Най-простите тригонометрични уравнения. Забавна случка от живота На единичния кръг има две диаметрално противоположни

+ – 0;2 P; 4 P. - 2 P; -4 P. P -11 P 6 P -7 P 4 P -5 P 3 2 P -4 P 3 3 P -4 P P -7 P P -5 P P -3 P P -2 P P - P P - P P - P P 2 5 P 2 P 2 9 P 2 5 P 2 P 2 11 P 2 7 P 2 3 P 2 11 P 2 7 P 2 3 P 2 5 P;3 P; P. -5 P;-3 P;- P. 360° 30° 60° 45° 90° 120° 135° 150° 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° X y 0

0 y X 5 P,14 -P-P ± P 2P 2 ± P P k, k Z (-1) k P 4P 4 + P g, g Z P 3P 3 ± + 2 P n, n Z P 6P 6 + P 3P 3 m , m Z Намерете точките, съответстващи на следните числа

0 y X - P +2 P k, k Z P 3P P n, n Z P m, m Z P (+ m), m Z 2P 32P P n, n Z P 2P 2 P P n, n Z 1 3 P (+2 l ), l Z Намерете точките, съответстващи на следните числа

1. На коя четвърт от числовата окръжност принадлежи точка А? Б. Второ. V. Трето. Ж. Четвърто. 2. На коя четвърт от числовата окръжност принадлежи точка А? Б. Второ. V. Трето. Ж. Четвърто. 3. Определете знаците на числата a и b, ако: A. a>0, b>0. B. a 0. B. a>0, b0, b 0"> 0, b>0. B. a 0. B. a>0, b0, b"> 0" title="1.Коя четвърт от числовата окръжност поставя точка A. Първо. B. Второ.В.Трето.Г.Четвърто.2.На коя четвърт от числовата окръжност принадлежи точка А.Първа.Б.Втора.В.Трета.Г.Четвърта.3.Определете знаците на числата a и b, ако : A. a>0"> title="1. На коя четвърт от числовата окръжност принадлежи точка А? Б. Второ. V. Трето. Ж. Четвърто. 2. На коя четвърт от числовата окръжност принадлежи точка А? Б. Второ. V. Трето. Ж. Четвърто. 3. Определете знаците на числата a и b, ако: A. a>0"> !}

Въпрос: На окръжност са избрани диаметрално противоположни точки A и B и друга точка C. Допирателната, прекарана към окръжността в точка A, и правата BC се пресичат в точка D. Докажете, че допирателната, прекарана към окръжността в точка C, се разполовява сегментът A.D. Вписаната окръжност на триъгълник ABC докосва страните AB и BC съответно в точки M и N. Права минава през средата на AC успоредна на правата. MN пресича правите BA и BC съответно в точки D и E. Докажете, че AD=CE.

На окръжността са избрани диаметрално противоположни точки A и B и друга точка C. Допирателната, прекарана към окръжността в точка A, и правата BC се пресичат в точка D. Докажете, че допирателната, прекарана към окръжността в точка C, разполовява сегмент AD. Вписаната окръжност на триъгълник ABC докосва страните AB и BC съответно в точки M и N. Права минава през средата на AC успоредна на правата. MN пресича правите BA и BC съответно в точки D и E. Докажете, че AD=CE.

Отговори:

Подобни въпроси

• направи изреченията пълни. летя (обикновено) до Ландън
• Морфологичен анализ на думите повдигнат и лъжа
• Запишете характеристиките на империализма
• Общ делител на 14 и 24
• Преобразувайте израза в полином!! -2(v+1)(v+4) - (v-5)(v+5)
• Намерете произведението на реалните корени на уравнението: y^(4) - 2y^(2) - 8 = 0
• Намерете ъглите BEN и CEN, като се има предвид, че те са съседни и единият от тях е един път и половина по-малък от другия.
• В три вази има 6, 21 и 9 сливи. За да изравни броя на сливите във всяка ваза, Мадина прехвърля от една ваза в друга толкова сливи, колкото има в нея. Чрез две прехвърляния тя изравнява броя на сливите в три вази Как е направила това?
• От учебник по химия (изучаван параграф) запишете 10 общоупотребявани думи (различни части на речта) и 10 специални думи (термини и терминологични комбинации.) Съставете и запишете фрази с избрани от текста термини

Очевидно първият призив на човечеството към това, което по-късно ще бъде наречено сферична геометрия, е планетарната теория на гръцкия математик Евдокс (ок. 408–355), един от участниците в Академията на Платон. Това беше опит да се обясни движението на планетите около Земята с помощта на четири въртящи се концентрични сфери, всяка от които имаше специална ос на въртене с краища, фиксирани върху обхващащата сфера, към която от своя страна бяха звездите „прикован“. По този начин бяха обяснени сложните траектории на планетите (в превод от гръцки „планета“ означава скитане). Именно благодарение на този модел древногръцките учени успяха доста точно да опишат и предскажат движението на планетите. Това беше необходимо, например, в навигацията, както и в много други „земни“ задачи, където беше необходимо да се вземе предвид, че Земята не е плоска палачинка, почиваща на три кита. Значителен принос към сферичната геометрия е направен от Менелай от Александрия (ок. 100 г. сл. Хр.). Неговата работа Сферистава връх на гръцките постижения в тази област. IN Сферикеразглеждат се сферични триъгълници – предмет, който не се среща при Евклид. Менелай прехвърли евклидовата теория за плоските триъгълници върху сферата и между другото получи условие, при което три точки от страните на сферичен триъгълник или техните продължения лежат на една и съща права линия. Съответната теорема за равнината е вече широко известна по това време, но тя влиза в историята на геометрията именно като теоремата на Менелай и за разлика от Птолемей (ок. 150 г.), който има много изчисления в трудовете си, трактатът на Менелай е геометричен строго в духа на евклидовата традиция .

Основни принципи на сферичната геометрия.

Всяка равнина, пресичаща сфера, образува кръг в напречно сечение. Ако равнината минава през центъра на сферата, тогава напречното сечение води до така наречения голям кръг. През всеки две точки на една сфера, с изключение на тези, които са диаметрално противоположни, може да се начертае един голям кръг. (На земното кълбо пример за голям кръг е екваторът и всички меридиани.) Безкраен брой големи кръгове преминават през диаметрално противоположни точки. Малка дъга AmB(фиг. 1) на големия кръг е най-късата от всички линии на сферата, свързващи дадени точки. Тази линия се нарича геодезически. Геодезическите линии играят същата роля върху сферата, както правите линии в планиметрията. Много разпоредби на геометрията на равнината са валидни и върху сферата, но за разлика от равнината две сферични линии се пресичат в две диаметрално противоположни точки. По този начин концепцията за паралелизъм просто не съществува в сферичната геометрия. Друга разлика е, че сферичната линия е затворена, т.е. движейки се по нея в същата посока, ще се върнем в началната точка; точката не разделя линията на две части. И още един изненадващ факт от гледна точка на планиметрията е, че триъгълник върху сфера може да има и трите прави ъгъла.

Прави, отсечки, разстояния и ъгли върху сфера.

Големите кръгове върху сфера се считат за прави линии. Ако две точки принадлежат на голяма окръжност, тогава дължината на по-малката от дъгите, свързващи тези точки, се определя като сферично разстояниемежду тези точки, а самата дъга е като сферичен сегмент. Диаметрално противоположните точки са свързани с безкраен брой сферични сегменти - големи полукръгове. Дължината на сферичен сегмент се определя чрез радианова мярка на централния ъгъл a и радиуса на сферата Р(Фиг. 2), според формулата за дължина на дъгата е равна на Ра. Всяка точка СЪСсферичен сегмент ABго разделя на две, а сумата от техните сферични дължини, както в планиметрията, е равна на дължината на целия сегмент, т.е. Р AOC+ Р БУХАЛ= П AOB. За всяка точка дизвън сегмента ABима „неравенство на сферичен триъгълник“: сумата от сферичните разстояния от дпреди Аи от дпреди INПовече ▼ AB, т.е. Р AOD+ Р DOB> Р AOB, – пълно съответствие между сферична и плоска геометрия. Неравенството на триъгълника е едно от основните в сферичната геометрия; от него следва, че както в планиметрията, сферичен сегмент е по-къс от всяка сферична начупена линия и следователно всяка крива на сферата, свързваща нейните краища.

По същия начин много други концепции на планиметрията могат да бъдат прехвърлени към сферата, по-специално тези, които могат да бъдат изразени чрез разстояния. Например, сферичен кръг– набор от точки на сферата, еднакво отдалечени от дадена точка Р. Лесно е да се покаже, че кръгът лежи в равнина, перпендикулярна на диаметъра на сферата RR` (фиг. 3), т.е. това е обикновен плосък кръг с център в диаметъра RR`. Но има два сферични центъра: РИ Р`. Тези центрове обикновено се наричат полюси. Ако се обърнем към земното кълбо, можем да видим, че говорим за кръгове като паралели, а сферичните центрове на всички паралели са Северният и Южният полюс. Ако диаметърът r на сферична окръжност е равен на p/2, тогава сферичната окръжност се превръща в сферична права линия. (На глобуса има екватор). В този случай се нарича такъв кръг поляренвсяка от точките РИ П`.

Едно от най-важните понятия в геометрията е равенството на фигурите. Фигурите се считат за равни, ако едната може да бъде показана върху друга по такъв начин (чрез завъртане и транслация), че разстоянията да се запазят. Това важи и за сферичната геометрия.

Ъглите върху една сфера се определят по следния начин. Когато две сферични линии се пресичат аИ bВърху сферата са образувани четири сферични бигона, така както две пресичащи се прави на една равнина я разделят на четири равнинни ъгъла (фиг. 4). Всеки от диагоните съответства на двустенен ъгъл, образуван от диаметралните равнини, съдържащи аИ b. А ъгълът между сферичните прави линии е равен на по-малкия от ъглите на диагоните, които образуват.

Също така отбелязваме, че ъгъл P ABC, образуван върху сфера от две дъги на голям кръг, се измерва с ъгъл P А`пр.н.е.` между допирателните към съответните дъги в точка IN(фиг. 5) или двустенен ъгъл, образуван от диаметрални равнини, съдържащи сферични сегменти ABИ слънце.

По същия начин, както в стереометрията, всяка точка на сферата е свързана с лъч, начертан от центъра на сферата до тази точка, и всяка фигура на сферата е свързана с обединението на всички лъчи, които я пресичат. По този начин сферична права линия съответства на диаметралната равнина, която я съдържа, сферичен сегмент съответства на равнинен ъгъл, двуъгълник съответства на двустенен ъгъл, а сферична окръжност съответства на конична повърхност, чиято ос минава през полюсите на окръжността.

Многостенен ъгъл с връх в центъра на сферата пресича сферата по сферичен многоъгълник (фиг. 6). Това е област върху сфера, ограничена от прекъсната линия от сферични сегменти. Връзките на прекъснатата линия са страните на сферичен многоъгълник. Техните дължини са равни на стойностите на съответните равнинни ъгли на полиедричния ъгъл и стойността на ъгъла във всеки връх Аравен на двустенния ъгъл при ръба ОА.

Сферичен триъгълник.

Сред всички сферични полигони най-голям интерес представлява сферичният триъгълник. Три големи кръга, пресичащи се по двойки в две точки, образуват осем сферични триъгълника върху сферата. Познавайки елементите (страни и ъгли) на един от тях, е възможно да се определят елементите на всички останали, така че разглеждаме връзките между елементите на един от тях, този, чиито всички страни са по-малко от половината от големия кръг. Страните на триъгълника се измерват с равнинните ъгли на тристенния ъгъл OABC, ъглите на триъгълника са двустенни ъгли на същия тристенен ъгъл (фиг. 7).

Много свойства на сферичен триъгълник (и те също са свойства на тристенни ъгли) почти напълно повтарят свойствата на обикновен триъгълник. Сред тях е неравенството на триъгълника, което на езика на тристенните ъгли гласи, че всеки равнинен ъгъл на тристенен ъгъл е по-малък от сумата на другите два. Или, например, три знака за равенство на триъгълници. Всички планиметрични следствия от споменатите теореми, заедно с техните доказателства, остават валидни върху сферата. По този начин наборът от точки, еднакво отдалечени от краищата на сегмента, също ще бъде върху сферата, перпендикулярна на него, права линия, минаваща през средата му, от което следва, че ъглополовящите са перпендикулярни на страните на сферичен триъгълник ABCимат обща точка или по-скоро две диаметрално противоположни общи точки РИ Р`, които са полюсите на единствената му описана окръжност (фиг. 8). В стереометрията това означава, че конус може да бъде описан около всеки тристенен ъгъл. Лесно е да пренесем върху сферата теоремата, че ъглополовящите на триъгълник се пресичат в центъра на вписаната му окръжност.

Теоремите за пресичането на височини и медиани също остават верни, но техните обичайни доказателства в планиметрията пряко или косвено използват паралелизъм, който не съществува на сфера, и затова е по-лесно да се докажат отново, на езика на стереометрията. Ориз. Фигура 9 илюстрира доказателството на теоремата за сферичната медиана: равнини, съдържащи медианите на сферичен триъгълник ABC, пресичат равнинен триъгълник със същите върхове по обичайните му медиани, следователно всички те съдържат радиуса на сферата, минаваща през пресечната точка на равнинните медиани. Краят на радиуса ще бъде общата точка на трите „сферични“ медиани.

Свойствата на сферичните триъгълници се различават по много начини от свойствата на триъгълниците в равнина. Така към известните три случая на равенство на праволинейни триъгълници се добавя четвърти: два триъгълника ABCИ А`В`С` са равни, ако три ъгъла P са равни съответно А= П А`, Р IN= П IN`, Р СЪС= П СЪС`. По този начин няма подобни триъгълници на сферата; освен това в сферичната геометрия няма само понятие за подобие, т.к. Няма трансформации, които променят всички разстояния с еднакъв (не равен на 1) брой пъти. Тези характеристики са свързани с нарушаване на евклидовата аксиома за успоредни прави и също са присъщи на геометрията на Лобачевски. Триъгълници, които имат еднакви елементи и различни ориентации, се наричат ​​симетрични, като триъгълници AC`СЪСИ VSS` (фиг. 10).

Сборът от ъглите на всеки сферичен триъгълник винаги е по-голям от 180°. Разлика П А+P IN+P С -стр = d (измерено в радиани) е положително количество и се нарича сферичен ексцес на даден сферичен триъгълник. Площ на сферичен триъгълник: S = R 2 d където Ре радиусът на сферата, а d е сферичният излишък. Тази формула е публикувана за първи път от холандеца А. Жирар през 1629 г. и е кръстена на него.

Ако разгледаме диагон с ъгъл a, тогава при 226 = 2p/ н (н -цяло число) сферата може да бъде нарязана точно на Пкопия на такъв диагон, а площта на сферата е 4 nR 2 = 4p при Р= 1, така че площта на диагонала е 4p/ н= 2а. Тази формула е вярна и за a = 2т т/ни следователно вярно за всички a. Ако продължим страните на сферичен триъгълник ABCи изразете площта на сферата чрез областите на получените бигони с ъгли А,IN,СЪСи неговата собствена площ, тогава можем да стигнем до горната формула на Жирар.

Координати на сферата.

Всяка точка от сферата е напълно определена чрез посочване на две числа; тези числа ( координати) се определят както следва (фиг. 11). Някакъв голям кръг е фиксиран QQ` (екватор), една от двете точки на пресичане на диаметъра на сферата ПП`, перпендикулярна на екваториалната равнина, с повърхността на сфера, например Р (полюс), и един от големите полукръгове PAP` излиза от полюса ( първи меридиан). Излизат големи полукръгове П, наречени меридиани, малки кръгове, успоредни на екватора, като напр LL`, – паралели. Като една от координатите на точката Мвърху сферата е взет ъгълът q = POM (височина на точката), като вторият – ъгъл j = AONмежду първия меридиан и меридиана, минаващ през точката М (географска дължинаточки, преброени обратно на часовниковата стрелка).

В географията (на земното кълбо) е обичайно да се използва Гринуичкият меридиан като първи меридиан, минаващ през главната зала на Гринуичката обсерватория (Гринуич е лондонски квартал), той разделя Земята съответно на източното и западното полукълбо , а географската дължина е източна или западна и се измерва от 0 до 180° в двете посоки от Гринуич. И вместо височината на точка в географията е обичайно да се използва географска ширина при, т.е. ъгъл NOM = 90° – q, измерено от екватора. защото Тъй като екваторът разделя Земята на северно и южно полукълбо, географската ширина е или северна, или южна и варира от 0 до 90°.

Марина Федосова

Заключителна работа по МАТЕМАТИКА
10 клас
28 април 2017 г
Опция MA00602
(основно ниво на)
Попълнено от: Трите имена_______________________________________ клас ______
Инструкции за изпълнение на работата
Дават ви се 90 минути, за да завършите финалната работа по математика. работа
включва 15 задачи и се състои от две части.
Отговорът в задачите от първа част (1-10) е цяло число,
десетична дроб или поредица от числа. Напишете отговора си в полето
отговор в текста на творбата.
В задача 11 от втората част е необходимо да запишете отговора в специален
полето, определено за това.
В задачи 12-14 от втората част трябва да запишете решението и да отговорите
в предвиденото за целта поле. Отговорът на задача 15 е
функционална графика.
Всяка от задачите 5 и 11 е представена в два варианта, от които
Трябва само да изберете и изпълните един.
Когато изпълнявате работа, не можете да използвате учебници, да работите
тетрадки, справочници, калкулатор.
Ако е необходимо, можете да използвате чернова. Записите в чернова няма да бъдат преглеждани или оценявани.
Можете да изпълнявате задачи във всякакъв ред, основното е да го направите правилно
решаване на възможно най-много задачи. Съветваме ви да спестите време
пропуснете задача, която не може да бъде изпълнена веднага, и продължете напред
към следващия. Ако след приключване на цялата работа все още имате време,
Ще можете да се върнете към пропуснатите задачи.
Желаем Ви успех!

Част 1
В задачи 1-10 дайте отговора си като цяло число, десетична дроб или
поредици от числа. Напишете своя отговор в полето за отговор в текста
работа.
1

Цената за електрическа кана е увеличена с 10% и възлиза на
1980 рубли. Колко рубли струваше чайникът преди увеличението на цената?

Олег и Толя напуснаха училище по едно и също време и се прибраха в една и съща посока.
скъпо. Момчетата живеят в една къща. Фигурата показва графика
движенията на всеки: Олег - с плътна линия, Толя - с пунктирана линия. от
вертикалната ос показва разстоянието (в метри), хоризонталната ос показва разстоянието
време за пътуване за всеки в минути.

Използвайки графиката, изберете правилните твърдения.
1)
2)
3)

Олег се прибра преди Толя.
Три минути след като излезе от училище, Олег настигна Толя.
По време на цялото пътуване разстоянието между момчетата беше по-малко
100 метра.
4) През първите шест минути момчетата изминаха същото разстояние.


Отговор: ___________________________

Намерете значението на израза

π
π
- 2 грях 2.
8
8

Отговор: ___________________________
StatGrad 2016−2017 учебна година. Публикуване онлайн или в печат
без писменото съгласие на StatGrad е забранено

Математика. 10 клас. Опция 00602 (основно ниво)

На единичния кръг са отбелязани две
диаметрално противоположни точки Pα и
Pβ, съответстващ на завъртания през ъгли α и
β (виж фигурата).
Може ли да се каже, че:
1) α  β  0
2) cosα  cosβ
3) α  β  2π
4) sin α  sin β  0

В отговора си посочете номерата на верните твърдения без интервали, запетаи и
други допълнителни знаци.
Отговор: ___________________________
Изберете и изпълнете само ЕДНА от задачите 5.1 или 5.2.
5.1

Фигурата показва графика
функция y  f (x), дефинирана на интервала   3;11 .
Намерете най-малката стойност
функции на сегмента  ​​1; 5 .

Отговор: ___________________________
5.2

Решете уравнението log 2 4 x5  6.

Отговор: ___________________________

StatGrad 2016−2017 учебна година. Публикуване онлайн или в печат
без писменото съгласие на StatGrad е забранено

Математика. 10 клас. Опция 00602 (основно ниво)

Равнина, минаваща през точки A, B и C (вж.
фигура), разделя куба на два полиедъра. Един от
има четири страни. Колко лица има второто?

Отговор: ___________________________
7

Изберете числата на правилните твърдения.
1)
2)
3)
4)

В пространството през точка, която не лежи на дадена права, можете
начертайте равнина, която не пресича дадена линия, и освен това само
един.
Наклонена линия, начертана към равнина, образува същия ъгъл с
всички прави, лежащи в тази равнина.
През всеки две пресичащи се прави може да се начертае равнина.
През точка от пространството, която не лежи на дадена права, може
Начертайте две прави линии, които не пресичат дадена права.

В отговора си посочете номерата на верните твърдения без интервали, запетаи и
други допълнителни знаци.
Отговор: ___________________________
8

В птицефермата има само пилета и патици, а пилетата са 7 пъти повече от
патици Намерете вероятността произволно избрана ферма
птицата се оказва патица.
Отговор: ___________________________

Покривът на сенника е разположен под ъгъл 14
към хоризонталата. Разстояние между две опори
е 400 сантиметра. Използвайки таблицата,
определете колко сантиметра е една опора
по-дълъг от другия.
α
13
14
15
16
17
18
19

Грех α
0,225
0,241
0,258
0,275
0,292
0,309
0,325

Cos α
0,974
0,970
0,965
0,961
0,956
0,951
0,945

Tg α
0,230
0,249
0,267
0,286
0,305
0,324
0,344

Отговор: ___________________________
StatGrad 2016−2017 учебна година. Публикуване онлайн или в печат
без писменото съгласие на StatGrad е забранено

Математика. 10 клас. Опция 00602 (основно ниво)

Намерете най-малкото естествено седемцифрено число, което се дели на 3,
но не се дели на 6 и всяка цифра от което, започвайки от втората, е по-малка
предишното.
Отговор: ___________________________
Част 2
В задача 11 запишете отговора си на предвиденото място. В задачи
12-14 трябва да запишете решението и да отговорите на специално обособеното място
за това поле. Отговорът на задача 15 е графиката на функцията.
Изберете и изпълнете само ЕДНА от задачите: 11.1 или 11.2.

2
. Запишете три различни възможни стойности
2
такива ъгли. Дайте отговора си в радиани.

Намерете най-малкото естествено число, което е по-голямо от log 7 80.

Косинусът на ъгъла е 

StatGrad 2016−2017 учебна година. Публикуване онлайн или в печат
без писменото съгласие на StatGrad е забранено

Математика. 10 клас. Опция 00602 (основно ниво)

В триъгълник ABC са означени страните AB и BC
точки M и K, съответно, така че BM: AB  1: 2, и
BK:BC  2:3. Колко пъти площта на триъгълника ABC?
по-голяма от площта на триъгълника MVK?

Изберете двойка числа a и b, така че неравенството ax  b  0
удовлетворява точно три от петте точки, отбелязани на фигурата.
-1

StatGrad 2016−2017 учебна година. Публикуване онлайн или в печат
без писменото съгласие на StatGrad е забранено

Математика. 10 клас. Опция 00602 (основно ниво)

Цената на желязото е повишена два пъти със същия процент. На
с колко процента се увеличаваше цената на желязото всеки път, ако го
първоначалната цена е 2000 рубли, а крайната цена е 3380 рубли?

StatGrad 2016−2017 учебна година. Публикуване онлайн или в печат
без писменото съгласие на StatGrad е забранено

Математика. 10 клас. Опция 00602 (основно ниво)

Функцията y  f (x) има следните свойства:
1) f (x)  3 x  4 при 2  x  1;
2) f (x)  x  2 при 1  x  0;
3) f (x)  2  2 x при 0  x  2;
4) функцията y  f (x) е периодична с период 4.
Начертайте графика на тази функция върху отсечката  ​​6;4.
г

StatGrad 2016−2017 учебна година. Публикуване онлайн или в печат
без писменото съгласие на StatGrad е забранено