Правило решения линейных уравнений с одной переменной. Решение линейных уравнений с одной переменной

ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Линейным уравнением с одной переменной, называется равенство, содержащее только одну переменную.

Приведем примеры линейных уравнений:

3 х =12 или 10 у -20=0 или 8 а +3=0

Решить уравнение – это значит найти все корни уравнения или докозать, что их нет. Другими словами, решить линейное уравнение – это значит найти все значения переменной, при каждом из которых уравнение обращается в верное числовое равенство. Корнем (или решением) уравнения называется такое значение переменной, при котором уравнение превращается в верное числовое равенство.

Так уравнение 3 х =12 имеет корень х =4, так как 3*4=12 – верное равенство, и следует отметить – других корней нет.

Вообще линейным уравнением с одной переменной х называют уравнение вида ax + b = 0 .

b – «свободный член».

Коэффициенты это какие-то числа, а решить уравнение - это значит найти значение x, при котором выражение ax + b = 0 верно.

Например, имеем линейное уравнение 3 x – 6 = 0. Решить его – это значит найти, чему должен быть равен x , чтобы 3 x – 6 было равно 0. Выполняя преобразования, получим:

3 x = 6

x = 2

Таким образом выражение 3 x – 6 = 0 верно при x = 2 (Проверка 3 * 2 – 6 = 0)

2 – это корень данного уравнения. Когда решают уравнение, то находят его корни.

Коэффициенты a и b могут быть любыми числами, однако бывают такие их значения, когда корень линейного уравнения с одной переменной не один.

Если a = 0 , то ax + b = 0 превращается в b = 0 . Здесь x «уничтожается». Само же выражение b = 0 может быть истинным только в том случае, если знание b – это 0. То есть уравнение 0* x + 3 = 0 неверно, т. к. 3 = 0 – это ложное утверждение. Однако 0* x + 0 = 0 верное выражение. Отсюда делается вывод, если a = 0 и b ≠ 0 линейное уравнение с одной переменной корней не имеет вообще, но если a = 0 и b = 0 , то корней у уравнения бесконечное множество. Если b = 0 , а a ≠ 0 , то уравнение примет вид ax = 0 . Понятно, что если a ≠ 0 , но в результате умножения получается 0 , то значит x = 0 . То есть корнем этого уравнения является 0.

Расмсмотрим наиболее часто встречающийся случай, когда a ≠ 0

1) ax + b = 0 , значит ax = - b (мы просто перенесли слагаемое b из левой части в правую с противоположным знаком) Вспомни это правило

2) ax = - b , значит

x = –b / a . Вспомни это правило

Значение x в данном случае будет зависеть от значений a и b. При этом оно будет одним единственным. То есть нельзя при одних и тех же коэффициентах получить два или более разных значений x . Например,

–8.5 x – 17 = 0

x = 17 / –8.5

x = –2

Никакое другое число, кроме –2 нельзя получить, деля 17 на –8.5

Бывают уравнения, которые с первого взгляда непохожи на общий вид линейного уравнения с одной переменной, однако легко преобразуются к нему. Например,

–4.8 + 1.3 x = 1.5 x + 12

Если перенести все в левую часть, то в правой останется 0:

–4.8 + 1.3 x – 1.5 x – 12 = 0

В этом видео мы разберём целый комплект линейных уравнений, которые решаются по одному и тому же алгоритму — потому и они и называются простейшими.

Для начала определимся: что такое линейное уравнение и какое их них называть простейшим?

Линейное уравнение — такое, в котором присутствует лишь одна переменная, причём исключительно в первой степени.

Под простейшим уравнением подразумевается конструкция:

Все остальные линейные уравнения сводятся к простейшим с помощью алгоритма:

1. Раскрыть скобки, если они есть;
2. Перенести слагаемые, содержащие переменную, в одну сторону от знака равенства, а слагаемые без переменной — в другую;
3. Привести подобные слагаемые слева и справа от знака равенства;
4. Разделить полученное уравнение на коэффициент при переменной $x$ .

Разумеется, этот алгоритм помогает не всегда. Дело в том, что иногда после всех этих махинаций коэффициент при переменной $x$ оказывается равен нулю. В этом случае возможны два варианта:

1. Уравнение вообще не имеет решений. Например, когда получается что-нибудь в духе $0\cdot x=8$, т.е. слева стоит ноль, а справа — число, отличное от нуля. В видео ниже мы рассмотрим сразу несколько причин, по которым возможна такая ситуация.
2. Решение — все числа. Единственный случай, когда такое возможно — уравнение свелось к конструкции $0\cdot x=0$. Вполне логично, что какой бы $x$ мы ни подставили, все равно получится «ноль равен нулю», т.е. верное числовое равенство.

А теперь давайте посмотрим, как всё это работает на примере реальных задач.

Примеры решения уравнений

Сегодня мы занимаемся линейными уравнениями, причем только простейшими. Вообще, под линейным уравнением подразумевается всякое равенство, содержащее в себе ровно одну переменную, и она идет лишь в первой степени.

Решаются такие конструкции примерно одинаково:

1. Прежде всего необходимо раскрыть скобки, если они есть (как в нашем последнем примере);
2. Затем свести подобные
3. Наконец, уединить переменную, т.е. всё, что связано с переменной — слагаемые, в которых она содержится — перенести в одну сторону, а всё, что останется без неё, перенести в другую сторону.

Затем, как правило, нужно привести подобные с каждой стороны полученного равенства, а после этого останется лишь разделить на коэффициент при «иксе», и мы получим окончательный ответ.

В теории это выглядит красиво и просто, однако на практике даже опытные ученики старших классов могут допускать обидные ошибки в достаточно простых линейных уравнениях. Обычно ошибки допускаются либо при раскрытии скобок, либо при подсчёте «плюсов» и «минусов».

Кроме того, бывает так, что линейное уравнение вообще не имеет решений, или так, что решением является вся числовая прямая, т.е. любое число. Эти тонкости мы и разберем в сегодняшнем уроке. Но начнем мы, как вы уже поняли, с самых простых задач.

Схема решения простейших линейных уравнений

Для начала давайте я еще раз напишу всю схему решения простейших линейных уравнений:

1. Раскрываем скобки, если они есть.
2. Уединяем переменные, т.е. все, что содержит «иксы» переносим в одну сторону, а без «иксов» — в другую.
3. Приводим подобные слагаемые.
4. Разделяем все на коэффициент при «иксе».

Разумеется, эта схема работает не всегда, в ней есть определенные тонкости и хитрости, и сейчас мы с ними и познакомимся.

Решаем реальные примеры простых линейных уравнений

Задача №1

На первом шаге от нас требуется раскрыть скобки. Но их в этом примере нет, поэтому пропускаем данный этап. На втором шаге нам нужно уединить переменные. Обратите внимание: речь идет лишь об отдельных слагаемых. Давайте запишем:

Приводим подобные слагаемые слева и справа, но тут уже это сделано. Поэтому переходим к четвертому шагу: разделить на коэффициент:

\[\frac{6x}{6}=-\frac{72}{6}\]

Вот мы и получили ответ.

Задача №2

В этой задаче мы можем наблюдать скобки, поэтому давайте раскроем их:

И слева и справа мы видим примерно одну и ту же конструкцию, но давайте действовать по алгоритму, т.е. уединяем переменные:

Приведем подобные:

При каких корнях это выполняется. Ответ: при любых. Следовательно, можно записать, что $x$ — любое число.

Задача №3

Третье линейное уравнение уже интересней:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

Тут есть несколько скобок, однако они ни на что не умножаются, просто перед ними стоят различные знаки. Давайте раскроем их:

Выполняем второй уже известный нам шаг:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Посчитаем:

Выполняем последний шаг — делим все на коэффициент при «икс»:

\[\frac{2x}{x}=\frac{0}{2}\]

Что необходимо помнить при решении линейных уравнений

Если отвлечься от слишком простых задач, то я бы хотел сказать следующее:

• Как я говорил выше, далеко не каждое линейное уравнение имеет решение — иногда корней просто нет;
• Даже если корни есть, среди них может затесаться ноль — ничего страшного в этом нет.

Ноль — такое же число, как и остальные, не стоит его как-то дискриминировать или считать, что если у вас получился ноль, то вы что-то сделали неправильно.

Еще одна особенность связана с раскрытием скобок. Обратите внимание: когда перед ними стоит «минус», то мы его убираем, однако в скобках знаки меняем на противоположные . А дальше мы можем раскрывать ее по стандартным алгоритмам: мы получим то, что видели в выкладках выше.

Понимание этого простого факта позволит вам не допускать глупые и обидные ошибки в старших классах, когда выполнение подобных действий считается самим собой разумеющимся.

Решение сложных линейных уравнений

Перейдем к более сложным уравнениям. Теперь конструкции станут сложнее и при выполнении различных преобразований возникнет квадратичная функция. Однако не стоит этого бояться, потому что если по замыслу автора мы решаем линейное уравнение, то в процессе преобразования все одночлены, содержащие квадратичную функцию, обязательно сократятся.

Пример №1

Очевидно, что первым делом нужно раскрыть скобки. Давайте это сделаем очень аккуратно:

Теперь займемся уединением:

\[-x+6{{x}^{2}}-6{{x}^{2}}+x=-12\]

Приводим подобные:

Очевидно, что у данного уравнения решений нет, поэтому в ответе так и запишем:

\[\varnothing \]

или корней нет.

Пример №2

Выполняем те же действия. Первый шаг:

Перенесем все, что с переменной, влево, а без нее — вправо:

Приводим подобные:

Очевидно, что данное линейное уравнение не имеет решения, поэтому так и запишем:

\[\varnothing \],

либо корней нет.

Нюансы решения

Оба уравнения полностью решены. На примере этих двух выражений мы ещё раз убедились, что даже в самых простых линейных уравнениях всё может быть не так просто: корней может быть либо один, либо ни одного, либо бесконечно много. В нашем случае мы рассмотрели два уравнения, в обоих корней просто нет.

Но я бы хотел обратить ваше внимание на другой факт: как работать со скобками и как их раскрывать, если перед ними стоит знак «минус». Рассмотрим вот это выражение:

Прежде чем раскрывать, нужно перемножить всё на «икс». Обратите внимание: умножается каждое отдельное слагаемое . Внутри стоит два слагаемых — соответственно, два слагаемых и умножается.

И только после того, когда эти, казалось бы, элементарные, но очень важные и опасные преобразования выполнены, можно раскрывать скобку с точки зрения того, что после неё стоит знак «минус». Да, да: только сейчас, когда преобразования выполнены, мы вспоминаем, что перед скобками стоит знак «минус», а это значит, что все, что в низ, просто меняет знаки. При этом сами скобки исчезают и, что самое главное, передний «минус» тоже исчезает.

Точно также мы поступаем и со вторым уравнением:

Я не случайно обращаю внимание на эти мелкие, казалось бы, незначительные факты. Потому что решение уравнений — это всегда последовательность элементарных преобразований, где неумение чётко и грамотно выполнять простые действия приводит к тому, что ученики старших классов приходят ко мне и вновь учатся решать вот такие простейшие уравнения.

Разумеется, придёт день, и вы отточите эти навыки до автоматизма. Вам уже не придётся каждый раз выполнять столько преобразований, вы всё будете писать в одну строчку. Но пока вы только учитесь, нужно писать каждое действие отдельно.

Решение ещё более сложных линейных уравнений

То, что мы сейчас будем решать, уже сложно назвать простейшими задача, однако смысл остается тем же самым.

Задача №1

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21{{x}^{2}}=3\]

Давайте перемножим все элементы в первой части:

Давайте выполним уединение:

Приводим подобные:

Выполняем последний шаг:

\[\frac{-4x}{4}=\frac{4}{-4}\]

Вот наш окончательный ответ. И, несмотря на то, что у нас в процессе решения возникали коэффициенты с квадратичной функцией, однако они взаимно уничтожились, что делает уравнение именно линейным, а не квадратным.

Задача №2

\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]

Давайте аккуратно выполним первый шаг: умножаем каждый элемент из первой скобки на каждый элемент из второй. Всего должно получиться четыре новых слагаемых после преобразований:

А теперь аккуратно выполним умножение в каждом слагаемом:

Перенесем слагаемые с «иксом» влево, а без — вправо:

\[-3x-4x+12{{x}^{2}}-12{{x}^{2}}+6x=-1\]

Приводим подобные слагаемые:

Мы вновь получили окончательный ответ.

Нюансы решения

Важнейшее замечание по поводу этих двух уравнений состоит в следующем: как только мы начинаем умножать скобки, в которых находится более чем оно слагаемое, то выполняется это по следующему правилу: мы берем первое слагаемое из первой и перемножаем с каждым элементом со второй; затем берем второй элемент из первой и аналогично перемножаем с каждым элементом со второй. В итоге у нас получится четыре слагаемых.

Об алгебраической сумме

На последнем примере я хотел бы напомнить ученикам, что такое алгебраическая сумма. В классической математике под $1-7$ мы подразумеваем простую конструкцию: из единицы вычитаем семь. В алгебре же мы подразумеваем под этим следующее: к числу «единица» мы прибавляем другое число, а именно «минус семь». Этим алгебраическая сумма отличается от обычной арифметической.

Как только при выполнении всех преобразований, каждого сложения и умножения вы начнёте видеть конструкции, аналогичные вышеописанным, никаких проблем в алгебре при работе с многочленами и уравнениями у вас просто не будет.

В заключение давайте рассмотрим ещё пару примеров, которые будут ещё более сложными, чем те, которые мы только что рассмотрели, и для их решения нам придётся несколько расширить наш стандартный алгоритм.

Решение уравнений с дробью

Для решения подобных заданий к нашему алгоритму придется добавить еще один шаг. Но для начала я напомню наш алгоритм:

1. Раскрыть скобки.
2. Уединить переменные.
3. Привести подобные.
4. Разделить на коэффициент.

Увы, этот прекрасный алгоритм при всей его эффективности оказывается не вполне уместным, когда перед нами дроби. А в том, что мы увидим ниже, у нас и слева, и справа в обоих уравнениях есть дробь.

Как работать в этом случае? Да всё очень просто! Для этого в алгоритм нужно добавить ещё один шаг, который можно совершить как перед первым действием, так и после него, а именно избавиться от дробей. Таким образом, алгоритм будет следующим:

1. Избавиться от дробей.
2. Раскрыть скобки.
3. Уединить переменные.
4. Привести подобные.
5. Разделить на коэффициент.

Что значит «избавиться от дробей»? И почему выполнять это можно как после, так и перед первым стандартным шагом? На самом деле в нашем случае все дроби являются числовыми по знаменателю, т.е. везде в знаменателе стоит просто число. Следовательно, если мы обе части уравнения домножим на это число, то мы избавимся от дробей.

Пример №1

\[\frac{\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)}{4}={{x}^{2}}-1\]

Давайте избавимся от дробей в этом уравнении:

\[\frac{\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4}{4}=\left({{x}^{2}}-1 \right)\cdot 4\]

Обратите внимание: на «четыре» умножается все один раз, т.е. если у вас две скобки, это не значит, что каждую из них нужно умножать на «четыре». Запишем:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left({{x}^{2}}-1 \right)\cdot 4\]

Теперь раскроем:

Выполняем уединение переменной:

Выполняем приведение подобных слагаемых:

\[-4x=-1\left| :\left(-4 \right) \right.\]

\[\frac{-4x}{-4}=\frac{-1}{-4}\]

Мы получили окончательное решение, переходим ко второму уравнению.

Пример №2

\[\frac{\left(1-x \right)\left(1+5x \right)}{5}+{{x}^{2}}=1\]

Здесь выполняем все те же действия:

\[\frac{\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5}{5}+{{x}^{2}}\cdot 5=5\]

\[\frac{4x}{4}=\frac{4}{4}\]

Задача решена.

Вот, собственно, и всё, что я хотел сегодня рассказать.

Ключевые моменты

Ключевые выводы следующие:

• Знать алгоритм решения линейных уравнений.
• Умение раскрывать скобки.
• Не стоит переживать, если где-то у вас появляются квадратичные функции, скорее всего, в процессе дальнейших преобразований они сократятся.
• Корни в линейных уравнениях, даже самых простых, бывают трех типов: один единственный корень, вся числовая прямая является корнем, корней нет вообще.

Надеюсь, этот урок поможет вам освоить несложную, но очень важную для дальнейшего понимания всей математики тему. Если что-то непонятно, заходите на сайт, решайте примеры, представленные там. Оставайтесь с нами, вас ждет еще много интересного!

§ 1 Что такое уравнение

Уравнением называют равенство, содержащее неизвестное, значение которого надо найти. Например, записи:

не являются уравнениями. Нет равенства, и значение переменной найти не требуется. Это просто буквенные выражения. А вот записи:

13х - 14 = 2х + 4

являются уравнениями.

Уравнения - это алгебраические модели реальных ситуаций. В процессе работы с моделью мы решаем уравнение.

Решить уравнение - значит найти все его корни или показать, что их нет. Корнем уравнения называют такое значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство. Для примера рассмотрим уравнение:

Если х = 4, то уравнение примет вид числового равенства:

2∙ 4 - 1 = 5 или 7 = 5

Это неверное числовое равенство, а значит число 4 не является корнем уравнения. Если же х = 3, то уравнение примет вид числового равенства:

2∙ 3 - 1 = 5 или 5 = 5

Это верное числовое равенство, а значит число 3 является корнем уравнения. Причём других корней нет.

§ 2 Линейные уравнения с одной переменной

Уравнение вида ах + b = 0 называют линейным уравнением с одной переменной.

Здесь а и b - коэффициенты, они могут быть выражены любыми числами.

Давайте рассмотрим различные случаи.

1) Если а = 0 и b = 0, то уравнение примет вид 0 ∙ х + 0 = 0. Очевидно, что это уравнение имеет бесконечно много корней, так как любое число при умножении на ноль даёт 0. А значит в результате всегда будет верное числовое равенство.

2) Если а = 0, b ≠0. Тогда уравнение примет вид 0 ∙ х + b = 0. Можно заметить, что такое уравнение не будет иметь ни одного корня. В самом деле, при умножении любого числа на 0 в результате всегда будет получаться 0, но в сумме с числом, отличным от нуля, будет результат отличный от нуля, а значит в любом случае получится неверное числовое равенство.

3) Коэффициент а отличен от нуля, это самый распространенный случай. Рассуждаем так:

Сначала перенесём известное слагаемое в b правую часть уравнения, поменяв знак. Получим:

Затем разделим обе части уравнения на число а. Получим:

Значит в этом случае уравнение имеет только один корень, а именно:

Подведя итоги вышесказанному, можно сделать вывод:

Линейные уравнения с одним неизвестным могут иметь один корень, бесконечно много корней или не иметь ни одного корня.

А как быть, если уравнение записано в более сложном виде? Например, в виде:

4(х - 4) = 2х + 6

В этом случае нам придётся сначала провести ряд преобразований.

Сначала раскроем скобки. Получим:

4х - 16 = 2х + 6

Затем перенесём неизвестные слагаемые в левую часть уравнения, а известные в правую, не забыв поменять знак слагаемого при переносе. Получим:

4х - 2х = 6 + 16

Теперь приведём подобные слагаемые. Получим:

Поделив обе части уравнения на 2 имеем х = 11.

§ 3 Примеры использования понятия «линейное уравнение»

Рассмотрим ещё несколько примеров с использованием понятия «линейное уравнение».

Пример 1. Определить количество корней уравнения 3х + 15 = 3(х +2) + 9.

Это линейное уравнение с одной переменной. Чтобы ответить на вопрос надо сначала преобразовать данное уравнение. Для этого раскроем скобки, получим:

3х + 15 = 3х + 6 + 9

Перенесём известные слагаемые в правую часть уравнения, а неизвестные в левую. Получим:

3х - 3х = 6 + 9 - 15

Приведём подобные слагаемые, получим:

Это равенство верно при любых значениях х, поэтому уравнение имеет бесконечно много корней.

Пример 2. При каком значении переменной значение выражения 4у - 1 равно значению выражения 3у + 5?

Здесь явно задаётся условие равенства двух выражений. Запишем это равенство, получим:

4у - 1 = 3у + 5

Решив это уравнение способом из примера 1 получим у = 6.

Ответ: значения выражений равны при у = 6.

Пример 3. Маме и дочке вместе 35 лет. Сколько лет дочке, если она на 25 лет моложе мамы?

Составим алгебраическую модель данной реальной ситуации. Пусть дочке х лет, тогда маме х + 25 лет. Так как по условию вместе им 35 лет, то составим уравнение:

х + (х + 25) = 35

Решая это уравнение, находим:

Так как буквой х мы обозначили возраст дочки, то найденное число является ответом на вопрос задачи. Ответ: дочке 5 лет.

Список использованной литературы:

1. Мордкович А.Г, Алгебра 7 класс в 2 частях, Часть 1, Учебник для общеобразовательных учреждений/ А.Г. Мордкович. – 10 – е изд., переработанное – Москва, «Мнемозина», 2007
2. Мордкович А.Г., Алгебра 7 класс в 2 частях, Часть 2, Задачник для общеобразовательных учреждений/ [А.Г. Мордкович и др.]; под редакцией А.Г. Мордковича – 10-е издание, переработанное – Москва, «Мнемозина», 2007
3. Е.Е. Тульчинская, Алгебра 7 класс. Блиц опрос: пособие для учащихся общеобразовательных учреждений, 4-е издание, исправленное и дополненное, Москва, «Мнемозина», 2008
4. Александрова Л.А., Алгебра 7 класс. Тематические проверочные работы в новой форме для учащихся общеобразовательных учреждений, под редакцией А.Г. Мордковича, Москва, «Мнемозина», 2011
5. Александрова Л.А. Алгебра 7 класс. Самостоятельные работы для учащихся общеобразовательных учреждений, под редакцией А.Г. Мордковича – 6-е издание, стереотипное, Москва, «Мнемозина», 2010

• Равенство с переменной называют уравнением.
• Решить уравнение – значит найти множество его корней. Уравнение может иметь один, два, несколько, множество корней или не иметь их вовсе.
• Каждое значение переменной, при котором данное уравнение превращается в верное равенство, называется корнем уравнения.
• Уравнения, имеющие одни и те же корни, называются равносильными уравнениями.
• Любое слагаемое уравнения можно перенести из одной части равенства в другую, изменив при этом знак слагаемого на противоположный.
• Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному уравнению.

Примеры. Решить уравнение.

1. 1,5х+4 = 0,3х-2.

1,5х-0,3х = -2-4. Собрали слагаемые, содержащие переменную, в левой части равенства, а свободные члены – в правой части равенства. При этом применяли свойство:

1,2х = -6. Привели подобные слагаемые по правилу:

х = -6 : 1,2. Обе части равенства разделили на коэффициент при переменной, так как

х = -5. Делили по правилу деления десятичной дроби на десятичную дробь:

чтобы разделить число на десятичную дробь, нужно перенести запятые в делимом и делителе на столько цифр вправо, сколько их стоит после запятой в делителе, а затем выполнить деление на натуральное число:

6 : 1,2 = 60 : 12 = 5.

Ответ: 5.

2. 3∙ (2х-9) = 4∙ (х-4).

6х-27 = 4х-16. Раскрыли скобки, используя распределительный закон умножения относительно вычитания: (a-b) ∙ c = a ∙ c-b ∙ c.

6х-4х = -16+27. Собрали слагаемые, содержащие переменную, в левой части равенства, а свободные члены – в правой части равенства. При этом применяли свойство: любое слагаемое уравнения можно перенести из одной части равенства в другую, изменив при этом знак слагаемого на противоположный.

2х = 11. Привели подобные слагаемые по правилу: чтобы привести подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и полученный результат умножить на их общую буквенную часть (т.е. к полученному результату приписать их общую буквенную часть).

х = 11 : 2. Обе части равенства разделили на коэффициент при переменной, так как если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному уравнению.

Ответ: 5,5.

3. 7х- (3+2х)=х-9.

7х-3-2х = х-9. Раскрыли скобки по правилу раскрытия скобок, перед которыми стоит знак «-»: если перед скобками стоит знак «-», то убираем скобки, знак «-» и записываем слагаемые, стоявшие в скобках, с противоположными знаками.

7х-2х-х = -9+3. Собрали слагаемые, содержащие переменную, в левой части равенства, а свободные члены – в правой части равенства. При этом применяли свойство: любое слагаемое уравнения можно перенести из одной части равенства в другую, изменив при этом знак слагаемого на противоположный.

4х = -6. Привели подобные слагаемые по правилу: чтобы привести подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и полученный результат умножить на их общую буквенную часть (т.е. к полученному результату приписать их общую буквенную часть).

х = -6 : 4. Обе части равенства разделили на коэффициент при переменной, так как если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному уравнению.

Ответ: -1,5.

3 ∙ (х-5) = 7 ∙ 12 — 4 ∙ (2х-11). Умножили обе части равенства на 12 – наименьший общий знаменатель для знаменателей данных дробей.

3х-15 = 84-8х+44. Раскрыли скобки, используя распределительный закон умножения относительно вычитания: чтобы разность двух чисел умножить на третье число, можно отдельно уменьшаемое и отдельно вычитаемое умножить на третье число, а затем из первого результата вычесть второй результат, т.е. (a-b) ∙ c = a ∙ c-b ∙ c.

3х+8х = 84+44+15. Собрали слагаемые, содержащие переменную, в левой части равенства, а свободные члены – в правой части равенства. При этом применяли свойство: любое слагаемое уравнения можно перенести из одной части равенства в другую, изменив при этом знак слагаемого на противоположный.