Условия уравнения равновесия пространственной системы сил. Уравнения равновесия плоской и пространственной систем сил

Произвольную простран­ственную систему сил, как и плос­кую, можно привести к какому-нибудь центру О и заменить од­ной результирующей силой и парой с моментом . Рассуждая так, что для равновесия этой системы сил необходимо и достаточно, чтобы одновременно было R = 0 и M о = 0. Но векторы и могут обратиться в нуль только тогда, когда равны нулю все их проекции на оси координат, т. е. когда R x = R y = R z = 0 и M x = M y = M z = 0 или, когда дей­ствующие силы удовлетворяют условиям

ΣX i = 0; ΣM x (P i ) = 0;

ΣY i = 0; ΣM y (P i ) = 0;

ΣZ i = 0; ΣM z (P i ) = 0.

Таким образом, для равновесия пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил системы на каждую из координатных осей, а также суммы моментов всех сил системы относительно каждой из этих осей равнялись нулю.

В частных случаях системы сходящихся или параллельных сил эти уравнения будут линейно зависимы, и только три уравнения из шести будут линейно независимыми.

Например, уравнения равновесия системы сил, параллельных оси Oz , имеют вид:

ΣZ i = 0;

ΣM x (P i ) = 0;

ΣM y (P i ) = 0.

Задачи на равновесие тела под действием пространст­венной системы сил.

Принцип решения задач этого раздела остается тем же, что и для плоской системы сил. Установив, равновесие, какого тела будет рассматриваться, заменяют наложенные на тело связи их реакциями и составляют условия равновесия этого тела, рассма­тривая его как свободное. Из полученных уравнений определяются искомые величины.

Для получения более простых систем уравнений рекомендуется оси проводить так, чтобы они пересекали больше неизвестных сил или были к ним перпендикулярны (если это только излишне не усложняет вычисления проекций и моментов других сил).

Новым элементом в составлении уравнений является вычисление моментов сил относительно осей координат.

В случаях, когда из общего чертежа трудно усмотреть, чему равен момент данной силы относительно какой-нибудь оси, рекоменду­ется изобразить на вспомогательном чертеже проекцию рассматри­ваемого тела (вместе с силой) на плоскость, перпендикулярную к этой оси.

В тех случаях, когда при вычислении момента возникают затруд­нения в определении проекции силы на соответствующую плоскость или плеча этой проекции, реко­мендуется разложить силу на две взаимно перпендикулярные состав­ляющие (из которых одна парал­лельна какой-нибудь координат­ной оси), а затем воспользоваться теоремой Вариньона.

Пример 5. Рама АВ (рис.45) удерживается в равновесии шарниром А и стержнем ВС . На краю рамы находится груз весом Р . Опреде­лим реакции шарнира и усилие в стержне.

Рис.45

Рассматриваем равновесие рамы вместе с грузом.

Строим расчётную схему, изобразив раму свободным телом и показав все силы, действующие на неё: реакции связей и вес груза Р . Эти силы образуют систему сил, произвольно расположенных на плоскости.

Жела­тельно составить такие уравнения, чтобы в каждом было по одной неиз­вестной силе.

В нашей задаче это точка А , где приложены неизвестные и ; точка С , где пересекаются линии действия неизвестных сил и ; точка D – точка пересечения линий действия сил и . Со­ставим уравнение проекций сил на ось у (на ось х проектировать нельзя, т.к. она перпендикулярна прямой АС ).

И, прежде чем составлять уравнения, сделаем еще одно полезное заме­чание. Если на расчётной схеме имеется сила, расположенная так, что плечо её находится непросто, то при определении момента рекоменду­ется предварительно разложить вектор этой силы на две, более удобно направленные. В данной задаче разложим силу на две: и (рис.37) такие, что модули их

Составляем уравнения:

Из второго уравнения находим

Из третьего

И из первого

Так как получилось S <0, то стержень ВС будет сжат.

Пример 6. Прямоугольная полка весом Р удерживается в гори­зонтальном положении двумя стержнями СЕ и СD , прикреплён­ными к стене в точке Е . Стержни одинаковой длины, AB=2a , EO=a . Определим усилия в стержнях и ре­акции петель А и В .

Рис.46

Рассматриваем равновесие плиты. Строим расчётную схему (рис.46). Реакции петель принято показывать двумя силами перпенди­кулярными оси петли: .

Силы образуют систему сил, произвольно расположенных в про­странстве. Можем составить 6 уравнений. Неизвестных - тоже шесть.

Какие уравнения составлять – надо подумать. Желательно такие, чтобы они были попроще и чтобы в них было поменьше неизвестных.

Составим такие уравнения:

Из уравнения (1) получим: S 1 =S 2 . Тогда из (4): .

Из (3): Y A =Y B и, по (5), . Значит Из уравнения (6), т.к. S 1 =S 2 , следует Z A =Z B . Тогда по (2) Z A =Z B =P/4.

Из треугольника , где , следует ,

Поэтому Y A =Y B =0,25P, Z A =Z B 0,25P.

Для проверки решения можно составить ещё одно уравнение и по­смотреть, удовлетворяется ли оно при найденных значениях реакций:

Задача решена правильно.

Вопросы для самопроверки

Какая конструкция называется фермой?

Назовите основные составные элементы фермы.

Какой стержень фермы называется нулевым?

Сформулируйте леммы, определяющие нулевой стержень фермы.

В чем заключается сущность способа вырезания узлов?

На основании каких соображений без вычислений можно определить стержни пространственных ферм, в которых при заданной нагрузке усилия равны нулю?

В чем заключается сущность способа Риттера?

Каково соотношение между нормальной реакцией поверхности и силой нормального давления?

Что называется силой трения?

Запишите закон Амонтона-Кулона.

Сформулируйте основной закон трения. Что такое коэффициент трения, угол трения и от чего зависит их значение?

Брус находится в равновесии, опираясь на гладкую вертикальную стену и шероховатый горизонтальный пол; центр тяжести бруса находится в его середине. Можно ли определить направление полной реакции пола?

Назовите размерность коэффициента трения скольжения.

Что такое предельная сила трения скольжения.

Что характеризует конус трения?

Назовите причину появления момента трения качения.

Какова размерность коэффициента трения качения?

Приведите примеры устройств, в которых возникает трение верчения.

В чем заключается разница между силой сцепления и силой трения?

Что называют конусом сцепления?

Каковы возможные направления реакции шероховатой поверхности?

Что представляет собой область равновесия и каковы условия равновесия сил, приложенных к бруску, опирающемуся на две шероховатые поверхности?

Что называется моментом силы относительно точки? Какова размерность этой величины?

Как вычислить модуль момента силы относительно точки?

Сформулируйте теорему о моменте равнодействующей системы сходящихся сил.

Что называется моментом силы относительно оси?

Запишите формулу, связывающую момент силы относительно точки с моментом этой же силы относительно оси, проходящей через эту точку.

Как определяется момент силы относительно оси?

Почему при определении момента силы относительно оси нужно обязательно спроецировать силу на плоскость, перпендикулярную оси?

Каким образом нужно располо­жить ось, чтобы момент данной силы относительно этой оси равнялся нулю?

Приведите формулы для вычисления моментов силы относительно координатных осей.

Как направлен вектор момента силы относительно относительно точки?

Как определяется на плоскости момент силы относительно точки?

Какой площадью можно определить числовое значение момента силы относительно данной точки?

Изменяется ли момент силы относительно данной точки при переносе силы вдоль линии ее действия?

В каком случае момент силы относительно данной точки равен нулю?

Определите геометрическое место точек пространства, относительно которых моменты данной силы:

а) геометрически равны;

б) равны по модулю.

Как определяются числовое значение и знак момента силы относительно оси?

При каких условиях момент силы относительно оси равен нулю?

При каком направлении силы, приложенной к заданной точке, ее момент относительно данной оси наибольший?

Какая зависимость существует между моментом силы относительно точки и моментом той же силы относительно оси, проходящей через эту точку?

При каких условиях модуль момента силы относительно точки равен моменту той же силы относительно оси, проходящей через эту точку?

Каковы аналитические выражения моментов силы относительно координатных осей?

Чему равны главные моменты системы сил, произвольно расположенных в пространстве, относительно точки и относительно оси, проходящей через эту точку? Какова зависимость между ними?

Чему равен главный момент системы сил, лежащих в одной плоскости, относительно любой точки этой плоскости?

Чему равен главный момент сил, составляющих пару, относительно любой точки в пространстве?

Что называется главным моментом системы сил относительно заданного полюса?

Как формулируется лемма о параллельном переносе силы?

Сформулируйте теорему о приведении произвольной системы сил к главному вектору и главному моменту.

Запишите формулы для вычисления проекций главного момента на координатные оси.

Приведите векторную запись условий равновесия произвольной системы сил.

Запишите условия равновесия произвольной системы сил в проекциях на прямоугольные координатные оси.

Сколько независимых скалярных уравнений равновесия можно записать для пространственной системы параллельных сил?

Запишите уравнения равновесия для произвольной плоской системы сил.

При каком условии три непараллельные силы, приложенные к твердому телу, уравновешиваются?

Каково условие равновесия трех параллельных сил, приложенных к твердому телу?

Каковы возможные случаи приведения произвольно расположенных и параллельных сил в пространстве?

К какому простейшему виду можно привести систему сил, если известно, что главный момент этих сил относительно различных точек пространства:

а) имеет одно и то же значение не равное нулю;

б) равен нулю;

в) имеет различные значения и перпендикулярен главному вектору;

г) имеет различные значения и неперпендикулярен главному вектору.

Каковы условия и уравнения равновесия пространственной системы сходящихся, параллельных и произвольно расположенных сил и чем они отличаются от условий и уравнений равновесия такого же вида сил на плоскости?

Какие уравнения и сколько их можно составить для уравновешенной пространственной системы сходящихся сил?

Запишите систему уравнений равновесия пространственной системы сил?

Каковы геометрические и аналитические условия приведения пространственной системы сил к равнодействующей?

Сформулируйте теорему о моменте равнодействующей пространственной системы сил относительно точки и оси.

Составьте уравнения линии действия равнодействующей.

Какую прямую в пространстве называют центральной осью системы сил?

Выведите уравнения центральной оси системы сил?

Покажите, что две скрещивающиеся силы можно привести к силовому винту.

По какой формуле вычисляют наименьший главный момент заданной системы сил?

Запишите формулы для расчета главного вектора пространственной системы сходящихся сил?

Запишите формулы для расчета главного вектора пространственной системы произвольно расположенных сил?

Запишите формулу для расчета главного момента пространственной системы сил?

Какова зависимость главного момента системы сил в пространстве от расстояния центра приведения до центральной оси этой системы сил?

Относительно каких точек пространства главные моменты заданной системы сил имеют один и тот же модуль и составляют с главным вектором один и тот же угол?

Относительно каких точек пространства главные моменты системы сил геометрически равны между собой?

Каковы инварианты системы сил?

Каким условиям удовлетворяют задаваемые силы, приложенные к твердому телу с одной и двумя закрепленными точками, находящемуся в покое?

Будет ли в равновесии плоская система сил, для которой алгебраические суммы моментов относительно трех точек, расположенных на одной прямой, равны нулю?

Пусть для плоской системы сил суммы моментов относительно двух точек равны нулю. При каких дополнительных условиях система будет в равновесии?

Сформулируйте необходимые и достаточные условия равновесия плоской системы параллельных сил.

Что такое моментная точка?

Какие уравнения (и сколько) можно составить для уравновешенной произвольной плоской системы сил?

Какие уравнения и сколько их можно составить для уравновешенной пространственной системы параллельных сил?

Какие уравнения и сколько их можно составить для уравновешенной произвольной пространственной системы сил?

Как формулируется план решения задач статики на равновесие сил?

Векторные условия равновесия произвольной системы сил: для равновесия системы сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы главный вектор системы сил был равен нулю и главный момент системы сил относительно любого центра приведения также был равен нулю . Иначе: для того чтобы ~0, необходимы и достаточны условия:

,
или
,
. (19)

Условия равновесия пространственной системы сил в аналитической форме

Для равновесия пространственной системы сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы три суммы проекций всех сил на оси декартовых координат были равны нулю и три суммы моментов всех сил относительно трех осей координат также были равны нулю .

. (20)

Условия равновесия пространственной системы сходящихся сил

Для равновесия пространственной системы сходящихся сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций сил на каждую из трех прямоугольных осей координат были равны нулю :

;
;
, (21)

В случае плоской системы сходящихся сил одну из осей координат, обычно
, выбирают перпендикулярной силам, а две другие оси – соответственно в плоскости сил. Для равновесия плоской системы сходящихся сил, действующих на твердое тело, необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций этих сил на каждую из двух прямоугольных координатных осей, лежащих в плоскости сил, были равны нулю:

;
, (22)

Условия равновесия пространственной системы параллельных сил

Направим ось
параллельно силам:для равновесия пространственной системы параллельных сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма этих сил была равна нулю и суммы моментов сил относительно двух координатных осей, перпендикулярных силам, также были равны нулю :

Условия равновесия плоской системы сил

Расположим оси
и
в плоскости действия сил.

Условия равновесия плоской системы сил в первой форме: для равновесия плоской системы сил, действующих на твердое тело, необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций этих сил на каждую из двух прямоугольных осей координат, расположенных в плоскости действия сил, были равны нулю и сумма алгебраических моментов сил относительно любой точки, находящейся в плоскости действия сил, также была равна нулю :

(24)

Для равновесия плоской системы параллельных сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма сил была равна нулю и сумма алгебраических моментов сил относительно любой точки, находящейся в плоскости сил, также была равна нулю:

(25)

Теорема о трех моментах (вторая форма условий равновесия): для равновесия плоской системы сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы суммы алгебраических моментов сил системы относительно трех любых точек, расположенных в плоскости действия сил и не лежащих на одной прямой, были равны нулю :

Третья форма условий равновесия: для равновесия плоской системы сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы суммы алгебраических моментов сил относительно двух любых точек, лежащих в плоскости действия сил, были равны нулю и алгебраическая сумма проекций этих сил на какую-либо ось плоскости, не перпендикулярную прямой, проходящей через две моментные точки, также была равна нулю , т.е.

20. Условие равновесия пространственной системы сил:

21. Теорема о 3-х непараллельных силах: Линии действия трёх непараллельных взаимно уравновешивающихся сил, лежащих в одной плоскости, пересекаются в одной точке.

22. Статически определимые задачи – это задачи, которые можно решать методами статики твёрдого тела, т.е. задачи, в которых число неизвестных не превышает числа уравнений равновесия сил.

Статически не определимые – это системы, в которых число неизвестных величин превышает число независимых уравнений равновесия для данной системы сил

23. Уравнения равновесия плоской системы параллельных сил:

AB не параллельно F i

24. Конус и угол трения: Предельное положение активных сил, под действием которых может иметь место равенство, описывает конус трения c углом (φ).

Если активная сила проходит вне этого конуса, то тогда равновесие невозможно.

Угол φ называют углом трения.

25. Указать размерность коэффициентов трения: коэффициенты трения покоя и трения скольжения-безразмерные величины, коэффициенты трения качения и трения верчения имеют размерность длины(мм,см,м).м

26. Основные допущения, принимаемые при расчёте плоских статически опред.ферм: -стержни фермы считают невесомыми; -крепления стержней в узлах фермы-шарнирные; -внешняя нагрузка накладывается только в узлах фермы; -стержень попадает под связь.

27. Какая связь между стержнями и узлами статически определимой фермы?

S=2n-3 –простая статически определимая ферма, S-количество стержней, n-количество узлов,

если S<2n-3 –не жесткая ферма, равновесие возможно, если внешние силы будут одинаково соотноситься

S>2n-3 – статически не определимая ферма, имеет лишние связи, +расчёт деформации

28. Статически определимая ферма должна удовлетворять условию: S=2n-3; S-количество стержней, n-количество узлов.

29. Метод вырезания узлов: Этот метод состоит в том, что мысленно вырезают узлы фермы, прикладывают к ним соответствующие внешние силы и реакции стержней и составляют уравнения равновесия сил, приложенных к каждому узлу. Условно предполагают, что все стрежни растянуты(реакции стержней направлены от узлов).

30. Метод Риттера: Проводим секущую плоскость, рассекающую ферму на 2 части. Сечение должно начинаться и заканчиваться за пределами фермы. В качестве объекта равновесия можно выбирать любую часть. Сечение проходит по стержням, а не по узлам. Силы, приложенные к объекту равновесия, образуют произвольную систему сил, для которой можно составить 3 уравнения равновесия. Поэтому сечение проводим так, чтобы в него попало не более 3 стержней, усилия в которых неизвестны.

Особенностью метода Риттера является выбор формы уравнения таким образом, чтобы в каждое уравнение равновесия входила одна неизвестная величина. Для этого определяем положения точек Риттера, как точек пересечения линий действия двух неизвестных усилий и записываем уравнения моментов отн. этих точек.

Если точка Риттера лежит в бесконечности, то в качестве уравнения равновесия составляем уравнения проекций на ось, перпендикулярную этим стержням.

31. Точка Риттера- точка пересечения линий действия двух неизвестных усилий. Если точка Риттера лежит в бесконечности, то в качестве уравнения равновесия составляем уравнения проекций на ось, перпендикулярную этим стержням.

32. Центр тяжести объемной фигуры:

33. Центр тяжести плоской фигуры:

34. Центр тяжести стержневой конструкции:

35. Центр тяжести дуги:

36. Центр тяжести кругового сектора:

37. Центр тяжести конуса:

38. Центр тяжести полушара:

39. Метод отрицательных величин: Если твёрд.тело имеет полости, т.е. полости из которых вынута их масса, то мы мысленно заполняем эти полости до сплошного тела, и определяем центр тяжести фигуры, взяв вес, объём, площадь полостей со знаком «-».

40. 1-й инвариант: 1-м инвариантом системы сил называют главные вектор системы сил. Главный вектор системы сил не зависит от центра приведения R=∑ F i

41. 2-й инвариант: Скалярное произведение главного вектора на главный момент системы сил для любого центра приведения есть величина постоянная.

42. В каком случае система сил приводится к силовому винту? В случае, если главный вектор системы сил и её главный момент относительно центра приведения не равны нулю и не перпендикулярны между собой, задан. систему сил можно привести к силовому винту.

43. Уравнение центральной винтовой оси:

44. M x - yR z + zR y = pR x ,
M y - zR x + xR z = pR y ,
M z - xR y + yR x = pR z

45. Момент пары сил как вектор- этот вектор перпендикулярен плоскости действия пары и направлен в сторону, откуда видно вращение пары против хода часовой стрелки. По модулю векторный момент равен произведению одной из сил пары на плечо пары. Векторный момент пары явл. свободным вектором и может быть приложен к любой точке твердого тела.

46. Принцип освобождаемости от связей: Если связи отбрасываются, то их необходимо заменить силами реакций от связи.

47. Веревочный многоугольник- это построение графостатики, которым можно пользоваться для определения линия действия равнодействующей плоской системы сил для нахождения реакций опор.

48. Какая взаимосвязь между верёвочным и силовым многоугольником: Для нахождения неизвестных сил графически в силовом многоугольнике используем дополнительную точку О(полюс), в веревочном многоугольнике находим равнодействующую, перемещая которую в силовой многоугольник находим неизвестные силы

49. Условие равновесия систем пар сил: Для равновесия пар сил действующих на твердое тело необходимо и достаточно чтобы момент эквивалентных пар сил был равен нулю. Следствие: Чтобы уравновесить пару сил необходимо приложить уравновешивающую пару, т.е. пару сил можно уравновесить другой парой сил с равными модулями и противоположно направленными моментами.

Кинематика

1. Все способы задания движения точки:

естественный способ

координатный

радиус-векторный.

2. Как найти уравнение траектории движения точки при координатном способе задания её движения? Для того, чтобы получить уравнение траектории движение материальной точки, при координатном способе задания необходимо исключить параметр t из законов движения.

3. Ускорение точки при координ. способе задания движения:

над иксом 2 точки

над y 2 точки

4. Ускорение точки при векторном способе задания движения:

5. Ускорение точки при естественном способе задания движения:

= = * +v* ; a= + ; * ; v* .

6. Чему равно и как оно направлено нормальное ускорение – направлено по радиусу к центру,

Т. о., для равновесия произвольной пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма проекций всех этих сил на каждую из трех любым образом выбранных координатных осей равнялась нулю и чтобы алгебраическая сумма их моментов относительно каждой из этих осей также равнялась нулю.

Условия (1.33) называются условиями равновесия произвольной пространственной системы сил в аналитической форме .

Условия равновесия пространственной системы параллельных сил. Если линии действия всех сил данной системы сил расположены в разных плоскостях и параллельны между собой, то такая система сил называется пространственной системой параллельных сил .

Пользуясь условиями равновесия (1.33) произвольной пространственной системы сил, можно найти условия равновесия пространственной системы параллельных сил. (Выведенные нами ранее условия равновесия для плоской и пространственной систем сходящихся сил, произвольной плоской системы сил и плоской системы параллельных сил также можно было бы получить, пользуясь условиями равновесия (1.33) произвольной пространственной системы сил).

Пусть на твердое тело действует пространственная система параллельных сил (рисунок 1.26). Так как выбор координатных осей произволен, то можно выбрать координатные оси так, чтобы ось z была параллельна силам. При таком выборе координатных осей проекции каждой из сил на оси х и у и их моменты относительно оси z будут равны нулю, и, следовательно, равенства , и удовлетворяются независимо от того, находится ли данная система сил в равновесии или нет, а поэтому перестают быть условиями равновесия. Поэтому система (1.33) даст только три условия равновесия:

Следовательно, для равновесия пространственной системы параллельных сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма проекций всех сил на ось, параллельную этим силам, равнялась нулю и чтобы алгебраическая сумма их моментов относительно каждой из двух координатных осей, перпендикулярных к этим силам, также равнялась нулю .

1. Выбрать тело (или точку), равновесие которого должно быть рассмотрено в данной задаче.

2. Освободить выбранное тело от связей и изобразить (расставить) все действующие на это тело (и только на это тело) активные силы и силы реакций отброшенных связей . Тело, освобожденное от связей, с приложенной к нему системой активных сил и сил реакций, следует изображать отдельно.

3. Составить уравнения равновесия . Для составления уравнений равновесия необходимо сначала выбрать оси координат. Этот выбор можно производить произвольно, но полученные уравнения равновесия будут решаться проще, если одну из осей направить перпендикулярно к линии действия какой-либо неизвестной силы реакции. Решение полученных уравнений равновесия следует, как правило, проводить до конца в общем виде (алгебраически). Тогда для искомых величин будут получаться формулы, позволяющие проанализировать найденные результаты; численные значения найденных величин подставляются только в окончательные формулы. Уравнения равновесия составляются при аналитическом методе решения задач на равновесие системы сходящихся сил. Однако, если число сходящихся сил, равновесие которых рассматривается, равно трем, то удобно применить геометрический метод решения этих задач. Решение в данном случае сводится к тому, что вместо уравнений равновесия всех действующих сил (активных и реакций связей) строится силовой треугольник, который на основании геометрического условия равновесия должен быть замкнут (начинать построение этого треугольника следует с заданной силы). Решая силовой треугольник, находим искомые величины.

Динамика

Для понимания раздела динамики необходимо знать следующие сведения. Из математики – скалярное произведение двух векторов, дифференциальные уравнения. Из физики – законы сохранения энергии, количества движения. Теория колебаний. Рекомендуется повторить эти темы.

Существуют три вида уравнений равновесия плоской системы сил. Первый, основной вид вытекает непосредственно из условий равновесия:

;

и записывается так:

;
;
.

Два других вида уравнений равновесия также могут быть получены из условий равновесия:

;
;
,

где прямая AB не перпендикулярна осиx ;

;
;
.

Точки A , B и C не лежат на одной прямой.

В отличие от плоской системы сил условиями равновесия произвольной пространственной системы сил являются два векторных равенства:

.

Если эти соотношения спроецировать на прямоугольную систему координат, то получим уравнения равновесия пространственной системы сил:

Задание 1. Определение реакций опор составной конструкции (Система двух тел)

Конструкция состоит из двух ломаных стержней ABC иCDE , соединенных в точкеC неподвижным цилиндрическим шарниром и прикрепленных к неподвижной плоскостиxOy либо с помощью неподвижных цилиндрических шарниров (НШ), либо подвижным цилиндрическим шарниром (ПШ) и жесткой заделкой (ЖЗ). Плоскость качения подвижного цилиндрического шарнира составляет угол с осьюOx. Координаты точкиA , B , C ,D иE , а также способ крепления конструкции приведены в табл. 1. Конструкция загружена равномерно распределенной нагрузкой интенсивностиq , перпендикулярной участку ее приложения, парой сил с моментомM и двумя сосредоточенными силами и . Равномерно распределенная нагрузка приложена таким образом, что ее равнодействующая стремится повернуть конструкцию вокруг точкиO против хода часовой стрелки. Участки приложенияq иM , а также точки приложения и , их модули и направления указаны в табл. 2. Единицы задаваемых величин: q – килоньютон на метр (кН/м);M – килоньютон-метр (кНм); и – килоньютон (кН);ипредставлены в градусах, а координаты точек – в метрах. Углы,иследует откладывать от положительного направления осиOx против хода часовой стрелки, если они положительны, и по ходу часовой стрелки – если отрицательны.

Определите реакции внешних и внутренней связей конструкции.

Указания к выполнению задания

На координатной плоскости xOy в соответствии с условием варианта задания (табл. 1) необходимо построить точкиA ,B, C ,D ,E ; изобразить ломаные стержниABC ,CDE ; указать способы крепления этих тел между собой и с неподвижной плоскостьюxOy . Затем, взяв данные из табл. 2, загрузить конструкцию двумя сосредоточенными силами и , равномерно распределенной нагрузкой интенсивностиq и парой сил с алгебраическим моментом M . Так как в задании исследуется равновесие составного тела, далее нужно построить еще один рисунок, изобразив на нем отдельно телаABC и CDE . Внешние (точкиA ,E ) и внутреннюю (точкаС ) связи на обоих рисунках следует заменить на соответствующие реакции, а равномерно распределенную нагрузку – на равнодействующую
(l – длина участка приложения нагрузки), направленную в сторону нагрузки и приложенную к середине участка. Поскольку рассматриваемая конструкция состоит из двух тел, то для нахождения реакций связей нужно составить шесть уравнений равновесия. Существуют три варианта решения этой задачи:

а) составить три уравнения равновесия для составного тела и три – для тела ABC ;

б) составить три уравнения равновесия для составного тела и три – для тела CDE ;

в) составить по три уравнения равновесия для тел АВС иCDE .

Пример

Дано: A (0;0,2);В (0,3:0,2);С (0,3:0,3);D (0,7:0,4);E (0,7:0);
кН/м,
кН, β = - 45˚, и
кН, γ = - 60˚,
кНм.

Определить реакции внешних и внутренней связей конструкции.

Решение. Разобьем конструкцию (рис. 7,а ) в точкеС на составные частиABC иCDE (рис. 7,б ,в ). Заменим шарнирыA иB соответствующими реакциями, составляющие которых укажем на рис. 7. В точкеC изобразим составляющие
- сил взаимодействия между частями конструкции, причем.

Таблица 1

Варианты задания 1

Таблица 2

Данные к заданию 1

Равномерно распределенную нагрузку интенсивности q заменим равнодействующей, кН:

Вектор образует с положительным направлением осиy угол φ, который несложно найти по координатам точекC иD (см. рис. 7,а ):

Для решения задачи воспользуемся первым видом уравнений равновесия, записав их отдельно для левой и правой частей конструкции. При составлении уравнений моментов выберем в качестве моментных точек точки A – для левой иE – для правой частей конструкции, что позволит решить эти два уравнения совместно и определить неизвестные
и .

Уравнения равновесия для тела ABC :

Представим силу как сумму составляющих:
, где. Тогда уравнения равновесия для телаCDE могут быть записаны в виде

.

Решим совместно уравнения моментов, предварительно подставив в них известные значения.

Учитывая, что по аксиоме о равенстве сил действия и противодействия
, из полученной системы найдем, кН:

Тогда из оставшихся уравнений равновесия тел ABC и CDE несложно определить реакции внутренней и внешних связей, кН:

Результаты вычислений представим таблицей: