Построить описанную окружность с помощью циркуля. Построения циркулем и линейкой

Цели:

закрепить у обучающихся понятия «окружность», «круг»; вывести понятия «радиус окружности»; научиться строить окружности заданного радиуса; развивать умение рассуждать, анализировать.

Личностные УУД:
формировать положительное отношение к урокам математики;
интерес к предметно-исследовательской деятельности;

Метапредметные задачи

Регулятивные УУД:
принимать и сохранять учебную задачу;
в сотрудничестве с учителем и классом находить несколько вариантов решений;

Познавательные УУД:
постановка и решение проблем:
самостоятельно выделять и формулировать проблему;
общеучебные:
находить необходимую информацию в учебнике;
строить окружность заданного радиуса с помощью циркуля;
логические:
формировать понятие «радиус»;
проводить классификацию, сравнение;
самостоятельно формулировать выводы;

Коммуникативные УУД:
активно участвовать в коллективной работе, используя при этом речевые средства;
аргументировать свою точку зрения;

Предметные умения:
выявлять существенные признаки понятий « радиус окружности» ;
строить окружности с разными радиусами;
распознавать радиусы на чертеже.

Ход урока

Мотивация учебной деятельности

- Давайте проверим, все ли готовы к уроку?

«Эмоциональное вхождение в урок»:

Улыбнитесь как солнышки.

Нахмурьтесь как тучки

Заплачьте как дождики

Удивитесь, как будто увидели радугу

А теперь повторите за мной

Игра «Дружное эхо»

2.Актуализация знаний

Устный счет

а) 60-40 36+12 10+20 58-12 90-50 31+13

Разгадайте закономерность. Продолжите ряд.

Ответ: 20, 48,30,46,40,44 50,42

б) Реши задачу:

1. В первый день в магазине продали 42 кг фруктов, а во второй на 2 кг больше. Сколько килограммов продали во второй день?

Что нужно изменить, чтобы задача решалась в 2 действия.

Мячей- 16шт.

Скакалок – 28 шт.

Найдите решение к данной задаче.

28-16 28+16

Измените вопрос так, чтобы задача решалась вычитанием.

3. Постановка учебной задачи

1. Назовите геометрические фигуры

Круг окружность овал шар

Какая фигура лишняя?

Что общего у фигур? (Круг, окружность, шар имеют одинаковую форму)

Чем отличаются?

2. В

Какие точки принадлежат окружности? Какие точки вне окружности?

Что обозначает точка О? (центр окружности)

Как называется отрезок ОВ?

Сколько радиусов можно провести в окружности?

Какой отрезок не является радиусом? Почему?

Какой можно сделать вывод?

Вывод: все радиусы имеют одинаковую длину .

3. Сколько окружностей на рисунке?

Чем отличаются окружности? (размером)

Что определяет размер окружности?

Какой можно сделать вывод?

Вывод: чем больше окружность, тем больше ее радиус.

Определите тему урока.

Тема: Построение окружности данного радиуса с помощью циркуля.

Какие задачи мы можем поставить перед собой на этот урок?

4. Работа над темой

а) Построение окружности.

Что нужно знать, чтобы начертить окружность заданного размера?

Начертите окружность с радиусом 3 см.

б) Подготовка к проектной деятельности

1) Рассмотрите рисунок

Из каких фигур состоит бабочка? Окружности с одинаковым радиусом?

2) Работа в парах.

Восстановите порядок этапов над проектом.

Презентация или демонстрация проекта

Замысел (сделать набросок)

Построить фигуры, для осуществления замысла

Обдумать, какой радиус должен быть у фигур

в) Работа над проектом.

Работа в группах по составленному алгоритму

Данный урок посвящён изучению окружности и круга. Также учитель научит отличать замкнутые и незамкнутые линии. Вы познакомитесь с основными свойствами окружности: центром, радиусом и диаметром. Выучите их определения. Научитесь определять радиус, если известен диаметр, и наоборот.

Если заполнить пространство внутри окружности, например начертить окружность с помощью циркуля на бумаге или картоне и вырезать, то получим круг (рис. 10).

Рис. 10. Круг

Круг - это часть плоскости, ограниченная окружностью.

Условие: Витя Верхоглядкин начертил в своей окружности (рис. 11) 11 диаметров. А когда пересчитал радиусы, получил 21. Правильно ли он сосчитал?

Рис. 11. Иллюстрация к задаче

Решение: радиусов должно быть в два раза больше, чем диаметров, поэтому:

Витя сосчитал неправильно.

Список литературы

1. Математика. 3 класс. Учеб. для общеобразоват. учреждений с прил. на электрон. носителе. В 2 ч. Ч. 1 / [М.И. Моро, М.А. Бантова, Г.В. Бельтюкова и др.] - 2-е изд. - М.: Просвещение, 2012. - 112 с.: ил. - (Школа России).
2. Рудницкая В.Н., Юдачёва Т.В. Математика, 3 класс. - М.: ВЕНТАНА-ГРАФ.
3. Петерсон Л.Г. Математика, 3 класс. - М.: Ювента.

1. Mypresentation.ru ().
2. Sernam.ru ().
3. School-assistant.ru ().

Домашнее задание

1. Математика. 3 класс. Учеб. для общеобразоват. учреждений с прил. на электрон. носителе. В 2 ч. Ч. 1 / [М.И. Моро, М.А. Бантова, Г.В. Бельтюкова и др.] - 2-е изд. - М.: Просвещение, 2012., ст. 94 № 1, ст. 95 № 3.

2. Разгадайте загадку.

Мы живём с братишкой дружно,

Нам так весело вдвоём,

Мы на лист поставим кружку (рис. 12),

Обведём карандашом.

Получилось то, что нужно -

Называется …

3. Необходимо определить диаметр окружности, если известно, что радиус равен 5 м.

4. * С помощью циркуля начертите две окружности с радиусами: а) 2 см и 5 см; б) 10 мм и 15 мм.

В задачах на построение циркуль и линейка считаются идеальными инструментами, в частности линейка не имеет делений и имеет только одну сторону бесконечной длины, а циркуль может иметь сколь угодно большой или сколь угодно малый раствор.

Допустимые построения. В задачах на построение допускаются следующие операции:

1. Отметить точку:

• произвольную точку плоскости;
• произвольную точку на заданной прямой;
• произвольную точку на заданной окружности;
• точку пересечения двух заданных прямых;
• точки пересечения/касания заданной прямой и заданной окружности;
• точки пересечения/касания двух заданных окружностей.

2. С помощью линейки можно построить прямую:

• произвольную прямую на плоскости;
• произвольную прямую, проходящую через заданную точку;
• прямую, проходящую через две заданных точки.

3. С помощью циркуля можно построить окружность:

• произвольную окружность на плоскости;
• произвольную окружность с центром в заданной точке;
• произвольную окружность с радиусом, равным расстоянию между двумя заданными точками;
• окружность с центром в заданной точке и радиусом, равным расстоянию между двумя заданными точками.

Решение задач на построение. Решение задачи на построение содержит в себе три существенные части:

1. Описание способа построения искомого объекта.
2. Доказательство того, что объект, построенный описанным способом, действительно является искомым.
3. Анализ описанного способа построения на предмет его применимости к разным вариантам начальных условий, а также на предмет единственности или неединственности решения, получаемого описанным способом.

Построение отрезка, равного данному. Пусть дан луч с началом в точке $O$ и отрезок $AB$. Для построения на луче отрезка $OP = AB$ нужно построить окружность с центром в точке $O$ радиуса $AB$. Точка пересечения луча с окружностью будет искомой точкой $P$.

Построение угла, равного данному. Пусть дан луч с началом в точке $O$ и угол $ABC$. C центром в точке $В$ строим окружность с произвольным радиусом $r$. Обозначим точки пересечения окружности с лучами $BA$ и $BC$ соответственно $A"$ и $C"$.

Построим окружность с центром в точке $O$ радиуса $r$. Точку пересечения окружности с лучом обозначим $P$. Построим окружность с центром в точке $P$ радиуса $A"B"$. Точку пересечения окружностей обозначим $Q$. Проведем луч $OQ$.

Получим угол $POQ$, равный углу $ABC$, так как треугольники $POQ$ и $ABC$ равны по трем сторонам.

Построение серединного перпендикуляра к отрезку. Построим две пересекающиеся окружности произвольного радиуса с центрами в концах отрезка. Соединив две точки их пересечения, получим серединный перпендикуляр.

Построение биссектрисы угла. Нарисуем окружность произвольного радиуса с центром в вершине угла. Построим две пересекающиеся окружности произвольного радиуса с центрами в точках пересечения первой окружности со сторонами угла. Соединив вершину угла с любой из точек пересечения этих двух окружностей, получаем биссектрису угла.

Построение суммы двух отрезков. Для построения на данном луче отрезка, равного сумме двух данных отрезков, нужно дважды применить метод построения отрезка, равного данному.

Построение суммы двух углов. Для того чтобы отложить от данного луча угол, равный сумме двух данных углов, нужно дважды применить метод построения угла, равного данному.

Нахождение середины отрезка. Для того чтобы отметить середину данного отрезка, нужно построить серединный перпендикуляр к отрезку и отметить точку пересечения перпендикуляра с самим отрезком.

Построение перпендикулярной прямой через данную точку. Пусть требуется построить прямую, перпендикулярную данной и проходящую через данную точку. Проводим окружность произвольного радиуса с центром в данной точке (независимо от того, лежит она на прямой или нет), пересекающую прямую в двух точках. Строим серединный перпендикуляр к отрезку с концами в точках пересечения окружности с прямой. Это и будет искомая перпендикулярная прямая.

Построение параллельной прямой через данную точку. Пусть требуется построить прямую, параллельную данной и проходящую через данную точку вне прямой. Строим прямую, проходящую через данную точку, перпендикулярную данной прямой. Затем строим прямую, проходящую через данную точку, перпендикулярную построенному перпендикуляру. Полученная при этом прямая и будет искомой.

При изготовлении или обработке деталей из древесины в некоторых случаях требуется определить, где находится их геометрический центр. Если деталь имеет квадратную или прямоугольную форму, то сделать это не представляет никакого труда. Достаточно соединить противоположные углы диагоналями, которые при этом пересекутся точно в центре нашей фигуры.
Для изделий, имеющих форму круга, такое решение не подойдет, поскольку у них нет углов, а значит и диагоналей. В этом случае необходим какой-то другой подход, основанный на иных принципах.

И они существуют, причем в многочисленных вариациях. Одни из них достаточно сложные и требуют нескольких инструментов, другие – легкие в реализации и для их осуществления не нужен целый набор приспособлений.
Сейчас мы рассмотрим один из самых простых способов нахождения центра круга с помощью только обычной линейки и карандаша.

Последовательность нахождения центра круга:

Предложение, в котором разъясняется смысл того или иного выражения или названия, называется определением . Мы уже встречались с определениями, например с определением угла, смежных углов, равнобедренного треугольника и т. д. Дадим определение ещё одной геометрической фигуры - окружности.

Определение

Данная точка называется центром окружности , а отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности, - радиусом окружности (рис. 77). Из определения окружности следует, что все радиусы имеют одну и ту же длину.

Рис. 77

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется её хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, называется её диаметром .

На рисунке 78 отрезки АВ и EF - хорды окружности, отрезок CD - диаметр окружности. Очевидно, диаметр окружности в два раза больше её радиуса. Центр окружности является серединой любого диаметра.

Рис. 78

Любые две точки окружности делят её на две части. Каждая из этих частей называется дугой окружности. На рисунке 79 ALB и АМВ - дуги, ограниченные точками А и В.

Рис. 79

Для изображения окружности на чертеже пользуются циркулем (рис. 80).

Рис. 80

Чтобы провести окружность на местности, можно воспользоваться верёвкой (рис. 81).

Рис. 81

Часть плоскости, ограниченная окружностью, называется кругом (рис. 82).

Рис. 82

Построения циркулем и линейкой

Мы уже имели дело с геометрическими построениями: проводили прямые, откладывали отрезки, равные данным, чертили углы, треугольники и другие фигуры. При этом мы пользовались масштабной линейкой, циркулем, транспортиром, чертёжным угольником.

Оказывается, что многие построения можно выполнить с помощью только циркуля и линейки без масштабных делений. Поэтому в геометрии специально выделяют те задачи на построение, которые решаются с помощью только этих двух инструментов.

Что можно делать с их помощью? Ясно, что линейка позволяет провести произвольную прямую, а также построить прямую, проходящую через две данные точки. С помощью циркуля можно провести окружность произвольного радиуса, а также окружность с центром в данной точке и радиусом, равным данному отрезку . Выполняя эти несложные операции, мы сможем решить много интересных задач на построение:

построить угол, равный данному;
через данную точку провести прямую, перпендикулярную к данной прямой;
разделить данный отрезок пополам и другие задачи.

Начнём с простой задачи.

Задача

На данном луче от его начала отложить отрезок, равный данному.

Решение

Изобразим фигуры, данные в условии задачи: луч ОС и отрезок АВ (рис. 83, а). Затем циркулем построим окружность радиуса АВ с центром О (рис. 83, б). Эта окружность пересечёт луч ОС в некоторой точке D. Отрезок OD - искомый.

Рис. 83

Примеры задач на построение

Построение угла, равного данному

Задача

Отложить от данного луча угол, равный данному.

Решение

Данный угол с вершиной А и луч ОМ изображены на рисунке 84. Требуется построить угол, равный углу А, так, чтобы одна из его сторон совпала с лучом ОМ.

Рис. 84

Проведём окружность произвольного радиуса с центром в вершине А данного угла. Эта окружность пересекает стороны угла в точках В и С (рис. 85, а). Затем проведём окружность того же радиуса с центром в начете данного луча ОМ. Она пересекает луч в точке D (рис. 85, б). После этого построим окружность с центром D, радиус которой равен ВС. Окружности с центрами О и D пересекаются в двух точках. Одну из этих точек обозначим буквой Е. Докажем, что угол МОЕ - искомый.

Рис. 85

Рассмотрим треугольники АВС и ODE. Отрезки АВ и АС являются радиусами окружности с центром А, а отрезки OD и ОЕ - радиусами окружности с центром О (см. рис. 85, б). Так как по построению эти окружности имеют равные радиусы, то AB = OD, АС = ОЕ. Также по построению ВС = DE.

Следовательно, Δ АВС = Δ ODE по трём сторонам. Поэтому ∠DOE = ∠BAC, т. е. построенный угол МОЕ равен данному углу А.

То же построение можно выполнить и на местности, если вместо циркуля воспользоваться верёвкой.

Построение биссектрисы угла

Задача

Построить биссектрису данного угла.

Решение

Данный угол ВАС изображён на рисунке 86. Проведём окружность произвольного радиуса с центром в вершине А. Она пересечёт стороны угла в точках В и С.

Рис. 86

Затем проведём две окружности одинакового радиуса ВС с центрами в точках В и С (на рисунке изображены лишь части этих окружностей). Они пересекутся в двух точках, из которых хотя бы одна лежит внутри угла. Обозначим её буквой Е. Докажем, что луч АЕ является биссектрисой данного угла ВАС.

Рассмотрим треугольники АСЕ и АВЕ. Они равны по трём сторонам. В самом деле, АЕ - общая сторона; АС и АВ равны как радиусы одной и той же окружности; СЕ = BE по построению.

Из равенства треугольников АСЕ и АВЕ следует, что ∠CAE = ∠BAE, т. е. луч АЕ - биссектриса данного угла ВАС.

Замечание

Можно ли с помощью циркуля и линейки разделить данный угол на два равных угла? Ясно, что можно, - для этого нужно провести биссектрису этого угла.

Данный угол можно разделить также на четыре равных угла. Для этого нужно разделить его пополам, а затем каждую половину разделить ещё раз пополам.

А можно ли с помощью циркуля и линейки разделить данный угол на три равных угла? Эта задача, получившая название задачи о трисекции угла , в течение многих веков привлекала внимание математиков. Лишь в XIX веке было доказано, что для произвольного угла такое построение невозможно.

Построение перпендикулярных прямых

Задача

Даны прямая и точка на ней. Построить прямую, проходящую через данную точку и перпендикулярную к данной прямой.

Решение

Данная прямая а и данная точка М, принадлежащая этой прямой, изображены на рисунке 87.

Рис. 87

На лучах прямой а, исходящих из точки М, отложим равные отрезки МА и МВ. Затем построим две окружности с центрами А и В радиуса АВ. Они пересекаются в двух точках: Р и Q.

Проведём прямую через точку М и одну из этих точек, например прямую МР (см. рис. 87), и докажем, что эта прямая - искомая, т. е. что она перпендикулярна к данной прямой а.

В самом деле, так как медиана РМ равнобедренного треугольника РАВ является также высотой, то PM ⊥ а.

Построение середины отрезка

Задача

Построить середину данного отрезка.

Решение

Пусть АВ - данный отрезок. Построим две окружности с центрами А и В радиуса АВ. Они пересекаются в точках Р и Q. Проведём прямую PQ. Точка О пересечения этой прямой с отрезком АВ и есть искомая середина отрезка АВ.

В самом деле, треугольники APQ и BPQ равны по трём сторонам, поэтому ∠1 =∠2 (рис. 89).

Рис. 89

Следовательно, отрезок РО - биссектриса равнобедренного треугольника АРВ, а значит, и медиана, т. е. точка О - середина отрезка АВ.

Задачи

143. Какие из отрезков, изображённых на рисунке 90, являются: а) хордами окружности; б) диаметрами окружности; в) радиусами окружности?

Рис. 90

144. Отрезки АВ и CD - диаметры окружности. Докажите, что: а) хорды BD и АС равны; б) хорды AD и ВС равны; в) ∠BAD = ∠BCD.

145. Отрезок МК - диаметр окружности с центром О, а МР и РК - равные хорды этой окружности. Найдите ∠POM.

146. Отрезки АВ и CD - диаметры окружности с центром О. Найдите периметр треугольника AOD, если известно, что СВ = 13 см, АВ = 16 см.

147. На окружности с центром О отмечены точки А и В так, что угол АОВ - прямой. Отрезок ВС - диаметр окружности. Докажите, что хорды АВ и АС равны.

148. На прямой даны две точки А и В. На продолжении луча В А отложите отрезок ВС так, чтобы ВС = 2АВ.

149. Даны прямая а, точка В, не лежащая на ней, и отрезок PQ. Постройте точку М на прямой а так, чтобы BM = PQ. Всегда ли задача имеет решение?

150. Даны окружность, точка А, не лежащая на ней, и отрезок PQ. Постройте точку М на окружности так, чтобы AM = PQ. Всегда ли задача имеет решение?

151. Даны острый угол ВАС и луч XY. Постройте угол YXZ так, чтобы ∠YXZ = 2∠BAC.

152. Дан тупой угол АОВ. Постройте луч ОХ так, чтобы углы ХОА и ХОВ были равными тупыми углами.

153. Даны прямая а и точка М, не лежащая на ней. Постройте прямую, проходящую через точку М и перпендикулярную к прямой а.

Решение

Построим окружность с центром в данной точке М, пересекающую данную прямую а в двух точках, которые обозначим буквами А и В (рис. 91). Затем построим две окружности с центрами А и В, проходящие через точку М. Эти окружности пересекаются в точке М и ещё в одной точке, которую обозначим буквой N. Проведём прямую MN и докажем, что эта прямая - искомая, т. е. она перпендикулярна к прямой а.

Рис. 91

В самом деле, треугольники AMN и BMN равны по трём сторонам, поэтому ∠1 = ∠2. Отсюда следует, что отрезок МС (С - точка пересечения прямых а и MN) является биссектрисой равнобедренного треугольника АМВ, а значит, и высотой. Таким образом, MN ⊥ АВ, т. е. MN ⊥ а.

154. Дан треугольник АВС. Постройте: а) биссектрису АК; б) медиану ВМ; в) высоту СН треугольника. 155. С помощью циркуля и линейки постройте угол, равный: а) 45°; б) 22°30".

Ответы к задачам

152. Указание. Сначала построить биссектрису угла АОВ.