Как да изчислим формула за аритметична прогресия. Аритметична прогресия: какво е това? Разлика в прогресията: определение

Или аритметиката е вид подредена числова последователност, чиито свойства се изучават в училищен курс по алгебра. Тази статия разглежда подробно въпроса как да се намери сумата на аритметична прогресия.

Що за прогресия е това?

Преди да преминете към въпроса (как да намерите сумата от аритметична прогресия), си струва да разберете за какво говорим.

Всяка последователност от реални числа, която се получава чрез добавяне (изваждане) на някаква стойност от всяко предишно число, се нарича алгебрична (аритметична) прогресия. Това определение, когато се преведе на математически език, приема формата:

Тук i е поредният номер на елемента от ред a i. По този начин, знаейки само едно начално число, можете лесно да възстановите цялата серия. Параметърът d във формулата се нарича прогресивна разлика.

Лесно може да се покаже, че за разглежданата редица от числа е валидно следното равенство:

a n = a 1 + d * (n - 1).

Тоест, за да намерите стойността на n-тия елемент по ред, трябва да добавите разликата d към първия елемент a 1 n-1 пъти.

Каква е сумата на аритметична прогресия: формула

Преди да дадете формулата за посочената сума, струва си да разгледате прост специален случай. Дадена е прогресия на естествените числа от 1 до 10, трябва да намерите тяхната сума. Тъй като има малко членове в прогресията (10), е възможно да се реши задачата директно, т.е. да се сумират всички елементи по ред.

S 10 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55.

Струва си да се има предвид едно интересно нещо: тъй като всеки член се различава от следващия с една и съща стойност d = 1, тогава сумирането по двойки на първия с десетия, втория с деветия и т.н. ще даде същия резултат. Наистина ли:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

Както можете да видите, има само 5 от тези суми, тоест точно два пъти по-малко от броя на елементите на серията. След това, като умножите броя на сумите (5) по резултата от всяка сума (11), ще стигнете до резултата, получен в първия пример.

Ако обобщим тези аргументи, можем да напишем следния израз:

S n = n * (a 1 + a n) / 2.

Този израз показва, че изобщо не е необходимо да се сумират всички елементи подред, достатъчно е да се знае стойността на първия a 1 и на последния a n, както и общия брой членове n.

Смята се, че Гаус за първи път се е сетил за това равенство, когато е търсил решение на задача, дадена от неговия учител: сумирайте първите 100 цели числа.

Сума от елементи от m до n: формула

Формулата, дадена в предишния параграф, отговаря на въпроса как да се намери сумата от аритметична прогресия (първите елементи), но често при задачи е необходимо да се сумира поредица от числа в средата на прогресията. Как да го направим?

Най-лесният начин да отговорите на този въпрос е като разгледате следния пример: нека е необходимо да се намери сумата на членовете от m-то до n-то. За да решите задачата, трябва да представите дадения сегмент от m до n на прогресията под формата на нова числова серия. В това представяне m-тият член a m ще бъде първият и a n ще бъде номерирано с n-(m-1). В този случай, прилагайки стандартната формула за сумата, ще се получи следният израз:

S m n = (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.

Пример за използване на формули

Знаейки как да намерите сумата на аритметичната прогресия, струва си да разгледате прост пример за използване на горните формули.

По-долу е дадена числова последователност, трябва да намерите сумата от нейните членове, започвайки от 5-то и завършвайки с 12-то:

Дадените числа показват, че разликата d е равна на 3. Използвайки израза за n-тия елемент, можете да намерите стойностите на 5-ия и 12-ия член на прогресията. Оказва се:

a 5 = a 1 + d * 4 = -4 + 3 * 4 = 8;
a 12 = a 1 + d * 11 = -4 + 3 * 11 = 29.

Познавайки стойностите на числата в краищата на разглежданата алгебрична прогресия, както и знаейки кои числа в серията заемат, можете да използвате формулата за сумата, получена в предишния параграф. Ще се окаже:

S 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.

Струва си да се отбележи, че тази стойност може да се получи по различен начин: първо намерете сумата на първите 12 елемента, като използвате стандартната формула, след това изчислете сумата на първите 4 елемента, като използвате същата формула, след което извадете втората от първата сума.

И така, нека седнем и да започнем да записваме някои числа. Например:
Можете да пишете всякакви числа и може да има колкото искате (в нашия случай ги има). Колкото и числа да пишем, винаги можем да кажем кое е първо, кое второ и така до последното, тоест можем да ги номерираме. Това е пример за числова последователност:

Числова последователност
Например за нашата последователност:

Присвоеният номер е специфичен само за един номер в поредицата. С други думи, в редицата няма три втори числа. Второто число (като числото th) винаги е едно и също.
Числото с число се нарича th член на редицата.

Обикновено наричаме цялата последователност с някаква буква (например,), и всеки член на тази последователност е една и съща буква с индекс, равен на номера на този член: .

В нашия случай:

Да кажем, че имаме редица от числа, в която разликата между съседни числа е еднаква и равна.
Например:

и т.н.
Тази числова последователност се нарича аритметична прогресия.
Терминът "прогресия" е въведен от римския автор Боеций още през 6 век и се разбира в по-широк смисъл като безкрайна числова последователност. Името "аритметика" е прехвърлено от теорията за непрекъснатите пропорции, която е изучавана от древните гърци.

Това е редица от числа, всеки член на която е равен на предишния, добавен към същото число. Това число се нарича разлика на аритметична прогресия и се обозначава.

Опитайте се да определите кои числови последователности са аритметична прогресия и кои не са:

а)
б)
° С)
д)

Схванах го? Нека сравним нашите отговори:
Еаритметична прогресия - b, c.
Не еаритметична прогресия - a, d.

Нека се върнем към дадената прогресия () и се опитаме да намерим стойността на нейния th член. Съществува двеначин да го намерите.

1. Метод

Можем да добавяме числото на прогресията към предишната стойност, докато достигнем тия член на прогресията. Добре е, че няма много за обобщаване - само три стойности:

И така, членът от описаната аритметична прогресия е равен на.

2. Метод

Какво ще стане, ако трябва да намерим стойността на тия член на прогресията? Сумирането би ни отнело повече от час и не е факт, че няма да сгрешим при събирането на числа.
Разбира се, математиците са измислили начин, при който не е необходимо да се добавя разликата на аритметична прогресия към предишната стойност. Разгледайте по-отблизо нарисуваната картинка... Със сигурност вече сте забелязали определен модел, а именно:

Например, нека да видим от какво се състои стойността на тия член на тази аритметична прогресия:

С други думи:

Опитайте сами да намерите стойността на член на дадена аритметична прогресия по този начин.

Изчислихте ли? Сравнете вашите бележки с отговора:

Моля, обърнете внимание, че сте получили точно същото число като в предишния метод, когато последователно добавихме членовете на аритметичната прогресия към предишната стойност.
Нека се опитаме да "обезличим" тази формула - да я представим в общ вид и да получим:

Уравнение на аритметична прогресия.

Аритметичните прогресии могат да бъдат нарастващи или намаляващи.

Повишаване на- прогресии, при които всяка следваща стойност на членовете е по-голяма от предходната.
Например:

Спускане- прогресии, при които всяка следваща стойност на членовете е по-малка от предходната.
Например:

Изведената формула се използва при изчисляването на членове както в нарастващи, така и в намаляващи членове на аритметична прогресия.
Нека проверим това на практика.
Дадена ни е аритметична прогресия, състояща се от следните числа: Нека проверим какво ще бъде числото от тази аритметична прогресия, ако използваме нашата формула, за да я изчислим:

От тогава:

Така сме убедени, че формулата работи както в намаляваща, така и в нарастваща аритметична прогресия.
Опитайте се сами да намерите члена th и th на тази аритметична прогресия.

Нека сравним резултатите:

Свойство на аритметична прогресия

Нека усложним задачата - ще изведем свойството на аритметичната прогресия.
Да кажем, че ни е дадено следното условие:
- аритметична прогресия, намерете стойността.
Лесно, казвате вие и започвате да броите по формулата, която вече знаете:

Нека, а, тогава:

Абсолютно прав. Оказва се, че първо намираме, след това го добавяме към първото число и получаваме това, което търсим. Ако прогресията е представена с малки стойности, тогава няма нищо сложно в това, но какво ще стане, ако в условието ни бъдат дадени числа? Съгласете се, има възможност да направите грешка в изчисленията.
Сега помислете дали е възможно да се реши този проблем в една стъпка, като се използва която и да е формула? Разбира се, да, и това е, което ще се опитаме да изведем сега.

Нека обозначим необходимия член на аритметичната прогресия като, формулата за намирането му е известна - това е същата формула, която изведехме в началото:
, Тогава:

предишният член на прогресията е:
следващият член на прогресията е:

Нека обобщим предишните и следващите условия на прогресията:

Оказва се, че сборът от предишния и последващия член на прогресията е двойната стойност на члена на прогресията, разположен между тях. С други думи, за да намерите стойността на член на прогресия с известни предишни и последователни стойности, трябва да ги съберете и разделите на.

Точно така, имаме едно и също число. Да осигурим материала. Изчислете сами стойността на прогресията, не е никак трудно.

Много добре! Знаете почти всичко за прогресията! Остава да открием само една формула, която според легендата е била лесно изведена от един от най-великите математици на всички времена, „краля на математиците“ - Карл Гаус...

Когато Карл Гаус беше на 9 години, учител, зает да проверява работата на учениците в други класове, възложи следната задача в клас: „Изчислете сумата на всички естествени числа от до (според други източници до) включително.“ Представете си изненадата на учителя, когато един от неговите ученици (това беше Карл Гаус) минута по-късно даде правилния отговор на задачата, докато повечето от съучениците на смелчагата след дълги изчисления получиха грешен резултат ...

Младият Карл Гаус забеляза определен модел, който лесно можете да забележите и вие.
Да кажем, че имаме аритметична прогресия, състояща се от -ти членове: Трябва да намерим сбора на тези членове на аритметичната прогресия. Разбира се, можем ръчно да сумираме всички стойности, но какво ще стане, ако задачата изисква намиране на сумата от нейните членове, както търсеше Гаус?

Нека изобразим напредъка, който ни е даден. Разгледайте по-отблизо маркираните числа и се опитайте да извършите различни математически операции с тях.

Опитвали ли сте го? Какво забелязахте? вярно! Сумите им са равни

А сега ми кажете колко такива двойки има общо в дадената ни прогресия? Разбира се, точно половината от всички числа, т.е.
Въз основа на факта, че сумата от два члена на аритметична прогресия е равна и подобни двойки са равни, получаваме, че общата сума е равна на:
.
По този начин формулата за сумата от първите членове на всяка аритметична прогресия ще бъде:

В някои задачи не знаем тия член, но знаем разликата в прогресията. Опитайте се да замените формулата на тия член във формулата за сумата.
Какво получи?

Много добре! Сега нека се върнем към задачата, зададена на Карл Гаус: изчислете сами на какво е равен сборът от числата, започващи от th, и сборът от числата, започващи от th.

Колко получихте?
Гаус установи, че сумата от членовете е равна, и сумата от членовете. Това ли реши?

Всъщност формулата за сумата от членовете на аритметичната прогресия е доказана от древногръцкия учен Диофант още през 3-ти век и през цялото това време остроумните хора са използвали напълно свойствата на аритметичната прогресия.
Например, представете си Древен Египет и най-големия строителен проект от онова време - изграждането на пирамида... На снимката е показана едната й страна.

Къде е прогресията тук, ще кажете? Погледнете внимателно и намерете модел в броя на пясъчните блокове във всеки ред на стената на пирамидата.

Защо не аритметична прогресия? Изчислете колко блока са необходими за изграждането на една стена, ако в основата са поставени блокови тухли. Надявам се, че няма да броите, докато движите пръста си по монитора, помните ли последната формула и всичко, което казахме за аритметичната прогресия?

В този случай прогресията изглежда така: .
Разлика в аритметична прогресия.
Броят на членовете на аритметичната прогресия.
Нека заместим нашите данни в последните формули (изчислете броя на блоковете по 2 начина).

Метод 1.

Метод 2.

И сега можете да изчислите на монитора: сравнете получените стойности с броя на блоковете, които са в нашата пирамида. Схванах го? Браво, усвоихте сумата от n-тите членове на аритметичната прогресия.
Разбира се, не можете да изградите пирамида от блокове в основата, но от? Опитайте се да изчислите колко пясъчни тухли са необходими за изграждане на стена с това условие.
успяхте ли
Правилният отговор е блокове:

обучение

Задачи:

Маша влиза във форма за лятото. Всеки ден тя увеличава броя на кляканията с. Колко пъти Маша ще прави клякания за една седмица, ако направи клякания на първата тренировка?
Какъв е сборът на всички нечетни числа, съдържащи се в.
Когато съхраняват трупи, дърводобивачите ги подреждат по такъв начин, че всеки горен слой да съдържа един труп по-малко от предишния. Колко трупи има в една зидария, ако основата на зидарията е трупи?

Отговори:

Нека дефинираме параметрите на аритметичната прогресия. В такъв случай
(седмици = дни).
Отговор:След две седмици Маша трябва да прави клякания веднъж на ден.
Първо нечетно число, последно число.
Разлика в аритметична прогресия.
Броят на нечетните числа в е половината, но нека проверим този факт, като използваме формулата за намиране на члена от аритметичната прогресия:
Числата съдържат нечетни числа.
Нека заместим наличните данни във формулата:
Отговор:Сборът на всички нечетни числа, съдържащи се в е равен.
Нека си спомним задачата за пирамидите. За нашия случай a , тъй като всеки горен слой е намален с един дневник, тогава общо има куп слоеве, т.е.
Нека заместим данните във формулата:
Отговор:В зидарията има трупи.

Нека обобщим

- числова редица, в която разликата между съседни числа е еднаква и равна. Тя може да бъде нарастваща или намаляваща.
Намиране на формулаЧленът на една аритметична прогресия се записва с формулата - , където е броят на числата в прогресията.
Свойство на членове на аритметична прогресия- - където е броят на числата в прогресия.
Сумата от членовете на аритметична прогресияможе да се намери по два начина:

, където е броят на стойностите.

АРИТМЕТИЧНА ПРОГРЕСИЯ. СРЕДНО НИВО

Числова последователност

Нека седнем и започнем да пишем някои числа. Например:

Можете да пишете всякакви числа и те могат да бъдат колкото искате. Но винаги можем да кажем кой е първи, кой втори и т.н., тоест можем да ги номерираме. Това е пример за числова последователност.

Числова последователносте набор от числа, на всяко от които може да бъде присвоен уникален номер.

С други думи, всяко число може да бъде свързано с определено естествено число, при това уникално. И ние няма да присвоим този номер на друг номер от този набор.

Числото с номер се нарича th член на редицата.

Много е удобно, ако th член на редицата може да се определи с някаква формула. Например формулата

задава последователността:

А формулата е следната последователност:

Например аритметичната прогресия е последователност (първият член тук е равен, а разликата е). Или (, разлика).

формула за n-ти член

Рекурентна наричаме формула, в която, за да разберете тия член, трябва да знаете предишния или няколко предишни:

За да намерим, например, члена на прогресията, използвайки тази формула, ще трябва да изчислим предходните девет. Например, нека. Тогава:

Е, сега ясно ли е каква е формулата?

Във всеки ред добавяме към, умножено по някакво число. Кое? Много просто: това е номерът на текущия член минус:

Много по-удобно сега, нали? Ние проверяваме:

Решете сами:

В аритметична прогресия намерете формулата за n-тия член и намерете стотния член.

Решение:

Първият член е равен. Каква е разликата? Ето какво:

(Ето защо се нарича разлика, защото е равна на разликата на последователните членове на прогресията).

И така, формулата:

Тогава стотният член е равен на:

Какъв е сборът на всички естествени числа от до?

Според легендата великият математик Карл Гаус, като 9-годишно момче, изчислил тази сума за няколко минути. Той забеляза, че сборът на първото и последното число е равен, сборът на второто и предпоследното е еднакъв, сборът на третото и 3-то от края е еднакъв и т.н. Колко са общо тези двойки? Точно така, точно половината от броя на всички числа, т.е. Така,

Общата формула за сумата от първите членове на всяка аритметична прогресия ще бъде:

Пример:
Намерете сбора на всички двуцифрени кратни.

Решение:

Първото такова число е това. Всяко следващо число се получава чрез добавяне към предходното число. Така числата, които ни интересуват, образуват аритметична прогресия с първия член и разликата.

Формула на тия член за тази прогресия:

Колко члена има в прогресията, ако всички те трябва да са двуцифрени?

Много лесно: .

Последният член на прогресията ще бъде равен. След това сумата:

Отговор: .

Сега решете сами:

Всеки ден спортистът бяга повече метри от предишния ден. Колко общо километра ще пробяга за една седмица, ако пробяга km m през първия ден?
Велосипедистът изминава повече километри всеки ден от предишния ден. Първия ден измина км. Колко дни трябва да пътува, за да измине един километър? Колко километра ще измине през последния ден от пътуването си?
Цената на хладилника в магазина пада с една и съща сума всяка година. Определете колко е намалявала цената на хладилника всяка година, ако, обявен за продажба за рубли, шест години по-късно е продаден за рубли.

Отговори:

Най-важното тук е да разпознаете аритметичната прогресия и да определите нейните параметри. В този случай (седмици = дни). Трябва да определите сумата от първите членове на тази прогресия:
.
Отговор:
Тук е дадено: , трябва да се намери.
Очевидно е, че трябва да използвате същата формула за сумиране, както в предишния проблем:
.
Заменете стойностите:
Коренът очевидно не пасва, така че отговорът е.
Нека изчислим пътя, изминат през последния ден, като използваме формулата на тия член:
(км).
Отговор:
Дадено: . Намирам: .
Не може да бъде по-просто:
(търкайте).
Отговор:

АРИТМЕТИЧНА ПРОГРЕСИЯ. НАКРАТКО ЗА ГЛАВНОТО

Това е редица от числа, в която разликата между съседни числа е еднаква и равна.

Аритметичната прогресия може да бъде нарастваща () и намаляваща ().

Например:

Формула за намиране на n-тия член на аритметична прогресия

се записва по формулата, където е броят на числата в прогресия.

Свойство на членове на аритметична прогресия

Тя ви позволява лесно да намерите член на прогресия, ако съседните му членове са известни - къде е броят на числата в прогресията.

Сума от членовете на аритметична прогресия

Има два начина да намерите сумата:

Къде е броят на стойностите.

ОСТАНАЛИТЕ 2/3 АРТИКУЛА СА ДОСТЪПНИ САМО ЗА СТУДЕНТИ НА YOUCLEVER!

Станете студент на YouClever,

Подгответе се за Единния държавен изпит или Единния държавен изпит по математика на цената на „чаша кафе на месец“,

И също така получете неограничен достъп до учебника „YouClever“, подготвителната програма „100gia“ (работна книга), неограничен пробен Единен държавен изпит и Единен държавен изпит, 6000 задачи с анализ на решения и други услуги на YouClever и 100gia.

В математиката всяка колекция от числа, които следват едно след друго, организирани по някакъв начин, се нарича последователност. От всички съществуващи поредици от числа се разграничават два интересни случая: алгебрична и геометрична прогресия.

Какво е аритметична прогресия?

Веднага трябва да се каже, че алгебричната прогресия често се нарича аритметика, тъй като нейните свойства се изучават от клона на математиката - аритметика.

Тази прогресия е поредица от числа, в която всеки следващ член се различава от предходния с определено постоянно число. Нарича се разлика на алгебрична прогресия. За категоричност го обозначаваме с латинската буква d.

Пример за такава последователност може да бъде следното: 3, 5, 7, 9, 11 ..., тук можете да видите, че числото 5 е по-голямо от числото 3 с 2, 7 е по-голямо от 5 с 2 и скоро. Така в представения пример d = 5-3 = 7-5 = 9-7 = 11-9 = 2.

Какви са видовете аритметични прогресии?

Природата на тези подредени поредици от числа до голяма степен се определя от знака на числото d. Разграничават се следните видове алгебрични прогресии:

нарастване, когато d е положително (d>0);
константа, когато d = 0;
намалява, когато d е отрицателно (d<0).

Примерът, даден в предишния параграф, показва нарастваща прогресия. Пример за намаляваща последователност е следната последователност от числа: 10, 5, 0, -5, -10, -15 ... Постоянна прогресия, както следва от нейната дефиниция, е колекция от еднакви числа.

n-ти член на прогресия

Поради факта, че всяко следващо число в разглежданата прогресия се различава с константа d от предходното, неговият n-ти член може лесно да бъде определен. За да направите това, трябва да знаете не само d, но и 1 - първия член на прогресията. Използвайки рекурсивен подход, може да се получи формула за алгебрична прогресия за намиране на n-тия член. Изглежда така: a n = a 1 + (n-1)*d. Тази формула е доста проста и може да бъде разбрана интуитивно.

Освен това не е трудно да се използва. Например, в прогресията, дадена по-горе (d=2, a 1 =3), ние определяме неговия 35-ти член. Според формулата тя ще бъде равна на: a 35 = 3 + (35-1)*2 = 71.

Формула за количество

Когато е дадена аритметична прогресия, сумата от нейните първи n члена е често срещан проблем, заедно с определянето на стойността на n-тия член. Формулата за сумата на алгебрична прогресия се записва в следната форма: ∑ n 1 = n*(a 1 +a n)/2, тук символът ∑ n 1 показва, че членовете от 1-ви до n-ти са сумирани.

Горният израз може да бъде получен чрез прибягване до свойствата на същата рекурсия, но има по-лесен начин да се докаже неговата валидност. Нека запишем първите 2 и последните 2 членове на тази сума, като ги изразим с числа a 1, a n и d, и получаваме: a 1, a 1 +d,...,a n -d, a n. Сега забележете, че ако добавим първия член към последния, той ще бъде точно равен на сумата от втория и предпоследния член, тоест a 1 +a n. По подобен начин може да се покаже, че същата сума може да се получи чрез добавяне на третия и предпоследния член и т.н. В случай на двойка числа в редицата, получаваме n/2 суми, всяка от които е равна на a 1 +a n. Тоест, получаваме горната формула за алгебричната прогресия за сумата: ∑ n 1 = n*(a 1 +a n)/2.

За несдвоен брой членове n се получава подобна формула, ако следвате описаното разсъждение. Само не забравяйте да добавите оставащия член, който е в центъра на прогресията.

Нека покажем как да използваме горната формула, използвайки примера на проста прогресия, която беше въведена по-горе (3, 5, 7, 9, 11 ...). Например, необходимо е да се определи сумата от първите 15 члена. Първо, нека дефинираме 15. Използвайки формулата за n-тия член (вижте предишния параграф), получаваме: a 15 = a 1 + (n-1)*d = 3 + (15-1)*2 = 31. Сега можем да приложим формулата за сумата от алгебрична прогресия: ∑ 15 1 = 15*(3+31)/2 = 255.

Интересно е да цитирам един интересен исторически факт. Формулата за сумата на аритметичната прогресия е получена за първи път от Карл Гаус (известният немски математик от 18 век). Когато бил само на 10 години, неговият учител го помолил да намери сумата на числата от 1 до 100. Казват, че малкият Гаус решил тази задача за няколко секунди, като забелязал, че чрез сумиране на числата от началото и края на редицата по двойки винаги можете да получите 101 и тъй като има 50 такива суми, той бързо даде отговора: 50*101 = 5050.

Пример за решение на проблем

За да завършим темата за алгебричната прогресия, ще дадем пример за решаване на друг интересен проблем, като по този начин засилим разбирането на разглежданата тема. Нека е дадена определена прогресия, за която е известна разликата d = -3, както и нейният 35-ти член a 35 = -114. Необходимо е да се намери 7-ия член на прогресията a 7 .

Както се вижда от условията на задачата, стойността на 1 е неизвестна, следователно няма да е възможно да се използва директно формулата за n-тия член. Методът на рекурсия също е неудобен, което е трудно да се приложи ръчно и има голяма вероятност да направите грешка. Нека продължим по следния начин: напишете формулите за a 7 и a 35, имаме: a 7 = a 1 + 6*d и a 35 = a 1 + 34*d. Извадете втория от първия израз, получаваме: a 7 - a 35 = a 1 + 6*d - a 1 - 34*d. Следва: a 7 = a 35 - 28*d. Остава да замените известните данни от задачата и да запишете отговора: a 7 = -114 - 28*(-3) = -30.

Геометрична прогресия

За да разкрием по-пълно темата на статията, предоставяме кратко описание на друг вид прогресия - геометрична. В математиката това име се разбира като последователност от числа, в която всеки следващ термин се различава от предишния с определен фактор. Нека означим този фактор с буквата r. Нарича се знаменател на разглеждания тип прогресия. Пример за тази числова последователност би бил: 1, 5, 25, 125, ...

Както може да се види от горната дефиниция, алгебричната и геометричната прогресия са подобни по идея. Разликата между тях е, че първият се променя по-бавно от втория.

Геометричната прогресия също може да бъде нарастваща, постоянна или намаляваща. Типът му зависи от стойността на знаменателя r: ако r>1, тогава има нарастваща прогресия, ако r<1 - убывающая, наконец, если r = 1 - постоянная, которая в этом случае может также называться постоянной арифметической прогрессией.

Формули за геометрична прогресия

Както в случая с алгебриката, формулите на геометричната прогресия се свеждат до определяне на нейния n-ти член и сумата от n членове. По-долу са тези изрази:

a n = a 1 *r (n-1) - тази формула следва от определението за геометрична прогресия.
∑ n 1 = a 1 *(r n -1)/(r-1). Важно е да се отбележи, че ако r = 1, тогава горната формула дава несигурност, така че не може да се използва. В този случай сумата от n членове ще бъде равна на простото произведение a 1 *n.

Например, нека намерим сумата от само 10 членове на редицата 1, 5, 25, 125, ... Като знаем, че a 1 = 1 и r = 5, получаваме: ∑ 10 1 = 1*(5 10 -1 )/4 = 2441406. Получената стойност е ясен пример за това колко бързо расте геометричната прогресия.

Може би първото споменаване на тази прогресия в историята е легендата за шахматната дъска, когато приятел на един султан, след като го научил да играе шах, поискал зърно за услугата му. Освен това количеството зърно трябва да бъде следното: на първото поле на шахматната дъска трябва да се постави едно зърно, на второто два пъти повече от първото, на третото два пъти повече от второто и т.н. . Султанът охотно се съгласил да изпълни тази молба, но не знаел, че ще трябва да изпразни всички кошове на страната си, за да удържи на думата си.