Функция y=sinx, нейните основни свойства и графика. Функции y = sin x, y = cos x, техните свойства и графики - Хипермаркет на знанието. Графиката на функцията y е равна на синус x

"Колеж по обслужващи технологии в Йошкар-Ола"

Построяване и изследване на графиката на тригонометричната функция y=sinx в електронна таблицаГ-ЦА Excel

/методическа разработка/

Йошкар – Ола

Предмет. Построяване и изследване на графика на тригонометрична функцияг = sinx в електронна таблица на MS Excel

Тип урок– интегриран (получаване на нови знания)

Цели:

Дидактическа цел - изследвайте поведението на графиките на тригонометричните функцииг= sinxв зависимост от коефициентите с помощта на компютър

Образователни:

1. Разберете промяната в графиката на тригонометрична функция г= грях хв зависимост от коефициентите

2. Покажете въвеждането на компютърни технологии в обучението по математика, интегрирането на два предмета: алгебра и информатика.

3. Развийте умения за използване на компютърни технологии в уроците по математика

4. Укрепване на уменията за изучаване на функции и конструиране на техните графики

Образователни:

1. Развиване на познавателния интерес на учениците към учебните дисциплини и способността да прилагат знанията си в практически ситуации

2. Развийте способността да анализирате, сравнявате, подчертавате основното

3. Допринасят за подобряване на общото ниво на развитие на учениците

Образователни :

1. Насърчавайте независимостта, точността и упоритата работа

2. Насърчавайте култура на диалог

Форми на работа в урока -комбинирани

Дидактически съоръжения и оборудване:

1. Компютри

2. Мултимедиен проектор

4. Раздавателни материали

5. Презентационни слайдове

По време на часовете

аз. Организация на началото на урока

· Поздрав към ученици и гости

· Настроение за урока

II. Поставяне на цели и актуализиране на темата

Отнема много време за изучаване на функция и изграждане на нейната графика, трябва да извършите много тромави изчисления, не е удобно, компютърните технологии идват на помощ.

Днес ще научим как да изграждаме графики на тригонометрични функции в средата на електронни таблици на MS Excel 2007.

Темата на нашия урок е „Построяване и изучаване на графика на тригонометрична функция г= sinxв табличен процесор"

От курса по алгебра знаем схемата за изучаване на функция и построяване на нейната графика. Нека си припомним как се прави това.

Слайд 2

Схема за изследване на функцията

1. Област на функцията (D(f))

2. Обхват на функция E(f)

3. Определяне на паритета

4. Честота

5. Нули на функцията (y=0)

6. Интервали с постоянен знак (y>0, y<0)

7. Периоди на монотонност

8. Екстремуми на функцията

III. Първично усвояване на нов учебен материал

Отворете MS Excel 2007.

Нека начертаем функцията y=sin х

Изграждане на графики в процесор за електронни таблициГ-ЦА Excel 2007

Ще начертаем графиката на тази функция върху отсечката хЄ [-2π; 2π]

Ще вземем стойностите на аргумента на стъпки , за да направите графиката по-точна.

Тъй като редакторът работи с числа, нека преобразуваме радианите в числа, знаейки това P ≈ 3,14 . (таблица за превод в материала).

1. Намерете стойността на функцията в точката x=-2P. За останалото редакторът автоматично изчислява съответните стойности на функцията.

2. Сега имаме таблица със стойностите на аргумента и функцията. С тези данни трябва да начертаем тази функция с помощта на съветника за диаграми.

3. За да изградите графика, трябва да изберете необходимия диапазон от данни, редове с аргументи и стойности на функциите

4..jpg" width="667" height="236 src=">

Записваме заключенията в тетрадка (Слайд 5)

Заключение. Графиката на функция от вида y=sinx+k се получава от графиката на функцията y=sinx с помощта на паралелна транслация по оста на операционния усилвател с k единици

Ако k >0, тогава графиката се измества нагоре с k единици

Ако к<0, то график смещается вниз на k единиц

Изграждане и изследване на функция на форматаy=к*sinx,к- конст

Задача 2.На работа Лист2чертаят графики на функции в една координатна система г= sinx г=2* sinx, г= * sinx, на интервала (-2π; 2π) и наблюдавайте как се променя външният вид на графиката.

(За да не задаваме отново стойността на аргумента, нека копираме съществуващите стойности. Сега трябва да зададете формулата и да изградите графика, като използвате получената таблица.)

Сравняваме получените графики. Заедно с учениците анализираме поведението на графиката на тригонометрична функция в зависимост от коефициентите. (Слайд 6)

https://pandia.ru/text/78/510/images/image005_66.gif" width="16" height="41 src=">x , на интервала (-2π; 2π) и наблюдавайте как се променя външният вид на графиката.

Сравняваме получените графики. Заедно с учениците анализираме поведението на графиката на тригонометрична функция в зависимост от коефициентите. (Слайд 8)

https://pandia.ru/text/78/510/images/image008_35.jpg" width="649" height="281 src=">

Записваме заключенията в тетрадка (Слайд 11)

Заключение. Графиката на функция от вида y=sin(x+k) се получава от графиката на функцията y=sinx с помощта на паралелна транслация по оста OX с k единици

Ако k >1, тогава графиката се измества надясно по оста OX

Ако 0

IV. Първично затвърдяване на придобитите знания

Диференцирани карти със задача за построяване и изследване на функция с помощта на графика

V. Организация на домашните работи

Построете графика на функцията y=-2*sinх+1, разгледайте и проверете коректността на построението в таблична среда на Microsoft Excel. (Слайд 12)

VI. Отражение

В този урок ще разгледаме подробно функцията y = sin x, нейните основни свойства и графика. В началото на урока ще дадем дефиницията на тригонометричната функция y = sin t върху координатната окръжност и ще разгледаме графиката на функцията върху окръжността и правата. Нека да покажем периодичността на тази функция на графиката и да разгледаме основните свойства на функцията. В края на урока ще решим няколко прости задачи с помощта на графиката на функция и нейните свойства.

Тема: Тригонометрични функции

Урок: Функция y=sinx, нейните основни свойства и графика

Когато разглеждате функция, важно е да свържете всяка стойност на аргумента с една стойност на функцията. Това закон на кореспонденциятаи се нарича функция.

Нека дефинираме закона за съответствие за .

Всяко реално число съответства на една точка от единичната окръжност, която се нарича синус на числото (фиг. 1).

Всяка стойност на аргумент е свързана с една стойност на функцията.

Очевидни свойства следват от дефиницията на синуса.

Фигурата показва това защото е ординатата на точка от единичната окръжност.

Разгледайте графиката на функцията. Нека си припомним геометричната интерпретация на аргумента. Аргументът е централният ъгъл, измерен в радиани. По оста ще начертаем реални числа или ъгли в радиани, по оста съответните стойности на функцията.

Например, ъгъл върху единичната окръжност съответства на точка на графиката (фиг. 2)

Получихме графика на функцията в областта, но знаейки периода на синуса, можем да изобразим графиката на функцията върху цялата област на дефиниция (фиг. 3).

Основният период на функцията е Това означава, че графиката може да бъде получена на сегмент и след това да продължи през цялата област на дефиниране.

Разгледайте свойствата на функцията:

1) Обхват на определението:

2) Диапазон от стойности:

3) Странна функция:

4) Най-малък положителен период:

5) Координати на точките на пресичане на графиката с абсцисната ос:

6) Координати на пресечната точка на графиката с ординатната ос:

7) Интервали, при които функцията приема положителни стойности:

8) Интервали, при които функцията приема отрицателни стойности:

9) Увеличаване на интервалите:

10) Намаляващи интервали:

11) Минимални точки:

12) Минимални функции:

13) Максимален брой точки:

14) Максимални функции:

Разгледахме свойствата на функцията и нейната графика. Свойствата ще се използват многократно при решаване на проблеми.

Библиография

1. Алгебра и начало на анализа, 10 клас (в две части). Учебник за общообразователни институции (ниво на профил), изд. А. Г. Мордкович. -М .: Мнемозина, 2009.

2. Алгебра и начало на анализа, 10 клас (в две части). Проблемна книга за образователни институции (ниво на профил), изд. А. Г. Мордкович. -М .: Мнемозина, 2007.

3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математически анализ за 10 клас (учебник за ученици от училища и класове със задълбочено изучаване на математика) - М.: Просвещение, 1996.

4. Галицки М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Задълбочено изучаване на алгебра и математически анализ.-М .: Образование, 1997.

5. Сборник от задачи по математика за кандидати за висши учебни заведения (под редакцията на М. И. Сканави - М.: Висше училище, 1992 г.).

6. Мерзляк А.Г., Полонски В.Б., Якир М.С. Алгебричен симулатор.-К.: А.С.К., 1997г.

7. Сахакян С.М., Голдман А.М., Денисов Д.В. Проблеми по алгебра и принципи на анализ (ръководство за ученици от 10-11 клас на общообразователните институции - М.: Просвещение, 2003 г.).

8. Карп А.П. Сборник задачи по алгебра и принципи на анализа: учебник. помощ за 10-11 клас. с дълбочина изучавани Математика.-М .: Образование, 2006.

Домашна работа

Алгебра и начало на анализа, 10 клас (в две части). Проблемна книга за образователни институции (ниво на профил), изд.

А. Г. Мордкович. -М .: Мнемозина, 2007.

№№ 16.4, 16.5, 16.8.

Допълнителни уеб ресурси

3. Образователен портал за подготовка за изпити ().

Как да начертая графика на функцията y=sin x? Първо, нека разгледаме синусовата графика на интервала.

Взимаме един сегмент с дължина 2 клетки в тетрадката. На оста Oy отбелязваме едно.

За удобство закръгляме числото π/2 до 1,5 (а не до 1,6, както се изисква от правилата за закръгляване). В този случай сегмент с дължина π/2 съответства на 3 клетки.

На оста Ox маркираме не отделни сегменти, а сегменти с дължина π/2 (на всеки 3 клетки). Съответно сегмент с дължина π съответства на 6 клетки, а сегмент с дължина π/6 съответства на 1 клетка.

При този избор на единична отсечка графиката, изобразена на лист от тетрадка в кутия, най-много съвпада с графиката на функцията y=sin x.

Нека направим таблица със синусови стойности на интервала:

Маркираме получените точки на координатната равнина:

Тъй като y=sin x е нечетна функция, синусовата графика е симетрична по отношение на началото - точка O(0;0). Като вземем предвид този факт, продължаваме да начертаваме графиката вляво, след това точките -π:

Функцията y=sin x е периодична с период T=2π. Следователно графиката на функция, взета в интервала [-π;π], се повтаря безкраен брой пъти надясно и наляво.

В този урок ще разгледаме подробно функцията y = sin x, нейните основни свойства и графика. В началото на урока ще дадем дефиницията на тригонометричната функция y = sin t върху координатната окръжност и ще разгледаме графиката на функцията върху окръжността и правата. Нека да покажем периодичността на тази функция на графиката и да разгледаме основните свойства на функцията. В края на урока ще решим няколко прости задачи с помощта на графиката на функция и нейните свойства.

Тема: Тригонометрични функции

Урок: Функция y=sinx, нейните основни свойства и графика

Когато разглеждате функция, важно е да свържете всяка стойност на аргумента с една стойност на функцията. Това закон на кореспонденциятаи се нарича функция.

Нека дефинираме закона за съответствие за .

Всяко реално число съответства на една точка от единичната окръжност, която се нарича синус на числото (фиг. 1).

Всяка стойност на аргумент е свързана с една стойност на функцията.

Очевидни свойства следват от дефиницията на синуса.

Фигурата показва това защото е ординатата на точка от единичната окръжност.

Разгледайте графиката на функцията. Нека си припомним геометричната интерпретация на аргумента. Аргументът е централният ъгъл, измерен в радиани. По оста ще начертаем реални числа или ъгли в радиани, по оста съответните стойности на функцията.

Например, ъгъл върху единичната окръжност съответства на точка на графиката (фиг. 2)

Получихме графика на функцията в областта, но знаейки периода на синуса, можем да изобразим графиката на функцията върху цялата област на дефиниция (фиг. 3).

Основният период на функцията е Това означава, че графиката може да бъде получена на сегмент и след това да продължи през цялата област на дефиниране.

Разгледайте свойствата на функцията:

1) Обхват на определението:

2) Диапазон от стойности:

3) Странна функция:

4) Най-малък положителен период:

5) Координати на точките на пресичане на графиката с абсцисната ос:

6) Координати на пресечната точка на графиката с ординатната ос:

7) Интервали, при които функцията приема положителни стойности:

8) Интервали, при които функцията приема отрицателни стойности:

9) Увеличаване на интервалите:

10) Намаляващи интервали:

11) Минимални точки:

12) Минимални функции:

13) Максимален брой точки:

14) Максимални функции:

Разгледахме свойствата на функцията и нейната графика. Свойствата ще се използват многократно при решаване на проблеми.

Библиография

1. Алгебра и начало на анализа, 10 клас (в две части). Учебник за общообразователни институции (ниво на профил), изд. А. Г. Мордкович. -М .: Мнемозина, 2009.

2. Алгебра и начало на анализа, 10 клас (в две части). Проблемна книга за образователни институции (ниво на профил), изд. А. Г. Мордкович. -М .: Мнемозина, 2007.

3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математически анализ за 10 клас (учебник за ученици от училища и класове със задълбочено изучаване на математика) - М.: Просвещение, 1996.

4. Галицки М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Задълбочено изучаване на алгебра и математически анализ.-М .: Образование, 1997.

5. Сборник от задачи по математика за кандидати за висши учебни заведения (под редакцията на М. И. Сканави - М.: Висше училище, 1992 г.).

6. Мерзляк А.Г., Полонски В.Б., Якир М.С. Алгебричен симулатор.-К.: А.С.К., 1997г.

7. Сахакян С.М., Голдман А.М., Денисов Д.В. Проблеми по алгебра и принципи на анализ (ръководство за ученици от 10-11 клас на общообразователните институции - М.: Просвещение, 2003 г.).

8. Карп А.П. Сборник задачи по алгебра и принципи на анализа: учебник. помощ за 10-11 клас. с дълбочина изучавани Математика.-М .: Образование, 2006.

Домашна работа

Алгебра и начало на анализа, 10 клас (в две части). Проблемна книга за образователни институции (ниво на профил), изд.

А. Г. Мордкович. -М .: Мнемозина, 2007.

№№ 16.4, 16.5, 16.8.

Допълнителни уеб ресурси

3. Образователен портал за подготовка за изпити ().

Открихме, че поведението на тригонометричните функции и функциите y = sin x в частност, на цялата числова линия (или за всички стойности на аргумента х) се определя изцяло от поведението му в интервала 0 < х < π / 2 .

Следователно, първо ще начертаем функцията y = sin x точно в този интервал.

Нека направим следната таблица със стойности на нашата функция;

Като маркираме съответните точки на координатната равнина и ги съединим с гладка линия, получаваме кривата, показана на фигурата

Получената крива може да се конструира и геометрично, без да се съставя таблица със стойностите на функцията y = sin x .

1. Разделете първата четвърт на окръжност с радиус 1 на 8 равни части, които са синусите на съответните ъгли.

2. Първата четвърт от кръга съответства на ъгли от 0 до π / 2 . Следователно, на ос хНека вземем отсечка и я разделим на 8 равни части.

3. Нека начертаем прави линии, успоредни на осите х, а от точките на разделяне построяваме перпендикуляри до пресичането им с хоризонтални линии.

4. Свържете пресечните точки с гладка линия.

Сега нека да разгледаме интервала π / 2 < х < π .
Всеки аргумент стойност хот този интервал може да се представи като

х = π / 2 + φ

Където 0 < φ < π / 2 . Според формулите за намаляване

грях( π / 2 + φ ) = cos φ = грях ( π / 2 - φ ).

Точки на осите хс абсцисите π / 2 + φ И π / 2 - φ симетрични една спрямо друга спрямо точката на оста хс абсцисата π / 2 , а синусите в тези точки са еднакви. Това ни позволява да получим графика на функцията y = sin x в интервала [ π / 2 , π ] чрез просто симетрично показване на графиката на тази функция в интервала спрямо правата линия х = π / 2 .

Сега използва имота функция за нечетен паритет y = sin x,

грях (- х) = - грях х,

лесно е да начертаете тази функция в интервала [- π , 0].

Функцията y = sin x е периодична с период 2π ;. Следователно, за да се изгради цялата графика на тази функция, е достатъчно да продължите кривата, показана на фигурата, наляво и надясно периодично с период 2π .

Получената крива се нарича синусоида . Представлява графиката на функцията y = sin x.

Фигурата добре илюстрира всички свойства на функцията y = sin x , което вече сме доказали. Нека си припомним тези свойства.

1) Функция y = sin x определени за всички стойности х , така че неговата област е множеството от всички реални числа.

2) Функция y = sin x ограничен. Всички стойности, които приема, са между -1 и 1, включително тези две числа. Следователно диапазонът на изменение на тази функция се определя от неравенството -1 < при < 1. Кога х = π / 2 + 2k π функцията приема най-големите стойности, равни на 1, а за x = - π / 2 + 2k π - най-малките стойности, равни на - 1.

3) Функция y = sin x е нечетна (синусоидалната вълна е симетрична спрямо началото).

4) Функция y = sin x периодичен с период 2 π .

5) На 2n интервали π < х < π + 2n π (n е всяко цяло число) то е положително и в интервали π + 2k π < х < 2π + 2k π (k е всяко цяло число) то е отрицателно. При x = k π функцията отива на нула. Следователно тези стойности на аргумента x (0; ± π ; ±2 π ; ...) се наричат ​​функционални нули y = sin x

6) На интервали - π / 2 + 2n π < х < π / 2 + 2n π функция y = грях х нараства монотонно и на интервали π / 2 + 2k π < х < 3π / 2 + 2k π намалява монотонно.

Трябва да обърнете специално внимание на поведението на функцията y = sin x близо до точката х = 0 .

Например, sin 0,012 ≈ 0,012; грях (-0,05) ≈ -0,05;

sin 2° = sin π 2 / 180 = грях π / 90 ≈ 0,03 ≈ 0,03.

В същото време трябва да се отбележи, че за всякакви стойности на x

| грях х| < | x | . (1)

Наистина, нека радиусът на кръга, показан на фигурата, е равен на 1,
а / AOB = х.

Тогава грях х= AC. Но AC< АВ, а АВ, в свою очередь, меньше длины дуги АВ, на которую опирается угол х. Дължината на тази дъга очевидно е равна на х, тъй като радиусът на окръжността е 1. И така, при 0< х < π / 2

грях х< х.

Следователно, поради странността на функцията y = sin x лесно е да се покаже, че когато - π / 2 < х < 0

| грях х| < | x | .

И накрая, кога х = 0

| грях х | = | x |.

По този начин за | х | < π / 2 неравенство (1) е доказано. Всъщност това неравенство е вярно и за | х | > π / 2 поради факта, че | грях х | < 1, а π / 2 > 1

Упражнения

1.Според графиката на функцията y = sin x определете: а) грях 2; б) грях 4; в) грях (-3).

2.Според функционалната графика y = sin x определете кое число от интервала
[ - π / 2 , π / 2 ] има синус, равен на: а) 0,6; б) -0,8.

3. Според графиката на функцията y = sin x определи кои числа имат синус,
равно на 1/2.

4. Намерете приблизително (без да използвате таблици): а) sin 1°; б) грях 0,03;
в) sin (-0,015); г) sin (-2°30").