Решить пример произведение многочлена и одночлена. Сложение и вычитание многочленов

Определение 3.3. Одночленом называют выражение, представляющее собой произведение чисел, переменных и степеней с натуральным показателем.

Например, каждое из выражений ,
,
является одночленом.

Говорят, что одночлен имеет стандартный вид , если он содержит только один числовой множитель, стоящий на первом месте, а каждое произведение одинаковых переменных в нем представлено степенью. Числовой множитель одночлена, записного в стандартном виде, называют коэффициентом одночлена . Степенью одночлена называют сумму показателей степеней всех его переменных.

Определение 3.4. Многочленом называют сумму одночленов. Одночлены, из которых составлен многочлен, называют членами многочлена .

Подобные слагаемые – одночлены в многочлене – называют подобными членами многочлена .

Определение 3.5. Многочленом стандартного вида называют многочлен, в котором все слагаемые записаны в стандартном виде и приведены подобные члены. Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней входящих в него одночленов.

Например, – многочлен стандартного вида четвертой степени.

Действия над одночленами и многочленами

Сумму и разность многочленов можно преобразовать в многочлен стандартного вида. При сложении двух многочленов записываются все их члены и приводятся подобные члены. При вычитании знаки всех членов вычитаемого многочлена меняются на противоположные.

Например:

Члены многочлена можно разбивать на группы и заключать в скобки. Поскольку это тождественное преобразование, обратное раскрытию скобок, то устанавливается следующее правило заключения в скобки : если перед скобками ставится знак «плюс», то все члены, заключаемые в скобки, записывают с их знаками; если перед скобками ставится знак «минус», то все члены, заключаемые в скобки, записывают с противоположными знаками.

Например,

Правило умножения многочлена на многочлен : чтобы умножить многочлен на многочлен, достаточно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить.

Например,

Определение 3.6. Многочленом от одной переменной степени называют выражение вида

где
– любые числа, которые называют коэффициентами многочлена , причем
,– целое неотрицательное число.

Если
, то коэффициентназываютстаршим коэффициентом многочлена
, одночлен
– его старшим членом , коэффициент – свободным членом .

Если вместо переменной в многочлен
подставить действительное число, то в результате получится действительное число
, которое называютзначением многочлена
при
.

Определение 3.7. Число называют корнем многочлена
, если
.

Рассмотрим деление многочлена на многочлен, где
и- натуральные числа. Деление возможно, если степень многочлена-делимого
не меньше степени многочлена-делителя
, то есть
.

Разделить многочлен
на многочлен
,
,– значит найти два таких многочлена
и
, чтобы

При этом многочлен
степени
называютмногочленом-частным ,
– остатком ,
.

Замечание 3.2. Если делитель
– не нуль-многочлен, то деление
на
,
, всегда выполнимо, а частное и остаток определяются однозначно.

Замечание 3.3. В случае, когда
при всех , то есть

говорят, что многочлен
нацело делится (или делится ) на многочлен
.

Деление многочленов выполняется аналогично делению многозначных чисел: сначала старший член многочлена-делимого делят на старший член многочлена-делителя, затем частное от деления этих членов, которое будет старшим членом многочлена-частного, умножают на многочлен-делитель и полученное произведение вычитают из многочлена-делимого. В результате получают многочлен – первый остаток, который делят на многочлен-делитель аналогичным образом и находят второй член многочлена-частного. Этот процесс продолжают до тех пор, пока получится нулевой остаток или степень многочлена остатка будет меньше степени многочлена-делителя.

При делении многочлена на двучлен можно воспользоваться схемой Горнера.

Схема Горнера

Пусть требуется разделить многочлен

на двучлен
. Обозначим частное от деления как многочлен

а остаток – . Значение, коэффициенты многочленов
,
и остатокзапишем в следующей форме:

В этой схеме каждый из коэффициентов
,
,
, …,получается из предыдущего числа нижней строки умножением на числои прибавлением к полученному результату соответствующего числа верхней строки, стоящего над искомым коэффициентом. Если какая-либо степеньв многочлене отсутствует, то соответствующий коэффициент равен нулю. Определив коэффициенты по приведенной схеме, записываем частное

и результат деления, если
,

или ,

если
,

Теорема 3.1. Для того чтобы несократимая дробь (

,

) была корнем многочлена
с целыми коэффициентами, необходимо, чтобы числобыло делителем свободного члена, а число- делителем старшего коэффициента.

Теорема 3.2. (Теорема Безу ) Остаток от деления многочлена
на двучлен
равен значению многочлена
при
, то есть
.

При делении многочлена
на двучлен
имеем равенство

Оно справедливо, в частности, при
, то есть
.

Пример 3.2. Разделить на
.

Решение. Применим схему Горнера:

Следовательно,

Пример 3.3. Разделить на
.

Решение. Применим схему Горнера:

Следовательно,

,

Пример 3.4. Разделить на
.

Решение.

В итоге получаем

Пример 3.5. Разделить
на
.

Решение. Проведем деление многочленов столбиком:

Тогда получаем

.

Иногда бывает полезным представление многочлена в виде равного ему произведения двух или нескольких многочленов. Такое тождественное преобразование называют разложением многочлена на множители . Рассмотрим основные способы такого разложения.

Вынесение общего множителя за скобки. Для того чтобы разложить многочлен на множители способом вынесения общего множителя за скобки, необходимо:

1) найти общий множитель. Для этого, если все коэффициенты многочлена – целые числа, в качестве коэффициента общего множителя рассматривают наибольший по модулю общий делитель всех коэффициентов многочлена, а каждую переменную, входящую во все члены многочлена, берут с наибольшем показателем, который она имеет в данном многочлене;

2) найти частное от деления данного многочлена на общий множитель;

3) записать произведение общего множителя и полученного частного.

Группировка членов. При разложении многочлена на множители способом группировки его члены разбиваются на две или более групп с таким расчетом, чтобы каждую из них можно было преобразовать в произведение, и полученные произведения имели бы общий множитель. После этого применяется способ вынесения за скобки общего множителя вновь преобразованных членов.

Применение формул сокращенного умножения. В тех случаях, когда многочлен, подлежащий разложению на множители, имеет вид правой части какой-либо формулы сокращенного умножения, его разложение на множители достигается применением соответствующей формулы, записанной в другом порядке.

Пусть

, тогда справедливы следующиеформулы сокращенного умножения:

Введение новых вспомогательных членов. Данный способ заключается в том, что многочлен заменяется другим многочленом, тождественно равным ему, но содержащим другое число членов, путем введения двух противоположных членов или замены какого-либо члена тождественно равной ему суммой подобных одночленов. Замена производится с таким расчетом, чтобы к полученному многочлену можно было применить способ группировки членов.

Пример 3.6. .

Решение. Все члены многочлена содержат общий множитель
. Следовательно,.

Ответ: .

Пример 3.7.

Решение. Группируем отдельно члены, содержащие коэффициент , и члены, содержащие. Вынося за скобки общие множители групп, получаем:

.

Ответ:
.

Пример 3.8. Разложить на множители многочлен
.

Решение. Используя соответствующую формулу сокращенного умножения, получаем:

Ответ: .

Пример 3.9. Разложить на множители многочлен
.

Решение. Используя способ группировки и соответствующую формулу сокращенного умножения, получаем:

.

Ответ: .

Пример 3.10. Разложить на множители многочлен
.

Решение. Заменим на
, сгруппируем члены, применим формулы сокращенного умножения:

.

Ответ:
.

Пример 3.11. Разложить на множители многочлен

Решение. Так как ,
,
, то

Пусть требуется сложить одночлены:

Полученное выражение является алгебраической суммой. Согласно введённому условию (§ 16) мы можем внак сложения везде опустить и написать короче:

В этом выражении имеется два подобных члена.

Приведём их и заодно расположим многочлен по убывающим степеням относительно х:

(Проверить подстановкой в данные одночлены и в полученную сумму значений:

Значит, мы можем вывести такое правило:

Чтобы сложить одночлены, достаточно записать их (в виде алгебраической суммы) один за другим с их знаками.

Если в полученном выражении окажутся подобные члены, то их надо привести.

2. Сложение многочленов.

Решим задачу. В одной корзине было х яблок, в другой на у яблок больше, чем в первой, а в третьей на 27 яблок меньше, чем во второй. Сколько яблок было во всех трёх корзинах?

1) В первой корзине было х яблок.

2) Во второй корзине было яблок.

3) В третьей корзине было яблок.

4) В трёх корзинах было яблок.

Полученный ответ представляет собой сумму одночлена и двух многочленов.

Упростим этот ответ. Мы знаем, что каждое из выражений является алгебраической суммой. Поэтому по правилу прибавления суммы можем записать:

После приведения подобных членов получим окончательно:

Определить, сколько было яблок в корзинах, если:

Значит, мы можем вывести такое правило для сложения многочленов:

Чтобы сложить многочлены, надо запасать последовательно (в виде алгебраической суммы) все их члены с их знаками.

Если в полученном выражении окажутся подобные члены, их надо привести.

3. Раскрытие скобок.

При решении предыдущей задачи пришлось раскрывать скобки, перед каждой из которых стоял знак плюо. Значит, можно сделать вывод:

Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак плюс, надо записать без скобок все члены, стоящие в скобках, с их знаками.

Примечание. Если выражение начинается со скобки, перед которой нет никакого знака, то подразумевается знак плюс, например:

4. Заключение в скобки.

Иногда бывает нужно, наоборот, заключить многочлен или часть его в скобки. Так мы поступали, делая приведение подобных членов (см. пример предыдущего параграфа). Возьмём такой пример. Пусть надо вычислить выражение:

Очевидно, что здесь выгоднее сначала вычесть 238 из 258 и разность 20 прибавить к 136. Вычисления легко и быстро выполняются в уме. Чтобы показать это, заключим второй и третий члены в скобки:

Пусть вообще нужно заключить в скобки многочлен или часть его и перед скобкой поставить знак плюс. Будем руководствоваться следующим правилом:

Чтобы заключить многочлен в скобки со знаком плюс перед ними, надо записать в скобках все члены многочлена с их знаками:

Убедиться в верности этого равенства легко, раскрыв скобки по правилу, изложенному в п. 3.

5. Сложение расположенных многочленов.

Если многочлены расположены по степеням одной и той же буквы (оба по возрастающим или оба по убывающим), то их сложение удобнее производить следующим образом: подписывают один многочлен под другим так, чтобы подобные члены находились один под другим; после этого сразу делают приведение подобных членов и записывают окончательный результат.

Так же производится сложение расположенных многочленов и тогда, когда они содержат более одной буквы.

Среди различных выражений, которые рассматриваются в алгебре, важное место занимают суммы одночленов. Приведем примеры таких выражений:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2 \)

Сумму одночленов называют многочленом. Слагаемые в многочлене называют членами многочлена. Одночлены также относят к многочленам, считая одночлен многочленом, состоящим из одного члена.

Например, многочлен
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
можно упростить.

Представим все слагаемые в виде одночленов стандартного вида:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)

Приведем в полученном многочлене подобные члены:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Получился многочлен, все члены которого являются одночленами стандартного вида, причем среди них нет подобных. Такие многочлены называют многочленами стандартного вида .

За степень многочлена стандартного вида принимают наибольшую из степеней его членов. Так, двучлен \(12a^2b - 7b \) имеет третью степень, а трехчлен \(2b^2 -7b + 6 \) - вторую.

Обычно члены многочленов стандартного вида, содержащих одну переменную, располагают в порядке убывания показателей ее степени. Например:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)

Сумму нескольких многочленов можно преобразовать (упростить) в многочлен стандартного вида.

Иногда члены многочлена нужно разбить на группы, заключая каждую группу в скобки. Поскольку заключение в скобки - это преобразование, обратное раскрытию скобок, то легко сформулировать правила раскрытия скобок:

Если перед скобками ставится знак «+», то члены, заключаемые в скобки, записываются с теми же знаками.

Если перед скобками ставится знак «-», то члены, заключаемые в скобки, записываются с противоположными знаками.

Преобразование (упрощение) произведения одночлена и многочлена

С помощью распределительного свойства умножения можно преобразовать (упростить) в многочлен произведение одночлена и многочлена. Например:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Произведение одночлена и многочлена тождественно равно сумме произведений этого одночлена и каждого из членов многочлена.

Этот результат обычно формулируют в виде правила.

Чтобы умножить одночлен на многочлен, надо умножить этот одночлен на каждый из членов многочлена.

Мы уже неоднократно использовали это правило для умножения на сумму.

Произведение многочленов. Преобразование (упрощение) произведения двух многочленов

Вообще, произведение двух многочленов тождественно равно сумме произведении каждого члена одного многочлена и каждого члена другого.

Обычно пользуются следующим правилом.

Чтобы умножить многочлен на многочлен, надо каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого и сложить полученные произведения.

Формулы сокращенного умножения. Квадраты суммы, разности и разность квадратов

С некоторыми выражениями в алгебраических преобразованиях приходится иметь дело чаще, чем с другими. Пожалуй, наиболее часто встречаются выражения \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) и \(a^2 - b^2 \), т. е. квадрат суммы, квадрат разности и разность квадратов. Вы заметили, что названия указанных выражений как бы не закончены, так, например, \((a + b)^2 \) - это, конечно, не просто квадрат суммы, а квадрат суммы а и b. Однако квадрат суммы а и b встречается не так уж часто, как правило, вместо букв а и b в нем оказываются различные, иногда довольно сложные выражения.

Выражения \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) нетрудно преобразовать (упростить) в многочлены стандартного вида, собственно, вы уже встречались с таким заданием при умножении многочленов:
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Полученные тождества полезно запомнить и применять без промежуточных выкладок. Помогают этому краткие словесные формулировки.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - квадрат суммы равен сумме квадратов и удвоенного произведения.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - квадрат разности равен сумме квадратов без удвоенного произведения.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - разность квадратов равна произведению разности на сумму.

Эти три тождества позволяют в преобразованиях заменять свои левые части правыми и обратно - правые части левыми. Самое трудное при этом - увидеть соответствующие выражения и понять, чем в них заменены переменные а и b. Рассмотрим несколько примеров использования формул сокращенного умножения.

Тема: Сложение и вычитание многочленов.

Цели урока:

Обучающая: изучить правила сложения и вычитания многочленов; познакомить с правилом сложения многочленов «в столбик»; ввести понятие «противоположного многочлена».

Развивающая: развивать у учащихся навыки преобразования многочленов; создавать условия для проявления познавательной деятельности и активности учащихся.

Воспитывающая: воспитывать целеустремленность, организованность, формировать интерес к изучению материала через различные виды деятельности.

Способствовать формированию компетенций: учебно-познавательной и информационно-коммуникативной.

Тип урока : урок усвоения нового материала.

Оборудование: интерактивная доска SmartBoard, мультимедийный проектор.

Структура урока:

Организационный этап. Мотивация.

Актуализация опорных знаний.

Изучение нового материала.

Физкультминутка.

Первичное закрепление полученных знаний.

Подведение итогов урока. Рефлексия.

Домашнее задание. Инструктаж.

ХОД УРОКА

1. Организационный этап. Мотивация.

На сегодняшнем уроке нам предстоит узнать, как выполняется сложение и вычитание многочленов. Познакомимся с алгоритмом сложения многочленов «в столбик» и понятием «противоположного многочлена».

2. Актуализация опорных знаний .

Ребята, на сегодняшнем уроке мы узнаем много нового. Но без знаний пройденного материала нам будет трудно, поэтому проведем небольшой устный опрос.

Фронтальный теоретический опрос.(Слайд 2)

Сумма одночленов называется (многочленом ).

Многочлен, представляющий собой сумму двух одночленов, называется (двучленом ).

Сумма (противоположных ) одночленов равна нулю.

При умножении многочлена на (единицу) в результате получится тот же самый многочлен.

Степенью многочлена стандартного вида называют (наибольшую из степеней ).

Устный опрос. (Слайд 3). Нажимая поочередно на «книгу», учащиеся приводят подобные слагаемые, и проводят самопроверку.

3. Изучение нового материала.

Учитель : Многочлены часто являются математическими моделями практических задач, поэтому нам надо уметь выполнять арифметические действия с многочленами и приводить такие выражения к максимально простому виду. Выясним, как складывать и вычитать многочлены. Фактически, мы это делать уже умеем.

Например, составим сумму и разность многочленов (Слайд 4 ) и в полученном алгебраическом выражении раскроем скобки.

(Раскрывают скобки, работая в тетрадях, в парах. Один ученик выполняет преобразования на обратной стороне доски. Проверяем ход работы и анализируем все ли операции выполнены верно?)

Мы видим, что полученные в результате преобразования сумма и разность также являются многочленами.

Делаем вывод: (Слайд 5 ). Чтобы найти алгебраическую сумму многочленов, нужно раскрыть скобки и привести подобные слагаемые. При этом, если перед скобкой стоит знак «+» , то знаки слагаемых, стоящих в скобках, не меняются . Если перед скобкой стоит знак «-» , то знаки слагаемых внутри скобок меняются на противоположные .

Аналогичным образом можно найти сумму любого количества многочленов. Учащиеся выполняют задание (Слайд 6 ), и проверяют правильность выполнения задания (Слайд 7)

После выполнения последнего пункта задания 1 , вводится понятие многочлена, противоположного данному.

Многочлен противоположным данному - это исходный многочлен, умноженный на (-1). Учащиеся выполняют задание 2 (Слайд 8 ). (Стираем «ластиком» и проводим проверку ).

Другими словами, если его сумма с исходным многочленом равна нулю. Учащиеся выполняют задание 3 (Слайд 9 ). (Нажимаем на пропуски и проверяем !).

4. Физкультминутка.

Учитель . Предлагает упражнения для глаз и для улучшения мозгового кровообращения.

Быстро поморгать, закрыть глаза и посидеть спокойно, медленно считая до пяти. Повторить 4-5 раз.

Вытянуть правую руку вперёд. Следить глазами, не поворачивая головы, за медленным движением указательного пальца вытянутой руки влево и вправо, вверх и вниз. Повторить 4-5 раз.

В среднем темпе проделать 3-4 круговых движения глазами в правую сторону, столько же в левую сторону. Расслабив глазные мышцы, посмотреть вдаль на счет 1-6. Повторить 1-2 раза.

Продолжаем…

Учитель . Но количество многочленов-слагаемых и их членов может быть достаточно большим, и тогда поиск и приведение подобных членов может оказаться весьма затруднительным. Чтобы упростить вычисления, мы можем использовать идею «записи в столбик», аналогичную той, которую мы использовали при сложении и вычитании многозначных чисел. При сложении многозначных чисел такая запись помогаем добиться близкого расположения цифр, стоящих в одинаковых разрядах, а при сложении многочленов – близкого расположения подобных членов.(Слайд 10).

(Нажимаем на противоположные одночлены, показывая тем самым их исключение, а также нажимает на место получаемого результата). В итоге мы приходим к следующему алгоритму сложения многочленов «в столбик». Язычок: Запомни ).

Учащиеся выполняют задание 4 по вариантам. (Слайд 11 ). Проводят взаимопроверку.

Теперь обсудим операцию вычитания многочленов. Мы знаем, что вычитание рационального числа можно заменить прибавлением противоположного числа. Аналогично мы можем поступить и при работе с многочленами.

Вычитание многочленов «в столбик» также сводится к сложению, предварительно лишь надо заменить многочлен-вычитаемое противоположным ему.

Итак, алгоритм вычитания многочленов «в столбик» отличается от соответствующего алгоритма сложения многочленов лишь тем, что в нем появляется один дополнительный шаг – замена многочлена-вычитаемого противоположным ему. (Слайд 12). (Нажимаем на противоположные одночлены, показывая тем самым их исключение, а также нажимает на место получаемого результата). В итоге мы приходим к следующему алгоритму вычитания многочленов «в столбик». Язычок: Запомни ).

5. Первичное закрепление полученных знаний.

Выполнение заданий на закрепление изученного материала.

Задание 5 (Слайд 13 ).

Задание 6 . С помощью кубика-генератора, нажимая поочередно на кубик и на стрелку, расположив многочлены столбиком, выполняем сложение. (Слайд 14 ).

6. Подведение итогов урока.

Рефлексия.

Что нового и интересного узнали на уроке?

Какое из правил сложения многочленов для вас наиболее приемлемо и удобно?

Какие испытывали трудности?

7. Домашнее задание. Инструктаж.

Учитель проводит инструктаж по выполнению домашнего задания.

Операции сложения и вычитания являются базовыми действиями во многих случаях решения алгебраических задач. В данном видео мы рассмотрим основные принципы работы с многочленами.

Для начала напомним, что многочленом называется такое выражение, которое состоит из нескольких различных одночленов, или мономов. При этом каждый такой моном представляет собой либо числовое значение, либо переменную. Порой переменные группируются умножением или делением, а также могут иметь свой числовой коэффициент.

В предыдущих видеолекциях мы рассматривали приведение подобных слагаемы - упрощение любого многочлена до стандартного вида. Сразу стоит вставить ремарку, что подобные действия прямо взаимосвязаны с операциями сложения и вычитания внутри одного многочлена. Но при этом в случае алгебраических операций с несколькими многочленами предварительное упрощение может быть лишним и усложнить задачу. Будет более корректно стандартизовать уже итоговый полином. Ведь чем больше одночленов в многочлене, тем проще найти подобные слагаемые. Поэтому если стоит задача сложить или вычесть два многочлена - не стоит их сразу же приводить к стандартному виду.

В линейной алгебре принято многочлены в одном ряду записывать в отдельных скобках. Это помогает правильно раскрывать знак. Итак, если у нас есть два многочлена, то мы записываем их в ряд, и ставим необходимый знак между скобками:

(а 2 + с 3 - 7) + (3а 2 - 2с 3 +3)

Для решения данного выражения достаточно просто провести обычное алгебраическое сложение. Для этого, раскрываем скобки, памятуя о правилах сохранения знаков. При сложении (когда стоит плюс) все знаки сохраняются в неизменном виде, скобки легко можно опустить. Записываем выражение в новом виде:

а 2 + с 3 - 7 + 3а 2 - 2с 3 +3 =

4а 2 - 1с 3 - 4 = 4а 2 - с 3 - 4

Получившийся многочлен обрабатываем по правилам приведения подобных слагаемых, находим общие переменные, сокращаем все схожие значения. Иногда применяем ступенчатое сложение или вычитание для определенных мономов. В итоге, наше выражение сокращается до стандартного вида, являющегося ответом на заданный пример. Стоит понимать, что, формально, суммой многочлена, в данном случае, является выражение:

а 2 + с 3 - 7 + 3а 2 - 2с 3 +3

Не будет считаться ошибкой, если указать в ответе именно его. Но, по законам алгоритмов алгебраических вычислений, конечный ответ для действий с многочленами должен быть максимально упрощен, т.е. приведен к стандартному виду.
Операции вычитания проводятся таким же образом, только с учетом того факта, что знак «минус» перед скобками поменяет знак внутри:

(а 2 + с 3 - 7) - (3а 2 - 2с 3 +3) =

А 2 + с 3 - 7 - 3а 2 + 2с 3 - 3=

2а 2 + 3с 3 - 10

Во втором многочлене (вычитаемом) из-за минуса полностью инвертированы знаки: на противоположные значения. После чего алгоритм решения полностью идентичен суммированию (чем, по сути, сведение многочлена к стандартному виду и является).

Иногда в некоторых задачах необходимо выполнять обратные действия - из многочлена составить определенную сумму или разность. Это бывает необходимо для дальнейшего решения, и условия разбивания полинома задаются реалиями самой задачи. К примеру, необходимо выражение вида:

3а 2 - 2с 3 +3

Задача в таком случае следующая: представить выражение как сумму многочленов, один из которых - 3а 2 . Это легко сделать, выделив скобками задаваемые многочлены. При этом, знаки можно не менять, так как плюс разрешает это делать:

3а 2 + (- 2с 3 +3)

Если же нужна разность многочленов, один из которых 3а 2 , то необходимо не только выделить многочлены скобками, но и поставить минус, инвертирующий знаки во втором многочлене:

3а 2 - (2с 3 -3)

Таким образом, задачи по сложению или вычитанию многочленов решаются достаточно просто, если умело использовать свойства алгебраического сложения.