Каква е средната линия в трапец? Свойства на трапец

При решаването на планиметрични задачи, освен страните и ъглите на фигура, често вземат активно участие и други величини - медиани, височини, диагонали, ъглополовящи и други. Те включват средната линия.
Ако първоначалният многоъгълник е трапец, каква е средната му линия? Този сегмент е част от права линия, която пресича страните на фигурата в средата и е разположена успоредно на другите две страни - основите.

Как да намерим средната линия на трапец през линията на средата и основата

Ако стойностите на горната и долната основа са известни, тогава изразът ще помогне да се изчисли неизвестното:

a, b – основи, l – средна линия.

Как да намерим средната линия на трапец през площ

Ако изходните данни съдържат площта на фигурата, тогава с помощта на тази стойност можете също да изчислите дължината на линията в средата на трапеца. Нека използваме формулата S = (a+b)/2*h,
S – площ,
h – височина,
a, b – бази.
Но тъй като l = (a+b)/2, тогава S = l*h, което означава l=S/h.

Как да намерите средната линия на трапец през основата и нейните ъгли

Като се има предвид дължината на по-голямата основа на фигурата, нейната височина, както и известните градуси на ъглите при нея, изразът за намиране на линията на средата на трапеца ще има следния вид:

l=a – h*(ctgα+ctgβ)/2, докато
l е желаната стойност,
a – по-голяма основа,
α, β са ъглите при него,
h – височина на фигурата.

Ако стойността на по-малката основа е известна (предвид същите други данни), следната връзка ще помогне да се намери средната линия:

l=b+h*(ctgα+ctgβ)/2,

l е желаната стойност,
b – по-малка основа,
α, β са ъглите при него,
h – височина на фигурата.

Намерете средната линия на трапец, като използвате височина, диагонали и ъгли

Нека разгледаме ситуация, при която условията на проблема включват стойностите на диагоналите на фигурата, ъглите, които образуват, когато се пресичат, както и височината. Можете да изчислите централната линия, като използвате следните изрази:

l=(d1*d2)/2h*sinγ или l=(d1*d2)/2h*sinφ,

l – средна линия,
d1, d2 – диагонали,
φ, γ – ъгли между тях,
h – височина на фигурата.

Как да намерим средната линия на трапец За равнобедрена фигура

Ако основната фигура е равнобедрен трапец, горните формули ще имат следната форма.

Ако стойностите на основите на трапеца присъстват, няма да има промени в израза.

l = (a+b)/2, a, b – основи, l – средна линия.

Ако височината, основата и прилежащите към нея ъгли са известни, тогава:

l=a-h*ctgα,
l=b+h*ctgα,

l – средна линия,
a, b – основи (b< a),
α са ъглите при него,
h – височина на фигурата.

Ако са известни страничната страна на трапеца и една от основите, тогава желаната стойност може да се определи чрез позоваване на израза:

l=a-√(c*c-h*h),
l=b+√(c*c-h*h),
l – средна линия,
a, b – основи (b< a),
h – височина на фигурата.

При известни стойности на височината, диагоналите (и те са равни един на друг) и ъглите, образувани в резултат на тяхното пресичане, средната линия може да се намери, както следва:

l=(d*d)/2h*sinγ или l=(d*d)/2h*sinφ,

l – средна линия,
d – диагонали,
φ, γ – ъгли между тях,
h – височина на фигурата.

Площта и височината на фигурата са известни, тогава:

l=S/h,
S – площ,
h – височина.

Ако перпендикулярната височина е неизвестна, тя може да се определи с помощта на определението на тригонометричната функция.

h=c*sinα, следователно
l=S/c*sinα,
l – средна линия,
S – площ,
c – страна,
α е ъгълът при основата.

Средната линия на трапеца и особено неговите свойства се използват много често в геометрията за решаване на проблеми и доказване на определени теореми.

е четириъгълник само с 2 страни, успоредни една на друга. Паралелните страни се наричат основи (на фигура 1 - ADИ пр.н.е.), другите две са странични (на фигурата ABИ CD).

Средна линия на трапеце сегмент, свързващ средните точки на неговите страни (на фигура 1 - KL).

Свойства на средната линия на трапец

Доказателство на теоремата за средната линия на трапеца

Докажиче средната линия на трапец е равна на половината от сбора на неговите основи и е успоредна на тези основи.

Даден е трапец ABCDсъс средна линия KL. За доказване на разглежданите свойства е необходимо да се начертае права линия през точките бИ Л. На фигура 2 това е права линия BQ. И също така продължете основата ADдо пресечната точка с линията BQ.

Помислете за получените триъгълници L.B.C.И LQD:

По дефиниция на средната линия KLточка Ле средата на сегмента CD. От това следва, че сегментите C.L.И LDса равни.
∠BLC = ∠QLD, тъй като тези ъгли са вертикални.
∠BCL = ∠LDQ, тъй като тези ъгли лежат напречно на успоредни прави ADИ пр.н.е.и секанс CD.

От тези 3 равенства следва, че разгледаните по-рано триъгълници L.B.C.И LQDравни на 1 страна и два съседни ъгъла (виж фиг. 3). следователно ∠LBC = ∠ LQD, BC=DQи най-важното - BL=LQ => KL, която е средната линия на трапеца ABCD, също е средната линия на триъгълника ABQ. Според свойството на средната линия на триъгълник ABQполучаваме.

Концепцията за средната линия на трапеца

Първо, нека си спомним каква фигура се нарича трапец.

Определение 1

Трапецът е четириъгълник, в който две страни са успоредни, а другите две не са успоредни.

В този случай успоредните страни се наричат основи на трапеца, а неуспоредните страни се наричат странични страни на трапеца.

Определение 2

Средната линия на трапец е сегмент, свързващ средните точки на страничните страни на трапеца.

Теорема за средната линия на трапец

Сега въвеждаме теоремата за средната линия на трапец и я доказваме с помощта на векторния метод.

Теорема 1

Средната линия на трапеца е успоредна на основите и е равна на тяхната полусума.

Доказателство.

Нека ни е даден трапец $ABCD$ с основи $AD\ и\ BC$. И нека $MN$ е средната линия на този трапец (фиг. 1).

Фигура 1. Средна линия на трапец

Нека докажем, че $MN||AD\ и\ MN=\frac(AD+BC)(2)$.

Помислете за вектора $\overrightarrow(MN)$. След това използваме правилото на полигона, за да добавим вектори. От една страна разбираме това

От друга страна

Нека съберем последните две равенства и ще получим

Тъй като $M$ и $N$ са средните точки на страничните страни на трапеца, ще имаме

Получаваме:

Следователно

От същото равенство (тъй като $\overrightarrow(BC)$ и $\overrightarrow(AD)$ са еднопосочни и следователно колинеарни) получаваме, че $MN||AD$.

Теоремата е доказана.

Примерни задачи върху понятието средна линия на трапец

Пример 1

Страничните страни на трапеца са съответно $15\ cm$ и $17\ cm$. Периметърът на трапеца е $52\cm$. Намерете дължината на средната линия на трапеца.

Решение.

Нека означим средната линия на трапеца с $n$.

Сборът на страните е равен на

Следователно, тъй като периметърът е $52\ cm$, сумата от основите е равна на

И така, по теорема 1 получаваме

Отговор:$10\cm$.

Пример 2

Краищата на диаметъра на окръжността са съответно $9$ см и $5$ см от допирателната й. Намерете диаметъра на тази окръжност.

Решение.

Нека ни е дадена окръжност с център в точка $O$ и диаметър $AB$. Нека начертаем допирателна $l$ и построим разстоянията $AD=9\ cm$ и $BC=5\ cm$. Нека начертаем радиуса $OH$ (фиг. 2).

Фигура 2.

Тъй като $AD$ и $BC$ са разстоянията до допирателната, тогава $AD\bot l$ и $BC\bot l$ и тъй като $OH$ е радиусът, тогава $OH\bot l$, следователно $OH |\ляво|AD\дясно||BC$. От всичко това получаваме, че $ABCD$ е трапец, а $OH$ е неговата средна линия. По теорема 1 получаваме

Трапецът е специален случай на четириъгълник, в който една двойка страни е успоредна. Терминът "трапец" идва от гръцката дума τράπεζα, което означава "маса", "маса". В тази статия ще разгледаме видовете трапец и неговите свойства. Освен това ще разберем как да изчислим отделни елементи от това. Например диагоналът на равнобедрен трапец, централната линия, площта и т.н. Материалът е представен в стила на елементарната популярна геометрия, т.е. в лесно достъпна форма .

Главна информация

Първо, нека разберем какво е четириъгълник. Тази фигура е специален случай на многоъгълник, съдържащ четири страни и четири върха. Два върха на четириъгълник, които не са съседни, се наричат противоположни. Същото може да се каже и за две несъседни страни. Основните видове четириъгълници са успоредник, правоъгълник, ромб, квадрат, трапец и делтоид.

Нека се върнем на трапеца. Както вече казахме, тази фигура има две успоредни страни. Те се наричат бази. Другите две (непаралелни) са страничните страни. В материалите за изпити и различни тестове често можете да намерите задачи, свързани с трапеци, чието решение често изисква ученикът да има знания, които не са предвидени в програмата. Училищният курс по геометрия запознава учениците със свойствата на ъглите и диагоналите, както и със средната линия на равнобедрен трапец. Но в допълнение към това, споменатата геометрична фигура има и други характеристики. Но повече за тях малко по-късно...

Видове трапец

Има много разновидности на тази фигура. Най-често обаче е обичайно да се разглеждат два от тях - равнобедрен и правоъгълен.

1. Правоъгълен трапец е фигура, на която една от страните е перпендикулярна на основите. Двата й ъгъла винаги са равни на деветдесет градуса.

2. Равнобедреният трапец е геометрична фигура, чиито страни са равни една на друга. Това означава, че ъглите при основите също са равни по двойки.

Основните принципи на методологията за изследване на свойствата на трапец

Основният принцип включва използването на така наречения подход на задачите. Всъщност няма нужда да се въвеждат нови свойства на тази фигура в теоретичния курс на геометрията. Те могат да бъдат открити и формулирани в процеса на решаване на различни проблеми (за предпочитане системни). В същото време е много важно учителят да знае какви задачи трябва да бъдат възложени на учениците в един или друг момент от учебния процес. Освен това всяко свойство на трапец може да бъде представено като ключова задача в системата от задачи.

Вторият принцип е така наречената спирална организация на изследването на „забележителните“ свойства на трапеца. Това предполага връщане в учебния процес към индивидуалните характеристики на дадена геометрична фигура. Това улеснява учениците да ги запомнят. Например свойството на четири точки. Може да се докаже както при изучаване на сходството, така и впоследствие с помощта на вектори. И еквивалентността на триъгълници, съседни на страничните страни на фигура, може да се докаже чрез прилагане не само на свойствата на триъгълници с равни височини, начертани към страните, които лежат на една и съща права линия, но и чрез използване на формулата S = 1/2( ab*sinα). Освен това можете да работите върху вписан трапец или правоъгълен триъгълник върху вписан трапец и т.н.

Използването на „извънкласни“ характеристики на геометрична фигура в съдържанието на училищен курс е базирана на задача технология за тяхното преподаване. Постоянното обръщане към свойствата, които се изучават, докато преминават през други теми, позволява на учениците да придобият по-задълбочени познания за трапеца и гарантира успеха при решаването на възложените проблеми. И така, нека започнем да изучаваме тази прекрасна фигура.

Елементи и свойства на равнобедрен трапец

Както вече отбелязахме, тази геометрична фигура има равни страни. Известен е още като правилен трапец. Защо е толкова забележително и защо получи такова име? Особеността на тази фигура е, че не само страните и ъглите в основите са равни, но и диагоналите. Освен това сумата от ъглите на равнобедрен трапец е 360 градуса. Но това не е всичко! От всички известни трапеци само равнобедреният може да бъде описан като кръг. Това се дължи на факта, че сумата от противоположните ъгли на тази фигура е равна на 180 градуса и само при това условие може да се опише окръжност около четириъгълник. Следващото свойство на разглежданата геометрична фигура е, че разстоянието от върха на основата до проекцията на противоположния връх върху правата линия, която съдържа тази основа, ще бъде равно на средната линия.

Сега нека да разберем как да намерим ъглите на равнобедрен трапец. Нека разгледаме решение на този проблем, при условие че са известни размерите на страните на фигурата.

Решение

Обикновено четириъгълникът обикновено се обозначава с буквите A, B, C, D, където BS и AD са основите. В равнобедрен трапец страните са равни. Ще приемем, че размерът им е равен на X, а размерите на основите са равни на Y и Z (съответно по-малък и по-голям). За да извършите изчислението, е необходимо да изчертаете височината H от ъгъл B. Резултатът е правоъгълен триъгълник ABN, където AB е хипотенузата, а BN и AN са краката. Изчисляваме размера на крака AN: изваждаме по-малката от по-голямата основа и разделяме резултата на 2. Записваме го под формата на формула: (Z-Y)/2 = F. Сега, за да изчислим острата ъгъл на триъгълника, използваме функцията cos. Получаваме следния запис: cos(β) = X/F. Сега изчисляваме ъгъла: β=arcos (X/F). Освен това, знаейки един ъгъл, можем да определим втория, за това извършваме елементарна аритметична операция: 180 - β. Всички ъгли са определени.

Има второ решение на този проблем. Първо го спускаме от ъгъла до височина H. Изчисляваме стойността на крака BN. Знаем, че квадратът на хипотенузата на правоъгълен триъгълник е равен на сбора от квадратите на катетите. Получаваме: BN = √(X2-F2). След това използваме тригонометричната функция tg. В резултат на това имаме: β = арктан (BN/F). Открит е остър ъгъл. След това го дефинираме подобно на първия метод.

Свойство на диагоналите на равнобедрен трапец

Първо, нека напишем четири правила. Ако диагоналите в равнобедрен трапец са перпендикулярни, тогава:

Височината на фигурата ще бъде равна на сумата от основите, разделена на две;

Височината и средната му линия са равни;

Центърът на кръга е точката, в която ;

Ако страничната страна е разделена от точката на допиране на сегменти H и M, тогава тя е равна на корен квадратен от произведението на тези сегменти;

Четириъгълникът, образуван от допирателните точки, върха на трапеца и центъра на вписаната окръжност, е квадрат, чиято страна е равна на радиуса;

Площта на фигурата е равна на произведението на основите и произведението на половината от сбора на основите и нейната височина.

Подобни трапеци

Тази тема е много удобна за изучаване на свойствата на този Например диагоналите разделят трапец на четири триъгълника, като прилежащите към основите са подобни, а прилежащите към страните са равни по размер. Това твърдение може да се нарече свойство на триъгълниците, на които трапецът е разделен от неговите диагонали. Първата част от това твърдение се доказва чрез знака за подобие на два ъгъла. За доказване на втората част е по-добре да използвате метода, даден по-долу.

Доказателство на теоремата

Приемаме, че фигурата ABSD (AD и BS са основите на трапеца) е разделена на диагонали VD и AC. Точката на тяхното пресичане е O. Получаваме четири триъгълника: AOS - в долната основа, BOS - в горната основа, ABO и SOD отстрани. Триъгълниците SOD и BOS имат обща височина, ако отсечките BO и OD са техните основи. Откриваме, че разликата между техните площи (P) е равна на разликата между тези сегменти: PBOS/PSOD = BO/OD = K. Следователно PSOD = PBOS/K. По същия начин триъгълниците BOS и AOB имат обща височина. Вземаме отсечките CO и OA за техни бази. Получаваме PBOS/PAOB = CO/OA = K и PAOB = PBOS/K. От това следва, че PSOD = PAOB.

За консолидиране на материала се препоръчва на учениците да намерят връзката между областите на получените триъгълници, на които трапецът е разделен от неговите диагонали, като решат следния проблем. Известно е, че триъгълниците BOS и AOD имат равни площи, необходимо е да се намери площта на трапеца. Тъй като PSOD = PAOB, това означава PABSD = PBOS+PAOD+2*PSOD. От подобието на триъгълници BOS и AOD следва, че BO/OD = √(PBOS/PAOD). Следователно PBOS/PSOD = BO/OD = √(PBOS/PAOD). Получаваме PSOD = √(PBOS*PAOD). Тогава PABSD = PBOS+PAOD+2*√(PBOS*PAOD) = (√PBOS+√PAOD)2.

Свойства на подобие

Продължавайки да развиваме тази тема, можем да докажем други интересни характеристики на трапеца. По този начин, използвайки подобие, може да се докаже свойството на сегмент, който минава през точката, образувана от пресечната точка на диагоналите на тази геометрична фигура, успоредна на основите. За целта нека решим следната задача: трябва да намерим дължината на отсечката RK, която минава през точка O. От подобието на триъгълници AOD и BOS следва, че AO/OS = AD/BS. От подобието на триъгълници AOP и ASB следва, че AO/AC=RO/BS=AD/(BS+AD). От тук получаваме, че RO=BS*BP/(BS+BP). По същия начин от сходството на триъгълници DOC и DBS следва, че OK = BS*AD/(BS+AD). От тук получаваме, че RO=OK и RK=2*BS*AD/(BS+AD). Сегмент, минаващ през точката на пресичане на диагоналите, успоредни на основите и свързващи две странични страни, се разделя наполовина от точката на пресичане. Дължината му е средната хармонична стойност на основите на фигурата.

Разгледайте следното свойство на трапец, което се нарича свойство на четири точки. Пресечните точки на диагоналите (O), пресечната точка на продължението на страните (E), както и средните точки на основите (T и F) винаги лежат на една и съща права. Това може лесно да се докаже чрез метода на подобието. Получените триъгълници BES и AED са подобни и във всеки от тях медианите ET и EJ разделят ъгъла на върха E на равни части. Следователно точките E, T и F лежат на една права линия. По същия начин точките T, O и Zh са разположени на една и съща права линия Всичко това следва от подобието на триъгълниците BOS и AOD. От тук заключаваме, че и четирите точки - E, T, O и F - ще лежат на една и съща права линия.

Използвайки подобни трапеци, можете да помолите учениците да намерят дължината на сегмента (LS), който разделя фигурата на две подобни. Този сегмент трябва да е успореден на основите. Тъй като получените трапеци ALFD и LBSF са подобни, тогава BS/LF = LF/AD. От това следва, че LF=√(BS*AD). Откриваме, че отсечката, разделяща трапеца на две еднакви има дължина, равна на средната геометрична на дължините на основите на фигурата.

Разгледайте следното свойство на подобие. Тя се основава на сегмент, който разделя трапеца на две равни фигури. Приемаме, че трапецът ABSD е разделен от отсечката EH на две подобни. От върха B е пропусната височина, която се разделя от отсечка EN на две части - B1 и B2. Получаваме: PABSD/2 = (BS+EN)*B1/2 = (AD+EN)*B2/2 и PABSD = (BS+AD)*(B1+B2)/2. След това съставяме система, чието първо уравнение е (BS+EN)*B1 = (AD+EN)*B2, а второто (BS+EN)*B1 = (BS+AD)*(B1+B2)/2. От това следва, че B2/B1 = (BS+EN)/(AD+EN) и BS+EN = ((BS+AD)/2)*(1+B2/B1). Откриваме, че дължината на отсечката, разделяща трапеца на две равни, е равна на средния квадрат на дължините на основите: √((BS2+AD2)/2).

Констатации за сходство

Така ние доказахме, че:

1. Отсечката, свързваща средите на страничните страни на трапеца, е успоредна на AD и BS и е равна на средноаритметичното на BS и AD (дължината на основата на трапеца).

2. Правата, минаваща през точката O на пресечната точка на диагоналите, успоредни на AD и BS, ще бъде равна на средната хармонична стойност на числата AD и BS (2*BS*AD/(BS+AD)).

3. Отсечката, разделяща трапеца на подобни има дължина на средната геометрична на основите BS и AD.

4. Елемент, разделящ фигура на две равни, има дължината на средния квадрат на числата AD и BS.

За да консолидира материала и да разбере връзката между разглежданите сегменти, ученикът трябва да ги конструира за конкретен трапец. Той може лесно да покаже средната линия и отсечката, която минава през точка O - пресечната точка на диагоналите на фигурата - успоредни на основите. Но къде ще бъдат разположени третият и четвъртият? Този отговор ще доведе ученика до откриването на желаната връзка между средните стойности.

Отсечка, свързваща средните точки на диагоналите на трапец

Разгледайте следното свойство на тази фигура. Приемаме, че отсечката MH е успоредна на основите и разполовява диагоналите. Нека наречем пресечните точки Ш и Ш. Този сегмент ще бъде равен на половината от разликата на основите. Нека разгледаме това по-подробно. MS е средната линия на триъгълника ABS, равна е на BS/2. MSH е средната линия на триъгълник ABD, равна е на AD/2. Тогава получаваме, че ShShch = MSh-MSh, следователно ShShch = AD/2-BS/2 = (AD+VS)/2.

Център на тежестта

Нека да разгледаме как се определя този елемент за дадена геометрична фигура. За да направите това, е необходимо да разширите основите в противоположни посоки. Какво означава? Трябва да добавите долната основа към горната основа - във всяка посока, например надясно. И удължаваме долната по дължината на горната вляво. След това ги свързваме диагонално. Пресечната точка на този сегмент със средната линия на фигурата е центърът на тежестта на трапеца.

Вписани и описани трапеци

Нека изброим характеристиките на такива фигури:

1. Трапецът може да бъде вписан в окръжност само ако е равнобедрен.

2. Трапецът може да се опише около окръжност, при условие че сборът от дължините на техните основи е равен на сбора от дължините на страните.

Следствия от вписаната окръжност:

1. Височината на описания трапец винаги е равна на два радиуса.

2. Страната на описания трапец се наблюдава от центъра на окръжността под прав ъгъл.

Първото следствие е очевидно, но за доказване на второто е необходимо да се установи, че ъгълът SOD е прав, което всъщност също не е трудно. Но познаването на това свойство ще ви позволи да използвате правоъгълен триъгълник при решаване на проблеми.

Сега нека уточним тези последствия за равнобедрен трапец, вписан в окръжност. Откриваме, че височината е средната геометрична на основите на фигурата: H=2R=√(BS*AD). Упражнявайки основната техника за решаване на задачи за трапец (принципа на чертане на две височини), ученикът трябва да реши следната задача. Приемаме, че BT е височината на равнобедрената фигура ABSD. Необходимо е да се намерят сегментите AT и TD. Използвайки формулата, описана по-горе, това няма да е трудно да се направи.

Сега нека да разберем как да определим радиуса на окръжност, използвайки площта на описания трапец. Спускаме височината от върха B до основата AD. Тъй като окръжността е вписана в трапец, тогава BS+AD = 2AB или AB = (BS+AD)/2. От триъгълник ABN намираме sinα = BN/AB = 2*BN/(BS+AD). PABSD = (BS+BP)*BN/2, BN=2R. Получаваме PABSD = (BS+BP)*R, от което следва, че R = PABSD/(BS+BP).

Всички формули за средна линия на трапец

Сега е време да преминем към последния елемент от тази геометрична фигура. Нека разберем на какво е равна средната линия на трапеца (M):

1. През основите: M = (A+B)/2.

2. Чрез височина, основа и ъгли:

M = A-H*(ctgα+ctgβ)/2;

M = B+N*(ctgα+ctgβ)/2.

3. През височина, диагонали и ъгъл между тях. Например D1 и D2 са диагоналите на трапец; α, β - ъгли между тях:

M = D1*D2*sinα/2N = D1*D2*sinβ/2N.

4. Проходна площ и височина: M = P/N.

В тази статия ще се опитаме да отразим свойствата на трапеца възможно най-пълно. По-специално ще говорим за общите характеристики и свойства на трапец, както и за свойствата на вписан трапец и окръжност, вписана в трапец. Ще се докоснем и до свойствата на равнобедрен и правоъгълен трапец.

Пример за решаване на проблем с помощта на обсъжданите свойства ще ви помогне да го сортирате на места в главата си и да запомните по-добре материала.

Трапец и всички-всички-всички

Като начало, нека си припомним накратко какво е трапец и какви други понятия са свързани с него.

И така, трапецът е четириъгълна фигура, две от чиито страни са успоредни една на друга (това са основите). И двете не са успоредни - това са страните.

В трапец височината може да се спусне - перпендикулярно на основите. Централната линия и диагоналите са начертани. Също така е възможно да се начертае ъглополовяща от всеки ъгъл на трапеца.

Сега ще говорим за различните свойства, свързани с всички тези елементи и техните комбинации.

Свойства на диагоналите на трапец

За да стане по-ясно, докато четете, начертайте трапеца ACME върху лист хартия и начертайте диагонали в него.

Ако намерите средните точки на всеки от диагоналите (нека наречем тези точки X и T) и ги свържете, ще получите сегмент. Едно от свойствата на диагоналите на трапеца е, че отсечката HT лежи на средната линия. А дължината му може да се получи, като разликата на основите се раздели на две: ХТ = (а – б)/2.
Пред нас е същият трапец ACME. Диагоналите се пресичат в точка O. Да разгледаме триъгълниците AOE и MOK, образувани от отсечки на диагоналите заедно с основите на трапеца. Тези триъгълници са подобни. Коефициентът на сходство k на триъгълниците се изразява чрез отношението на основите на трапеца: k = AE/KM.
Отношението на площите на триъгълниците AOE и MOK се описва с коефициента k 2 .
Същият трапец, същите диагонали, пресичащи се в точка О. Само че този път ще разгледаме триъгълниците, които сегментите на диагоналите образуват заедно със страните на трапеца. Повърхнините на триъгълници АКО и ЕМО са еднакви по големина – повърхнините им са еднакви.
Друго свойство на трапеца включва изграждането на диагонали. Така че, ако продължите страните на AK и ME в посока на по-малката основа, тогава рано или късно те ще се пресекат в определена точка. След това начертайте права линия през средата на основите на трапеца. Тя пресича основите в точки X и T.
Ако сега удължим правата XT, тогава тя ще свърже заедно точката на пресичане на диагоналите на трапеца O, точката, в която се пресичат продълженията на страните и средата на основите X и T.
През точката на пресичане на диагоналите ще начертаем сегмент, който ще свързва основите на трапеца (T лежи на по-малката основа KM, X на по-голямата AE). Пресечната точка на диагоналите разделя този сегмент в следното съотношение: TO/OX = KM/AE.
Сега, през точката на пресичане на диагоналите, ще начертаем сегмент, успореден на основите на трапеца (a и b). Пресечната точка ще го раздели на две равни части. Можете да намерите дължината на сегмента с помощта на формулата 2ab/(a + b).

Свойства на средната линия на трапец

Начертайте средната линия в трапеца, успоредна на основите му.

Дължината на средната линия на трапец може да се изчисли, като се съберат дължините на основите и се разделят наполовина: m = (a + b)/2.
Ако начертаете произволен сегмент (например височина) през двете основи на трапеца, средната линия ще го раздели на две равни части.

Свойство за ъглополовяща трапец

Изберете произволен ъгъл на трапеца и начертайте ъглополовяща. Да вземем, например, ъгъла KAE на нашия трапец ACME. След като завършите конструкцията сами, можете лесно да проверите дали ъглополовящата отрязва от основата (или нейното продължение на права линия извън самата фигура) сегмент със същата дължина като страната.

Свойства на ъглите на трапеца

Която и от двете двойки ъгли, съседни на страната, да изберете, сумата от ъглите в двойката винаги е 180 0: α + β = 180 0 и γ + δ = 180 0.
Нека свържем средите на основите на трапеца с отсечка TX. Сега нека разгледаме ъглите при основите на трапеца. Ако сумата от ъглите за някой от тях е 90 0, дължината на сегмента TX може лесно да се изчисли въз основа на разликата в дължините на основите, разделена наполовина: TX = (AE – KM)/2.
Ако през страните на трапецовиден ъгъл се начертаят успоредни прави, те ще разделят страните на ъгъла на пропорционални сегменти.

Свойства на равнобедрен (равностранен) трапец

В равнобедрен трапец ъглите при всяка основа са равни.
Сега отново изградете трапец, за да можете по-лесно да си представите за какво говорим. Погледнете внимателно основата AE - върхът на противоположната основа M се проектира към определена точка на правата, която съдържа AE. Разстоянието от върха A до проекционната точка на върха M и средната линия на равнобедрения трапец са равни.
Няколко думи за свойството на диагоналите на равнобедрен трапец - дължините им да са равни. И също така ъглите на наклона на тези диагонали към основата на трапеца са еднакви.
Само около равнобедрен трапец може да се опише окръжност, тъй като сборът от срещуположните ъгли на четириъгълник е 180 0 - предпоставка за това.
Свойството на равнобедрен трапец следва от предходния абзац - ако близо до трапеца може да се опише окръжност, той е равнобедрен.
От характеристиките на равнобедрен трапец следва свойството на височината на трапец: ако неговите диагонали се пресичат под прав ъгъл, тогава дължината на височината е равна на половината от сбора на основите: h = (a + b)/2.
Отново начертайте сегмента TX през средите на основите на трапеца - в равнобедрен трапец той е перпендикулярен на основите. И в същото време TX е оста на симетрия на равнобедрен трапец.
Този път намалете височината от противоположния връх на трапеца върху по-голямата основа (да я наречем a). Ще получите два сегмента. Дължината на едно може да се намери, ако дължините на основите се добавят и разделят наполовина: (a + b)/2. Получаваме втората, когато извадим по-малката от по-голямата основа и разделим получената разлика на две: (а – б)/2.

Свойства на трапец, вписан в окръжност

Тъй като вече говорим за трапец, вписан в кръг, нека се спрем на този въпрос по-подробно. По-специално, къде е центърът на кръга спрямо трапеца. И тук е препоръчително да отделите време да вземете молив и да нарисувате това, за което ще стане дума по-долу. Така ще разберете по-бързо и ще запомните по-добре.

Местоположението на центъра на кръга се определя от ъгъла на наклона на диагонала на трапеца към неговата страна. Например, диагоналът може да се простира от върха на трапец под прав ъгъл към страната. В този случай по-голямата основа пресича центъра на описаната окръжност точно в средата (R = ½AE).
Диагоналът и страната могат да се срещат и под остър ъгъл – тогава центърът на окръжността е вътре в трапеца.
Центърът на описаната окръжност може да е извън трапеца, отвъд по-голямата му основа, ако има тъп ъгъл между диагонала на трапеца и страната.
Ъгълът, образуван от диагонала и голямата основа на трапеца ACME (вписан ъгъл), е половината от централния ъгъл, който му съответства: MAE = ½ MOE.
Накратко за два начина за намиране на радиуса на описана окръжност. Първи метод: погледнете внимателно рисунката си - какво виждате? Лесно можете да забележите, че диагоналът разделя трапеца на два триъгълника. Радиусът може да се намери чрез съотношението на страната на триъгълника към синуса на противоположния ъгъл, умножено по две. Например, R = AE/2*sinAME. По подобен начин формулата може да бъде написана за всяка от страните на двата триъгълника.
Метод втори: намерете радиуса на описаната окръжност през площта на триъгълника, образуван от диагонала, страната и основата на трапеца: R = AM*ME*AE/4*S AME.

Свойства на трапец, описан около окръжност

Можете да поставите кръг в трапец, ако е изпълнено едно условие. Прочетете повече за това по-долу. И заедно тази комбинация от фигури има редица интересни свойства.

Ако окръжност е вписана в трапец, дължината на средната му линия може лесно да се намери чрез добавяне на дължините на страните и разделяне на получената сума наполовина: m = (c + d)/2.
За трапеца ACME, описан около окръжност, сборът от дължините на основите е равен на сбора от дължините на страните: AK + ME = KM + AE.
От това свойство на основите на трапец следва обратното твърдение: в трапец може да се впише окръжност, чийто сбор от основи е равен на сбора от страните му.
Допирателната точка на окръжност с радиус r, вписана в трапец, разделя страната на два сегмента, нека ги наречем a и b. Радиусът на кръг може да се изчисли по формулата: r = √ab.
И още един имот. За да избегнете объркване, нарисувайте сами и този пример. Имаме добрия стар трапец ACME, описан около окръжност. Той съдържа диагонали, които се пресичат в точка O. Триъгълниците AOK и EOM, образувани от отсечките на диагоналите и страничните страни, са правоъгълни.
Височините на тези триъгълници, спуснати до хипотенузите (т.е. страничните страни на трапеца), съвпадат с радиусите на вписаната окръжност. А височината на трапеца съвпада с диаметъра на вписаната окръжност.

Свойства на правоъгълен трапец

Трапецът се нарича правоъгълен, ако един от ъглите му е прав. И свойствата му произтичат от това обстоятелство.

Една от страните на правоъгълен трапец е перпендикулярна на основата му.
Височината и страната на трапец, съседен на прав ъгъл, са равни. Това ви позволява да изчислите площта на правоъгълен трапец (обща формула S = (a + b) * h/2) не само през височината, но и през страната, съседна на правия ъгъл.
За правоъгълен трапец общите свойства на диагоналите на трапец, вече описани по-горе, са от значение.

Доказателство за някои свойства на трапеца

Равенство на ъглите при основата на равнобедрен трапец:

Вероятно вече се досетихте, че тук отново ще ни трябва трапецът AKME - начертайте равнобедрен трапец. Начертайте права линия MT от върха M, успоредна на страната на AK (MT || AK).

Полученият четириъгълник AKMT е успоредник (AK || MT, KM || AT). Тъй като ME = KA = MT, ∆ MTE е равнобедрен и MET = MTE.

AK || MT, следователно MTE = KAE, MET = MTE = KAE.

Къде е AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME.

Q.E.D.

Сега, въз основа на свойството на равнобедрен трапец (равенство на диагоналите), доказваме това трапецът ACME е равнобедрен:

Първо, нека начертаем права линия MX – MX || KE. Получаваме успоредник KMHE (основа – MX || KE и KM || EX).

∆AMX е равнобедрен, тъй като AM = KE = MX и MAX = MEA.

МЗ || KE, KEA = MXE, следователно MAE = MXE.

Оказа се, че триъгълниците AKE и EMA са равни един на друг, тъй като AM = KE и AE са общата страна на двата триъгълника. И също MAE = MXE. Можем да заключим, че AK = ME, а от това следва, че трапецът AKME е равнобедрен.

Задача за преглед

Основите на трапеца ACME са 9 cm и 21 cm, страничната страна KA, равна на 8 cm, сключва ъгъл 150 0 с по-малката основа. Трябва да намерите площта на трапеца.

Решение: От върха K спускаме височината до по-голямата основа на трапеца. И нека започнем да разглеждаме ъглите на трапеца.

Ъглите AEM и KAN са едностранни. Това означава, че общо те дават 180 0. Следователно KAN = 30 0 (въз основа на свойството на трапецовидни ъгли).

Нека сега разгледаме правоъгълника ∆ANC (вярвам, че тази точка е очевидна за читателите без допълнителни доказателства). От него ще намерим височината на трапеца KH - в триъгълник това е крак, който лежи срещу ъгъл от 30 0. Следователно KH = ½AB = 4 cm.

Намираме площта на трапеца по формулата: S ACME = (KM + AE) * KN/2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 cm 2.

Послеслов

Ако сте внимателно и замислено изучавали тази статия, не сте били твърде мързеливи, за да нарисувате трапец за всички дадени свойства с молив в ръцете си и да ги анализирате на практика, трябва да сте усвоили добре материала.

Разбира се, тук има много информация, разнообразна и понякога дори объркваща: не е толкова трудно да се объркат свойствата на описания трапец със свойствата на вписания. Но вие сами виждате, че разликата е огромна.

Сега имате подробно описание на всички общи свойства на трапец. Както и специфични свойства и характеристики на равнобедрените и правоъгълните трапеци. Много е удобно да се използва за подготовка за контролни и изпити. Опитайте сами и споделете връзката с приятелите си!

blog.site, при пълно или частично копиране на материал е необходима връзка към първоизточника.