Преобразование дробей содержащих квадратные корни. Использование свойств корней при преобразовании иррациональных выражений, примеры, решения

Добрый день!

Всех гостей приветствуют учитель I категории

Гирина Ирина Валерьевна

и обучающиеся 8 класса

ОУ «Луговская школа»!

Философия Фалеса Милетского

Что легко?

Что трудно?

Кто счастлив?

Давать советы другим

Познать самого себя

Тот, кто здоров телом, одарен спокойствием духа и развивает свои дарования

Упростите выражения:

Сравните выражения:

15.02.17. Классная работа

Тождественные преобразования выражений, содержащих

квадратные корни.

Цель: изучение…

способов тождественных преобразований выражений, содержащих квадратные корни

1. Определить способы;

2. Сформулировать правила;

3. Составить алгоритм;

4. Научиться применять алгоритм для преобразования выражений, содержащих квадратные корни

Тождественные преобразования выражений, содержащих квадратные корни

Вынесение множителя из-под знака корня

Внесение множителя под знак корня

Вынесение множителя из-под знака корня

Внесение множителя под знак корня

Для вынесения множителя из-под знака корня, надо подкоренное выражение разложить на множители так, чтобы один из них являлся полным квадратом

Для внесения множителя под знак корня, надо множитель возвести в квадрат; произведение квадрата множителя и подкоренного выражения записать под знак корня

3. Применить данный способ для выполнения задания.

Выводы: изучили…

способы тождественных преобразований выражений, содержащих квадратные корни

Для этого мы решили следующие задачи:

1. Определили способы;

2. Сформулировали правило;

3. Составили алгоритм;

4. Научились применять алгоритм для тождественных преобразований выражений, содержащих квадратные корни

Рефлексия

Результатом нашего урока

будет то, что мы

правила внесения множителя под знак корня и вынесения множителя из-под знака корня

ПРИМЕНЯТЬ правила внесения множителя под знак корня и вынесения множителя из-под знака корня

Выполните тест

«Диагностика уровня математических способностей»

Итог урока и домашнее задание

Закрепить знание правил.

По № 524 - № 528 составить тест

из 10 вопросов с 4 вариантами ответов.

Урок алгебры в 8 классе

Тема : Обобщающий урок.

Преобразование выражений, содержащих квадратные корни

Учитель математики : Байтурова А.Р. ш кола-гимназия №31, г.Астана

2012-2013 учебный год

Цель: повторение понятия квадратного корня, его свойств; развитие умения упрощать выражения, вычислять квадратные корни.

Задачи:

закрепить ранее приобретенные знания, умения и навыки учащихся по изучаемой теме;

закрепить навыки преобразования выражений, содержащие квадратные корни;

способствовать формированию самостоятельного выбора способа решения.

Тип урока: Совершенствование ЗУН учащихся

Методы работы:

Деятельный (процесс познания идет от учеников),

Наглядно – демонстративный,

Частично – поисковый (учим детей наблюдать, анализировать, сравнивать, делать выводы и обобщения под руководством учителя),

Практический

Формы работы : общеклассная, индивидуальная..

Оборудование: интерактивная доска, слайды в PowerPoint., оценочные листы, карточки с тестом, карточки с домашним заданием.

Инновационные технологии:

Компьютерного обучения,

Деятельностного подхода в обучении (познание идет от ученика),

Словесно – продуктивной (на этапе рефлексия),

Личностно – ориентированного обучения (каждый ребенок сможет ответить).

Ход урока.

I. Организационный момент

- Hello , sit down (Здравствуйте, садитесь). Look at the topic of our lesson and tell that it would mean (Посмотритенатемунашегоурокаискажи, чтобыэтозначило).

Правильно, сегодня на уроке мы будем повторять правила преобразования выражений, содержащих квадратные корни, преобразование корней из произведения, дроби и степени, умножение и деление корней, вынесение множителя за знак корня, внесение множителя под знак корня, приведение подобных слагаемых и освобождение от иррациональности в знаменателе дроби. The estimated page will help to sum up a today"s lesson (Подвестиитогисегодняшнегоурокапоможетоценочныйлист).

Sign the sheets of paper and answer the first question "Mood at the beginning of a lesson", having chosen one of smilies.(Подпишитесвоилистыиответьтенапервыйвопрос « Настроениевначалеурока», выбраводинизсмайликов).

II. Сообщение темы урока

Topic of our lesson (Тема нашего урока) «Преобразование выражений, содержащих арифметические квадратные корни». (Слайд №1)

В математике есть нечто,

вызывающее человеческий восторг. Ф. Хаусдорф (Слайд №2)

III. Oral work (Устная работа)

1) Frontal poll (Фронтальный опрос). (Слайд №3)

1.Дайте определение арифметического квадратного корня. (Арифметическим квадратным корнем из числа а называется неотрицательное число, квадрат которого равен а).

2.Перечислите свойства арифметического квадратного корня. (Арифметический квадратный корень из произведения неотрицательных множителей равен произведению корней из этих множителей. Арифметический квадратный корень из дроби, числитель которой неотрицателен, а знаменатель положителен, равен корню из числителя, делённому на корень из знаменателя).

3.Чему равно значение арифметического квадратного корня из х 2 ? (|х|).

4.Чему равно значение арифметического квадратного корня из х 2 , если х≥0? х<0? (х. –х).

2) Oral account ( Устный счёт ) (Слайд №4)

Ну-ка в сторону карандаши!

Ни костяшек. Ни ручек. Ни мела.

"Устный счёт!" Мы творим это дело

Только силой ума и души.

Цифры сходятся где-то во тьме,

И глаза начинают светиться,

И кругом только умные лица.

Потому что считаем в уме!

(Слайд №5-8)

1. Вынесите множитель из-под знака корня: ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8)

2. Внесите множитель под знак корня: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8)

3. Square (Возведите в квадрат) : 2, 6, 7, 9, 11, 13,15, 18, 22, 25

4. Приведите подобные слагаемые:

IV. Работа по теме урока

1) Individual work (Индивидуальная работа) (Слайд №9)

The green correspond to tasks of a basic level, yellow – to tasks of the raised level, red – to tasks of high level. (Зеленые соответствуют заданиям базового уровня, желтые – заданиям повышенного уровня, красные – заданиям высокого уровня). Учащиеся выбирают задание на свое усмотрение. Трое учащихся, получив задание, решают его в тетрадях

уровень

Вынесите множитель из-под знака корня:
1)
2)
3)

Внесите множитель под знак корня:
1)
; 2)
; 3)
;

Сравните числа:
1) и ; 2) и ;

уровень

Упростите выражение:
1) ; 2) ; 3)

Найдите сумму:
1)
2)

1) ; 2)

3- уровень

Упростите выражение:
1) ; 2) .
Преобразуйте выражение:
1) ; 2) ;

Раскройте скобки и упростите выражение:
1) ;

2) ; 3) ;

2) Work with an interactive board (Работа с интерактивной доской). (Слайд №10-13)

Остальные обучающиеся решают следующие задания:

1. Найдите значение выражения:
1)
2)

3)

2. Преобразуйте выражение:
1)
; 2)
; 3)
.

3. Упростите выражение:
1)
; 2)
; 3)
.

4. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе:
1) ; 2)
; 3)
; 4)
.

VI. Historical information ( Историческая справка ) (Слайд 14-26)

Radix- имеет два значения: сторона и корень. Греческие математики вместо «извлечь корень» говорили «найти сторону квадрата по его данной величине (площади)»

Начиная с XIII века, итальянские и другие европейские математики обозначали корень латинским словом Radix или сокращенно R (отсюда произошёл термин «радикал»).

Немецкие математики XV в. для обозначения квадратного корня пользовались точкой ·5

Позднее вместо точки стали ставить ромбик 5

Затем Ú 5 . Затем знак Ú и черту стали соединять.

VI. Test ( Тест )

Английский философ Герберт Спенсер говорил: «Дороги не те знания, которые откладываются в мозгу, как жир, дороги те, которые превращаются в умственные мышцы». (Слайд №27)

At this stage of a lesson it is necessary to apply the knowledge to the solution of exercises during implementation of the test. (На этом этапе урока необходимо применить свои знания к решению упражнений в ходе выполнения теста).

VII. Mutual testing ( Взаимопроверка ) (Слайд №28)

Код правильных ответов: I вариант – 3124111, II вариант - 2131222

VIII. Homework (Домашнее задание). (Слайд №29)

Какое число меньше
или
?

B 2. Упростите выражение:
,

при
.

B 3. Выполнить действия:
.

Подробные и обоснованные решения заданий этой части напишите аккуратно и разборчиво на листе.

С 1. Сократите дробь:
.

С 2. Извлечь квадратный корень из выражения:
.

VIII. Итог урока

Заполните до конца оценочный лист. Marks for a lesson (Оценкизаурок).

Закончить урок я хочу стихотворением великого математика Софьи Ковалевской. (Слайд №30)

Если в жизни ты хоть на мгновенье

Истину в сердце своем ощутил,

Если луч света сквозь мрак и сомненье

Ярким сияньем твой путь озарил:

Что бы в решенье твоем неизменном

Рок ни назначил тебе впереди,

Память об этом мгновенье священном

Вечно храни, как святыню в груди.

Тучи сберутся громадой нестройной,

Небо покроется черною мглой,

С ясной решимостью, с верой спокойной

Бурю ты встреть и померься с грозой.

В этом стихотворении выражено стремление к знаниям, умение преодолевать все преграды, которые встречаются на пути.

The lesson is ended. Thanks for a lesson! (Урококончен. Спасибо за урок!) (Слайд №31)

Приложение

ЛИСТ-ОПРОСНИК

Ф.И. ученика____________________________

1. Настроение в начале урока: а) в)

2. Мое восприятие темы урока:

а) усвоил(а) все; б) усвоил(а) почти все; в) усвоил(а) частично, нуждаюсь в помощи.

3. Количество неправильных ответов теста: _________

4. Я работал(а) на уроке:

а) отлично; б) хорошо; в) удовлетворительно; г) неудовлетворительно.

5. Я оцениваю свою работу на ______ (поставьте оценку)

6. Я оцениваю урок на _____ (поставьте оценку)

7. Настроение в конце урока:

а) б) в)

Тест 1 вариант

A 1. Вычислите
.

1) 7; 2)
; 3) 5; 4)
.

А 2. Вычислите
.

1) 7; 2)
; 3)
; 4) 4.

Материал этой статьи стоит рассматривать как часть темы преобразование иррациональных выражений . Здесь мы на примерах разберем все тонкости и нюансы (которых немало), возникающие при проведении преобразований на базе свойств корней.

Навигация по странице.

Вспомним свойства корней

Коль скоро мы собрались разбираться с преобразованием выражений с использованием свойств корней, то не помешает вспомнить основные , а еще лучше записать их на бумагу и расположить перед собой.

Сначала изучаются квадратные корни и следующие их свойства (a , b , a 1 , a 2 , …, a k - действительные числа):

А позже представление о корне расширяется, вводится определение корня n-ой степени, и рассматриваются такие свойства (a , b , a 1 , a 2 , …, a k - действительные числа, m , n , n 1 , n 2 , ..., n k - натуральные числа):

Преобразование выражений с числами под знаками корней

По обыкновению сначала учатся работать с числовыми выражениями, а уже после этого переходят к выражениям с переменными. Так поступим и мы, и сначала разберемся с преобразованием иррациональных выражений, содержащих под знаками корней только числовые выражения, а уже дальше в следующем пункте будем вводить под знаки корней и переменные.

Как это может быть использовано для преобразования выражений? Очень просто: например, иррациональное выражение мы можем заменить выражением или наоборот. То есть, если в составе преобразовываемого выражения содержится выражение, совпадающее по виду с выражением из левой (правой) части любого из перечисленных свойств корней, то его можно заменить соответствующим выражением из правой (левой) части. В этом и состоит преобразование выражений с использованием свойств корней.

Приведем еще несколько примеров.

Упростим выражение . Числа 3 , 5 и 7 положительные, поэтому мы можем спокойно применять свойства корней. Здесь можно действовать по-разному. Например, корень на базе свойства можно представить как , а корень с использованием свойства при k=3 - как , при таком подходе решение будет иметь такой вид:

Можно было поступить иначе, заменив на , и дальше на , в этом случае решение выглядело бы так:

Возможны и другие варианты решения, например, такой:

Разберем решение еще одного примера. Преобразуем выражение . Взглянув на список свойств корней, выбираем из него нужные нам свойства для решения примера, понятно, что здесь пригодятся два из них и , которые справедливы для любых a . Имеем:

Как вариант, сначала можно было преобразовать выражения под знаками корней с использованием

а уже дальше применять свойства корней

До этого момента мы преобразовывали выражения, которые содержат только квадратные корни. Пришло время поработать с корнями, имеющими другие показатели.

Пример.

Преобразуйте иррациональное выражение .

Решение.

По свойству первый множитель заданного произведения можно заменить числом −2 :

Идем дальше. Второй множитель в силу свойства можно представить как , а 81 не помешает заменить четверной степенью тройки, так как в остальных множителях под знаками корней фигурирует число 3 :

Корень из дроби целесообразно заменить отношением корней вида , которое можно преобразовать и дальше: . Имеем

Полученное выражение после выполнения действий с двойками примет вид , и остается преобразовать произведение корней.

Для преобразования произведений корней их обычно приводят к одному показателю, в качестве которого целесообразно брать показателей всех корней. В нашем случае НОК(12, 6, 12)=12 , и к этому показателю придется приводить лишь корень , так как остальные два корня уже имеют такой показатель. Справиться с этой задачей позволяет равенство , которое применяют справа налево. Так . Учитывая этот результат, имеем

Теперь произведение корней можно заменить корнем произведения и выполнить остальные, уже очевидные, преобразования:

Оформим краткий вариант решения:

Ответ:

.

Отдельно подчеркнем, что для применения свойств корней необходимо учитывать ограничения, наложенные на числа под знаками корней (a≥0 и т.п.). Их игнорирование может спровоцировать возникновение неверных результатов. Например, мы знаем, что свойство имеет место для неотрицательных a . На его основе мы спокойно можем перейти, к примеру, от к , так как 8 – положительное число. А вот если взять имеющий смысл корень из отрицательного числа, например, , и на базе указанного выше свойства заменить его на , то мы фактически заменим −2 на 2 . Действительно, , а . То есть, при отрицательных a равенство может быть и неверным, как могут быть неверными и другие свойства корней без учета оговоренных для них условий.

Но сказанное в предыдущем пункте вовсе не означает, что выражения с отрицательными числами под знаками корней невозможно преобразовывать с использованием свойств корней. Их просто предварительно нужно «подготовить», применив правила действий с числами или воспользовавшись определением корня нечетной степени из отрицательного числа, которому соответствует равенство , где −a – отрицательное число (при этом a – положительное). Например, нельзя сразу заменить на , так как −2 и −3 – отрицательные числа, но позволяет нам от корня перейти к , и уже дальше применять свойство корня из произведения: . А в одном из предыдущих примеров переходить от корня к корню восемнадцатой степени нужно было не так , а так .

Итак, для преобразования выражений с использованием свойств корней, надо

• выбрать подходящее свойство из списка,
• убедиться, что числа под корнем удовлетворяют условиям для выбранного свойства (в противном случае требуется выполнить предварительные преобразования),
• и провести задуманное преобразование.

Преобразование выражений с переменными под знаками корней

Для преобразования иррациональных выражений, содержащих под знаком корня не только числа, но и переменные, свойства корней, перечисленные в первом пункте этой статьи, приходится применять аккуратно. Связано это по большей части с условиями, которым должны удовлетворять числа, участвующие в формулах. Например, опираясь на формулу , выражение можно заменить выражением лишь для таких значений x , которые удовлетворяют условиям x≥0 и x+1≥0 , так как указанная формула задана для a≥0 и b≥0 .

Чем опасно игнорирование этих условий? Ответ на этот вопрос наглядно демонстрирует следующий пример. Допустим, нам нужно вычислить значение выражения при x=−2 . Если сразу подставить вместо переменной x число −2 , то получим нужное нам значение . А теперь представим, что мы, исходя из каких-то соображений, преобразовали заданное выражение к виду , и только после этого решили вычислить значение. Подставляем вместо x число −2 и приходим к выражению , которое не имеет смысла.

Давайте проследим, что происходит с областью допустимых значений (ОДЗ) переменной x при переходе от выражения к выражению . ОДЗ мы упомянули не случайно, так как это серьезный инструмент контроля допустимости проделанных преобразований, и изменение ОДЗ после преобразования выражения должно как минимум насторожить. Найти ОДЗ для указанных выражений не составляет труда. Для выражения ОДЗ определяется из неравенства x·(x+1)≥0 , его решение дает числовое множество (−∞, −1]∪∪}