2 намерете площта на успоредника. Как да намерите площта на успоредник? Формули за намиране на площта на успоредник

Задача 4.

Един от диагоналите на успоредник с дължина 4√6 сключва ъгъл 60° с основата, а вторият диагонал сключва ъгъл 45° със същата основа. Намерете втория диагонал.

Решение.

1. AO = 2√6.

2. Прилагаме синусовата теорема към триъгълник AOD.

AO/sin D = OD/sin A.

2√6/sin 45 o = OD/sin 60 o.

ОД = (2√6sin 60 о) / sin 45 о = (2√6 · √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6.

Отговор: 12.

Задача 5.

За успоредник със страни 5√2 и 7√2 по-малкият ъгъл между диагоналите е равен на по-малкия ъгъл на успоредника. Намерете сумата от дължините на диагоналите.

Решение.

Нека d 1, d 2 са диагоналите на успоредника, а ъгълът между диагоналите и по-малкия ъгъл на успоредника е равен на φ.

1. Нека преброим две различни
начини неговата площ.

S ABCD = AB AD sin A = 5√2 7√2 sin f,

S ABCD = 1/2 AC ВD sin AOB = 1/2 d 1 d 2 sin f.

Получаваме равенството 5√2 · 7√2 · sin f = 1/2d 1 d 2 sin f или

2 · 5√2 · 7√2 = d 1 d 2 ;

2. Използвайки връзката между страните и диагоналите на успоредника, записваме равенството

(AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2.

((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = d 1 2 + d 2 2.

d 1 2 + d 2 2 = 296.

3. Нека създадем система:

(d 1 2 + d 2 2 = 296,
(d 1 + d 2 = 140.

Нека умножим второто уравнение на системата по 2 и го добавим към първото.

Получаваме (d 1 + d 2) 2 = 576. Следователно Id 1 + d 2 I = 24.

Тъй като d 1, d 2 са дължините на диагоналите на успоредника, тогава d 1 + d 2 = 24.

Отговор: 24.

Задача 6.

Страните на успоредника са 4 и 6. Острият ъгъл между диагоналите е 45 градуса. Намерете площта на успоредника.

Решение.

1. От триъгълник AOB, използвайки косинусовата теорема, записваме връзката между страната на успоредника и диагоналите.

AB 2 = AO 2 + VO 2 2 · AO · VO · cos AOB.

4 2 = (d 1 /2) 2 + (d 2 /2) 2 – 2 · (d 1/2) · (d 2 /2) cos 45 o;

d 1 2 /4 + d 2 2 /4 – 2 · (d 1/2) · (d 2 /2)√2/2 = 16.

d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64.

2. По същия начин записваме релацията за триъгълника AOD.

Нека вземем предвид това<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2.

Получаваме уравнението d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144.

3. Имаме система
(d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144.

Като извадим първото от второто уравнение, получаваме 2d 1 · d 2 √2 = 80 или

d 1 d 2 = 80/(2√2) = 20√2

4. S ABCD = 1/2 AC ВD sin AOB = 1/2 d 1 d 2 sin α = 1/2 20√2 √2/2 = 10.

Забележка:В тази и предишната задача не е необходимо да се решава системата напълно, като се очаква, че в тази задача се нуждаем от произведението на диагоналите, за да изчислим площта.

Отговор: 10.

Задача 7.

Площта на успоредника е 96, а страните му са 8 и 15. Намерете квадрата на по-малкия диагонал.

Решение.

1. S ABCD = AB · AD · sin ВAD. Нека направим заместване във формулата.

Получаваме 96 = 8 · 15 · sin ВAD. Следователно sin ВAD = 4/5.

2. Да намерим cos VAD. sin 2 VAD + cos 2 VAD = 1.

(4/5) 2 + cos 2 VAD = 1. cos 2 VAD = 9/25.

Според условията на задачата намираме дължината на по-малкия диагонал. Диагоналът ВD ще бъде по-малък, ако ъгълът ВАD е остър. Тогава cos VAD = 3/5.

3. От триъгълника ABD, използвайки косинусовата теорема, намираме квадрата на диагонала BD.

ВD 2 = АВ 2 + АД 2 – 2 · АВ · ВD · cos ВAD.

ВD 2 = 8 2 + 15 2 – 2 8 15 3 / 5 = 145.

Отговор: 145.

Все още имате въпроси? Не знаете как да решите геометрична задача?
За да получите помощ от преподавател, регистрирайте се.
Първият урок е безплатен!

уебсайт, при пълно или частично копиране на материал се изисква връзка към източника.

Преди да научим как да намерим площта на успоредник, трябва да си спомним какво е успоредник и какво се нарича неговата височина. Успоредникът е четириъгълник, чиито срещуположни страни са по двойки успоредни (лежат на успоредни прави). Перпендикуляр, прекаран от произволна точка на противоположната страна към права, съдържаща тази страна, се нарича височина на успоредник.

Квадрат, правоъгълник и ромб са специални случаи на успоредник.

Площта на успоредника се обозначава като (S).

Формули за намиране на площта на успоредник

S=a*h, където a е основата, h е височината, която е начертана към основата.

S=a*b*sinα, където a и b са основите, а α е ъгълът между основите a и b.

S =p*r, където p е полупериметърът, r е радиусът на окръжността, която е вписана в успоредника.

Площта на успоредника, образувана от векторите a и b, е равна на модула на произведението на дадените вектори, а именно:

Нека разгледаме пример № 1: Даден е успоредник, чиято страна е 7 см, а височината е 3 см. Как да намерим площта на успоредник, имаме нужда от формула за решението.

Така S= 7x3. S=21. Отговор: 21 см 2.

Разгледайте пример № 2: Дадени основи са 6 и 7 cm, както и даден ъгъл между основите от 60 градуса. Как да намерите площта на успоредник? Формула, използвана за решаване:

Така първо намираме синуса на ъгъла. Синус 60 = 0,5, съответно S = 6*7*0,5=21 Отговор: 21 cm 2.

Надявам се, че тези примери ще ви помогнат при решаването на проблеми. И не забравяйте, че основното е познаването на формулите и вниманието

Какво е успоредник? Успоредникът е четириъгълник, чиито противоположни страни са успоредни по двойки.

1. Площта на паралелограма се изчислява по формулата:

\[ \ГОЛЯМО S = a \cdot h_(a)\]

Където:
a е страната на успоредника,
h a – височина, изтеглена от тази страна.

2. Ако са известни дължините на две съседни страни на успоредник и ъгълът между тях, тогава площта на успоредника се изчислява по формулата:

\[ \LARGE S = a \cdot b \cdot sin(\alpha) \]

3. Ако са дадени диагоналите на паралелограма и ъгълът между тях е известен, тогава площта на успоредника се изчислява по формулата:

\[ \LARGE S = \frac(1)(2) \cdot d_(1) \cdot d_(2) \cdot sin(\alpha) \]

Свойства на успоредник

В успоредник противоположните страни са равни: \(AB = CD\), \(BC = AD\)

В успоредник срещуположните ъгли са равни: \(\ъгъл A = \ъгъл C\), \(\ъгъл B = \ъгъл D\)

Диагоналите на успоредник в пресечната точка са разделени наполовина \(AO = OC\) , \(BO = OD\)

Диагоналът на успоредника го разделя на два равни триъгълника.

Сумата от ъглите на успоредник, съседни на едната страна, е 180 o:

\(\ъгъл A + \ъгъл B = 180^(o)\), \(\ъгъл B + \ъгъл C = 180^(o)\)

\(\ъгъл C + \ъгъл D = 180^(o)\), \(\ъгъл D + \ъгъл A = 180^(o)\)

Диагоналите и страните на успоредник са свързани със следната връзка:

\(d_(1)^(2) + d_(2)^2 = 2a^(2) + 2b^(2) \)

В успоредник ъгълът между височините е равен на неговия остър ъгъл: \(\ъгъл K B H =\ъгъл A\) .

Симетралите на ъглите, съседни на едната страна на успоредник, са взаимно перпендикулярни.

Симетралите на два срещуположни ъгъла на успоредник са успоредни.

Признаци на успоредник

Четириъгълникът ще бъде успоредник, ако:

\(AB = CD\) и \(AB || CD\)

\(AB = CD\) и \(BC = AD\)

\(AO = OC\) и \(BO = OD\)

\(\ъгъл A = \ъгъл C\) и \(\ъгъл B = \ъгъл D\)

Формула за площта на успоредник

Площта на успоредник е равна на произведението на неговата страна и височината на тази страна.

Доказателство

Ако успоредникът е правоъгълник, тогава равенството е изпълнено от теоремата за площта на правоъгълник. След това приемаме, че ъглите на успоредника не са прави.

Нека $\angle BAD$ е остър ъгъл в успоредник $ABCD$ и $AD > AB$. В противен случай ще преименуваме върховете. Тогава височината $BH$ от върха $B$ до правата $AD$ се пада върху страната $AD$, тъй като катетът $AH$ е по-къс от хипотенузата $AB$ и $AB< AD$. Основание $K$ высоты $CK$ из точки $C$ на прямую $AB$ лежит на продолжении отрезка $AD$ за точку $D$, так как угол $\angle BAD$ острый, а значит $\angle CDA$ тупой. Вследствие параллельности прямых $BA$ и $CD$ $\angle BAH = \angle CDK$. В параллелограмме противоположные стороны равны, следовательно, по стороне и двум углам, треугольники $\triangle ABH = \triangle DCK$ равны.

Нека сравним площта на успоредника $ABCD$ и площта на правоъгълника $HBCK$. Площта на успоредник е по-голяма с площ $\триъгълник ABH$, но по-малка с площ $\триъгълник DCK$. Тъй като тези триъгълници са равни, техните площи са равни. Това означава, че площта на успоредник е равна на площта на правоъгълник с дължина на страните и височината на успоредника.

Формула за площта на успоредник с помощта на страни и синус

Площта на успоредник е равна на произведението на съседните страни и синуса на ъгъла между тях.

Доказателство

Височината на успоредника $ABCD$, пусната върху страната $AB$, е равна на произведението на отсечката $BC$ и синуса на ъгъла $\angle ABC$. Остава да приложим предишното твърдение.

Формула за площта на успоредник с помощта на диагоналите

Площта на успоредника е равна на половината от произведението на диагоналите и синуса на ъгъла между тях.

Доказателство

Нека диагоналите на успоредника $ABCD$ се пресичат в точка $O$ под ъгъл $\alpha$. Тогава $AO=OC$ и $BO=OD$ по свойството на успоредник. Синусите на ъглите, които се събират до $180^\circ$, са равни, $\angle AOB = \angle COD = 180^\circ - \angle BOC = 180^\circ - \angle AOD$. Това означава, че синусите на ъглите при пресичане на диагоналите са равни на $\sin \alpha$.

$S_(ABCD)=S_(\триъгълник AOB) + S_(\триъгълник BOC) + S_(\триъгълник COD) + S_(\триъгълник AOD)$

според аксиомата за измерване на площ. Прилагаме формулата за площ на триъгълник $S_(ABC) = \dfrac(1)(2) \cdot AB \cdot BC \sin \angle ABC$ за тези триъгълници и ъгли, когато диагоналите се пресичат. Страните на всеки са равни на половината от диагоналите и синусите също са равни. Следователно площите на всичките четири триъгълника са равни на $S = \dfrac(1)(2) \cdot \dfrac(AC)(2) \cdot \dfrac(BD)(2) \cdot \sin \alpha = \ dfrac(AC \ cdot BD)(8) \sin \alpha$. Обобщавайки всичко по-горе, получаваме

$S_(ABCD) = 4S = 4 \cdot \dfrac(AC \cdot BD)(8) \sin \alpha = \dfrac(AC \cdot BD \cdot \sin \alpha)(2)$