Определяне на промените в импулса на тялото. Какво е телесен импулс

Основни динамични величини: сила, маса, импулс на тялото, момент на сила, ъглов момент.

Силата е векторна величина, която е мярка за действието на други тела или полета върху дадено тяло.

Силата се характеризира с:

· Модул

Посока

Точка на приложение

В системата SI силата се измерва в нютони.

За да разберем какво е сила от един нютон, трябва да помним, че сила, приложена към тяло, променя скоростта му. Освен това нека си спомним инерцията на телата, която, както си спомняме, е свързана с тяхната маса. Така,

Един нютон е сила, която променя скоростта на тяло с тегло 1 kg с 1 m/s всяка секунда.

Примерите за сили включват:

· Земно притегляне– сила, действаща върху тялото в резултат на гравитационно взаимодействие.

· Еластична сила- силата, с която тялото се съпротивлява на външно натоварване. Неговата причина е електромагнитното взаимодействие на телесните молекули.

· Силата на Архимед- сила, свързана с факта, че тялото измества определен обем течност или газ.

· Сила на реакция на земята- силата, с която опората действа върху разположеното върху нея тяло.

· Сила на триене– силата на съпротивление на относителното движение на контактните повърхности на телата.

· Повърхностното напрежение е сила, която възниква на границата между две среди.

· Телесно тегло- силата, с която тялото действа върху хоризонтална опора или вертикално окачване.

И други сили.

Силата се измерва с помощта на специално устройство. Това устройство се нарича динамометър (фиг. 1). Динамометърът се състои от пружина 1, чието разтягане ни показва силата, стрелка 2, плъзгаща се по скалата 3, ограничителна лента 4, която предотвратява прекаленото разтягане на пружината и кука 5, на която е окачен товарът.

Ориз. 1. Динамометър (Източник)

Върху тялото могат да действат много сили. За да се опише правилно движението на тялото, е удобно да се използва понятието резултантни сили.

Резултантната сила е сила, чието действие замества действието на всички сили, приложени към тялото (фиг. 2).

Познавайки правилата за работа с векторни количества, лесно е да се досетите, че резултатът от всички сили, приложени към тялото, е векторната сума на тези сили.

Ориз. 2. Резултатна от две сили, действащи на тяло

Освен това, тъй като разглеждаме движението на тяло в някаква координатна система, обикновено е изгодно да вземем предвид не самата сила, а нейната проекция върху оста. Проекцията на силата върху оста може да бъде отрицателна или положителна, тъй като проекцията е скаларна величина. И така, на фигура 3 са показани проекциите на силите, проекцията на силата е отрицателна, а проекцията на силата е положителна.

Ориз. 3. Проекции на силите върху оста

И така, от този урок задълбочихме разбирането си за концепцията за сила. Припомнихме си мерните единици за сила и уреда, с който се измерва силата. Освен това разгледахме какви сили съществуват в природата. Най-накрая се научихме как да действаме, когато върху тялото действат няколко сили.

Тегло, физическа величина, една от основните характеристики на материята, определяща нейните инерционни и гравитационни свойства. Съответно се прави разлика между инерционна маса и гравитационна маса (тежка, гравитираща).

Концепцията за маса е въведена в механиката от И. Нютон. В класическата Нютонова механика масата е включена в определението за импулс (количество движение) на тяло: импулс Рпропорционална на скоростта на тялото v, p = mv(1). Коефициентът на пропорционалност е постоянна величина за дадено тяло м- и е масата на тялото. Еквивалентното определение на масата се получава от уравнението на движението на класическата механика f = ma(2). Тук масата е коефициентът на пропорционалност между силата, действаща върху тялото fи предизвиканото от него ускорение на тялото а. Масата, определена от съотношения (1) и (2), се нарича инерционна маса или инерционна маса; характеризира динамичните свойства на тялото, е мярка за инерцията на тялото: при постоянна сила, колкото по-голяма е масата на тялото, толкова по-малко ускорение придобива, т.е. толкова по-бавно се променя състоянието на неговото движение (на по-голяма е неговата инерция).

Като действаме на различни тела с еднаква сила и измерваме техните ускорения, можем да определим връзката между масата на тези тела: m 1: m 2: m 3 ... = a 1: a 2: a 3 ...; ако една от масите се приеме за мерна единица, може да се намери масата на останалите тела.

В теорията на гравитацията на Нютон масата се появява в различна форма – като източник на гравитационното поле. Всяко тяло създава гравитационно поле, пропорционално на масата на тялото (и се влияе от гравитационното поле, създадено от други тела, чиято сила също е пропорционална на масата на телата). Това поле причинява привличането на всяко друго тяло към това тяло със сила, определена от закона за гравитацията на Нютон:

(3)

Където r- разстояние между телата, Же универсалната гравитационна константа, a m 1И м 2- Маси от привличащи се тела. От формула (3) е лесно да се получи формулата за тегло Ртелесна маса мв гравитационното поле на Земята: Р = mg (4).

Тук g = G*M/r 2- ускорение на свободното падане в гравитационното поле на Земята и r » Р- радиусът на Земята. Масата, определена от съотношения (3) и (4), се нарича гравитационна маса на тялото.

По принцип от никъде не следва, че масата, която създава гравитационното поле, определя и инерцията на същото тяло. Опитът обаче показва, че инерционната маса и гравитационната маса са пропорционални една на друга (и при обичайния избор на мерни единици те са числено равни). Този основен природен закон се нарича принцип на еквивалентността. Откриването му се свързва с името на Г. Галилей, който установява, че всички тела на Земята падат с еднакво ускорение. А. Айнщайн постави този принцип (формулиран от него за първи път) в основата на общата теория на относителността. Принципът на еквивалентност е установен експериментално с много висока точност. За първи път (1890-1906) прецизен тест за равенството на инерционните и гравитационните маси е извършен от L. Eotvos, който установява, че масите съвпадат с грешка от ~ 10 -8. През 1959-64 г. американските физици Р. Дике, Р. Кротков и П. Рол намаляват грешката до 10 -11, а през 1971 г. съветските физици В. Б. Брагински и В. И. Панов - до 10 -12.

Принципът на еквивалентността ни позволява най-естествено да определим телесното тегло чрез претегляне.

Първоначално масата се разглежда (например от Нютон) като мярка за количеството материя. Това определение има ясно значение само за сравняване на хомогенни тела, изградени от един и същи материал. Той подчертава адитивността на масата - масата на едно тяло е равна на сбора от масата на неговите части. Масата на едно хомогенно тяло е пропорционална на неговия обем, така че можем да въведем понятието плътност - Маса на единица обем от тяло.

В класическата физика се смяташе, че масата на тялото не се променя при никакви процеси. Това съответства на закона за запазване на масата (материята), открит от М. В. Ломоносов и А. Л. Лавоазие. По-специално, този закон гласи, че при всяка химическа реакция сумата от масите на първоначалните компоненти е равна на сумата от масите на крайните компоненти.

Концепцията за маса придобива по-дълбоко значение в механиката на специалната теория на относителността на А. Айнщайн, която разглежда движението на тела (или частици) при много високи скорости - сравними със скоростта на светлината с ~ 3 10 10 cm/sec. В новата механика - тя се нарича релативистка механика - връзката между импулса и скоростта на частица се дава от връзката:

(5)

При ниски скорости ( v << ° С) това отношение преминава в отношението на Нютон p = mv. Следователно стойността m 0се нарича маса на покой, а масата на движеща се частица мсе определя като зависим от скоростта коефициент на пропорционалност между стрИ v:

(6)

Имайки предвид по-специално тази формула, те казват, че масата на частица (тяло) нараства с увеличаване на нейната скорост. Такова релативистично увеличение на масата на частица с увеличаване на нейната скорост трябва да се вземе предвид при проектирането на ускорители на високоенергийни заредени частици. Маса на почивка m 0(Масата в отправната система, свързана с частицата) е най-важната вътрешна характеристика на частицата. Всички елементарни частици имат строго определени значения m 0, присъщи на даден вид частица.

Трябва да се отбележи, че в релативистката механика дефиницията на масата от уравнението на движението (2) не е еквивалентна на дефиницията на масата като коефициент на пропорционалност между импулса и скоростта на частицата, тъй като ускорението престава да бъде успоредно на силата, която го е причинила и Масата се оказва зависима от посоката на скоростта на частицата.

Според теорията на относителността масата на частиците мсвързан с нейната енергия дсъотношение:

(7)

Масата на покой определя вътрешната енергия на частицата – така наречената енергия на покой E 0 = m 0 s 2. Така енергията винаги е свързана с масата (и обратното). Следователно няма отделен закон (както в класическата физика) за запазване на масата и закон за запазване на енергията - те са обединени в един закон за запазване на общата (т.е. включително енергията на покой на частиците) енергия. Приблизителното разделение на закона за запазване на енергията и закона за запазване на масата е възможно само в класическата физика, когато скоростите на частиците са малки ( v << ° С) и процесите на трансформация на частиците не протичат.

В релативистката механика масата не е допълнителна характеристика на тялото. Когато две частици се комбинират, за да образуват едно съединение стабилно състояние, се освобождава излишък от енергия (равна на енергията на свързване) D д, което съответства на маса D m =д E/s 2. Следователно масата на съставна частица е по-малка от сумата от масите на частиците, които я образуват, с количеството D E/s 2(т.нар. масов дефект). Този ефект е особено изразен при ядрени реакции. Например масата на деутрона ( д) е по-малка от сумата на масите на протоните ( стр) и неутрон ( н); дефектна маса D мсвързани с енергията напргама квант ( ж), родени по време на образуването на дейтрон: p + n -> d + g, E g = Dmc 2. Дефектът на масата, който възниква по време на образуването на композитна частица, отразява органичната връзка между маса и енергия.

Единицата за маса в системата от единици CGS е грам, и в Международна система единици SI - килограм. Масата на атомите и молекулите обикновено се измерва в единици за атомна маса. Масата на елементарните частици обикновено се изразява или в единици маса на електрона аз, или в енергийни единици, показващи енергията на покой на съответната частица. Така масата на електрона е 0,511 MeV, масата на протона е 1836,1 аз, или 938,2 MeV и т.н.

Природата на масата е един от най-важните нерешени проблеми на съвременната физика. Общоприето е, че масата на една елементарна частица се определя от полетата, които са свързани с нея (електромагнитни, ядрени и други). Все още обаче не е създадена количествена теория за масата. Също така няма теория, която да обяснява защо масата на елементарните частици образува дискретен спектър от стойности, а още по-малко ни позволява да определим този спектър.

В астрофизиката масата на тялото, създаващо гравитационно поле, определя така наречения гравитационен радиус на тялото R gr = 2GM/s 2. Поради гравитационното привличане никаква радиация, включително светлината, не може да излезе извън повърхността на тяло с радиус R=< R гр . Звезди с такъв размер ще бъдат невидими; Ето защо са били наречени "черни дупки". Такива небесни тела трябва да играят важна роля във Вселената.

Импулс на сила. Импулс на тялото

Концепцията за импулс е въведена през първата половина на 17 век от Рене Декарт и след това е усъвършенствана от Исак Нютон. Според Нютон, който нарича импулса количеството на движението, това е негова мярка, пропорционална на скоростта на тялото и неговата маса. Съвременна дефиниция: Импулсът на тялото е физическа величина, равна на произведението на масата на тялото и неговата скорост:

Първо, от горната формула става ясно, че импулсът е векторна величина и неговата посока съвпада с посоката на скоростта на тялото; мерната единица за импулс е:

= [kg m/s]

Нека разгледаме как това физическо количество е свързано със законите на движението. Нека запишем втория закон на Нютон, като вземем предвид, че ускорението е промяната в скоростта с течение на времето:

Съществува връзка между силата, действаща върху тялото, или по-точно резултантната сила, и изменението на неговия импулс. Големината на произведението на сила и период от време се нарича импулс на сила.От горната формула става ясно, че изменението на импулса на тялото е равно на импулса на силата.

Какви ефекти могат да бъдат описани с помощта на това уравнение (фиг. 1)?

Ориз. 1. Връзка между импулс на сила и импулс на тялото (Източник)

Стрела, изстреляна от лък. Колкото по-дълго продължава контактът на тетивата със стрелата (∆t), толкова по-голяма е промяната в импулса на стрелата (∆) и следователно толкова по-висока е нейната крайна скорост.

Две сблъскващи се топки. Докато топките са в контакт, те действат една върху друга със сили, равни по големина, както ни учи третият закон на Нютон. Това означава, че промените в техните импулси също трябва да бъдат равни по големина, дори ако масите на топките не са равни.

След анализ на формулите могат да се направят два важни извода:

1. Еднакви сили, действащи за един и същи период от време, предизвикват еднакви промени в импулса в различни тела, независимо от масата на последните.

2. Същата промяна в импулса на тялото може да се постигне или чрез въздействие с малка сила за дълъг период от време, или чрез краткотрайно въздействие с голяма сила върху същото тяло.

Според втория закон на Нютон можем да напишем:

∆t = ∆ = ∆ / ∆t

Отношението на промяната в импулса на тялото към периода от време, през който е настъпила тази промяна, е равно на сумата от силите, действащи върху тялото.

След като анализирахме това уравнение, виждаме, че вторият закон на Нютон ни позволява да разширим класа проблеми, които трябва да бъдат решени, и да включим проблеми, при които масата на телата се променя с времето.

Ако се опитаме да решим проблеми с променлива маса на тела, като използваме обичайната формулировка на втория закон на Нютон:

тогава опитът за такова решение би довел до грешка.

Пример за това е вече споменатият реактивен самолет или космическа ракета, които при движение изгарят гориво, а продуктите от това горене се отделят в околното пространство. Естествено, масата на самолет или ракета намалява с изразходването на гориво.

МОМЕНТ НА СИЛА- величина, характеризираща въртеливото действие на силата; има размерността на произведението на дължина и сила. Разграничете момент на силаспрямо центъра (точката) и спрямо оста.

Г-ца. спрямо центъра ОТНОСНОНаречен векторно количество М 0 равно на векторното произведение на радиус вектора r , извършена от Одо точката на прилагане на сила Е , към силата М 0 = [rF ] или в други обозначения М 0 = r Е (ориз.). Числено M. s. равно на произведението на модула на силата и рамото ч, т.е. с дължината на перпендикуляра, спуснат от ОТНОСНОпо линията на действие на силата, или два пъти площта

триъгълник, построен върху центъра Ои сила:

Насочен вектор М 0 перпендикулярна на равнината, преминаваща през нея ОИ Е . Страната, към която се насочва М 0, избрано условно ( М 0 - аксиален вектор). При дясна координатна система векторът М 0 е насочена в посоката, от която се вижда въртенето, извършено от силата, обратно на часовниковата стрелка.

Г-ца. спрямо оста z т.нар скаларно количество Mz, равна на проекцията върху оста zвектор M. s. спрямо всеки център ОТНОСНО, взети по тази ос; размер Mzможе да се определи и като проекция върху равнина xy, перпендикулярна на оста z, площта на триъгълника OABили като момент на проекция Fxyсила Е до самолета xy, взети спрямо точката на пресичане на оста z с тази равнина. Да се.,

В последните два израза на М. с. се счита за положителен, когато силата на въртене Fxyвидимо от положително края на оста z обратно на часовниковата стрелка (в дясната координатна система). Г-ца. спрямо координатните оси Oxyzможе да се изчисли и аналитично. е-лам:

Където Fx, Fy, Fz- проекции на сила Е по координатните оси, x, y, z- координати на точки Априлагане на сила. Количества M x, M y, M zса равни на проекциите на вектора М 0 по координатните оси.

Те се променят, защото върху всяко от телата действат сили на взаимодействие, но сумата на импулсите остава постоянна. Това се казва закон за запазване на импулса.

Втори закон на Нютонсе изразява с формулата. Може да се напише и по друг начин, ако помним, че ускорението е равно на скоростта на промяна на скоростта на тялото. За равномерно ускорено движение формулата ще изглежда така:

Ако заместим този израз във формулата, получаваме:

Тази формула може да бъде пренаписана като:

Дясната страна на това равенство записва промяната в произведението на масата на тялото и неговата скорост. Произведението на масата на тялото и скоростта е физична величина, наречена импулс на тялотоили количество движение на тялото.

Импулс на тялотосе нарича произведение на масата на тялото и неговата скорост. Това е векторна величина. Посоката на вектора на импулса съвпада с посоката на вектора на скоростта.

С други думи, тяло с маса м, движението със скорост има инерция. Единицата за импулс в SI е импулсът на тяло с тегло 1 kg, което се движи със скорост 1 m/s (kg m/s). Когато две тела взаимодействат едно с друго, ако първото действа върху второто тяло със сила, то според третия закон на Нютон второто действа върху първото със сила. Нека означим масите на тези две тела с м 1 и м 2, и техните скорости спрямо всяка отправна система през и. С течение на времето Tв резултат на взаимодействието на телата техните скорости ще се променят и ще се изравнят и . Замествайки тези стойности във формулата, получаваме:

следователно

Нека сменим знаците на двете страни на равенството с техните противоположни и ги запишем във формата

От лявата страна на уравнението е сумата от първоначалните импулси на две тела, от дясната страна е сумата от импулсите на същите тела във времето T. Сумите са равни. Така че въпреки това. че импулсът на всяко тяло се променя по време на взаимодействие, общият импулс (сумата от импулсите на двете тела) остава непроменен.

Важи и при взаимодействие на няколко тела. Въпреки това е важно тези тела да взаимодействат само помежду си и да не се влияят от сили от други тела, които не са включени в системата (или външните сили да са балансирани). Група от тела, която не взаимодейства с други тела, се нарича затворена системавалиден само за затворени системи.

След като изучаваме законите на Нютон, виждаме, че с тяхна помощ е възможно да се решат основните проблеми на механиката, ако знаем всички сили, действащи върху тялото. Има ситуации, в които е трудно или дори невъзможно да се определят тези стойности. Нека разгледаме няколко такива ситуации.Когато две билярдни топки или коли се сблъскат, можем да твърдим за действащите сили, че това е тяхната природа; тук действат еластични сили. Ние обаче няма да можем да определим точно нито техните модули, нито посоките им, още повече че тези сили имат изключително кратка продължителност на действие.С движението на ракетите и реактивните самолети също можем да кажем малко за силите, които привеждат тези тела в движение.В такива случаи се използват методи, които позволяват да се избегне решаването на уравненията на движението и незабавно да се използват последствията от тези уравнения. В този случай се въвеждат нови физични величини. Нека разгледаме една от тези величини, наречена импулс на тялото

След анализ на формулите могат да се направят два важни извода:

Според втория закон на Нютон можем да напишем:

∆t = ∆ = ∆ / ∆t

тогава опитът за такова решение би довел до грешка.

Въпреки факта, че вторият закон на Нютон във формата „резултантната сила е равна на произведението на масата на тялото и неговото ускорение“ ни позволява да решим доста широк клас проблеми, има случаи на движение на тела, които не могат да бъдат напълно описано от това уравнение. В такива случаи е необходимо да се приложи друга формулировка на втория закон, свързваща промяната в импулса на тялото с импулса на резултантната сила. Освен това има редица проблеми, при които решаването на уравненията на движението е математически изключително трудно или дори невъзможно. В такива случаи за нас е полезно да използваме понятието импулс.

Използвайки закона за запазване на импулса и връзката между импулса на силата и импулса на тялото, можем да изведем втория и третия закон на Нютон.

Вторият закон на Нютон се извежда от връзката между импулса на сила и импулса на тялото.

Импулсът на силата е равен на промяната в импулса на тялото:

След като направихме съответните трансфери, получаваме зависимостта на силата от ускорението, тъй като ускорението се определя като съотношението на промяната на скоростта към времето, през което е настъпила тази промяна:

Замествайки стойностите в нашата формула, получаваме формулата за втория закон на Нютон:

За да изведем третия закон на Нютон, се нуждаем от закона за запазване на импулса.

Векторите подчертават векторния характер на скоростта, тоест фактът, че скоростта може да променя посоката си. След трансформациите получаваме:

Тъй като периодът от време в затворена система е постоянна стойност и за двете тела, можем да запишем:

Получихме третия закон на Нютон: две тела взаимодействат едно с друго с еднакви по големина и противоположни по посока сили. Векторите на тези сили са насочени един към друг, съответно модулите на тези сили са еднакви по стойност.

Библиография

Тихомирова С.А., Яворски Б.М. Физика (основно ниво) - М.: Мнемозина, 2012.
Gendenshtein L.E., Dick Yu.I. Физика 10 клас. - М.: Мнемозина, 2014.
Кикоин И.К., Кикоин А.К. Физика - 9, Москва, Образование, 1990г.

Домашна работа

Определете импулса на тялото, импулса на силата.
Как импулсът на тялото е свързан с импулса на силата?
Какви изводи могат да се направят от формулите за импулс на тялото и импулс на сила?

Интернет портал Questions-physics.ru ().
Интернет портал Frutmrut.ru ().
Интернет портал Fizmat.by ().

Проблемите с движещи се тела във физиката, когато скоростта е много по-малка от скоростта на светлината, се решават с помощта на законите на Нютонова или класическа механика. Едно от важните понятия в него е импулсът. Основните във физиката са дадени в тази статия.

Импулс или импулс?

Преди да дадем формулите за импулса на тялото във физиката, нека се запознаем с тази концепция. За първи път количеството, наречено impeto (импулс), е използвано в описанието на неговите произведения от Галилей в началото на 17 век. Впоследствие Исак Нютон използва друго име за него - motus (движение). Тъй като фигурата на Нютон имаше по-голямо влияние върху развитието на класическата физика, отколкото фигурата на Галилей, първоначално беше обичайно да се говори не за импулса на тялото, а за количеството на движение.

Количеството движение се разбира като продукт на скоростта на движение на тялото с инерционния коефициент, т.е. с масата. Съответната формула е:

Тук p¯ е вектор, чиято посока съвпада с v¯, но модулът е m пъти по-голям от модула v¯.

Промяна в стойността на p¯

Концепцията за импулс в момента се използва по-рядко от импулс. И този факт е пряко свързан със законите на Нютоновата механика. Нека го напишем във формата, дадена в училищните учебници по физика:

Нека заместим ускорението a¯ със съответния израз за производната на скоростта, получаваме:

Прехвърляйки dt от знаменателя на дясната страна на равенството към числителя на лявата, получаваме:

Получихме интересен резултат: в допълнение към факта, че действащата сила F¯ води до ускорение на тялото (вижте първата формула на този параграф), тя също така променя количеството на неговото движение. Произведението на силата и времето, което е от лявата страна, се нарича импулс на силата. Оказва се, че е равно на промяната на p¯. Следователно последният израз се нарича още формула за импулс във физиката.

Забележете, че dp¯ също е, но за разлика от p¯, той е насочен не като скорост v¯, а като сила F¯.

Ярък пример за промяна на вектора на импулса (импулса) е ситуацията, когато футболист удари топката. Преди удара топката се придвижи към играча, след удара се отдалечи от него.

Закон за запазване на импулса

Формулите във физиката, които описват запазването на стойността p¯, могат да бъдат дадени в няколко версии. Преди да ги запишем, нека отговорим на въпроса кога се запазва импулсът.

Да се върнем към израза от предишния параграф:

Той казва, че ако сумата от външните сили, действащи върху системата, е нула (затворена система, F¯= 0), тогава dp¯= 0, тоест няма да настъпи промяна в импулса:

Този израз е общ за импулса на тялото и закона за запазване на импулса във физиката. Нека отбележим две важни точки, които трябва да знаете, за да приложите успешно този израз на практика:

Импулсът се запазва по всяка координата, т.е. ако преди някакво събитие стойността на p x на системата е била 2 kg*m/s, то след това събитие тя ще бъде същата.
Импулсът се запазва независимо от естеството на сблъсъци на твърди тела в системата. Има два идеални случая на такива сблъсъци: абсолютно еластични и абсолютно пластични удари. В първия случай кинетичната енергия също се запазва, във втория част от нея се изразходва за пластична деформация на телата, но импулсът все още се запазва.

Еластично и нееластично взаимодействие на две тела

Специален случай на използване на формулата за импулс във физиката и нейното запазване е движението на две тела, които се сблъскват едно с друго. Нека разгледаме два фундаментално различни случая, които бяха споменати в параграфа по-горе.

Ако ударът е абсолютно еластичен, т.е. прехвърлянето на импулс от едно тяло към друго се извършва чрез еластична деформация, тогава формулата за запазване p ще бъде написана, както следва:

m 1 *v 1 + m 2 *v 2 = m 1 *u 1 + m 2 *u 2

Тук е важно да запомните, че знакът на скоростта трябва да бъде заменен, като се вземе предвид посоката му по разглежданата ос (противоположните скорости имат различни знаци). Тази формула показва, че като се има предвид известното начално състояние на системата (стойности m 1, v 1, m 2, v 2), в крайното състояние (след сблъсъка) има две неизвестни (u 1, u 2) . Можете да ги намерите, ако използвате съответния закон за запазване на кинетичната енергия:

m 1 *v 1 2 + m 2 *v 2 2 = m 1 *u 1 2 + m 2 *u 2 2

Ако ударът е абсолютно нееластичен или пластичен, то след сблъсъка двете тела започват да се движат като едно цяло. В този случай има израз:

m 1 *v 1 + m 2 *v 2 = (m 1 + m 2)*u

Както можете да видите, говорим само за едно неизвестно (u), така че това едно равенство е достатъчно, за да го определим.

Импулс на тялото при движение в кръг

Всичко, което казахме по-горе за импулса, се отнася и за линейните движения на телата. Какво да направите, ако обектите се въртят около ос? За тази цел във физиката е въведено друго понятие, което е подобно на линейния импулс. Нарича се ъглов момент. Формулата във физиката за него приема следната форма:

Тук r¯ е вектор, равен на разстоянието от оста на въртене до частица с импулс p¯, извършваща кръгово движение около тази ос. Величината L¯ също е вектор, но е малко по-трудна за изчисляване от p¯, тъй като говорим за векторно произведение.

Закон за запазване L¯

Формулата за L¯, която е дадена по-горе, е дефиницията на това количество. На практика те предпочитат да използват малко по-различен израз. Няма да навлизаме в подробности как да го получим (не е трудно и всеки може да го направи сам), но нека го дадем веднага:

Тук I е инерционният момент (за материална точка той е равен на m*r 2), който описва инерционните свойства на въртящ се обект, ω¯ е ъгловата скорост. Както можете да видите, това уравнение е подобно по форма на това за линейния импулс p¯.

Ако върху въртящата се система не действат външни сили (всъщност въртящ момент), тогава произведението на I и ω¯ ще се запази независимо от процесите, протичащи вътре в системата. Тоест, законът за запазване на L¯ има формата:

Пример за неговото проявление е представянето на спортисти по фигурно пързаляне, когато изпълняват завъртания на леда.

Теми на кодификатора на Единния държавен изпит:импулс на тяло, импулс на система от тела, закон за запазване на импулса.

Пулсна тяло е векторна величина, равна на произведението на масата на тялото и неговата скорост:

Няма специални единици за измерване на импулса. Измерението на импулса е просто произведението на измерението на масата и измерението на скоростта:

Защо понятието импулс е интересно? Оказва се, че с негова помощ можете да придадете на втория закон на Нютон малко по-различна, също изключително полезна форма.

Вторият закон на Нютон в импулсна форма

Позволявам да е резултатната от силите, приложени към тяло с маса . Започваме с обичайната нотация на втория закон на Нютон:

Като се има предвид, че ускорението на тялото е равно на производната на вектора на скоростта, вторият закон на Нютон се пренаписва, както следва:

Въвеждаме константа под знака за производна:

Както можете да видите, производната на импулса се получава от лявата страна:

. ( 1 )

Връзката (1) е нова форма на запис на втория закон на Нютон.

Вторият закон на Нютон в импулсна форма. Производната на импулса на тялото е равностойната на силите, приложени към тялото.

Можем да кажем следното: получената сила, действаща върху тялото, е равна на скоростта на промяна на импулса на тялото.

Производната във формула (1) може да бъде заменена със съотношението на крайните увеличения:

. ( 2 )

В този случай има средна сила, действаща върху тялото през интервала от време. Колкото по-малка е стойността, толкова по-близо е съотношението до производната и колкото по-близо е средната сила до нейната моментна стойност в даден момент.

В задачите, като правило, интервалът от време е доста малък. Например, това може да бъде времето на удар на топката със стената, а след това - средната сила, действаща върху топката от стената по време на удара.

Векторът от лявата страна на релация (2) се нарича промяна в импулсапо време на . Промяната в импулса е разликата между крайния и началния вектор на импулса. А именно, ако е импулсът на тялото в някакъв начален момент от време, е импулсът на тялото след период от време, тогава промяната в импулса е разликата:

Нека подчертаем още веднъж, че промяната в импулса е разликата между векторите (фиг. 1):

Нека например топката лети перпендикулярно на стената (импулсът преди удара е равен на ) и отскача обратно, без да губи скорост (импулсът след удара е равен на ). Въпреки факта, че импулсът не се е променил в абсолютна стойност (), има промяна в импулса:

Геометрично тази ситуация е показана на фиг. 2:

Модулът на промяна на импулса, както виждаме, е равен на удвоения модул на първоначалния импулс на топката: .

Нека пренапишем формула (2), както следва:

, ( 3 )

или, описвайки промяната в импулса, както по-горе:

Количеството се нарича импулс на властта.Няма специална мерна единица за импулс на сила; измерението на импулса на силата е просто произведение на измеренията на силата и времето:

(Имайте предвид, че това се оказва друга възможна мерна единица за импулса на тялото.)

Словесната формулировка на равенството (3) е следната: промяната в импулса на тялото е равна на импулса на силата, действаща върху тялото за даден период от време.Това, разбира се, отново е вторият закон на Нютон във формата на импулса.

Пример за изчисляване на силата

Като пример за прилагане на втория закон на Нютон в импулсна форма, нека разгледаме следния проблем.

Задача. Топка с маса g, летяща хоризонтално със скорост m/s, се удря в гладка вертикална стена и отскача от нея, без да губи скорост. Ъгълът на падане на топката (т.е. ъгълът между посоката на движение на топката и перпендикуляра към стената) е равен на . Ударът продължава с. Намерете средната сила,
действа върху топката по време на удар.

Решение.Нека покажем първо, че ъгълът на отражение е равен на ъгъла на падане, тоест топката ще отскочи от стената под същия ъгъл (фиг. 3).

Съгласно (3) имаме: . От това следва, че векторът на импулса се променя съвместно режисиранс вектор, т.е. насочен перпендикулярно на стената в посоката на отскока на топката (фиг. 5).

Ориз. 5. Към задачата

Вектори и
равни по модул
(тъй като скоростта на топката не се е променила). Следователно триъгълник, съставен от вектори , и , е равнобедрен. Това означава, че ъгълът между векторите и е равен на , тоест ъгълът на отражение наистина е равен на ъгъла на падане.

Сега забележете в допълнение, че в нашия равнобедрен триъгълник има ъгъл (това е ъгълът на падане); следователно този триъгълник е равностранен. Оттук:

И тогава желаната средна сила, действаща върху топката, е:

Импулс на система от тела

Нека започнем с проста ситуация на система от две тела. А именно, нека има тяло 1 и тяло 2 с импулси и съответно. Импулсът на системата от тези тела е векторната сума на импулсите на всяко тяло:

Оказва се, че за импулса на система от тела има формула, подобна на втория закон на Нютон под формата (1). Нека изведем тази формула.

Ще наречем всички други обекти, с които взаимодействат телата 1 и 2, които разглеждаме външни тела.Силите, с които външните тела действат на тела 1 и 2, се наричат от външни сили.Нека е резултантната външна сила, действаща върху тяло 1. По същия начин, нека е резултантната външна сила, действаща върху тяло 2 (фиг. 6).

Освен това тела 1 и 2 могат да взаимодействат помежду си. Нека тяло 2 действа върху тяло 1 със сила. Тогава тяло 1 действа върху тяло 2 със сила. Според третия закон на Нютон силите са равни по големина и противоположни по посока: . Сили и са вътрешни сили,работещи в системата.

Нека запишем за всяко тяло 1 и 2 втория закон на Нютон във формата (1):

, ( 4 )

. ( 5 )

Нека добавим равенства (4) и (5):

От лявата страна на полученото равенство има сбор от производни, равен на производната на сбора от векторите и . От дясната страна имаме, по силата на третия закон на Нютон:

Но – това е импулсът на системата от тела 1 и 2. Да означим още – това е резултантната на външните сили, действащи върху системата. Получаваме:

. ( 6 )

По този начин, скоростта на промяна на импулса на система от тела е резултат от външни сили, приложени към системата.Искахме да получим равенство (6), което играе ролята на втория закон на Нютон за система от тела.

Формула (6) е изведена за случай на две тела. Сега нека обобщим нашите разсъждения за случай на произволен брой тела в системата.

Импулс на системата от телатела е векторната сума на импулсите на всички тела, включени в системата. Ако една система се състои от тела, тогава импулсът на тази система е равен на:

След това всичко се прави точно по същия начин, както по-горе (само технически изглежда малко по-сложно). Ако за всяко тяло запишем равенства, подобни на (4) и (5), и след това съберем всички тези равенства, тогава от лявата страна отново получаваме производната на импулса на системата, а от дясната страна остава само сумата от външните сили (вътрешните сили, добавяйки по двойки, ще дадат нула поради третия закон на Нютон). Следователно равенството (6) ще остане в сила в общия случай.

Закон за запазване на импулса

Системата от тела се нарича затворен,ако действията на външните тела върху телата на дадена система са или незначителни, или взаимно се компенсират. По този начин, в случай на затворена система от тела, от съществено значение е само взаимодействието на тези тела едно с друго, но не и с други тела.

Резултатът от външни сили, приложени към затворена система, е равен на нула: . В този случай от (6) получаваме:

Но ако производната на вектор отива до нула (скоростта на промяна на вектора е нула), тогава самият вектор не се променя с течение на времето:

Закон за запазване на импулса. Инерцията на затворена система от тела остава постоянна във времето за всяко взаимодействие на тела в тази система.

Най-простите задачи върху закона за запазване на импулса се решават по стандартната схема, която сега ще покажем.

Задача. Тяло с маса g се движи със скорост m/s по гладка хоризонтална повърхност. Тяло с маса g се движи към него със скорост m/s. Получава се абсолютно нееластичен удар (телата се слепват). Намерете скоростта на телата след удара.

Решение.Ситуацията е показана на фиг. 7. Нека насочим оста в посоката на движение на първото тяло.

Ориз. 7. Към задачата

Тъй като повърхността е гладка, няма триене. Тъй като повърхността е хоризонтална и се извършва движение по нея, силата на гравитацията и реакцията на опората се балансират взаимно:

По този начин векторната сума на силите, приложени към системата от тези тела, е равна на нула. Това означава, че системата от тела е затворена. Следователно за него е изпълнен законът за запазване на импулса:

. ( 7 )

Импулсът на системата преди удара е сумата от импулсите на телата:

След нееластичния удар се получава едно тяло с маса, което се движи с желаната скорост:

От закона за запазване на импулса (7) имаме:

От тук намираме скоростта на тялото, образувано след удара:

Нека да преминем към проекциите върху оста:

По условие имаме: m/s, m/s, така че

Знакът минус показва, че слепените тела се движат в посока, противоположна на оста. Необходима скорост: m/s.

Закон за запазване на проекцията на импулса

При проблеми често възниква следната ситуация. Системата от тела не е затворена (векторната сума на външните сили, действащи върху системата, не е равна на нула), но има такава ос, сумата от проекциите на външните сили върху оста е нулавъв всеки един момент. Тогава можем да кажем, че по тази ос нашата система от тела се държи като затворена и проекцията на импулса на системата върху оста се запазва.

Нека покажем това по-стриктно. Нека проектираме равенство (6) върху оста:

Ако проекцията на резултантните външни сили изчезне, тогава

Следователно проекцията е константа:

Закон за запазване на проекцията на импулса. Ако проекцията върху оста на сумата от външни сили, действащи върху системата, е равна на нула, тогава проекцията на импулса на системата не се променя с времето.

Нека да разгледаме пример за конкретен проблем, за да видим как работи законът за запазване на проекцията на импулса.

Задача. Масово момче, стоящо на кънки върху гладък лед, хвърля масов камък под ъгъл спрямо хоризонталата. Намерете скоростта, с която момчето се търкаля назад след хвърлянето.

Решение.Ситуацията е показана схематично на фиг. 8 . Момчето е изобразено с права връзка.

Ориз. 8. Към задачата

Инерцията на системата "момче + камък" не се запазва. Това може да се види от факта, че след хвърлянето се появява вертикален компонент на импулса на системата (а именно вертикалният компонент на импулса на камъка), който не е бил там преди хвърлянето.

Следователно системата, която образуват момчето и камъкът, не е затворена. Защо? Факт е, че векторната сума на външните сили не е равна на нула по време на хвърлянето. Стойността е по-голяма от сумата и поради този излишък се появява вертикалният компонент на импулса на системата.

Външните сили обаче действат само вертикално (няма триене). Следователно проекцията на импулса върху хоризонталната ос се запазва. Преди хвърлянето тази проекция беше нула. Насочвайки оста в посоката на хвърлянето (така че момчето отиде в посоката на отрицателната полуос), получаваме.