Граници в математиката за манекени: обяснение, теория, примери за решения. Разрешаване на ограничения чрез разкриване на несигурности Число до минус безкрайна степен

УРОК 20

20.1 РАЗКРИВАНЕ НА НЕСИГУРНОСТТА НА ВИДОВЕТЕ

Пример 1

Ограничение за решаване Първо, нека се опитаме да заместим -1 в дробта: В този случай се получава така наречената неопределеност.

Общо правило:ако числителят и знаменателят съдържат полиноми и има несигурност на формата, тогава да го разкриете трябва да разделите числителя и знаменателя на множители.

За да направите това, най-често трябва да решите квадратно уравнение и/или да използвате формули за съкратено умножение.

Нека разложим числителя на множители.

Пример 2

Изчислете лимита

Нека разложим числителя и знаменателя на множители.

Числител знаменател: ,

Метод за умножение на числителя и знаменателя по спрегнатия израз

Продължаваме да разглеждаме несигурността на формата

Следващият тип ограничения е подобен на предишния тип. Единственото нещо, в допълнение към полиномите, ще добавим корени.

Пример 3

Намерете границата

Умножете числителя и знаменателя по спрегнатия израз.

20.2 РАЗКРИВАНЕ НА НЕСИГУРНОСТТА ЗА ВИДОВЕТЕ

Сега ще разгледаме групата граници, когато , а функцията е дроб, чийто числител и знаменател съдържат полиноми

Пример 4

Изчислете лимита

Според нашето правило ще се опитаме да заменим безкрайността във функцията. Какво получаваме на върха? Безкрайност. И какво се случва отдолу? Също безкрайност. Така имаме това, което се нарича видова несигурност. Може да се мисли, че отговорът е готов, но в общия случай това изобщо не е така и е необходимо да се приложи някаква техника за решаване, която сега ще разгледаме.

Как да решим ограничения от този тип?

Първо разглеждаме числителя и намираме най-голямата мощност: Водещата степен в числителя е две.

Сега разглеждаме знаменателя и го намираме на най-висока степен: Най-високата степен на знаменателя е две.

След това избираме най-голямата степен на числителя и знаменателя: в този пример те са еднакви и равни на две.

И така, методът на решение е следният: за разкриване на несигурносттрябва да разделите числителя и знаменателя нав старшата степен.

Разделете числителя и знаменателя на

Ето го отговорът, а не безкрайността.

Какво е фундаментално важно при проектирането на решение?

Първо, посочваме несигурност, ако има такава.

Второ, препоръчително е да прекъснете решението за междинни обяснения. Обикновено използвам знака, той няма математическо значение, а означава, че решението се прекъсва за междинно обяснение.

Трето, в лимита е препоръчително да маркирате какво къде отива. Когато работата се съставя на ръка, е по-удобно да се направи по този начин: По-добре е да използвате обикновен молив за бележки.

Разбира се, не е нужно да правите нищо от това, но тогава може би учителят ще посочи недостатъци в решението или ще започне да задава допълнителни въпроси относно задачата. трябва ли ти

Пример 5

Намерете границата Отново в числителя и знаменателя намираме в най-висока степен: Максимална степен в числителя: 3 Максимална степен в знаменателя: 4 Изберете най великстойност, в този случай четири. Според нашия алгоритъм, за да разкрием несигурността, разделяме числителя и знаменателя на. Цялата задача може да изглежда така:

Пример 6

Намерете границата Максимална степен на “X” в числителя: 2 Максимална степен на “X” в знаменателя: 1 (може да се запише като) За да разкриете несигурност, е необходимо да разделите числителя и знаменателя на. Крайното решение може да изглежда така:

Разделете числителя и знаменателя на

Нотацията не означава деление на нула (не можете да делите на нула), а деление на безкрайно малко число.

По този начин, като разкрием несигурността на видовете, може да успеем крайно число, нула или безкрайност.

ПРАКТИКУМ 20

ЗАДАЧА № 1

Решение:Ако вместо променливата поставим стойността 7, към която тя клони, тогава получаваме несигурност на формата

ЗАДАЧА № 2Тема: Разкриване на несигурност от типа „нула към нула”.

Решение:Ако вместо променлива поставим стойността 0, към която тя клони, тогава получаваме несигурност на формата

ЗАДАЧА N 3Тема: Разкриване на несигурност от типа „нула към нула”.

Решение:Ако вместо променливата поставим стойността 6, към която тя клони, тогава получаваме несигурност от вида

ЗАДАЧА N 4

Решение:защото И

ЗАДАЧА № 5Тема: Разкриване на неопределеността на формата "безкрайност до безкрайност"

Решение:защото И тогава има несигурност на формата.За да го разкриете, трябва да разделите всеки член на числителя и знаменателя на. Тогава, знаейки какво получаваме:

САМОСТОЯТЕЛНА РАБОТА 20

ЗАДАЧА № 1Тема: Разкриване на несигурност от типа „нула към нула”.

ЗАДАЧА № 2Тема: Разкриване на несигурност от типа „нула към нула”.

ЗАДАЧА N 3Тема: Разкриване на несигурност от типа „нула към нула”.

ЗАДАЧА N 4Тема: Разкриване на неопределеността на формата "безкрайност до безкрайност"

ЗАДАЧА № 5Тема: Разкриване на неопределеността на формата "безкрайност до безкрайност"Ограничение на функцията равен...

ЗАДАЧА N 6Тема: Разкриване на неопределеността на формата "безкрайност до безкрайност"

Производната на функцията не пада далеч и в случая с правилата на L'Hopital попада точно на същото място, където попада оригиналната функция. Това обстоятелство помага за разкриване на несигурности от формата 0/0 или ∞/∞ и някои други несигурности, които възникват при изчисляване лимитвръзката на две безкрайно малки или безкрайно големи функции. Изчислението е значително опростено с помощта на това правило (всъщност две правила и бележки към тях):

Както показва формулата по-горе, когато се изчислява границата на съотношението на две безкрайно малки или безкрайно големи функции, границата на съотношението на две функции може да бъде заменена с границата на съотношението на техните производнии по този начин да получите определен резултат.

Нека да преминем към по-точни формулировки на правилата на L'Hopital.

Правилото на L'Hopital за случай на граница на две безкрайно малки количества. Нека функциите f(х) И ж(х а. И то в самата точка а апроизводна на функция ж(х) не е нула ( ж"(х аса равни помежду си и равни на нула:

.

Правилото на L'Hopital за случай на граница на две безкрайно големи количества. Нека функциите f(х) И ж(х) имат производни (т.е. диференцируеми) в някаква околност на точката а. И то в самата точка аможе да нямат производни. При това в околностите на пункта апроизводна на функция ж(х) не е нула ( ж"(х)≠0) и границите на тези функции, когато x клони към стойността на функцията в точката аса равни помежду си и равни до безкрайност:

.

Тогава границата на съотношението на тези функции е равна на границата на съотношението на техните производни:

С други думи, за несигурности от формата 0/0 или ∞/∞, границата на съотношението на две функции е равна на границата на съотношението на техните производни, ако последното съществува (крайно, т.е. равно на a определено число или безкрайно, тоест равно на безкрайност).

Бележки.

1. Правилата на L'Hopital са приложими и когато функциите f(х) И ж(х) не са определени кога х = а.

2. Ако при изчисляване на границата на отношението на производните на функциите f(х) И ж(х) отново стигаме до несигурност от формата 0/0 или ∞/∞, тогава правилата на L'Hôpital трябва да се прилагат многократно (поне два пъти).

3. Правилата на L'Hopital са приложими и когато аргументът на функции (x) не клони към крайно число аи до безкрайност ( х → ∞).

Несигурностите от други видове също могат да бъдат сведени до несигурности от типа 0/0 и ∞/∞.

Разкриване на несигурности от типа „нула, разделена на нула“ и „безкрайност, разделена на безкрайност“

Пример 1.

х=2 води до несигурност под формата 0/0. Следователно се получава производната на всяка функция

Производната на полинома се изчислява в числителя, а в знаменателя - производна на комплексна логаритмична функция. Преди последния знак за равенство, обичайното лимит, замествайки две вместо X.

Пример 2.Изчислете границата на съотношението на две функции, като използвате правилото на L'Hopital:

Решение. Заместване на стойност в дадена функция х

Пример 3.Изчислете границата на съотношението на две функции, като използвате правилото на L'Hopital:

Решение. Заместване на стойност в дадена функция х=0 води до несигурност под формата 0/0. Следователно изчисляваме производните на функциите в числителя и знаменателя и получаваме:

Пример 4.Изчисли

Решение. Заместването на стойността x, равна на плюс безкрайност, в дадена функция води до несигурност от формата ∞/∞. Затова прилагаме правилото на L'Hopital:

Коментирайте. Нека да преминем към примери, в които правилото на L'Hopital трябва да се приложи два пъти, т.е. да се стигне до границата на съотношението на вторите производни, тъй като границата на съотношението на първите производни е несигурност от формата 0 /0 или ∞/∞.

Разкриване на несигурности от формата „нула пъти безкрайност“

Пример 12.Изчисли

.

Решение. Получаваме

Този пример използва тригонометричната идентичност.

Разкриване на несигурности от типа "нула на степен нула", "безкрайност на степен нула" и "един на степен безкрайност"

Несигурностите на формата , или обикновено се свеждат до формата 0/0 или ∞/∞ чрез вземане на логаритъм на функция от формата

За да изчислите границата на израз, трябва да използвате логаритмичното тъждество, чийто специален случай е свойството на логаритъм .

Използвайки логаритмичната идентичност и свойството за непрекъснатост на функцията (да се премине отвъд знака на границата), границата трябва да се изчисли, както следва:

Отделно трябва да намерите границата на израза в експонента и да изградите ддо намерената степен.

Пример 13.

Решение. Получаваме

.

.

Пример 14.Изчислете с помощта на правилото на L'Hopital

Решение. Получаваме

Изчислете границата на израз в експонента

.

.

Пример 15.Изчислете с помощта на правилото на L'Hopital

Тази несигурност се „сервира“ втора прекрасна граница, а във втората част на този урок разгледахме много подробно стандартни примери за решения, които се срещат на практика в повечето случаи. Сега картината с експонентите ще бъде завършена, освен това последните задачи на урока ще бъдат посветени на „фалшиви“ граници, в които ИЗГЛЕЖДА, че е необходимо да се приложи втората прекрасна граница, въпреки че това изобщо не е случай.

Недостатъкът на двете работещи формули за втората забележителна граница е, че аргументът трябва да клони към „плюс безкрайност“ или към нула. Но какво ще стане, ако аргументът клони към различно число?

На помощ идва универсална формула (която всъщност е следствие от второто забележително ограничение):

Несигурността може да се елиминира с помощта на формулата:

Някъде мисля, че вече обясних какво означават квадратните скоби. Нищо особено, скобите са си просто скоби. Те обикновено се използват за по-ясно подчертаване на математическата нотация.

Нека подчертаем основните точки на формулата:

1) Става въпрос за само относно сигурността и нищо друго.

2) Аргументът „x“ може да има тенденция произволна стойност(а не само до нула или), по-специално до „минус безкрайност“ или до всекикрайно число.

С помощта на тази формула можете да решите всички примери в урока. Прекрасни граници, които спадат към 2-ра забележителна граница. Например, нека изчислим лимита:

В такъв случай , и по формулата :

Вярно е, че не препоръчвам да правите това; традицията е все още да се използва „обичайният“ дизайн на решението, ако може да се приложи. въпреки това с помощта на формулата е много удобно да се провери"класически" примери до 2-ра забележителна граница.

Всичко това е добре и правилно, но сега в кадъра има още интересни кадри:

Пример 18

Изчислете лимита

На първата стъпка, няма да се уморя да повтарям, заместваме стойността на "x" в израза под знака за граница. Ами ако изобщо няма несигурност? Случва се! Но не и в този момент. Заменяйки „тройката“, стигаме до извода, че тук има несигурност

Използваме формулата

За да не влачите буквата „e“ със себе си и да не я намалявате, индикаторът По-удобно е да се изчисли отделно:

В такъв случай:

По този начин:

От гледна точка на технологията на изчисление всичко е рутинно: първо свеждаме първия член до общ знаменател, след това изваждаме константите и извършваме редукции, като се отървем от несигурността 0:0.

Като резултат:

Обещан подарък с логаритъм разлика и несигурност:

Пример 19

Изчислете лимита

Първо пълното решение, след това коментари:

(1)-(2) В първите две стъпки използваме формулите . U сложни производниние „разпадаме“ логаритми, но тук, напротив, те трябва да бъдат „сглобени“.

(3) Преместете иконата на границата под логаритъма. Това може да се направи, защото този логаритъм непрекъснатодо "минус безкрайност". Освен това ограничението се отнася до „запълването“ на логаритъма.

(4)-(5) Стандартна техника, разгледана в основния урок за прекрасни граници, трансформираме несигурността във формата .

(6) Използваме формулата .

(7) Експоненциалната и логаритмичната функции са взаимно обратни функции, следователно както „e“, така и логаритъмът могат да бъдат премахнати. Действително, според свойството на логаритъма: . Добавяме минуса преди дробта към знаменателя:

(8) Без коментар =)

Видът разглеждан лимит не е толкова рядък, намерих 30-40 примера.

Пример 20

Изчислете лимита

Това е пример, който можете да решите сами. В допълнение към използването на формулата, можете да представите границата като и чрез замяна намалете решението до случая .

В заключение, нека да разгледаме „фалшивите“ ограничения.

Да се ​​върнем към несигурността. Тази несигурност не винагиможе да се намали до несигурност и да се използва втората забележителна граница или формула за следствие. Трансформацията е осъществима, ако числител и знаменател на основата - еквивалентенбезкрайно големи функции. Например: .

Нека си починем от индикатора и изчислим лимита на основата:

В получената граница мерна единица, което означава числител и знаменател не само от същия ред на растеж, но и еквивалентен. На урока Забележителни граници. Примери за решенияЛесно намалихме този пример до несигурност и получихме отговора.

Можете да измислите много подобни ограничения:
и т.н.

Частите от тези примери са обединени от горната характеристика: . В други случаи, ако има несигурност 2-ро забележително ограничение не е приложимо.

Пример 21

Намерете граници

Колкото и да се опитвате, несигурността не може да се трансформира в несигурност

Ето числителите и знаменателите на основите същия ред на растеж, но не еквивалентен: .

Така втората забележителна граница и особено формулата, НЕ МОЖЕ ДА СЕ ПРИЛАГА.

! Забележка: Да не се бърка с Пример #18, в който числителят и знаменателят на основата не са еквивалентни. Има готова несигурност, но тук говорим за несигурност.

Методът за решаване на „фалшиви“ лимити е прост и знаков: имате нужда от числител и знаменател основанияразделете на "x" на най-висока степен (независимо от експонентата):

Ако числителят и знаменателят на основата са с различен ред на растеж, тогава решението е абсолютно същото:

Пример 22

Намерете граници

Това са кратки примери за самостоятелно обучение

Понякога може изобщо да няма несигурност:

Такива трикове са особено обичани от съставителите на колекцията на Кузнецов. Ето защо е много важно ВИНАГИ да замествате “x” в израза под знака за граница в първата стъпка!

Пример 2

Главна степен на числително: 2; най-висока степен на знаменател: 3.
:

Пример 4

Разделете числителя и знаменателя на :


Забележка : последното действие беше да умножим числителя и знаменателя по да се отървем от ирационалността в знаменателя.

Пример 6

Разделете числителя и знаменателя на :

Пример 8

Разделете числителя и знаменателя на :

Забележка : срок клонят към нула по-бавно от , Ето защо е „главната“ нула на знаменателя. .

Пример 22


Забележка : безкрайно малка функция клони към нула по-бавно от , така че „по-голямата“ нула на знаменателя играе решаваща роля:

Ограниченията създават много проблеми на всички студенти по математика. За да разрешите ограничение, понякога трябва да използвате много трикове и да изберете от различни методи за решение точно този, който е подходящ за конкретен пример.

В тази статия няма да ви помогнем да разберете границите на вашите възможности или да разберете границите на контрола, но ще се опитаме да отговорим на въпроса: как да разберете границите във висшата математика? Разбирането идва с опит, така че в същото време ще дадем няколко подробни примера за решаване на граници с обяснения.

Понятието граница в математиката

Първият въпрос е: каква е тази граница и границата на какво? Можем да говорим за граници на числови последователности и функции. Интересуваме се от понятието граница на функция, тъй като това е, с което студентите най-често се сблъскват. Но първо, най-общата дефиниция на лимит:

Да кажем, че има някаква променлива стойност. Ако тази стойност в процеса на промяна неограничено се доближава до определено число а , Че а – границата на тази стойност.

За функция, дефинирана в определен интервал f(x)=y такова число се нарича граница А , към което функцията клони, когато х , клонящи към определена точка А . Точка А принадлежи на интервала, на който е дефинирана функцията.

Звучи тромаво, но е написано много просто:

Лим- от английски лимит- лимит.

Има и геометрично обяснение за определяне на границата, но тук няма да се задълбочаваме в теорията, тъй като се интересуваме повече от практическата, а не от теоретичната страна на въпроса. Когато казваме това х клони към някаква стойност, това означава, че променливата не приема стойността на число, а се приближава безкрайно близо до нея.

Да дадем конкретен пример. Задачата е да се намери границата.

За да решим този пример, заместваме стойността х=3 във функция. Получаваме:

Между другото, ако се интересувате от основни операции с матрици, прочетете отделна статия по тази тема.

В примерите х може да клони към всяка стойност. Може да бъде произволно число или безкрайност. Ето един пример кога х клони към безкрайност:

Интуитивно, колкото по-голямо е числото в знаменателя, толкова по-малка стойност ще приеме функцията. И така, с неограничен растеж х значение 1/x ще намалява и ще се доближава до нула.

Както можете да видите, за да разрешите границата, просто трябва да замените стойността, към която да се стремите, във функцията х . Това обаче е най-простият случай. Често намирането на границата не е толкова очевидно. В границите има неясноти от вида 0/0 или безкрайност/безкрайност . Какво да правим в такива случаи? Прибягвайте до трикове!

Вътрешна несигурност

Неопределеност на формата безкрайност/безкрайност

Нека има ограничение:

Ако се опитаме да заместим безкрайност във функцията, ще получим безкрайност както в числителя, така и в знаменателя. Като цяло си струва да се каже, че има известен елемент на изкуство в разрешаването на такива несигурности: трябва да забележите как можете да трансформирате функцията по такъв начин, че несигурността да изчезне. В нашия случай разделяме числителя и знаменателя на х в старшата степен. Какво ще се случи?

От вече обсъдения по-горе пример знаем, че членовете, съдържащи x в знаменателя, ще клонят към нула. Тогава решението на лимита е:

За разрешаване на несигурностите на типа безкрайност/безкрайностразделете числителя и знаменателя на хв най-висока степен.

Между другото! За нашите читатели вече има 10% отстъпка от всякакъв вид работа

Друг вид несигурност: 0/0

Както винаги, заместване на стойности във функцията х=-1 дава 0 в числителя и знаменателя. Погледнете малко по-внимателно и ще забележите, че имаме квадратно уравнение в числителя. Нека намерим корените и напишем:

Нека намалим и получим:

Така че, ако сте изправени пред несигурност на типа 0/0 – множете числителя и знаменателя.

За да ви улесним при решаването на примери, представяме таблица с ограниченията на някои функции:

Правилото на L'Hopital в рамките

Друг мощен начин за премахване на двата вида несигурност. Каква е същността на метода?

Ако има несигурност в границата, вземете производната на числителя и знаменателя, докато несигурността изчезне.

Правилото на L'Hopital изглежда така:

Важен момент : границата, в която трябва да съществуват производните на числителя и знаменателя вместо числителя и знаменателя.

А сега - реален пример:

Има типична несигурност 0/0 . Нека вземем производните на числителя и знаменателя:

Ето, несигурността се решава бързо и елегантно.

Надяваме се, че ще можете да приложите полезно тази информация на практика и да намерите отговор на въпроса „как да решаваме граници във висшата математика“. Ако трябва да изчислите границата на последователност или границата на функция в точка и няма абсолютно никакво време за тази работа, свържете се с професионална студентска служба за бързо и подробно решение.

Обикновено втората забележителна граница е написана в следната форма:

\begin(equation) \lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(x)\right)^x=e\end(equation)

Числото $e$, посочено от дясната страна на равенството (1), е ирационално. Приблизителната стойност на това число е: $e\approx(2(,)718281828459045)$. Ако направим замяната $t=\frac(1)(x)$, тогава формула (1) може да бъде пренаписана както следва:

\begin(equation) \lim_(t\to(0))\biggl(1+t\biggr)^(\frac(1)(t))=e\end(equation)

Що се отнася до първото забележително ограничение, няма значение кой израз стои на мястото на променливата $x$ във формула (1) или вместо променливата $t$ във формула (2). Основното нещо е да изпълните две условия:

1. Основата на степента (т.е. изразът в скоби на формули (1) и (2)) трябва да клони към единица;
2. Показателят (т.е. $x$ във формула (1) или $\frac(1)(t)$ във формула (2)) трябва да клони към безкрайност.

Твърди се, че втората забележителна граница разкрива несигурността на $1^\infty$. Моля, обърнете внимание, че във формула (1) не уточняваме за коя безкрайност ($+\infty$ или $-\infty$) говорим. Във всеки от тези случаи формула (1) е правилна. Във формула (2) променливата $t$ може да клони към нула както отляво, така и отдясно.

Отбелязвам, че има и няколко полезни следствия от втората забележителна граница. Примери за използването на втората забележителна граница, както и последствията от нея, са много популярни сред съставителите на стандартни стандартни изчисления и тестове.

Пример №1

Изчислете ограничението $\lim_(x\to\infty)\left(\frac(3x+1)(3x-5)\right)^(4x+7)$.

Нека веднага да отбележим, че основата на степента (т.е. $\frac(3x+1)(3x-5)$) клони към единица:

$$ \lim_(x\to\infty)\frac(3x+1)(3x-5)=\left|\frac(\infty)(\infty)\right| =\lim_(x\to\infty)\frac(3+\frac(1)(x))(3-\frac(5)(x)) =\frac(3+0)(3-0) = 1. $$

В този случай експонентата (израз $4x+7$) клони към безкрайност, т.е. $\lim_(x\to\infty)(4x+7)=\infty$.

Основата на степента клони към единица, показателят клони към безкрайност, т.е. имаме работа с несигурност $1^\infty$. Нека приложим формула, за да разкрием тази несигурност. В основата на степента на формулата е изразът $1+\frac(1)(x)$, а в примера, който разглеждаме, основата на степента е: $\frac(3x+1)(3x- 5)$. Следователно първото действие ще бъде формална корекция на израза $\frac(3x+1)(3x-5)$ до формата $1+\frac(1)(x)$. Първо добавете и извадете едно:

$$ \lim_(x\to\infty)\left(\frac(3x+1)(3x-5)\right)^(4x+7) =|1^\infty| =\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(3x+1)(3x-5)-1\right)^(4x+7) $$

Моля, обърнете внимание, че не можете просто да добавите единица. Ако сме принудени да добавим едно, тогава трябва също да го извадим, за да не променим стойността на целия израз. За да продължим решението, вземаме предвид това

$$ \frac(3x+1)(3x-5)-1 =\frac(3x+1)(3x-5)-\frac(3x-5)(3x-5) =\frac(3x+1- 3x+5)(3x-5) =\frac(6)(3x-5). $$

Тъй като $\frac(3x+1)(3x-5)-1=\frac(6)(3x-5)$, тогава:

$$ \lim_(x\to\infty)\left(1+ \frac(3x+1)(3x-5)-1\right)^(4x+7) =\lim_(x\to\infty)\ ляво(1+\frac(6)(3x-5)\дясно)^(4x+7) $$

Да продължим корекцията. В израза $1+\frac(1)(x)$ на формулата числителят на дробта е 1, а в нашия израз $1+\frac(6)(3x-5)$ числителят е $6$. За да получите $1$ в числителя, пуснете $6$ в знаменателя, като използвате следното преобразуване:

$$ 1+\frac(6)(3x-5) =1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6)) $$

По този начин,

$$ \lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(6)(3x-5)\right)^(4x+7) =\lim_(x\to\infty)\left(1+ \frac(1)(\frac(3x-5)(6))\right)^(4x+7) $$

И така, основата на степента, т.е. $1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))$, коригирано до формата $1+\frac(1)(x)$, изисквана във формулата. Сега нека започнем да работим с експонентата. Обърнете внимание, че във формулата изразите в експонентите и в знаменателя са еднакви:

Това означава, че в нашия пример степенният показател и знаменателят трябва да бъдат приведени в една и съща форма. За да получим израза $\frac(3x-5)(6)$ в степента, ние просто умножаваме степента по тази дроб. Естествено, за да компенсирате такова умножение, ще трябва незабавно да умножите по реципрочната дроб, т.е. от $\frac(6)(3x-5)$. Така че имаме:

$$ \lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))\right)^(4x+7) =\lim_(x\to\ infty)\left(1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))\right)^(\frac(3x-5)(6)\cdot\frac(6)(3x-5 )\cdot(4x+7)) =\lim_(x\to\infty)\left(\left(1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))\right)^(\ frac(3x-5)(6))\right)^(\frac(6\cdot(4x+7))(3x-5)) $$

Нека разгледаме отделно границата на фракцията $\frac(6\cdot(4x+7))(3x-5)$, разположена в степента:

$$ \lim_(x\to\infty)\frac(6\cdot(4x+7))(3x-5) =\left|\frac(\infty)(\infty)\right| =\lim_(x\to\infty)\frac(6\cdot\left(4+\frac(7)(x)\right))(3-\frac(5)(x)) =6\cdot\ frac(4)(3) =8. $$

Отговор: $\lim_(x\to(0))\biggl(\cos(2x)\biggr)^(\frac(1)(\sin^2(3x)))=e^(-\frac(2) (9))$.

Пример №4

Намерете границата $\lim_(x\to+\infty)x\left(\ln(x+1)-\ln(x)\right)$.

Тъй като за $x>0$ имаме $\ln(x+1)-\ln(x)=\ln\left(\frac(x+1)(x)\right)$, тогава:

$$ \lim_(x\to+\infty)x\left(\ln(x+1)-\ln(x)\right) =\lim_(x\to+\infty)\left(x\cdot\ln\ ляво(\frac(x+1)(x)\right)\right) $$

Развивайки дробта $\frac(x+1)(x)$ в сумата от дроби $\frac(x+1)(x)=1+\frac(1)(x)$, получаваме:

$$ \lim_(x\to+\infty)\left(x\cdot\ln\left(\frac(x+1)(x)\right)\right) =\lim_(x\to+\infty)\left (x\cdot\ln\left(1+\frac(1)(x)\right)\right) =\lim_(x\to+\infty)\left(\ln\left(\frac(x+1) (x)\right)^x\right) =\ln(e) =1. $$

Отговор: $\lim_(x\to+\infty)x\left(\ln(x+1)-\ln(x)\right)=1$.

Пример №5

Намерете границата $\lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4))$.

Тъй като $\lim_(x\to(2))(3x-5)=6-5=1$ и $\lim_(x\to(2))\frac(2x)(x^2-4)= \ infty$, тогава имаме работа с несигурност от формата $1^\infty$. Подробни обяснения са дадени в пример № 2, но тук ще се ограничим до кратко решение. Правейки замяната $t=x-2$, получаваме:

$$ \lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4)) =\left|\begin(aligned)&t=x-2 ;\;x=t+2\\&t\to(0)\end(aligned)\right| =\lim_(t\to(0))\biggl(1+3t\biggr)^(\frac(2t+4)(t^2+4t))=\\ =\lim_(t\to(0) )\biggl(1+3t\biggr)^(\frac(1)(3t)\cdot 3t\cdot\frac(2t+4)(t^2+4t)) =\lim_(t\to(0) )\left(\biggl(1+3t\biggr)^(\frac(1)(3t))\right)^(\frac(6\cdot(t+2))(t+4)) =e^ 3. $$

Можете да решите този пример по различен начин, като използвате замяната: $t=\frac(1)(x-2)$. Разбира се, отговорът ще бъде същият:

$$ \lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4)) =\left|\begin(подравнено)&t=\frac( 1)(x-2);\;x=\frac(2t+1)(t)\\&t\to\infty\end(aligned)\right| =\lim_(t\to\infty)\left(1+\frac(3)(t)\right)^(t\cdot\frac(4t+2)(4t+1))=\\ =\lim_ (t\to\infty)\left(1+\frac(1)(\frac(t)(3))\right)^(\frac(t)(3)\cdot\frac(3)(t) \cdot\frac(t\cdot(4t+2))(4t+1)) =\lim_(t\to\infty)\left(\left(1+\frac(1)(\frac(t)( 3))\right)^(\frac(t)(3))\right)^(\frac(6\cdot(2t+1))(4t+1)) =e^3. $$

Отговор: $\lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4))=e^3$.

Пример №6

Намерете границата $\lim_(x\to\infty)\left(\frac(2x^2+3)(2x^2-4)\right)^(3x) $.

Нека разберем към какво клони изразът $\frac(2x^2+3)(2x^2-4)$ при условие $x\to\infty$:

$$ \lim_(x\to\infty)\frac(2x^2+3)(2x^2-4) =\left|\frac(\infty)(\infty)\right| =\lim_(x\to\infty)\frac(2+\frac(3)(x^2))(2-\frac(4)(x^2)) =\frac(2+0)(2 -0)=1. $$

По този начин, в дадена граница имаме работа с несигурност от формата $1^\infty$, която ще разкрием с помощта на втората забележителна граница:

$$ \lim_(x\to\infty)\left(\frac(2x^2+3)(2x^2-4)\right)^(3x) =|1^\infty| =\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(2x^2+3)(2x^2-4)-1\right)^(3x)=\\ =\lim_(x\to \infty)\left(1+\frac(7)(2x^2-4)\right)^(3x) =\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(\frac (2x^2-4)(7))\right)^(3x)=\\ =\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(\frac(2x^2-4) )(7))\right)^(\frac(2x^2-4)(7)\cdot\frac(7)(2x^2-4)\cdot 3x) =\lim_(x\to\infty) \left(\left(1+\frac(1)(\frac(2x^2-4)(7))\right)^(\frac(2x^2-4)(7))\right)^( \frac(21x)(2x^2-4)) =e^0 =1. $$

Отговор: $\lim_(x\to\infty)\left(\frac(2x^2+3)(2x^2-4)\right)^(3x)=1$.