Пропорционални отсечки в правоъгълен триъгълник. Пропорционални отсечки в правоъгълен триъгълник Средни пропорционални отсечки в правоъгълен триъгълник доказателство
Цели на урока:
- въведе понятието пропорционална средна (средна геометрична) на две отсечки;
- разгледайте проблема с пропорционалните сегменти в правоъгълен триъгълник: свойството на надморската височина на правоъгълен триъгълник, изтеглен от върха на прав ъгъл;
- да развият уменията на учениците да използват изучаваната тема в процеса на решаване на проблеми.
Тип урок:урок за изучаване на нов материал.
план:
- Организационен момент.
- Актуализиране на знанията.
- Изучаване на свойството на надморската височина на правоъгълен триъгълник, изтеглен от върха на прав ъгъл:
- подготвителен етап;
- Въведение;
– асимилация. - Въвеждане на понятието средна пропорционална на две отсечки.
- Усвояване на понятието средна пропорционална на две отсечки.
- Доказателство за последствията:
– височината на правоъгълен триъгълник, изтеглена от върха на прав ъгъл, е средната пропорционална стойност между сегментите, на които е разделена хипотенузата от тази височина;
– катетът на правоъгълен триъгълник е средната пропорционална стойност между хипотенузата и отсечката от хипотенузата, оградена между катета и надморската височина. - Разрешаване на проблем.
- Обобщаване.
- Поставяне на домашна работа.
По време на часовете
I. ОРГАНИЗАЦИОНЕН МОМЕНТ
- Здравейте момчета, седнете. Всички готови ли са за час?
Да започваме работа.
II. АКТУАЛИЗИРАНИ ЗНАНИЯ
– Коя важна математическа концепция научихте в предишните уроци? ( с концепцията за подобие на триъгълници)
- Да си припомним кои два триъгълника се наричат подобни? (два триъгълника се наричат подобни, ако ъглите им са съответно равни и страните на единия триъгълник са пропорционални на подобни страни на другия триъгълник)
– С какво доказваме сходството на два триъгълника? (
– Формулирайте тези знаци (формулирайте три признака на подобие на триъгълници)
III. ИЗСЛЕДВАНЕ НА СВОЙСТВАТА НА ВИСОЧИНАТА НА ПРАВОЪГЪЛЕН ТРИЪГЪЛНИК, ПРОВЕДЕНА ОТ ВЪРХА НА ПРАВ ЪГЪЛ
а) подготвителен етап
– Момчета, моля, вижте първия слайд. ( Приложение) Тук са показани два правоъгълни триъгълника – и . и са височините и съответно. 
.
Задача 1. а)Определете дали и са подобни.
– Какво използваме, за да докажем подобието на триъгълниците? ( признаци на подобие на триъгълници)
(първият знак, защото в задачата не се знае нищо за страните на триъгълниците)
. (Две двойки: 1. ∟B= ∟B1 (прав), 2. ∟A= ∟A 1)
- Направи заключение.( по първия критерий за подобие на триъгълници ~)
Задача 1. б)Определете дали и са подобни.
– Какъв знак за подобие ще използваме и защо? (първият знак, защото в задачата не се знае нищо за страните на триъгълниците)
– Колко двойки равни ъгли трябва да намерим? Намерете тези двойки (тъй като триъгълниците са правоъгълни, тогава една двойка равни ъгли е достатъчна: ∟A= ∟A 1)
- Направи заключение. (въз основа на първия критерий за подобие на триъгълници, ние заключаваме, че тези триъгълници са подобни).
В резултат на разговора слайд 1 изглежда така:
б) откриване на теоремата
Задача 2.
– Определете дали и са подобни. В резултат на разговора се изграждат отговори, които се отразяват на слайда.
– Картината показва, че . Използвахме ли тази мярка за градус, когато отговаряхме на въпросите от задачата? ( Не, не сме го използвали)
– Момчета, направете заключение: на какви триъгълници се дели правоъгълният триъгълник по височината, изтеглена от върха на правия ъгъл? (заключение)
– Възниква въпросът дали тези два правоъгълни триъгълника, на които височината разделя правоъгълния триъгълник, ще бъдат подобни един на друг? Нека се опитаме да намерим двойки равни ъгли.
В резултат на разговора се изгражда запис:
– Сега нека направим пълно заключение.( ЗАКЛЮЧЕНИЕ: надморската височина на правоъгълен триъгълник, изтеглена от върха на правия ъгъл, разделя триъгълника на две подобен
- Че. Формулирахме и доказахме теорема за свойството на височината на правоъгълен триъгълник.
Нека да установим структурата на теоремата и да направим чертеж. Какво е дадено в теоремата и какво трябва да се докаже? Учениците пишат в тетрадките си:
– Нека докажем първата точка от теоремата за новия чертеж. Какъв признак за сходство ще използваме и защо? (Първият, защото в теоремата не се знае нищо за страните на триъгълниците)
– Колко двойки равни ъгли трябва да намерим? Намерете тези двойки. (В този случай една двойка е достатъчна: ∟A-общо)
- Направи заключение. Триъгълниците са подобни. В резултат на това е показан образец на теоремата
– Напишете сами втора и трета точка у дома.
в) усвояване на теоремата
- И така, формулирайте теоремата отново (Височината на правоъгълен триъгълник, изтеглена от върха на прав ъгъл, разделя триъгълника на две подобенправоъгълни триъгълници, всеки от които е подобен на този)
– Колко двойки подобни триъгълници в конструкцията „в правоъгълен триъгълник надморската височина е изтеглена от върха на прав ъгъл“ ви позволява да намерите тази теорема? ( Три чифта)
Студентите получават следната задача:
IV. ВЪВЕЖДАНЕ НА КОНЦЕПЦИЯТА ЗА СРЕДНА ПРОПОРЦИОНАЛНОСТ НА ДВА СЕГМЕНТА
– А сега ще изучаваме нова концепция с вас.
внимание!
Определение.Линеен сегмент XYНаречен средно пропорционално (средно геометрично)между сегментите ABИ CD, Ако
(запишете го в тетрадка).
V. РАЗБИРАНЕ НА КОНЦЕПЦИЯТА ЗА СРЕДНАТА ПРОПОРЦИОНАЛНОСТ НА ДВА СЕГМЕНТА
– Сега да преминем към следващия слайд.
Упражнение 1.Намерете дължината на средните пропорционални отсечки MN и KP, ако MN = 9 cm, KP = 16 cm.
– Какво е дадено в задачата? ( Две отсечки и техните дължини: MN = 9 cm, KP = 16 cm)
– Какво трябва да намерите? ( Дължината на средната пропорционална на тези сегменти)
– Коя формула изразява пропорционалната средна и как я намираме?
(Заместете данните във формулата и намерете дължината на средната опора.)
Задача No2.Намерете дължината на отсечката AB, ако средната пропорционална стойност на отсечките AB и CD е 90 cm и CD = 100 cm
– Какво е дадено в задачата? (дължината на отсечката CD = 100 cm и средната пропорционална стойност на отсечките AB и CD е 90 cm)
– Какво трябва да се намери в проблема? ( Дължина на сегмент AB)
– Как ще решим проблема? (Нека запишем формулата за средните пропорционални отсечки AB и CD, изразим от нея дължината AB и заместим данните в задачата.)
VI. ЗАКЛЮЧЕНИЕ ОТ ПОСЛЕДСТВИЯТА
- Браво момчета. Сега да се върнем към подобието на триъгълниците, което доказахме в теоремата. Изложете отново теоремата. ( Височината на правоъгълен триъгълник, изтеглена от върха на прав ъгъл, разделя триъгълника на две подобенправоъгълни триъгълници, всеки от които е подобен на дадения)
– Нека първо използваме сходството на триъгълници и . Какво следва от това? ( По дефиниция страните на подобие са пропорционални на подобните страни)
– Какво равенство ще се получи при използване на основното свойство на пропорцията? ()
– Express CD и направете заключение (
;
.
Заключение: височината на правоъгълен триъгълник, изтеглена от върха на прав ъгъл, е средната пропорционална стойност между сегментите, на които е разделена хипотенузата от тази височина)
– Сега докажете сами, че катетът на правоъгълен триъгълник е средната пропорционална между хипотенузата и отсечката от хипотенузата, оградена между катета и височината Ще намерим от -... отсечките, на които е разделена хипотенузата от тази надморска височина )
Катет на правоъгълен триъгълник е средното пропорционално между...(-...хипотенузата и отсечката от хипотенузата, затворена между този катет и височината )
– Къде прилагаме твърденията, които научихме? ( При решаване на проблеми)
IX. ПОСТАВЯНЕ НА ДОМАШНА РАБОТА
d/z:№ 571, № 572 (а, г), самостоятелна работа в тетрадка, теория.
Тест за подобие на правоъгълни триъгълници
Нека първо въведем критерия за подобие на правоъгълни триъгълници.
Теорема 1
Тест за подобие на правоъгълни триъгълници: два правоъгълни триъгълника са подобни, когато имат по един равен остър ъгъл (фиг. 1).
Фигура 1. Подобни правоъгълни триъгълници
Доказателство.
Нека ни е дадено, че $\angle B=\angle B_1$. Тъй като триъгълниците са правоъгълни, тогава $\angle A=\angle A_1=(90)^0$. Следователно те са подобни по първия критерий за подобие на триъгълниците.
Теоремата е доказана.
Теорема за височина в правоъгълен триъгълник
Теорема 2
Височината на правоъгълен триъгълник, изтеглена от върха на прав ъгъл, разделя триъгълника на два подобни правоъгълни триъгълника, всеки от които е подобен на дадения триъгълник.
Доказателство.
Нека ни е даден правоъгълен триъгълник $ABC$ с прав ъгъл $C$. Нека начертаем височината $CD$ (фиг. 2).
Фигура 2. Илюстрация на теорема 2
Нека докажем, че триъгълниците $ACD$ и $BCD$ са подобни на триъгълник $ABC$ и че триъгълниците $ACD$ и $BCD$ са подобни един на друг.
Тъй като $\angle ADC=(90)^0$, тогава триъгълникът $ACD$ е правоъгълен. Триъгълниците $ACD$ и $ABC$ имат общ ъгъл $A$, следователно по Теорема 1 триъгълниците $ACD$ и $ABC$ са подобни.
Тъй като $\angle BDC=(90)^0$, тогава триъгълникът $BCD$ е правоъгълен. Триъгълниците $BCD$ и $ABC$ имат общ ъгъл $B$, следователно по Теорема 1 триъгълниците $BCD$ и $ABC$ са подобни.
Нека сега разгледаме триъгълниците $ACD$ и $BCD$
\[\ъгъл A=(90)^0-\ъгъл ACD\] \[\ъгъл BCD=(90)^0-\ъгъл ACD=\ъгъл A\]
Следователно, съгласно теорема 1, триъгълниците $ACD$ и $BCD$ са подобни.
Теоремата е доказана.
Средно пропорционално
Теорема 3
Надморската височина на правоъгълен триъгълник, изтеглена от върха на прав ъгъл, е средната пропорционална на сегментите, на които височината разделя хипотенузата на дадения триъгълник.
Доказателство.
По теорема 2 имаме, че триъгълниците $ACD$ и $BCD$ са подобни, следователно
Теоремата е доказана.
Теорема 4
Катетът на правоъгълен триъгълник е средната пропорционална стойност между хипотенузата и сегмента от хипотенузата, ограден между катета и надморската височина, изтеглена от върха на ъгъла.
Доказателство.
При доказателството на теоремата ще използваме обозначението от Фигура 2.
Следователно по теорема 2 имаме, че триъгълниците $ACD$ и $ABC$ са подобни
Теоремата е доказана.
Урок 40. Пропорционални отсечки в правоъгълен триъгълник. C. b. а. ч. С. пр.н.е. Н. ак. A. B. Височината на правоъгълен триъгълник, изведена от върха на прав ъгъл, разделя триъгълника на 2 подобни правоъгълни триъгълника, всеки от които е подобен на дадения триъгълник. Тест за подобие на правоъгълни триъгълници. Два правоъгълни триъгълника са подобни, ако всеки от тях има еднакъв остър ъгъл. Отсечката XY се нарича средна пропорционална (средна геометрична) за отсечките AB и CD, ако свойство 1. Височината на правоъгълен триъгълник, изтеглена от върха на прав ъгъл, е средната пропорционална стойност между проекциите на катетите върху хипотенузата. Свойство 2. Катет на правоъгълен триъгълник е средната пропорционална между хипотенузата и проекцията на този катет върху хипотенузата.
Слайд 28от презентацията „Геометрия „Подобни триъгълници““. Размерът на архива с презентацията е 232 KB.Геометрия 8 клас
резюме на други презентации„Решаване на задачи по Питагоровата теорема“ - Триъгълникът ABC е равнобедрен. Практическо приложение на Питагоровата теорема. ABCD е четириъгълник. Площ на квадрат. Намерете слънцето. Доказателство. Основи на равнобедрен трапец. Помислете за Питагоровата теорема. Площ на четириъгълник. Правоъгълни триъгълници. Питагорова теорема. Квадратът на хипотенузата е равен на сумата от квадратите на катетите.
„Намиране на площта на успоредник“ - Основа. Височина. Определяне на височината на успоредник. Признаци за равенство на правоъгълни триъгълници. Площ на успоредник. Намерете площта на триъгълника. Свойства на областите. Устни упражнения. Намерете площта на успоредника. Височини на успоредник. Намерете периметъра на квадрата. Площ на триъгълник. Намерете площта на квадрата. Намерете площта на правоъгълника. Площ на квадрат.
""Квадрат" 8 клас" - Черен квадрат. Задачи за устна работа около периметъра на квадрата. Площ на квадрат. Признаци на квадрат. Площадът е сред нас. Квадратът е правоъгълник с равни страни. Квадрат. Чанта с квадратна основа. Устни задачи. Колко квадрата са показани на картинката? Свойства на квадрат. Богат търговец. Задачи за устна работа върху площта на квадрат. Периметър на квадрат.
„Дефиниция на аксиална симетрия“ - Точки, лежащи на един и същи перпендикуляр. Начертайте две прави линии. Строителство. Начертайте точките. Улика. Фигури, които нямат аксиална симетрия. Линеен сегмент. Липсващи координати. Фигура. Фигури, които имат повече от две оси на симетрия. Симетрия. Симетрия в поезията. Конструирайте триъгълници. Оси на симетрия. Построяване на сегмент. Изграждане на точка. Фигури с две оси на симетрия. Народи. Триъгълници. Пропорционалност.
„Дефиниция на подобни триъгълници“ - Многоъгълници. Пропорционални сегменти. Съотношение на площите на подобни триъгълници. Два триъгълника се наричат подобни. Условия. Построете триъгълник, като използвате дадените два ъгъла и ъглополовящата във върха. Да кажем, че трябва да определим разстоянието до стълба. Третият знак за подобие на триъгълници. Нека изградим някакъв вид триъгълник. ABC. Триъгълниците ABC и ABC са равни по три страни. Определяне на височината на обект.
“Решение на Питагоровата теорема” - Части от прозорци. Най-простото доказателство. Хамурапи. Диагонал. Пълно доказателство. Доказателство чрез метод на изваждане. Питагорейци. Доказателство чрез метод на разлагане. История на теоремата. Диаметър. Доказателство чрез метод на добавяне. Доказателството на Епщайн. Кантор. Триъгълници. Последователи. Приложения на Питагоровата теорема. Питагорова теорема. Изложение на теоремата. Доказателството на Перигал. Приложение на теоремата.
Днес предлагаме на вашето внимание още една презентация на една невероятна и мистериозна тема – геометрията. В тази презентация ще ви запознаем с ново свойство на геометричните фигури, по-специално концепцията за пропорционални сегменти в правоъгълни триъгълници.
Първо, трябва да си спомним какво е триъгълник? Това е най-простият многоъгълник, състоящ се от три върха, свързани с три сегмента. Триъгълник, в който един от ъглите е равен на 90 градуса, се нарича правоъгълен триъгълник. Вече сте се запознали по-подробно с тях в предишните ни образователни материали, представени на вашето внимание.
И така, връщайки се към днешната ни тема, нека отбележим, че височината на правоъгълен триъгълник, начертан от ъгъл от 90 градуса, го разделя на два триъгълника, които са подобни един на друг и на оригиналния. Всички чертежи и графики, които ви интересуват, са дадени в предложената презентация, препоръчваме ви да ги разгледате, придружени с описаното обяснение.
Графичен пример на горната теза може да се види на втория слайд. Въз основа на първия признак за подобие на триъгълниците, триъгълниците са подобни, защото имат два еднакви ъгъла. Ако уточним по-подробно, тогава височината, спусната до хипотенузата, образува прав ъгъл с нея, тоест вече има еднакви ъгли и всеки от образуваните ъгли също има един общ ъгъл като първоначалния. Резултатът е два равни ъгъла. Тоест триъгълниците са подобни.
Нека също да посочим какво означава понятието „пропорционална средна“ или „геометрична средна“? Това е определен сегмент XY за сегменти AB и CD, когато е равен на корен квадратен от произведението на техните дължини.
От което също следва, че катетът на правоъгълен триъгълник е средната геометрична стойност между хипотенузата и проекцията на този катет върху хипотенузата, т.е. друг катет.
Друго свойство на правоъгълния триъгълник е, че неговата височина, изтеглена от ъгъл 90°, е средната пропорционална стойност между проекциите на катетите върху хипотенузата. Ако се обърнете към презентацията и другите материали, предложени на вашето внимание, ще видите, че има доказателства за тази теза в много проста и достъпна форма. Преди това вече доказахме, че получените триъгълници са подобни един на друг и на оригиналния триъгълник. След това, използвайки съотношението на катетите на тези геометрични фигури, стигаме до извода, че височината на правоъгълен триъгълник е право пропорционална на квадратния корен от произведението на сегментите, образувани в резултат на намаляване на височината от прав ъгъл на оригиналния триъгълник.
Последното в презентацията е, че катетът на правоъгълен триъгълник е средната геометрична стойност за хипотенузата и нейната отсечка, разположена между катета и надморската височина, изтеглена от ъгъл, равен на 90 градуса. Този случай трябва да се разглежда от гледна точка на това, че посочените триъгълници са подобни един на друг и катетът на единия от тях се оказва хипотенузата на другия. Но ще се запознаете по-добре с това, като изучавате предложените материали.
Тест за подобие на правоъгълни триъгълници
Нека първо въведем критерия за подобие на правоъгълни триъгълници.
Теорема 1
Тест за подобие на правоъгълни триъгълници: два правоъгълни триъгълника са подобни, когато имат по един равен остър ъгъл (фиг. 1).
Фигура 1. Подобни правоъгълни триъгълници
Доказателство.
Нека ни е дадено, че $\angle B=\angle B_1$. Тъй като триъгълниците са правоъгълни, тогава $\angle A=\angle A_1=(90)^0$. Следователно те са подобни по първия критерий за подобие на триъгълниците.
Теоремата е доказана.
Теорема за височина в правоъгълен триъгълник
Теорема 2
Височината на правоъгълен триъгълник, изтеглена от върха на прав ъгъл, разделя триъгълника на два подобни правоъгълни триъгълника, всеки от които е подобен на дадения триъгълник.
Доказателство.
Нека ни е даден правоъгълен триъгълник $ABC$ с прав ъгъл $C$. Нека начертаем височината $CD$ (фиг. 2).
Фигура 2. Илюстрация на теорема 2
Нека докажем, че триъгълниците $ACD$ и $BCD$ са подобни на триъгълник $ABC$ и че триъгълниците $ACD$ и $BCD$ са подобни един на друг.
Тъй като $\angle ADC=(90)^0$, тогава триъгълникът $ACD$ е правоъгълен. Триъгълниците $ACD$ и $ABC$ имат общ ъгъл $A$, следователно по Теорема 1 триъгълниците $ACD$ и $ABC$ са подобни.
Тъй като $\angle BDC=(90)^0$, тогава триъгълникът $BCD$ е правоъгълен. Триъгълниците $BCD$ и $ABC$ имат общ ъгъл $B$, следователно по Теорема 1 триъгълниците $BCD$ и $ABC$ са подобни.
Нека сега разгледаме триъгълниците $ACD$ и $BCD$
\[\ъгъл A=(90)^0-\ъгъл ACD\] \[\ъгъл BCD=(90)^0-\ъгъл ACD=\ъгъл A\]
Следователно, съгласно теорема 1, триъгълниците $ACD$ и $BCD$ са подобни.
Теоремата е доказана.
Средно пропорционално
Теорема 3
Надморската височина на правоъгълен триъгълник, изтеглена от върха на прав ъгъл, е средната пропорционална на сегментите, на които височината разделя хипотенузата на дадения триъгълник.
Доказателство.
По теорема 2 имаме, че триъгълниците $ACD$ и $BCD$ са подобни, следователно
Теоремата е доказана.
Теорема 4
Катетът на правоъгълен триъгълник е средната пропорционална стойност между хипотенузата и сегмента от хипотенузата, ограден между катета и надморската височина, изтеглена от върха на ъгъла.
Доказателство.
При доказателството на теоремата ще използваме обозначението от Фигура 2.
Следователно по теорема 2 имаме, че триъгълниците $ACD$ и $ABC$ са подобни
Теоремата е доказана.
