Урок применение производной к построению графиков функций. Применение производной к построению графика функции

Тип задания: 7

Условие

На рисунке изображён график y=f"(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (-4; 10). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.

Показать решение

Решение

Как известно, функция f(x) убывает на тех промежутках, в каждой точке которых производная f"(x) меньше нуля. Учитывая, что надо находить длину наибольшего из них естественно по рисунку выделяются три таких промежутка: (-4; -2); (0; 3); (5; 9).

Длина наибольшего из них — (5; 9) равна 4.

Ответ

Тип задания: 7
Тема: Применение производной к исследованию функций и построению графиков

Условие

На рисунке изображён график y=f"(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (-8; 7). Найдите количество точек максимума функции f(x), принадлежащих промежутку [-6; -2].

Показать решение

Решение

Из графика видно, что производная f"(x) функции f(x) меняет знак с плюса на минус (именно в таких точках будет максимум) ровно в одной точке (между -5 и -4 ) из промежутка [-6; -2]. Поэтому на промежутке [-6; -2] ровно одна точка максимума.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип задания: 7
Тема: Применение производной к исследованию функций и построению графиков

Условие

На рисунке изображён график функции y=f(x), определённой на интервале (-2; 8). Определите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0 .

Показать решение

Решение

Равенство нулю производной в точке означает, что касательная к графику функции, проведённая в этой точке, параллельна оси Ox. Поэтому находим такие точки, в которых касательная к графику функции параллельна оси Ox. На данном графике такими точками являются точки экстремума (точки максимума или минимума). Как видим, точек экстремума 5 .

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип задания: 7
Тема: Применение производной к исследованию функций и построению графиков

Условие

На рисунке изображён график функции y=f(x) и отмечены точки -6, -1, 1, 4 на оси абсцисс. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.

Показать решение

Решение

Проводим касательные к графику функции в точках с указанными абсциссами. Определяем, под каким углом они наклонены к положительному направлению оси Ox . Как известно, значение тангенса указанного угла это и есть значение производной в указанных точках.

В точках -1 и 4 касательные наклонены под острым углом, поэтому в этих точках значение производной отрицательно. Учитывая, что в точке x=-6 касательная наклонена под меньшим тупым углом (ближе к вертикальной прямой), значение производной в этой точке наименьшее.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип задания: 7
Тема: Применение производной к исследованию функций и построению графиков

Условие

На рисунке изображён график y=f"(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (-9; 4). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.

Показать решение

Решение

Как известно, функция f(x) возрастает на тех промежутках, в каждой точке которых производная f"(x) больше нуля. Учитывая, что надо находить длину наибольшего из них естественно по рисунку выделяются три таких промежутка: (-9; -8); (-5; -1); (1; 4).

Длина наибольшего из них (-5; -1), равна 4.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип задания: 7
Тема: Применение производной к исследованию функций и построению графиков

Условие

На рисунке изображён график y=f"(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (-8; 7). Найдите количество точек минимума функции f(x), принадлежащих промежутку [-4; 3].

Математический диктант Вариант 1. 1.(Cu)=… 2.…=(uv-vu)/v² 3.(cos x)=… 4.…=1/cos² x 5.(e x)=… Вариант 2. 1.C=… 2.…=(uv+vu) 3.(sin x)=… 4.…=-1/sin² x 5.(x n)=… Вариант 1. 1.(Cu)=Cu 2.(u/v)=(uv-vu)/v² 3.(cos x)=-sin x 4. tg x=1/cos² x 5.(e x)=e x Вариант 2. 1.C=0 2.(uv)=(uv+vu) 3.(sin x)=cos x 4. ctg x=-1/sin² x 5.(x n)=n*x n-1

1. Находим область определения функции f(x). 2. Вычисляем производную f(x) данной функции. 3. Находим точки, в которых f(x)=0 или не существует. Эти точки называются критическими для функции f(x). 4. Делим область определения функции этими точками на интервалы. Они являются интервалами монотонности. 5. Исследуем знак f(x) на каждом интервале. Если f(x)0, то на этом интервале f(x) возрастает; если f(x)0, то на таком интервале функция f(x) убывает. Правило нахождения интервалов монотонности

1. Область определения: R. Функция непрерывна. 2. Вычисляем производную: y=6x²-6x Находим критические точки: y=0. x²-x-6=0 Д=1-4*(-6)*1=1+24=25 4. Делим область определения на интервалы: 5. Функция возрастает при xϵ(-;-2]υ. Пример 1. Найти промежутки монотонности функции y=2x³-3x²-36x

1. Область определения: R. Функция непрерывна. 2. Вычисляем производную: y=3x²-6x. 3. Находим критические точки: y=0. x²-2x=0 x(x-2)=0 x1=0 и x2=2 4. Делим область определения на интервалы: 5. Функция возрастает при xϵ(-;0]υ. Пример 2. Найти промежутки монотонности функции y=x³-3x²

Точку x=x 0 называют точкой минимума функции y=f(x), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство f(x)f(x 0). Точку x=x 0 называют точкой максимума функции y=f(x), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство f(x)f(x 0).

Если производная f(x) при переходе через точку x 0 меняет знак, то точка x 0 является точкой экстремума функции f(x). Если производная меняет знак с + на –, то точка будет являться точкой максимума, если с – на +, то точка будет точкой минимума Теорема 4.

1. Область определения: R. Функция непрерывна. 2. Вычисляем производную: y=-6x²-6x Находим критические точки: y=0. -x²-x+2=0 Д=1-4*(-1)*2=1+8=9 x 1 =1; x 2 =-2 4. Делим область определения на интервалы: 5.x=-2 – точка минимума. Найдём минимум функции y min =-24. x=1 – точка максимума. Найдём максимум функции: y max =3. Пример 3. Найти экстремумы функции y=-2x³-3x²+12x

Работа на уроке: Исследовать на экстремум функцию y=x Решение: 1. Находим область определения функции: D(y)=R. 2. Находим производную: y=(x 2 +2)=2x. 3. Приравниваем её к нулю: 2x=0, откуда x=0 – критическая точка. 4. Делим область определения на интервалы и определяем знаки производной на каждом интервале: 5.x=0 – точка минимума. Найдём минимум функции y min =

Исследовать на экстремум функцию y=1/3x 3 -2x 2 +3x+1. Решение: 1. Находим область определения функции: D(y)=R. 2. Находим производную: y=(1/3x 3 -2x 2 +3x+1)=x 2 -4x Приравниваем её к нулю: x 2 -4x+3=0, откуда x 1 =1, x 2 =3 – критические точки. 4. Делим область определения на интервалы и определяем знаки производной на каждом интервале: 5.x=1 – точка максимума. Найдём максимум функции y max =7/3. x=3 – точка минимума. Найдём минимум функции: y min =

Исследовать на экстремум функцию y=x 3 +3x 2 +9x-6. Решение: 1. Находим область определения функции: D(y)=R. 2. Находим производную: y=(x 3 +3x 2 +9x-6)=3x 2 +6x Приравниваем её к нулю: 3x 2 +6x+9=0, откуда D 0:

Исследовать на экстремум функцию y=x 2 -x-6. Решение: 1. Находим область определения функции: D(y)=R. 2. Находим производную: y=(x 2 -x-6)=2x Приравниваем её к нулю: 2x-1=0, откуда x=1/2 – критическая точка. 4. Делим область определения на интервалы и определяем знаки производной на каждом интервале: 5.x=1/2 – точка минимума. Найдём минимум функции: y min =-6, /2

Алгоритм решения задачи на построение графика функции.

1. Найти область определения функции.

2. Найти производную функции.

3.Найти стационарные точки.

4. Определить знак производной на полученных интервалах.

5. Определить промежутки монотонности.

6. определить точки экстремумов и найти значение функции в этих точках.

7.Составить таблицу.

8. Найти дополнительные точки.

9. Построить график функции.

Например. Исследовать функцию с помощью производной и построить её график.

1. ООФ:

9. .___+____.___-____.___+_______

9. , то функция возрастает;

То функция убывает;

То функция возрастает;

6. – точка максимума, т.к. производная сменила знак с + на - ;

Точка минимума, т.к. производная сменила знак с - на +.

х
	+	-	+

8. Дополнительные точки:

9. Построение графика.

2.3 . Варианты контрольных работ.

Контрольная работа № 1 по теме «Производная» В-1

а) f(x) = 4x 2 +6x+3, x 0 = 1;

б) ;

в) f(x) = (3x 2 +1) (3x 2 -1), х 0 =1;

г) f(x) =2x·cosx,

а) f(x)= 5 3x-4 ;

б) f(x) = sin (4x-7);

г) f(x) = ln (x 3 +5x).

3. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции f(x) = 4 - x 2 в точке х 0 = -3.

В точке с абсциссой х 0 = -1.

f(x) = x 2 - 2x в точке с абсциссой х 0 =-2.

6. Уравнение движения тела имеет вид s(t) = 2,5t 2 + 1,5t. Найдите скорость тела через 4 с после начала движения.

Контрольная работа № 1по теме «Производная» В-2

а) f(x) = х 4 -3x 2 +5, x 0 = -3;

б) ;

в) f(x) = (2x 2 +1) (4+х 3), х 0 = 1;

г) f(x) =2x·sinx-1,

2. Найдите производную функции:

а) f(x)= 4 2 x -1 ;

б) f(x) = сos(4x+5);

г) f(x) = +2x.

3. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции f(x) = - x 4 + x 3 в точке х 0 = - 1.

4. В какой точке касательная к графику функции

f(x) =3x 2 -12х +11 параллельна оси абсцисс?

5. Напишите уравнение касательной к графику функции

f(x) = x 3 - 3x 2 + 2х - 1 в точке с абсциссой х 0 = 2.

6. Точка движется по прямолинейному закону x(t) = 2,5t 2 -10t + 11. В какой момент времени скорость тела будет равна 20? (координата измеряется в метрах, время – в секундах).

7. Исследовать функцию с помощью производной и построить график:

Контрольная работа №1 по теме «Производная» В-3

1. Найти значение производной в точке х 0

а) f(x) = 7x 2 -56x+8, x 0 = 4;

б) ;

в) f(x)

г) f(x) =3x·sinx,

2. Найдите производную функции:

а) f(x)= 2 5 x +3 ;

б) f(x) = сos(0,5x+3);

г) f(x) = +5x.

3. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции f(x) = 2x 2 + x в точке х 0 = -2.

4. В какой точке касательная к графику функции f(x) =x 2 +4х - 12 параллельна оси абсцисс?

5. Напишите уравнение касательной к графику функции

f(x) = -x 2 -3x + 2 в точке с абсциссой х 0 = -1.

6. Точка движется по прямолинейному закону x(t) = 3t 2 + t + 4. В какой момент времени скорость тела будет равна 7? (координата измеряется в метрах, время – в секундах)

Контрольная работа № 1 по теме «Производная» В-4

1. Найти значение производной в точке х 0

а) f(x) = x 5 -4x+8, x 0 = 2;

б) ;

в) f(x) = (x 3 +7) (3x 2 -1), х 0 = –1;

г) f(x) =5x·cosx+2,

2. Найдите производную функции:

а) f(x)= 3 4 x- 1 ;

б) f(x) = 2sin (2,5x-2);

г) f(x) = ln (2x 3 +x).

3. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции f(x) = 0,5x 2 + 1 в точке х 0 = 3.

4. Найти угол наклона касательной к графику функции в точке с абсциссой х 0 = 1.

5. Напишите уравнение касательной к графику функции

f(x) = x 2 +2x+1 в точке с

абсциссой х 0 = - 2.

6. Точка движется по прямолинейному закону x(t) = 4t + t 2 - . Найдите ее скорость в момент времени t=2 (координата измеряется в метрах, время – в секундах.)

7. Исследовать функцию с помощью производной и построить график:

Контрольная работа № 1 по теме «Производная» В-5

1. Найти значение производной в точке х 0

а) f(x) = 3x 5 -12x 2 +6х+2, x 0 = 1;

б) ;

в) f(x) = (2x+1) (x-5), х 0 = 2;

г) f(x) =2x·cos3x,

2. Найдите производную функции:

а) f(x)= 2 3x-4 ;

б) f(x) = sin (3x 2 - 2);

г) f(x) = ln (x 2 +5x).

3. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции f(x) = 3х 2 +40х -10 в точке х 0 = -1.

4. Найти угол наклона касательной к графику функции

f(x) = в точке с абсциссой х 0 = - 1.

5. Напишите уравнение касательной к графику функции

f(x) = x 2 -2x +3в точке с абсциссой х 0 = - 2.

6. Точка движется по прямолинейному закону x(t) = 3t 3 +2t+1. Найдите ее скорость в момент времени t = 2 (координата измеряется в метрах, время – в секундах.)

7. Исследовать функцию с помощью производной и построить график:

Контрольная работа № 1 по теме «Производная» В-6

1. Найти значение производной в точке х 0

а) f(x) = 5x 3 -6x 4 +3х 2 +1, x 0 = 1;

б) ;

в) f(x) = (x 2 +1) (x 3 -2), х 0 = 1;

г) f(x) =2x·sin5x,

2. Найдите производную функции:

а) f(x)= 2 3 x+ 5 ,

б) f(x) = сos(3x-1);

г) f(x) = -2x.

3. Найти угол наклона касательной к графику функции

f(x) = 3x 3 -35x+8 в точке х 0 = 2.

4. В какой точке касательная к графику функции f(x) =x 3 -3х+1 параллельна оси абсцисс?

5. Напишите уравнение касательной к графику функции

f(x) = x 2 +3x-2 в точке с абсциссой х 0 = -1.

6. Точка движется по прямолинейному закону x(t) = 3t 2 -2t+4. В какой момент времени скорость тела будет равна 4? (координата измеряется в метрах, время – в секундах)

7. Исследовать функцию с помощью производной и построить график:

Контрольная работа №3 по теме «Производная» В-7

1. Найти значение производной в точке х 0

а) f(x) = x 6 -3x 2 +2, x 0 = 2;

б) ;

в) f(x) = (x 3 -4) (3x 2 +1), х 0 = 2;

г) f(x) =5x·cosx+2,

2. Найдите производную функции:

а) f(x)= 3 4 x + 2 ;

б) f(x) = 2sin (5х+2);

г) f(x) = ln (3x 2 - x).

3. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции f(x) = 0,5x 2 -1 в точке х 0 = - 3.

4. Найти угол наклона касательной к графику функции в точке с абсциссой х 0 = -1.

5. Напишите уравнение касательной к графику функции

f(x) = x 2 +2x+1 в точке с абсциссой х 0 = - 2.

6. Точка движется по прямолинейному закону x(t) = 4t - t 2 + . Найдите ее скорость в момент времени t = 2 (координата измеряется в метрах, время – в секундах.)

7. Исследовать функцию с помощью производной и построить график:

Контрольная работа № 1 по теме «Производная» В-8

1. Найти значение производной в точке х 0

а) f(x) = х 4 -2x 3 +5х-1, x 0 = 2;

б) ;

в) f(x) = (2x 2 +1) (1+х 3), х 0 = 2;

г) f(x) =2x·sinx-1,

2. Найдите производную функции:

а) f(x)= 5 2 x +3 ,

б) f(x) = сos(5x 2 +1);

г) f(x) = +5x.

3. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции f(x) = x 4 -x 2 в точке х 0 = 1.

4. Найти угол наклона касательной к графику функции

f(x) = в точке с абсциссой х 0 = 2.

5. Напишите уравнение касательной к графику функции

f(x) = x 3 -3x 2 +2х в точке с абсциссой х 0 = 2.

6. Точка движется по прямолинейному закону x(t) = 2,5t 2 - 10t +6. Найти скорость тела в момент времени t = 4 (координата измеряется в метрах, время – в секундах).

7. Исследовать функцию с помощью производной и построить график:

Если на некотором промежутке график функции представляет собой непрерывную линию, иными словами, такую линию, которую можно провести без карандаша от листа бумаги, то такая функция называется непрерывной на этом промежутке. Существуют также функции, которые непрерывными не являются. В качестве примера рассмотрим график функции, которая на промежутках и [с; b] непрерывна, но в точке
х = с разрывна и поэтому на всем отрезке не является непрерывной. Все функции, изучаемые нами в школьном курсе математики, – это функции непрерывные на каждом промежутке, на котором они определены.

Отметим, что если на некотором промежутке функция имеет производную, то на этом промежутке она непрерывна.

Обратное утверждение является неверным. Функция, которая непрерывна на промежутке, может не иметь производной в некоторых точках этого промежутка. Например, функция
у = |log 2 x| непрерывна на промежутке х > 0, но в точке х = 1 не имеет производной, в силу того что в этой точке график функции касательной не имеет.

Рассмотрим построение графиков с помощью производной.

Построить график функции f(x) = x 3 – 2x 2 + x.

Решение.

1) Эта функция определена при всех х € R.

2) Найдем промежутки монотонности рассматриваемой функции и ее точки экстремума с помощью производной. Производная равна f "(x) = 3x 2 – 4x + 1. Найдем стационарные точки:
3x 2 – 4x + 1 = 0, откуда х 1 = 1/3, х 2 = 1.

Для определения знака производной разложим квадратные трехчлен 3x 2 – 4x + 1 на множители:
f "(x) = 3(х – 1/3)(х – 1). Следовательно, на промежутках х < 1/3 и х > 1 производная положительна; значит, функция возрастает на этих промежутках.

Производная отрицательна при 1/3 < х < 1; следовательно, функция убывает на этом интервале.

Точка х 1 = 1/3 является точкой максимума, так как справа от этой точки функция убывает, а слева – возрастает. В этой точке значение функции равно f (1/3) = (1/3) 3 – 2(1/3) 2 + 1/3 = 4/27.

Точкой минимума является точка х 2 = 1, так как слева от этой точки функция убывает, а справа возрастает; ее значение в этой точке минимума равняется f (1) = 0.

3) При построение графика обычно находят точки пересечения графика с осями координат. Так как f(0) = 0, то график проходит через начало координат. Решая уравнение f(0) = 0, находим точки пересечения графика с осью абсцисс:

x 3 – 2x 2 + x = 0, х(x 2 – 2х + 1) = 0, х(х – 1) 2 = 0, откуда х = 0, х = 1.

4) Для более точного построение графика найдем значения функции еще в двух точках: f(-1/2) = -9/8, f(2) = 2.

5) Используя результаты исследования (пункты 1 – 4), строим график функции у = x 3 – 2x 2 + x.

Для построения графика функции обычно сначала исследуют свойства этой функции с помощью ее производной по схеме, аналогичной схеме при решении задачи 1.

Таким образом, при исследовании свойств функции необходимо найти:

1) область ее определения;

2) производную;

3) стационарные точки;

4) промежутки возрастания и убывания;

5) точки экстремума и значения функции в этих точках.

Результаты исследования удобно записывать в виде таблицы. Затем, используя таблицу, строят график функции. Для более точного построения графика обычно находят точки его пересечения с осями координат и – при необходимости – еще несколько точек графика.

Если же мы сталкиваемся с четной или нечетной функцией, то для построения ее графика достаточно исследовать свойства и построить ее график при х > 0, а затем отразить его симметрично относительно оси ординат (начала координат). Например, анализируя функцию f(x) = х + 4/х, мы приходим к выводу о том, что данная функция нечетная: f(-x) = -х + 4/(-х) = -(х + 4/х) = -f(x). Выполнив все пункты плана, строим график функции при х > 0, а график этой функции при х < 0 получаем посредством симметричного отражения графика при х > 0 относительно начала координат.

Для краткости решения задач на построение графиков функции большую часть рассуждений проводят устно.

Также отметим, что при решении некоторых задач мы можем столкнуться с необходимостью исследования функции не на всей области определения, а только на некотором промежутке, например, если нужно построить график, скажем, функции f(x) = 1 + 2x 2 – x 4 на отрезке [-1; 2].

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Отметим, что если на некотором промежутке функция имеет производную, то на этом промежутке она непрерывна.

Рассмотрим построение графиков с помощью производной.

Построить график функции f(x) = x 3 – 2x 2 + x.

Решение.

1) Эта функция определена при всех х € R.

Производная отрицательна при 1/3 < х < 1; следовательно, функция убывает на этом интервале.

x 3 – 2x 2 + x = 0, х(x 2 – 2х + 1) = 0, х(х – 1) 2 = 0, откуда х = 0, х = 1.

4) Для более точного построение графика найдем значения функции еще в двух точках: f(-1/2) = -9/8, f(2) = 2.

5) Используя результаты исследования (пункты 1 – 4), строим график функции у = x 3 – 2x 2 + x.

Таким образом, при исследовании свойств функции необходимо найти:

1) область ее определения;

2) производную;

3) стационарные точки;

4) промежутки возрастания и убывания;

5) точки экстремума и значения функции в этих точках.

Для краткости решения задач на построение графиков функции большую часть рассуждений проводят устно.

blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.