Уравнения плоской и сферической волн. Уравнение плоской бегущей волны Отрывок, характеризующий Плоская волна

Колебательный процесс, распространяющийся в среде в виде волны, фронт которой представляет собой плоскость , называется плоской звуковой волной . На практике плоская волна может образовываться источником, линейные размеры которого велики по сравнению с длинной излученной им волн, и если зона волнового поля находится на достаточно большом удалении от него. Но так обстоит дело в неограниченной среде. Если источник огражден каким-либо препятствием, то классический пример плоской волны, это – колебания, возбужденные жестким несгибаемым поршнем в длинной трубе (волноводе) с жесткими стенками, если диаметр поршня значительно меньше длины - излучаемых волн. Поверхность фронта в трубе из-за жестких стенок не меняется по мере распространения волны по волноводу(см. рис. 3.3). Потерями звуковой энергии на поглощение и рассеяние в воздушной среде пренебрегаем.

Если излучатель (поршень) совершает колебания по гармоническому закону с частотой
, а размеры поршня (диаметр волновода) значительно меньше длины звуковой волны, то давление, создаваемое около его поверхности,
. Очевидно, что на расстояниих давление будет
, где
– время пробега волны от излучателя до точкиx. Это выражение удобнее записать, как:
, где
- волновое число распространения волны. Произведение
- определяемый фазовый набег колебательного процесса в точке, удаленной на расстояниех от излучателя.

Подставляя полученное выражение в уравнение движения (3.1), проинтегрируем последнее относительно колебательной скорости:

(3.8)

Вообще для произвольного момента времени оказывается, что:

. (3.9)

Правая часть выражения (3.9) – характеристическое, волновое, или удельное акустическое сопротивление среды (импеданс). Само уравнение (3.), иногда, называется акустическим «законом Ома». Как следует из решения, полученное уравнение справедливо в поле плоской волны. Давление и колебательная скорость синфазны , что является следствием чисто активного сопротивления среды.

Пример: Максимальное давление в плоской волне
Па. Определить амплитуду смещения частиц воздуха по частоте?

Решение: Так как , тогда:

Из выражения (3.10) следует, что амплитуда звуковых волн очень мала, по крайней мере, в сравнении с размерами самих источников звука.

Помимо скалярного потенциала, давления и колебательной скорости звуковое поле характеризуется и энергетическими характеристиками, важнейшей из которых является интенсивность - вектор плотности потока энергии, переносимой волной за единицу времени. По определению
- есть результат произведения звукового давления на колебательную скорость.

При отсутствии потерь в среде плоская волна, теоретически, может распространяться без ослабления на сколь угодно большие расстояния, т.к. сохранение формы плоского фронта свидетельствует об отсутствии «расходимости» волны, а, значит, и об отсутствии ослабления. Иначе обстоит дело, если волна обладает искривленным фронтом. К подобным волнам относят, прежде всего, сферическую и цилиндрическую волны.

3.1.3. Модели волн с неплоским фронтом

У сферической волны поверхность равных фаз является сферой. Источником такой волны также является сфера, все точки которой колеблются с одинаковыми амплитудами и фазами, а центр остается неподвижен (см. рис. 3.4, а).

Сферическая волна описывается функцией, являющейся решением волнового уравнения в сферической системе координат, для потенциала волны, распространяющейся от источника:

. (3.11)

Действуя по аналогии с плоской волной, можно показать, что на расстояниях от источника звука значительно больше длины изучаемых волн:
. Это значит, что акустический «закон Ома» выполняется и в данном случае. В практических условиях сферические волны возбуждаются, преимущественно, компактными источниками произвольной формы, размеры которых значительно меньше длины возбуждаемых звуковых или ультразвуковых волн. Иными словами, «точечный» источник излучает, преимущественно, сферические волны. На больших расстояниях от источника или, как принято говорить, в «дальней» зоне сферическая волна применительно к ограниченным по размерам участкам волнового фронта ведет себя как плоская волна, или как говорят: «вырождается в плоскую волну». Требования к малости участка определяются не только частотой, но
- разностью расстояний между сравниваемыми точками. Отметим, что указанная функция
имеет особенность:
при
. Это вызывает определенные трудности при строгом решении дифракционных задач, связанных с излучением и рассеянием звука.

В свою очередь цилиндрические волны (поверхность волнового фронта - цилиндр) излучаются бесконечно длинным пульсирующим цилиндром (см. рис.3.4).

В дальней зоне выражение для функции потенциала такого источника асимптотически стремится к выражению:


. (3.12)

Можно показать, что и в этом случае выполняется соотношение
. Цилиндрические волны, как и сферические, в дальней зоневырождаются в плоские волны.

Ослабление упругих волн при распространении связано не только с изменением кривизны волнового фронта («расходимостью» волны), но и с наличием «затухания» т.е. ослабления звука. Формально наличие затухания в среде можно описать, представив волновое число комплексным
. Тогда, например, для плоской волны давления можно получить:Р(x , t ) = P макс
=
.

Видно, что вещественная часть комплексного волнового числа описывает пространственную бегущую волну, а мнимая часть характеризует ослабление волны по амплитуде. Поэтому величина  называется коэффициентом ослабления (затухания),  - величина размерная (Непер/м). Один «Непер» соответствует изменению амплитуды волны в «е» раз при перемещении волнового фронта на единицу длины. В общем случае ослабление определяется поглощением и рассеянием в среде:  =  погл +  расс. Указанные эффекты определяются разными причинами и могут рассматриваться отдельно.

В общем случае поглощение связано с необратимыми потерями звуковой энергии при ее превращении в тепло.

Рассеяние связано с переориентацией части энергии падающей волны на другие направления, не совпадающие с падающей волной.

Эта функция должна быть периодической как относительно времени, так и координат (волна – это распространяющееся колебание, следовательно периодически повторяющееся движение). Кроме того, точки, отстоящие друг от друга на расстоянии l, колеблются одинаковым образом.

Уравнение плоской волны

Найдем вид функции x в случае плоской волны, предполагая, что колебания носят гармонический характер.

Направим оси координат так, чтобы ось x совпадала с направлением распространения волны. Тогда волновая поверхность будет перпендикулярна оси x . Так как все точки волновой поверхности колеблются одинаково, смещение x будет зависеть только от х и t : . Пусть колебание точек, лежащих в плоскости , имеет вид (при начальной фазе )

(5.2.2)

Найдем вид колебания частиц в плоскости, соответствующей произвольному значению x . Чтобы пройти путь x , необходимо время .

Следовательно, колебания частиц в плоскости x будут отставать по времени на t от колебаний частиц в плоскости , т.е.

(5.2.3)

– это уравнение плоской волны.

Таким образом, x есть смещение любой из точек с координатой x в момент времени t . При выводе мы предполагали, что амплитуда колебания . Это будет, если энергия волны не поглощается средой.

Такой же вид уравнение (5.2.3) будет иметь, если колебания распространяются вдоль оси y или z .

В общем виде уравнение плоской волны записывается так:

Выражения (5.2.3) и (5.2.4) есть уравнения бегущей волны .

Уравнение (5.2.3) описывает волну, распространяющуюся в сторону увеличения x . Волна, распространяющаяся в противоположном направлении, имеет вид:

Уравнение волны можно записать и в другом виде.

Введем волновое число , или в векторной форме:

(5.2.5)

где – волновой вектор, – нормаль к волновой поверхности.

Так как , то . Отсюда . Тогда уравнение плоской волны запишется так:

(5.2.6)

Уравнение сферической волны

Волны, зависящие от одной пространственной координаты

Анимация

Описание

В плоской волне всем точкам среды, лежащим в любой плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны, в каждый момент времени соответствуют одинаковые смещения и скорости частиц среды. Таким образом, все величины, характеризующие плоскую волну, являются функциями времени и только одной координаты, например, х , если ось Ох совпадает с направлением распространения волны.

Волновое уравнение для продольной плоской волны имеет вид:

д 2 j /дx 2 = (1/c 2 )д 2 j /дt 2 . (1)

Его общее решение выражается следующим образом:

j = f 1 (ct - x)+f 2 (ct + x) , (2)

где j - потенциал или другая величина, характеризующая волновое движение среды (смещение, скорость смещения и т.д.);

с - скорость распространения волны;

f 1 и f 2 - произвольные функции, причем первое слагаемое (2) описывает плоскую волну, распространяющуюся в положительном направлении оси Ох , а второе - в противоположном направлении.

Волновые поверхности или геометрические места точек среды, где в данный момент времени фаза волны имеет одно и то же значение, для ПВ представляют собой систему параллельных плоскостей (рис. 1).

Волновые поверхности плоской волны

Рис. 1

В однородной изотропной среде волновые поверхности плоской волны перпендикулярны к направлению распространения волны (направлению переноса энергии), называемому лучом.

Временные характеристики

Время инициации (log to от -10 до 1);

Время существования (log tc от -10 до 3);

Время деградации (log td от -10 до 1);

Время оптимального проявления (log tk от -3 до 1).

Диаграмма:

Технические реализации эффекта

Техническая реализация эффекта

Строго говоря, ни одна реальная волна не является плоской волной, т.к. распространяющаяся вдоль оси x плоская волна должна охватывать всю область пространства по координатам y и z от -Ґ до +Ґ . Однако во многих случаях можно указать ограниченный по y, z участок волны, на котором она практически совпадает с плоской волной. Прежде всего это возможно в однородной изотропной среде на достаточно больших расстояниях R от источника. Так, для гармонической плоской волны фаза во всех точках плоскости, перпендикулярной направлению ее распространения, одна и та же. Можно показать, что всякую гармоническую волну можно считать плоской волной на участке шириной r << (2R l )1/2 .

Применение эффекта

Некоторые волновые технологии являются наиболее эффективными именно в приближении плоских волн. В частности, показано, что при сейсмоакустических воздействиях (с целью повышения нефте- газоотдачи) на нефтяные и газовые пласты, представленные слоистыми геологическими структурами, взаимодействие прямых и переотраженных от границ слоев плоских волновых фронтов приводит возникновению стоячих волн, инициирующих постепенные перемещение и концентрацию углеводородных флюидов в пучностях стоячей волны (см. описание ФЭ «Стоячие волны»).

ПЛОСКАЯ ВОЛНА

Волна, у к-рой направление распространения одинаково во всех точках пространства. Простейший пример - однородная монохроматич. незатухающая П. в.:

и(z, t)=Aeiwt±ikz, (1)

где А - амплитуда, j= wt±kz - , w=2p/Т - круговая частота, Т -период колебаний, k - . Поверхности постоянной фазы (фазовые фронты) j=const П. в. являются плоскостями.

При отсутствии дисперсии, когда vф и vгр одинаковы и постоянны (vгр=vф= v), существуют стационарные (т. е. перемещающиеся как целое) бегущие П. в., к-рые допускают общее представление вида:

u(z, t)=f(z±vt), (2)

где f - произвольная функция. В нелинейных средах с дисперсией также возможны стационарные бегущие П. в. типа (2), но их форма уже не произвольна, а зависит как от параметров системы, так и от характера движения . В поглощающих (диссипативных) средах П. в. уменьшают свою амплитуду по мере распространения; при линейном затухании это может быть учтено путём замены в (1) k на комплексное волновое число kд ± ikм, где kм - коэфф. затухания П. в.

Однородная П. в., занимающая всё бесконечное , является идеализацией, однако любое волновое , сосредоточенное в конечной области (напр., направляемое линиями передачи или волноводами), можно представить как суперпозицию П. в. с тем или иным пространств. спектром k. При этом волна может по-прежнему иметь плоский фазовый фронт, но неоднородное амплитуды. Такие П. в. наз. плоскими неоднородными волнами. Отдельные участки сферич. и цилиндрич. волн, малые по сравнению с радиусом кривизны фазового фронта, приближённо ведут себя как П. в.

Физический энциклопедический словарь. - М.: Советская энциклопедия . . 1983 .

ПЛОСКАЯ ВОЛНА

- волна, ук-рой направление распространения одинаково во всех точках пространства.

где А - амплитуда,- фаза,- круговая частота, Т - период колебаний, k - волновое число. = const П. в. являются плоскостями.
При отсутствии дисперсии, когда фазоваяскорость v ф и групповая v гр одинаковы и постоянны (v гр = v ф = v ) существуют стационарные (т. е. перемещающиеся как целое) бегущиеП. в., к-рые можно представить в общем виде

где f - произвольная ф-ция. В нелинейныхсредах с дисперсией также возможны стационарные бегущие П. в. типа (2),но их форма уже не произвольна, а зависит как от параметров системы, таки от характера движения волны. В поглощающих (диссипативных) средах П. k на комплексное волновоечисло k д ik м,где k м - коэф. затухания П. в. Однородная П. в., занимающаявсё бесконечное , является идеализацией, однако любое волновоеполе, сосредоточенное в конечной области (напр., направляемое линиямипередачи или волноводами), можно представить как суперпозициюП. в. с тем или иным пространственным спектром k. При этом волнаможет no-прежнему иметь плоский фазовый фронт, во неоднородное распределениеамплитуды. Такие П. в. наз. плоскими неоднородными волнами. Отд. участкисферич. или цилиндрич. волн, малые по сравнению с радиусом кривизны фазовогофронта, приближённо ведут себя как П. в.

Лит. см. при ст. Волны.

М. А. Миллер, Л. А. Островский.

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. - М.: Советская энциклопедия . Главный редактор А. М. Прохоров . 1988 .

: такая волна в природе не существует, так как фронт плоской волны начинается в $-\mathcal{1}$ и заканчивается в $+\mathcal{1}$ , чего, очевидно, быть не может. Кроме того, плоская волна переносила бы бесконечную мощность, и на создание плоской волны потребовалась бы бесконечная энергия. Волну со сложным (реальным) фронтом можно представить в виде спектра плоских волн с помощью преобразования Фурье по пространственным переменным.

Квазиплоская волна - волна, фронт которой близок к плоскому в ограниченной области. Если размеры области достаточно велики для рассматривамой задачи, то квазиплоскую волну можно приближённо считать плоской. Волну со сложным фронтом можно аппроксимировать набором локальных квазиплоских волн, векторы фазовых скоростей который нормальны реальному фронту в каждой его точке. Примерами источников квазиплоских электромагнитных волн являются лазер , зеркальная и линзовая антенны : распределение фазы электромагнитного поля в плоскости, параллельной апертуре (излучающему отверстию), близко к равномерному. По мере удаления от апертуры фронт волны принимает сложную форму.

Определение

Уравнение любой волны является решением дифференциального уравнения , называемого волновым . Волновое уравнение для функции $A$ записывается в виде

$\Delta A(\vec{r},t) = \frac {1} {v^2} \, \frac {\partial^2 A(\vec{r},t)} {\partial t^2}$ где

$\Delta$ - оператор Лапласа ;
$A(\vec{r},t)$ - искомая функция;
$r$ - радиус-вектор искомой точки;
$v$ - скорость волны;
$t$ - время.

Одномерный случай

\Delta W_k = \cfrac {\rho} {2} \left(\cfrac {\partial A} {\partial t} \right)^2 \Delta V

\Delta W_p = \cfrac {E} {2} \left(\cfrac {\partial A} {\partial x} \right)^2 \Delta V = \cfrac {\rho v^2} {2} \left(\cfrac {\partial A} {\partial x} \right)^2 \Delta V .

Полная энергия это

$W = \Delta W_k + \Delta W_p = \cfrac{\rho}{2} \bigg[ \left(\cfrac {\partial A} {\partial t} \right)^2 + v^2 \left(\cfrac{\partial A}{\partial {x}} \right)^2 \bigg] \Delta V .$

Плотность энергии, соответственно, равна

$\omega = \cfrac {W} {\Delta V} = \cfrac{\rho}{2} \bigg[ \left(\cfrac {\partial A} {\partial t} \right)^2 + v^2 \left(\cfrac {\partial A} {\partial {x}} \right)^2 \bigg] = \rho A^2 \omega^2 \sin^2 \left(\omega t - k x + \varphi_0 \right) .$

Поляризация

Напишите отзыв о статье "Плоская волна"

Литература

Савельев И.В. [Часть 2. Волны. Упругие волны.] // Курс общей физики / Под редакцией Гладнева Л.И., Михалина Н.А., Миртова Д.А.. - 3-е изд. - М .: Наука, 1988. - Т. 2. - С. 274-315. - 496 с. - 220 000 экз.

Примечания

См. также

Отрывок, характеризующий Плоская волна

– Жалко, жалко молодца; давай письмо.
Едва Ростов успел передать письмо и рассказать всё дело Денисова, как с лестницы застучали быстрые шаги со шпорами и генерал, отойдя от него, подвинулся к крыльцу. Господа свиты государя сбежали с лестницы и пошли к лошадям. Берейтор Эне, тот самый, который был в Аустерлице, подвел лошадь государя, и на лестнице послышался легкий скрип шагов, которые сейчас узнал Ростов. Забыв опасность быть узнанным, Ростов подвинулся с несколькими любопытными из жителей к самому крыльцу и опять, после двух лет, он увидал те же обожаемые им черты, то же лицо, тот же взгляд, ту же походку, то же соединение величия и кротости… И чувство восторга и любви к государю с прежнею силою воскресло в душе Ростова. Государь в Преображенском мундире, в белых лосинах и высоких ботфортах, с звездой, которую не знал Ростов (это была legion d"honneur) [звезда почетного легиона] вышел на крыльцо, держа шляпу под рукой и надевая перчатку. Он остановился, оглядываясь и всё освещая вокруг себя своим взглядом. Кое кому из генералов он сказал несколько слов. Он узнал тоже бывшего начальника дивизии Ростова, улыбнулся ему и подозвал его к себе.
Вся свита отступила, и Ростов видел, как генерал этот что то довольно долго говорил государю.
Государь сказал ему несколько слов и сделал шаг, чтобы подойти к лошади. Опять толпа свиты и толпа улицы, в которой был Ростов, придвинулись к государю. Остановившись у лошади и взявшись рукою за седло, государь обратился к кавалерийскому генералу и сказал громко, очевидно с желанием, чтобы все слышали его.
– Не могу, генерал, и потому не могу, что закон сильнее меня, – сказал государь и занес ногу в стремя. Генерал почтительно наклонил голову, государь сел и поехал галопом по улице. Ростов, не помня себя от восторга, с толпою побежал за ним.

На площади куда поехал государь, стояли лицом к лицу справа батальон преображенцев, слева батальон французской гвардии в медвежьих шапках.
В то время как государь подъезжал к одному флангу баталионов, сделавших на караул, к противоположному флангу подскакивала другая толпа всадников и впереди их Ростов узнал Наполеона. Это не мог быть никто другой. Он ехал галопом в маленькой шляпе, с Андреевской лентой через плечо, в раскрытом над белым камзолом синем мундире, на необыкновенно породистой арабской серой лошади, на малиновом, золотом шитом, чепраке. Подъехав к Александру, он приподнял шляпу и при этом движении кавалерийский глаз Ростова не мог не заметить, что Наполеон дурно и не твердо сидел на лошади. Батальоны закричали: Ура и Vive l"Empereur! [Да здравствует Император!] Наполеон что то сказал Александру. Оба императора слезли с лошадей и взяли друг друга за руки. На лице Наполеона была неприятно притворная улыбка. Александр с ласковым выражением что то говорил ему.
Ростов не спуская глаз, несмотря на топтание лошадьми французских жандармов, осаживавших толпу, следил за каждым движением императора Александра и Бонапарте. Его, как неожиданность, поразило то, что Александр держал себя как равный с Бонапарте, и что Бонапарте совершенно свободно, как будто эта близость с государем естественна и привычна ему, как равный, обращался с русским царем.
Александр и Наполеон с длинным хвостом свиты подошли к правому флангу Преображенского батальона, прямо на толпу, которая стояла тут. Толпа очутилась неожиданно так близко к императорам, что Ростову, стоявшему в передних рядах ее, стало страшно, как бы его не узнали.
– Sire, je vous demande la permission de donner la legion d"honneur au plus brave de vos soldats, [Государь, я прошу у вас позволенья дать орден Почетного легиона храбрейшему из ваших солдат,] – сказал резкий, точный голос, договаривающий каждую букву. Это говорил малый ростом Бонапарте, снизу прямо глядя в глаза Александру. Александр внимательно слушал то, что ему говорили, и наклонив голову, приятно улыбнулся.
– A celui qui s"est le plus vaillament conduit dans cette derieniere guerre, [Тому, кто храбрее всех показал себя во время войны,] – прибавил Наполеон, отчеканивая каждый слог, с возмутительным для Ростова спокойствием и уверенностью оглядывая ряды русских, вытянувшихся перед ним солдат, всё держащих на караул и неподвижно глядящих в лицо своего императора.
– Votre majeste me permettra t elle de demander l"avis du colonel? [Ваше Величество позволит ли мне спросить мнение полковника?] – сказал Александр и сделал несколько поспешных шагов к князю Козловскому, командиру батальона. Бонапарте стал между тем снимать перчатку с белой, маленькой руки и разорвав ее, бросил. Адъютант, сзади торопливо бросившись вперед, поднял ее.
– Кому дать? – не громко, по русски спросил император Александр у Козловского.
– Кому прикажете, ваше величество? – Государь недовольно поморщился и, оглянувшись, сказал:
– Да ведь надобно же отвечать ему.
Козловский с решительным видом оглянулся на ряды и в этом взгляде захватил и Ростова.
«Уж не меня ли?» подумал Ростов.
– Лазарев! – нахмурившись прокомандовал полковник; и первый по ранжиру солдат, Лазарев, бойко вышел вперед.
– Куда же ты? Тут стой! – зашептали голоса на Лазарева, не знавшего куда ему итти. Лазарев остановился, испуганно покосившись на полковника, и лицо его дрогнуло, как это бывает с солдатами, вызываемыми перед фронт.
Наполеон чуть поворотил голову назад и отвел назад свою маленькую пухлую ручку, как будто желая взять что то. Лица его свиты, догадавшись в ту же секунду в чем дело, засуетились, зашептались, передавая что то один другому, и паж, тот самый, которого вчера видел Ростов у Бориса, выбежал вперед и почтительно наклонившись над протянутой рукой и не заставив ее дожидаться ни одной секунды, вложил в нее орден на красной ленте. Наполеон, не глядя, сжал два пальца. Орден очутился между ними. Наполеон подошел к Лазареву, который, выкатывая глаза, упорно продолжал смотреть только на своего государя, и оглянулся на императора Александра, показывая этим, что то, что он делал теперь, он делал для своего союзника. Маленькая белая рука с орденом дотронулась до пуговицы солдата Лазарева. Как будто Наполеон знал, что для того, чтобы навсегда этот солдат был счастлив, награжден и отличен от всех в мире, нужно было только, чтобы его, Наполеонова рука, удостоила дотронуться до груди солдата. Наполеон только прило жил крест к груди Лазарева и, пустив руку, обратился к Александру, как будто он знал, что крест должен прилипнуть к груди Лазарева. Крест действительно прилип.