Простейшие тригонометрические уравнения. Смешной случай из жизни На единичной окружности отмечены две диаметрально противоположные

+ – 0;2 П; 4 П. - 2 П; -4 П. П -11 П 6 П -7 П 4 П -5 П 3 2 П -4 П 3 3 П -4 П П -7 П П -5 П П -3 П П -2 П П - П П - П П - П П 2 5 П 2 П 2 9 П 2 5 П 2 П 2 11 П 2 7 П 2 3 П 2 11 П 2 7 П 2 3 П 2 5 П;3 П; П. -5 П;-3 П;- П. 360° 30° 60° 45° 90° 120° 135° 150° 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° X y 0

0 y X 5 П,14 -П-П ± П 2П 2 ± П П k, k Z (-1) k П 4П 4 + П g, g Z П 3П 3 ± + 2 П n, n Z П 6П 6 + П 3П 3 m, m Z Найдите точки, соответствующие следующим числам

0 y X - П +2 П k, k Z П 3П П n, n Z П m, m Z П (+ m), m Z 2П 32П П n, n Z П 2П 2 П П n, n Z 1 3 П (+2 l), l Z Найдите точки, соответствующие следующим числам

1.Какой четверти числовой окружности принадлежит точка А. Первой. Б. Второй. В. Третьей. Г. Четвертой. 2.Какой четверти числовой окружности принадлежит точка А. Первой. Б. Второй. В. Третьей. Г. Четвертой. 3.Определите знаки чисел a и b, если: А. а>0, b>0. Б. a 0. B. a>0, b0, b 0"> 0, b>0. Б. a 0. B. a>0, b0, b"> 0" title="1.Какой четверти числовой окружности принадлежит точка А. Первой. Б. Второй. В. Третьей. Г. Четвертой. 2.Какой четверти числовой окружности принадлежит точка А. Первой. Б. Второй. В. Третьей. Г. Четвертой. 3.Определите знаки чисел a и b, если: А. а>0"> title="1.Какой четверти числовой окружности принадлежит точка А. Первой. Б. Второй. В. Третьей. Г. Четвертой. 2.Какой четверти числовой окружности принадлежит точка А. Первой. Б. Второй. В. Третьей. Г. Четвертой. 3.Определите знаки чисел a и b, если: А. а>0">

Вопрос: На окружности выбраны диаметрально противоположные точки A и B и отличная от них точка C. Касательная, проведённая к окружности в точке A, и прямая BC пересекаются в точке D. Доказать, что касательная, проведённая к окружности в точке C, делит пополам отрезок AD. Окружность вписанная в треугольник ABC касается сторон AB и BC в точках M и N соответственно. Прямая проходит через середину AC параллельно прямой. МN пересекает прямые BA и BC в точках D и E соответственно. Доказать, что AD=CE.

На окружности выбраны диаметрально противоположные точки A и B и отличная от них точка C. Касательная, проведённая к окружности в точке A, и прямая BC пересекаются в точке D. Доказать, что касательная, проведённая к окружности в точке C, делит пополам отрезок AD. Окружность вписанная в треугольник ABC касается сторон AB и BC в точках M и N соответственно. Прямая проходит через середину AC параллельно прямой. МN пересекает прямые BA и BC в точках D и E соответственно. Доказать, что AD=CE.

Ответы:

Похожие вопросы

make the sentences complete. i fly (usually) to landon
Морфологический разбор слова поднявшая и лежащие
Выпишите черты империализма
Общий делитель у 14 и 24
Преобразуйте в многочлен выражение!! -2(v+1)(v+4) - (v-5)(v+5)
Найдите произведение действительных корней уравнения: y^{4} - 2y^{2} - 8 = 0
Найдите углы BEN и CEN, учитывая, что они смежные и один из них в полтора раза меньше другого.
В трех вазах 6,21 и 9 слив.Чтобы уравнять число слив в каждой вазе Мадина из одной вазы переложила в другую столько слив сколько их было в ней.Путем двух перекладываний она уравняла число слив в трех вазах.Каким образом это сделала?
Из учебника по химии (изученного параграфа) выпишите 10 слов общеупотребительных (разных частей речи) и 10 слов специальных (терминов и терминологических сочетаний.) составьте и запишите словосочетания с выбранными из текста терминами

По-видимому, первым обращением человечества к тому, что потом получит название сферической геометрии, была планетарная теория греческого математика Евдокса (ок. 408–355), одного из участников Академии Платона. Это была попытка объяснить движение планет вокруг Земли с помощью четырех вращающихся концентрических сфер, каждая из которых имела особую ось вращения с концами, закрепленными на охватывающей сфере, к которой, в свою очередь, были «прибиты» звезды. Таким образом объяснялись замысловатые траектории планет (в переводе с греческого «планета» – блуждающая). Именно благодаря такой модели древнегреческие ученые умели достаточно точно описывать и предсказывать движения планет. Это было необходимо, например, в мореплавании, а так же во многих других «земных» задачах, где нужно было учитывать, что Земля – не плоский блин, покоящийся на трех китах. Значительный вклад в сферическую геометрию внес Менелай из Александрии (ок. 100 н.э.). Его труд Сферика стал вершиной достижений греков в этой области. В Сферике рассматриваются сферические треугольники – предмет, которого нет у Евклида. Менелай перенес на сферу евклидову теорию плоских треугольников и в числе прочего получил условие, при котором три точки на сторонах сферического треугольника или их продолжениях лежат на одной прямой. Соответствующая теорема для плоскости в то время была уже широко известна, однако в историю геометрии она вошла именно как теорема Менелая, причем, в отличие от Птолемея (ок. 150), у которого в работах немало вычислений, трактат Менелая геометричен строго в духе евклидовой традиции.

Основные положения сферической геометрии.

Всякая плоскость, пересекающая сферу, дает в сечении окружность. Если плоскость проходит через центр сферы, то в сечении получается так называемый большой круг. Через любые две точки на сфере, кроме диаметрально противоположных, можно провести единственный большой круг. (На глобусе примером большого круга служит экватор и все меридианы.) Через диаметрально противоположные точки проходит же бесконечное количество больших кругов. Меньшая дуга AmB (рис. 1) большого круга является кратчайшей из всех линий на сфере, соединяющих заданные точки. Такая линия называется геодезической . Геодезические линии играют на сфере ту же роль, что и прямые в планиметрии. Многие положения геометрии на плоскости справедливы и на сфере, но, в отличие от плоскости, две сферические прямые пересекаются в двух диаметрально противоположных точках. Таким образом, в сферической геометрии просто не существует понятия параллельности. Еще одно отличие – сферическая прямая замкнута, т.е. двигаясь по ней в одном и том же направлении, мы вернемся в исходную точку, точка не разбивает прямую на две части. И еще один удивительный с точки зрения планиметрии факт – треугольник на сфере может иметь все три прямых угла.

Прямые, отрезки, расстояния и углы на сфере.

Прямыми на сфере считаются большие окружности. Если две точки принадлежат большой окружности, то длина меньшей из дуг, соединяющих эти точки, определяется как сферическое расстояние между этими точками, а сама дуга – как сферический отрезок. Диаметрально противоположные точки соединены бесконечным числом сферических отрезков – больших полуокружностей. Длина сферического отрезка определяется через радианную меру центрального угла a и радиус сферы R (рис. 2), по формуле длины дуги она равна R a. Любая точка С сферического отрезка АВ разбивает его на два, и сумма их сферических длин, как и в планиметрии, равна длине всего отрезка, т.е. РАОС + РСОВ = РАОВ . Для любой же точки D вне отрезка АВ имеет место «сферическое неравенство треугольника»: сумма сферических расстояний от D до А и от D до В больше АВ , т.е. РAOD + РDOB > РAOB , – полное соответствие между сферической и плоской геометриями. Неравенство треугольника – одно из основополагающих в сферической геометрии, из него следует, что, как и в планиметрии, сферический отрезок короче любой сферической ломаной, а значит, и любой кривой на сфере, соединяющей его концы.

Таким же образом на сферу можно перенести и многие другие понятия планиметрии, в частности те, которые можно выразить через расстояния. Например, сферическая окружность – множество точек сферы, равноудаленных от заданной точки Р . Легко показать, что окружность лежит в плоскости, перпендикулярной диаметру сферы РР ` (рис. 3), т.е. это обычная плоская окружность с центром на диаметре РР `. Но сферических центров у нее два: Р и Р `. Эти центры принято называть полюсами . Если обратиться к глобусу, то можно видеть, что идет речь именно о таких окружностях, как параллели, и сферическими центрами всех параллелей являются Северный и Южный полюса. Если диаметр r сферической окружности равен p/2, то сферическая окружность превращается в сферическую прямую. (На глобусе – экватор). В этом случае такую окружность называют полярой каждой из точек Р и P `.

Одним из важнейших понятий в геометрии является равенство фигур. Фигуры считаются равными, если одну на другую можно отобразить таким образом (поворотом и переносом), что сохранятся расстояния. Это верно и для сферической геометрии.

Углы на сфере определяются следующим образом. При пересечении двух сферических прямых a и b на сфере образуются четыре сферических двуугольника, подобно тому, как две пересекающиеся прямые на плоскости разбивают ее на четыре плоских угла (рис. 4). Каждому из двуугольников соответствует двугранный угол, образованный диаметральными плоскостями, содержащими a и b . А угол между сферическими прямыми равен меньшему из углов образуемых ими двуугольников.

Отметим так же, что угол РABC , образованный на сфере двумя дугами большого круга, измеряют углом РA `BC ` между касательными к соответствующим дугам в точке В (рис. 5) или двугранным углом, образованным диаметральными плоскостями, содержащими сферические отрезки АВ и ВС .

Точно так же, как и в стереометрии, каждой точке сферы сопоставляется луч, проведенный из центра сферы в эту точку, а любой фигуре на сфере – объединение всех пересекающих ее лучей. Так, сферической прямой соответствует содержащая ее диаметральная плоскость, сферическому отрезку – плоский угол, двуугольнику – двугранный угол, сферической окружности – коническая поверхность, ось которой проходит через полюсы окружности.

Многогранный угол с вершиной в центре сферы пересекает сферу по сферическому многоугольнику (рис. 6). Это область на сфере, ограниченная ломаной из сферических отрезков. Звенья ломаной – стороны сферического многоугольника. Их длины равны величинам соответствующих плоских углов многогранного угла, а величина угла при любой вершине А равна величине двугранного угла при ребре ОА .

Сферический треугольник.

Среди всех сферических многоугольников наибольший интерес представляет сферический треугольник. Три больших окружности, пересекаясь попарно в двух точках, образуют на сфере восемь сферических треугольников. Зная элементы (стороны и углы) одного из них, можно определить элементы все остальных, поэтому рассматривают соотношения между элементами одного из них, того, у которого все стороны меньше половины большой окружности. Стороны треугольника измеряются плоскими углами трехгранного угла ОАВС , углы треугольника – двугранными углами того же трехгранного угла (рис. 7).

Многие свойства сферического треугольника (а они одновременно являются и свойствами трехгранных углов) почти полностью повторяют свойства обычного треугольника. Среди них – неравенство треугольника, которое на языке трехгранных углов гласит, что любой плоский угол трёхгранного угла меньше суммы двух других. Или, например, три признака равенства треугольников. Все планиметрические следствия упомянутых теорем вместе с их доказательствами остаются справедливыми на сфере. Так, множество точек, равноудаленных от концов отрезка, будет и на сфере перпендикулярной к нему прямой, проходящей через его середину, откуда следует, что серединные перпендикуляры к сторонам сферического треугольника AВС имеют общую точку, точнее, две диаметрально противоположные общие точки Р и Р `, являющиеся полюсами его единственной описанной окружности (рис. 8). В стереометрии это означает, что около любого трёхгранного угла можно описать конус. Легко перенести на сферу и теорему о том, что биссектрисы треугольника пересекаются в центре его вписанной окружности.

Теоремы о пересечении высот и медиан также остаются верными, но их обычные доказательства в планиметрии прямо или косвенно используют параллельность, которой, на сфере нет, и потому проще доказать их заново, на языке стереометрии. Рис. 9 иллюстрирует доказательство сферической теоремы о медианах: плоскости, содержащие медианы сферического треугольника АВС , пересекают плоский треугольник с теми же вершинами по его обычным медианам, следовательно, все они содержат радиус сферы, проходящий черезточку пересечения плоских медиан. Конец радиуса и будет общей точкой трех «сферических» медиан.

Свойства сферических треугольников во многом отличаются от свойств треугольников на плоскости. Так, к известным трем случаям равенства прямолинейных треугольников добавляется еще и четвертый: два треугольника АВС и А`В`С ` равны, если равны соответственно три угла РА = РА `, РВ = РВ `, РС = РС `. Таким образом, на сфере не существует подобных треугольников, более того, в сферической геометрии нет самого понятия подобия, т.к. не существует преобразований, изменяющих все расстояния в одинаковое (не равное 1) число раз. Эти особенности связаны с нарушением евклидовой аксиомы о параллельных прямых и также присущи геометрии Лобачевского. Треугольники, имеющие равные элементы и различную ориентацию, называются симметричными, таковы, например, треугольники АС `С и ВСС ` (рис. 10).

Сумма углов всякого сферического треугольника всегда больше 180°. Разность РА +РВ +РС – p = d (измеряемая в радианах) – величина положительная и называется сферическим избытком данного сферического треугольника. Площадь сферического треугольника: S = R 2 d где R – радиус сферы, а d – сферический избыток. Эта формула впервые была опубликована голландцем А.Жираром в 1629 и названа его именем.

Если рассматривать двуугольник с углом a, то при 226 = 2p/n (n – целое число) сферу можно разрезать ровно на п копий такого двуугольника, а площадь сферы равна 4пR 2 = 4p при R = 1, поэтому площадь двуугольника равна 4p/n = 2a. Эта формула верна и при a = 2pт/п и, следовательно, верна для всех a. Если продолжить стороны сферического треугольника АВС и выразить площадь сферы через площади образующихся при этом двуугольников с углами А , В , С и его собственную площадь, то можно прийти к вышеприведенной формуле Жирара.

Координаты на сфере.

Каждая точка на сфере вполне определяется заданием двух чисел; эти числа (координаты ) определяются следующим образом (рис. 11). Фиксируется некоторый большой круг QQ ` (экватор ), одна из двух точек пересечения диаметра сферы PP `, перпендикулярного к плоскости экватора, с поверхностью сферы, например Р (полюс ), и один из больших полукругов PAP `, выходящих из полюса (первый меридиан ). Большие полукруги, выходящие из P , называются меридианами, малые круги, параллельные экватору, такие, как LL `, – параллелями. В качестве одной из координат точки M на сфере принимается угол q = POM (высота точки ), в качестве второй – угол j = AON между первым меридианом и меридианом, проходящим через точку M (долгота точки, отсчитываемая против часовой стрелки).

В географии (на глобусе) в качестве первого меридиана принято использовать Гринвичский меридиан, проходящий через главный зал Гринвичской обсерватории (Гринвич – городской округ Лондона), он разделяет Землю на Восточное и Западное полушария, соответственно и долгота бывает восточной либо западной и измеряется от 0 до 180° в обе стороны от Гринвича. А вместо высоты точки в географии принято использовать широту , т.е. угол NOM = 90° – q, отсчитываемый от экватора. Т.к. экватор делит Землю на Северное и Южное полушария, то и широта бывает северной либо южной и изменяется от 0 до 90°.

Марина Федосова

Итоговая работа по МАТЕМАТИКЕ
10 класс
28 апреля 2017 года
Вариант МА00602
(базовый уровень)
Выполнена: ФИО_______________________________________ класс ______
Инструкция по выполнению работы
На выполнение итоговой работы по математике даётся 90 минут. Работа
включает в себя 15 заданий и состоит из двух частей.
Ответом в заданиях первой части (1-10) является целое число,
десятичная дробь или последовательность цифр. Запишите ответ в поле
ответа в тексте работы.
В задании 11 второй части требуется записать ответ в специально
отведённом для этого поле.
В заданиях 12-14 второй части требуется записать решение и ответ
в специально отведённом для этого поле. Ответом к заданию 15 является
график функции.
Каждое из заданий 5 и 11 представлено в двух вариантах, из которых
надо выбрать и выполнить только один.
При выполнении работы нельзя пользоваться учебниками, рабочими
тетрадями, справочниками, калькулятором.
При необходимости можно пользоваться черновиком. Записи в черновике проверяться и оцениваться не будут.
Выполнять задания можно в любом порядке, главное — правильно
решить как можно больше заданий. Советуем Вам для экономии времени
пропускать задание, которое не удается выполнить сразу, и переходить
к следующему. Если после выполнения всей работы у Вас останется время,
можно будет вернуться к пропущенным заданиям.
Желаем успеха!

Часть 1
В заданиях 110 дайте ответ в виде целого числа, десятичной дроби или
последовательности цифр. Запишите ответ в поле ответа в тексте
работы.
1

Цена на электрический чайник была повышена на 10 % и составила
1980 рублей. Сколько рублей стоил чайник до повышения цены?

Олег и Толя одновременно вышли из школы и пошли домой одной и той же
дорогой. Живут мальчики в одном доме. На рисунке изображён график
движения каждого: Олега — сплошной линией, Толи — пунктирной. По
вертикальной оси отложено расстояние (в метрах), по горизонтальной оси —
время движения каждого в минутах.

Пользуясь графиком, выберите верные утверждения.
1)
2)
3)

Олег пришёл домой раньше Толи.
Через три минуты после выхода из школы Олег догнал Толю.
На протяжении всего пути расстояние между мальчиками было менее
100 метров.
4) За первые шесть минут мальчики прошли одинаковое расстояние.

Ответ: ___________________________

Найдите значение выражения

π
π
 2 sin 2 .
8
8

Ответ: ___________________________
СтатГрад 2016−2017 учебный год. Публикация в Интернете или печатных изданиях
без письменного согласия СтатГрад запрещена

Математика. 10 класс. Вариант 00602 (базовый уровень)

На единичной окружности отмечены две
диаметрально противоположные точки Pα и
Pβ , соответствующие поворотам на углы α и
β (см. рисунок).
Можно ли утверждать, что:
1) α  β  0
2) cosα  cosβ
3) α  β  2π
4) sin α  sin β  0

В ответе укажите номера верных утверждений без пробелов, запятых и
других дополнительных символов.
Ответ: ___________________________
Выберите и выполните только ОДНО из заданий 5.1 или 5.2.
5.1

На рисунке изображён график
функции y  f (x) , определённой на интервале   3;11 .
Найдите наименьшее значение
функции на отрезке  1; 5 .

Ответ: ___________________________
5.2

Решите уравнение log 2 4 x5  6.

Ответ: ___________________________

СтатГрад 2016−2017 учебный год. Публикация в Интернете или печатных изданиях
без письменного согласия СтатГрад запрещена

Математика. 10 класс. Вариант 00602 (базовый уровень)

Плоскость, проходящая через точки А, В и С (см.
рисунок), разбивает куб на два многогранника. Один из
них имеет четыре грани. Сколько граней имеет второй?

Ответ: ___________________________
7

Выберите номера верных утверждений.
1)
2)
3)
4)

В пространстве через точку, не лежащую на данной прямой, можно
провести плоскость, не пересекающую данную прямую, и притом только
одну.
Наклонная, проведённая к плоскости, образует один и тот же угол со
всеми прямыми, лежащими в этой плоскости.
Через любые две пересекающиеся прямые можно провести плоскость.
Через точку в пространстве, не лежащую на данной прямой, можно
провести две прямые, не пересекающие данную прямую.

В ответе укажите номера верных утверждений без пробелов, запятых и
других дополнительных символов.
Ответ: ___________________________
8

На птицеферме есть только куры и утки, причём кур в 7 раз больше, чем
уток. Найдите вероятность того, что случайно выбранная на этой ферме
птица окажется уткой.
Ответ: ___________________________

Крыша навеса расположена под углом 14
к горизонтали. Расстояние между двумя опорами
составляет 400 сантиметров. Пользуясь таблицей,
определите, на сколько сантиметров одна опора
длиннее другой.
α
13
14
15
16
17
18
19

Sin α
0,225
0,241
0,258
0,275
0,292
0,309
0,325

Cos α
0,974
0,970
0,965
0,961
0,956
0,951
0,945

Tg α
0,230
0,249
0,267
0,286
0,305
0,324
0,344

Математика. 10 класс. Вариант 00602 (базовый уровень)

Найдите наименьшее натуральное семизначное число, которое делится на 3,
но не делится на 6 и каждая цифра которого начиная со второй меньше
предыдущей.
Ответ: ___________________________
Часть 2
В задании 11 запишите ответ в отведённом для этого поле. В заданиях
12-14 требуется записать решение и ответ в специально отведённом
для этого поле. Ответом к заданию 15 является график функции.
Выберите и выполните только ОДНО из заданий: 11.1 или 11.2.

2
. Запишите три различных возможных значения
2
таких углов. Ответ дайте в радианах.

Найдите наименьшее натуральное число, которое больше чем log 7 80 .

Косинус угла равен 

Математика. 10 класс. Вариант 00602 (базовый уровень)

В треугольнике АВС на сторонах АВ и ВС отмечены
точки М и К соответственно так, что BM: AB  1: 2 , а
BK: BC  2: 3 . Во сколько раз площадь треугольника АВС
больше площади треугольника МВК?

Подберите какую-нибудь пару чисел a и b так, чтобы неравенству ax  b  0
удовлетворяли ровно три из отмеченных на рисунке пяти точек.
-1

Математика. 10 класс. Вариант 00602 (базовый уровень)

Цена утюга была дважды повышена на одно и то же число процентов. На
сколько процентов повышалась цена утюга каждый раз, если его
первоначальная стоимость 2000 рублей, а окончательная 3380 рублей?

Математика. 10 класс. Вариант 00602 (базовый уровень)

Функция y  f (x) обладает следующими свойствами:
1) f (x)  3 x  4 при 2  x  1 ;
2) f (x)  x  2 при 1  x  0 ;
3) f (x)  2  2 x при 0  x  2 ;
4) функция y  f (x) периодична с периодом 4.
Изобразите график этой функции на отрезке  6;4 .
y