§13. Теорема на Щайнер за инерционния момент спрямо произволна ос

Тела мна квадрат разстояние дмежду осите:

J = J c + m d 2 , (\displaystyle J=J_(c)+md^(2),)

Където м- общо телесно тегло.

Например инерционният момент на прът спрямо ос, минаваща през края му, е равен на:

J = J c + m d 2 = 1 12 m l 2 + m (l 2) 2 = 1 3 m l 2. (\displaystyle J=J_(c)+md^(2)=(\frac (1)(12))ml^(2)+m\left((\frac (l)(2))\right)^ (2)=(\frac (1)(3))ml^(2).)

Осови моменти на инерция на някои тела

Моменти на инерцияхомогенни тела с най-проста форма спрямо определени оси на въртене

Описание	Позиция на оста а	Момент на инерция Я а
Маса на материалната точка м	На разстояние rот точка, неподвижен
Кух тънкостенен цилиндър или радиус пръстен rи маси м	Ос на цилиндъра	m r 2 (\displaystyle mr^(2))
Плътен цилиндър или радиус диск rи маси м	Ос на цилиндъра	1 2 m r 2 (\displaystyle (\frac (1)(2))mr^(2))
Кух дебелостенен масов цилиндър мс външен радиус r 2 и вътрешен радиус r 1	Ос на цилиндъра	m r 2 2 + r 1 2 2 (\displaystyle m(\frac (r_(2)^(2)+r_(1)^(2))(2)))
Плътна дължина на цилиндъра л, радиус rи маси м		1 4 m ⋅ r 2 + 1 12 m ⋅ l 2 (\displaystyle (1 \over 4)m\cdot r^(2)+(1 \over 12)m\cdot l^(2))
Кух тънкостенен цилиндър (пръстен) дълж л, радиус rи маси м	Оста е перпендикулярна на цилиндъра и минава през неговия център на масата	1 2 m ⋅ r 2 + 1 12 m ⋅ l 2 (\displaystyle (1 \over 2)m\cdot r^(2)+(1 \over 12)m\cdot l^(2))
Прът с права тънка дължина ли маси м	Оста е перпендикулярна на пръта и минава през неговия център на масата	1 12 m l 2 (\displaystyle (\frac (1)(12))ml^(2))
Прът с права тънка дължина ли маси м	Оста е перпендикулярна на пръта и минава през края му	1 3 m l 2 (\displaystyle (\frac (1)(3))ml^(2))
Тънкостенна радиус сфера rи маси м	Оста минава през центъра на сферата	2 3 m r 2 (\displaystyle (\frac (2)(3))mr^(2))
Радиус топка rи маси м	Оста минава през центъра на топката	2 5 m r 2 (\displaystyle (\frac (2)(5))mr^(2))
Радиус конус rи маси м	Конична ос	3 10 m r 2 (\displaystyle (\frac (3)(10))mr^(2))
Равнобедрен триъгълник с надморска височина ч, основа аи маса м	Оста е перпендикулярна на равнината на триъгълника и минава през върха	1 24 m (a 2 + 12 h 2) (\displaystyle (\frac (1)(24))m(a^(2)+12h^(2)))
Правилен триъгълник със страна аи маса м	Оста е перпендикулярна на равнината на триъгълника и минава през центъра на масата	1 12 m a 2 (\displaystyle (\frac (1)(12))ma^(2))
Квадрат със страна аи маса м	Оста е перпендикулярна на равнината на квадрата и минава през центъра на масата	1 6 m a 2 (\displaystyle (\frac (1)(6))ma^(2))
Правоъгълник със страни аИ bи маса м	Оста е перпендикулярна на равнината на правоъгълника и минава през центъра на масата	1 12 m (a 2 + b 2) (\displaystyle (\frac (1)(12))m(a^(2)+b^(2)))
Правилен n-ъгълник с радиус rи маса м	Оста е перпендикулярна на равнината и минава през центъра на масата	m r 2 6 [ 1 + 2 cos ⁡ (π / n) 2 ] (\displaystyle (\frac (mr^(2))(6))\left)
Тор (кух) с радиус на водещата окръжност Р, радиус на генериращата окръжност rи маса м	Оста е перпендикулярна на равнината на водещата окръжност на торуса и минава през центъра на масата	I = m (3 4 r 2 + R 2) (\displaystyle I=m\left((\frac (3)(4))\,r^(2)+R^(2)\right))

Извеждане на формули

Тънкостенен цилиндър (пръстен, обръч)

Извеждане на формулата

Инерционният момент на тялото е равен на сумата от инерционните моменти на съставните му части. Нека разделим тънкостенен цилиндър на елементи с маса дми моменти на инерция dJ i. Тогава

J = ∑ d J i = ∑ R i 2 d m . (1) . (\displaystyle J=\sum dJ_(i)=\sum R_(i)^(2)dm.\qquad (1).)

Тъй като всички елементи на тънкостенен цилиндър са на едно и също разстояние от оста на въртене, формула (1) се трансформира във формата

J = ∑ R 2 d m = R 2 ∑ d m = m R 2 . (\displaystyle J=\sum R^(2)dm=R^(2)\sum dm=mR^(2).)

Дебелостенен цилиндър (пръстен, обръч)

Извеждане на формулата

Нека има хомогенен пръстен с външен радиус Р, вътрешен радиус Р 1, дебел чи плътност ρ. Нека го начупим на тънки пръстени с дебелина д-р. Маса и инерционен момент на пръстен с тънък радиус rще бъде

d m = ρ d V = ρ ⋅ 2 π r h d r ; d J = r 2 d m = 2 π ρ h r 3 d r . (\displaystyle dm=\rho dV=\rho \cdot 2\pi rhdr;\qquad dJ=r^(2)dm=2\pi \rho hr^(3)dr.)

Нека намерим инерционния момент на дебелия пръстен като интеграл

J = ∫ R 1 R d J = 2 π ρ h ∫ R 1 R r 3 d r = (\displaystyle J=\int _(R_(1))^(R)dJ=2\pi \rho h\int _ (R_(1))^(R)r^(3)dr=) = 2 π ρ h r 4 4 | R 1 R = 1 2 π ρ h (R 4 − R 1 4) = 1 2 π ρ h (R 2 − R 1 2) (R 2 + R 1 2) . (\displaystyle =2\pi \rho h\left.(\frac (r^(4))(4))\right|_(R_(1))^(R)=(\frac (1)(2 ))\pi \rho h\left(R^(4)-R_(1)^(4)\right)=(\frac (1)(2))\pi \rho h\left(R^(2) )-R_(1)^(2)\вдясно)\вляво(R^(2)+R_(1)^(2)\вдясно).)

Тъй като обемът и масата на пръстена са равни

V = π (R 2 − R 1 2) h ; m = ρ V = π ρ (R 2 − R 1 2) h , (\displaystyle V=\pi \left(R^(2)-R_(1)^(2)\right)h;\qquad m= \rho V=\pi \rho \left(R^(2)-R_(1)^(2)\right)h,)

получаваме крайната формула за инерционния момент на пръстена

J = 1 2 m (R 2 + R 1 2) . (\displaystyle J=(\frac (1)(2))m\left(R^(2)+R_(1)^(2)\right).)

Хомогенен диск (твърд цилиндър)

Извеждане на формулата

Разглеждайки цилиндър (диск) като пръстен с нулев вътрешен радиус ( Р 1 = 0), получаваме формулата за инерционния момент на цилиндъра (диска):

J = 1 2 m R 2 . (\displaystyle J=(\frac (1)(2))mR^(2).)

Плътен конус

Извеждане на формулата

Начупваме конуса на тънки дискове с дебелина dh, перпендикулярна на оста на конуса. Радиусът на такъв диск е равен на

r = R h H , (\displaystyle r=(\frac (Rh)(H)),)

Където Р– радиус на основата на конуса, з– височина на конуса, ч– разстояние от върха на конуса до диска. Масата и инерционният момент на такъв диск ще бъдат

d J = 1 2 r 2 d m = 1 2 π ρ r 4 d h = 1 2 π ρ (R h H) 4 d h ; (\displaystyle dJ=(\frac (1)(2))r^(2)dm=(\frac (1)(2))\pi \rho r^(4)dh=(\frac (1)( 2))\pi \rho \left((\frac (Rh)(H))\right)^(4)dh;)

Интегрирайки, получаваме

J = ∫ 0 H d J = 1 2 π ρ (R H) 4 ∫ 0 H h 4 d h = 1 2 π ρ (R H) 4 h 5 5 | 0 H == 1 10 π ρ R 4 H = (ρ ⋅ 1 3 π R 2 H) 3 10 R 2 = 3 10 m R 2 . (\displaystyle (\begin(aligned)J=\int _(0)^(H)dJ=(\frac (1)(2))\pi \rho \left((\frac (R)(H)) \right)^(4)\int _(0)^(H)h^(4)dh=(\frac (1)(2))\pi \rho \left((\frac (R)(H) )\right)^(4)\left.(\frac (h^(5))(5))\right|_(0)^(H)==(\frac (1)(10))\pi \rho R^(4)H=\left(\rho \cdot (\frac (1)(3))\pi R^(2)H\right)(\frac (3)(10))R^( 2)=(\frac (3)(10))mR^(2).\end(подравнено)))

Твърда хомогенна топка

Извеждане на формулата

Нека счупим топката на тънки дискове с дебелина dh, перпендикулярна на оста на въртене. Радиусът на такъв диск, разположен на височина чот центъра на сферата, намираме го с помощта на формулата

r = R 2 − h 2 . (\displaystyle r=(\sqrt (R^(2)-h^(2))).)

Масата и инерционният момент на такъв диск ще бъдат

d m = ρ d V = ρ ⋅ π r 2 d h ; (\displaystyle dm=\rho dV=\rho \cdot \pi r^(2)dh;) d J = 1 2 r 2 d m = 1 2 π ρ r 4 d h = 1 2 π ρ (R 2 − h 2) 2 d h = 1 2 π ρ (R 4 − 2 R 2 h 2 + h 4) d h . (\displaystyle dJ=(\frac (1)(2))r^(2)dm=(\frac (1)(2))\pi \rho r^(4)dh=(\frac (1)( 2))\pi \rho \left(R^(2)-h^(2)\right)^(2)dh=(\frac (1)(2))\pi \rho \left(R^( 4)-2R^(2)h^(2)+h^(4)\right)dh.)

Намираме инерционния момент на топката чрез интегриране:

J = ∫ − R R d J = 2 ∫ 0 R d J = π ρ ∫ 0 R (R 4 − 2 R 2 h 2 + h 4) d h = = π ρ (R 4 h − 2 3 R 2 h 3 + 1 5 часа 5) | 0 R = π ρ (R 5 − 2 3 R 5 + 1 5 R 5) = 8 15 π ρ R 5 = = (4 3 π R 3 ρ) ⋅ 2 5 R 2 = 2 5 m R 2 . (\displaystyle (\begin(aligned)J&=\int _(-R)^(R)dJ=2\int _(0)^(R)dJ=\pi \rho \int _(0)^(R )\left(R^(4)-2R^(2)h^(2)+h^(4)\right)dh=\\&=\pi \rho \left.\left(R^(4) h-(\frac (2)(3))R^(2)h^(3)+(\frac (1)(5))h^(5)\right)\right|_(0)^( R)=\pi \rho \left(R^(5)-(\frac (2)(3))R^(5)+(\frac (1)(5))R^(5)\right) =(\frac (8)(15))\pi \rho R^(5)=\\&=\left((\frac (4)(3))\pi R^(3)\rho \right) \cdot (\frac (2)(5))R^(2)=(\frac (2)(5))mR^(2).\end(aligned)))

Тънкостенна сфера

Извеждане на формулата

За да изведем това, използваме формулата за инерционния момент на хомогенна топка с радиус Р :

J 0 = 2 5 M R 2 = 8 15 π ρ R 5 . (\displaystyle J_(0)=(\frac (2)(5))MR^(2)=(\frac (8)(15))\pi \rho R^(5).)

Нека изчислим колко ще се промени инерционният момент на топката, ако при постоянна плътност ρ нейният радиус се увеличи с безкрайно малко количество дР .

J = d J 0 d R d R = d d R (8 15 π ρ R 5) d R = = 8 3 π ρ R 4 d R = (ρ ⋅ 4 π R 2 d R) 2 3 R 2 = 2 3 m R2. (\displaystyle (\begin(aligned)J&=(\frac (dJ_(0))(dR))dR=(\frac (d)(dR))\left((\frac (8)(15))\ pi \rho R^(5)\right)dR=\\&=(\frac (8)(3))\pi \rho R^(4)dR=\left(\rho \cdot 4\pi R^ (2)dR\right)(\frac (2)(3))R^(2)=(\frac (2)(3))mR^(2).\end(aligned)))

Тънък прът (оста минава през центъра)

Извеждане на формулата

Нека счупим пръта на малки фрагменти с дължина д-р. Масата и инерционният момент на такъв фрагмент са равни на

d m = m d r l ; d J = r 2 d m = m r 2 d r l . (\displaystyle dm=(\frac (mdr)(l));\qquad dJ=r^(2)dm=(\frac (mr^(2)dr)(l)).)

Интегрирайки, получаваме

J = ∫ − l / 2 l / 2 d J = 2 ∫ 0 l / 2 d J = 2 m l ∫ 0 l / 2 r 2 d r = 2 m l r 3 3 | 0 l / 2 = 2 m l l 3 24 = 1 12 m l 2 . (\displaystyle J=\int _(-l/2)^(l/2)dJ=2\int _(0)^(l/2)dJ=(\frac (2m)(l))\int _ (0)^(l/2)r^(2)dr=(\frac (2m)(l))\left.(\frac (r^(3))(3))\right|_(0) ^(l/2)=(\frac (2m)(l))(\frac (l^(3))(24))=(\frac (1)(12))ml^(2.)

Тънък прът (оста минава през края)

Извеждане на формулата

Когато оста на въртене се движи от средата на пръта към края му, центърът на тежестта на пръта се премества спрямо оста на разстояние l ⁄ 2. Според теоремата на Щайнер новият инерционен момент ще бъде равен на

J = J 0 + m r 2 = J 0 + m (l 2) 2 = 1 12 m l 2 + 1 4 m l 2 = 1 3 m l 2 . (\displaystyle J=J_(0)+mr^(2)=J_(0)+m\left((\frac (l)(2))\right)^(2)=(\frac (1)( 12))ml^(2)+(\frac (1)(4))ml^(2)=(\frac (1)(3))ml^(2.)

Безразмерни инерционни моменти на планети и спътници

Техните безразмерни инерционни моменти са от голямо значение за изследване на вътрешната структура на планетите и техните спътници. Безразмерен инерционен момент на тяло с радиус rи маси ме равно на отношението на нейния инерционен момент спрямо оста на въртене към инерционния момент на материална точка със същата маса спрямо фиксирана ос на въртене, разположена на разстояние r(равна на г-н 2). Тази стойност отразява разпределението на масата по дълбочина. Един от методите за измерването му в близост до планети и спътници е да се определи доплеровото изместване на радиосигнала, предаван от AMS, летящ близо до дадена планета или сателит. За тънкостенна сфера безразмерният инерционен момент е 2/3 (~0,67), за хомогенна топка е 0,4 и като цяло колкото по-малък е, толкова по-голяма маса на тялото е концентрирана в центъра му. Например, Луната има безразмерен инерционен момент, близък до 0,4 (равен на 0,391), така че се приема, че е относително хомогенна, нейната плътност се променя малко с дълбочината. Безразмерният инерционен момент на Земята е по-малък от този на хомогенна топка (равен на 0,335), което е аргумент в полза на съществуването на плътно ядро.

Центробежен момент на инерция

Центробежните инерционни моменти на тялото спрямо осите на правоъгълна декартова координатна система са следните величини:

J x y = ∫ (m) x y d m = ∫ (V) x y ρ d V , (\displaystyle J_(xy)=\int \limits _((m))xydm=\int \limits _((V))xy\ rho dV,) J x z = ∫ (m) x z d m = ∫ (V) x z ρ d V , (\displaystyle J_(xz)=\int \limits _((m))xzdm=\int \limits _((V))xz\ rho dV,) J y z = ∫ (m) y z d m = ∫ (V) y z ρ d V , (\displaystyle J_(yz)=\int \limits _((m))yzdm=\int \limits _((V))yz\ rho dV,)

Където х , гИ z- координати на малък елемент от тялото с обем dV, плътност ρ и маса дм .

Оста OX се нарича главната инерционна ос на тялото, ако центробежните инерционни моменти J xyИ J xzса едновременно равни на нула. През всяка точка на тялото могат да бъдат начертани три основни инерционни оси. Тези оси са взаимно перпендикулярни една на друга. Инерционни моменти на тялотоспрямо трите главни инерционни оси, начертани в произволна точка Отела се наричат основни инерционни моментина това тяло.

Главните инерционни оси, минаващи през центъра на масата на тялото, се наричат главни централни инерционни оси на тялото, а инерционните моменти около тези оси са неговите основни централни моменти на инерция. Оста на симетрия на хомогенно тяло винаги е една от основните му централни инерционни оси.

Геометрични моменти на инерция

Геометричен момент на инерция на обема

J V a = ∫ (V) r 2 d V , (\displaystyle J_(Va)=\int \limits _((V))r^(2)dV,)

където, както преди r- разстояние от елемента dVкъм оста а .

Геометричен инерционен момент на площспрямо оста - геометрична характеристика на тялото, изразена по формулата:

J S a = ∫ (S) r 2 d S , (\displaystyle J_(Sa)=\int \limits _((S))r^(2)dS,)

където интегрирането се извършва по повърхността С, А dS- елемент от тази повърхност.

Измерение JSa- дължина на четвърта степен ( d i m J S a = L 4 (\displaystyle \mathrm (dim) J_(Sa)=\mathrm (L^(4)) )), съответно мерната единица SI е 4. В строителните изчисления, литературата и асортиментите от валцувани метали често се посочва в cm 4.

Съпротивителният момент на сечението се изразява чрез геометричния инерционен момент на площта:

W = J S a r m a x. (\displaystyle W=(\frac (J_(Sa))(r_(макс))).)

Тук rmax- максимално разстояние от повърхността до оста.

Геометрични моменти на инерция на площта на някои фигури
Височина на правоъгълник h (\displaystyle h)и ширина b (\displaystyle b):	J y = b h 3 12 (\displaystyle J_(y)=(\frac (bh^(3))(12))) J z = h b 3 12 (\displaystyle J_(z)=(\frac (hb^(3))(12)))
Правоъгълно кутийно сечение с височина и ширина по външни контури H (\displaystyle H)И B (\displaystyle B), и за вътрешни h (\displaystyle h)И b (\displaystyle b)съответно	J z = B H 3 12 − b h 3 12 = 1 12 (B H 3 − b h 3) (\displaystyle J_(z)=(\frac (BH^(3))(12))-(\frac (bh^( 3))(12))=(\frac (1)(12))(BH^(3)-bh^(3))) J y = H B 3 12 − h b 3 12 = 1 12 (H B 3 − h b 3) (\displaystyle J_(y)=(\frac (HB^(3))(12))-(\frac (hb^( 3))(12))=(\frac (1)(12))(HB^(3)-hb^(3)))
Диаметър на кръга d (\displaystyle d)	J y = J z = π d 4 64 (\displaystyle J_(y)=J_(z)=(\frac (\pi d^(4))(64)))

Инерционният момент спрямо самолета

Инерционният момент на твърдо тяло спрямо определена равнина е скаларна величина, равна на сумата от произведенията на масата на всяка точка от тялото на квадрата на разстоянието от тази точка до въпросната равнина.

Ако през произволна точка O (\displaystyle O)начертайте координатни оси x, y, z (\displaystyle x,y,z), тогава инерционните моменти спрямо координатните равнини x O y (\displaystyle xOy), y O z (\displaystyle yOz)И z O x (\displaystyle zOx)ще се изрази с формулите:

J x O y = ∑ i = 1 n m i z i 2 , (\displaystyle J_(xOy)=\sum _(i=1)^(n)m_(i)z_(i)^(2)\ ,) J y O z = ∑ i = 1 n m i x i 2 , (\displaystyle J_(yOz)=\sum _(i=1)^(n)m_(i)x_(i)^(2)\ ,) J z O x = ∑ i = 1 n m i y i 2 . (\displaystyle J_(zOx)=\сума _(i=1)^(n)m_(i)y_(i)^(2)\ .)

При твърдо тяло сумирането се заменя с интегриране.

Централен инерционен момент

Централен инерционен момент (инерционен момент относно точка О, инерционен момент около полюса, полярен инерционен момент) J O (\displaystyle J_(O))е количеството, определено от израза:

J a = ∫ (m) r 2 d m = ∫ (V) ρ r 2 d V , (\displaystyle J_(a)=\int \limits _((m))r^(2)dm=\int \limits _((V))\rho r^(2)dV,)

Централният инерционен момент може да се изрази чрез главните аксиални инерционни моменти, както и чрез инерционните моменти относно равнините:

J O = 1 2 (J x + J y + J z) , (\displaystyle J_(O)=(\frac (1)(2))\left(J_(x)+J_(y)+J_(z) \точно)) J O = J x O y + J y O z + J x O z. (\displaystyle J_(O)=J_(xOy)+J_(yOz)+J_(xOz).)

Тензор на инерцията и елипсоид на инерцията

Инерционният момент на тяло спрямо произволна ос, минаваща през центъра на масата и имаща посока, определена от единичния вектор s → = ‖ s x , s y , s z ‖ T , | s → | = 1 (\displaystyle (\vec (s))=\left\Vert s_(x),s_(y),s_(z)\right\Vert ^(T),\left\vert (\vec (s) )\right\vert =1), могат да бъдат представени под формата на квадратна (билинейна) форма:

I s = s → T ⋅ J ^ ⋅ s → , (\displaystyle I_(s)=(\vec (s))^(T)\cdot (\hat (J))\cdot (\vec (s)) ,\qquad) (1)

където е тензорът на инерцията. Матрицата на тензора на инерцията е симетрична и има размери 3 × 3 (\displaystyle 3\пъти 3)и се състои от компоненти на центробежни моменти:

J ^ = ‖ J x x − J x y − J x z − J y x J y y − J y z − J z x − J z y J z z ‖ , (\displaystyle (\hat (J))=\left\Vert (\begin(array )(ccc)J_(xx)&-J_(xy)&-J_(xz)\\-J_(yx)&J_(yy)&-J_(yz)\\-J_(zx)&-J_(zy) &J_(zz)\end(array))\right\Vert ,) J x y = J y x, J x z = J z x, J z y = J y z, (\displaystyle J_(xy)=J_(yx),\quad J_(xz)=J_(zx),\quad J_(zy)= J_(yz),\quad )J x x = ∫ (m) (y 2 + z 2) d m, J y y = ∫ (m) (x 2 + z 2) d m, J z z = ∫ (m) (x 2 + y 2) d m. (\displaystyle J_(xx)=\int \limits _((m))(y^(2)+z^(2))dm,\quad J_(yy)=\int \limits _((m)) (x^(2)+z^(2))dm,\quad J_(zz)=\int \limits _((m))(x^(2)+y^(2))dm.)

Чрез избора на подходяща координатна система матрицата на тензора на инерцията може да се редуцира до диагонална форма. За да направите това, трябва да решите проблема със собствените стойности за тензорната матрица J ^ (\displaystyle (\hat (J))):

J ^ d = Q ^ T ⋅ J ^ ⋅ Q ^ , (\displaystyle (\hat (J))_(d)=(\hat (Q))^(T)\cdot (\hat (J))\ cdot (\hat (Q)),) J ^ d = ‖ J X 0 0 0 J Y 0 0 0 J Z ‖ , (\displaystyle (\hat (J))_(d)=\left\Vert (\begin(array)(ccc)J_(X)&0&0\ \0&J_(Y)&0\\0&0&J_(Z)\end(масив))\right\Vert ,)

Където Q ^ (\displaystyle (\hat (Q)))- ортогонална матрица на преход към собствената база на инерционния тензор. В правилната основа координатните оси са насочени по главните оси на тензора на инерцията и съвпадат с главните полуоси на елипсоида на тензора на инерцията. Количества J X , J Y , J Z (\displaystyle J_(X),J_(Y),J_(Z))- основни инерционни моменти. Изразът (1) в собствената си координатна система има формата:

I s = J X ⋅ s x 2 + J Y ⋅ s y 2 + J Z ⋅ s z 2 , (\displaystyle I_(s)=J_(X)\cdot s_(x)^(2)+J_(Y)\cdot s_(y )^(2)+J_(Z)\cdot s_(z)^(2),)

от което получаваме уравнението на елипсоида в собствените му координати. Разделяйки двете страни на уравнението на I s (\displaystyle I_(s))

(s x I s) 2 ⋅ J X + (s y I s) 2 ⋅ J Y + (s z I s) 2 ⋅ J Z = 1 (\displaystyle \left((s_(x) \over (\sqrt (I_(s)) ))\right)^(2)\cdot J_(X)+\left((s_(y) \over (\sqrt (I_(s))))\right)^(2)\cdot J_(Y) +\left((s_(z) \over (\sqrt (I_(s))))\right)^(2)\cdot J_(Z)=1)

и извършване на замени:

ξ = s x I s, η = s y I s, ζ = s z I s, (\displaystyle \xi =(s_(x) \over (\sqrt (I_(s)))),\eta =(s_(y ) \over (\sqrt (I_(s)))),\zeta =(s_(z) \over (\sqrt (I_(s)))),)

получаваме каноничната форма на уравнението на елипсоида в координати ξ η ζ (\displaystyle \xi \eta \zeta ):

ξ 2 ⋅ J X + η 2 ⋅ J Y + ζ 2 ⋅ J Z = 1. (\displaystyle \xi ^(2)\cdot J_(X)+\eta ^(2)\cdot J_(Y)+\zeta ^( 2)\cdot J_(Z)=1.)

Разстоянието от центъра на елипсоида до определена точка е свързано със стойността на инерционния момент на тялото по права линия, минаваща през центъра на елипсоида и тази точка.

Нека има твърдо тяло. Да изберем някаква права OO (фиг. 6.1), която ще наречем ос (правата OO може да е извън тялото). Нека разделим тялото на елементарни сечения (материални точки) с маси
разположени на разстояние от оста
съответно.

Инерционният момент на материална точка спрямо ос (OO) е произведението на масата на материална точка по квадрата на нейното разстояние до тази ос:

. (6.1)

Инерционният момент (MI) на тялото спрямо ос (OO) е сумата от произведенията на масите на елементарните сечения на тялото по квадрата на тяхното разстояние до оста:

. (6.2)

Както можете да видите, инерционният момент на тялото е адитивна величина - инерционният момент на цялото тяло спрямо определена ос е равен на сумата от инерционните моменти на отделните му части спрямо същата ос.

В такъв случай

Инерционният момент се измерва в kgm 2. защото

, (6.3)

където  – плътност на веществото,
- сила на звука аз- ти раздел, тогава

или преминавайки към безкрайно малки елементи,

. (6.4)

Формула (6.4) е удобна за използване за изчисляване на MI на хомогенни тела с правилна форма спрямо оста на симетрия, минаваща през центъра на масата на тялото. Например, за MI на цилиндър спрямо ос, минаваща през центъра на масата, успоредна на образуващата, тази формула дава

Където T- тегло; Р- радиус на цилиндъра.

Теоремата на Щайнер предоставя голяма помощ при изчисляването на MI на тела спрямо определени оси: MI на тела азспрямо която и да е ос е равна на сумата от MI на това тяло аз ° Сспрямо ос, минаваща през центъра на масата на тялото и успоредна на дадената, и произведението на масата на тялото на квадрата на разстоянието дмежду посочените оси:

. (6.5)

Силов момент около оста

Нека силата действа върху тялото Е. Нека приемем за простота, че силата Ележи в равнина, перпендикулярна на някаква права линия OO (фиг. 6.2, А), която ще наричаме ос (например, това е оста на въртене на тялото). На фиг. 6.2, А А- точка на прилагане на силата Е,
- точката на пресичане на оста с равнината, в която лежи силата; r- радиус вектор, определящ позицията на точката Аспрямо точката ОТНОСНО"; О"б = b - рамо на силата. Рамото на силата спрямо оста е най-малкото разстояние от оста до правата линия, върху която лежи векторът на силата Е(дължината на перпендикуляра, прекаран от точката към този ред).

Силовият момент спрямо оста е векторна величина, определена от равенството

. (6.6)

Модулът на този вектор е . Понякога, следователно, те казват, че моментът на сила около оста е произведение на силата и нейното рамо.

Ако силата Ее насочено произволно, тогава може да се разложи на два компонента; И (фиг.6.2, b), т.е.
+, Където - компонент, насочен успоредно на оста OO, и лежи в равнина, перпендикулярна на оста. В този случай под момента на сила Еспрямо оста OO разбирайте вектора

. (6.7)

В съответствие с изрази (6.6) и (6.7), векторът Мнасочена по оста (виж фиг. 6.2, А,b).

Импулсът на тялото спрямо оста на въртене

П Нека тялото се върти около определена ос OO с ъглова скорост
. Нека мислено разделим това тяло на елементарни секции с маси
, които са разположени от оста, съответно на разстояния
и се въртят в кръгове, като имат линейни скорости
Известно е, че стойността е равна
- има импулс аз- сюжет. момент на импулс аз-сечение (материална точка) спрямо оста на въртене се нарича вектор (по-точно псевдовектор)

, (6.8)

Където r аз– радиус вектор, определящ позицията аз- площ спрямо оста.

Ъгловият импулс на цялото тяло спрямо оста на въртене се нарича вектор

(6.9)

чийто модул
.

В съответствие с изразите (6.8) и (6.9) векторите
И насочена по оста на въртене (фиг. 6.3). Лесно е да се покаже, че ъгловият момент на тялото Лспрямо оста на въртене и инерционния момент азна това тяло спрямо една и съща ос са свързани с отношението

. (6.10)

Инерционният момент на тяло (система) спрямо дадена ос Oz (или аксиален инерционен момент) е скаларна величина, която е различна от сумата на произведенията на масите на всички точки на тялото (системата) по квадрати на техните разстояния от тази ос:

От дефиницията следва, че инерционният момент на тяло (или система) спрямо всяка ос е положително количество и не е равно на нула.

В бъдеще ще бъде показано, че аксиалният инерционен момент играе същата роля по време на въртеливото движение на тялото, както масата по време на транслационно движение, т.е. че аксиалният инерционен момент е мярка за инерцията на тялото по време на въртеливо движение. движение.

Съгласно формула (2) инерционният момент на тялото е равен на сумата от инерционните моменти на всички негови части спрямо една и съща ос. За една материална точка, разположена на разстояние h от оста, . Единицата за измерване на инерционния момент в SI ще бъде 1 kg (в системата MKGSS -).

За да се изчислят аксиалните инерционни моменти, разстоянията на точки от осите могат да бъдат изразени чрез координатите на тези точки (например квадратът на разстоянието от оста Ox ще бъде и т.н.).

Тогава инерционните моменти относно осите ще се определят по формулите:

Често по време на изчисленията се използва понятието радиус на въртене. Радиусът на инерцията на тялото спрямо ос е линейна величина, определена от равенството

където М е телесна маса. От определението следва, че радиусът на инерцията е геометрично равен на разстоянието от оста на точката, в която трябва да се концентрира масата на цялото тяло, така че инерционният момент на тази една точка да е равен на инерционния момент на цялото тяло.

Познавайки радиуса на инерцията, можете да използвате формула (4), за да намерите инерционния момент на тялото и обратно.

Формули (2) и (3) са валидни както за твърдо тяло, така и за всяка система от материални точки. В случай на твърдо тяло, разделяйки го на елементарни части, откриваме, че в границата сумата в равенство (2) ще се превърне в интеграл. В резултат на това, като вземем предвид, че където е плътността и V е обемът, получаваме

Интегралът тук се простира върху целия обем V на тялото, а плътността и разстоянието h зависят от координатите на точките на тялото. По същия начин формулите (3) за твърди тела приемат формата

Формулите (5) и (5) са удобни за използване при изчисляване на инерционните моменти на хомогенни тела с правилна форма. В този случай плътността ще бъде постоянна и ще бъде извън интегралния знак.

Нека намерим инерционните моменти на някои еднородни тела.

1. Тънък хомогенен прът с дължина l и маса M. Нека изчислим неговия инерционен момент спрямо оста, перпендикулярна на пръта и минаваща през неговия край A (фиг. 275). Нека насочим координатната ос по AB.Тогава за всеки елементарен сегмент с дължина d стойността е , а масата е , където е масата на единица дължина на пръта. В резултат на това формула (5) дава

Заменяйки тук със стойността му, най-накрая намираме

2. Тънък кръгъл еднороден пръстен с радиус R и маса M. Нека намерим неговия инерционен момент спрямо оста, перпендикулярна на равнината на пръстена и минаваща през неговия център C (фиг. 276).

Тъй като всички точки на пръстена са разположени на разстояние от оста, формула (2) дава

Следователно, за пръстена

Очевидно същият резултат ще бъде получен за инерционния момент на тънка цилиндрична обвивка с маса M и радиус R спрямо нейната ос.

3. Кръгла хомогенна плоча или цилиндър с радиус R и маса M. Нека изчислим инерционния момент на кръглата плоча спрямо оста, перпендикулярна на плочата и минаваща през нейния център (виж фиг. 276). За да направите това, ние избираме елементарен пръстен с радиус и ширина (фиг. 277, а). Площта на този пръстен е , а масата е къде е масата на единица площ на плочата. Тогава по формула (7) за избрания елементарен пръстен ще има и за цялата плоча

Както беше отбелязано по-горе, простите равнинни фигури включват три фигури: правоъгълник, триъгълник и кръг. Тези фигури се считат за прости, тъй като позицията на центъра на тежестта на тези фигури е известна предварително. Всички други фигури могат да бъдат съставени от тези прости фигури и се считат за сложни. Нека изчислим аксиалните моменти на инерция на прости фигури спрямо техните централни оси.

1. Правоъгълник.Нека разгледаме напречното сечение на правоъгълен профил с размери (фиг. 4.6). Нека изберем елемент на сечение с две безкрайно близки сечения на разстояние от централната ос
.

Нека изчислим инерционния момент на правоъгълно напречно сечение спрямо оста:

. (4.10)

Инерционният момент на правоъгълно сечение спрямо оста
ще намерим подобно. Заключението не е дадено тук.

. (4.11)

И
е равно на нула, тъй като осите
И
са оси на симетрия и, следователно, главни оси.

2. Равнобедрен триъгълник.Нека разгледаме разрез от триъгълен профил с размери
(фиг.4.7). Нека изберем елемент на сечение с две безкрайно близки сечения на разстояние от централната ос
. Центърът на тежестта на триъгълника е на разстояние
от основата. Приема се, че триъгълникът е равнобедрен, така че оста
сечението е оста на симетрия.

Нека изчислим инерционния момент на сечението спрямо оста
:

. (4.12)

Размер определяме от сходството на триъгълниците:

; където
.

Заместване на изрази за в (4.12) и интегрирайки, получаваме:

. (4.13)

Инерционен момент за равнобедрен триъгълник спрямо оста
се намира по подобен начин и е равно на:

(4.14)

Центробежен инерционен момент спрямо осите
И
е равно на нула, тъй като оста
е оста на симетрия на сечението.

3. кръг. Помислете за напречното сечение на кръгъл профил с диаметър (фиг.4.8). Нека подчертаем елемента на сечението с два безкрайно близки концентрични кръга, разположени на разстояние от центъра на тежестта на кръга .

Нека изчислим полярния инерционен момент на окръжността, използвайки израз (4.5):

. (4.15)

Използвайки условието за инвариантност за сумата от аксиалните инерционни моменти около две взаимно перпендикулярни оси (4.6) и като вземем предвид това за кръг, поради симетрия
, определяме стойността на аксиалните моменти на инерция:

. (4.16)

. (4.17)

Центробежен инерционен момент спрямо осите И е равно на нула, тъй като осите
И
са осите на симетрия на сечението.

4.4. Зависимости между инерционните моменти спрямо успоредни оси

Когато изчислявате инерционните моменти за сложни фигури, трябва да запомните едно правило: стойностите на инерционните моменти могат да се добавят, ако се изчисляват спрямо една и съща ос. При сложни фигури най-често центровете на тежестта на отделни прости фигури и цялата фигура не съвпадат. Съответно централните оси за отделни прости фигури и цялата фигура не съвпадат. В тази връзка има техники за привеждане на инерционните моменти към една ос, например централната ос на цялата фигура. Това може да се дължи на паралелно преместване на инерционните оси и допълнителни изчисления.

Нека разгледаме определянето на инерционните моменти спрямо успоредните инерционни оси, показани на фиг. 4.9.

Нека аксиалните и центробежните моменти на инерция, показани на фиг. 4.9. фигури спрямо произволно избрани оси
И
с начало в точката известен. Необходимо е да се изчислят аксиалните и центробежните моменти на инерция на фигура спрямо произволни успоредни оси
И
с начало в точката . Оси
И
извършвани на разстояния И съответно от осите
И
.

Нека използваме изразите за аксиалните инерционни моменти (4.4) и за центробежния инерционен момент (4.7). Нека заместим в тези изрази вместо текущите координати
И
елемент с безкрайно малка координатна площ
И
в новата координатна система. Получаваме:

Анализирайки получените изрази, стигаме до извода, че при изчисляване на инерционните моменти спрямо успоредни оси трябва да се добавят добавки под формата на допълнителни членове към инерционните моменти, изчислени спрямо оригиналните инерционни оси, които могат да бъдат много по-големи отколкото стойностите за моментите на инерция спрямо оригиналните оси. Следователно тези допълнителни условия при никакви обстоятелства не трябва да се пренебрегват.

Разгледаният случай е най-общият случай на паралелно прехвърляне на оси, когато за начални са взети произволни инерционни оси. В повечето изчисления има специални случаи за определяне на инерционните моменти.

Първи частен случай. Началните оси са централните инерционни оси на фигурата. След това, използвайки основното свойство за статичния момент на площта, можем да изключим от уравнения (4.18)–(4.20) членовете на уравненията, които включват статичния момент на площта на фигурата. В резултат получаваме:

. (4.21)

. (4.22)

. (4.23)

Ето ги брадвите
И
-централни инерционни оси.

Втори специален случай. Базовите оси са главните оси на инерция. Тогава, като се има предвид, че спрямо главните оси на инерция центробежният инерционен момент е равен на нула, получаваме:

. (4.24)

. (4.25)

. (4.26)

Ето ги брадвите
И
главни инерционни оси.

Нека използваме получените изрази и разгледаме няколко примера за изчисляване на инерционните моменти за равнинни фигури.

Пример 4.2.Определете аксиалните инерционни моменти на фигурата, показана на фиг. 4.10, спрямо централните оси И .

В предишния пример 4.1, за фигурата, показана на фиг. и компилиран
. Да изчислим разстоянията И между осите И и брадви И . Тези разстояния бяха респ
И
. Тъй като оригиналните оси И са централните оси за прости фигури под формата на правоъгълници, за определяне на инерционния момент на фигурата спрямо оста Нека използваме изводите за първия частен случай, по-специално формулата (4.21).

Инерционен момент спрямо оста получаваме чрез добавяне на инерционните моменти на прости фигури спрямо една и съща ос, тъй като оста е общата централна ос за прости фигури и за цялата фигура.

см 4.

Центробежен инерционен момент спрямо осите И е равно на нула, тъй като инерционната ос е главната ос (ос на симетрия на фигурата).

Пример 4.3.Какъв е размерът? b(в cm) фигурата, показана на фиг. 4.11, ако инерционният момент на фигурата спрямо оста равно на 1000 cm 4?

Нека изразим инерционния момент спрямо оста през неизвестен размер на секция , като се използва формула (4.21), като се вземе предвид, че разстоянието между осите И е равно на 7 см:

см 4. (А)

Решаване на израз (а) спрямо размера на сечението , получаваме:

см.

Пример 4.4.Коя от фигурите, показани на фиг. 4.12, има по-голям инерционен момент спрямо оста ако и двете фигури имат еднаква площ
cm 2?

1. Да изразим площите на фигурите чрез техните размери и да определим:

а) диаметър на сечението за кръгло сечение:

cm 2; Където
см.

б) размер на квадратната страна:

; Където
см.

2. Изчислете инерционния момент за кръгло сечение:

см 4.

3. Изчислете инерционния момент за квадратно сечение:

см 4.

Сравнявайки получените резултати, стигаме до извода, че квадратното сечение ще има най-висок инерционен момент в сравнение с кръглото сечение със същата площ.

Пример 4.5.Определете полярния момент на инерция (в cm 4) на правоъгълно сечение спрямо неговия център на тежестта, ако ширината на сечението
см, височина на секцията
см.

1. Намерете инерционните моменти на сечението спрямо хоризонталата и вертикално централни оси на инерция:

cm 4;
см 4.

2. Определяме полярния инерционен момент на сечението като сумата от аксиалните инерционни моменти:

см 4.

Пример 4.6.Определете инерционния момент на триъгълната фигура, показана на фиг. 4.13, спрямо централната ос , ако инерционният момент на фигурата спрямо оста равно на 2400 cm 4.

Инерционният момент на триъгълно сечение спрямо главната инерционна ос ще бъде по-малко в сравнение с инерционния момент около оста по количеството
. Следователно, когато
cm инерционен момент на сечението спрямо оста намираме го по следния начин.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Мярката за инерция на въртящо се тяло е момент на инерция(J) спрямо оста, около която се извършва въртенето.

Това е скаларно (като цяло тензорно) физическо количество, което е равно на произведението на масите на материалните точки (), на които въпросното тяло трябва да бъде разделено на квадрати на разстояния () от тях до оста на въртене:

където r е функция на позицията на материална точка в пространството; - телесна плътност; - обем на елемент от тялото.

За хомогенно тяло израз (2) може да бъде представен като:

Инерционният момент в международната система от единици се измерва в:

Величината J е включена в основните закони, с които се описва въртенето на твърдо тяло.

В общия случай големината на инерционния момент зависи от посоката на оста на въртене и тъй като по време на движение векторът обикновено променя посоката си спрямо тялото, инерционният момент трябва да се разглежда като функция на времето. Изключение прави инерционният момент на тяло, въртящо се около неподвижна ос. В този случай инерционният момент остава постоянен.

Теорема на Щайнер

Теоремата на Щайнер дава възможност да се изчисли инерционният момент на тяло спрямо произволна ос на въртене, когато инерционният момент на въпросното тяло е известен спрямо оста, минаваща през центъра на масата на това тяло, и тези оси са паралелен. В математическа форма теоремата на Щайнер е представена като:

където е инерционният момент на тялото спрямо оста на въртене, минаваща през центъра на масата на тялото; m е масата на въпросното тяло; a е разстоянието между осите. Не забравяйте да запомните, че осите трябва да са успоредни. От израз (4) следва, че:

Някои изрази за изчисляване на инерционните моменти на тяло

Когато се върти около ос, материалната точка има инерционен момент, равен на:

където m е масата на точката; r е разстоянието от точката до оста на въртене.

За хомогенен тънък прът с маса m и дължина l J спрямо оста, минаваща през неговия център на масата (оста е перпендикулярна на пръта) е равно на:

Тънък пръстен с маса, въртяща се около ос, която минава през неговия център, перпендикулярна на равнината на пръстена, тогава инерционният момент се изчислява като:

където R е радиусът на пръстена.

Кръгъл хомогенен диск с радиус R и маса m има J спрямо оста, минаваща през неговия център и перпендикулярна на равнината на диска, равно на:

За хомогенна топка

където m е масата на топката; R е радиусът на топката. Топката се върти около ос, която минава през нейния център.

Ако осите на въртене са осите на правоъгълна декартова координатна система, тогава за непрекъснато тяло инерционните моменти могат да се изчислят като:

където са координатите на безкрайно малък елемент от тялото.

Примери за решаване на проблеми

ПРИМЕР 1

Упражнение

Две топки, които могат да се считат за точкови топки, се държат заедно от тънка безтегловна пръчка. Дължина на пръта l. Какъв е инерционният момент на тази система, спрямо оста, която минава перпендикулярно на пръта през центъра на масата. Масите на точките са еднакви и равни на m.

Решение

Нека намерим инерционния момент на една топка () спрямо ос, разположена на разстояние от нея:

Инерционният момент на втората топка ще бъде равен на:

Общият инерционен момент на системата е равен на сумата:

Отговор

ПРИМЕР 2

Упражнение

Какъв е инерционният момент на физическо махало спрямо оста, която минава през точка O (фиг. 1)? Оста е перпендикулярна на равнината на чертежа. Помислете, че физическото махало се състои от тънък прът с дължина l и маса m и диск с маса . Дискът е прикрепен към долния край на пръта и има радиус, равен на

Решение

Инерционният момент на нашето махало (J) ще бъде равен на сумата от инерционния момент на пръта (), въртящ се около оста, минаваща през точка O, и диска (), въртящ се около същата ос: