За аксиоматичния метод за изграждане на теория. Дефиниция на естествено число

Когато аксиоматично конструирате всяка математическа теория, определено правила:

· някои понятия от теорията се избират като основни и се приемат без определение;

· на всяко понятие от теорията, което не се съдържа в списъка на основните, се дава определение;

· формулират се аксиоми – положения, които в дадена теория се приемат без доказателство; разкриват свойствата на основните понятия;

· всяко твърдение на теорията, което не се съдържа в списъка с аксиоми, трябва да бъде доказано; Такива твърдения се наричат ​​теореми и се доказват въз основа на аксиоми и теореми.

В аксиоматичното изграждане на теория всички твърдения се извличат от аксиоми чрез доказателство.

Следователно към системата от аксиоми се прилагат специални изисквания. изисквания:

· последователност (система от аксиоми се нарича последователна, ако две взаимно изключващи се съждения не могат да бъдат логически изведени от нея);

· независимост (система от аксиоми се нарича независима, ако нито една от аксиомите на тази система не е следствие от други аксиоми).

Множество със зададена в него релация се нарича модел на дадена аксиомна система, ако в нея са изпълнени всички аксиоми на дадената система.

Има много начини да се конструира система от аксиоми за набор от естествени числа. Например сума от числа или връзка на реда може да се приеме като основно понятие. Във всеки случай трябва да дефинирате система от аксиоми, които описват свойствата на основните понятия.

Нека дадем система от аксиоми, приемайки основната концепция за операцията събиране.

Непразно множество ннека го наречем набор от естествени числа, ако операцията е дефинирана в него (а; б) → а + б, наречено събиране и имащо следните свойства:

1. събирането е комутативно, т.е. a + b = b + a.

2. добавянето е асоциативно, т.е. (a + b) + c = a + (b + c).

4. във всеки комплект А, което е подмножество на множеството н, Където Аима номер и такъв, че всичко ха, са равни a+b, Където bN.

Аксиоми 1 - 4 са достатъчни, за да се изгради цялата аритметика на естествените числа. Но с такава конструкция вече не е възможно да се разчита на свойствата на крайните множества, които не са отразени в тези аксиоми.

Нека приемем като основна концепция релацията “директно следване...”, дефинирана върху непразно множество н. Тогава естествената редица от числа ще бъде множеството N, в което е дефинирана връзката „непосредствено следват“, а всички елементи на N ще се наричат ​​естествени числа и е валидно следното: Аксиомите на Пеано:

АКСИОМА 1.

В изобилиенима елемент, който не следва непосредствено нито един елемент от това множество. Ще го наречем единица и ще го обозначим със символа 1.

АКСИОМА 2.

За всеки елемент a отнима един елемент a непосредствено след a.

АКСИОМА 3.

За всеки елемент a отнИма най-много един елемент, последван непосредствено от a.

AXOIMA 4.

Всяко подмножество M от множествотонсъвпада сн, ако има следните свойства: 1) 1 се съдържа в M; 2) от факта, че a се съдържа в M, следва, че a също се съдържа в M.

Няколко Н,за чиито елементи е установена връзката “пряко следват...”, удовлетворяваща аксиоми 1 - 4, се нарича набор от естествени числа , а неговите елементи са естествени числа.

Ако като комплект низберете някакъв специфичен набор, върху който е дадена специфична релация „директно следване...“, удовлетворяваща аксиоми 1 - 4, тогава получаваме различни интерпретации (модели) дадено аксиомни системи.

Стандартният модел на аксиомната система на Пеано е поредица от числа, възникнали в процеса на историческото развитие на обществото: 1, 2, 3, 4, 5, ...

Моделът на аксиомите на Пеано може да бъде всяко изброимо множество.

Например I, II, III, IIII, ...

о, о, о, о, о...

едно две три четири, …

Нека разгледаме поредица от множества, в която множеството (oo) е началният елемент, а всяко следващо множество се получава от предишното чрез добавяне на още една окръжност (фиг. 15).

Тогава нима множество, състоящо се от множества на описаната форма, и то е модел на аксиомната система на Пеано.

Наистина в много нима елемент (oo), който не следва непосредствено никой елемент от даденото множество, т.е. Аксиома 1 е изпълнена за всеки комплект Аот разглежданата съвкупност има единичен набор, който се получава от Акато добавим един кръг, т.е. Аксиома 2 е в сила за всяко множество Аима най-много едно множество, от което се образува множество Акато добавим един кръг, т.е. Аксиома 3 е валидна Мна е известно, че мнозина Асъдържано в М,следва, че множество, в което има една окръжност повече, отколкото в множеството А, също се съдържа в М, Че М =н, и следователно аксиома 4 е изпълнена.

В дефиницията на естествено число не може да бъде пропусната нито една от аксиомите.

Нека установим кои от множествата, показани на фиг. 16 са модел на аксиомите на Пеано.

Решение.Фигура 16 а) показва набор, в който са изпълнени аксиоми 2 и 3. Наистина, за всеки елемент има уникален елемент непосредствено след него и има уникален елемент, който следва. Но в този набор аксиома 1 не е изпълнена (аксиома 4 няма смисъл, тъй като няма елемент в набора, който да не следва непосредствено друг). Следователно този набор не е модел на аксиомите на Пеано.

Фигура 16 b) показва набор, в който аксиоми 1, 3 и 4 са изпълнени, но зад елемента Аведнага следват два елемента, а не един, както се изисква в аксиома 2. Следователно този набор не е модел на аксиомите на Пеано.

На фиг. 16 c) показва набор, в който аксиоми 1, 2, 4 са изпълнени, но елементът снепосредствено следва незабавно два елемента. Следователно този набор не е модел на аксиомите на Пеано.

На фиг. 16 d) показва набор, който удовлетворява аксиоми 2, 3 и ако вземем числото 5 като начален елемент, тогава този набор ще удовлетворява аксиоми 1 и 4. Тоест, в този набор за всеки елемент веднага има уникален след него и има един единствен елемент, който следва. Има и елемент, който не следва веднага нито един елемент от този набор, това е 5 , тези. Аксиома 1 е изпълнена, аксиома 4 също ще бъде изпълнена. Следователно, този набор е модел на аксиомите на Пеано.

Използвайки аксиомите на Пеано, можем да докажем редица твърдения. Например, ще докажем, че за всички естествени числа неравенството x x.

Доказателство.Нека означим с Анабор от естествени числа, за които а а.Номер 1 принадлежи А, тъй като не следва никакво число от н, което означава, че не следва от само себе си: 1 1. Позволявам аА,Тогава а а.Нека обозначим Апрез b. По силата на аксиома 3, Аб,тези. б бИ bA.

Дадената система от аксиоми на теорията на целите числа не е независима, както е отбелязано в упражнение 3.1.4.

Теорема 1.Аксиоматичната теория на целите числа е последователна.

Доказателство. Ще докажем последователността на аксиоматичната теория на целите числа, базирайки се на предположението, че аксиоматичната теория на естествените числа е последователна. За да направим това, ще изградим модел, върху който са изпълнени всички аксиоми на нашата теория.

Първо, нека изградим пръстен. Помислете за комплекта

н´ н = {(а, б)ï а, бÎ н}.

а, б) естествени числа. Под такава двойка ще разберем разликата на естествените числа а–б. Но докато не се докаже съществуването на система от цели числа, в която съществува такава разлика, ние нямаме право да използваме такова обозначение. В същото време такова разбиране ни дава възможност да задаваме свойствата на двойките, както изискваме.

Знаем, че различни разлики на естествени числа могат да бъдат равни на едно и също цяло число. Съответно въвеждаме на снимачната площадка н´ нотношение на равенство:

(а, б) = (c,d) Û a + d = b + c.

Лесно се вижда, че тази връзка е рефлексивна, симетрична и транзитивна. Следователно то е отношение на еквивалентност и има право да се нарича равенство. Факторно множество от множества н´ н З. Неговите елементи ще наричаме цели числа. Те представляват класове на еквивалентност в множеството от двойки. Клас, съдържащ двойка
(а, б), означим с [ а, б].

З а, б] какво ще кажете за разликата а–б

[а, б] + [c,d] = [a+c, b+d];

[а, б] × [ c,d] = [ac+bd, ad+bc].

Трябва да се има предвид, че строго погледнато използването на символи за операции тук не е напълно правилно. Същият символ + означава събирането на естествени числа и двойки. Но тъй като винаги е ясно в кое множество се извършва дадена операция, тук няма да въвеждаме отделни означения за тези операции.

Необходимо е да се провери коректността на дефинициите на тези операции, а именно дали резултатите не зависят от избора на елементи аИ b, определяйки двойката [ а, б]. Наистина, нека

[а, б] = [а 1 ,б 1 ], [s, d] = [с 1 ,д 1 ].

Означава, че a+b 1 = b+a 1 , c + d 1 =д + с 1 . Събирайки тези равенства, получаваме

a+b 1 + c + d 1 = b+a 1 +д + с 1 Þ [ a + b, c + d] = [а 1 +с 1 ,б 1 + д 1] Þ

Þ [ а, б] + [c,d] = [а 1 ,б 1 ] + [° С 1 ,д 1 ].

Правилността на определението за умножение се определя по подобен начин. Но тук първо трябва да проверите дали [ а, б] × [ c,d] = [а 1 ,б 1 ] × [ c,d].

Сега трябва да проверим дали получената алгебра е пръстен, тоест аксиоми (Z1) – (Z6).

Нека проверим например комутативността на събирането, тоест аксиомата (Z2). Ние имаме

[c,d] + [а, б] = = [a+c, b+d] = [а, б] + [c,d].

Комутативността на събирането за цели числа се извежда от комутативността на събирането на естествените числа, която се счита за вече известна.

Аксиомите (Z1), (Z5), (Z6) се проверяват по подобен начин.

Ролята на нула се играе от двойката. Нека го обозначим с 0 . Наистина ли,

[а, б] + 0 = [а, б] + = [а+ 1,b+ 1] = [а, б].

Накрая, -[ а, б] = [б, а]. Наистина ли,

[а, б] + [б, а] = [a+b, b+a] = = 0 .

Сега нека проверим аксиомите за разширение. Трябва да се има предвид, че в конструирания пръстен няма естествени числа като такива, тъй като елементите на пръстена са класове от двойки естествени числа. Следователно трябва да намерим подалгебра, изоморфна на полупръстен от естествени числа. Тук отново идеята за двойка [ а, б] какво ще кажете за разликата а–б. Естествено число нможе да се представи като разликата на две естествени, например, както следва: н = (н+ 1) – 1. Оттук възниква предложението за установяване на кореспонденция f: н ® Зспоред правилото

f(н) = [н + 1, 1].

Това съответствие е инжективно:

f(н) = f(м) Þ [ н + 1, 1]= [м+ 1, 1] Þ ( н + 1) + 1= 1 + (м+ 1) Þ n = m.

Следователно имаме кореспонденция едно към едно между ни някои подмножества З, което означаваме с Н*. Нека проверим дали запазва операциите:

f(н) + f(м) = [н + 1, 1]+ [м + 1, 1] = [н + m+ 2, 2]= [н + м+ 1, 1] = f(n+m);

f(н) × f(м) = [н+ 1, 1] × [ м + 1, 1] = [nm + n + m+ 2, n+m+ 2]= [nm+ 1, 1] = f(nm).

Това установява, че Н*форми в Зпо отношение на операциите събиране и умножение подалгебра, изоморфна н

Нека обозначим двойката [ н+ 1, 1] от Н* н, през н а, б] ние имаме

[а, б] = [а + 1, 1] + = [а + 1, 1] – [b + 1, 1] = а – b .

Това окончателно обосновава идеята за двойка [ а, б] като разликата на естествените числа. Същевременно се установи, че всеки елемент от изградената съвкупност Зсе представя като разликата на две естествени. Това ще помогне да се провери аксиомата за минималност.

Позволявам М –подмножество З, съдържащи Н*и заедно с всякакви елементи АИ bтяхната разлика а – б. Нека докажем това в този случай М =З. Наистина всеки елемент от Зсе представя като разлика на две естествени числа, които по условие принадлежат на Мзаедно с различията си.

З

Теорема 2.Аксиоматичната теория на целите числа е категорична.

Доказателство. Нека докажем, че всеки два модела, на които са изпълнени всички аксиоми на тази теория, са изоморфни.

Нека á З 1, +, ×, н 1 ñ и á З 2, +, ×, н 2 ñ – два модела на нашата теория. Строго погледнато, операциите в тях трябва да бъдат обозначени с различни символи. Ще се отдалечим от това изискване, за да не затрупваме изчисленията: всеки път е ясно за каква операция говорим. Елементите, принадлежащи към разглежданите модели, ще бъдат снабдени със съответните индекси 1 или 2.

Ще дефинираме изоморфно преобразуване от първия модел към втория. защото н 1 и н 2 са полупръстени от естествени числа, тогава има изоморфно преобразуване j на първото полукръстово върху второто. Нека дефинираме картографирането f: З 1® З 2. Всяко цяло число х 1 Î З 1 се представя като разликата на две естествени:
х 1 = а 1 –б 1 . Ние вярваме

f (х 1) = j( а 1) – j( b 1).

Нека докажем това f– изоморфизъм. Съпоставянето е дефинирано правилно: ако х 1 = при 1 където г 1 = ° С 1 – д 1, тогава

а 1 –б 1 = ° С 1 – д 1 Þ а 1 +г 1 = b 1 + ° С 1 Þ j( а 1 +г 1) = j( b 1 + ° С 1) Þ

Þ j( а 1) + j( д 1) = j( b 1) + j( ° С 1) Þ j( а 1)– j( b 1)= j( ° С 1) – j( д 1) Þ f(х 1) =f (г 1).

Следва, че е –картографиране едно към едно З 1 инч З 2. Но за всеки х 2 от ЗМогат да се намерят 2 природни елемента а 2 и b 2 такива, че х 2 = а 2 –б 2. Тъй като j е изоморфизъм, тези елементи имат обратен образ а 1 и b 1 . означава, х 2 = j( а 1) – j( b 1) =
= f (а 1 –б 1), и за всеки елемент от З 2 е прототип. Оттук и кореспонденцията fедно към едно. Нека проверим дали спестява операции.

Ако х 1 = а 1 –б 1 , г 1 = c 1 - д 1, тогава

х 1 + г 1 = (а 1 + ° С 1) – (b 1 +д 1),

f(х 1 + г 1) = j( а 1 + ° С 1) – j( b 1 +д 1) =j( а 1)+ j( ° С 1) – j( b 1) – j( д 1) =

J( а 1) – j( b 1)+ j( ° С 1)– j( д 1) =f(х 1) + f(г 1).

По подобен начин се проверява дали умножението е запазено. Това установява, че fе изоморфизъм и теоремата е доказана.

Упражнения

1. Докажете, че всеки пръстен, който включва система от естествени числа, включва и пръстен от цели числа.

2. Докажете, че всеки минимален подреден комутативен пръстен с единица е изоморфен на пръстена от цели числа.

3. Докажете, че всеки подреден пръстен с един и без делители на нула съдържа само един подпръстен, изоморфен на пръстена от цели числа.

4. Докажете, че пръстенът от матрици от втори ред над полето от реални числа съдържа безкрайно много подпръстени, изоморфни на пръстена от цели числа.

Поле на рационални числа

Дефинирането и изграждането на система от рационални числа се извършва по същия начин, както се прави за система от цели числа.

Определение.Система от рационални числа е минимално поле, което е продължение на пръстена от цели числа.

В съответствие с това определение получаваме следната аксиоматична конструкция на системата от рационални числа.

Първични условия:

Q– набор от рационални числа;

0, 1 – константи;

+, × – двоични операции върху Q;

З– подмножество Q, набор от цели числа;

Å, Ä – двоични операции върху З.

Аксиоми:

аз Аксиоми на полето.

(Q1) а+ (b+c) = (a+b) + ° С.

(Q2) a + b = b + a.

(Q3) (" а) а + 0 = а.

(Q4) (" а)($(–а)) а + (–а) = 0.

(Q5) а× ( b× ° С) = (а× b) × ° С.

(Q6) а× b = b× а.

(Q7) А× 1 = А.

(Q8) (" а¹ 0)($ а –1) а × а –1 = 1.

(Q9) ( a+b) × c = a × c + b× ° С.

II. Аксиоми за разширение.

(Q10) b З, Å, Ä, 0, 1ñ – пръстен от естествени числа.

(Q11) З Í Q.

(Q12) (" а,бÎ З) a + b = aÅ b.

(Q13) (" а,бÎ З) а× b = aÄ b.

III. Аксиома за минималност.

(Q14) МÍ Q, ЗÍ М, ("а, бÎ М)(b ¹ 0 ® а× b–1 О М)Þ М = Q.

Номер а× b–1 се нарича частно на числата АИ b, означено а/bили .

Теорема 1.Всяко рационално число може да бъде представено като частно от две цели числа.

Доказателство. Позволявам М– набор от рационални числа, които могат да бъдат представени като частно на две цели числа. Ако н- тогава цяло n = n/1 принадлежи М, следователно, ЗÍ М. Ако а, бÎ М, Че a = k/l, b = m/н,Където k, l, m, nÎ З. следователно а/b=
= (кн) / (лм)Î М. Според аксиома (Q14) М= Q, и теоремата е доказана.

Теорема 2.Полето от рационални числа може да бъде линейно и строго подредено и по уникален начин. Редът в полето на рационалните числа е Архимедов и продължава реда в пръстена от цели числа.

Доказателство. Нека означим с Q+ набор от числа, представими като дроб, където кл> 0. Лесно се вижда, че това условие не зависи от вида на дробта, представяща числото.

Нека проверим това Q + – положителна част от полето Q. Тъй като за цяло число клвъзможни са три случая: кл = 0, клÎ н, –кл Î н, тогава за a = получаваме една от трите възможности: a = 0, aО Q+ , –aО Q + . Освен това, ако a = , b = принадлежат Q+ тогава кл > 0, мн> 0. Тогава a + b = и ( кн + мл)ln = kln 2 + мнл 2 > 0. Така че a + bО Q + . По подобен начин може да се провери, че abО Q + . По този начин, Q + – положителна част от полето Q.

Позволявам Q++ – някаква положителна част от това поле. Ние имаме

l =.l 2 О Q ++ .

Оттук нÍ Q++. По теорема 2.3.4 обратните на естествените числа също принадлежат на Q++. Тогава Q + Í Q++. По силата на теорема 2.3.6 Q + =Q++. Следователно редовете, определени от положителните части, също съвпадат Q+ и Q ++ .

защото З + = нÍ Q+ , тогава редът е Qпродължава поръчката в З.

Нека сега a => 0, b => 0. Тъй като редът в пръстена на архимедовите цели числа, тогава за положителни кнИ млима нещо естествено стакова, че с× кн>мл. Оттук са = с> = b. Това означава, че редът в полето на рационалните числа е архимедов.

Упражнения

1. Докажете, че полето от рационални числа е плътно, т.е. за всякакви рационални числа а < bима рационално rтакова, че а < r < b.

2. Докажете, че уравнението х 2 = 2 няма решения в Q.

3. Докажете, че множеството Qброим.

Теорема 3.Аксиоматичната теория на рационалните числа е последователна.

Доказателство. Съгласуваността на аксиоматичната теория на рационалните числа се доказва по същия начин, както при целите числа. За целта се изгражда модел, върху който са изпълнени всички аксиоми на теорията.

Като основа вземаме комплекта

З´ Z* = {(а, б)ï а, бÎ З, b ¹ 0}.

Елементите на това множество са двойки ( а, б) цели числа. Под такава двойка ще разберем частното на целите числа а/b. В съответствие с това задаваме свойствата на двойките.

Нека се представим на снимачната площадка З´ Z*отношение на равенство:

(а, б) = (c,d) Û реклама = пр.н.е.

Отбелязваме, че това е отношение на еквивалентност и има право да се нарича равенство. Факторно множество от множества З´ Z*според това отношение на равенство, което означаваме с Q. Неговите елементи ще наричаме рационални числа. Клас, съдържащ двойка ( а, б), означим с [ а, б].

Нека въведем в конструирания набор Qоперации събиране и умножение. Това ще ни помогне да разберем елемента [ а, б] като частен а/b. В съответствие с това приемаме по дефиниция:

[а, б] + [c,d] = [ad+bc, bd];

[а, б] × [ c,d] = [ак, бд].

Ние проверяваме коректността на дефинициите на тези операции, а именно дали резултатите не зависят от избора на елементи аИ b, определяйки двойката [ а, б]. Това се прави по същия начин, както при доказателството на теорема 3.2.1.

Ролята на нула се играе от двойката. Нека го обозначим с 0 . Наистина ли,

[а, б] + 0 = [а, б] + = [а × 1+0× b, b× 1] = [а, б].

Срещу [ а, б] е двойката –[ а, б] = [–а, б]. Наистина ли,

[а, б] + [–а, б]= [ab – ab, bb] = = 0 .

Единицата е двойката = 1 . Обратно на двойката [ а, б] - чифт [ б, а].

Сега нека проверим аксиомите за разширение. Да установим кореспонденция
f: З ® Qспоред правилото

f(н) = [н, 1].

Проверяваме дали това е кореспонденция едно към едно между Зи някои подмножества Q, което означаваме с Z*. Освен това проверяваме дали запазва операциите, което означава, че установява изоморфизъм между Зи под халката Z* V Q. Това означава, че аксиомите за разширение са проверени.

Нека обозначим двойката [ н, 1] от Z*, съответстващ на естествено число н, през н . Тогава за произволна двойка [ а, б] ние имаме

[а, б] = [а, 1] × = [ а, 1] / [б, 1] = а /b .

Това оправдава идеята за чифт [ а, б] като частно от цели числа. Същевременно се установи, че всеки елемент от изградената съвкупност Qе представено като частно от две цели числа. Това ще помогне да се провери аксиомата за минималност. Проверката се извършва както в теорема 3.2.1.

Така за изградената система Qвсички аксиоми на теорията на целите числа са изпълнени, тоест изградихме модел на тази теория. Теоремата е доказана.

Теорема 4.Аксиоматичната теория на рационалните числа е категорична.

Доказателството е подобно на доказателството на теорема 3.2.2.

Теорема 5.Архимедово подредено поле е разширение на полето от рационални числа.

Доказателството е упражнение.

Теорема 6.Позволявам Е– Архимедово подредено поле, а > б,Където а, бÎ Е. Има рационално число Î Етакова, че а > > b.

Доказателство. Позволявам а > b³ 0. Тогава а–б> 0 и ( а–б) –1 > 0. Има естествено Tтакова, че м×1 > ( а–б) –1 , от където м –1 < а–б £ А. Освен това има естествено ктакова, че к× м–1³ а. Позволявам ке най-малкото число, за което е валидно това неравенство. защото к> 1, тогава можем да поставим k = n + 1, н Î н. При което
(н+ 1) × м–1³ а, н× м –1 < а. Ако н× м– 1 £ b, Че а = b + (а–б) > б+м–1³ н× м –1 + м –1 =
= (н+ 1) × м-1 . Противоречие. означава, а >н× м –1 > b.

Упражнения

4. Докажете, че всяко поле, което включва пръстена от цели числа, включва и полето от рационални числа.

5. Докажете, че всяко минимално подредено поле е изоморфно на полето от рационални числа.

Реални числа

В училищния курс по математика реалните числа бяха дефинирани по конструктивен начин, въз основа на необходимостта от извършване на измервания. Това определение не беше строго и често водеше изследователите до задънена улица. Например въпросът за непрекъснатостта на реалните числа, тоест има ли празнини в това множество. Следователно, когато се провеждат математически изследвания, е необходимо да има стриктна дефиниция на изучаваните понятия, поне в рамките на някои интуитивни предположения (аксиоми), които са в съответствие с практиката.

Определение: набор от елементи x, y, z, …, състояща се от повече от един елемент,наречен набор Рреални числа, ако за тези обекти са установени следните операции и отношения:

I група аксиоми– аксиоми на операцията събиране.

В изобилие Рбеше въведена операцията за добавяне, тоест за всяка двойка елементи аИ b количествои определени а + b
аз 1. а+b=b+а, а, б Р .

аз 2. а+(b+c)=(a+b)+° С,а, b, ° С Р .

I 3. Има такъв елемент т.нар нулаи се означава с 0, което за всяка а Р условието е изпълнено а+0=а.

аз 4. За всеки елемент а Р има елемент, наречен противоположности се обозначава с - а, за което а+(-а)=0. елемент а+(-b), а, b Р , Наречен разликаелементи аИ bи е обозначен а - b.

II – група аксиоми - аксиоми на операцията умножение. В изобилие Рвъведена операция умножение, тоест за всяка двойка елементи аИ bдефиниран е един елемент, наречен тях работаи определени а б, така че да са изпълнени следните условия:
II 1. аб=ба, а, b Р .

II 2 а(пр.н.е)=(аб)° С, а, b, ° С Р .

II 3. Има елемент, наречен мерна единицаи се означава с 1, което за всяка а Р условието е изпълнено а 1=а.

II 4. За всеки а 0 има елемент, наречен го обратени се обозначава с или 1/ а, за което а=1. елемент а , b 0, наречено частенот разделяне аНа bи е обозначен а:bили или а/b.

II 5. Връзка между операции събиране и умножение: за всяка а, b, ° С Р условието е изпълнено ( ac + b)c=ac+bc.

Колекция от обекти, която удовлетворява аксиомите от групи I и II, се нарича числово поле или просто поле. А съответните аксиоми се наричат ​​аксиоми на полето.

III – третата група аксиоми – аксиоми на реда.За елементи Ропределена е връзката на поръчката. Тя е следната. За всеки два различни елемента аИ bважи една от двете връзки: или а b(чете се " апо-малко или равно b"), или а b(чете се " аповече или равно b"). Предполага се, че са изпълнени следните условия:

III 1. а аза всеки а.от а б, бТрябва а=б.

III 2. Преходност. Ако а bИ b ° С, Че а° С.

III 3. Ако а b, след това за всеки елемент ° Свъзниква а+° С b+° С.

III 4. Ако а 0, б 0, Че аб 0 .

IV група аксиоми се състои от една аксиома - аксиомата за непрекъснатостта.За всякакви непразни множества хИ Yот Ртака че за всяка двойка елементи х хИ г Yнеравенството е в сила х < г, има елемент а Р, отговарящи на условието

х < а < г, х х, г Y(фиг. 2). Изброените свойства напълно определят множеството от реални числа в смисъл, че всички други негови свойства следват от тези свойства. Тази дефиниция дефинира еднозначно набора от реални числа до специфичния характер на неговите елементи. Предупреждението, че наборът съдържа повече от един елемент, е необходим, тъй като набор, състоящ се само от нула, очевидно удовлетворява всички аксиоми. По-нататък ще наричаме елементите на множеството R числа.

Нека сега дефинираме познатите понятия за естествени, рационални и ирационални числа. Наричат ​​се числата 1, 2 1+1, 3 2+1, ... естествени числа, а тяхното множество е означено н . От дефиницията на множеството от естествени числа следва, че то има следното характерно свойство: Ако

1) А н ,

3) за всеки елемент x A включването x+ 1 А, тогава=н .

Действително, съгласно условие 2) имаме 1 А, следователно, по свойство 3) и 2 А, а след това според същото свойство получаваме 3 А. Тъй като всяко естествено число нсе получава от 1 чрез последователно добавяне на същото 1 към него, тогава н А, т.е. н А, и тъй като по условие 1 включването А н , Че А=н .

Принципът на доказателство се основава на това свойство на естествените числа чрез математическа индукция. Ако има много твърдения, на всяко от които е присвоено естествено число (негов номер) н=1, 2, ..., и ако се докаже, че:

1) твърдение номер 1 е вярно;

2) от валидността на твърдението с произволно число н н следва валидността на твърдението с номер н+1;

тогава по този начин се доказва валидността на всички твърдения, т.е. всяко твърдение с произволно число н н .

Числа 0, + 1, + 2, ... се нарича цели числа, тяхното множество е означено З .

Числа на формуляра м/н, Където мИ нцяло и н 0, се наричат рационални числа. Множеството от всички рационални числа се означава с Q .

Наричат ​​се реални числа, които не са рационални ирационален, тяхното множество е означено аз .

Възниква въпросът, че може би рационалните числа изчерпват всички елементи на множеството R?Отговорът на този въпрос се дава от аксиомата за непрекъснатостта. Всъщност тази аксиома не е валидна за рационални числа. Например, разгледайте два комплекта:

Лесно се вижда, че за всякакви елементи и неравенството . въпреки това рационаленняма число, разделящо тези две групи. Всъщност това число може да бъде само , но не е рационално. Този факт показва, че в множеството има ирационални числа Р.

В допълнение към четирите аритметични операции с числа, можете да извършвате операциите степенуване и извличане на корен. За произволен номер а Р и естествено нстепен a nсе определя като продукт нфактори равни а:

А-приорат а 0 1, а>0, а- n 1/ ан, а 0, н- естествено число.

Пример.Неравенството на Бернули: ( 1+x)n> 1+nxДокажете по индукция.

Позволявам а>0, н- естествено число. Номер bНаречен корен nта степен измежду а, Ако b n =a. В случая е написано. Наличие и уникалност на положителен корен от произволна степен нот всяко положително число ще бъде доказано по-долу в раздел 7.3.
дори корен, а 0 има две значения: ако b = , к н , тогава -б= . Наистина от b 2k = аследва това

(-б)2k = ((-б) 2 )к = (б 2)к = b 2k

Неотрицателна стойност се нарича негова аритметична стойност.
Ако r = p/q, Където стрИ рцяло, р 0, т.е. rе рационално число, тогава за а > 0

По този начин степента a rопределени за всяко рационално число r. От определението му следва, че за всяко рационално rима равенство

a -r = 1/a r.

Степен a x(номер хНаречен експонент) за всяко реално число хсе получава чрез непрекъснато размножаване на степента с рационален показател (вижте раздел 8.2 за повече информация). За произволен номер а Р неотрицателно число

нарича се абсолютна стойностили модул. За абсолютни стойности на числата са валидни следните неравенства:

|а + b| < |а| + |b|,
||а - b|| < |а - b|, а, b Р

Те се доказват с помощта на свойства I-IV на реалните числа.

Ролята на аксиомата за непрекъснатост в изграждането на математическия анализ

Значението на аксиомата за непрекъснатост е такова, че без нея е невъзможна строга конструкция на математическия анализ. [ източникът не е посочен 1351 дни] За да илюстрираме, представяме няколко фундаментални твърдения на анализа, чието доказателство се основава на непрекъснатостта на реалните числа:

· (теорема на Вайерщрас).Всяка ограничена монотонно нарастваща последователност се събира

· (теорема на Болцано-Коши).Функция, непрекъсната на сегмент, приемаща стойности на различни знаци в краищата си, изчезва в някаква вътрешна точка на сегмента

· (Съществуването на степенни, експоненциални, логаритмични и всички тригонометрични функции в цялата „естествена“ област на дефиниция).Например, доказано е, че за всички и цялото съществува , тоест решение на уравнението. Това ви позволява да определите стойността на израза за всички рационални числа:

И накрая, отново благодарение на непрекъснатостта на числовата линия, е възможно да се определи стойността на израза за произволен. По същия начин, като се използва свойството за непрекъснатост, съществуването на число се доказва за всяко .

В продължение на дълъг исторически период от време математиците са доказвали теореми от анализи, на „тънки места” като се позовават на геометрична обосновка, а по-често – напълно ги прескачат, защото е очевидно. Изключително важната концепция за приемственост беше използвана без ясна дефиниция. Едва през последната третина на 19 век немският математик Карл Вайерщрас аритметизира анализа, изграждайки първата строга теория за реалните числа като безкрайни десетични дроби. Той предложи класическата дефиниция на граница в езика, доказа редица твърдения, които са били считани за „очевидни“ преди него, и по този начин завърши изграждането на основата на математическия анализ.

По-късно бяха предложени други подходи за определяне на реално число. При аксиоматичния подход непрекъснатостта на реалните числа е изрично подчертана като отделна аксиома. В конструктивните подходи към теорията на реалните числа, например, когато се конструират реални числа с помощта на секции на Дедекинд, свойството на непрекъснатост (в една или друга форма) се доказва като теорема.

Други формулировки на свойството непрекъснатост и еквивалентни изречения[редактиране | редактиране на wiki текст]

Има няколко различни твърдения, изразяващи свойството непрекъснатост на реалните числа. Всеки от тези принципи може да се използва като основа за изграждане на теорията за реалното число като аксиома за непрекъснатост, а всички останали могат да бъдат изведени от него. Този въпрос е разгледан по-подробно в следващия раздел.

Приемственост според Дедекинд[редактиране | редактиране на wiki текст]

Основна статия:Теория на разрезите в областта на рационалните числа

Дедекинд разглежда въпроса за непрекъснатостта на реалните числа в работата си „Непрекъснатост и ирационални числа“. В него той сравнява рационални числа с точки на права линия. Както е известно, може да се установи съответствие между рационални числа и точки на права, когато се изберат началната точка и мерната единица на отсечките на правата. Използвайки последното, можете да конструирате съответен сегмент за всяко рационално число и като го отместите отдясно или отляво, в зависимост от това дали има положително или отрицателно число, можете да получите точка, съответстваща на числото. Така на всяко рационално число съответства една и само една точка на правата.

Оказва се, че на правата има безкрайно много точки, които не отговарят на нито едно рационално число. Например точка, получена чрез нанасяне на дължината на диагонала на квадрат, построен върху единичен сегмент. Така областта на рационалните числа няма това завършеност, или непрекъснатост, което е присъщо на правата линия.

За да разбере в какво се състои тази приемственост, Дедекинд прави следната забележка. Ако има определена точка на линия, тогава всички точки на линията попадат в два класа: точки, разположени отляво, и точки, разположени отдясно. Самата точка може произволно да бъде причислена към по-нисък или по-висок клас. Дедекинд вижда същността на приемствеността в обратния принцип:

Геометрично този принцип изглежда очевиден, но не можем да го докажем. Дедекинд подчертава, че по същество този принцип е постулат, който изразява същността на това свойство, приписвано на прякото, което наричаме приемственост.

За да разберете по-добре същността на непрекъснатостта на числовата линия по смисъла на Дедекинд, разгледайте произволен участък от множеството от реални числа, тоест разделянето на всички реални числа на два непразни класа, така че всички числа от един клас лежат на числовата ос отляво на всички числа от втория. Тези класове са именувани съответно нисъкИ висши класовесекции. На теория има 4 възможности:

1. Долният клас има максимален елемент, горният клас няма минимум

2. Долният клас няма максимален елемент, но горният има минимален

3. Долният клас има максимум, а горният клас има минимум елементи

4. Няма максимален елемент в долния клас, нито минимален елемент в горния клас

В първия и втория случай максималният елемент на дъното или съответно минималният елемент на горната част произвежда този участък. В третия случай имаме скок, а в четвъртата - пространство. По този начин непрекъснатостта на числовата линия означава, че в множеството от реални числа няма скокове или празнини, тоест, образно казано, няма празнини.

Ако въведем концепцията за част от набор от реални числа, тогава принципът на Дедекинд за непрекъснатост може да бъде формулиран по следния начин.

Принципът на Дедекинд за непрекъснатост (пълнота). За всяка секция от набора от реални числа има число, което произвежда тази секция.

Коментирайте. Формулировката на аксиомата за непрекъснатост за съществуването на точка, разделяща две множества, много напомня на формулировката на принципа за непрекъснатост на Дедекинд. В действителност тези твърдения са еквивалентни и по същество са различни формулировки на едно и също нещо. Следователно и двете от тези твърдения се наричат Принципът на Дедекинд за непрекъснатост на реалните числа.

Лема за вложени сегменти (принцип на Коши-Кантор)[редактиране | редактиране на wiki текст]

Основна статия:Лема за вложени сегменти

Лема за вложени сегменти (Коши – Кантор). Всяка система от вложени сегменти

има непразно пресичане, тоест има поне едно число, което принадлежи на всички сегменти на дадена система.

Ако освен това дължината на сегментите на дадена система клони към нула, т.е

тогава пресечната точка на сегментите на тази система се състои от една точка.

Това свойство се нарича непрекъснатост на множеството от реални числа по смисъла на Кантор. По-долу ще покажем, че за архимедовите подредени полета непрекъснатостта според Кантор е еквивалентна на непрекъснатостта според Дедекинд.

Върховният принцип[редактиране | редактиране на wiki текст]

Върховният принцип. Всяко непразно множество от реални числа, ограничено отгоре, има супремум.

В курсовете по смятане това твърдение обикновено е теорема и нейното доказателство по същество използва непрекъснатостта на набора от реални числа под някаква форма. В същото време може, напротив, да се постулира съществуването на супремум за всяко непразно множество, ограничено отгоре, и разчитайки на това, за да се докаже, например, принципът на непрекъснатост според Дедекинд. По този начин теоремата за супремума е една от еквивалентните формулировки на свойството за непрекъснатост на реалните числа.

Коментирайте. Вместо супремум може да се използва двойната концепция за инфимум.

Принципът на инфимума. Всяко непразно множество от реални числа, ограничено отдолу, има инфимум.

Това предложение също е еквивалентно на принципа на приемственост на Дедекинд. Нещо повече, може да се покаже, че твърдението на теоремата за супремума директно следва от твърдението на теоремата за инфимума и обратно (виж по-долу).

Лема за крайно покриване (принцип на Хайне-Борел)[редактиране | редактиране на wiki текст]

Основна статия:Лема на Хайне-Борел

Лема за крайно покритие (Хайне - Борел). Във всяка система от интервали, покриващи сегмент, има крайна подсистема, покриваща този сегмент.

Лема за граничната точка (принцип на Болцано-Вайерщрас)[редактиране | редактиране на wiki текст]

Основна статия:Теорема на Болцано-Вайерщрас

Лема за гранична точка (Болцано - Вайерщрас). Всеки безкраен ограничен набор от числа има поне една гранична точка.

Еквивалентност на изречения, изразяващи непрекъснатостта на множеството от реални числа[редактиране | редактиране на wiki текст]

Нека направим някои предварителни бележки. Според аксиоматичното определение на реално число, множеството от реални числа удовлетворява три групи аксиоми. Първата група са аксиоми на полето. Втората група изразява факта, че множеството от реални числа е линейно подредено множество и връзката на реда е в съответствие с основните операции на полето. Така първата и втората група аксиоми означават, че наборът от реални числа представлява подредено поле. Третата група аксиоми се състои от една аксиома - аксиомата за непрекъснатост (или пълнота).

За да се покаже еквивалентността на различни формулировки на непрекъснатостта на реалните числа, е необходимо да се докаже, че ако едно от тези твърдения е валидно за подредено поле, тогава валидността на всички останали следва от това.

Теорема. Нека е произволно линейно подредено множество. Следните твърдения са еквивалентни:

1. Каквито и непразни множества и такива, че за всеки два елемента и неравенството е в сила, съществува елемент, такъв че за всички и отношението е в сила

2. За всяка секция в има елемент, произвеждащ тази секция

3. Всяко непразно ограничено отгоре множество има супремум

4. Всяко ограничено отдолу непразно множество има инфимум

Както може да се види от тази теорема, тези четири изречения използват само факта, че е въведена връзката на линейния ред, а не използват структурата на полето. По този начин всеки от тях изразява свойството да бъде линейно подредено множество. Това свойство (на произволно линейно подредено множество, не непременно множеството от реални числа) се нарича непрекъснатост, или пълнота, според Дедекинд.

Доказването на еквивалентността на други изречения вече изисква наличието на полева структура.

Теорема. Нека е произволно подредено поле. Следните изречения са еквивалентни:

1. (като линейно подреден набор) е Дедекинд завършен

2. Да изпълни принципа на АрхимедИ принцип на вложени сегменти

3. Защото принципът на Хайне-Борел е изпълнен

4. Принципът на Болцано-Вайерщрас е изпълнен

Коментирайте. Както се вижда от теоремата, самият принцип на вложените сегменти не е еквивалентенПринцип на приемственост на Дедекинд. От принципа на Дедекинд за непрекъснатост следва принципът на вложените сегменти, но за обратното е необходимо допълнително да се изисква подреденото поле да удовлетворява аксиомата на Архимед

Доказателството на горните теореми може да се намери в книгите от референтния списък по-долу.

· Кудрявцев, Л. Д.Курс по математически анализ. - 5-то изд. - М.: "Дрофа", 2003. - Т. 1. - 704 с. - ISBN 5-7107-4119-1.

· Фихтенголц, Г. М.Основи на математическия анализ. - 7-мо изд. - М.: "ФИЗМАТЛИТ", 2002. - Т. 1. - 416 с. - ISBN 5-9221-0196-X.

· Дедекинд, Р.Непрекъснатост и ирационални числа = Stetigkeit und irrationale Zahlen. - 4-то преработено издание. - Одеса: Матезис, 1923. - 44 с.

· Зорич, В.А.Математически анализ. Част I. - Изд. 4-ти, коригиран М.: "MCNMO", 2002. - 657 с. - ISBN 5-94057-056-9.

· Непрекъснатост на функциите и числови области: Б. Болцано, Л. О. Коши, Р. Дедекинд, Г. Кантор. - 3-то изд. - Новосибирск: ANT, 2005. - 64 с.

4.5. Аксиома за непрекъснатост

Каквито и да са двете непразни множества от реални числа A и

B , за което за всякакви елементи a ∈ A и b ∈ B неравенството

a ≤ b, съществува число λ такова, че за всички a ∈ A, b ∈ B е валидно следното:

равенство a ≤ λ ≤ b.

Свойството за непрекъснатост на реалните числа означава, че върху реални

няма „кухини“ в линията на вената, т.е. точките, представляващи числа, се запълват

цялата реална ос.

Нека дадем друга формулировка на аксиомата за непрекъснатост. За да направите това, ние въвеждаме

Определение 1.4.5. Две множества A и B ще наричаме сечение

набор от реални числа, ако

1) множествата A и B не са празни;

2) обединението на множества A и B съставлява множеството на всички реални

числа;

3) всяко число в множество A е по-малко от число в множество B.

Тоест всяко множество, образуващо секция, съдържа поне една

елемент, тези множества не съдържат общи елементи и ако a ∈ A и b ∈ B, тогава

Ще наречем множество A по-нисък клас, а множество B по-висок клас.

раздел клас. Отсечката ще обозначим с A B.

Най-простите примери за секции са секциите, получени по-долу

разпенващ начин. Нека вземем някакво число α и го поставим

A = ( x x< α } , B = { x x ≥ α } . Легко видеть, что эти множества не пусты, не пере-

се разрязват и ако a ∈ A и b ∈ B, тогава a< b , поэтому множества A и B образуют

раздел. По същия начин можете да формирате раздел по набори

A =(x x ≤ α), B =(x x > α) .

Такива сечения ще наричаме сечения, генерирани от числото α или

ще кажем, че числото α произвежда този участък. Това може да се запише като

Секциите, генерирани от произволен номер, имат две интересни

Имоти:

Свойство 1. Или горният клас съдържа най-малкото число, а долният

класът няма най-голямото число или по-ниският клас съдържа най-голямото число

ето, и в горния клас няма най-малко.

Свойство 2. Числото, генериращо дадено сечение, е уникално.

Оказва се, че формулираната по-горе аксиома за непрекъснатост е еквивалентна на

е в съответствие с твърдението, наречено принцип на Дедекинд:

Принципът на Дедекинд. За всяка секция има генериране на число

това е раздел.

Нека докажем еквивалентността на тези твърдения.

Нека аксиомата за непрекъснатост е вярна и някои се-

четене A B. Тогава, тъй като класове A и B отговарят на условията, формулата

посочено в аксиомата, има число λ такова, че a ≤ λ ≤ b за всякакви числа

a ∈ A и b ∈ B. Но числото λ трябва да принадлежи на един и само един от

класове A или B, следователно ще бъде изпълнено едно от неравенствата a ≤ λ< b или

а< λ ≤ b . Таким образом, число λ либо является наибольшим в нижнем классе,

или най-малкият в горния клас и генерира този раздел.

Обратно, нека принципът на Дедекинд е изпълнен и две непразни

множества A и B такива, че за всички a ∈ A и b ∈ B неравенството

a ≤ b. Нека означим с B множеството от числа b, така че a ≤ b за всяко

b ∈ B и всички a ∈ A. Тогава B ⊂ B. За множество A вземаме множеството от всички числа

села, които не са включени в Б.

Нека докажем, че множествата A и B образуват сечение.

Наистина, очевидно е, че множеството B не е празно, тъй като съдържа

непразно множество B. Множеството A също не е празно, тъй като ако число a ∈ A,

тогава числото a − 1∉ B, тъй като всяко число, включено в B, трябва да бъде поне

числата a, следователно a − 1∈ A.

множеството от всички реални числа, поради избора на множества.

И накрая, ако a ∈ A и b ∈ B, тогава a ≤ b. Наистина, ако има такива

числото c ще удовлетворява неравенството c > b, където b ∈ B, тогава неправилното

равенство c > a (a е произволен елемент от множеството A) и c ∈ B.

И така, A и B образуват секция и по силата на принципа на Дедекинд има число

lo λ, генериращ този раздел, тоест, който е или най-големият в класа

Нека докажем, че това число не може да принадлежи към клас А. Валиден

но ако λ ∈ A, тогава има число a* ∈ A такова, че λ< a* . Тогда существует

числото a′, разположено между числата λ и a*. От неравенството a′< a* следует, что

a′ ∈ A, то от неравенството λ< a′ следует, что λ не является наибольшим в

клас А, което противоречи на принципа на Дедекинд. Следователно числото λ ще бъде

е най-малкото в клас B и за всички a ∈ A и неравенството ще бъде в сила

a ≤ λ ≤ b , което е необходимо да се докаже.◄

По този начин, свойството, формулирано в аксиомата и свойството

формулирани в принципа на Дедекинд са еквивалентни. В бъдеще тези

свойства на множеството от реални числа ще наричаме непрекъснатост

според Дедекинд.

От непрекъснатостта на множеството от реални числа според Дедекинд следва

две важни теореми.

Теорема 1.4.3. (Принцип на Архимед) Каквото и да е реалното число

a, съществува естествено число n такова, че a< n .

Да приемем, че твърдението на теоремата е невярно, тоест има такова

някакво число b0 такова, че неравенството n ≤ b0 е в сила за всички естествени числа

н. Нека разделим множеството от реални числа на два класа: в клас B включваме

всички числа b, които удовлетворяват неравенството n ≤ b за всяко естествено n.

Този клас не е празен, защото съдържа числото b0. Ще поставим всичко в клас А

останалите числа. Този клас също не е празен, тъй като всяко естествено число

включен в А. Класове A и B не се пресичат и тяхното обединение е

множеството от всички реални числа.

Ако вземем произволни числа a ∈ A и b ∈ B, тогава има естествено число

число n0 такова, че a< n0 ≤ b , откуда следует, что a < b . Следовательно, классы

A и B отговарят на принципа на Дедекинд и има число α, което

генерира сечение A B, тоест α е или най-голямото в клас A, или

или най-малкият в клас B. Ако приемем, че α е в клас A, тогава

може да се намери естествено число n1, за което неравенството α< n1 .

Тъй като n1 също е включено в A, числото α няма да бъде най-голямото в този клас,

следователно нашето предположение е неправилно и α е най-малкото в

клас Б.

От друга страна, вземете числото α − 1, което е включено в клас A. Следова-

Следователно съществува естествено число n2 такова, че α − 1< n2 , откуда получим

α < n2 + 1 . Так как n2 + 1 - натуральное число, то из последнего неравенства

следва, че α ∈ A. Полученото противоречие доказва теоремата.◄

Последица. Каквито и числа a и b да са такива, че 0< a < b , существует

естествено число n, за което е в сила неравенството na > b.

За да го докажем, е достатъчно да приложим принципа на Архимед към числото

и използвайте свойството на неравенствата.◄

Следствието има просто геометрично значение: независимо от двете

сегмент, ако е на по-големия от тях, от единия му край последователно

поставете по-малката, след това в краен брой стъпки можете да отидете отвъд

по-голям сегмент.

Пример 1. Докажете, че за всяко неотрицателно число a съществува

единственото неотрицателно реално число t такова, че

t n = a, n ∈ , n ≥ 2.

Тази теорема за съществуването на аритметичен корен от n-та степен

от неотрицателно число в училищен курс по алгебра се приема без доказателство

дела.

☺Ако a = 0, тогава x = 0, така че доказателството за съществуването на аритметика

Истинският корен на a се изисква само за a > 0.

Нека приемем, че a > 0 и разделим множеството от всички реални числа

за два класа. В клас B включваме всички положителни числа x, които удовлетворяват

създайте неравенството x n > a, в клас A, всички останали.

Според аксиомата на Архимед съществуват такива естествени числа k и m, че

< a < k . Тогда k 2 ≥ k >а и 2 ≤< a , т.е. оба класса непусты, причем класс

А съдържа положителни числа.

Очевидно A ∪ B = и ако x1 ∈ A и x2 ∈ B, тогава x1< x2 .

По този начин класовете A и B образуват напречно сечение. Числото, което съставлява това

раздел, означен с t. Тогава t е или най-голямото число в класа

ce A или най-малкият в клас B.

Да приемем, че t ∈ A и t n< a . Возьмем число h , удовлетворяющее нера-

суверенитет 0< h < 1 . Тогда

(t + h)n = t n + Cnt n−1h + Cn t n−2h2 + ... + Cnn hn< t n + Cnt n−1h + Cn t n−2h + ... + Cn h =

T n + h (Cnt n−1 + Cn t n−2 + ... + Cn + Cn t n) − hCn t n = t n + h (t + 1) − ht n =

T n + h (t + 1) − t n

Тогава получаваме (t + h)< a . Это означает,

Следователно, ако вземем h<

че t + h ∈ A, което противоречи на факта, че t е най-големият елемент в клас A.

По същия начин, ако приемем, че t е най-малкият елемент от клас B,

след това, като вземем число h, което отговаря на неравенствата 0< h < 1 и h < ,

получаваме (t − h) = t n − Cnt n−1h + Cn t n−2 h 2 − ... + (−1) Cn h n >

> t n − Cnt n−1h + Cn t n−2h + ... + Cn h = t n − h (t + 1) − t n > a .

Това означава, че t − h ∈ B и t не може да бъде най-малкият елемент

клас Б. Следователно t n = a.

Уникалността следва от факта, че ако t1< t2 , то t1n < t2 .☻ n

Пример 2. Докажете, че ако a< b , то всегда найдется рациональное число r

такъв, че a< r < b .

☺Ако числата a и b са рационални, то числото е рационално и задоволително

отговаря на необходимите условия. Да приемем, че поне едно от числата a или b

ирационално, например, да кажем, че числото b е ирационално. Предполага се

Приемаме също, че a ≥ 0, тогава b > 0. Нека запишем представянията на числата a и b във формата

десетични дроби: a = α 0,α1α 2α 3.... и b = β 0, β1β 2 β3..., където втората дроб е безкрайна

периодични и непериодични. Що се отнася до представянето на числото a, ще разгледаме

Трябва да се отбележи, че ако число a е рационално, тогава записът му е или краен, или не е

периодична дроб, чийто период не е равен на 9.

Тъй като b > a, тогава β 0 ≥ α 0; ако β 0 = α 0, тогава β1 ≥ α1; ако β1 = α1, тогава β 2 ≥ α 2

и т.н. и има стойност на i, при която за първи път ще има

е изпълнено строгото неравенство βi > α i. Тогава числото β 0, β1β 2 ...βi ще бъде рационално

nal и ще лежи между числата a и b.

Ако< 0 , то приведенное рассуждение надо применить к числам a + n и

b + n, където n е естествено число, така че n ≥ a. Съществуването на такъв номер

следва от аксиомата на Архимед. ☻

Определение 1.4.6. Нека е дадена последователност от сегменти на числовата права

([ an ; bn ]), an< bn . Эту последовательность будем называть системой вло-

от отсечки, ако за всяко n са изпълнени неравенствата an ≤ an+1 и

За такава система се правят включвания

[a1; b1 ] ⊃ [ a2 ; b2] ⊃ [a3; b3 ] ⊃ ... ⊃ [ an ; bn ] ⊃ ... ,

всеки следващ сегмент се съдържа в предходния.

Теорема 1.4.4. За всяка система от вложени сегменти има

поне една точка, която е включена във всеки от тези сегменти.

Нека вземем две групи A = (an) и B = (bn). Те не са празни и за никакви

n и m неравенството an< bm . Докажем это.

Ако n ≥ m, тогава an< bn ≤ bm . Если n < m , то an ≤ am < bm .

По този начин класовете A и B отговарят на аксиомата за непрекъснатост и,

следователно има число λ такова, че an ≤ λ ≤ bn за всяко n, т.е. Това

числото принадлежи на произволен сегмент [ an ; bn ] .◄

По-нататък (теорема 2.1.8) ще прецизираме тази теорема.

Твърдението, формулирано в теорема 1.4.4, се нарича принцип

Кантор и множество, което отговаря на това условие, ще се нарича не-

прекъснат според Кантор.

Доказахме, че ако едно подредено множество е Dede-непрекъснато

kindu, тогава в него е изпълнен принципът на Архимед и той е непрекъснат според Кантор.

Може да се докаже, че подредено множество, в което са изпълнени принципите

cipes на Архимед и Кантор, ще бъдат непрекъснати според Дедекинд. Доказателство

Този факт се съдържа например в.

Принципът на Архимед позволява на всеки сегмент да сравнява не-

което е единственото положително число, което отговаря на условията:

1. равни сегменти съответстват на равни числа;

2. Ако точката B от отсечката AC и отсечките AB и BC съответстват на числата a и

b, тогава сегментът AC съответства на числото a + b;

3. Числото 1 съответства на определен сегмент.

Числото, съответстващо на всеки сегмент и отговарящо на условията 1-3 на-

се нарича дължина на този сегмент.

Принципът на Кантор ни позволява да докажем това за всяко положително

число, можете да намерите сегмент, чиято дължина е равна на това число. По този начин,

между множеството от положителни реални числа и множеството от сегменти

ков, които се отлагат от определена точка на права линия по дадена страна

от тази точка може да се установи едно-към-едно съответствие.

Това ни позволява да дефинираме числената ос и да въведем съответствие между

Чакам реални числа и точки на линия. За да направите това, нека вземем малко

първа линия и изберете точка O върху нея, която ще раздели тази линия на две

лъч. Ще наречем единия от тези лъчи положителен, а втория – отрицателен.

наз. Тогава ще кажем, че сме избрали посоката на тази права.

Определение 1.4.7. Ще наречем числова ос правата линия, върху която

а) точка O, наречена начало или начало на координатите;

б) посока;

в) отсечка с единична дължина.

Сега за всяко реално число a свързваме точка M с число

вой направо, така че

а) числото 0 съответства на началото на координатите;

b) OM = a - дължината на отсечката от началото до точка M е равна на

модулно число;

в) ако a е положително, тогава точката се взема на положителния лъч и, ако

Ако е отрицателен, значи е отрицателен.

Това правило установява съответствие едно към едно между

набор от реални числа и набор от точки на права.

Числовата права (ос) ще наричаме още реална права

Това също предполага геометричния смисъл на модула на реално число.

la: модулът на числото е равен на разстоянието от началото до изобразената точка

натискайки това число на числовата ос.

Сега можем да дадем геометрична интерпретация на свойства 6 и 7

модул на реално число. За положително C на числото x, аз удовлетворявам

отговарящи на свойство 6, запълват интервала (−C, C) и числата x удовлетворяват

свойство 7, лежат върху лъчите (−∞,C) или (C, +∞).

Нека отбележим още едно забележително геометрично свойство на модула на материята:

реално число.

Модулът на разликата между две числа е равен на разстоянието между точките, съответстващи на

съответстващи на тези числа на реалната ос.

много стандартни числови набори.

Набор от естествени числа;

Набор от цели числа;

Набор от рационални числа;

Набор от реални числа;

Набори, съответно, от цели числа, рационални и реални

реални неотрицателни числа;

Набор от комплексни числа.

В допълнение, наборът от реални числа се означава като (−∞, +∞) .

Подгрупи на този набор:

(a, b) = ( x | x ∈ R, a< x < b} - интервал;

[ a, b] = ( x | x ∈ R, a ≤ x ≤ b) - сегмент;

(a, b] = ( x | x ∈ R, a< x ≤ b} или [ a, b) = { x | x ∈ R, a ≤ x < b} - полуинтерва-

ly или полусегменти;

(a, +∞) = ( x | x ∈ R, a< x} или (−∞, b) = { x | x ∈ R, x < b} - открытые лучи;

[ a, +∞) = ( x | x ∈ R, a ≤ x) или (−∞, b] = ( x | x ∈ R, x ≤ b) - затворени лъчи.

И накрая, понякога ще имаме нужда от пропуски, в които няма да ни е грижа

дали краищата му принадлежат на този интервал или не. Ще имаме такъв период

означават a, b.

§ 5 Ограниченост на числовите множества

Определение 1.5.1. Числово множество X се нарича ограничено

отгоре, ако има число M такова, че x ≤ M за всеки елемент x от

задайте X.

Определение 1.5.2. Числово множество X се нарича ограничено

по-долу, ако има число m такова, че x ≥ m за всеки елемент x от

задайте X.

Определение 1.5.3. Числово множество X се нарича ограничено,

ако е ограничена отгоре и отдолу.

В символна нотация тези дефиниции биха изглеждали така:

множество X е ограничено отгоре, ако ∃M ∀x ∈ X: x ≤ M,

е ограничено отдолу, ако ∃m ∀x ∈ X: x ≥ m и

е ограничено, ако ∃m, M ∀x ∈ X: m ≤ x ≤ M .

Теорема 1.5.1. Набор от числа X е ограничен тогава и само ако

когато има число C такова, че за всички елементи x от това множество

Тогава неравенството x ≤ C е в сила.

Нека множеството X е ограничено. Нека поставим C = max (m, M) - най-много

по-голямото от числата m и M. След това, използвайки свойствата на модула reals

числа, получаваме неравенствата x ≤ M ≤ M ≤ C и x ≥ m ≥ − m ≥ −C , от което следва

Вярно е, че x ≤ C.

Обратно, ако неравенството x ≤ C е изпълнено, тогава −C ≤ x ≤ C. Това е трите-

очаквано, ако поставим M = C и m = −C .◄

Числото M, което ограничава множеството X отгоре, се нарича горно

граница на множеството. Ако M е горната граница на множество X, тогава всяко

число M ′, което е по-голямо от M, също ще бъде горната граница на този набор.

По този начин можем да говорим за набор от горни граници за набора

Х. Нека обозначим множеството от горни граници с M. Тогава ∀x ∈ X и ∀M ∈ M

ще бъде изпълнено неравенството x ≤ M, следователно, съгласно аксиомата,

Съществува число M 0 такова, че x ≤ M 0 ≤ M . Това число се нарича точно

няма горна граница на числово множество X или горната граница на това

множество или супремум на множество X и се означава с M 0 = sup X .

Така доказахме, че всеки непразен набор от числа,

bounded above винаги има точна горна граница.

Очевидно е, че равенството M 0 = sup X е еквивалентно на две условия:

1) ∀x ∈ X е изпълнено неравенството x ≤ M 0, т.е. M 0 - горна граница на кратността

2) ∀ε > 0 ∃xε ∈ X, така че неравенството xε > M 0 − ε е в сила, т.е. тази игра

Цената не може да бъде подобрена (намалена).

Пример 1. Да разгледаме множеството X = ⎨1 − ⎬ . Нека докажем, че sup X = 1.

☺Наистина, първо, неравенство 1 −< 1 выполняется для любого

n ∈ ; второ, ако вземем произволно положително число ε, тогава чрез

Използвайки принципа на Архимед, може да се намери естествено число nε такова, че nε > . Че-

където е изпълнено неравенството 1 − > 1 − ε, т.е. намерен елемент xnε мулти-

на X, по-голямо от 1 − ε, което означава, че 1 е най-малката горна граница

По същия начин може да се докаже, че ако наборът е ограничен отдолу, тогава

има точна долна граница, която се нарича още долна граница

нов или инфимум на множеството X и се означава с inf X.

Равенството m0 = inf X е еквивалентно на условията:

1) ∀x ∈ X е изпълнено неравенството x ≥ m0;

2) ∀ε > 0 ∃xε ∈ X, така че неравенството xε е в сила< m0 + ε .

Ако набор X има най-големия елемент x0, тогава ще го наречем

максималния елемент на множеството X и означаваме x0 = max X . Тогава

sup X = x0. По същия начин, ако има най-малък елемент в набор, тогава

ще го наречем минимален, ще обозначим min X и ще бъде ин-

фимум на множеството X.

Например множеството от естествени числа има най-малкия елемент -

единица, която е и ниската стойност на множеството. върховен

Това множество няма мума, тъй като не е ограничено отгоре.

Дефинициите на точни горни и долни граници могат да бъдат разширени до

задава неограничени отгоре или отдолу, като се приеме, че sup X = +∞ или, съответно,

Съответно inf X = −∞ .

В заключение формулираме няколко свойства на горната и долната граница.

Свойство 1. Нека X е някакво множество от числа. Нека означим с

− X множество (− x | x ∈ X ) . Тогава sup (− X) = − inf X и inf (− X) = − sup X .

Свойство 2. Нека X е някакво множество от числа, λ е реално

номер. Нека означим с λ X множеството (λ x | x ∈ X ) . Тогава, ако λ ≥ 0, тогава

sup (λ X) = λ sup X , inf (λ X) = λ inf X и ако λ< 0, то

sup (λ X) = λ inf X , inf (λ X) = λ sup X .

Свойство 3. Нека X1 и X2 са набори от числа. Нека означим с

X1 + X 2 е множеството ( x1 + x2 | x1 ∈ X 1, x2 ∈ X 2 ) и чрез X1 − X 2 множеството

( x1 − x2 | x1 ∈ X1, x2 ∈ X 2) . Тогава sup (X 1 + X 2) = sup X 1 + sup X 2,

inf (X1 + X 2) = inf X1 + inf X 2 , sup (X 1 − X 2) = sup X 1 − inf X 2 и

inf (X1 − X 2) = inf X1 − sup X 2 .

Свойство 4. Нека X1 и X2 са числови множества, всички елементи на които

ryh са неотрицателни. Тогава

sup (X1 X 2) = sup X1 ⋅ sup X 2 , inf (X1 X 2) = inf X 1 ⋅ inf X 2 .

Нека докажем, например, първото равенство в свойство 3.

Нека x1 ∈ X1, x2 ∈ X 2 и x = x1 + x2. Тогава x1 ≤ sup X1, x2 ≤ sup X 2 и

x ≤ sup X1 + sup X 2 , откъдето sup (X1 + X 2) ≤ sup X1 + sup X 2 .

За да докажете обратното неравенство, вземете числото

г< sup X 1 + sup X 2 . Тогда можно найти элементы x1 ∈ X1 и x2 ∈ X 2 такие,

че х1< sup X1 и x2 < sup X 2 , и выполняется неравенство

г< x1 + x2 < sup X1 + sup X 2 . Это означает, что существует элемент

x = +x1 x2 ∈ X1+ X2, което е по-голямо от числото y и

sup X1 + sup X 2 = sup (X1 + X 2) .◄

Доказателствата на останалите свойства се извършват по подобен начин и осигуряват

се разкриват пред читателя.

§ 6 Изброими и неизброими множества

Определение 1.6.1. Да разгледаме множеството от първите n естествени числа

n = (1,2,..., n) и някое множество A. Ако е възможно да се установи взаимно

едно-към-едно съответствие между A и n, тогава множеството A ще бъде извикано

финал.

Определение 1.6.2. Нека е дадено някакво множество А. Ако мога да

установете взаимно еднозначно съответствие между множеството A и

набор от естествени числа, тогава наборът A ще се нарича брой-

Определение 1.6.3. Ако множеството A е крайно или изброимо, тогава ще го направим

вярвам, че не е нищо повече от изброимо.

По този начин едно множество ще бъде изброимо, ако неговите елементи могат да бъдат преброени

поставени в последователност.

Пример 1. Множеството от четни числа е изброимо, тъй като преобразуването n ↔ 2n

е взаимно еднозначно съответствие между множеството от естествени

числа и много четни числа.

Очевидно такава кореспонденция може да се установи не само по един начин.

зом. Например, можете да установите съответствие между набор и множество

gestion (на цели числа), установявайки съответствие по този начин

Препоръките са предназначени за студенти от педагогически университети, изучаващи дисциплината "Алгебра и теория на числата". В рамките на тази дисциплина, в съответствие с държавния стандарт, в 6-ти семестър се изучава разделът „Бройни системи”. Тези препоръки представят материал за аксиоматичното изграждане на системи от естествени числа (системата на аксиомите на Пеано), системи от цели числа и рационални числа. Тази аксиоматика ни позволява да разберем по-добре какво е число, което е една от основните концепции на училищния курс по математика. За по-добро усвояване на материала са дадени задачи по съответните теми. В края на препоръките има отговори, инструкции и решения на проблеми.

Рецензент: д-р на педагогическите науки, проф. Dalinger V.A.

в) Можан Н.Н.

Подписан за публикуване - 22.10.98

1. ЕСТЕСТВЕНИ ЧИСЛА.

1.1 Системата на аксиомите на Пеано и най-простите следствия.

Изходните понятия в аксиоматичната теория на Пеано са множеството N (което ще наричаме множество от естествени числа), специалното число нула (0) от него и двоичното отношение „следва“ върху N, обозначено като S(a) (или а()).
АКСИОМИ:
1. ((a(N) a"(0 (Има естествено число 0, което не следва никое число.)
2. a=b (a"=b" (За всяко естествено число a има естествено число a" след него и само едно.)
3. a"=b" (a=b (Всяко естествено число следва най-много едно число.)
4. (аксиома на индукция) Ако множеството M(N и M удовлетворява две условия:
A) 0(M;
B) ((a(N) a(M ® a"(M, тогава M=N.
Във функционалната терминология това означава, че преобразуването S:N®N е инжективно. От аксиома 1 следва, че преобразуването S:N®N не е сюръективно. Аксиома 4 е основата за доказване на твърдения „по метода на математическата индукция“.
Нека отбележим някои свойства на естествените числа, които пряко следват от аксиомите.
Свойство 1. Всяко естествено число a(0 следва едно и само едно число.
Доказателство. Нека M означава множеството от естествени числа, съдържащи нула и всички тези естествени числа, всяко от които следва някакво число. Достатъчно е да покажем, че M=N, уникалността следва от аксиома 3. Нека приложим индуктивната аксиома 4:
A) 0(M - по конструкция на множеството M;
B) ако a(M, тогава a"(M, защото a" следва a.
Това означава, според аксиома 4, M=N.
Свойство 2. Ако a(b, то a"(b).
Свойството се доказва чрез противоречие с помощта на аксиома 3. Следното свойство 3 се доказва по подобен начин с помощта на аксиома 2.
Свойство 3. Ако a"(b", тогава a(b.
Свойство 4. ((a(N)a(a". (Никакво естествено число не следва само себе си.)
Доказателство. Нека M=(x (x(N, x(x")). Достатъчно е да покажем, че M=N. Тъй като според аксиома 1 ((x(N)x"(0, тогава по-специално 0"(0 , и по този начин условие A) на аксиома 4 0(M - е изпълнено. Ако x(M, т.е. x(x", тогава по свойство 2 x"((x")", което означава, че условие B) x ( M ® x"(M. Но тогава, съгласно аксиома 4, M=N.
Нека ( е някакво свойство на естествените числа. Фактът, че число a има свойството (, ще пишем ((a).
Задача 1.1.1. Докажете, че аксиома 4 от дефиницията на множеството от естествени числа е еквивалентна на следното твърдение: за всяко свойство (, ако ((0) и, тогава.
Задача 1.1.2. Върху набор от три елемента A=(a,b,c), унарната операция ( е дефинирана по следния начин: a(=c, b(=c, c(=a). Кои от аксиомите на Пеано са верни в множеството A с операцията (?
Задача 1.1.3. Нека A=(a) е единично множество, a(=a. Кои от аксиомите на Пеано са верни за множеството A с операцията (?
Задача 1.1.4. Върху множеството N дефинираме унарна операция, като приемаме за всяка. Разберете дали твърденията на аксиомите на Пеано, формулирани по отношение на операцията, ще бъдат верни в N.
Задача 1.1.5. Нека бъде. Докажете, че A е затворено спрямо операцията (. Проверете истинността на аксиомите на Пеано върху множеството A с операцията (.
Задача 1.1.6. Нека бъде,. Нека дефинираме унарна операция върху A, настройка. Кои от аксиомите на Пеано са верни на множеството A с операцията?

1.2. Последователност и категоричност на аксиомната система на Пеано.

Система от аксиоми се нарича последователна, ако от нейните аксиоми е невъзможно да се докаже теорема T и нейното отрицание (T. Ясно е, че противоречивите системи от аксиоми нямат значение в математиката, защото в такава теория може да се докаже всичко и такова теорията не отразява законите на реалния свят. Следователно последователността на системата от аксиоми е абсолютно необходимо изискване.
Ако теоремата T и нейните отрицания (T) не се намират в аксиоматична теория, това не означава, че системата от аксиоми може да се появи в бъдеще Най-честият начин за доказване на последователност е методът на интерпретация, основан на факта, че ако има интерпретация на системата от аксиоми в очевидно последователна теория S, тогава самата система от аксиоми е последователна. Наистина, ако системата от аксиоми е непоследователна, тогава теоремите T и (T) биха били доказуеми в нея, но тогава тези теореми биха били валидни и в нейната интерпретация, а това противоречи на последователността на теорията S. Методът на интерпретация позволява да се докаже само относителната последователност на теорията. .
Много различни интерпретации могат да бъдат конструирани за аксиомната система на Пеано. Теорията на множествата е особено богата на интерпретации. Нека посочим една от тези интерпретации. Ще считаме множествата (, ((), ((()), (((())),... за естествени числа; ще считаме нулата за специално число (. Отношението „следва“ ще се тълкува по следния начин: множеството M е последвано от множество (M), чийто единствен елемент е самото M. Следователно ("=((), (()"=((()) и т.н. Осъществимостта на аксиоми 1-4 могат лесно да бъдат проверени, но ефективността на такава интерпретация е малка: тя показва, че системата от аксиоми на Пеано е последователна, ако теорията на множествата е последователна. Но доказването на последователността на системата от аксиоми на теорията на множествата е още по-трудно. Най-убедителната интерпретация на системата на аксиомите на Пеано е интуитивната аритметика, чиято последователност се потвърждава от вековете на нейното развитие.
Съгласувана система от аксиоми се нарича независима, ако всяка аксиома от тази система не може да бъде доказана като теорема въз основа на други аксиоми. Да се ​​докаже, че аксиомата (не зависи от други аксиоми на системата
(1, (2, ..., (n, ((1)
достатъчно е да се докаже, че системата от аксиоми е последователна
(1, (2, ..., (n, (((2)
Наистина, ако (беше доказано на базата на останалите аксиоми на система (1), тогава системата (2) би била противоречива, тъй като в нея теоремата (и аксиомата ((.
И така, за да се докаже независимостта на аксиомата (от другите аксиоми на системата (1), е достатъчно да се изгради интерпретация на системата от аксиоми (2).
Независимостта на аксиомната система е незадължително изискване. Понякога, за да се избегне доказването на „трудни“ теореми, се конструира съзнателно излишна (зависима) система от аксиоми. „Допълнителните“ аксиоми обаче затрудняват изучаването на ролята на аксиомите в теорията, както и на вътрешните логически връзки между различните раздели на теорията. В допълнение, конструирането на интерпретации за зависими системи от аксиоми е много по-трудно, отколкото за независими; В крайна сметка трябва да проверим валидността на „допълнителните“ аксиоми. Поради тези причини на въпроса за зависимостта между аксиомите се придава първостепенно значение от древни времена. По едно време опитите да се докаже, че постулат 5 в аксиомите на Евклид „Има най-много една права, минаваща през точка А, успоредна на правата (“ е теорема (т.е. зависи от останалите аксиоми) и доведе до откритието на Лобачевски геометрия.
Една последователна система се нарича дедуктивно пълна, ако всяко твърдение А на дадена теория може или да бъде доказано, или опровергано, т.е. или А, или (А е теорема на тази теория. Ако има предложение, което не може нито да бъде доказано, нито опровергано, тогава системата от аксиоми се нарича дедуктивно непълна. Например, системата от аксиоми на теорията на групите и теорията на полето са непълни; тъй като има както крайни, така и безкрайни групи, пръстени, полета, е невъзможно да се докаже или отхвърли твърдение в тези теории: "Група (пръстен, поле) съдържа краен брой елементи."
Трябва да се отбележи, че в много аксиоматични теории (а именно в неформализираните) множеството от твърдения не може да се счита за точно определено и следователно е невъзможно да се докаже дедуктивната пълнота на системата от аксиоми на такава теория. Друго чувство за пълнота се нарича категоричност. Система от аксиоми се нарича категорична, ако всеки две от нейните интерпретации са изоморфни, т.е. съществува такова едно-към-едно съответствие между наборите от първоначални обекти на едната и другата интерпретация, което се запазва при всички начални отношения. Категоричността също е незадължително условие. Например системата от аксиоми на теорията на групите не е категорична. Това следва от факта, че една крайна група не може да бъде изоморфна на безкрайна група. При аксиоматизирането на теорията на всяка бройна система обаче категоричността е задължителна; например категоричният характер на системата от аксиоми, дефиниращи естествените числа, означава, че до изоморфизъм има само една естествена серия.
Нека докажем категоричността на системата от аксиоми на Пеано. Нека (N1, s1, 01) и (N2, s2, 02) са произволни две интерпретации на системата от аксиоми на Пеано. Изисква се да се посочи биективно (едно към едно) преобразуване f:N1®N2, за което са изпълнени следните условия:
a) f(s1(x)=s2(f(x)) за всяко x от N1;
б) f(01)=02
Ако и двете унарни операции s1 и s2 са означени с едно и също просто число, тогава условие a) ще бъде пренаписано като
а) f(x()=f(x)(.
Нека дефинираме двоично отношение f върху множеството N1(N2) чрез следните условия:
1) 01f02;
2) ако xfy, тогава x(fy(.
Нека се уверим, че тази връзка е преобразуване от N1 към N2, тоест за всяко x от N1
(((y(N2) xfy (1)
Нека M1 означава множеството от всички елементи x от N1, за които е изпълнено условие (1). Тогава
A) 01(M1 поради 1);
B) x(M1 ® x((M1 по силата на 2) и свойства 1 на параграф 1.
От тук, съгласно аксиома 4, заключаваме, че M1=N1, а това означава, че релацията f е преобразуване на N1 в N2. Освен това от 1) следва, че f(01)=02. Условие 2) е написано във формата: ако f(x)=y, тогава f(x()=y(. Следва, че f(x()=f(x)(). По този начин, за да се покаже f условие a ) и b) са изпълнени. Остава да докажем, че отображението f е биективно.
Нека означим с M2 множеството от онези елементи от N2, всеки от които е образ на един и само един елемент от N1 при отображението f.
Тъй като f(01)=02, тогава 02 е изображение. Освен това, ако x(N2 и x(01), тогава по свойство 1 на точка 1 x следва някакъв елемент c от N1 и тогава f(x)=f(c()=f(c)((02. Това означава 02 е изображение на единствения елемент 01, тоест 02(M2.
Нека освен това y(M2 и y=f(x), където x е единственият обратен образ на елемента y. Тогава, по условие a) y(=f(x)(=f(x()), т.е. y(е образът на елемента x (. Нека c е произволен обратен образ на елемента y(, т.е. f(c)=y(. Тъй като y((02, тогава c(01 и за c е предходният) елемент, който означаваме с d. Тогава y(=f( c)=f(d()=f(d)(), откъдето по аксиома 3 y=f(d). Но тъй като y(M2, то d= x, откъдето c=d(=x(. Доказахме, че ако y е образ на уникален елемент, тогава y(е образ на уникален елемент, т.е. y(M2 ® y((M2. И двете) условията на аксиома 4 са изпълнени и следователно M2=N2, което завършва доказателството за категоричност.
Цялата предгръцка математика е била емпирична по природа. Отделни елементи от теорията бяха удавени в масата от емпирични методи за решаване на практически проблеми. Гърците подлагат този емпиричен материал на логическа обработка и се опитват да намерят връзки между различни емпирични сведения. В този смисъл Питагор и неговата школа (V в. пр. н. е.) играят голяма роля в геометрията. Идеите на аксиоматичния метод са ясно чути в произведенията на Аристотел (4 век пр.н.е.). Практическото прилагане на тези идеи обаче е извършено от Евклид в неговите Елементи (3 век пр.н.е.).
Понастоящем могат да се разграничат три форми на аксиоматични теории.
1). Смислена аксиоматика, която беше единствена до средата на миналия век.
2). Полуформална аксиоматика, възникнала през последната четвърт на миналия век.
3). Формална (или формализирана) аксиоматика, чиято дата на раждане може да се счита за 1904 г., когато Д. Хилберт публикува известната си програма за основните принципи на формализираната математика.
Всяка нова форма не отрича предишната, а е нейното развитие и изясняване, така че нивото на строгост на всяка нова форма е по-високо от предишната.
Интензивната аксиоматика се характеризира с факта, че първоначалните понятия имат интуитивно ясен смисъл още преди аксиомите да бъдат формулирани. Така в „Елементите“ на Евклид точка означава точно това, което интуитивно разбираме под това понятие. В случая се използва обикновен език и обикновена интуитивна логика, датираща от Аристотел.
Полуформалните аксиоматични теории също използват обикновен език и интуитивна логика. Въпреки това, за разлика от смислената аксиоматика, на оригиналните понятия не се придава никакво интуитивно значение; те се характеризират само с аксиоми. Това повишава строгостта, тъй като интуицията до известна степен пречи на строгостта. Освен това се придобива обобщеност, тъй като всяка теорема, доказана в такава теория, ще бъде валидна при всякаква интерпретация. Пример за полуформална аксиоматична теория е теорията на Хилберт, изложена в книгата му „Основи на геометрията“ (1899). Примери за полуформални теории са също теорията на пръстените и редица други теории, представени в курс по алгебра.
Пример за формализирана теория е пропозиционалното смятане, изучавано в курса по математическа логика. За разлика от субстантивната и полуформалната аксиоматика, формализираната теория използва специален символен език. А именно, дадена е азбуката на теорията, тоест определен набор от символи, които играят същата роля като буквите в обикновения език. Всяка крайна последователност от знаци се нарича израз или дума. Сред изразите се разграничава клас формули и се посочва точен критерий, който позволява за всеки израз да се установи дали е формула. Формулите играят същата роля като изреченията в обикновения език. Някои от формулите са обявени за аксиоми. Освен това са посочени правила за логически извод; Всяко такова правило означава, че определена формула директно следва от определен набор от формули. Доказателството на самата теорема е крайна верига от формули, в която последната формула е самата теорема и всяка формула е или аксиома, или предварително доказана теорема, или директно следва от предишните формули на веригата според една от правилата за умозаключение. По този начин няма абсолютно никакъв въпрос относно строгостта на доказателствата: или дадена верига е доказателство, или не е; няма съмнителни доказателства. В тази връзка формализираната аксиоматика се използва в особено тънки въпроси на обосноваване на математически теории, когато обикновената интуитивна логика може да доведе до погрешни заключения, възникващи главно поради неточностите и неяснотите на нашия обикновен език.
Тъй като във формализирана теория може да се каже за всеки израз дали е формула, тогава наборът от изречения на формализирана теория може да се счита за определен. В тази връзка по принцип може да се постави въпросът за доказване на дедуктивна пълнота, както и доказване на последователност, без да се прибягва до тълкуване. В редица прости случаи това може да се постигне. Например последователността на пропозиционалното смятане се доказва без интерпретация.
В неформализираните теории много твърдения не са ясно дефинирани, така че е безсмислено да се повдига въпросът за доказване на последователност, без да се прибягва до интерпретации. Същото важи и за въпроса за доказване на дедуктивна пълнота. Въпреки това, ако се срещне предложение за неформализирана теория, която не може нито да бъде доказана, нито опровергана, тогава теорията очевидно е дедуктивно непълна.
Аксиоматичният метод отдавна се използва не само в математиката, но и във физиката. Първите опити в тази насока са направени от Аристотел, но аксиоматичният метод получава реално приложение във физиката едва в трудовете на Нютон по механика.
Във връзка с бързия процес на математизация на науките протича и процес на аксиоматизация. В момента аксиоматичният метод дори се използва в някои области на биологията, например в генетиката.
Въпреки това възможностите на аксиоматичния метод не са неограничени.
На първо място, отбелязваме, че дори във формализираните теории не е възможно напълно да се избегне интуицията. Самата формализирана теория без интерпретации няма смисъл. Поради това възникват редица въпроси относно връзката между формализирана теория и нейната интерпретация. Освен това, както във формализираните теории, се повдигат въпроси относно последователността, независимостта и пълнотата на системата от аксиоми. Съвкупността от всички такива въпроси съставлява съдържанието на друга теория, която се нарича метатеория на формализирана теория. За разлика от формализираната теория, езикът на метатеорията е обикновен ежедневен език и логическите разсъждения се извършват по правилата на обикновената интуитивна логика. Така интуицията, напълно изгонена от формализираната теория, се появява отново в нейната метатеория.
Но това не е основната слабост на аксиоматичния метод. Вече споменахме програмата на Д. Хилберт, която постави основата на формализирания аксиоматичен метод. Основната идея на Хилберт е да изрази класическата математика като формализирана аксиоматична теория и след това да докаже нейната последователност. Тази програма обаче в основните си точки се оказа утопична. През 1931 г. австрийският математик К. Гьодел доказва известните си теореми, от които следва, че и двата основни проблема, поставени от Хилберт, са невъзможни. Използвайки своя метод на кодиране, той успя да изрази някои верни предположения от метатеорията, използвайки формули на формализираната аритметика и да докаже, че тези формули не могат да бъдат изведени във формализираната аритметика. Така формализираната аритметика се оказва дедуктивно непълна. От резултатите на Гьодел следва, че ако тази недоказуема формула е включена в броя на аксиомите, тогава ще има друга недоказуема формула, изразяваща някакво вярно твърдение. Всичко това означаваше, че не само цялата математика, но дори и аритметиката - нейната най-проста част - не можеше да бъде напълно формализирана. По-специално, Гьодел конструира формула, съответстваща на изречението „Формализираната аритметика е последователна“ и показа, че тази формула също не е изведена. Този факт означава, че последователността на формализираната аритметика не може да бъде доказана в самата аритметика. Разбира се, възможно е да се конструира по-силна формализирана теория и да се използват нейните средства, за да се докаже последователността на формализираната аритметика, но тогава възниква по-труден въпрос относно последователността на тази нова теория.
Резултатите на Гьодел показват ограниченията на аксиоматичния метод. И все пак в теорията на познанието няма абсолютно никакво основание за песимистични заключения, че има непознаваеми истини. Фактът, че има аритметични истини, които не могат да бъдат доказани във формалната аритметика, не означава, че има непознаваеми истини и не означава, че човешкото мислене е ограничено. Това означава само, че възможностите на нашето мислене не се ограничават до напълно формализирани процедури и че човечеството тепърва ще открива и измисля нови принципи на доказване.

1.3.Събиране на естествени числа

Операциите събиране и умножение на естествени числа не са постулирани от системата на аксиомите на Пеано, ние ще дефинираме тези операции.
Определение. Събирането на естествени числа е двоична алгебрична операция + върху множеството N, която има следните свойства:
1s. ((a(N) a+0=a;
2в. ((a,b(N) a+b(=(a+b)(.
Възниква въпросът има ли такава операция и ако има единствена ли е?
Теорема. Има само едно събиране на естествени числа.
Доказателство. Двоична алгебрична операция върху множеството N е преобразуването (:N(N®N. Изисква се да се докаже, че има уникално преобразуване (:N(N®N) със свойства: 1) ((x(N) ( (x,0)=x ; 2) ((x,y(N) ((x,y()=((x,y)(). Ако за всяко естествено число x докажем съществуването на преобразуване fx:N®N със свойства 1() fx(0 )=x; 2() fx(y()=fx(y)(), тогава функцията ((x,y), дефинирана от равенството ((x) ,y) (fx(y), ще удовлетвори условия 1) и 2).
Върху множеството N дефинираме двоичното отношение fx чрез условията:
а) 0fxx;
б) ако yfxz, тогава y(fxz(.
Нека се уверим, че тази връзка е преобразуване от N към N, тоест за всяко y от N
(((z(N) yfxz (1)
Нека M означава множеството от естествени числа y, за които е изпълнено условие (1). Тогава от условие a) следва, че 0(M, и от условие b) и свойство 1 на клауза 1 следва, че ако y(M, тогава y((M. От тук, въз основа на аксиома 4, заключаваме, че M = N и това означава, че връзката fx е преобразуване от N към N. За това преобразуване са изпълнени следните условия:
1() fx(0)=x - поради a);
2() fx((y)=fx(y() - по силата на b).
По този начин съществуването на добавяне е доказано.
Нека докажем уникалност. Нека + и ( са произволни две двоични алгебрични операции върху множеството N със свойства 1c и 2c. Трябва да докажем, че
((x,y(N) x+y=x(y
Нека фиксираме произволно число x и означим с S множеството от тези естествени числа y, за които равенството
x+y=x(y (2)
изпълнени. Тъй като според 1c x+0=x и x(0=x, тогава
A) 0 (S
Нека сега y(S, т.е. равенството (2) е изпълнено. Тъй като x+y(=(x+y)(, x(y(=(x(y)(и x+y=x(y), тогава по аксиома 2 x+y(=x(y(, тоест условието е изпълнено
B) y(S ® y((S.
Следователно, съгласно аксиома 4, S=N, което завършва доказателството на теоремата.
Нека докажем някои свойства на събирането.
1. Числото 0 е неутрален елемент на събиране, тоест a+0=0+a=a за всяко естествено число a.
Доказателство. Равенството a+0=a следва от условие 1c. Нека докажем равенството 0+a=a.
Нека M означава множеството от всички числа, за които то е валидно. Очевидно 0+0=0 и следователно 0(M. Нека a(M, тоест 0+a=a. Тогава 0+a(=(0+a)(=a(и, следователно, a((M .Това означава M=N, което е необходимо да се докаже.
След това се нуждаем от лема.
Лема. a(+b=(a+b)(.
Доказателство. Нека M е множеството от всички естествени числа b, за които равенството a(+b=(a+b) е вярно за всяка стойност на a. Тогава:
A) 0(M, тъй като a(+0=(a+0)(;
B) b(M ® b((M. Наистина, от факта, че b(M и 2c, имаме
a(+b(=(a(+b)(=((a+b)()(=(a+b())(,
т.е. b((M. Това означава M=N, което трябваше да се докаже.
2. Събирането на естествените числа е комутативно.
Доказателство. Нека M=(a(a(N(((b(N)a+b=b+a). Достатъчно е да докажем, че M=N. Имаме:
A) 0(M - поради свойство 1.
B) a(M ® a((M. Наистина, прилагайки лемата и факта, че a(M), получаваме:
a(+b=(a+b)(=(b+a)(=b+a(.
Това означава a((M, и по аксиома 4 M=N.
3. Събирането е асоциативно.
Доказателство. Позволявам
M=(c(c(N(((a,b(N)(a+b)+c=a+(b+c))
Необходимо е да се докаже, че M=N. Тъй като (a+b)+0=a+b и a+(b+0)=a+b, тогава 0(M. Нека c(M, тоест (a+b)+c=a+(b+c) . Тогава
(a+b)+c(=[(a+b)+c](=a+(b+c)(=a+(b+c().
Това означава c((M и по аксиома 4 M=N.
4. a+1=a(, където 1=0(.
Доказателство. a+1=a+0(=(a+0)(=a(.
5. Ако b(0, тогава ((a(N)a+b(a.
Доказателство. Нека M=(a(a(N(a+b(a). Тъй като 0+b=b(0, тогава 0(M. Освен това, ако a(M, тоест a+b(a), тогава чрез свойство 2 елемент 1 (a+b)((a(или a(+b(a(. Така че a((M и M=N.
6. Ако b(0, тогава ((a(N)a+b(0.
Доказателство. Ако a=0, тогава 0+b=b(0, но ако a(0 и a=c(, тогава a+b=c(+b=(c+b)(0. Така че във всеки случай a + b(0.
7. (Закон за трихотомията на добавянето). За всички естествени числа a и b е вярно едно и само едно от трите отношения:
1) a=b;
2) b=a+u, където u(0;
3) a=b+v, където v(0.
Доказателство. Нека фиксираме произволно число a и означим с M множеството от всички естествени числа b, за които е изпълнено поне едно от отношенията 1), 2), 3). Необходимо е да се докаже, че M=N. Нека b=0. Тогава, ако a=0, тогава връзка 1 е вярна), и ако a(0, тогава връзка 3 е вярна), тъй като a=0+a. Така че 0 (М.
Нека сега приемем, че b(M, т.е. за избраното a едно от отношенията 1), 2), 3) е изпълнено. Ако a=b, тогава b(=a(=a+1, т.е. за b(отношението 2 е в сила). Ако b=a+u, тогава b(=a+u(, т.е. за b( релацията 2). Ако a=b+v, тогава са възможни два случая: v=1 и v(1. Ако v=1, тогава a=b+v=b", т.е. за b" отношения 1 са удовлетворено. същото v(1, след това v=c", където c(0 и след това a=b+v=b+c"=(b+c)"=b"+c, където c(0, т.е. за b" релация 3 е изпълнена). И така, ние доказахме, че b(M®b"(M, и следователно M=N, т.е. за всяко a и b поне едно от релациите 1), 2), 3 е удовлетворени). Нека се уверим, че две от тях не могат да бъдат изпълнени едновременно: ако отношенията 1) и 2) са изпълнени, тогава те ще имат b=b+u, където u(0, а това противоречи на свойство 5. Невъзможността за изпълнение на 1) и се проверява по подобен начин, ако отношенията 2) и 3) са изпълнени, тогава ще имаме a=(a+u)+v = a+ +(u+v). ), а това е невъзможно поради свойства 5 и 6. Свойство 7 е напълно доказано.
Задача 1.3.1. Нека 1(=2, 2(=3, 3(=4, 4(=5, 5(=6, 6(=7, 7(=8, 8(=9)). Докажете, че 3+5=8, 2+4=6.

1.4. УМНОЖЕНИЕ НА ЕСТЕСТВЕНИТЕ ЧИСЛА.

1.5. ПОДРЕДЕНОСТ НА ЕСТЕСТВЕНАТА БРОЙНА СИСТЕМА.

1.6. ПЪЛЕН РЕД НА ЕСТЕСТВЕНАТА БРОЙНА СИСТЕМА.

1.7. ПРИНЦИП НА ИНДУКЦИЯТА.

1.8. ИЗВАДАНЕ И ДЕЛЕНИЕ НА ЕСТЕСТВЕНИТЕ ЧИСЛА.

1.10. СИСТЕМА ОТ ЕСТЕСТВЕНИТЕ ЧИСЛА КАТО ДИСКРЕТНО НАПЪЛНО ПОДРЕДЕНО МНОЖЕСТВО.

2. ЦЕЛИ И РАЦИОНАЛНИ ЧИСЛА.

2.2. СЪЩЕСТВУВАНЕ НА СИСТЕМА ОТ ЦЕЛИ ЧИСЛА.

2.3. УНИКАЛНОСТ НА СИСТЕМАТА ОТ ЦЕЛИ ЧИСЛА.

2.4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СВОЙСТВА НА СИСТЕМАТА ОТ РАЦИОНАЛНИ ЧИСЛА.

2.5. СЪЩЕСТВУВАНЕ НА СИСТЕМА ОТ РАЦИОНАЛНИ ЧИСЛА.

2.6. УНИКАЛНОСТ НА СИСТЕМАТА ОТ РАЦИОНАЛНИ ЧИСЛА.

ОТГОВОРИ, ИНСТРУКЦИИ, РЕШЕНИЯ.

ЛИТЕРАТУРА

Система с цели числа

Нека си спомним, че естествената серия се появява, за да изброява обекти. Но ако искаме да извършим някакви действия с обекти, тогава ще ни трябват аритметични операции с числа. Тоест, ако искаме да наредим ябълки или да разделим торта, трябва да преведем тези действия на езика на числата.

Моля, обърнете внимание, че за да се въведат операциите + и * в езика на естествените числа, е необходимо да се добавят аксиоми, които определят свойствата на тези операции. Но тогава наборът от естествени числа също е такъв разширяване.

Нека да видим как се разширява множеството от естествени числа. Най-простата операция, която беше една от първите необходими, е събирането. Ако искаме да дефинираме операцията събиране, трябва да дефинираме нейното обратно действие - изваждане. Всъщност, ако знаем какъв ще бъде резултатът от събирането, например, 5 и 2, тогава трябва да можем да решаваме задачи като: какво трябва да се добави към 4, за да получим 11. Тоест задачите, свързани със събирането, определено ще изискват умение за извършване на обратно действие - изваждане. Но ако добавянето на естествени числа дава отново естествено число, тогава изваждането на естествени числа дава резултат, който не се вписва в N. Бяха необходими някои други числа. По аналогия с разбираемото изваждане на по-малко число от по-голямо число беше въведено правилото за изваждане на по-голямо число от по-малко число - така се появиха отрицателните цели числа.

Допълвайки естествения ред с операциите + и -, стигаме до множеството от цели числа.

Z=N+операции(+-)

Системата от рационални числа като език на аритметиката

Нека сега разгледаме следващото най-сложно действие - умножението. По същество това е многократно добавяне. И произведението на цели числа остава цяло число.

Но обратната операция на умножението е деленето. Но не винаги дава най-добри резултати. И отново сме изправени пред дилема - или да приемем за даденост, че резултатът от деленето може да „не съществува“, или да излезем с числа от някакъв нов тип. Така се появиха рационалните числа.

Нека вземем система от цели числа и я допълним с аксиоми, които определят операциите умножение и деление. Получаваме система от рационални числа.

Q=Z+операции(*/)

И така, езикът на рационалните числа ни позволява да произвеждаме всички аритметични операциинад числата. Езикът на естествените числа не беше достатъчен за това.

Нека дадем аксиоматично определение на системата от рационални числа.

Определение. Множество Q се нарича множество от рационални числа, а неговите елементи се наричат ​​рационални числа, ако е изпълнен следният набор от условия, наречен аксиоматика на рационални числа:

Аксиоми на операцията събиране. За всеки поръчан чифт x,yелементи от Qопределен е някакъв елемент x+yОQ, наречена сума хИ при. В този случай са изпълнени следните условия:

1. (Наличие на нула) Съществува елемент 0 (нула), такъв че за всяко хÎQ

х+0=0+х=Х.

2. За всеки елемент хО Q има елемент - хО Q (обратно х) така че

х+ (-Х) = (-Х) + х = 0.

3. (Комутативност) За всякакви x,yО Q

4. (Асоциативност) За произволни x,y,zО Q

x + (y + z) = (x + y) + z

Аксиоми на действието умножение.

За всеки поръчан чифт x, yелементи от Q е дефиниран някакъв елемент xyО Q, наречен продукт хИ u.В този случай са изпълнени следните условия:

5. (Наличие на единичен елемент) Съществува елемент 1 О Q такъв, че за всеки хО Q

х . 1 = 1. х = х

6. За всеки елемент хО Q , ( х≠ 0) има обратен елемент х-1 ≠0 така че

Х. x -1 = x -1. х = 1

7. (Асоциативност) За всякакви x, y, zО Q

х . (г . z) = (x . y) . z

8. (Комутативност) За всякакви x, yО Q

Аксиома за връзката между събиране и умножение.

9. (Дистрибутивност) За всякакви x, y, zО Q

(x+y) . z = x . z+y . z

Аксиоми на реда.

Всеки два елемента x, y,О Q влизат в сравнителна връзка ≤. В този случай са изпълнени следните условия:

10. (х≤при)L ( при≤х) ó x=y

11. (Х≤y)Л ( y≤ z) => х≤z

12. За всеки x, yО Q или x< у, либо у < x .

Поведение< называется строгим неравенством,

Отношението = се нарича равенство на елементи от Q.

Аксиома за връзката между събиране и ред.

13. За произволни x, y, z ОQ, (x £ y) Þ x+z £ y+z

Аксиома за връзката между умножение и ред.

14. (0 £ x)Ç(0 £ y) Þ (0 £ x´y)

Аксиома на Архимед за непрекъснатост.

15. За всяко a > b > 0 съществуват m О N и n О Q такива, че m ³ 1, n< b и a= mb+n.

*****************************************

Така системата от рационални числа е езикът на аритметиката.

Този език обаче не е достатъчен за решаване на практически изчислителни проблеми.