Определение за топка. Математика

Топката е тяло, състоящо се от всички точки в пространството, които се намират на разстояние не по-голямо от дадено от дадена точка. Тази точка се нарича център на топката, а това разстояние се нарича радиус на топката. Границата на топката се нарича сферична повърхност или сфера. Точките на сферата са всички точки на топката, които са отдалечени от центъра на разстояние, равно на радиуса. Всеки сегмент, който свързва центъра на топка с точка от сферичната повърхност, също се нарича радиус. Отсечката, минаваща през центъра на топката и свързваща две точки от сферичната повърхност, се нарича диаметър. Краищата на всеки диаметър се наричат ​​диаметрално противоположни точки на топката.

Топката е въртеливо тяло, също като конуса и цилиндъра. Топка се получава чрез въртене на полукръг около диаметъра си като ос.

Повърхността на топката може да се намери с помощта на формулите:

където r е радиусът на топката, d е диаметърът на топката.

Обемът на топката се намира по формулата:

V = 4 / 3 πr 3,

където r е радиусът на топката.

Теорема. Всяко сечение на топка от равнина е кръг. Центърът на този кръг е основата на перпендикуляра, изтеглен от центъра на топката върху режещата равнина.

Въз основа на тази теорема, ако топка с център O и радиус R е пресечена от равнината α, тогава напречното сечение води до окръжност с радиус r с център K. Радиусът на сечението на топката от равнината може да се намери по формулата

От формулата става ясно, че равнини, еднакво отдалечени от центъра, пресичат топката в равни кръгове. Радиусът на сечението е толкова по-голям, колкото по-близо е режещата равнина до центъра на топката, т.е. толкова по-малко е разстоянието OK. Най-големият радиус има сечение от равнина, минаваща през центъра на топката. Радиусът на тази окръжност е равен на радиуса на топката.

Равнината, минаваща през центъра на топката, се нарича централна равнина. Сечението на топка от диаметралната равнина се нарича голям кръг, а сечението на сфера се нарича голям кръг, а сечението на сфера се нарича голям кръг.

Теорема. Всяка диаметрална равнина на топка е нейната равнина на симетрия. Центърът на топката е нейният център на симетрия.

Равнината, която минава през точка А на сферичната повърхност и е перпендикулярна на радиуса, прекаран в точка А, се нарича допирателна равнина. Точка А се нарича допирателна точка.

Теорема. Допирателната равнина има само една обща точка с топката - точката на контакт.

Правата линия, която минава през точка А на сферичната повърхност, перпендикулярна на радиуса, прекаран до тази точка, се нарича допирателна.

Теорема. Безкраен брой допирателни минават през всяка точка на сферичната повърхност и всички те лежат в допирателната равнина на топката.

Сферичният сегмент е част от топка, отрязана от нея от равнина. Окръжност ABC е основата на сферичния сегмент. Перпендикулярът MN, прекаран от центъра N на окръжност ABC до пресечната точка със сферичната повърхност, е височината на сферичния сегмент. Точка M е върхът на сферичния сегмент.

Повърхността на сферичен сегмент може да се изчисли по формулата:

Обемът на сферичен сегмент може да се намери по формулата:

V = πh 2 (R – 1/3h),

където R е радиусът на големия кръг, h е височината на сферичния сегмент.

Сферичен сектор се получава от сферичен сегмент и конус по следния начин. Ако сферичен сегмент е по-малък от полукълбо, тогава сферичният сегмент се допълва от конус, чийто връх е в центъра на топката, а основата е основата на сегмента. Ако сегментът е по-голям от полукълбо, тогава посоченият конус се премахва от него.

Сферичният сектор е част от топка, ограничена от извита повърхност на сферичен сегмент (на нашата фигура това е AMCB) и конична повърхност (на нашата фигура това е OABC), основата на която е основата на сегмент (ABC), а върхът е центърът на топката O.

Обемът на сферичния сектор се намира по формулата:

V = 2/3 πR 2 H.

Сферичният слой е част от топка, затворена между две успоредни равнини (равнини ABC и DEF на фигурата), пресичащи сферичната повърхност. Извитата повърхност на сферичния слой се нарича сферичен пояс (зона). Окръжности ABC и DEF са основите на сферичния пояс. Разстоянието NK между основите на сферичния пояс е неговата височина.

уебсайт, при пълно или частично копиране на материал се изисква връзка към източника.

Топката и сферата са преди всичко геометрични фигури и ако топката е геометрично тяло, тогава сферата е повърхността на топката. Тези цифри са представлявали интерес преди много хиляди години пр.н.е.

Впоследствие, когато се открива, че Земята е топка, а небето е небесна сфера, се развива ново увлекателно направление в геометрията - геометрия върху сфера или сферична геометрия. За да говорим за размера и обема на една топка, първо трябва да я дефинирате.

Топка

Топка с радиус R с център в точка O в геометрията е тяло, създадено от всички точки в пространството, които имат общо свойство. Тези точки са разположени на разстояние, което не надвишава радиуса на топката, т.е. те запълват цялото пространство, по-малко от радиуса на топката във всички посоки от нейния център. Ако разгледаме само тези точки, които са на еднакво разстояние от центъра на топката, ще разгледаме нейната повърхност или обвивката на топката.

Как мога да взема топката? Можем да изрежем кръг от хартия и да започнем да го въртим около собствения му диаметър. Тоест диаметърът на кръга ще бъде оста на въртене. Оформената фигура ще бъде топка. Следователно топката се нарича също тяло на въртене. Тъй като може да се образува чрез завъртане на плоска фигура - кръг.

Нека вземем някакъв самолет и да разрежем нашата топка с него. Точно както режем портокал с нож. Парчето, което отрязваме от топката, се нарича сферичен сегмент.

В Древна Гърция те знаеха как не само да работят с топка и сфера като геометрични фигури, например, да ги използват в строителството, но също така знаеха как да изчислят повърхността на топката и обема на топката.

Сфера е другото име за повърхността на топката. Сферата не е тяло - тя е повърхността на въртящо се тяло. Въпреки това, тъй като както Земята, така и много тела имат сферична форма, например капка вода, изучаването на геометричните отношения в сферата стана широко разпространено.

Например, ако свържем две точки на сфера една с друга с права линия, тогава тази права линия ще се нарече хорда и ако тази хорда минава през центъра на сферата, който съвпада с центъра на топката, тогава хордата ще се нарича диаметър на сферата.

Ако начертаем права линия, която докосва сферата само в една точка, тогава тази линия ще се нарича допирателна. В допълнение, тази допирателна към сферата в тази точка ще бъде перпендикулярна на радиуса на сферата, начертан до точката на контакт.

Ако разширим хордата до права линия в едната или другата посока от сферата, тогава тази хорда ще се нарича секанс. Или можем да го кажем по друг начин - секансът към сферата съдържа нейната хорда.

Обем на топката

Формулата за изчисляване на обема на една топка е:

където R е радиусът на топката.

Ако трябва да намерите обема на сферичен сегмент, използвайте формулата:

V seg =πh 2 (R-h/3), h е височината на сферичния сегмент.

Площ на повърхността на топка или сфера

За да изчислите площта на сфера или повърхността на топка (те са едно и също нещо):

където R е радиусът на сферата.

Архимед много обичаше топката и сферата, той дори поиска да остави рисунка на гробницата му, в която топка беше вписана в цилиндър. Архимед вярва, че обемът на топката и нейната повърхност са равни на две трети от обема и повърхността на цилиндъра, в който е вписана топката.

Топка (сфера)

Сферична повърхност. Топка (сфера). Топкови секции: кръгове.

Теорема на Архимед. Части на топката: сферичен сегмент,

сферичен слой, сферичен пояс, сферичен сектор.

Сферична повърхност - Това геометрично място на точките(тези. многоброй на всички точки)в пространството, на еднакво разстояние от една точка О , който се нарича център на сферичната повърхност (фиг.90). Радиус AOi диаметър AB се определят по същия начин, както в кръг.

Топка (сфера) - Това тяло, ограничено от сферична повърхност.Мога вземете топката чрез завъртане на полукръга (или кръг ) около диаметъра. Всички равнинни сечения на топката са кръгове (Фиг.90 ). Най-големият кръг лежи в участък, минаващ през центъра на топката и се нарича голям кръг. Неговият радиус е равен на радиуса на топката. Всякакви две големи окръжности се пресичат по диаметъра на топката ( AB, фиг.91 ).Този диаметър също е диаметърът на пресичащи се големи окръжности. През две точки от сферична повърхност, разположени в краищата на един и същ диаметър(A и B, фиг.91 ), можете да нарисувате безброй големи кръгове. Например, безкраен брой меридиани могат да бъдат начертани през полюсите на Земята.

Обемът на сферата е един път и половина по-малък от обема на цилиндъра, описан около нея. (фиг.92 ), А повърхността на топката е един и половина пъти по-малка от общата повърхност на същия цилиндър ( Теорема на Архимед):

Тук С топка И V топка - съответно повърхността и обема на топката;

С цил И V цил - общата повърхност и обем на описания цилиндър.

Части от топката. Част от топка (сфера) ), отрязан от него с някаква равнина ( ABC, фиг.93), Наречен топка(сферична ) сегмент. Окръжност ABC Наречен базатопка сегмент. Линеен сегмент MN перпендикуляр, изтеглен от центъра N окръжност ABC докато се пресече със сферична повърхност, се нарича височинатопка сегмент. ТочкаМ Наречен Горна часттопка сегмент.

Част от сфера, затворена между две успоредни равнини ABC и DEF, пресичащи сферична повърхност (фиг. 93), Наречен сферичен слой; извитата повърхност на сферичен слой се нарича топка колан(зона). Кръгове ABC и DEF – основаниятопка колан. РазстояниеН.К. между основите на сферичния пояс – негов височина. Частта от топката, ограничена от извитата повърхност на сферичен сегмент ( AMCB, Фиг.93) и конична повърхност OABC , чиято основа е основата на сегмента ( ABC ), а върхът е центърът на топкатаО , Наречен сферичен сектор.

Когато хората бъдат попитани за разликата между сфера и топка, мнозина просто вдигат рамене, мислейки, че всъщност те са едно и също нещо (аналогията с кръг и кръг). Наистина, всички ли знаем добре геометрията от училищната програма и можем веднага да отговорим на този въпрос? Сферата има някои разлики от топката, които не само учениците трябва да знаят, за да получат добра оценка за демонстрираните си знания, но и много други хора, например, чиято работа е пряко свързана с рисунки.

Определение

Топка– множеството от всички точки в пространството. Всички тези точки се намират от центъра на геометричното тяло на разстояние не повече от дадено. Самото това разстояние се нарича радиус. Топката, като геометрично тяло, се образува по следния начин: полукръг се върти близо до нейния диаметър. Що се отнася до сферата, това е повърхността на топката (например затворена топка я включва, отворена не). Изчисляването на площта или обема на топката включва цели геометрични формули, които са много сложни, въпреки очевидната простота на самата геометрична фигура.

Сфера, както беше отбелязано по-горе, е повърхността на топката, нейната обвивка. Всички точки в пространството са на еднакво разстояние от центъра на сферата. Що се отнася до радиуса на геометричното тяло, той се нарича всеки сегмент, една точка от който е директно центърът на сферата, а другата може да бъде разположена във всяка точка на повърхността. Можем да кажем, че сферата е обвивка на топка без съдържание (по-конкретни примери ще бъдат дадени по-долу). Точно като топката, сферата е ротационно тяло. Между другото, мнозина също се чудят каква е разликата между кръг и кръг от сфера и топка. Тук всичко е просто: в първия случай това са фигури в равнина, във втория - в космоса.

Сравнение

Вече беше казано, че сферата е повърхността на топка, което вече позволява да се говори за един значим знак за разлика. Разликата между двете геометрични тела се наблюдава и в някои други аспекти:

• Всички точки на топката са на еднакво разстояние от центъра, докато тялото е ограничено от повърхността (сфера, която е празна отвътре). С други думи, сферата е куха. Обикновено за по-лесно разбиране се дава прост пример с балон и билярдна топка. И двата обекта се наричат ​​топки, но в първия случай имаме работа със сфера, а във втория с пълноценна топка със собствено съдържание вътре.
• Сферата има собствена площ, но няма обем. Сферата е обратното: нейният обем може да се изчисли, докато тя няма площ. Някои може да кажат, че това е основният знак за разлика, но той се появява само ако е необходимо да се направят някои изчисления (сложни геометрични формули). Следователно основната разлика е, че сферата е куха, а топката е тяло със съдържание вътре.
• Друга разлика е в радиуса. Например, радиусът на една сфера не е само разстоянието между точките до центъра. Радиус може да бъде всеки сегмент, свързващ точка от сфера с нейния център. Всички тези сегменти са равни един на друг. Що се отнася до топката, точките вътре в нея са на по-малко от радиус от центъра (именно поради сферата, която я ограничава).

Уеб сайт за заключения

1. Сферата е куха, докато топката е тяло, напълнено отвътре. Например балонът с горещ въздух е сфера, билярдната топка е пълноценна топка.
2. Сферата има площ и няма обем, но сферата прави обратното.
3. Третата разлика е измерването на радиуса на две геометрични тела.

Определение.

Сферата може да се опише като триизмерна фигура, която се формира чрез завъртане на кръг около диаметъра й на 180° или полукръг около диаметъра й на 360°.

Определение.

Топката може да се опише като триизмерна фигура, която се образува чрез завъртане на кръг около диаметъра й на 180° или полукръг около диаметъра й на 360°.

Определение. Радиус на сферата (топката)(R) е разстоянието от центъра на сферата (топката) Одо всяка точка на сферата (повърхността на топката).

Определение. Диаметър на сферата (топката).(D) е сегмент, свързващ две точки на сфера (повърхността на топка) и минаващ през нейния център.

Формула. Обем на сферата:

Формула. Повърхностна площ на сферапрез радиус или диаметър:

S = 4π R 2 = π D 2

Сферично уравнение

1. Уравнение на сфера с радиус R и център в началото на декартовата координатна система:

x 2 + y 2 + z 2 = R 2

2. Уравнение на сфера с радиус R и център в точка с координати (x 0, y 0, z 0) в декартовата координатна система:

(x - x 0) 2 + (y - y 0) 2 + (z - z 0) 2 = R 2

Определение. Диаметрално противоположни точкиса произволни две точки от повърхността на топка (сфера), които са свързани с диаметър.

Основни свойства на сфера и топка

1. Всички точки на сферата са еднакво отдалечени от центъра.

2. Всяко сечение на сфера от равнина е кръг.

3. Всяко сечение на топка от равнина е кръг.

4. Сферата има най-голям обем сред всички пространствени фигури с еднаква повърхност.

5. През всеки две диаметрално противоположни точки можете да начертаете много големи кръгове за сфера или кръгове за топка.

6. През всякакви две точки, с изключение на диаметрално противоположни точки, можете да начертаете само един голям кръг за сфера или голям кръг за топка.

7. Всякакви две големи окръжности на една топка се пресичат по права линия, минаваща през центъра на топката, и окръжностите се пресичат в две диаметрално противоположни точки.

8. Ако разстоянието между центровете на които и да е две топки е по-малко от сумата на техните радиуси и по-голямо от модула на разликата на техните радиуси, тогава такива топки пресичат се, а в пресечната равнина се образува кръг.

Секуща, хорда, секуща равнина на сфера и техните свойства

Определение. Сферичен секансе права линия, която пресича сферата в две точки. Пресечните точки се наричат пиърсинг точкиповърхности или входни и изходни точки на повърхността.

Определение. Хорда на сфера (топка)- това е сегмент, свързващ две точки на сфера (повърхността на топка).

Определение. Режеща равнинае равнината, която пресича сферата.

Определение. Диаметрална равнина- това е секуща равнина, минаваща през центъра на сфера или топка, сечението се образува съответно голям кръгИ голям кръг. Големият кръг и големият кръг имат център, който съвпада с центъра на сферата (топката).

Всяка хорда, минаваща през центъра на сфера (топка), е диаметър.

Хордата е отсечка от секуща.

Разстоянието d от центъра на сферата до секанса винаги е по-малко от радиуса на сферата:

д< R

Разстоянието m между режещата равнина и центъра на сферата винаги е по-малко от радиуса R:

м< R

Местоположението на сечението на режещата равнина върху сферата винаги ще бъде малък кръг, а на топката секциото ще е малък кръг. Малкият кръг и малкият кръг имат собствени центрове, които не съвпадат с центъра на сферата (топката). Радиусът r на такава окръжност може да се намери по формулата:

r = √R 2 - м 2,

Където R е радиусът на сферата (топката), m е разстоянието от центъра на топката до режещата равнина.

Определение. полукълбо (полукълбо)- това е половината от сфера (топка), която се образува, когато се разрязва от диаметрална равнина.

Тангента, допирателна равнина към сфера и техните свойства

Определение. Допирателна към сферае права линия, която докосва сферата само в една точка.

Определение. Допирателна равнина към сферае равнина, която докосва сферата само в една точка.

Допирателната (равнината) винаги е перпендикулярна на радиуса на сферата, начертан до точката на контакт

Разстоянието от центъра на сферата до допирателната (равнината) е равно на радиуса на сферата.

Определение. Сегмент на топка- това е частта от топката, която е отрязана от топката от режеща равнина. Основа на сегментанаречен кръг, образувал се на мястото на секцията. Височина на сегмента h е дължината на перпендикуляра, прекаран от средата на основата на сегмента до повърхността на сегмента.

Формула. Площ на външната повърхност на сферичен сегментс височина h през радиуса на сферата R:

S = 2πRh