Производная приращение функции. Производная функции
по медицинской и биологической физике
ЛЕКЦИЯ №1
ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ.
ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ.
1. Понятие производной, ее механический и геометрический смысл.
а) Приращение аргумента и функции.
Пусть дана функция y=f(х), где х– значение аргумента из области определения функции. Если выбрать два значения аргумента х о и х из определенного интервала области определения функции, то разность между двумя значениями аргумента называется приращением аргумента: х - х о =∆х.
Значение аргумента x можно определить через x 0 и его приращение: х = х о + ∆х.
Разность между двумя значениями функции называется приращением функции: ∆y =∆f = f(х о +∆х) – f(х о).
Приращение аргументаи функции можно представить графически (рис.1). Приращение аргумента и приращение функции может быть как положительным, так и отрицательным. Как следует из рис.1 геометрически приращение аргумента ∆х изображается приращением абсциссы, а приращение функции ∆у – приращением ординаты. Вычисление приращения функции следует проводить в следующем порядке:
даем аргументу приращение ∆х и получаем значение – x+Δx;
2) находим значение функции для значения аргумента (х+∆х) – f(х+∆х);
3) находим приращение функции ∆f=f(х + ∆х) - f(х).
Пример: Определить приращение функции y=х 2 , если аргумент изменился от х о =1 до х=3. Для точки х о значение функции f(х о)=х² о; для точки (х о +∆х) значение функции f(х о +∆х) = (х о +∆х) 2 = х² о +2х о ∆х+∆х 2 , откуда ∆f = f(х о +∆х)–f(х о) = (х о +∆х) 2 –х² о = х² о +2х о ∆х+∆х 2 –х² о = 2х о ∆х+∆х 2 ; ∆f = 2х о ∆х+∆х 2 ; ∆х = 3–1 = 2; ∆f =2·1·2+4 = 8.
б) Задачи, приводящие к понятию производной. Определение производной, ее физический смысл.
Понятие приращения аргумента и функции необходимы для введения понятия производной, которое исторически возникло исходя из необходимости определения скорости тех или иных процессов.
Рассмотрим, каким образом можно определить скорость прямолинейного движения. Пусть тело движется прямолинейно по закону: ∆Ѕ= ·∆t. Дляравномерного движения:= ∆Ѕ/∆t.
Для переменного движения значение ∆Ѕ/∆tопределяет значение ср. , т.е. ср. =∆Ѕ/∆t.Но средняя скорость не дает возможности отразить особенности движения тела и дать представление об истинной скорости в момент времени t. При уменьшении промежутка времени, т.е. при ∆t→0 средняя скоростьстремится к своему пределу – мгновенной скорости:
мгн. =
ср. =
∆Ѕ/∆t.
Таким же образом определяется и мгновенная скорость химической реакции:
мгн. =
ср. =
∆х/∆t,
где х – количество вещества, образовавшееся при химической реакции за время t. Подобные задачи по определению скорости различных процессов привели к введению в математике понятия производной функции.
Пусть
дана непрерывная функция f(х),определенная
на интервале ]а,в[иее приращение
∆f=f(х+∆х)–f(х).Отношение
является функцией ∆х и выражает среднюю
скорость изменения функции.
Предел
отношения
,
когда ∆х→0,при условии, что этот
предел существует, называется производной
функции:
y" x =
.
Производная обозначается:
– (игрек штрих по икс);f"
(х)
– (эф штрих по икс);
y"
– (игрек штрих); dy/dх –
(дэ игрек по
дэ икс);
-
(игрек с точкой).
Исходя из определения производной, можно сказать, что мгновенная скорость прямолинейного движения есть производная от пути по времени:
мгн. = S" t = f" (t).
Таким образом, можно сделать вывод, что производная функции по аргументу х есть мгновенная скорость изменения функции f(х):
у" x =f" (х)= мгн.
В этом и заключается физический смысл производной. Процесс нахождения производной называется дифференцированием, поэтому выражение «продифференцировать функцию» равносильно выражению «найти производную функции».
в) Геометрический смысл производной.
П
роизводная
функции у = f(х)имеет простой
геометрический смысл, связанный с
понятием касательной к кривой линии в
некоторой точкеM. При
этом, касательную, т.е. прямую линию
аналитически выражают в виде у = кх = tg· х, где
–
угол наклона касательной (прямой)
к оси Х. Представим непрерывную кривую
как функцию у= f(х), возьмем на кривой
точкуMи близкую к ней
точку М 1 и приведем через них
секущую. Ее угловой коэффициент к сек =tg
β =
.Если приближать точку М 1 к M, то
приращение аргумента ∆х
будет
стремиться к нулю, а секущая при β=α
займет положение касательной. Из рис.2
следует:tgα =
tgβ
=
=у" x .
Но tgαравен угловому коэффициенту
касательной к графику функции:
к = tgα =
=у" x
= f"
(х). Итак, угловой коэффициент
касательной к графику функции в данной
точке равен значению ее производной в
точке касания. В этом и состоит
геометрический смысл производной.
г) Общее правило нахождения производной.
Исходя из определения производной, процесс дифференцирования функции можно представить следующим образом:
f(х+∆х) = f(х)+∆f;
находят приращение функции: ∆f= f(х + ∆х) - f(х);
составляют отношение приращения функции к приращению аргумента:
;
Пример: f(х)=х 2 ; f" (х)=?.
Однако, как видно даже из этого простого примера, применение указанной последовательности при взятии производных – процесс трудоемкий и сложный. Поэтому для различных функций вводятся общие формулы дифференцирования, которые представлены в виде таблицы «Основных формул дифференцирования функций».
Пусть х – аргумент (независимая переменная); y=y(x) – функция.
Возьмем фиксированное значение аргументах=х 0 и вычислим значение функции y 0 =y(x 0 ) . Теперь произвольным образом зададим приращение (изменение) аргумента и обозначим его х ( х может быть любого знака).
Аргумент с приращением – это точка х 0 + х . Допустим, в ней также существует значение функции y=y(x 0 + х) (см. рисунок).
Таким образом, при произвольном изменении значения аргумента получено изменение функции, которое называется приращением значения функции:
и
не является произвольным, а зависит от
вида функции и величины
.
Приращения аргумента и функции могут быть конечными , т.е. выражаться постоянными числами, в этом случае их иногда называют конечными разностями.
В экономике конечные приращения рассматриваются весьма часто. Например, в таблице приведены данные о длине железнодорожной сети некоторого государства. Очевидно, приращение длины сети вычисляется путем вычитания предыдущего значения из последующего.
Будем рассматривать длину ж/д сети как функцию, аргументом которой будет время (годы).
|
Длина ж/д на 31.12, тыс.км. |
Приращение |
Среднегодовой прирост |
|
Само по себе приращение функции (в данном случае длины ж/д) сети) плохо характеризует изменение функции. В нашем примере из того, что 2,5>0,9 нельзя заключить, что сеть росла быстрее в 2000-2003 годах, чем в 2004 г., потому что приращение 2,5 относится к трехлетнему периоду, а 0,9 – всего к одному году. Поэтому вполне естественно, что приращение функции приводят к единице изменения аргумента. Приращение аргумента здесь – периоды: 1996-1993=3; 2000-1996=4; 2003-2000=3; 2004-2003=1 .
Получим то, что в экономической литературе называют среднегодовым приростом .
Можно избежать операции приведения приращения к единице изменения аргумента, если взять значения функции для значений аргумента, отличающихся на единицу, что не всегда возможно.
В математическом анализе, в частности, в дифференциальном исчислении, рассматривают бесконечно малые (БМ) приращения аргумента и функции.
Дифференцирование функции одной переменной (производная и дифференциал) Производная функции
Приращения аргумента и функции в точке х 0 можно рассматривать как сравнимые бесконечно малые величины (см. тему 4, сравнение БМ), т.е. БМ одного порядка.
Тогда их отношение будет иметь конечный предел, который определяется как производная функции в т х 0 .
Предел отношения приращения функции к БМ приращению аргумента в точке х=х 0 называется производной функции в данной точке.
Символическое
обозначение производной штрихом (а,
вернее, римской цифрой I) введено Ньютоном.
Можно использовать еще нижний индекс,
который показывает, по какой переменной
вычисляется производная, например,
.
Широко используется также другое
обозначение, предложенное основоположником
исчисления производных, немецким
математиком Лейбницем:
.
С происхождением этого обозначения вы
подробнее познакомитесь в разделеДифференциал функции и дифференциал
аргумента.
Данное
число оценивает скорость
изменения функции, проходящей через
точку
.
Установим
геометрический
смысл
производной функции в точке. С этой
целью построим график функции y=y(x)
и отметим на нем точки, определяющие
изменение y(x)
в промежутке
Касательной к
графику функции в точке М
0
будем считать предельное положение
секущейМ
0
М
при условии
(точкаМ
скользит по графику функции
к точкеМ
0
).
Рассмотрим
.
Очевидно,
.
Если
точку М
устремить вдоль графика функции по
направлению к точке М
0
,
то значение
будет стремиться к некоторому пределу,
который обозначим
.
При этом.
Предельный
угол
совпадает с углом наклона касательной,
проведенной к графику функции в т. М
0
,
поэтому производная
численно равнаугловому
коэффициенту касательной
в указанной точке.
-
геометрический смысл производной функции в точке .
Таким образом, можно записать уравнения касательной и нормали (нормаль – это прямая, перпендикулярная касательной) к графику функции в некоторой точке х 0 :
Касательная - .
Нормаль
- 
.
Представляют интерес случаи, когда эти прямые расположены горизонтально или вертикально (см. тему 3, частные случаи положения прямой на плоскости). Тогда,
если
;
если
.
Определение производной называется дифференцированием функции.
Если функция в точке х 0 имеет конечную производную, то она называется дифференцируемой в этой точке. Функция, дифференцируемая во всех точках некоторого интервала, называется дифференцируемой на этом интервале.
Теорема . Если функция y=y(x) дифференцируема в т. х 0 , то она в этой точке непрерывна.
Таким образом, непрерывность – необходимое (но не достаточное) условие дифференцируемости функции.
Определение 1
Если для каждой пары $(x,y)$ значений двух независимых переменных из некоторой области ставится в соответствие определенное значение $z$, то говорят, что $z$ является функцией двух переменных $(x,y)$. Обозначение: $z=f(x,y)$.
В отношении функции $z=f(x,y)$ рассмотрим понятия общего (полного) и частного приращений функции.
Пусть дана функция $z=f(x,y)$двух независимых переменных $(x,y)$.
Замечание 1
Так как переменные $(x,y)$ являются независимыми, то одна из них может изменяться, а другая при этом сохранять постоянное значение.
Дадим переменной $x$ приращение $\Delta x$, при этом сохраним значение переменной $y$ неизменным.
Тогда функция $z=f(x,y)$ получит приращение, которое будет называться частным приращением функции $z=f(x,y)$ по переменной $x$. Обозначение:
Аналогично дадим переменной $y$ приращение $\Delta y$, при этом сохраним значение переменной $x$ неизменным.
Тогда функция $z=f(x,y)$ получит приращение, которое будет называться частным приращением функции $z=f(x,y)$ по переменной $y$. Обозначение:
Если же аргументу $x$ дать приращение $\Delta x$, а аргументу $y$ - приращение $\Delta y$, то получается полное приращение заданной функции $z=f(x,y)$. Обозначение:
Таким образом, имеем:
$\Delta _{x} z=f(x+\Delta x,y)-f(x,y)$ - частное приращение функции $z=f(x,y)$ по $x$;
$\Delta _{y} z=f(x,y+\Delta y)-f(x,y)$ - частное приращение функции $z=f(x,y)$ по $y$;
$\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)$ - полное приращение функции $z=f(x,y)$.
Пример 1
Решение:
$\Delta _{x} z=x+\Delta x+y$ - частное приращение функции $z=f(x,y)$ по $x$;
$\Delta _{y} z=x+y+\Delta y$ - частное приращение функции $z=f(x,y)$ по $y$.
$\Delta z=x+\Delta x+y+\Delta y$ - полное приращение функции $z=f(x,y)$.
Пример 2
Вычислить частные и полное приращение функции $z=xy$ в точке $(1;2)$ при $\Delta x=0,1;\, \, \Delta y=0,1$.
Решение:
По определению частного приращения найдем:
$\Delta _{x} z=(x+\Delta x)\cdot y$ - частное приращение функции $z=f(x,y)$ по $x$
$\Delta _{y} z=x\cdot (y+\Delta y)$ - частное приращение функции $z=f(x,y)$ по $y$;
По определению полного приращения найдем:
$\Delta z=(x+\Delta x)\cdot (y+\Delta y)$ - полное приращение функции $z=f(x,y)$.
Следовательно,
\[\Delta _{x} z=(1+0,1)\cdot 2=2,2\] \[\Delta _{y} z=1\cdot (2+0,1)=2,1\] \[\Delta z=(1+0,1)\cdot (2+0,1)=1,1\cdot 2,1=2,31.\]
Замечание 2
Полное приращение заданной функции $z=f(x,y)$ не равно сумме ее частных приращений $\Delta _{x} z$ и $\Delta _{y} z$. Математическая запись: $\Delta z\ne \Delta _{x} z+\Delta _{y} z$.
Пример 3
Проверить утверждение замечания для функции
Решение:
$\Delta _{x} z=x+\Delta x+y$; $\Delta _{y} z=x+y+\Delta y$; $\Delta z=x+\Delta x+y+\Delta y$ (получены в примере 1)
Найдем сумму частных приращений заданной функции $z=f(x,y)$
\[\Delta _{x} z+\Delta _{y} z=x+\Delta x+y+(x+y+\Delta y)=2\cdot (x+y)+\Delta x+\Delta y.\]
\[\Delta _{x} z+\Delta _{y} z\ne \Delta z.\]
Определение 2
Если для каждой тройки $(x,y,z)$ значений трех независимых переменных из некоторой области ставится в соответствие определенное значение $w$, то говорят, что $w$ является функцией трех переменных $(x,y,z)$ в данной области.
Обозначение: $w=f(x,y,z)$.
Определение 3
Если для каждой совокупности $(x,y,z,...,t)$ значений независимых переменных из некоторой области ставится в соответствие определенное значение $w$, то говорят, что $w$ является функцией переменных $(x,y,z,...,t)$ в данной области.
Обозначение: $w=f(x,y,z,...,t)$.
Для функции от трех и более переменных, аналогично как для функции двух переменных определяются частные приращения по каждой из переменных:
$\Delta _{z} w=f(x,y,z+\Delta z)-f(x,y,z)$ - частное приращение функции $w=f(x,y,z,...,t)$ по $z$;
$\Delta _{t} w=f(x,y,z,...,t+\Delta t)-f(x,y,z,...,t)$ - частное приращение функции $w=f(x,y,z,...,t)$ по $t$.
Пример 4
Записать частные и полное приращение функции
Решение:
По определению частного приращения найдем:
$\Delta _{x} w=((x+\Delta x)+y)\cdot z$ - частное приращение функции $w=f(x,y,z)$ по $x$
$\Delta _{y} w=(x+(y+\Delta y))\cdot z$ - частное приращение функции $w=f(x,y,z)$ по $y$;
$\Delta _{z} w=(x+y)\cdot (z+\Delta z)$ - частное приращение функции $w=f(x,y,z)$ по $z$;
По определению полного приращения найдем:
$\Delta w=((x+\Delta x)+(y+\Delta y))\cdot (z+\Delta z)$ - полное приращение функции $w=f(x,y,z)$.
Пример 5
Вычислить частные и полное приращение функции $w=xyz$ в точке $(1;2;1)$ при $\Delta x=0,1;\, \, \Delta y=0,1;\, \, \Delta z=0,1$.
Решение:
По определению частного приращения найдем:
$\Delta _{x} w=(x+\Delta x)\cdot y\cdot z$ - частное приращение функции $w=f(x,y,z)$ по $x$
$\Delta _{y} w=x\cdot (y+\Delta y)\cdot z$ - частное приращение функции $w=f(x,y,z)$ по $y$;
$\Delta _{z} w=x\cdot y\cdot (z+\Delta z)$ - частное приращение функции $w=f(x,y,z)$ по $z$;
По определению полного приращения найдем:
$\Delta w=(x+\Delta x)\cdot (y+\Delta y)\cdot (z+\Delta z)$ - полное приращение функции $w=f(x,y,z)$.
Следовательно,
\[\Delta _{x} w=(1+0,1)\cdot 2\cdot 1=2,2\] \[\Delta _{y} w=1\cdot (2+0,1)\cdot 1=2,1\] \[\Delta _{y} w=1\cdot 2\cdot (1+0,1)=2,2\] \[\Delta z=(1+0,1)\cdot (2+0,1)\cdot (1+0,1)=1,1\cdot 2,1\cdot 1,1=2,541.\]
С геометрической точки зрения полное приращение функции $z=f(x,y)$ (по определению $\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)$) равно приращению аппликаты графика функции $z=f(x,y)$ при переходе от точки $M(x,y)$ к точке $M_{1} (x+\Delta x,y+\Delta y)$ (рис. 1).
Рисунок 1.
Определение 1
Если для каждой пары $(x,y)$ значений двух независимых переменных из некоторой области ставится в соответствие определенное значение $z$, то говорят, что $z$ является функцией двух переменных $(x,y)$. Обозначение: $z=f(x,y)$.
В отношении функции $z=f(x,y)$ рассмотрим понятия общего (полного) и частного приращений функции.
Пусть дана функция $z=f(x,y)$двух независимых переменных $(x,y)$.
Замечание 1
Так как переменные $(x,y)$ являются независимыми, то одна из них может изменяться, а другая при этом сохранять постоянное значение.
Дадим переменной $x$ приращение $\Delta x$, при этом сохраним значение переменной $y$ неизменным.
Тогда функция $z=f(x,y)$ получит приращение, которое будет называться частным приращением функции $z=f(x,y)$ по переменной $x$. Обозначение:
Аналогично дадим переменной $y$ приращение $\Delta y$, при этом сохраним значение переменной $x$ неизменным.
Тогда функция $z=f(x,y)$ получит приращение, которое будет называться частным приращением функции $z=f(x,y)$ по переменной $y$. Обозначение:
Если же аргументу $x$ дать приращение $\Delta x$, а аргументу $y$ - приращение $\Delta y$, то получается полное приращение заданной функции $z=f(x,y)$. Обозначение:
Таким образом, имеем:
$\Delta _{x} z=f(x+\Delta x,y)-f(x,y)$ - частное приращение функции $z=f(x,y)$ по $x$;
$\Delta _{y} z=f(x,y+\Delta y)-f(x,y)$ - частное приращение функции $z=f(x,y)$ по $y$;
$\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)$ - полное приращение функции $z=f(x,y)$.
Пример 1
Решение:
$\Delta _{x} z=x+\Delta x+y$ - частное приращение функции $z=f(x,y)$ по $x$;
$\Delta _{y} z=x+y+\Delta y$ - частное приращение функции $z=f(x,y)$ по $y$.
$\Delta z=x+\Delta x+y+\Delta y$ - полное приращение функции $z=f(x,y)$.
Пример 2
Вычислить частные и полное приращение функции $z=xy$ в точке $(1;2)$ при $\Delta x=0,1;\, \, \Delta y=0,1$.
Решение:
По определению частного приращения найдем:
$\Delta _{x} z=(x+\Delta x)\cdot y$ - частное приращение функции $z=f(x,y)$ по $x$
$\Delta _{y} z=x\cdot (y+\Delta y)$ - частное приращение функции $z=f(x,y)$ по $y$;
По определению полного приращения найдем:
$\Delta z=(x+\Delta x)\cdot (y+\Delta y)$ - полное приращение функции $z=f(x,y)$.
Следовательно,
\[\Delta _{x} z=(1+0,1)\cdot 2=2,2\] \[\Delta _{y} z=1\cdot (2+0,1)=2,1\] \[\Delta z=(1+0,1)\cdot (2+0,1)=1,1\cdot 2,1=2,31.\]
Замечание 2
Полное приращение заданной функции $z=f(x,y)$ не равно сумме ее частных приращений $\Delta _{x} z$ и $\Delta _{y} z$. Математическая запись: $\Delta z\ne \Delta _{x} z+\Delta _{y} z$.
Пример 3
Проверить утверждение замечания для функции
Решение:
$\Delta _{x} z=x+\Delta x+y$; $\Delta _{y} z=x+y+\Delta y$; $\Delta z=x+\Delta x+y+\Delta y$ (получены в примере 1)
Найдем сумму частных приращений заданной функции $z=f(x,y)$
\[\Delta _{x} z+\Delta _{y} z=x+\Delta x+y+(x+y+\Delta y)=2\cdot (x+y)+\Delta x+\Delta y.\]
\[\Delta _{x} z+\Delta _{y} z\ne \Delta z.\]
Определение 2
Если для каждой тройки $(x,y,z)$ значений трех независимых переменных из некоторой области ставится в соответствие определенное значение $w$, то говорят, что $w$ является функцией трех переменных $(x,y,z)$ в данной области.
Обозначение: $w=f(x,y,z)$.
Определение 3
Если для каждой совокупности $(x,y,z,...,t)$ значений независимых переменных из некоторой области ставится в соответствие определенное значение $w$, то говорят, что $w$ является функцией переменных $(x,y,z,...,t)$ в данной области.
Обозначение: $w=f(x,y,z,...,t)$.
Для функции от трех и более переменных, аналогично как для функции двух переменных определяются частные приращения по каждой из переменных:
$\Delta _{z} w=f(x,y,z+\Delta z)-f(x,y,z)$ - частное приращение функции $w=f(x,y,z,...,t)$ по $z$;
$\Delta _{t} w=f(x,y,z,...,t+\Delta t)-f(x,y,z,...,t)$ - частное приращение функции $w=f(x,y,z,...,t)$ по $t$.
Пример 4
Записать частные и полное приращение функции
Решение:
По определению частного приращения найдем:
$\Delta _{x} w=((x+\Delta x)+y)\cdot z$ - частное приращение функции $w=f(x,y,z)$ по $x$
$\Delta _{y} w=(x+(y+\Delta y))\cdot z$ - частное приращение функции $w=f(x,y,z)$ по $y$;
$\Delta _{z} w=(x+y)\cdot (z+\Delta z)$ - частное приращение функции $w=f(x,y,z)$ по $z$;
По определению полного приращения найдем:
$\Delta w=((x+\Delta x)+(y+\Delta y))\cdot (z+\Delta z)$ - полное приращение функции $w=f(x,y,z)$.
Пример 5
Вычислить частные и полное приращение функции $w=xyz$ в точке $(1;2;1)$ при $\Delta x=0,1;\, \, \Delta y=0,1;\, \, \Delta z=0,1$.
Решение:
По определению частного приращения найдем:
$\Delta _{x} w=(x+\Delta x)\cdot y\cdot z$ - частное приращение функции $w=f(x,y,z)$ по $x$
$\Delta _{y} w=x\cdot (y+\Delta y)\cdot z$ - частное приращение функции $w=f(x,y,z)$ по $y$;
$\Delta _{z} w=x\cdot y\cdot (z+\Delta z)$ - частное приращение функции $w=f(x,y,z)$ по $z$;
По определению полного приращения найдем:
$\Delta w=(x+\Delta x)\cdot (y+\Delta y)\cdot (z+\Delta z)$ - полное приращение функции $w=f(x,y,z)$.
Следовательно,
\[\Delta _{x} w=(1+0,1)\cdot 2\cdot 1=2,2\] \[\Delta _{y} w=1\cdot (2+0,1)\cdot 1=2,1\] \[\Delta _{y} w=1\cdot 2\cdot (1+0,1)=2,2\] \[\Delta z=(1+0,1)\cdot (2+0,1)\cdot (1+0,1)=1,1\cdot 2,1\cdot 1,1=2,541.\]
С геометрической точки зрения полное приращение функции $z=f(x,y)$ (по определению $\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)$) равно приращению аппликаты графика функции $z=f(x,y)$ при переходе от точки $M(x,y)$ к точке $M_{1} (x+\Delta x,y+\Delta y)$ (рис. 1).
Рисунок 1.
