Обобщени координати и обобщени сили. Обобщени координати и обобщени сили Как изглежда работата на силите в обобщени координати

Аналитична механика. Класификация на връзките. Примери. Възможни движения.

Връзка– това е връзката между координатите и скоростите на точките от системата, представена под формата на равенства или неравенства.

Класификация:

Геометричен– налага ограничения само на координатите на системните точки (скоростите не са включени)

Кинематичен– скоростите влизат в уравненията. Ако можете да се отървете от скоростите, тогава връзката е интегрирана.

Холономни връзки– геометрични и интегрируеми диференциални връзки.

Връзката се нарича холдинг(наложени или ограничения остават във всяка позиция на системата) и необуздана, които не притежават това свойство (от такива връзки, както се казва, системата може да бъде „освободена“

Възможно преместване

Всеки умствен

Безкрайно малък

Разрешено е преместване на системни точки

В този момент във времето

Връзки, наложени на системата.

Действително движение– зависи от сили, време, връзки, начални условия.

Възможното движение зависи само от връзките.

При стационарните връзки действителното движение е едно от възможните.

Идеални връзки. Принципът на възможните движения.

Идеаленсе наричат ​​връзки, за които сумата от елементарните работи на всичките им реакции върху всяко възможно преместване е равна на 0.

Принципът на възможните движения.

За равновесието на механична система с идеални стационарни връзки е необходимо и достатъчно сумата от елементарната работа на всички активни сили върху всяко възможно преместване да е равна на 0. В този случай за достатъчност началната скорост трябва да бъде равна до нула. Необходим баланс => Достатъчен => баланс.

Обобщени координати. Броят на степените на свобода на системата. Обобщени сили, методи за тяхното изчисляване. Условия на равновесие за система с холономни ограничения, изразени чрез обобщени сили.

Обобщени координати– независим параметър, който напълно определя позицията на системата и чрез който могат да се изразят всички декартови координати на точки в системата.

Броят на степените на свобода се определя от броя на обобщените координати

Броят на взаимно независимите скаларни величини, които еднозначно определят положението на механична система в пространството, се нарича брой степени на свобода.

Обобщените координати на механична система са всякакви геометрични величини, независими една от друга, които еднозначно определят позицията на системата в пространството.

Q i = δA j /δq j или δA j = Q i ⋅ δq j .

Обобщена сила- това е сила, която извършва същата работа върху възможно преместване по своята обобщена координата, както всички сили, приложени към системата върху съответното изместване на точките на тяхното приложение.

За да намерим обобщената сила, даваме възможното изместване по нейната обобщена координата, оставяйки другите координати непроменени. След това намираме работата, извършена от всички сили, приложени към системата, и разделяме на възможното изместване.

Принципът на възможните премествания по отношение на обобщените сили.

Тъй като в равновесие сумата от елементарната работа върху всяко възможно изместване ( bA=bр й , които не зависят едно от друго, то за това трябва да е вярно: Q 1 =0; Q2 =0; Q K =0

Дефиниция на обобщени сили

За система с една степен на свобода, обобщена сила, съответстваща на обобщената координата р, се нарича количеството, определено по формулата

къде р– малко нарастване на обобщената координата; – сумата от елементарните работи на силите на системата върху нейното възможно движение.

Нека припомним, че възможното движение на системата се дефинира като движение на системата до безкрайно близка позиция, разрешена от връзките в даден момент от времето (за повече подробности вижте Приложение 1).

Известно е, че сумата от работата, извършена от силите на реакция на идеалните връзки при всяко възможно изместване на системата, е равна на нула. Следователно за система с идеални връзки в израза трябва да се вземе предвид само работата на активните сили на системата. Ако връзките не са идеални, тогава техните сили на реакция, например сили на триене, обикновено се считат за активни сили (вижте по-долу за инструкции на диаграмата на фиг. 1.5). Това включва елементарната работа на активните сили и елементарната работа на моментите на активните двойки сили. Нека напишем формули за определяне на тези работи. Да кажем силата ( F kx, F ky, F kz), прилагани в точката ДА СЕ, чийто радиус вектор е ( x k, y k, z k), и възможно изместване – ​​(d xk,д y k ,д з к). Елементарната работа на сила върху възможно преместване е равна на скаларното произведение, което в аналитичен вид съответства на израза

д A( ) = F дод r към cos(), (1.3a)

а в координатна форма – изразът

д A( ) = F kxд x k + F kyд y k + F kzд з к. (1.3б)

Ако няколко сили с момент Мприложено към въртящо се тяло, чиято ъглова координата е j, а възможното преместване е dj, тогава елементарната работа на момента Мвърху възможното изместване dj се определя по формулата

д A(M) = ± Мд й. (1.3v)

Тук знакът (+) съответства на случая, когато моментът Ми възможно движение dj съвпадат по посока; знак (–), когато са противоположни по посока.

За да може да се определи обобщената сила с помощта на формула (1.3), е необходимо да се изразят възможните движения на тела и точки в чрез малко увеличение на обобщената координата d р, използвайки зависимости (1)…(7) прил. 1.

Определение за обобщена сила Q, съответстваща на избраната обобщена координата р, препоръчително е да го направите в следния ред.

· Начертайте върху проектната диаграма всички активни сили на системата.

· Дайте малко увеличение на обобщената координата d q> 0; покажете на изчислителната диаграма съответните възможни премествания на всички точки, в които се прилагат сили, и възможните ъглови премествания на всички тела, към които се прилагат моментите на двойки сили.

· Съставете израз за елементарната работа на всички активни сили на системата върху тези движения, изразете възможните движения в чрез d р.

· Определете обобщената сила по формула (1.3).

Пример 1.4 (виж условието към фиг. 1.1).

Нека дефинираме обобщената сила, съответстваща на обобщената координата с(фиг. 1.4).

Върху системата действат активни сили: П- тегло на товара; Ж– тегло и въртящ момент на барабана М.

Грубата наклонена равнина е за товара Анесъвършена връзка. Сила на триене при плъзгане F tr, действащи върху товара Аот тази връзка, е равно на F tr = f N.

За определяне на силата ннормално налягане на товар върху равнина по време на движение, използваме принципа на Даламбер: ако към всяка точка на системата се приложи условна инерционна сила, в допълнение към активните активни сили и силите на реакция на връзките, тогава резултантният набор от силите ще бъдат балансирани и динамичните уравнения могат да бъдат дадени под формата на уравнения на статично равновесие. Следвайки добре познатия метод за прилагане на този принцип, ще изобразим всички сили, действащи върху товара А(фиг. 1.5), – и , където е силата на опън на кабела.

Ориз. 1.4 Фиг. 1.5

Нека добавим силата на инерцията, където е ускорението на товара. Уравнение на принципа на д'Аламбер в проекция върху оста гизглежда като N–Pcosа = 0.

Оттук N = Pcosа. Сега силата на триене при плъзгане може да се определи по формулата F tr = f P cosа.

Нека дадем обобщената координата смалко увеличение d s> 0. В този случай товарът (фиг. 1.4) ще се премести нагоре по наклонената равнина на разстояние d с, и барабанът ще се завърти обратно на часовниковата стрелка под ъгъл dj.

Използвайки формули като (1.3a) и (1.3c), нека съставим израз за сумата от елементарни работи на въртящия момент М, сила ПИ F tr:

Нека изразим dj в това уравнение чрез d с: , Тогава

ние дефинираме обобщената сила, използвайки формула (1.3)

Нека вземем предвид написаната по-рано формула за F trи най-накрая ще получим

Ако в същия пример вземем ъгъла j като обобщена координата, тогава обобщената сила Qjизразено с формулата

1.4.2. Определяне на обобщени системни сили
с две степени на свобода

Ако системата има нстепени на свобода се определя положението му нобобщени координати. Всяка координата ци(аз = 1,2,…,н) съответства на неговата обобщена сила Q i, което се определя по формулата

където е сумата от елементарните работи на активните сили върху аз-то възможно движение на системата, когато d q i > 0, а останалите обобщени координати са непроменени.

При определяне е необходимо да се вземат предвид инструкциите за определяне на обобщени сили по формула (1.3).

Препоръчително е да се определят обобщените сили на система с две степени на свобода в следния ред.

· Покажете на проектната диаграма всички активни сили на системата.

· Определете първата обобщена сила Въпрос 1. За да направите това, дайте на системата първото възможно движение, когато d q 1 > 0 и d q 2 =р 1възможни движения на всички тела и точки от системата; съставя - израз на елементарната работа на силите на системата върху първото възможно преместване; възможни движения в изразени чрез d р 1; намирам Въпрос 1съгласно формула (1.4), като аз = 1.

· Определете втората обобщена сила Въпрос 2. За да направите това, дайте на системата второ възможно движение, когато d q 2 > 0 и d q 1 = 0; покажете съответното d на проектната диаграма р 2възможни движения на всички тела и точки от системата; композира - израз на елементарната работа на силите на системата върху второто възможно преместване; възможни движения в изразени чрез d р 2; намирам Въпрос 2съгласно формула (1.4), като аз = 2.

Пример 1.5 (виж условието към фиг. 1.2)

Да дефинираме Въпрос 1И Въпрос 2, съответстващи на обобщени координати xDИ х А(фиг. 1.6, А).

Върху системата действат три активни сили: P A = 2P, P B = P D = P.

Определение Въпрос 1. Нека дадем на системата първото възможно движение, когато d xD> 0, d x A = 0 (фиг. 1.6, А). В същото време натоварването д xD, блок бще се завърти обратно на часовниковата стрелка под ъгъл dj б, ос на цилиндъра Аще остане неподвижен, цилиндър Аще се върти около ос Апод ъгъл dj Апо часовниковата стрелка. Нека съставим сумата от работата върху посочените движения:

нека дефинираме

Да дефинираме Въпрос 2. Нека дадем на системата второ възможно движение, когато d x D = 0, d xA> 0 (фиг. 1.6, b). В този случай оста на цилиндъра Аще се движи вертикално надолу на разстояние d х А, цилиндър Аще се върти около ос Апо часовниковата стрелка до ъгъл dj А, блок би товари дще остане неподвижен. Нека съставим сумата от работата върху посочените движения:

нека дефинираме

Пример 1.6 (виж условието към фиг. 1.3)

Да дефинираме Въпрос 1И Въпрос 2, съответстващи на обобщените координати j, с(фиг. 1.7, А). Върху системата действат четири активни сили: теглото на пръта П, тегло на топката, еластична сила на пружината и .

Нека вземем предвид това. Модулът на еластичните сили се определя по формула (а).

Имайте предвид, че точката на приложение на силата Е 2е неподвижна, следователно работата на тази сила върху всяко възможно преместване на системата е равна на нула, в израза на обобщените сили сила Е 2няма да влезе.

Определение Въпрос 1. Нека дадем на системата първото възможно движение, когато dj > 0, d s = 0 (фиг. 1.7, А). В този случай прътът ABще се върти около ос zобратно на часовниковата стрелка под ъгъл dj, възможни движения на топката ди център дпръчките са насочени перпендикулярно на сегмента AD, дължината на пружината няма да се промени. Нека го поставим в координатна форма [вж. формула (1.3b)]:

(Моля, имайте предвид, че следователно работата, извършена от тази сила при първото възможно изместване, е нула).

Нека изразим преместванията d x Eи d xDчрез dj. За да направим това, първо пишем

След това, в съответствие с формула (7) adj. 1 ще намерим

Замествайки намерените стойности в , получаваме

Използвайки формула (1.4), като вземем предвид, че , определяме

Определение Въпрос 2. Нека да дадем на системата второ възможно движение, когато dj = 0, d s> 0 (фиг. 1.7, b). В този случай прътът ABще остане неподвижен, а топката Мще се движи по пръта на разстояние d с. Нека съставим сумата от работата върху посочените движения:

нека дефинираме

замествайки стойността на силата F 1от формула (а), получаваме

1.5. Изразяване на кинетичната енергия на система
в обобщени координати

Кинетичната енергия на една система е равна на сумата от кинетичните енергии на нейните тела и точки (Приложение 2). За да получите за TИзразът (1.2) трябва да изразява скоростите на всички тела и точки от системата чрез обобщени скорости с помощта на кинематичните методи. В този случай системата се счита за произволна позиция, всички нейни обобщени скорости се считат за положителни, т.е. насочени към увеличаване на обобщените координати.

Пример 1. 7 (виж условие към Фиг. 1.1)

Нека определим кинетичната енергия на системата (фиг. 1.8), като вземем разстоянието като обобщена координата с,

T = T A + T B.

Съгласно формули (2) и (3) прил. 2 имаме: .

Замествайки тези данни в Tи като вземем предвид това, получаваме

Пример 1.8(вижте условието към фиг. 1.2)

Нека определим кинетичната енергия на системата от фиг. 1.9, като се вземат за обобщени координати величините xDИ х А,

T = T A + T B + T D.

Съгласно формули (2), (3), (4) прил. 2 ще запишем

Да изразим V A, V D, w Bи w Апрез :

При определяне на w Авзето е предвид, че точката О(фиг. 1.9) – моментен център на скоростите на цилиндъра АИ V k = V D(вижте съответните обяснения за пример 2, приложение 2).

Заместване на получените резултати в Tи предвид това

нека дефинираме

Пример 1.9(вижте условието към фиг. 1.3)

Нека определим кинетичната енергия на системата от фиг. 1.10, приемайки j и като обобщени координати с,

T = T AB + T D.

Съгласно формули (1) и (3) прил. 2 имаме

Нека изразим w ABИ V Dчрез и:

където е скоростта на прехвърляне на топката д, неговият модул се определя по формулата

Насочен перпендикулярно на сегмента ADв посока на увеличаване на ъгъла j; – относителна скорост на топката, нейният модул се определя по формулата, насочен към увеличаване на координатите с. Забележете, че е перпендикулярно, следователно

Замествайки тези резултати в Tи предвид това

1.6. Съставяне на диференциални уравнения
движение на механични системи

За да се получат необходимите уравнения, е необходимо да се замени в уравненията на Лагранж (1.1) намерения по-рано израз за кинетичната енергия на системата в обобщени координати и обобщени сили Q 1 , Q 2 , … , Q n.

При намиране на частни производни Tизползвайки обобщени координати и обобщени скорости, трябва да се има предвид, че променливите р 1 , q 2 , … , q n; се считат за независими един от друг. Това означава, че при определяне на частната производна Tза една от тези променливи, всички останали променливи в израза за Tтрябва да се разглеждат като константи.

При извършване на операция всички променливи, включени в променливата, трябва да бъдат разграничени във времето.

Подчертаваме, че уравненията на Лагранж се записват за всяка обобщена координата ци (аз = 1, 2,…н) системи.

В аналитичната механика, наред с концепцията за сила като векторна величина, характеризираща въздействието върху дадено тяло от други материални тела, те използват концепцията за обобщена сила. За определяне обобщена мощностНека разгледаме виртуалната работа на силите, приложени към точки от системата.

Ако механична система с холономни задържащи сили, наложени върху нея чима връзки s =3n-hстепени на свобода , тогава се определя положението на тази система ( i = s)

обобщени координати и (2.11) : Съгласно (2.13), (2.14) виртуално изместване к –ти точки

(2.13)

(2.14)

Замествайки (2.14): във формулата за виртуалната работа на силите

(2.24), получаваме

Скаларно количество = (2.26)

Наречен обобщена сила, съответстващ азта обобщена координата.

Обобщена силасъответстващ на i-та обобщена координата е величина, равна на множителя за изменението на дадена обобщена координата в израза на виртуалната работа на силите, действащи върху механична система.

Виртуална работаопределен от

¾ определени активни сили, независими от ограниченията и

¾ реакции на свързване (ако свързванията не са идеални, тогава за решаване на проблема е необходимо допълнително да се зададе физическата зависимост T j от н j , ( T j ¾ това са, като правило, сили на триене или моменти на съпротивление на триенето при търкаляне, които можем да определим).

Общо взето обобщена силае функция на обобщени координати, скорости на системните точки и време. От определението следва, че обобщена сила¾ е скаларна величина, която зависи от обобщените координати, избрани за дадена механична система. Това означава, че когато наборът от обобщени координати, които определят позицията на дадена система, се промени, обобщени сили.

Пример 2.10. За диск с радиус rи маса м, който се търкаля без плъзгане по наклонена равнина (фиг. 2.9), може да се приеме като обобщена координата:

¾ или q = s¾ движение на центъра на масата на диска,

¾или р= j ¾ ъгъл на въртене на диска. Ако пренебрегнем съпротивлението при търкаляне, тогава:

¾ в първия случай обобщена силаще

Ориз. 2.9 Q s = mg sina, a

¾ във втория случай ¾ Q j = mg r cosa.

Обобщената координата определя и мерната единица на съотв обобщена мощност.От израз (2.25)

(2.27)

следва, че мерната единица обобщена мощностравна на единицата работа, разделена на единицата обобщена координата.

Ако, като обобщена координата рприемам q = s¾ движение на всяка точка, след това мерната единица обобщена мощност Q s ¾ ще бъде [нютон] ,

Ако, като a р= j ¾ ще се вземе ъгълът на въртене (в радиани) на тялото, след това мерната единица обобщена мощност Q j 2 ще бъде [ нютон´ метър].

Нека запишем сумата от елементарните работи на силите, действащи върху точки от системата върху възможното изместване на системата:

Нека холономната система има степени на свобода и следователно се определя неговото положение в пространството обобщени координати
.

Заместване на (225) в (226) и промяна на реда на сумиране по индекси И , получаваме

. (226")

където е скаларното количество

Наречен обобщена сила, свързана с обобщената координата . Използвайки добре известния израз за скаларното произведение на два вектора, придадената сила може също да бъде представена като

– проекции на сила върху координатните оси;
– координати на точката на прилагане на силата.

Размерът на обобщената сила в съответствие с (226") зависи от размерите, както следва , съвпадаща с размерността :

, (228)

това означава, че размерът на обобщената сила е равен на размерността на работата на силата (енергията) или момента на силата, разделена на размерността на обобщената координата, към която е приписана обобщената сила. От това следва, че една обобщена сила може да има размерността на сила или момент на сила.

Изчисляване на обобщена сила

1. Обобщената сила може да се изчисли с формула (227), която я дефинира, т.е.

2. Обобщените сили могат да се изчислят като коефициенти за съответните вариации на обобщените координати в израза за елементарна работа (226"), т.е.

3. Най-подходящият метод за изчисляване на обобщените сили, който се получава от (226 ""), е ако на системата се даде такова възможно движение, че само една обобщена координата се променя, докато останалите не се променят. Така че, ако
, и останалото
, тогава от (179") имаме

.

Индекс показва, че сумата от елементарни работи се изчислява върху възможно изместване, по време на което се променя (варира) само координатата . Ако променливата координата е , Че

. (227")

Условия за равновесие на система от сили по отношение на обобщени сили

Условия за равновесие на системата се извеждат от принципа на възможните движения. Те се прилагат за системи, за които този принцип е валиден: за равновесието на механична система, подложена на холономни, стационарни, идеални и неотделящи ограничения, в момента, когато скоростите на всички точки на системата са равни на нула, е необходимо и достатъчно всички обобщени сили да бъдат равни на нула

. (228")

3.6.7. Общо уравнение на динамиката

Общо уравнение на динамиката за система с всякакви връзки (комбиниран принцип на д'Аламбер-Лагранжили общо уравнение на механиката):

, (229)

Където – активна сила, приложена към -та точка на системата; – якост на реакцията на връзките;
– точкова инерционна сила; – възможно движение.

В случай на равновесие на системата, когато всички инерционни сили на точките на системата изчезнат, това се превръща в принципа на възможните премествания. Обикновено се използва за системи с идеални връзки, за които условието е изпълнено

В този случай (229) приема една от формите:

,

,

. (230)

По този начин, според общото уравнение на динамиката, във всеки момент на движение на система с идеални връзки, сумата от елементарните работи на всички активни сили и инерционните сили на точките на системата е равна на нула при всяко възможно движение на системата, разрешено по връзките.

Общото уравнение на динамиката може да получи други, еквивалентни форми. Разширявайки скаларното произведение на векторите, то може да се изрази като

Където
– координати -та точка на системата. Като се има предвид, че проекциите на инерционните сили върху координатните оси чрез проекциите на ускоренията върху тези оси се изразяват с отношенията

,

на общото уравнение на динамиката може да се даде формата

В тази форма се нарича общо уравнение на динамиката в аналитична форма.

При използване на общото уравнение на динамиката е необходимо да можете да изчислите елементарната работа на инерционните сили на системата върху възможните премествания. За да направите това, приложете съответните формули за елементарна работа, получена за обикновени сили. Нека разгледаме приложението им към инерционните сили на твърдо тяло в частни случаи на неговото движение.

По време на движение напред. В този случай тялото има три степени на свобода и поради наложените ограничения може да извършва само постъпателно движение. Възможните движения на тялото, които позволяват връзки, също са транслационни.

Инерционните сили по време на транслационното движение се редуцират до резултантната
. За сумата от елементарните работи на инерционните сили върху възможното постъпателно движение на тялото получаваме

Където
– възможно движение на центъра на масата и всяка точка от тялото, тъй като постъпателното възможно движение на всички точки от тялото е еднакво: ускоренията също са еднакви, т.е.
.

Когато твърдо тяло се върти около фиксирана ос. Тялото в този случай има една степен на свобода. Може да се върти около фиксирана ос
. Възможно движение, което се допуска от насложени връзки, също е завъртане на тялото на елементарен ъгъл
около фиксирана ос.

Инерционни сили, намалени до точка по оста на въртене, се свеждат до главния вектор и основната точка
. Главният вектор на инерционните сили е приложен към фиксирана точка и неговата елементарна работа върху възможното изместване е нула. За основния момент на инерционните сили ненулевата елементарна работа ще се извършва само чрез проекцията му върху оста на въртене
. Така за сумата от работата на инерционните сили върху разглежданото възможно преместване имаме

,

ако ъгълът
докладвайте по посока на стрелката на дъгата на ъгловото ускорение .

В плоско движение. В този случай ограниченията, наложени на твърдото тяло, позволяват само възможно равнинно движение. В общия случай се състои от транслационно възможно движение заедно с полюса, за който избираме център на масата, и завъртане през елементарен ъгъл
около оста
, минаваща през центъра на масата и перпендикулярна на равнината, успоредна на която тялото може да извършва равнинно движение.

Тъй като инерционните сили в равнинното движение на твърдо тяло могат да бъдат сведени до главния вектор и основната точка
(ако изберем центъра на масата като център на редукция), тогава сумата от елементарната работа на инерционните сили върху възможно изместване на равнина ще бъде намалена до елементарната работа на вектора на инерционната сила
върху възможното движение на центъра на масата и елементарната работа на главния инерционен момент върху елементарно въртеливо движение около ос
, минаваща през центъра на масата. В този случай ненулева елементарна работа може да се извърши само чрез проекцията на главния момент на инерционните сили върху оста
, т.е.
. Така в разглеждания случай имаме

ако завъртането е на елементарен ъгъл
насочете в дъговидна стрелка към .

Разбира се, когато се изчислява тази обобщена сила, потенциалната енергия трябва да се определи като функция на обобщените координати

P = P( р 1 , р 2 , р 3 ,…,qs).

Бележки.

Първо. При изчисляване на обобщените сили на реакция не се вземат предвид идеалните връзки.

Второ. Размерността на обобщената сила зависи от размерността на обобщената координата. Така че, ако измерението [ р] – метър, след това размерът

[Q]= Nm/m = Нютон, ако [ р] – радиан, тогава [Q] = Nm; ако [ р] = m 2, тогава [Q] = H/m и т.н.

Пример 4.Пръстен се плъзга по пръчка, люлееща се във вертикална равнина. Мтегло Р(фиг. 10). Считаме пръчката за безтегловност. Нека дефинираме обобщените сили.

Фиг.10

Решение.Системата има две степени на свобода. Задаваме две обобщени координати сИ .

Нека намерим обобщената сила, съответстваща на координатата с.Ние даваме увеличение на тази координата, оставяйки координатата непроменена и изчислявайки работата на единствената активна сила Р, получаваме обобщената сила

След това увеличаваме координатата, приемайки с= конст. Когато прътът се завърти под ъгъл, точката на прилагане на силата Р, пръстен М, ще се премести в . Обобщената сила ще бъде

Тъй като системата е консервативна, обобщените сили могат да бъдат намерени и с помощта на потенциална енергия. Получаваме И . Оказва се много по-просто.

Равновесни уравнения на Лагранж

По дефиниция (7) обобщени сили , к = 1,2,3,…,с, Където с– брой степени на свобода.

Ако системата е в равновесие, тогава според принципа на възможните премествания (1) . Ето движенията, които позволяват връзките, възможните движения. Следователно, когато една материална система е в равновесие, всички нейни обобщени сили са равни на нула:

Q k= 0, (к=1,2,3,…, с). (10)

Тези уравнения уравнения на равновесие в обобщени координатиили Равновесни уравнения на Лагранж , позволи още един метод за решаване на проблеми със статиката.

Ако системата е консервативна, тогава. Това означава, че е в положение на равновесие. Тоест в равновесното положение на такава материална система нейната потенциална енергия е или максимална, или минимална, т.е. функцията П(q) има екстремум.

Това е очевидно от анализа на най-простия пример (фиг. 11). Потенциална енергия на топката в позиция М 1 има минимум, в позиция М 2 – максимум. Може да се забележи, че в позиция М 1 равновесието ще бъде стабилно; бременна М 2 – нестабилен.

Фиг.11

Равновесието се счита за стабилно, ако на тялото в това положение се дава ниска скорост или се измества на малко разстояние и тези отклонения не се увеличават в бъдеще.

Може да се докаже (теорема на Лагранж-Дирихле), че ако в равновесно положение на консервативна система нейната потенциална енергия има минимум, то това равновесно положение е стабилно.

За консервативна система с една степен на свобода условието за минимална потенциална енергия и следователно стабилността на равновесното положение се определя от втората производна, нейната стойност в равновесното положение,

Пример 5.Ядро ОАтегло Рможе да се върти във вертикална равнина около ос ОТНОСНО(фиг. 12). Нека намерим и изследваме стабилността на равновесните положения.

Фиг.12

Решение.Пръчката има една степен на свобода. Обобщена координата – ъгъл.

По отношение на долната, нулева позиция, потенциалната енергия P = Phили

В равновесно положение трябва да има . Следователно имаме две равновесни позиции, съответстващи на ъглите и (позиции ОА 1 и ОА 2). Нека проучим тяхната стабилност. Намиране на втората производна. Разбира се, с ,. Равновесното положение е стабилно. в , . Второто равновесно положение е нестабилно. Резултатите са очевидни.

Обобщени инерционни сили.

Използвайки същия метод (8), по който са изчислени обобщените сили Q k, съответстващи на активни, специфични, сили, също се определят обобщени сили S k, съответстващи на инерционните сили на точките на системата:

И тъй като Че

Няколко математически трансформации.

очевидно,

Тъй като a qk = qk(t), (k = 1,2,3,…, s), тогава

Това означава, че частната производна на скоростта по отношение на

Освен това в последния член (14) можете да промените реда на диференциране:

Замествайки (15) и (16) в (14), а след това (14) в (13), получаваме

Разделяйки последната сума на две и имайки предвид, че сумата от производните е равна на производната на сумата, получаваме

където е кинетичната енергия на системата и е обобщената скорост.

Уравнения на Лагранж.

По определение (7) и (12) обобщени сили

Но въз основа на общото динамично уравнение (3), дясната страна на равенството е равна на нула. И тъй като всичко ( к = 1,2,3,…,с) са различни от нула, тогава . Замествайки стойността на обобщената инерционна сила (17), получаваме уравнението

Тези уравнения се наричат ​​диференциални уравнения на движението в обобщени координати, уравнения на Лагранж от втори род или просто – Уравнения на Лагранж.

Броят на тези уравнения е равен на броя на степените на свобода на материалната система.

Ако системата е консервативна и се движи под въздействието на потенциални полеви сили, когато обобщените сили са , уравненията на Лагранж могат да бъдат съставени във формата

Където Л = T– P се нарича Функция на Лагранж (приема се, че потенциалната енергия P не зависи от обобщените скорости).

Често при изучаване на движението на материални системи се оказва, че някои обобщени координати q jне са включени изрично във функцията на Лагранж (или в Tи P). Такива координати се наричат цикличен. Уравненията на Лагранж, съответстващи на тези координати, се получават по-просто.

Първият интеграл на такива уравнения може да бъде намерен веднага. Нарича се цикличен интеграл:

По-нататъшните изследвания и трансформации на уравненията на Лагранж са предмет на специален раздел на теоретичната механика - "Аналитична механика".

Уравненията на Лагранж имат редица предимства в сравнение с други методи за изследване на движението на системите. Основни предимства: методът за съставяне на уравнения е еднакъв във всички задачи, реакциите на идеалните връзки не се вземат предвид при решаването на задачи.

И още нещо - тези уравнения могат да се използват за изследване не само на механични, но и на други физически системи (електрически, електромагнитни, оптични и др.).

Пример 6.Нека продължим нашето изследване на движението на пръстена Мна люлеещ се прът (пример 4).

Задават се обобщени координати – и s (фиг. 13). Дефинират се обобщени сили: и .

Фиг.13

Решение.Кинетична енергия на пръстена Където a и .

Съставяме две уравнения на Лагранж

тогава уравненията изглеждат така:

Получихме две нелинейни диференциални уравнения от втори ред, чието решаване изисква специални методи.

Пример 7.Нека създадем диференциално уравнение на движението на гредата AB, който се търкаля без плъзгане по цилиндрична повърхност (фиг. 14). Дължина на лъча AB = л, тегло - Р.

В равновесно положение лъчът е хоризонтален и център на тежестта СЪСтя се намираше в горната точка на цилиндъра. Лъчът има една степен на свобода. Неговото положение се определя от обобщена координата - ъгъл (фиг. 76).

Фиг.14

Решение.Системата е консервативна. Следователно ще съставим уравнението на Лагранж, използвайки потенциалната енергия P=mgh, изчислена спрямо хоризонталната позиция. В точката на контакт има моментен център на скоростите и (равен на дължината на кръговата дъга с ъгъл).

Следователно (виж фиг. 76) и .

Кинетична енергия (лъчът претърпява плоскопаралелно движение)

Намираме необходимите производни за уравнението и

Нека съставим уравнение

или накрая,

Въпроси за самопроверка

Как се нарича възможното движение на ограничена механична система?

Как са свързани възможните и действителните движения на системата?

Какви връзки се наричат: а) стационарни; б) идеален?

Формулирайте принципа на възможните движения. Запишете формулния му израз.

Възможно ли е да се приложи принципът на виртуалните движения към системи с неидеални връзки?

Какви са обобщените координати на механична система?

Какъв е броят на степените на свобода на механична система?

В какъв случай декартовите координати на точките в системата зависят не само от обобщените координати, но и от времето?

Как се наричат ​​възможните движения на механична система?

Зависят ли възможните движения от силите, действащи върху системата?

Какви връзки на механична система се наричат ​​идеални?

Защо връзката, направена с триене, не е идеална връзка?

Как е формулиран принципът на възможните движения?

Какви видове може да има уравнението за работа?

Защо принципът на възможните премествания опростява извеждането на условията за равновесие за сили, приложени към ограничени системи, състоящи се от голям брой тела?

Как се конструират работни уравнения за сили, действащи върху механична система с няколко степени на свобода?

Каква е връзката между движещата сила и съпротивителната сила в простите машини?

Как е формулирано златното правило на механиката?

Как се определят реакциите на връзките, като се използва принципът на възможните движения?

Какви връзки се наричат ​​холономни?

Какъв е броят на степените на свобода на механична система?

Какви са обобщените координати на системата?

Колко обобщени координати има една несвободна механична система?

Колко степени на свобода има воланът на автомобила?

Какво е обобщена сила?

Запишете формула, изразяваща общата елементарна работа на всички сили, приложени към системата, в обобщени координати.

Как се определя размерът на обобщената сила?

Как се изчисляват обобщените сили в консервативни системи?

Запишете една от формулите, изразяващи общото уравнение на динамиката на система с идеални връзки. Какъв е физическият смисъл на това уравнение?

Каква е обобщената сила на активните сили, приложени към система?

Каква е обобщената инерционна сила?

Формулирайте принципа на д'Аламбер в обобщени сили.

Какво е общото уравнение на динамиката?

Какво се нарича обобщена сила, съответстваща на някаква обобщена координата на системата, и какво измерение има тя?

Какви са обобщените реакции на идеалните връзки?

Изведете общото уравнение на динамиката на обобщените сили.

Каква форма са условията на равновесие за силите, приложени към механична система, получени от общото уравнение на динамиката в обобщените сили?

Какви формули изразяват обобщени сили чрез проекции на сили върху фиксираните оси на декартовите координати?

Как се определят обобщените сили в случай на консервативни и в случай на неконсервативни сили?

Какви връзки се наричат ​​геометрични?

Дайте векторно представяне на принципа на възможните премествания.

Назовете необходимото и достатъчно условие за равновесие на механична система с идеални стационарни геометрични връзки.

Какво свойство има силовата функция на една консервативна система в състояние на равновесие?

Напишете система от диференциални уравнения на Лагранж от втори род.

Колко уравнения на Лагранж от втори вид могат да бъдат конструирани за ограничена механична система?

Зависи ли броят на уравненията на Лагранж на една механична система от броя на телата, включени в системата?

Какъв е кинетичният потенциал на една система?

За кои механични системи съществува функцията на Лагранж?

С какви аргументи е функцията на вектора на скоростта на точка, принадлежаща на механична система сстепени на свобода?

Каква е частната производна на вектора на скоростта на точка в системата по отношение на някаква обобщена скорост?

Функцията на кои аргументи е кинетичната енергия на система, подложена на холономни нестационарни ограничения?

Каква форма имат уравненията на Лагранж от втори род? Какъв е броят на тези уравнения за всяка механична система?

Каква форма приемат уравненията на Лагранж от втори род в случай, че върху системата едновременно действат консервативни и неконсервативни сили?

Какво представлява функцията на Лагранж или кинетичният потенциал?

Каква форма имат уравненията на Лагранж от втори род за консервативна система?

В зависимост от това какви променливи трябва да се изрази кинетичната енергия на механична система при съставянето на уравненията на Лагранж?

Как се определя потенциалната енергия на механична система под въздействието на еластични сили?

Проблеми за самостоятелно решаване

Задача 1.Използвайки принципа на възможните премествания, определете реакциите на връзките на композитните конструкции. Структурните диаграми са показани на фиг. 15, а необходимите за решението данни са дадени в табл. 1. На снимките всички размери са в метри.

маса 1

Вариант 1 Вариант 2

Вариант 3 Вариант 4

Вариант 5 Вариант 6

Вариант 7 Вариант 8

Фиг.16 Фиг.17

Решение.Лесно се проверява, че в тази задача са изпълнени всички условия за прилагане на принципа на Лагранж (системата е в равновесие, връзките са стационарни, холономни, ограничаващи и идеални).

Да се ​​освободим от връзката, съответстваща на реакцията х A (фиг. 17). За да направите това, в точка А, фиксираната панта трябва да бъде заменена, например, с опора на прът, в който случай системата получава една степен на свобода. Както вече беше отбелязано, възможното движение на системата се определя от наложените й ограничения и не зависи от приложените сили. Следователно определянето на възможните премествания е кинематичен проблем. Тъй като в този пример рамката може да се движи само в равнината на картината, нейните възможни движения също са равнинни. При равнинно движение движението на тялото може да се разглежда като въртене около моментния център на скоростите. Ако моментният център на скоростите лежи в безкрайност, тогава това съответства на случая на моментално транслационно движение, когато преместванията на всички точки на тялото са еднакви.

За да се намери моментният център на скоростите, е необходимо да се знаят посоките на скоростите на всеки две точки от тялото. Следователно определянето на възможните премествания на композитна структура трябва да започне с намирането на възможните премествания на елемента, за който са известни такива скорости. В този случай трябва да започнете с рамката CDB, тъй като точката му INе неподвижен и следователно възможното движение на тази рамка е нейното завъртане под ъгъл около ос, минаваща през шарнир B. Сега, знаейки възможното движение на точката СЪС(едновременно принадлежи към двете рамки на системата) и възможното движение на точката А(възможно движение на точка А е нейното движение по оста х), намерете моментния център на скоростта C 1 на рамката AES. По този начин, възможно движение на рамката AESе нейното завъртане около точка C 1 на ъгъл . Връзката между ъглите и се определя чрез движението на точка С (виж фиг. 17)

От подобието на триъгълници EC 1 C и BCD имаме

В резултат на това получаваме зависимостите:

Според принципа на възможните движения

Нека последователно изчислим възможните работни места, включени тук:

Q=2q – равностойна на разпределеното натоварване, чиято приложна точка е показана на фиг. 79; възможната извършена от него работа е равна.