чиято степен е по-ниска от степента на знаменателя