Видеоурок «Свойства числовых неравенств. Свойства числовых неравенств — Гипермаркет знаний
Для любых числовых выражений справедливы следующие свойства.
Свойство 1. Если к обеим частям верного числового неравенства прибавить одно и то же числовое выражение, то получим верное числовое неравенство, то есть справедливо: ; .
Доказательство. Если . Используя коммутативное, ассоциативное и дистрибутивное свойства операции сложения имеем: .
Следовательно, по определению отношения «больше» 
.
Свойство 2 . Если из обеих частей верного числового неравенства вычесть одно и то же числовое выражение, то получим верное числовое неравенство, то есть справедливо: ;
Доказательство.
По условию . Используя предыдущее свойство, прибавим к обеим частям данного неравенства числовое выражение , получим: .
Используя ассоциативное свойство операции сложения, имеем: , следовательно 
, следовательно .
Следствие. Любое слагаемое можно переносить из одной части числового неравенства в другую с противоположным знаком.
Свойство 3 . Если почленно сложить верные числовые неравенства, то получим верное числовое неравенство, то есть справедливо:
Доказательство.
По свойству 1 имеем: и , используя свойство транзитивность отношения «больше», получим: .
Свойство 4. Верные числовые неравенства противоположного смысла можно почленно вычитать, сохраняя знак неравенства, из которого вычитаем, то есть: ;
Доказательство.
По определению истинных числовых неравенств 
. По свойству 3, если . По следствию свойства 2 данной теоремы, любое слагаемое можно переносить из одной части неравенства в другую с противоположным знаком. Следовательно, 
. Таким образом, если .
Свойство доказывается аналогично.
Свойство 5. Если обе части верного числового неравенства умножить на одно и то же числовое выражение, принимающее положительное значение, не меняя знака неравенства, то получим верное числовое неравенство, то есть:
Доказательство.
Из того, что 
. Имеем: 
тогда 
. Используя дистрибутивность операции умножения относительно вычитания, имеем: .
Тогда по определению отношения «больше» .
Свойство доказывается аналогично.
Свойство 6. Если обе части верного числового неравенства умножить на одно и то же числовое выражение, принимающее отрицательное значение, поменяв знак неравенства на противоположный, то получим верное числовое неравенство, то есть: ;
Свойство 7. Если обе части верного числового неравенства разделить на одно и то же числовое выражение, принимающее положительное значение, не меняя знака неравенства, то получим верное числовое неравенство, то есть:
Доказательство.
Имеем: 
. По свойству 5, получим: . Используя ассоциативность операции умножения, имеем: 
следовательно .
Свойство доказывается аналогично.
Свойство 8. Если обе части верного числового неравенства разделить на одно и то же числовое выражение, принимающее отрицательное значение, поменяв знак неравенства на противоположный, то получим верное числовое неравенство, то есть: ;
Доказательство данного свойства опустим.
Свойство 9. Если почленно перемножить верные числовые неравенства одинакового смысла с отрицательными частями, изменив знак неравенства на противоположный, то получим верное числовое неравенство, то есть:
Доказательство данного свойства опустим.
Свойство 10. Если почленно перемножить верные числовые неравенства одинакового смысла с положительными частями, не меняя знак неравенства, то получим верное числовое неравенство, то есть:
Доказательство данного свойства опустим.
Свойство 11. Если почленно разделить верное числовое неравенство противоположного смысла с положительными частями, сохранив знак первого неравенства, то получим верное числовое неравенство, то есть:
;
.
Доказательство данного свойства опустим.
Пример 1.
Являются ли неравенства 
и 
равносильными?
Решение. Второе неравенство получено из первого неравенства прибавлением к обеим его частям одного и того же выражения , которое не определенно при . Это означает, что число не может быть решением первого неравенства. Однако является решением второго неравенства. Итак, существует решение второго неравенства, которое не является решением первого неравенства. Следовательно, данные неравенства не являются равносильными. Второе неравенство является следствием первого неравенства, так как любое решение первого неравенства является решением второго.
При этом используются свойства таких операций. Знание этих свойств помогало нам выполнять преобразования алгебраических выражений, решать уравнения.
Там же, в главе 5, мы ввели понятие числового неравенства: а> b - это значит, что а - b - положительное число; а < b - это значит, что а - b - отрицательное число.
Числовые неравенства обладают рядом свойств, знание которых поможет нам в дальнейшем работать с неравенствами.
Для чего нужно уметь решать уравнения, вы знаете: до сих пор математическая модель
практически любой реальной ситуации, которую мы рассматривали, представляла собой либо уравнение, либо систему уравнений. На самом деле встречаются и другие математические модели - неравенства, просто мы пока таких ситуаций избегали.
Знание свойств числовых неравенств будет полезно и для исследования функций. Например, с неравенствами связаны такие известные вам свойства функций, как наибольшее и наименьшее значения функции на некотором промежутке, ограниченность функции снизу или сверху. С неравенствами связано и свойство возрастания или убывания функции, о котором пойдет речь в одном из следующих параграфов. Так что, как видите, без знания свойств числовых неравенств
нам не обойтись. Да вы и сами уже могли убедиться в необходимости умения работать с неравенствами.
Так, в § 27 мы пользовались оценками для числа у и т. д.), где фактически опирались (хотя и интуитивно) на свойства числовых неравенств. Активно использовали мы знаки (да и свойства) неравенств в § 28 и 30.
Изучением свойств числовых неравенств мы займемся в настоящем параграфе.
Свойство 1
. Если а>b и b> с, то а> с.
Доказательство.
По условию, а > b, т. е. а - b - положительное число. Аналогично, так как b > с, делаем вывод, что b - с - .
Сложив положительные числа а - b и b - с, получим положительное число. Имеем (а - b) + (b - с) - а - с. Значит, а- с - положительное число, т. е. а > с, что и требовалось доказать.
Свойство 1 можно обосновать, используя геометрическую модель множества действительных чисел, т. е. числовую прямую. Неравенство а> b означает, что на числовой прямой точка а расположена правее точки b, а неравенство b > с - что точка b расположена правее точки с (рис. 115). Но тогда точка о расположена на прямой правее точки с, т. е. а> с.
Свойство 1 обычно называют свой ством транзитивности (образно с говоря, от пункта а мы добираемся до Рис. 115 пункта с как бы транзитом, с промежуточной остановкой в пункте b).
Свойство 2
. Если а>b, то а + с>Ь + с.
Свойство 3. Если а>b и m> О, то от > bm; если а>b и m < o, то am < bm.
Смысл свойства 3 заключается в следующем: если обе части неравенства умножить на одно и то же положительное число, то знак неравенства следует сохранить;
если обе части неравенства умножить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства следует изменить (< на >,> на<).
То же относится к делению обеих частей неравенства на одно и то же положительное или отрицательное число т, поскольку деление на m всегда можно заменить умножением на .
Из свойства 3, в частности, следует, что, умножив обе части неравенства а > b на - 1, получим - а < -b. Это значит, что если изменить знаки у обеих частей неравенства, то надо изменить и знак неравенства: если а>b, то - а <-b.
Свойство 4. Если а>b и c> d, то а + с > b + d.
Доказательство.
I способ.
По условию, а > b и с > d, значит, а - b и с - d - положительные числа. Тогда и их сумма, т. е. (а - b) + (с - d) - положительное число. Так как (a-b) + (c-d) = (a + c)-(b + d), то и (а + с) - (b + d) - положительное число. Поэтому a + c>b + d.
II способ.
Так как а > Ь, то, согласно свойству 2, а + с > b + с. Аналогично, так как с > d, то с + b > d + b.
Итак, а + с > b + с, b + с > b + d. Тогда, в силу свойства транзитивности, получаем, что а + с > b + d.
Замечание 1 . Мы привели два способа доказательства для того, чтобы вы сами выбрали тот из них, который вам больше понравился или более понятен.
Кроме того, вообще полезно знакомиться с различными обоснованиями одного и того же факта.
Доказательство . Так как а > b и с > 0, то ас > bc. Аналогично, так как с > d и b > o, то cb > db. Итак, ас > bc, bc > bd. Тогда, согласно свойству транзитивности, получаем, что ас > bd.
Обычно неравенства вида а > b, с > d (или а < с, с < d) называют неравенствами одинакового смысла, а неравенства а > b и с < d - неравенствами противоположного смысла.
Свойство 5 означает, что при умножении неравенств одинакового смысла, у которых левые и правые части - положительные числа, получится неравенство того же смысла.
Свойство 6. Если а и b - неотрицательные числа и а > b, то а n > Ь n , где n - любое натуральное число .
Смысл свойства 6 заключается в следующем: если обе части неравенства - неотрицательные числа, то их можно возвести в одну и ту же натуральную степень, сохранив знак неравенства.
Дополнение к свойству 6. Если n - нечетное число, то для любых чисел а и b из неравенства а > b следует неравенство того же смысла а n > b n .
Вы обратили внимание на то, что в приведенных доказательствах мы пользовались по сути дела всего двумя идеями? Первая идея - составить разность левой и правой частей неравенства и выяснить, какое число получится: положительное или отрицательное. Вторая идея - для доказательства нового свойства использовать уже известные свойства. Так поступают и в других случаях доказательств числовых неравенств: например, так можно доказать те из перечисленных выше свойств, которые мы здесь привели без доказательства (советуем вам в качестве упражнения попробовать восполнить этот пробел). Рассмотрим несколько примеров.
Пусть а и b - положительные числа и а > b.
Доказать, что
Рассмотрим разность. Имеем
По условию, а, b, а - b - положительные числа. Значит, - отрицательное число, т.е. -, откуда следует, что
Пусть а - положительное число. Доказать, что
.
Получили неотрицательное число, значит,
Заметим, что
Пусть а и b неотрицательные числа.
Доказать, что
Составим разность левой и правой частей неравенства. Имеем
называют средним арифметическим чисел
а и b число называют средним геометрическим чисел а и b. Таким образом, неравенство, доказанное в примере 3, означает, что среднее арифметическое двух неотрицательных чисел не меньше их среднего геометрического. Доказанное неравенство иногда называют неравенством Коши в честь французского математика XIX века Огюста Коши.
Замечание 2 . Неравенство Коши имеет любопытное геометрическое истолкование. Пусть дан прямоугольный треугольник и пусть высота h, проведенная из вершины прямого угла, делит гипотенузу на отрезки а и b (рис. 116). В геометрии доказано, что
(так что не случайно для этого выражения ввели термин «среднее геометрическое»). А что такое ? Это длина половины гипотенузы. Но из геометрии известно, что медиана m прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, как раз и равна половине гипотенузы. Таким образом, неравенство Коши означает, что медиана, проведенная к гипотенузе (т. е. ), не меньше высоты, проведенной к гипотенузе (т.е. ), - очевидный геометрический факт (см. рис. 116). Свойства числовых неравенств позволяют сравнивать действительные числа по величине, оценивать результат.
Сравнить числа:
а) Поставим между сравниваемыми числами знак < ; интуиция подсказывает, что первое число меньше второго. Если в результате правильных (т. е. строгих, основанных на свойствах числовых неравенств) рассуждений мы получим верное неравенство, то наша догадка подтвердится.
Если же в результате правильных рассуждений мы получим неверное неравенство, то между заданными числами надо было поставить не знак <, а знак > (или = , если окажется, что числа равны).
Итак, мы считаем, что Тогда, согласно свойству 6, 
, т. е. 5 < 7. Это верное неравенство, значит, наша догадка подтвердилась: .
б) Поставим между сравниваемыми числами наугад знак > (тут уже действительно наугад, поскольку интуиция здесь не поможет), т. е. предположим,что 
Возведя обе части неравенства в квадрат и используя свойство 6,получим
Воспользовавшись свойством 2, прибавим к обеим частям этого неравенства число -9; получим
Решение, а) Умножив все части двойного неравенства 2,1<а< 2,2 на одно и то же положительное число 2, получим
2 2,1 < 2а < 2 2,2, т. е. 4,2 <2а< 4,4.
б) Умножив все части двойного неравенства 3,7 < b < 3,8 на одно и то же отрицательное число - 3, получим неравенство противоположного смысла:
3 3,7 > - Зb > - 3 3,8, т. е. - 11,4 < - 36 < - 11,1 (вместо записи вида а > b > с мы перешли к более употребительной записи с
в) Сложив почленно заданные двойные неравенства одинакового смысла, получим
г) Сначала умножим все части двойного неравенства 3,7 < b < < 3,8 на одно и то же отрицательное число -1; получим неравенство противоположного смысла - 3,7 > - b > - 3,8, т. е. - 3,8 < - b < - 3,7.
д) Поскольку все части двойного неравенства 2,1 < а < 2,2 положительны, возведя их в квадрат
, получим
2,1 2 <а 2 <2,2 2 , т. е. 4,41 < а 2 < 4,84.
е) Возведя в куб все части двойного неравенства 3,7 < b < 3,8, получим 3,7 3 < b 3 < 3,8 3 , т. е. 50,653 < b 3 < 54,872.
ж) В примере 1 мы установили, что если а и b- положительные числа, то из неравенства а < b следует неравенство противоположного смысла . Значит из двойного неравенства 2,1 < а < 2,2 следует, что
Мордкович А. Г., Алгебра
. 8 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений.- 3-е изд., доработ. - М.: Мнемозина, 2001. - 223 с: ил.
Книги и учебники согласно календарному плануванння по математике 8 класса
АЛГЕБРА
Уроки для 9 классов
УРОК № 2
Тема. Числовые неравенства. Доказательство числовых неравенств
Цель урока: добиться усвоения учащимися содержания: дополнительных неравенств для суммы взаимно обратных положительных чисел и среднего арифметического двух неотрицательных чисел (в сравнении с их средним геометрическим) и доведение этих неравенств; способа применения доказанных неравенств при доказательстве других числовых неравенств. Продолжить работу по выработке умений: воспроизводить содержание изученных понятий и алгоритмов и применять их для решения упражнений на сравнение числовых и буквенных выражений, а также упражнений на доказательство неравенств в простейших случаях и случаях, предусматривающих применение определения и преобразования разности левой и правой частей неравенства, которое надо доказать с использованием выделения квадрата двучлена.
Тип урока: закрепления знаний, выработки умений.
Наглядность и оборудование: опорный конспект № 2.
Ход урока
И. Организационный этап
Учитель проверяет готовность учащихся к уроку, настраивает их на работу.
II . Проверка домашнего задания
Выполнение упражнений домашней работы тщательно проверяется у учащихся, требующих дополнительного педагогического внимания (учитель собирает их тетради на проверку).
Фронтальную проверку качества выполнения упражнений домашней работы можно провести в форме игры «Найди ошибку».
III
.
Формулировка цели и задач урока.
Мотивация учебной деятельности учащихся
Созданию соответствующей мотивации на уроке может посодействовать выполнения учащимися такого задания.
Сравните два выражения, если известно, что а > 0, b
> 0, а разность первого и второго выражений равен: 1) ; 2) 
.
После обсуждения результатов, полученных в ходе выполнения предложенного выше задачи, совместными усилиями приходим к выводу: сравнение выражений путем определения знака разности двух выражений и применения определение сравнения чисел можно проводить, даже когда разница является буквенным выражением, содержащим квадрат двучлена. Изучение этого вопроса и является основной дидактической целью урока. Задание на урок логически вытекающие из этой цели: сформулировать общее правило, а также научиться применять это правило для решения задач на доказательство неравенств.
IV . Актуализация опорных знаний и умений учащихся
Устные упражнения
1) а - b = -5 ;
2) а - b = 4,5;
3) а - b = -19,8;
4) b - а = -0,1;
5) а - b = 0.
2. Представьте в виде квадрата двучлена выражение:
1) х2 - 2х + 1;
2) m 2 + 10m + 25;
3) х2 - 6m + 9;
4) m 2 - mn + n 2 - mn ;
5) х - 2+ в (х > 0; в > 0).
3. Сравните с нулем значение выражения:
1) m 2;
2) m 2 + 1;
3) (m + 1)2;
4) m 2 + 2mn + n 2 + 1.
V . Формирование знаний
План изучения нового материала
1. Доведение неровности , а > 0, b > 0.
2. Доведение неровности 
, а ≥
0, b ≥
0.
3. Примеры применения доказанных неравенств.
Опорный конспект № 2
Доказательство неравенств |
1. Доказать неравенство: , если а > 0; b > 0. |
|
Поскольку а > 0, b
> 0, ab
> 0.
Поскольку (a
-
b
)2
≥
0, то Сумма положительных взаимно обратных чисел не меньше 2. |
Замечание: равенство имеет место при а = b . |
2. Доказать неравенство: |
Доведение. Найдем разность левой и правой частей неравенства:
|
Замечание: равенство имеет место только при а = b или а = b = 0. |
Пример. Докажем неравенство |
Доведение. Представим выражение в виде |
. Поскольку 
.
Методический комментарий
Доказательства неравенств путем применения неравенств для среднего арифметического двух неотрицательных чисел и через сравнение с нулем выражения, равна разности левой и правой частей неравенства, с предварительным выделением квадрата двучлена из образованного выражения является одним из вопросов, которые предусмотрены программой по математике и имеют довольно широкое практическое применение. Именно поэтому уже на данном, втором, уроке, посвященном изучению способов доведения неровностей, рассматриваются вопросы:
· о доказательстве неравенств в случае, когда разность левой и правой частей неравенства является выражением, содержащим буквы;
· о применении для доказательства неравенств соотношений между средним арифметическим и средним геометрическим двух неотрицательных чисел и суммой двух взаимно обратных положительных чисел.
Для успешного восприятия материала урока на этапе актуализации опорных знаний и умений учащихся рекомендуется выполнить устные упражнения на сравнение с нулем буквенного выражения и на повторение формул сокращенного умножения, в частности квадрата двучлена (см. выше). После решения этих упражнений вполне логичным является доведение неравенства для суммы двух положительных взаимно обратных чисел и для среднего арифметического и среднего геометрического двух неотрицательных чисел (во время доведения акцентируем внимание учащихся на то, что при сравнения с нулем разности левой и правой частей неравенства выделяем квадрат двучлена). Также важно обратить внимание учащихся на то, что кроме иллюстрации общего способа доказательства неравенств (путем выделения квадрата двучлена в выражении, представленный как разность левой и правой частей данного неравенства) доказаны неравенства могут быть использованы как средство доказывания других неровностей. Для этого рассматривается пример, иллюстрирующий способ рассуждений при решении подобных примеров.
VI . Формирование умений
Устные упражнения
1. Сравните числа а и b , если:
1) а - b = m 2;
2) а - b = (m + 1)2;
3) а = ; b = ; m ≥ 0.
2. Выделите полный квадрат в выражении:
1) b 2 - 2b с + с2;
2) 4 b 2 - 4b с + с2;
3) -4b 2 + 4b с - с2;
4) -4b 2 + 4b - 2.
Письменные упражнения
Для реализации дидактической цели урока следует решить упражнения такого содержания:
1) доказать неравенства (с использованием выделения квадрата двучлена из выражения, равную разности левой и правой частей данного неравенства);
2) доказать неравенства (с использованием доказанных опорных неравенств).
Методический комментарий
Согласно цели урока проводится работа для выработки умений доказывать неравенства с использованием обозначения (см. алгоритм, составленный на предыдущем уроке), а также умение применять доказанные неравенства для доказательства неравенств (поскольку этот материал требует от учащихся достаточного и высокого уровней знаний и умений, то обязательным он является только для учащихся соответствующего уровня учебных достижений).
VII. Итоги урока
Контрольные задания
1. Заполните пропуски:
1) m
+ ... > 2, m
> 0; 2) 
, m
≥
0, n
≥
0.
2. Сравните выражения тел, если:
1) m - n = а2;
2) m - n = а2 + 4;
3) m - n = а2 - 2а + 1;
4) m - n = а2 - 2а + 2.
VIII . Домашнее задание
1. Изучить схему доказательства неравенств, рассматриваемых на уроке.
2. Решить упражнения: на доказательство неравенств, подобных рассмотренным на уроке.
3. Повторить свойства числовых равенств .
Методы доказательства неравенств.
Решение неравенств. Равносильные неравенства.
Метод интервалов. Системы неравенств.
Доказательство неравенств. Существует несколько методов доказатель ства неравенств. Мы рассмотрим их на примере неравенства:
где a – положительное число.
1). Использование известного или ранее доказанного неравенства.
Известно, что ( a – 1 )² 0 .
2). Оценка знака разности между частями неравенства .
Рассмотрим разность между левой и правой частью:
более того, равенство имеет место только при
a = 1 .3). Доказательство от противного.
Предположим противное:a , получим: a 2 + 1 < 2 a , т. e .
a 2 + 1 – 2 a < 0 , или ( a – 1 ) 2 < 0, что неверно. (Почему?) .
Полученное противоречие доказывает справедливость
Рассматриваемого неравенства.
4). Метод неопределённого неравенства.
Неравенство называется неопределённым , если у него знак \/ или /\ ,
т.е. когда мы не знаем в какую сторону следует повернуть этот знак,
чтобы получить справедливое неравенство.
Здесь действуют те же правила, что и с обычными неравенствами.
Рассмотрим неопределённое неравенство:
Умножая обе части неравенства на a , получим: a 2 + 1 \/ 2 a , т. e .
а 2 + 1 – 2 a \/ 0 , или ( a – 1) 2 \/ 0 , но здесь мы уже знаем, как повернуть
Знак \/ , чтобы получить верное неравенство (Как?). Поворачивая его
В нужном направлении по
всей цепочке неравенств снизу вверх, мы
получим требуемое неравенство.
Решение неравенств. Два неравенства, содержащие одни и те же неизвестные, называются равносильными , если они справедливы при одних и тех же значениях этих неизвестных . Такое же определение используется для равносильности двух систем неравенств. Решение неравенств - это процесс перехода от одного неравенства к другому, равносильному неравенству. Для этого используются основные свойства неравенств (см. ). Кроме того, может быть использована замена любого выражения другим, тождественным данному. Неравенства могут быть алгебраические ( содержащие только многочлены ) и трансцендентные (например, логарифмические или тригонометрические ). Мы рассмотрим здесь один очень важный метод, используемый часто при решении алгебраических неравенств.
Метод интервалов. Решить неравенство: ( x – 3)( x – 5) < 2( x – 3). Здесь нельзя делить обе части неравенства на (x – 3), так как мы не знаем знака этого двучлена (он содержит неизвестное x ). Поэтому мы перенесём все члены неравенства в левую часть:
( x – 3)( x – 5) – 2( x – 3) < 0 ,
разложим её на множители:
( x – 3)( x – 5 – 2) < 0 ,
и получим: ( x – 3)( x – 7) < 0. Теперь определим знак произведения в левой части неравенства в различных числовых интервалах. Заметим, что x = 3 и x = 7 - корни этого выражения. Поэтому вся числовая ось разделится этими корнями на следующие три интервала:
В интервале I (x < 3 ) оба сомножителя отрицательны, следовательно , их произведение положительно ; в интервале II (3 < x < 7 ) первый множитель (x – 3 ) положителен, а второй (x – 7 ) отрицателен, поэтому их произведение отрицательно ; в интервале III (x > 7 ) оба сомножителя положительны, следовательно, их произведение также положительно . Теперь остаётся выбрать интервал, в котором наше произведение отрицательно . Это интервал II , следовательно, решение неравенства: 3 < x < 7. Последнее выражение - так называемое двойное неравенство . Оно означает, что x должен быть одновременно больше 3 и меньше 7.
П р и м е р. Решить следующее неравенство методом интервалов:
( x – 1)(x – 2)(x – 3) … (x –100) > 0 .
Р е ш е н и е. Корни левой части неравенства очевидны: 1, 2, 3, …, 100.
Они разбивают числовую ось на 101 интервал:
Так как количество скобок в левой части чётно (равно 100), то
При x < 1, когда все множители отрицательны, их произведение
Положительно. При переходе через корень происходит смена
Знака произведения. Поэтому следующим интервалом, внутри
Которого произведение положительно, будет (2, 3), затем (4, 5),
Затем (6, 7), … , (98, 99) и наконец , x >100.
Таким образом, данное неравенство имеет решение:
x < 1, 2 < x < 3, 4 < x < 5 ,…, x >100.
Итак, чтобы решить алгебраическое неравенство, надо перенести все его члены в левую (или правую) часть и решить соответствующее уравнение. После этого найденные корни нанести на числовую ось; в результате она разбивается на некоторое число интервалов. На последнем этапе решения нужно определить, какой знак имеет многочлен внутри каждого из этих интервалов, и выбрать нужные интервалы в соответствии со знаком решаемого неравенства.
Заметим, что большинство трансцендентных неравенств заменой неизвестного приводятся к алгебраическому неравенству. Его надо решить относительно нового неизвестного, а затем путём обратной замены найти решение для исходного неравенства.
Системы неравенств. Чтобы решить систему неравенств, необходимо решить каждое из них, и совместить их решения. Это совмещение приводит к одному из двух возможных случаев: либо система имеет решение, либо нет.
П р и м е р 1. Решить систему неравенств:
Р е ш е н и е. Решение первого неравенства:
x < 4 ; а второго: x > 6.Таким образом, эта система неравенств не имеет решения.
(Почему?)
П р и м е р 2. Решить систему неравенств:
Р е ш е н и е. Первое неравенство, как и прежде, даёт: x < 4; но решение
Второго неравенства в данном примере: x > 1.
Таким образом, решение системы неравенств: 1 < x < 4.
Учебное заведение: МОУ Лицей№1 г.Комсомольск-на-Амуре
Руководитель: Будлянская Наталья Леонидовна
Если вы хотите участвовать в большой жизни, то наполняйте свою голову математикой, пока есть к тому возможность. Она окажет вам потом огромную помощь во всей вашей работе. (М.И. Калинин)
Представление левой части неравенства в виде суммы неотрицательных слагаемых (правая часть равна 0) с использованием тождеств.
Пример 1
. Доказать что для любого хϵR
Доказательство. 1 способ
.
2 способ
.
для квадратичной функции что означает её положительность при любом действительном х
.
Пример 2
. Доказать, что для любых x и y
Доказательство. Пример 3
. Доказать, что
Доказательство. Пример 4
. Доказать, что для любых a и b
Доказательство.
2. Метод от противного
Вот хороший пример применения данного метода. Доказать, что для a, b ϵ R.
Доказательство. Предположим, что. Но,что явно доказывает, что наше предположение неверно. Ч.Т.Д.
Пример 5
. Доказать, что для любых чисел А,В,С справедливо неравенство
Доказательство.
Очевидно, что данное неравенство достаточно установить для неотрицательных А, В
и С,
так как будем иметь следующее отношения: ,
что является обоснованием исходного неравенства.
Пусть теперь нашлись такие неотрицательные числа А, В
и С
, для которых выполняется неравенство , что невозможно ни при каких действительных А,В
и С
. Сделанное выше предположение опровергнуто, что доказывает исследуемое исходное неравенство.
Использование свойств квадратного трехчлена
Метод основан на свойстве неотрицательности квадратного трехчлена, если и. Пример 6
. Доказать, что
Доказательство. Пусть, a=2, 2>0
=>
Пример 7
. Доказать, что для любых действительных х и у имеет место быть неравенство
Доказательство. Рассмотрим левую часть неравенство как квадратный трехчлен относительно х:
, а>0, D D= => P(x)>0
и верно при любых действительных значениях х
и у.
Пример 8
. Доказать, что
для любых действительных значениях х и у.
Доказательство. Пусть
, Это означает, что для любых действительных у
и неравенство выполняется при любых действительных х
и у.
Метод введения новых переменных или метод подстановки
Пример 9
. Доказать, что для любых неотрицательных чисел х, у, z
Доказательство. Воспользуемся верным неравенством для, . Получаем исследуемое неравенство
Использование свойств функций.
Пример 10
. Докажем неравенство
для любых а и b.
Доказательство. Рассмотрим 2 случая: Если а=b,то верно
причем равенство достигается только при а=b=0. 2)Если , на R => ()* ()>0, что доказывает неравенство
Пример 11
. Докажем, что для любых
Доказательство. на R. Если, то знаки чисел и совпадают, что означает положительность исследуемой разности =>
Применение метода математической индукции
Данный метод применяется для доказательства неравенств относительно натуральных чисел. Пример 12
. Доказать, что для любого nϵN
Проверим истинность утверждения при
- (верно) 2) Предположим верность утверждения при (k>1)
3) Докажем истинность утверждения при n=k+1. Сравним и: , Имеем: Вывод: утверждение верно для любого nϵN.
Использование замечательных неравенств
Теорема о средних (неравенство Коши)
Неравенство Коши – Буняковского
Неравенство Бернулли
Рассмотрим каждое из перечисленных неравенств в отдельности.
Применение теоремы о средних (неравенства Коши)
Среднее арифметическое нескольких неотрицательных чисел больше или равно их среднего геометрического , где Знак равенства достигается тогда и только тогда, когда Рассмотрим частные случаи этой теоремы:
Пусть n=2, тогда
Пусть n=2, a>0, тогда
Пусть n=3, тогда
Пример 13
. Доказать, что для всех неотрицательных a,b,c выполняется неравенство
Доказательство.
Неравенство Коши - Буняковского
Неравенство Коши - Буняковского утверждает, что для любых; справедливо соотношение Доказанное неравенство имеет геометрическую интерпретацию. Для n=2,3 оно выражает известный факт, что скалярное произведение двух векторов на плоскости и в пространстве не превосходит произведение их длин. Для n=2 неравенство имеет вид: . Для n=3 получим
Пример 14.
Доказательство. 1 способ
.
2 способ
.
для квадратичной функции что означает её положительность при любом действительном х
.
Пример 2
. Доказать, что для любых x и y
Доказательство. Пример 3
. Доказать, что
Доказательство. Пример 4
. Доказать, что для любых a и b
Доказательство.
2. Метод от противного
Вот хороший пример применения данного метода. Доказать, что для a, b ϵ R.
Доказательство. Предположим, что. Но,что явно доказывает, что наше предположение неверно. Ч.Т.Д.
Пример 5
. Доказать, что для любых чисел А,В,С справедливо неравенство
Доказательство.
Очевидно, что данное неравенство достаточно установить для неотрицательных А, В
и С,
так как будем иметь следующее отношения: ,
что является обоснованием исходного неравенства.
Пусть теперь нашлись такие неотрицательные числа А, В
и С
, для которых выполняется неравенство , что невозможно ни при каких действительных А,В
и С
. Сделанное выше предположение опровергнуто, что доказывает исследуемое исходное неравенство.
Использование свойств квадратного трехчлена
Метод основан на свойстве неотрицательности квадратного трехчлена, если и. Пример 6
. Доказать, что
Доказательство. Пусть, a=2, 2>0
=>
Пример 7
. Доказать, что для любых действительных х и у имеет место быть неравенство
Доказательство. Рассмотрим левую часть неравенство как квадратный трехчлен относительно х:
, а>0, D D= => P(x)>0
и верно при любых действительных значениях х
и у.
Пример 8
. Доказать, что
для любых действительных значениях х и у.
Доказательство. Пусть
, Это означает, что для любых действительных у
и неравенство выполняется при любых действительных х
и у.
Метод введения новых переменных или метод подстановки
Пример 9
. Доказать, что для любых неотрицательных чисел х, у, z
Доказательство. Воспользуемся верным неравенством для, . Получаем исследуемое неравенство
Использование свойств функций.
Пример 10
. Докажем неравенство
для любых а и b.
Доказательство. Рассмотрим 2 случая: Если а=b,то верно
причем равенство достигается только при а=b=0. 2)Если , на R => ()* ()>0, что доказывает неравенство
Пример 11
. Докажем, что для любых
Доказательство. на R. Если, то знаки чисел и совпадают, что означает положительность исследуемой разности =>
Применение метода математической индукции
Данный метод применяется для доказательства неравенств относительно натуральных чисел. Пример 12
. Доказать, что для любого nϵN
Проверим истинность утверждения при
- (верно) 2) Предположим верность утверждения при (k>1)
3) Докажем истинность утверждения при n=k+1. Сравним и: , Имеем: Вывод: утверждение верно для любого nϵN.
Использование замечательных неравенств
Теорема о средних (неравенство Коши)
Неравенство Коши – Буняковского
Неравенство Бернулли
Рассмотрим каждое из перечисленных неравенств в отдельности.
Применение теоремы о средних (неравенства Коши)
Среднее арифметическое нескольких неотрицательных чисел больше или равно их среднего геометрического , где Знак равенства достигается тогда и только тогда, когда Рассмотрим частные случаи этой теоремы:
Пусть n=2, тогда
Пусть n=2, a>0, тогда
Пусть n=3, тогда
Пример 13
. Доказать, что для всех неотрицательных a,b,c выполняется неравенство
Доказательство.
Неравенство Коши - Буняковского
Неравенство Коши - Буняковского утверждает, что для любых; справедливо соотношение Доказанное неравенство имеет геометрическую интерпретацию. Для n=2,3 оно выражает известный факт, что скалярное произведение двух векторов на плоскости и в пространстве не превосходит произведение их длин. Для n=2 неравенство имеет вид: . Для n=3 получим
Пример 14.
2 способ
.
для квадратичной функции что означает её положительность при любом действительном х
.
Пример 2
. Доказать, что для любых x и y
Доказательство. Пример 3
. Доказать, что
Доказательство. Пример 4
. Доказать, что для любых a и b
Доказательство.
2. Метод от противного
Вот хороший пример применения данного метода. Доказать, что для a, b ϵ R.
Доказательство. Предположим, что. Но,что явно доказывает, что наше предположение неверно. Ч.Т.Д.
Пример 5
. Доказать, что для любых чисел А,В,С справедливо неравенство
Доказательство.
Очевидно, что данное неравенство достаточно установить для неотрицательных А, В
и С,
так как будем иметь следующее отношения: ,
что является обоснованием исходного неравенства.
Пусть теперь нашлись такие неотрицательные числа А, В
и С
, для которых выполняется неравенство , что невозможно ни при каких действительных А,В
и С
. Сделанное выше предположение опровергнуто, что доказывает исследуемое исходное неравенство.
Использование свойств квадратного трехчлена
Метод основан на свойстве неотрицательности квадратного трехчлена, если и. Пример 6
. Доказать, что
Доказательство. Пусть, a=2, 2>0
=>
Пример 7
. Доказать, что для любых действительных х и у имеет место быть неравенство
Доказательство. Рассмотрим левую часть неравенство как квадратный трехчлен относительно х:
, а>0, D D= => P(x)>0
и верно при любых действительных значениях х
и у.
Пример 8
. Доказать, что
для любых действительных значениях х и у.
Доказательство. Пусть
, Это означает, что для любых действительных у
и неравенство выполняется при любых действительных х
и у.
Метод введения новых переменных или метод подстановки
Пример 9
. Доказать, что для любых неотрицательных чисел х, у, z
Доказательство. Воспользуемся верным неравенством для, . Получаем исследуемое неравенство
Использование свойств функций.
Пример 10
. Докажем неравенство
для любых а и b.
Доказательство. Рассмотрим 2 случая: Если а=b,то верно
причем равенство достигается только при а=b=0. 2)Если , на R => ()* ()>0, что доказывает неравенство
Пример 11
. Докажем, что для любых
Доказательство. на R. Если, то знаки чисел и совпадают, что означает положительность исследуемой разности =>
Применение метода математической индукции
Данный метод применяется для доказательства неравенств относительно натуральных чисел. Пример 12
. Доказать, что для любого nϵN
Проверим истинность утверждения при
- (верно) 2) Предположим верность утверждения при (k>1)
3) Докажем истинность утверждения при n=k+1. Сравним и: , Имеем: Вывод: утверждение верно для любого nϵN.
Использование замечательных неравенств
Теорема о средних (неравенство Коши)
Неравенство Коши – Буняковского
Неравенство Бернулли
Рассмотрим каждое из перечисленных неравенств в отдельности.
Применение теоремы о средних (неравенства Коши)
Среднее арифметическое нескольких неотрицательных чисел больше или равно их среднего геометрического , где Знак равенства достигается тогда и только тогда, когда Рассмотрим частные случаи этой теоремы:
Пусть n=2, тогда
Пусть n=2, a>0, тогда
Пусть n=3, тогда
Пример 13
. Доказать, что для всех неотрицательных a,b,c выполняется неравенство
Доказательство.
Неравенство Коши - Буняковского
Неравенство Коши - Буняковского утверждает, что для любых; справедливо соотношение Доказанное неравенство имеет геометрическую интерпретацию. Для n=2,3 оно выражает известный факт, что скалярное произведение двух векторов на плоскости и в пространстве не превосходит произведение их длин. Для n=2 неравенство имеет вид: . Для n=3 получим
Пример 14.
для квадратичной функции что означает её положительность при любом действительном х
.
Пример 2
. Доказать, что для любых x и y
Доказательство. Пример 3
. Доказать, что
Доказательство. Пример 4
. Доказать, что для любых a и b
Доказательство.
2. Метод от противного
Вот хороший пример применения данного метода. Доказать, что для a, b ϵ R.
Доказательство. Предположим, что. Но,что явно доказывает, что наше предположение неверно. Ч.Т.Д.
Пример 5
. Доказать, что для любых чисел А,В,С справедливо неравенство
Доказательство.
Очевидно, что данное неравенство достаточно установить для неотрицательных А, В
и С,
так как будем иметь следующее отношения: ,
что является обоснованием исходного неравенства.
Пусть теперь нашлись такие неотрицательные числа А, В
и С
, для которых выполняется неравенство , что невозможно ни при каких действительных А,В
и С
. Сделанное выше предположение опровергнуто, что доказывает исследуемое исходное неравенство.
Использование свойств квадратного трехчлена
Метод основан на свойстве неотрицательности квадратного трехчлена, если и. Пример 6
. Доказать, что
Доказательство. Пусть, a=2, 2>0
=>
Пример 7
. Доказать, что для любых действительных х и у имеет место быть неравенство
Доказательство. Рассмотрим левую часть неравенство как квадратный трехчлен относительно х:
, а>0, D D= => P(x)>0
и верно при любых действительных значениях х
и у.
Пример 8
. Доказать, что
для любых действительных значениях х и у.
Доказательство. Пусть
, Это означает, что для любых действительных у
и неравенство выполняется при любых действительных х
и у.
Метод введения новых переменных или метод подстановки
Пример 9
. Доказать, что для любых неотрицательных чисел х, у, z
Доказательство. Воспользуемся верным неравенством для, . Получаем исследуемое неравенство
Использование свойств функций.
Пример 10
. Докажем неравенство
для любых а и b.
Доказательство. Рассмотрим 2 случая: Если а=b,то верно
причем равенство достигается только при а=b=0. 2)Если , на R => ()* ()>0, что доказывает неравенство
Пример 11
. Докажем, что для любых
Доказательство. на R. Если, то знаки чисел и совпадают, что означает положительность исследуемой разности =>
Применение метода математической индукции
Данный метод применяется для доказательства неравенств относительно натуральных чисел. Пример 12
. Доказать, что для любого nϵN
Проверим истинность утверждения при
- (верно) 2) Предположим верность утверждения при (k>1)
3) Докажем истинность утверждения при n=k+1. Сравним и: , Имеем: Вывод: утверждение верно для любого nϵN.
Использование замечательных неравенств
Теорема о средних (неравенство Коши)
Неравенство Коши – Буняковского
Неравенство Бернулли
Рассмотрим каждое из перечисленных неравенств в отдельности.
Применение теоремы о средних (неравенства Коши)
Среднее арифметическое нескольких неотрицательных чисел больше или равно их среднего геометрического , где Знак равенства достигается тогда и только тогда, когда Рассмотрим частные случаи этой теоремы:
Пусть n=2, тогда
Пусть n=2, a>0, тогда
Пусть n=3, тогда
Пример 13
. Доказать, что для всех неотрицательных a,b,c выполняется неравенство
Доказательство.
Неравенство Коши - Буняковского
Неравенство Коши - Буняковского утверждает, что для любых; справедливо соотношение Доказанное неравенство имеет геометрическую интерпретацию. Для n=2,3 оно выражает известный факт, что скалярное произведение двух векторов на плоскости и в пространстве не превосходит произведение их длин. Для n=2 неравенство имеет вид: . Для n=3 получим
Пример 14.
что означает её положительность при любом действительном х
.
Пример 2
. Доказать, что для любых x и y
Доказательство. Пример 3
. Доказать, что
Доказательство. Пример 4
. Доказать, что для любых a и b
Доказательство.
2. Метод от противного
Вот хороший пример применения данного метода. Доказать, что для a, b ϵ R.
Доказательство. Предположим, что. Но,что явно доказывает, что наше предположение неверно. Ч.Т.Д.
Пример 5
. Доказать, что для любых чисел А,В,С справедливо неравенство
Доказательство.
Очевидно, что данное неравенство достаточно установить для неотрицательных А, В
и С,
так как будем иметь следующее отношения: ,
что является обоснованием исходного неравенства.
Пусть теперь нашлись такие неотрицательные числа А, В
и С
, для которых выполняется неравенство , что невозможно ни при каких действительных А,В
и С
. Сделанное выше предположение опровергнуто, что доказывает исследуемое исходное неравенство.
Использование свойств квадратного трехчлена
Метод основан на свойстве неотрицательности квадратного трехчлена, если и. Пример 6
. Доказать, что
Доказательство. Пусть, a=2, 2>0
=>
Пример 7
. Доказать, что для любых действительных х и у имеет место быть неравенство
Доказательство. Рассмотрим левую часть неравенство как квадратный трехчлен относительно х:
, а>0, D D= => P(x)>0
и верно при любых действительных значениях х
и у.
Пример 8
. Доказать, что
для любых действительных значениях х и у.
Доказательство. Пусть
, Это означает, что для любых действительных у
и неравенство выполняется при любых действительных х
и у.
Метод введения новых переменных или метод подстановки
Пример 9
. Доказать, что для любых неотрицательных чисел х, у, z
Доказательство. Воспользуемся верным неравенством для, . Получаем исследуемое неравенство
Использование свойств функций.
Пример 10
. Докажем неравенство
для любых а и b.
Доказательство. Рассмотрим 2 случая: Если а=b,то верно
причем равенство достигается только при а=b=0. 2)Если , на R => ()* ()>0, что доказывает неравенство
Пример 11
. Докажем, что для любых
Доказательство. на R. Если, то знаки чисел и совпадают, что означает положительность исследуемой разности =>
Применение метода математической индукции
Данный метод применяется для доказательства неравенств относительно натуральных чисел. Пример 12
. Доказать, что для любого nϵN
Проверим истинность утверждения при
- (верно) 2) Предположим верность утверждения при (k>1)
3) Докажем истинность утверждения при n=k+1. Сравним и: , Имеем: Вывод: утверждение верно для любого nϵN.
Использование замечательных неравенств
Теорема о средних (неравенство Коши)
Неравенство Коши – Буняковского
Неравенство Бернулли
Рассмотрим каждое из перечисленных неравенств в отдельности.
Применение теоремы о средних (неравенства Коши)
Среднее арифметическое нескольких неотрицательных чисел больше или равно их среднего геометрического , где Знак равенства достигается тогда и только тогда, когда Рассмотрим частные случаи этой теоремы:
Пусть n=2, тогда
Пусть n=2, a>0, тогда
Пусть n=3, тогда
Пример 13
. Доказать, что для всех неотрицательных a,b,c выполняется неравенство
Доказательство.
Неравенство Коши - Буняковского
Неравенство Коши - Буняковского утверждает, что для любых; справедливо соотношение Доказанное неравенство имеет геометрическую интерпретацию. Для n=2,3 оно выражает известный факт, что скалярное произведение двух векторов на плоскости и в пространстве не превосходит произведение их длин. Для n=2 неравенство имеет вид: . Для n=3 получим
Пример 14.
Пример 2
. Доказать, что для любых x и y
Доказательство. Пример 3
. Доказать, что
Доказательство. Пример 4
. Доказать, что для любых a и b
Доказательство.
2. Метод от противного
Вот хороший пример применения данного метода. Доказать, что для a, b ϵ R.
Доказательство. Предположим, что. Но,что явно доказывает, что наше предположение неверно. Ч.Т.Д.
Пример 5
. Доказать, что для любых чисел А,В,С справедливо неравенство
Доказательство.
Очевидно, что данное неравенство достаточно установить для неотрицательных А, В
и С,
так как будем иметь следующее отношения: ,
что является обоснованием исходного неравенства.
Пусть теперь нашлись такие неотрицательные числа А, В
и С
, для которых выполняется неравенство , что невозможно ни при каких действительных А,В
и С
. Сделанное выше предположение опровергнуто, что доказывает исследуемое исходное неравенство.
Использование свойств квадратного трехчлена
Метод основан на свойстве неотрицательности квадратного трехчлена, если и. Пример 6
. Доказать, что
Доказательство. Пусть, a=2, 2>0
=>
Пример 7
. Доказать, что для любых действительных х и у имеет место быть неравенство
Доказательство. Рассмотрим левую часть неравенство как квадратный трехчлен относительно х:
, а>0, D D= => P(x)>0
и верно при любых действительных значениях х
и у.
Пример 8
. Доказать, что
для любых действительных значениях х и у.
Доказательство. Пусть
, Это означает, что для любых действительных у
и неравенство выполняется при любых действительных х
и у.
Метод введения новых переменных или метод подстановки
Пример 9
. Доказать, что для любых неотрицательных чисел х, у, z
Доказательство. Воспользуемся верным неравенством для, . Получаем исследуемое неравенство
Использование свойств функций.
Пример 10
. Докажем неравенство
для любых а и b.
Доказательство. Рассмотрим 2 случая: Если а=b,то верно
причем равенство достигается только при а=b=0. 2)Если , на R => ()* ()>0, что доказывает неравенство
Пример 11
. Докажем, что для любых
Доказательство. на R. Если, то знаки чисел и совпадают, что означает положительность исследуемой разности =>
Применение метода математической индукции
Данный метод применяется для доказательства неравенств относительно натуральных чисел. Пример 12
. Доказать, что для любого nϵN
Проверим истинность утверждения при
- (верно) 2) Предположим верность утверждения при (k>1)
3) Докажем истинность утверждения при n=k+1. Сравним и: , Имеем: Вывод: утверждение верно для любого nϵN.
Использование замечательных неравенств
Теорема о средних (неравенство Коши)
Неравенство Коши – Буняковского
Неравенство Бернулли
Рассмотрим каждое из перечисленных неравенств в отдельности.
Применение теоремы о средних (неравенства Коши)
Среднее арифметическое нескольких неотрицательных чисел больше или равно их среднего геометрического , где Знак равенства достигается тогда и только тогда, когда Рассмотрим частные случаи этой теоремы:
Пусть n=2, тогда
Пусть n=2, a>0, тогда
Пусть n=3, тогда
Пример 13
. Доказать, что для всех неотрицательных a,b,c выполняется неравенство
Доказательство.
Неравенство Коши - Буняковского
Неравенство Коши - Буняковского утверждает, что для любых; справедливо соотношение Доказанное неравенство имеет геометрическую интерпретацию. Для n=2,3 оно выражает известный факт, что скалярное произведение двух векторов на плоскости и в пространстве не превосходит произведение их длин. Для n=2 неравенство имеет вид: . Для n=3 получим
Пример 14.
Доказательство. Пример 3
. Доказать, что
Доказательство. Пример 4
. Доказать, что для любых a и b
Доказательство.
2. Метод от противного
Вот хороший пример применения данного метода. Доказать, что для a, b ϵ R.
Доказательство. Предположим, что. Но,что явно доказывает, что наше предположение неверно. Ч.Т.Д.
Пример 5
. Доказать, что для любых чисел А,В,С справедливо неравенство
Доказательство.
Очевидно, что данное неравенство достаточно установить для неотрицательных А, В
и С,
так как будем иметь следующее отношения: ,
что является обоснованием исходного неравенства.
Пусть теперь нашлись такие неотрицательные числа А, В
и С
, для которых выполняется неравенство , что невозможно ни при каких действительных А,В
и С
. Сделанное выше предположение опровергнуто, что доказывает исследуемое исходное неравенство.
Использование свойств квадратного трехчлена
Метод основан на свойстве неотрицательности квадратного трехчлена, если и. Пример 6
. Доказать, что
Доказательство. Пусть, a=2, 2>0
=>
Пример 7
. Доказать, что для любых действительных х и у имеет место быть неравенство
Доказательство. Рассмотрим левую часть неравенство как квадратный трехчлен относительно х:
, а>0, D D= => P(x)>0
и верно при любых действительных значениях х
и у.
Пример 8
. Доказать, что
для любых действительных значениях х и у.
Доказательство. Пусть
, Это означает, что для любых действительных у
и неравенство выполняется при любых действительных х
и у.
Метод введения новых переменных или метод подстановки
Пример 9
. Доказать, что для любых неотрицательных чисел х, у, z
Доказательство. Воспользуемся верным неравенством для, . Получаем исследуемое неравенство
Использование свойств функций.
Пример 10
. Докажем неравенство
для любых а и b.
Доказательство. Рассмотрим 2 случая: Если а=b,то верно
причем равенство достигается только при а=b=0. 2)Если , на R => ()* ()>0, что доказывает неравенство
Пример 11
. Докажем, что для любых
Доказательство. на R. Если, то знаки чисел и совпадают, что означает положительность исследуемой разности =>
Применение метода математической индукции
Данный метод применяется для доказательства неравенств относительно натуральных чисел. Пример 12
. Доказать, что для любого nϵN
Проверим истинность утверждения при
- (верно) 2) Предположим верность утверждения при (k>1)
3) Докажем истинность утверждения при n=k+1. Сравним и: , Имеем: Вывод: утверждение верно для любого nϵN.
Использование замечательных неравенств
Теорема о средних (неравенство Коши)
Неравенство Коши – Буняковского
Неравенство Бернулли
Рассмотрим каждое из перечисленных неравенств в отдельности.
Применение теоремы о средних (неравенства Коши)
Среднее арифметическое нескольких неотрицательных чисел больше или равно их среднего геометрического , где Знак равенства достигается тогда и только тогда, когда Рассмотрим частные случаи этой теоремы:
Пусть n=2, тогда
Пусть n=2, a>0, тогда
Пусть n=3, тогда
Пример 13
. Доказать, что для всех неотрицательных a,b,c выполняется неравенство
Доказательство.
Неравенство Коши - Буняковского
Неравенство Коши - Буняковского утверждает, что для любых; справедливо соотношение Доказанное неравенство имеет геометрическую интерпретацию. Для n=2,3 оно выражает известный факт, что скалярное произведение двух векторов на плоскости и в пространстве не превосходит произведение их длин. Для n=2 неравенство имеет вид: . Для n=3 получим
Пример 14.
Доказательство. Пример 4
. Доказать, что для любых a и b
Доказательство.
2. Метод от противного
Вот хороший пример применения данного метода. Доказать, что для a, b ϵ R.
Доказательство. Предположим, что. Но,что явно доказывает, что наше предположение неверно. Ч.Т.Д.
Пример 5
. Доказать, что для любых чисел А,В,С справедливо неравенство
Доказательство.
Очевидно, что данное неравенство достаточно установить для неотрицательных А, В
и С,
так как будем иметь следующее отношения: ,
что является обоснованием исходного неравенства.
Пусть теперь нашлись такие неотрицательные числа А, В
и С
, для которых выполняется неравенство , что невозможно ни при каких действительных А,В
и С
. Сделанное выше предположение опровергнуто, что доказывает исследуемое исходное неравенство.
Использование свойств квадратного трехчлена
Метод основан на свойстве неотрицательности квадратного трехчлена, если и. Пример 6
. Доказать, что
Доказательство. Пусть, a=2, 2>0
=>
Пример 7
. Доказать, что для любых действительных х и у имеет место быть неравенство
Доказательство. Рассмотрим левую часть неравенство как квадратный трехчлен относительно х:
, а>0, D D= => P(x)>0
и верно при любых действительных значениях х
и у.
Пример 8
. Доказать, что
для любых действительных значениях х и у.
Доказательство. Пусть
, Это означает, что для любых действительных у
и неравенство выполняется при любых действительных х
и у.
Метод введения новых переменных или метод подстановки
Пример 9
. Доказать, что для любых неотрицательных чисел х, у, z
Доказательство. Воспользуемся верным неравенством для, . Получаем исследуемое неравенство
Использование свойств функций.
Пример 10
. Докажем неравенство
для любых а и b.
Доказательство. Рассмотрим 2 случая: Если а=b,то верно
причем равенство достигается только при а=b=0. 2)Если , на R => ()* ()>0, что доказывает неравенство
Пример 11
. Докажем, что для любых
Доказательство. на R. Если, то знаки чисел и совпадают, что означает положительность исследуемой разности =>
Применение метода математической индукции
Данный метод применяется для доказательства неравенств относительно натуральных чисел. Пример 12
. Доказать, что для любого nϵN
Проверим истинность утверждения при
- (верно) 2) Предположим верность утверждения при (k>1)
3) Докажем истинность утверждения при n=k+1. Сравним и: , Имеем: Вывод: утверждение верно для любого nϵN.
Использование замечательных неравенств
Теорема о средних (неравенство Коши)
Неравенство Коши – Буняковского
Неравенство Бернулли
Рассмотрим каждое из перечисленных неравенств в отдельности.
Применение теоремы о средних (неравенства Коши)
Среднее арифметическое нескольких неотрицательных чисел больше или равно их среднего геометрического , где Знак равенства достигается тогда и только тогда, когда Рассмотрим частные случаи этой теоремы:
Пусть n=2, тогда
Пусть n=2, a>0, тогда
Пусть n=3, тогда
Пример 13
. Доказать, что для всех неотрицательных a,b,c выполняется неравенство
Доказательство.
Неравенство Коши - Буняковского
Неравенство Коши - Буняковского утверждает, что для любых; справедливо соотношение Доказанное неравенство имеет геометрическую интерпретацию. Для n=2,3 оно выражает известный факт, что скалярное произведение двух векторов на плоскости и в пространстве не превосходит произведение их длин. Для n=2 неравенство имеет вид: . Для n=3 получим
Пример 14.
Доказательство.
2. Метод от противного
Вот хороший пример применения данного метода. Доказать, что для a, b ϵ R.
Доказательство. Предположим, что. Но,что явно доказывает, что наше предположение неверно. Ч.Т.Д.
Пример 5
. Доказать, что для любых чисел А,В,С справедливо неравенство
Доказательство.
Очевидно, что данное неравенство достаточно установить для неотрицательных А, В
и С,
так как будем иметь следующее отношения: ,
что является обоснованием исходного неравенства.
Пусть теперь нашлись такие неотрицательные числа А, В
и С
, для которых выполняется неравенство , что невозможно ни при каких действительных А,В
и С
. Сделанное выше предположение опровергнуто, что доказывает исследуемое исходное неравенство.
Использование свойств квадратного трехчлена
Метод основан на свойстве неотрицательности квадратного трехчлена, если и. Пример 6
. Доказать, что
Доказательство. Пусть, a=2, 2>0
=>
Пример 7
. Доказать, что для любых действительных х и у имеет место быть неравенство
Доказательство. Рассмотрим левую часть неравенство как квадратный трехчлен относительно х:
, а>0, D D= => P(x)>0
и верно при любых действительных значениях х
и у.
Пример 8
. Доказать, что
для любых действительных значениях х и у.
Доказательство. Пусть
, Это означает, что для любых действительных у
и неравенство выполняется при любых действительных х
и у.
Метод введения новых переменных или метод подстановки
Пример 9
. Доказать, что для любых неотрицательных чисел х, у, z
Доказательство. Воспользуемся верным неравенством для, . Получаем исследуемое неравенство
Использование свойств функций.
Пример 10
. Докажем неравенство
для любых а и b.
Доказательство. Рассмотрим 2 случая: Если а=b,то верно
причем равенство достигается только при а=b=0. 2)Если , на R => ()* ()>0, что доказывает неравенство
Пример 11
. Докажем, что для любых
Доказательство. на R. Если, то знаки чисел и совпадают, что означает положительность исследуемой разности =>
Применение метода математической индукции
Данный метод применяется для доказательства неравенств относительно натуральных чисел. Пример 12
. Доказать, что для любого nϵN
Проверим истинность утверждения при
- (верно) 2) Предположим верность утверждения при (k>1)
3) Докажем истинность утверждения при n=k+1. Сравним и: , Имеем: Вывод: утверждение верно для любого nϵN.
Использование замечательных неравенств
Теорема о средних (неравенство Коши)
Неравенство Коши – Буняковского
Неравенство Бернулли
Рассмотрим каждое из перечисленных неравенств в отдельности.
Применение теоремы о средних (неравенства Коши)
Среднее арифметическое нескольких неотрицательных чисел больше или равно их среднего геометрического , где Знак равенства достигается тогда и только тогда, когда Рассмотрим частные случаи этой теоремы:
Пусть n=2, тогда
Пусть n=2, a>0, тогда
Пусть n=3, тогда
Пример 13
. Доказать, что для всех неотрицательных a,b,c выполняется неравенство
Доказательство.
Неравенство Коши - Буняковского
Неравенство Коши - Буняковского утверждает, что для любых; справедливо соотношение Доказанное неравенство имеет геометрическую интерпретацию. Для n=2,3 оно выражает известный факт, что скалярное произведение двух векторов на плоскости и в пространстве не превосходит произведение их длин. Для n=2 неравенство имеет вид: . Для n=3 получим
Пример 14.
Доказать, что для a, b ϵ R.
Доказательство. Предположим, что. Но,что явно доказывает, что наше предположение неверно. Ч.Т.Д.
Пример 5
. Доказать, что для любых чисел А,В,С справедливо неравенство
Доказательство.
Очевидно, что данное неравенство достаточно установить для неотрицательных А, В
и С,
так как будем иметь следующее отношения: ,
что является обоснованием исходного неравенства.
Пусть теперь нашлись такие неотрицательные числа А, В
и С
, для которых выполняется неравенство , что невозможно ни при каких действительных А,В
и С
. Сделанное выше предположение опровергнуто, что доказывает исследуемое исходное неравенство.
Использование свойств квадратного трехчлена
Метод основан на свойстве неотрицательности квадратного трехчлена, если и. Пример 6
. Доказать, что
Доказательство. Пусть, a=2, 2>0
=>
Пример 7
. Доказать, что для любых действительных х и у имеет место быть неравенство
Доказательство. Рассмотрим левую часть неравенство как квадратный трехчлен относительно х:
, а>0, D D= => P(x)>0
и верно при любых действительных значениях х
и у.
Пример 8
. Доказать, что
для любых действительных значениях х и у.
Доказательство. Пусть
, Это означает, что для любых действительных у
и неравенство выполняется при любых действительных х
и у.
Метод введения новых переменных или метод подстановки
Пример 9
. Доказать, что для любых неотрицательных чисел х, у, z
Доказательство. Воспользуемся верным неравенством для, . Получаем исследуемое неравенство
Использование свойств функций.
Пример 10
. Докажем неравенство
для любых а и b.
Доказательство. Рассмотрим 2 случая: Если а=b,то верно
причем равенство достигается только при а=b=0. 2)Если , на R => ()* ()>0, что доказывает неравенство
Пример 11
. Докажем, что для любых
Доказательство. на R. Если, то знаки чисел и совпадают, что означает положительность исследуемой разности =>
Применение метода математической индукции
Данный метод применяется для доказательства неравенств относительно натуральных чисел. Пример 12
. Доказать, что для любого nϵN
Проверим истинность утверждения при
- (верно) 2) Предположим верность утверждения при (k>1)
3) Докажем истинность утверждения при n=k+1. Сравним и: , Имеем: Вывод: утверждение верно для любого nϵN.
Использование замечательных неравенств
Теорема о средних (неравенство Коши)
Неравенство Коши – Буняковского
Неравенство Бернулли
Рассмотрим каждое из перечисленных неравенств в отдельности.
Применение теоремы о средних (неравенства Коши)
Среднее арифметическое нескольких неотрицательных чисел больше или равно их среднего геометрического , где Знак равенства достигается тогда и только тогда, когда Рассмотрим частные случаи этой теоремы:
Пусть n=2, тогда
Пусть n=2, a>0, тогда
Пусть n=3, тогда
Пример 13
. Доказать, что для всех неотрицательных a,b,c выполняется неравенство
Доказательство.
Неравенство Коши - Буняковского
Неравенство Коши - Буняковского утверждает, что для любых; справедливо соотношение Доказанное неравенство имеет геометрическую интерпретацию. Для n=2,3 оно выражает известный факт, что скалярное произведение двух векторов на плоскости и в пространстве не превосходит произведение их длин. Для n=2 неравенство имеет вид: . Для n=3 получим
Пример 14.
Предположим, что. Но,что явно доказывает, что наше предположение неверно. Ч.Т.Д.
Пример 5
. Доказать, что для любых чисел А,В,С справедливо неравенство
Доказательство.
Очевидно, что данное неравенство достаточно установить для неотрицательных А, В
и С,
так как будем иметь следующее отношения: ,
что является обоснованием исходного неравенства.
Пусть теперь нашлись такие неотрицательные числа А, В
и С
, для которых выполняется неравенство , что невозможно ни при каких действительных А,В
и С
. Сделанное выше предположение опровергнуто, что доказывает исследуемое исходное неравенство.
Использование свойств квадратного трехчлена
Метод основан на свойстве неотрицательности квадратного трехчлена, если и. Пример 6
. Доказать, что
Доказательство. Пусть, a=2, 2>0
=>
Пример 7
. Доказать, что для любых действительных х и у имеет место быть неравенство
Доказательство. Рассмотрим левую часть неравенство как квадратный трехчлен относительно х:
, а>0, D D= => P(x)>0
и верно при любых действительных значениях х
и у.
Пример 8
. Доказать, что
для любых действительных значениях х и у.
Доказательство. Пусть
, Это означает, что для любых действительных у
и неравенство выполняется при любых действительных х
и у.
Метод введения новых переменных или метод подстановки
Пример 9
. Доказать, что для любых неотрицательных чисел х, у, z
Доказательство. Воспользуемся верным неравенством для, . Получаем исследуемое неравенство
Использование свойств функций.
Пример 10
. Докажем неравенство
для любых а и b.
Доказательство. Рассмотрим 2 случая: Если а=b,то верно
причем равенство достигается только при а=b=0. 2)Если , на R => ()* ()>0, что доказывает неравенство
Пример 11
. Докажем, что для любых
Доказательство. на R. Если, то знаки чисел и совпадают, что означает положительность исследуемой разности =>
Применение метода математической индукции
Данный метод применяется для доказательства неравенств относительно натуральных чисел. Пример 12
. Доказать, что для любого nϵN
Проверим истинность утверждения при
- (верно) 2) Предположим верность утверждения при (k>1)
3) Докажем истинность утверждения при n=k+1. Сравним и: , Имеем: Вывод: утверждение верно для любого nϵN.
Использование замечательных неравенств
Теорема о средних (неравенство Коши)
Неравенство Коши – Буняковского
Неравенство Бернулли
Рассмотрим каждое из перечисленных неравенств в отдельности.
Применение теоремы о средних (неравенства Коши)
Среднее арифметическое нескольких неотрицательных чисел больше или равно их среднего геометрического , где Знак равенства достигается тогда и только тогда, когда Рассмотрим частные случаи этой теоремы:
Пусть n=2, тогда
Пусть n=2, a>0, тогда
Пусть n=3, тогда
Пример 13
. Доказать, что для всех неотрицательных a,b,c выполняется неравенство
Доказательство.
Неравенство Коши - Буняковского
Неравенство Коши - Буняковского утверждает, что для любых; справедливо соотношение Доказанное неравенство имеет геометрическую интерпретацию. Для n=2,3 оно выражает известный факт, что скалярное произведение двух векторов на плоскости и в пространстве не превосходит произведение их длин. Для n=2 неравенство имеет вид: . Для n=3 получим
Пример 14.
Ч.Т.Д.
Пример 5
. Доказать, что для любых чисел А,В,С справедливо неравенство
Доказательство.
Очевидно, что данное неравенство достаточно установить для неотрицательных А, В
и С,
так как будем иметь следующее отношения: ,
что является обоснованием исходного неравенства.
Пусть теперь нашлись такие неотрицательные числа А, В
и С
, для которых выполняется неравенство , что невозможно ни при каких действительных А,В
и С
. Сделанное выше предположение опровергнуто, что доказывает исследуемое исходное неравенство.
Использование свойств квадратного трехчлена
Метод основан на свойстве неотрицательности квадратного трехчлена, если и. Пример 6
. Доказать, что
Доказательство. Пусть, a=2, 2>0
=>
Пример 7
. Доказать, что для любых действительных х и у имеет место быть неравенство
Доказательство. Рассмотрим левую часть неравенство как квадратный трехчлен относительно х:
, а>0, D D= => P(x)>0
и верно при любых действительных значениях х
и у.
Пример 8
. Доказать, что
для любых действительных значениях х и у.
Доказательство. Пусть
, Это означает, что для любых действительных у
и неравенство выполняется при любых действительных х
и у.
Метод введения новых переменных или метод подстановки
Пример 9
. Доказать, что для любых неотрицательных чисел х, у, z
Доказательство. Воспользуемся верным неравенством для, . Получаем исследуемое неравенство
Использование свойств функций.
Пример 10
. Докажем неравенство
для любых а и b.
Доказательство. Рассмотрим 2 случая: Если а=b,то верно
причем равенство достигается только при а=b=0. 2)Если , на R => ()* ()>0, что доказывает неравенство
Пример 11
. Докажем, что для любых
Доказательство. на R. Если, то знаки чисел и совпадают, что означает положительность исследуемой разности =>
Применение метода математической индукции
Данный метод применяется для доказательства неравенств относительно натуральных чисел. Пример 12
. Доказать, что для любого nϵN
Проверим истинность утверждения при
- (верно) 2) Предположим верность утверждения при (k>1)
3) Докажем истинность утверждения при n=k+1. Сравним и: , Имеем: Вывод: утверждение верно для любого nϵN.
Использование замечательных неравенств
Теорема о средних (неравенство Коши)
Неравенство Коши – Буняковского
Неравенство Бернулли
Рассмотрим каждое из перечисленных неравенств в отдельности.
Применение теоремы о средних (неравенства Коши)
Среднее арифметическое нескольких неотрицательных чисел больше или равно их среднего геометрического , где Знак равенства достигается тогда и только тогда, когда Рассмотрим частные случаи этой теоремы:
Пусть n=2, тогда
Пусть n=2, a>0, тогда
Пусть n=3, тогда
Пример 13
. Доказать, что для всех неотрицательных a,b,c выполняется неравенство
Доказательство.
Неравенство Коши - Буняковского
Неравенство Коши - Буняковского утверждает, что для любых; справедливо соотношение Доказанное неравенство имеет геометрическую интерпретацию. Для n=2,3 оно выражает известный факт, что скалярное произведение двух векторов на плоскости и в пространстве не превосходит произведение их длин. Для n=2 неравенство имеет вид: . Для n=3 получим
Пример 14.
Доказательство.
Очевидно, что данное неравенство достаточно установить для неотрицательных А, В
и С,
так как будем иметь следующее отношения: ,
что является обоснованием исходного неравенства.
Пусть теперь нашлись такие неотрицательные числа А, В
и С
, для которых выполняется неравенство , что невозможно ни при каких действительных А,В
и С
. Сделанное выше предположение опровергнуто, что доказывает исследуемое исходное неравенство.
Использование свойств квадратного трехчлена
Метод основан на свойстве неотрицательности квадратного трехчлена, если и. Пример 6
. Доказать, что
Доказательство. Пусть, a=2, 2>0
=>
Пример 7
. Доказать, что для любых действительных х и у имеет место быть неравенство
Доказательство. Рассмотрим левую часть неравенство как квадратный трехчлен относительно х:
, а>0, D D= => P(x)>0
и верно при любых действительных значениях х
и у.
Пример 8
. Доказать, что
для любых действительных значениях х и у.
Доказательство. Пусть
, Это означает, что для любых действительных у
и неравенство выполняется при любых действительных х
и у.
Метод введения новых переменных или метод подстановки
Пример 9
. Доказать, что для любых неотрицательных чисел х, у, z
Доказательство. Воспользуемся верным неравенством для, . Получаем исследуемое неравенство
Использование свойств функций.
Пример 10
. Докажем неравенство
для любых а и b.
Доказательство. Рассмотрим 2 случая: Если а=b,то верно
причем равенство достигается только при а=b=0. 2)Если , на R => ()* ()>0, что доказывает неравенство
Пример 11
. Докажем, что для любых
Доказательство. на R. Если, то знаки чисел и совпадают, что означает положительность исследуемой разности =>
Применение метода математической индукции
Данный метод применяется для доказательства неравенств относительно натуральных чисел. Пример 12
. Доказать, что для любого nϵN
Проверим истинность утверждения при
- (верно) 2) Предположим верность утверждения при (k>1)
3) Докажем истинность утверждения при n=k+1. Сравним и: , Имеем: Вывод: утверждение верно для любого nϵN.
Использование замечательных неравенств
Теорема о средних (неравенство Коши)
Неравенство Коши – Буняковского
Неравенство Бернулли
Рассмотрим каждое из перечисленных неравенств в отдельности.
Применение теоремы о средних (неравенства Коши)
Среднее арифметическое нескольких неотрицательных чисел больше или равно их среднего геометрического , где Знак равенства достигается тогда и только тогда, когда Рассмотрим частные случаи этой теоремы:
Пусть n=2, тогда
Пусть n=2, a>0, тогда
Пусть n=3, тогда
Пример 13
. Доказать, что для всех неотрицательных a,b,c выполняется неравенство
Доказательство.
Неравенство Коши - Буняковского
Неравенство Коши - Буняковского утверждает, что для любых; справедливо соотношение Доказанное неравенство имеет геометрическую интерпретацию. Для n=2,3 оно выражает известный факт, что скалярное произведение двух векторов на плоскости и в пространстве не превосходит произведение их длин. Для n=2 неравенство имеет вид: . Для n=3 получим
Пример 14.
,
что является обоснованием исходного неравенства.
Пусть теперь нашлись такие неотрицательные числа А, В
и С
, для которых выполняется неравенство , что невозможно ни при каких действительных А,В
и С
. Сделанное выше предположение опровергнуто, что доказывает исследуемое исходное неравенство.
Использование свойств квадратного трехчлена
Метод основан на свойстве неотрицательности квадратного трехчлена, если и. Пример 6
. Доказать, что
Доказательство. Пусть, a=2, 2>0
=>
Пример 7
. Доказать, что для любых действительных х и у имеет место быть неравенство
Доказательство. Рассмотрим левую часть неравенство как квадратный трехчлен относительно х:
, а>0, D D= => P(x)>0
и верно при любых действительных значениях х
и у.
Пример 8
. Доказать, что
для любых действительных значениях х и у.
Доказательство. Пусть
, Это означает, что для любых действительных у
и неравенство выполняется при любых действительных х
и у.
Метод введения новых переменных или метод подстановки
Пример 9
. Доказать, что для любых неотрицательных чисел х, у, z
Доказательство. Воспользуемся верным неравенством для, . Получаем исследуемое неравенство
Использование свойств функций.
Пример 10
. Докажем неравенство
для любых а и b.
Доказательство. Рассмотрим 2 случая: Если а=b,то верно
причем равенство достигается только при а=b=0. 2)Если , на R => ()* ()>0, что доказывает неравенство
Пример 11
. Докажем, что для любых
Доказательство. на R. Если, то знаки чисел и совпадают, что означает положительность исследуемой разности =>
Применение метода математической индукции
Данный метод применяется для доказательства неравенств относительно натуральных чисел. Пример 12
. Доказать, что для любого nϵN
Проверим истинность утверждения при
- (верно) 2) Предположим верность утверждения при (k>1)
3) Докажем истинность утверждения при n=k+1. Сравним и: , Имеем: Вывод: утверждение верно для любого nϵN.
Использование замечательных неравенств
Теорема о средних (неравенство Коши)
Неравенство Коши – Буняковского
Неравенство Бернулли
Рассмотрим каждое из перечисленных неравенств в отдельности.
Применение теоремы о средних (неравенства Коши)
Среднее арифметическое нескольких неотрицательных чисел больше или равно их среднего геометрического , где Знак равенства достигается тогда и только тогда, когда Рассмотрим частные случаи этой теоремы:
Пусть n=2, тогда
Пусть n=2, a>0, тогда
Пусть n=3, тогда
Пример 13
. Доказать, что для всех неотрицательных a,b,c выполняется неравенство
Доказательство.
Неравенство Коши - Буняковского
Неравенство Коши - Буняковского утверждает, что для любых; справедливо соотношение Доказанное неравенство имеет геометрическую интерпретацию. Для n=2,3 оно выражает известный факт, что скалярное произведение двух векторов на плоскости и в пространстве не превосходит произведение их длин. Для n=2 неравенство имеет вид: . Для n=3 получим
Пример 14.
, что невозможно ни при каких действительных А,В
и С
. Сделанное выше предположение опровергнуто, что доказывает исследуемое исходное неравенство.
Использование свойств квадратного трехчлена
Метод основан на свойстве неотрицательности квадратного трехчлена, если и. Пример 6
. Доказать, что
Доказательство. Пусть, a=2, 2>0
=>
Пример 7
. Доказать, что для любых действительных х и у имеет место быть неравенство
Доказательство. Рассмотрим левую часть неравенство как квадратный трехчлен относительно х:
, а>0, D D= => P(x)>0
и верно при любых действительных значениях х
и у.
Пример 8
. Доказать, что
для любых действительных значениях х и у.
Доказательство. Пусть
, Это означает, что для любых действительных у
и неравенство выполняется при любых действительных х
и у.
Метод введения новых переменных или метод подстановки
Пример 9
. Доказать, что для любых неотрицательных чисел х, у, z
Доказательство. Воспользуемся верным неравенством для, . Получаем исследуемое неравенство
Использование свойств функций.
Пример 10
. Докажем неравенство
для любых а и b.
Доказательство. Рассмотрим 2 случая: Если а=b,то верно
причем равенство достигается только при а=b=0. 2)Если , на R => ()* ()>0, что доказывает неравенство
Пример 11
. Докажем, что для любых
Доказательство. на R. Если, то знаки чисел и совпадают, что означает положительность исследуемой разности =>
Применение метода математической индукции
Данный метод применяется для доказательства неравенств относительно натуральных чисел. Пример 12
. Доказать, что для любого nϵN
Проверим истинность утверждения при
- (верно) 2) Предположим верность утверждения при (k>1)
3) Докажем истинность утверждения при n=k+1. Сравним и: , Имеем: Вывод: утверждение верно для любого nϵN.
Использование замечательных неравенств
Теорема о средних (неравенство Коши)
Неравенство Коши – Буняковского
Неравенство Бернулли
Рассмотрим каждое из перечисленных неравенств в отдельности.
Применение теоремы о средних (неравенства Коши)
Среднее арифметическое нескольких неотрицательных чисел больше или равно их среднего геометрического , где Знак равенства достигается тогда и только тогда, когда Рассмотрим частные случаи этой теоремы:
Пусть n=2, тогда
Пусть n=2, a>0, тогда
Пусть n=3, тогда
Пример 13
. Доказать, что для всех неотрицательных a,b,c выполняется неравенство
Доказательство.
Неравенство Коши - Буняковского
Неравенство Коши - Буняковского утверждает, что для любых; справедливо соотношение Доказанное неравенство имеет геометрическую интерпретацию. Для n=2,3 оно выражает известный факт, что скалярное произведение двух векторов на плоскости и в пространстве не превосходит произведение их длин. Для n=2 неравенство имеет вид: . Для n=3 получим
Пример 14.
и. Пример 6
. Доказать, что
Доказательство. Пусть, a=2, 2>0
=>
Пример 7
. Доказать, что для любых действительных х и у имеет место быть неравенство
Доказательство. Рассмотрим левую часть неравенство как квадратный трехчлен относительно х:
, а>0, D D= => P(x)>0
и верно при любых действительных значениях х
и у.
Пример 8
. Доказать, что
для любых действительных значениях х и у.
Доказательство. Пусть
, Это означает, что для любых действительных у
и неравенство выполняется при любых действительных х
и у.
Метод введения новых переменных или метод подстановки
Пример 9
. Доказать, что для любых неотрицательных чисел х, у, z
Доказательство. Воспользуемся верным неравенством для, . Получаем исследуемое неравенство
Использование свойств функций.
Пример 10
. Докажем неравенство
для любых а и b.
Доказательство. Рассмотрим 2 случая: Если а=b,то верно
причем равенство достигается только при а=b=0. 2)Если , на R => ()* ()>0, что доказывает неравенство
Пример 11
. Докажем, что для любых
Доказательство. на R. Если, то знаки чисел и совпадают, что означает положительность исследуемой разности =>
Применение метода математической индукции
Данный метод применяется для доказательства неравенств относительно натуральных чисел. Пример 12
. Доказать, что для любого nϵN
Проверим истинность утверждения при
- (верно) 2) Предположим верность утверждения при (k>1)
3) Докажем истинность утверждения при n=k+1. Сравним и: , Имеем: Вывод: утверждение верно для любого nϵN.
Использование замечательных неравенств
Теорема о средних (неравенство Коши)
Неравенство Коши – Буняковского
Неравенство Бернулли
Рассмотрим каждое из перечисленных неравенств в отдельности.
Применение теоремы о средних (неравенства Коши)
Среднее арифметическое нескольких неотрицательных чисел больше или равно их среднего геометрического , где Знак равенства достигается тогда и только тогда, когда Рассмотрим частные случаи этой теоремы:
Пусть n=2, тогда
Пусть n=2, a>0, тогда
Пусть n=3, тогда
Пример 13
. Доказать, что для всех неотрицательных a,b,c выполняется неравенство
Доказательство.
Неравенство Коши - Буняковского
Неравенство Коши - Буняковского утверждает, что для любых; справедливо соотношение Доказанное неравенство имеет геометрическую интерпретацию. Для n=2,3 оно выражает известный факт, что скалярное произведение двух векторов на плоскости и в пространстве не превосходит произведение их длин. Для n=2 неравенство имеет вид: . Для n=3 получим
Пример 14.
Доказательство. Пусть, a=2, 2>0
=>
Пример 7
. Доказать, что для любых действительных х и у имеет место быть неравенство
Доказательство. Рассмотрим левую часть неравенство как квадратный трехчлен относительно х:
, а>0, D D= => P(x)>0
и верно при любых действительных значениях х
и у.
Пример 8
. Доказать, что
для любых действительных значениях х и у.
Доказательство. Пусть
, Это означает, что для любых действительных у
и неравенство выполняется при любых действительных х
и у.
Метод введения новых переменных или метод подстановки
Пример 9
. Доказать, что для любых неотрицательных чисел х, у, z
Доказательство. Воспользуемся верным неравенством для, . Получаем исследуемое неравенство
Использование свойств функций.
Пример 10
. Докажем неравенство
для любых а и b.
Доказательство. Рассмотрим 2 случая: Если а=b,то верно
причем равенство достигается только при а=b=0. 2)Если , на R => ()* ()>0, что доказывает неравенство
Пример 11
. Докажем, что для любых
Доказательство. на R. Если, то знаки чисел и совпадают, что означает положительность исследуемой разности =>
Применение метода математической индукции
Данный метод применяется для доказательства неравенств относительно натуральных чисел. Пример 12
. Доказать, что для любого nϵN
Проверим истинность утверждения при
- (верно) 2) Предположим верность утверждения при (k>1)
3) Докажем истинность утверждения при n=k+1. Сравним и: , Имеем: Вывод: утверждение верно для любого nϵN.
Использование замечательных неравенств
Теорема о средних (неравенство Коши)
Неравенство Коши – Буняковского
Неравенство Бернулли
Рассмотрим каждое из перечисленных неравенств в отдельности.
Применение теоремы о средних (неравенства Коши)
Среднее арифметическое нескольких неотрицательных чисел больше или равно их среднего геометрического , где Знак равенства достигается тогда и только тогда, когда Рассмотрим частные случаи этой теоремы:
Пусть n=2, тогда
Пусть n=2, a>0, тогда
Пусть n=3, тогда
Пример 13
. Доказать, что для всех неотрицательных a,b,c выполняется неравенство
Доказательство.
Неравенство Коши - Буняковского
Неравенство Коши - Буняковского утверждает, что для любых; справедливо соотношение Доказанное неравенство имеет геометрическую интерпретацию. Для n=2,3 оно выражает известный факт, что скалярное произведение двух векторов на плоскости и в пространстве не превосходит произведение их длин. Для n=2 неравенство имеет вид: . Для n=3 получим
Пример 14.
=>
Пример 7
. Доказать, что для любых действительных х и у имеет место быть неравенство
Доказательство. Рассмотрим левую часть неравенство как квадратный трехчлен относительно х:
, а>0, D D= => P(x)>0
и верно при любых действительных значениях х
и у.
Пример 8
. Доказать, что
для любых действительных значениях х и у.
Доказательство. Пусть
, Это означает, что для любых действительных у
и неравенство выполняется при любых действительных х
и у.
Метод введения новых переменных или метод подстановки
Пример 9
. Доказать, что для любых неотрицательных чисел х, у, z
Доказательство. Воспользуемся верным неравенством для, . Получаем исследуемое неравенство
Использование свойств функций.
Пример 10
. Докажем неравенство
для любых а и b.
Доказательство. Рассмотрим 2 случая: Если а=b,то верно
причем равенство достигается только при а=b=0. 2)Если , на R => ()* ()>0, что доказывает неравенство
Пример 11
. Докажем, что для любых
Доказательство. на R. Если, то знаки чисел и совпадают, что означает положительность исследуемой разности =>
Применение метода математической индукции
Данный метод применяется для доказательства неравенств относительно натуральных чисел. Пример 12
. Доказать, что для любого nϵN
Проверим истинность утверждения при
- (верно) 2) Предположим верность утверждения при (k>1)
3) Докажем истинность утверждения при n=k+1. Сравним и: , Имеем: Вывод: утверждение верно для любого nϵN.
Использование замечательных неравенств
Теорема о средних (неравенство Коши)
Неравенство Коши – Буняковского
Неравенство Бернулли
Рассмотрим каждое из перечисленных неравенств в отдельности.
Применение теоремы о средних (неравенства Коши)
Среднее арифметическое нескольких неотрицательных чисел больше или равно их среднего геометрического , где Знак равенства достигается тогда и только тогда, когда Рассмотрим частные случаи этой теоремы:
Пусть n=2, тогда
Пусть n=2, a>0, тогда
Пусть n=3, тогда
Пример 13
. Доказать, что для всех неотрицательных a,b,c выполняется неравенство
Доказательство.
Неравенство Коши - Буняковского
Неравенство Коши - Буняковского утверждает, что для любых; справедливо соотношение Доказанное неравенство имеет геометрическую интерпретацию. Для n=2,3 оно выражает известный факт, что скалярное произведение двух векторов на плоскости и в пространстве не превосходит произведение их длин. Для n=2 неравенство имеет вид: . Для n=3 получим
Пример 14.
Доказательство. Рассмотрим левую часть неравенство как квадратный трехчлен относительно х:
, а>0, D D= => P(x)>0
и верно при любых действительных значениях х
и у.
Пример 8
. Доказать, что
для любых действительных значениях х и у.
Доказательство. Пусть
, Это означает, что для любых действительных у
и неравенство выполняется при любых действительных х
и у.
Метод введения новых переменных или метод подстановки
Пример 9
. Доказать, что для любых неотрицательных чисел х, у, z
Доказательство. Воспользуемся верным неравенством для, . Получаем исследуемое неравенство
Использование свойств функций.
Пример 10
. Докажем неравенство
для любых а и b.
Доказательство. Рассмотрим 2 случая: Если а=b,то верно
причем равенство достигается только при а=b=0. 2)Если , на R => ()* ()>0, что доказывает неравенство
Пример 11
. Докажем, что для любых
Доказательство. на R. Если, то знаки чисел и совпадают, что означает положительность исследуемой разности =>
Применение метода математической индукции
Данный метод применяется для доказательства неравенств относительно натуральных чисел. Пример 12
. Доказать, что для любого nϵN
Проверим истинность утверждения при
- (верно) 2) Предположим верность утверждения при (k>1)
3) Докажем истинность утверждения при n=k+1. Сравним и: , Имеем: Вывод: утверждение верно для любого nϵN.
Использование замечательных неравенств
Теорема о средних (неравенство Коши)
Неравенство Коши – Буняковского
Неравенство Бернулли
Рассмотрим каждое из перечисленных неравенств в отдельности.
Применение теоремы о средних (неравенства Коши)
Среднее арифметическое нескольких неотрицательных чисел больше или равно их среднего геометрического , где Знак равенства достигается тогда и только тогда, когда Рассмотрим частные случаи этой теоремы:
Пусть n=2, тогда
Пусть n=2, a>0, тогда
Пусть n=3, тогда
Пример 13
. Доказать, что для всех неотрицательных a,b,c выполняется неравенство
Доказательство.
Неравенство Коши - Буняковского
Неравенство Коши - Буняковского утверждает, что для любых; справедливо соотношение Доказанное неравенство имеет геометрическую интерпретацию. Для n=2,3 оно выражает известный факт, что скалярное произведение двух векторов на плоскости и в пространстве не превосходит произведение их длин. Для n=2 неравенство имеет вид: . Для n=3 получим
Пример 14.
D= => P(x)>0
и верно при любых действительных значениях х
и у.
Пример 8
. Доказать, что
для любых действительных значениях х и у.
Доказательство. Пусть
, Это означает, что для любых действительных у
и неравенство выполняется при любых действительных х
и у.
Метод введения новых переменных или метод подстановки
Пример 9
. Доказать, что для любых неотрицательных чисел х, у, z
Доказательство. Воспользуемся верным неравенством для, . Получаем исследуемое неравенство
Использование свойств функций.
Пример 10
. Докажем неравенство
для любых а и b.
Доказательство. Рассмотрим 2 случая: Если а=b,то верно
причем равенство достигается только при а=b=0. 2)Если , на R => ()* ()>0, что доказывает неравенство
Пример 11
. Докажем, что для любых
Доказательство. на R. Если, то знаки чисел и совпадают, что означает положительность исследуемой разности =>
Применение метода математической индукции
Данный метод применяется для доказательства неравенств относительно натуральных чисел. Пример 12
. Доказать, что для любого nϵN
Проверим истинность утверждения при
- (верно) 2) Предположим верность утверждения при (k>1)
3) Докажем истинность утверждения при n=k+1. Сравним и: , Имеем: Вывод: утверждение верно для любого nϵN.
Использование замечательных неравенств
Теорема о средних (неравенство Коши)
Неравенство Коши – Буняковского
Неравенство Бернулли
Рассмотрим каждое из перечисленных неравенств в отдельности.
Применение теоремы о средних (неравенства Коши)
Среднее арифметическое нескольких неотрицательных чисел больше или равно их среднего геометрического , где Знак равенства достигается тогда и только тогда, когда Рассмотрим частные случаи этой теоремы:
Пусть n=2, тогда
Пусть n=2, a>0, тогда
Пусть n=3, тогда
Пример 13
. Доказать, что для всех неотрицательных a,b,c выполняется неравенство
Доказательство.
Неравенство Коши - Буняковского
Неравенство Коши - Буняковского утверждает, что для любых; справедливо соотношение Доказанное неравенство имеет геометрическую интерпретацию. Для n=2,3 оно выражает известный факт, что скалярное произведение двух векторов на плоскости и в пространстве не превосходит произведение их длин. Для n=2 неравенство имеет вид: . Для n=3 получим
Пример 14.
Пример 8
. Доказать, что
для любых действительных значениях х и у.
Доказательство. Пусть
, Это означает, что для любых действительных у
и неравенство выполняется при любых действительных х
и у.
Метод введения новых переменных или метод подстановки
Пример 9
. Доказать, что для любых неотрицательных чисел х, у, z
Доказательство. Воспользуемся верным неравенством для, . Получаем исследуемое неравенство
Использование свойств функций.
Пример 10
. Докажем неравенство
для любых а и b.
Доказательство. Рассмотрим 2 случая: Если а=b,то верно
причем равенство достигается только при а=b=0. 2)Если , на R => ()* ()>0, что доказывает неравенство
Пример 11
. Докажем, что для любых
Доказательство. на R. Если, то знаки чисел и совпадают, что означает положительность исследуемой разности =>
Применение метода математической индукции
Данный метод применяется для доказательства неравенств относительно натуральных чисел. Пример 12
. Доказать, что для любого nϵN
Проверим истинность утверждения при
- (верно) 2) Предположим верность утверждения при (k>1)
3) Докажем истинность утверждения при n=k+1. Сравним и: , Имеем: Вывод: утверждение верно для любого nϵN.
Использование замечательных неравенств
Теорема о средних (неравенство Коши)
Неравенство Коши – Буняковского
Неравенство Бернулли
Рассмотрим каждое из перечисленных неравенств в отдельности.
Применение теоремы о средних (неравенства Коши)
Среднее арифметическое нескольких неотрицательных чисел больше или равно их среднего геометрического , где Знак равенства достигается тогда и только тогда, когда Рассмотрим частные случаи этой теоремы:
Пусть n=2, тогда
Пусть n=2, a>0, тогда
Пусть n=3, тогда
Пример 13
. Доказать, что для всех неотрицательных a,b,c выполняется неравенство
Доказательство.
Неравенство Коши - Буняковского
Неравенство Коши - Буняковского утверждает, что для любых; справедливо соотношение Доказанное неравенство имеет геометрическую интерпретацию. Для n=2,3 оно выражает известный факт, что скалярное произведение двух векторов на плоскости и в пространстве не превосходит произведение их длин. Для n=2 неравенство имеет вид: . Для n=3 получим
Пример 14.
Пример 8
. Доказать, что
для любых действительных значениях х и у.
Доказательство. Пусть
, Это означает, что для любых действительных у
и неравенство выполняется при любых действительных х
и у.
Метод введения новых переменных или метод подстановки
Пример 9
. Доказать, что для любых неотрицательных чисел х, у, z
Доказательство. Воспользуемся верным неравенством для, . Получаем исследуемое неравенство
Использование свойств функций.
Пример 10
. Докажем неравенство
для любых а и b.
Доказательство. Рассмотрим 2 случая: Если а=b,то верно
причем равенство достигается только при а=b=0. 2)Если , на R => ()* ()>0, что доказывает неравенство
Пример 11
. Докажем, что для любых
Доказательство. на R. Если, то знаки чисел и совпадают, что означает положительность исследуемой разности =>
Применение метода математической индукции
Данный метод применяется для доказательства неравенств относительно натуральных чисел. Пример 12
. Доказать, что для любого nϵN
Проверим истинность утверждения при
- (верно) 2) Предположим верность утверждения при (k>1)
3) Докажем истинность утверждения при n=k+1. Сравним и: , Имеем: Вывод: утверждение верно для любого nϵN.
Использование замечательных неравенств
Теорема о средних (неравенство Коши)
Неравенство Коши – Буняковского
Неравенство Бернулли
Рассмотрим каждое из перечисленных неравенств в отдельности.
Применение теоремы о средних (неравенства Коши)
Среднее арифметическое нескольких неотрицательных чисел больше или равно их среднего геометрического , где Знак равенства достигается тогда и только тогда, когда Рассмотрим частные случаи этой теоремы:
Пусть n=2, тогда
Пусть n=2, a>0, тогда
Пусть n=3, тогда
Пример 13
. Доказать, что для всех неотрицательных a,b,c выполняется неравенство
Доказательство.
Неравенство Коши - Буняковского
Неравенство Коши - Буняковского утверждает, что для любых; справедливо соотношение Доказанное неравенство имеет геометрическую интерпретацию. Для n=2,3 оно выражает известный факт, что скалярное произведение двух векторов на плоскости и в пространстве не превосходит произведение их длин. Для n=2 неравенство имеет вид: . Для n=3 получим
Пример 14.
Доказательство. Пусть
, Это означает, что для любых действительных у
и неравенство выполняется при любых действительных х
и у.
Метод введения новых переменных или метод подстановки
Пример 9
. Доказать, что для любых неотрицательных чисел х, у, z
Доказательство. Воспользуемся верным неравенством для, . Получаем исследуемое неравенство
Использование свойств функций.
Пример 10
. Докажем неравенство
для любых а и b.
Доказательство. Рассмотрим 2 случая: Если а=b,то верно
причем равенство достигается только при а=b=0. 2)Если , на R => ()* ()>0, что доказывает неравенство
Пример 11
. Докажем, что для любых
Доказательство. на R. Если, то знаки чисел и совпадают, что означает положительность исследуемой разности =>
Применение метода математической индукции
Данный метод применяется для доказательства неравенств относительно натуральных чисел. Пример 12
. Доказать, что для любого nϵN
Проверим истинность утверждения при
- (верно) 2) Предположим верность утверждения при (k>1)
3) Докажем истинность утверждения при n=k+1. Сравним и: , Имеем: Вывод: утверждение верно для любого nϵN.
Использование замечательных неравенств
Теорема о средних (неравенство Коши)
Неравенство Коши – Буняковского
Неравенство Бернулли
Рассмотрим каждое из перечисленных неравенств в отдельности.
Применение теоремы о средних (неравенства Коши)
Среднее арифметическое нескольких неотрицательных чисел больше или равно их среднего геометрического , где Знак равенства достигается тогда и только тогда, когда Рассмотрим частные случаи этой теоремы:
Пусть n=2, тогда
Пусть n=2, a>0, тогда
Пусть n=3, тогда
Пример 13
. Доказать, что для всех неотрицательных a,b,c выполняется неравенство
Доказательство.
Неравенство Коши - Буняковского
Неравенство Коши - Буняковского утверждает, что для любых; справедливо соотношение Доказанное неравенство имеет геометрическую интерпретацию. Для n=2,3 оно выражает известный факт, что скалярное произведение двух векторов на плоскости и в пространстве не превосходит произведение их длин. Для n=2 неравенство имеет вид: . Для n=3 получим
Пример 14.
выполняется при любых действительных х
и у.
Метод введения новых переменных или метод подстановки
Пример 9
. Доказать, что для любых неотрицательных чисел х, у, z
Доказательство. Воспользуемся верным неравенством для, . Получаем исследуемое неравенство
Использование свойств функций.
Пример 10
. Докажем неравенство
для любых а и b.
Доказательство. Рассмотрим 2 случая: Если а=b,то верно
причем равенство достигается только при а=b=0. 2)Если , на R => ()* ()>0, что доказывает неравенство
Пример 11
. Докажем, что для любых
Доказательство. на R. Если, то знаки чисел и совпадают, что означает положительность исследуемой разности =>
Применение метода математической индукции
Данный метод применяется для доказательства неравенств относительно натуральных чисел. Пример 12
. Доказать, что для любого nϵN
Проверим истинность утверждения при
- (верно) 2) Предположим верность утверждения при (k>1)
3) Докажем истинность утверждения при n=k+1. Сравним и: , Имеем: Вывод: утверждение верно для любого nϵN.
Использование замечательных неравенств
Теорема о средних (неравенство Коши)
Неравенство Коши – Буняковского
Неравенство Бернулли
Рассмотрим каждое из перечисленных неравенств в отдельности.
Применение теоремы о средних (неравенства Коши)
Среднее арифметическое нескольких неотрицательных чисел больше или равно их среднего геометрического , где Знак равенства достигается тогда и только тогда, когда Рассмотрим частные случаи этой теоремы:
Пусть n=2, тогда
Пусть n=2, a>0, тогда
Пусть n=3, тогда
Пример 13
. Доказать, что для всех неотрицательных a,b,c выполняется неравенство
Доказательство.
Неравенство Коши - Буняковского
Неравенство Коши - Буняковского утверждает, что для любых; справедливо соотношение Доказанное неравенство имеет геометрическую интерпретацию. Для n=2,3 оно выражает известный факт, что скалярное произведение двух векторов на плоскости и в пространстве не превосходит произведение их длин. Для n=2 неравенство имеет вид: . Для n=3 получим
Пример 14.
Метод введения новых переменных или метод подстановки
Пример 9
. Доказать, что для любых неотрицательных чисел х, у, z
Доказательство. Воспользуемся верным неравенством для, . Получаем исследуемое неравенство
Использование свойств функций.
Пример 10
. Докажем неравенство
для любых а и b.
Доказательство. Рассмотрим 2 случая: Если а=b,то верно
причем равенство достигается только при а=b=0. 2)Если , на R => ()* ()>0, что доказывает неравенство
Пример 11
. Докажем, что для любых
Доказательство. на R. Если, то знаки чисел и совпадают, что означает положительность исследуемой разности =>
Применение метода математической индукции
Данный метод применяется для доказательства неравенств относительно натуральных чисел. Пример 12
. Доказать, что для любого nϵN
Проверим истинность утверждения при
- (верно) 2) Предположим верность утверждения при (k>1)
3) Докажем истинность утверждения при n=k+1. Сравним и: , Имеем: Вывод: утверждение верно для любого nϵN.
Использование замечательных неравенств
Теорема о средних (неравенство Коши)
Неравенство Коши – Буняковского
Неравенство Бернулли
Рассмотрим каждое из перечисленных неравенств в отдельности.
Применение теоремы о средних (неравенства Коши)
Среднее арифметическое нескольких неотрицательных чисел больше или равно их среднего геометрического , где Знак равенства достигается тогда и только тогда, когда Рассмотрим частные случаи этой теоремы:
Пусть n=2, тогда
Пусть n=2, a>0, тогда
Пусть n=3, тогда
Пример 13
. Доказать, что для всех неотрицательных a,b,c выполняется неравенство
Доказательство.
Неравенство Коши - Буняковского
Неравенство Коши - Буняковского утверждает, что для любых; справедливо соотношение Доказанное неравенство имеет геометрическую интерпретацию. Для n=2,3 оно выражает известный факт, что скалярное произведение двух векторов на плоскости и в пространстве не превосходит произведение их длин. Для n=2 неравенство имеет вид: . Для n=3 получим
Пример 14.
. Получаем исследуемое неравенство
Использование свойств функций.
Пример 10
. Докажем неравенство
для любых а и b.
Доказательство. Рассмотрим 2 случая: Если а=b,то верно
причем равенство достигается только при а=b=0. 2)Если , на R => ()* ()>0, что доказывает неравенство
Пример 11
. Докажем, что для любых
Доказательство. на R. Если, то знаки чисел и совпадают, что означает положительность исследуемой разности =>
Применение метода математической индукции
Данный метод применяется для доказательства неравенств относительно натуральных чисел. Пример 12
. Доказать, что для любого nϵN
Проверим истинность утверждения при
- (верно) 2) Предположим верность утверждения при (k>1)
3) Докажем истинность утверждения при n=k+1. Сравним и: , Имеем: Вывод: утверждение верно для любого nϵN.
Использование замечательных неравенств
Теорема о средних (неравенство Коши)
Неравенство Коши – Буняковского
Неравенство Бернулли
Рассмотрим каждое из перечисленных неравенств в отдельности.
Применение теоремы о средних (неравенства Коши)
Среднее арифметическое нескольких неотрицательных чисел больше или равно их среднего геометрического , где Знак равенства достигается тогда и только тогда, когда Рассмотрим частные случаи этой теоремы:
Пусть n=2, тогда
Пусть n=2, a>0, тогда
Пусть n=3, тогда
Пример 13
. Доказать, что для всех неотрицательных a,b,c выполняется неравенство
Доказательство.
Неравенство Коши - Буняковского
Неравенство Коши - Буняковского утверждает, что для любых; справедливо соотношение Доказанное неравенство имеет геометрическую интерпретацию. Для n=2,3 оно выражает известный факт, что скалярное произведение двух векторов на плоскости и в пространстве не превосходит произведение их длин. Для n=2 неравенство имеет вид: . Для n=3 получим
Пример 14.
Использование свойств функций.
Пример 10
. Докажем неравенство
для любых а и b.
Доказательство. Рассмотрим 2 случая: Если а=b,то верно
причем равенство достигается только при а=b=0. 2)Если , на R => ()* ()>0, что доказывает неравенство
Пример 11
. Докажем, что для любых
Доказательство. на R. Если, то знаки чисел и совпадают, что означает положительность исследуемой разности =>
Применение метода математической индукции
Данный метод применяется для доказательства неравенств относительно натуральных чисел. Пример 12
. Доказать, что для любого nϵN
Проверим истинность утверждения при
- (верно) 2) Предположим верность утверждения при (k>1)
3) Докажем истинность утверждения при n=k+1. Сравним и: , Имеем: Вывод: утверждение верно для любого nϵN.
Использование замечательных неравенств
Теорема о средних (неравенство Коши)
Неравенство Коши – Буняковского
Неравенство Бернулли
Рассмотрим каждое из перечисленных неравенств в отдельности.
Применение теоремы о средних (неравенства Коши)
Среднее арифметическое нескольких неотрицательных чисел больше или равно их среднего геометрического , где Знак равенства достигается тогда и только тогда, когда Рассмотрим частные случаи этой теоремы:
Пусть n=2, тогда
Пусть n=2, a>0, тогда
Пусть n=3, тогда
Пример 13
. Доказать, что для всех неотрицательных a,b,c выполняется неравенство
Доказательство.
Неравенство Коши - Буняковского
Неравенство Коши - Буняковского утверждает, что для любых; справедливо соотношение Доказанное неравенство имеет геометрическую интерпретацию. Для n=2,3 оно выражает известный факт, что скалярное произведение двух векторов на плоскости и в пространстве не превосходит произведение их длин. Для n=2 неравенство имеет вид: . Для n=3 получим
Пример 14.
Доказательство. Рассмотрим 2 случая: Если а=b,то верно
причем равенство достигается только при а=b=0. 2)Если , на R => ()* ()>0, что доказывает неравенство
Пример 11
. Докажем, что для любых
Доказательство. на R. Если, то знаки чисел и совпадают, что означает положительность исследуемой разности =>
Применение метода математической индукции
Данный метод применяется для доказательства неравенств относительно натуральных чисел. Пример 12
. Доказать, что для любого nϵN
Проверим истинность утверждения при
- (верно) 2) Предположим верность утверждения при (k>1)
3) Докажем истинность утверждения при n=k+1. Сравним и: , Имеем: Вывод: утверждение верно для любого nϵN.
Использование замечательных неравенств
Теорема о средних (неравенство Коши)
Неравенство Коши – Буняковского
Неравенство Бернулли
Рассмотрим каждое из перечисленных неравенств в отдельности.
Применение теоремы о средних (неравенства Коши)
Среднее арифметическое нескольких неотрицательных чисел больше или равно их среднего геометрического , где Знак равенства достигается тогда и только тогда, когда Рассмотрим частные случаи этой теоремы:
Пусть n=2, тогда
Пусть n=2, a>0, тогда
Пусть n=3, тогда
Пример 13
. Доказать, что для всех неотрицательных a,b,c выполняется неравенство
Доказательство.
Неравенство Коши - Буняковского
Неравенство Коши - Буняковского утверждает, что для любых; справедливо соотношение Доказанное неравенство имеет геометрическую интерпретацию. Для n=2,3 оно выражает известный факт, что скалярное произведение двух векторов на плоскости и в пространстве не превосходит произведение их длин. Для n=2 неравенство имеет вид: . Для n=3 получим
Пример 14.
Если а=b,то верно
2)Если , на R => ()* ()>0, что доказывает неравенство
Пример 11
. Докажем, что для любых
Доказательство. на R. Если, то знаки чисел и совпадают, что означает положительность исследуемой разности =>
Применение метода математической индукции
Данный метод применяется для доказательства неравенств относительно натуральных чисел. Пример 12
. Доказать, что для любого nϵN
Проверим истинность утверждения при
- (верно) 2) Предположим верность утверждения при (k>1)
3) Докажем истинность утверждения при n=k+1. Сравним и: , Имеем: Вывод: утверждение верно для любого nϵN.
Использование замечательных неравенств
Теорема о средних (неравенство Коши)
Неравенство Коши – Буняковского
Неравенство Бернулли
Рассмотрим каждое из перечисленных неравенств в отдельности.
Применение теоремы о средних (неравенства Коши)
Среднее арифметическое нескольких неотрицательных чисел больше или равно их среднего геометрического , где Знак равенства достигается тогда и только тогда, когда Рассмотрим частные случаи этой теоремы:
Пусть n=2, тогда
Пусть n=2, a>0, тогда
Пусть n=3, тогда
Пример 13
. Доказать, что для всех неотрицательных a,b,c выполняется неравенство
Доказательство.
Неравенство Коши - Буняковского
Неравенство Коши - Буняковского утверждает, что для любых; справедливо соотношение Доказанное неравенство имеет геометрическую интерпретацию. Для n=2,3 оно выражает известный факт, что скалярное произведение двух векторов на плоскости и в пространстве не превосходит произведение их длин. Для n=2 неравенство имеет вид: . Для n=3 получим
Пример 14.
()* ()>0, что доказывает неравенство
Пример 11
. Докажем, что для любых
Доказательство. на R. Если, то знаки чисел и совпадают, что означает положительность исследуемой разности =>
Применение метода математической индукции
Данный метод применяется для доказательства неравенств относительно натуральных чисел. Пример 12
. Доказать, что для любого nϵN
Проверим истинность утверждения при
- (верно) 2) Предположим верность утверждения при (k>1)
3) Докажем истинность утверждения при n=k+1. Сравним и: , Имеем: Вывод: утверждение верно для любого nϵN.
Использование замечательных неравенств
Теорема о средних (неравенство Коши)
Неравенство Коши – Буняковского
Неравенство Бернулли
Рассмотрим каждое из перечисленных неравенств в отдельности.
Применение теоремы о средних (неравенства Коши)
Среднее арифметическое нескольких неотрицательных чисел больше или равно их среднего геометрического , где Знак равенства достигается тогда и только тогда, когда Рассмотрим частные случаи этой теоремы:
Пусть n=2, тогда
Пусть n=2, a>0, тогда
Пусть n=3, тогда
Пример 13
. Доказать, что для всех неотрицательных a,b,c выполняется неравенство
Доказательство.
Неравенство Коши - Буняковского
Неравенство Коши - Буняковского утверждает, что для любых; справедливо соотношение Доказанное неравенство имеет геометрическую интерпретацию. Для n=2,3 оно выражает известный факт, что скалярное произведение двух векторов на плоскости и в пространстве не превосходит произведение их длин. Для n=2 неравенство имеет вид: . Для n=3 получим
Пример 14.
Доказательство. на R. Если, то знаки чисел и совпадают, что означает положительность исследуемой разности =>
Применение метода математической индукции
Данный метод применяется для доказательства неравенств относительно натуральных чисел. Пример 12
. Доказать, что для любого nϵN
Проверим истинность утверждения при
- (верно) 2) Предположим верность утверждения при (k>1)
3) Докажем истинность утверждения при n=k+1. Сравним и: , Имеем: Вывод: утверждение верно для любого nϵN.
Использование замечательных неравенств
Теорема о средних (неравенство Коши)
Неравенство Коши – Буняковского
Неравенство Бернулли
Рассмотрим каждое из перечисленных неравенств в отдельности.
Применение теоремы о средних (неравенства Коши)
Среднее арифметическое нескольких неотрицательных чисел больше или равно их среднего геометрического , где Знак равенства достигается тогда и только тогда, когда Рассмотрим частные случаи этой теоремы:
Пусть n=2, тогда
Пусть n=2, a>0, тогда
Пусть n=3, тогда
Пример 13
. Доказать, что для всех неотрицательных a,b,c выполняется неравенство
Доказательство.
Неравенство Коши - Буняковского
Неравенство Коши - Буняковского утверждает, что для любых; справедливо соотношение Доказанное неравенство имеет геометрическую интерпретацию. Для n=2,3 оно выражает известный факт, что скалярное произведение двух векторов на плоскости и в пространстве не превосходит произведение их длин. Для n=2 неравенство имеет вид: . Для n=3 получим
Пример 14.
на R. Если, то знаки чисел и совпадают, что означает положительность исследуемой разности =>
Применение метода математической индукции
Данный метод применяется для доказательства неравенств относительно натуральных чисел. Пример 12
. Доказать, что для любого nϵN
Проверим истинность утверждения при
- (верно) 2) Предположим верность утверждения при (k>1)
3) Докажем истинность утверждения при n=k+1. Сравним и: , Имеем: Вывод: утверждение верно для любого nϵN.
Использование замечательных неравенств
Теорема о средних (неравенство Коши)
Неравенство Коши – Буняковского
Неравенство Бернулли
Рассмотрим каждое из перечисленных неравенств в отдельности.
Применение теоремы о средних (неравенства Коши)
Среднее арифметическое нескольких неотрицательных чисел больше или равно их среднего геометрического , где Знак равенства достигается тогда и только тогда, когда Рассмотрим частные случаи этой теоремы:
Пусть n=2, тогда
Пусть n=2, a>0, тогда
Пусть n=3, тогда
Пример 13
. Доказать, что для всех неотрицательных a,b,c выполняется неравенство
Доказательство.
Неравенство Коши - Буняковского
Неравенство Коши - Буняковского утверждает, что для любых; справедливо соотношение Доказанное неравенство имеет геометрическую интерпретацию. Для n=2,3 оно выражает известный факт, что скалярное произведение двух векторов на плоскости и в пространстве не превосходит произведение их длин. Для n=2 неравенство имеет вид: . Для n=3 получим
Пример 14.
Применение метода математической индукции
Данный метод применяется для доказательства неравенств относительно натуральных чисел. Пример 12
. Доказать, что для любого nϵN
Проверим истинность утверждения при
- (верно) 2) Предположим верность утверждения при (k>1)
3) Докажем истинность утверждения при n=k+1. Сравним и: , Имеем: Вывод: утверждение верно для любого nϵN.
Использование замечательных неравенств
Теорема о средних (неравенство Коши)
Неравенство Коши – Буняковского
Неравенство Бернулли
Рассмотрим каждое из перечисленных неравенств в отдельности.
Применение теоремы о средних (неравенства Коши)
Среднее арифметическое нескольких неотрицательных чисел больше или равно их среднего геометрического , где Знак равенства достигается тогда и только тогда, когда Рассмотрим частные случаи этой теоремы:
Пусть n=2, тогда
Пусть n=2, a>0, тогда
Пусть n=3, тогда
Пример 13
. Доказать, что для всех неотрицательных a,b,c выполняется неравенство
Доказательство.
Неравенство Коши - Буняковского
Неравенство Коши - Буняковского утверждает, что для любых; справедливо соотношение Доказанное неравенство имеет геометрическую интерпретацию. Для n=2,3 оно выражает известный факт, что скалярное произведение двух векторов на плоскости и в пространстве не превосходит произведение их длин. Для n=2 неравенство имеет вид: . Для n=3 получим
Пример 14.
Проверим истинность утверждения при
- (верно) 2) Предположим верность утверждения при (k>1)
3) Докажем истинность утверждения при n=k+1. Сравним и: , Имеем: Вывод: утверждение верно для любого nϵN.
Использование замечательных неравенств
Теорема о средних (неравенство Коши)
Неравенство Коши – Буняковского
Неравенство Бернулли
Рассмотрим каждое из перечисленных неравенств в отдельности.
Применение теоремы о средних (неравенства Коши)
Среднее арифметическое нескольких неотрицательных чисел больше или равно их среднего геометрического , где Знак равенства достигается тогда и только тогда, когда Рассмотрим частные случаи этой теоремы:
Пусть n=2, тогда
Пусть n=2, a>0, тогда
Пусть n=3, тогда
Пример 13
. Доказать, что для всех неотрицательных a,b,c выполняется неравенство
Доказательство.
Неравенство Коши - Буняковского
Неравенство Коши - Буняковского утверждает, что для любых; справедливо соотношение Доказанное неравенство имеет геометрическую интерпретацию. Для n=2,3 оно выражает известный факт, что скалярное произведение двух векторов на плоскости и в пространстве не превосходит произведение их длин. Для n=2 неравенство имеет вид: . Для n=3 получим
Пример 14.
Проверим истинность утверждения при
2) Предположим верность утверждения при (k>1)
3) Докажем истинность утверждения при n=k+1. Сравним и: , Имеем: Вывод: утверждение верно для любого nϵN.
Использование замечательных неравенств
Теорема о средних (неравенство Коши)
Неравенство Коши – Буняковского
Неравенство Бернулли
Рассмотрим каждое из перечисленных неравенств в отдельности.
Применение теоремы о средних (неравенства Коши)
Среднее арифметическое нескольких неотрицательных чисел больше или равно их среднего геометрического , где Знак равенства достигается тогда и только тогда, когда Рассмотрим частные случаи этой теоремы:
Пусть n=2, тогда
Пусть n=2, a>0, тогда
Пусть n=3, тогда
Пример 13
. Доказать, что для всех неотрицательных a,b,c выполняется неравенство
Доказательство.
Неравенство Коши - Буняковского
Неравенство Коши - Буняковского утверждает, что для любых; справедливо соотношение Доказанное неравенство имеет геометрическую интерпретацию. Для n=2,3 оно выражает известный факт, что скалярное произведение двух векторов на плоскости и в пространстве не превосходит произведение их длин. Для n=2 неравенство имеет вид: . Для n=3 получим
Пример 14.
3) Докажем истинность утверждения при n=k+1. Сравним и: , Имеем: Вывод: утверждение верно для любого nϵN.
Использование замечательных неравенств
Теорема о средних (неравенство Коши)
Неравенство Коши – Буняковского
Неравенство Бернулли
Рассмотрим каждое из перечисленных неравенств в отдельности.
Применение теоремы о средних (неравенства Коши)
Среднее арифметическое нескольких неотрицательных чисел больше или равно их среднего геометрического , где Знак равенства достигается тогда и только тогда, когда Рассмотрим частные случаи этой теоремы:
Пусть n=2, тогда
Пусть n=2, a>0, тогда
Пусть n=3, тогда
Пример 13
. Доказать, что для всех неотрицательных a,b,c выполняется неравенство
Доказательство.
Неравенство Коши - Буняковского
Неравенство Коши - Буняковского утверждает, что для любых; справедливо соотношение Доказанное неравенство имеет геометрическую интерпретацию. Для n=2,3 оно выражает известный факт, что скалярное произведение двух векторов на плоскости и в пространстве не превосходит произведение их длин. Для n=2 неравенство имеет вид: . Для n=3 получим
Пример 14.
Имеем: Вывод: утверждение верно для любого nϵN.
Использование замечательных неравенств
Теорема о средних (неравенство Коши)
Неравенство Коши – Буняковского
Неравенство Бернулли
Рассмотрим каждое из перечисленных неравенств в отдельности.
Применение теоремы о средних (неравенства Коши)
Среднее арифметическое нескольких неотрицательных чисел больше или равно их среднего геометрического , где Знак равенства достигается тогда и только тогда, когда Рассмотрим частные случаи этой теоремы:
Пусть n=2, тогда
Пусть n=2, a>0, тогда
Пусть n=3, тогда
Пример 13
. Доказать, что для всех неотрицательных a,b,c выполняется неравенство
Доказательство.
Неравенство Коши - Буняковского
Неравенство Коши - Буняковского утверждает, что для любых; справедливо соотношение Доказанное неравенство имеет геометрическую интерпретацию. Для n=2,3 оно выражает известный факт, что скалярное произведение двух векторов на плоскости и в пространстве не превосходит произведение их длин. Для n=2 неравенство имеет вид: . Для n=3 получим
Пример 14.
Использование замечательных неравенств
Теорема о средних (неравенство Коши)
Неравенство Коши – Буняковского
Неравенство Бернулли
Рассмотрим каждое из перечисленных неравенств в отдельности.
Применение теоремы о средних (неравенства Коши)
Среднее арифметическое нескольких неотрицательных чисел больше или равно их среднего геометрического , где Знак равенства достигается тогда и только тогда, когда Рассмотрим частные случаи этой теоремы:
Пусть n=2, тогда
Пусть n=2, a>0, тогда
Пусть n=3, тогда
Пример 13
. Доказать, что для всех неотрицательных a,b,c выполняется неравенство
Доказательство.
Неравенство Коши - Буняковского
Неравенство Коши - Буняковского утверждает, что для любых; справедливо соотношение Доказанное неравенство имеет геометрическую интерпретацию. Для n=2,3 оно выражает известный факт, что скалярное произведение двух векторов на плоскости и в пространстве не превосходит произведение их длин. Для n=2 неравенство имеет вид: . Для n=3 получим
Пример 14.
Применение теоремы о средних (неравенства Коши)
Среднее арифметическое нескольких неотрицательных чисел больше или равно их среднего геометрического , где Знак равенства достигается тогда и только тогда, когда Рассмотрим частные случаи этой теоремы:
Пусть n=2, тогда
Пусть n=2, a>0, тогда
Пусть n=3, тогда
Пример 13
. Доказать, что для всех неотрицательных a,b,c выполняется неравенство
Доказательство.
Неравенство Коши - Буняковского
Неравенство Коши - Буняковского утверждает, что для любых; справедливо соотношение Доказанное неравенство имеет геометрическую интерпретацию. Для n=2,3 оно выражает известный факт, что скалярное произведение двух векторов на плоскости и в пространстве не превосходит произведение их длин. Для n=2 неравенство имеет вид: . Для n=3 получим
Пример 14.
Знак равенства достигается тогда и только тогда, когда Рассмотрим частные случаи этой теоремы:
Пусть n=2, тогда
Пусть n=2, a>0, тогда
Пусть n=3, тогда
Пример 13
. Доказать, что для всех неотрицательных a,b,c выполняется неравенство
Доказательство.
Неравенство Коши - Буняковского
Неравенство Коши - Буняковского утверждает, что для любых; справедливо соотношение Доказанное неравенство имеет геометрическую интерпретацию. Для n=2,3 оно выражает известный факт, что скалярное произведение двух векторов на плоскости и в пространстве не превосходит произведение их длин. Для n=2 неравенство имеет вид: . Для n=3 получим
Пример 14.
Пусть n=2, тогда
Пусть n=2, a>0, тогда
Пусть n=3, тогда
Пример 13
. Доказать, что для всех неотрицательных a,b,c выполняется неравенство
Доказательство.
Неравенство Коши - Буняковского
Неравенство Коши - Буняковского утверждает, что для любых; справедливо соотношение Доказанное неравенство имеет геометрическую интерпретацию. Для n=2,3 оно выражает известный факт, что скалярное произведение двух векторов на плоскости и в пространстве не превосходит произведение их длин. Для n=2 неравенство имеет вид: . Для n=3 получим
Пример 14.
Неравенство Коши - Буняковского
Неравенство Коши - Буняковского утверждает, что для любых; справедливо соотношение Доказанное неравенство имеет геометрическую интерпретацию. Для n=2,3 оно выражает известный факт, что скалярное произведение двух векторов на плоскости и в пространстве не превосходит произведение их длин. Для n=2 неравенство имеет вид: . Для n=3 получим
Пример 14.
Пример 14.
Доказательство. Запишем исследуемое неравенство в следующем виде:
Это заведомо истинное неравенство, так как является частным случаем неравенства Коши – Буняковского.
Пример 15. Доказать, что для любых a,b,c ϵ R справедливо неравенство
Доказательство. Достаточно записать данное неравенство в виде
и сослаться на неравенство Коши – Буняковского.
Неравенство Бернулли
Неравенство Бернулли утверждает, что если х>-1, то для всех натуральных значений n выполняется неравенство Неравенство может применяться для выражений вида Кроме того, очень большая группа неравенств может быть легко доказана с помощью теоремы Бернулли.
Кроме того, очень большая группа неравенств может быть легко доказана с помощью теоремы Бернулли.
Пример 16 .
Доказательство. Положив х=0,5 и применив теорему Бернулли для выражения
Получим требуемое неравенство.
Пример 17 . Доказать, что для любых n ϵ N
Доказательство.
по теореме Бернулли, что и требовалось. 
Давида Гильберта спросили об одном из его бывших учеников. "А, такой-то? - вспомнил Гильберт. - Он стал поэтом. Для математики у него было слишком мало воображения.
