По когтям узнают льва. Любимый город может спать спокойно

Вариационные принципы в физике

Е. Д. Трифонов

Введение

Многие законы физики могут быть выведены из утверждения, что для истинного развития исследуемого процесса определенная характеристическая величина достигает минимального (в более общем случае экстремального ) значения по сравнению с ее значениями для некоторых других возможных течений этого процесса. Чтобы математически сформулировать это утверждение, необходимо ввести в рассмотрение уравнения, описывающие данный процесс, и с помощью изменения (вариации ) их формы добиться достижения экстремального значения вычисляемой характеристической величины. Те уравнения, при которых это экстремальное значение достигается, и выражают истинные законы изучаемого явления. В таком случае данное утверждение принимают за исходное и называют вариационным началом или вариационным принципом .

Обычное изложение механики (например, как в школьном курсе) основывается на трех законах Ньютона . Как известно, И. Ньютон внес особенно значительный вклад в развитие механики. В своем труде "Математические начала натуральной философии" (1687) он решил множество сложных задач о движении материальной точки в поле центральных сил и этим конструктивно подтвердил правильность закона всемирного тяготения . Что касается второго закона Ньютона , то, оценивая его значение, А. Эйнштейн называл его главным законом не только механики, но и всей физики. Ньютон (наряду с Г.В. Лейбницем ) был создателем дифференциального и интегрального исчислений, однако при решении механических задач он почти не пользовался этим математическим методом. Он применял геометрический метод . В упомянутой выше книге много чертежей, а стиль решения задач напоминает доказательство геометрических теорем.

Другое направление в механике возникло после работ Л. Эйлера , в которых был использован метод дифференциального и интегрального исчислений в форме, предложенной Лейбницем. Особое развитие это направление получило в трудах Ж. Лагранжа . Лагранж гордился тем, что в его книге "Аналитическая механика" (1788) нет ни одного рисунка или чертежа. Именно с применением аналитических методов в механике связаны интенсивное развитие и применение вариационных принципов. Сам термин "вариационный принцип" был впервые предложен в работе Эйлера. Однако, поскольку дифференциальное и интегральное исчисления лежат на границе школьных знаний по математике, мы не будем злоупотреблять ими и постараемся пояснить физическую идею вариационных принципов с помощью элементарных средств, доступных школьникам. Это как раз и будет составлять методическую особенность нашего изложения. Наверное, этот простой взгляд на достаточно сложную проблему окажется полезным и для тех, кто будет изучать эти вопросы на более серьезном уровне. Мы также советуем заинтересованному читателю познакомиться со статьей , посвященной изложению оптико-механической аналогии .

В наши дни исполняется 300 лет с того момента, когда были опубликованы первые сообщения о вариационном принципе в механике. В коротком письме на полстраницы, опубликованном в июньском номере немецкого научного журнала "Ученые труды" ("Acta Eruditorum") за 1696 год (см. ), Иоганн Бернулли поставил следующую задачу: "В вертикальной плоскости даны две точки А и В. Определить путь, спускаясь по которому под влиянием собственной тяжести, тело, начав двигаться из точки А, дойдет до точки В за кратчайшее время". В конце письма говорилось, что эта кривая хорошо известна в геометрии и что если по истечении текущего года никто не опубликует решение, то это сделает сам автор. В этот срок откликнулся только Лейбниц. Сообщая, что уже решил поставленную задачу, он предложил продлить конкурс до Пасхи следующего года. И вот в майском номере того же журнала за 1697 год были опубликованы решения этой задачи, полученные Лейбницем, Якобом Бернулли (братом И. Бернулли), Г. Лопиталем и самим Иоганном Бернулли. В майском же номере английского журнала "Философские труды" ("Philosophical Transactions") было помещено решение Ньютона без подписи. Но И. Бернулли определил автора. История сохранила его слова: "Я узнал льва по его когтям".

Как будет показано ниже, идея вариационных принципов в механике была инициирована вариационным принципом в оптике - принципом Ферма .

Вариационный принцип геометрической оптики - принцип Ферма

Вариационный принцип геометрической оптики был предложен Пьером Ферма (1601-1665) несколько ранее описанных выше событий, а именно в 1662 году: Если две точки находятся в различных прозрачных (однородных) средах, то луч света, чтобы пройти от одной точки к другой, преломляется у плоской поверхности, по которой соприкасаются обе среды, таким образом, что употребляет возможно меньшее время, совершенно так же, как это происходит при отражении от плоской поверхности. Хотя сам Ферма исходил из довольно общего постулата - природа действует наиболее легкими и доступными путями, - его статья носила вполне конструктивный характер (см.). Он доказал, что принцип наименьшего времени является следствием закона преломления .

Выше мы привели формулировку принципа Ферма, данную Христианом Гюйгенсом (1629-1695), современником Ферма, в его знаменитом "Трактате о свете" (1678) . Мы воспроизведем здесь также почти дословно принадлежащее ему доказательство принципа Ферма, обладающее большей простотой по сравнению с доказательством самого Ферма.

Так же как и Ферма, Гюйгенс считал, что в плотной среде свет распространяется с меньшей скоростью, чем в вакууме. Пусть KF - плоскость, разделяющая две среды (рис. 1), и точка A находится в менее плотной среде (например, в воздухе), а точка C - в более плотной среде (например, в воде). Пусть луч проходит из точки A через точку B , лежащую на границе, в точку C в соответствии с законом преломления

где n 1 , c 1 , n 2 , c 2 - показатели преломления и скорости распространения света в верхней и нижней средах соответственно. По предположению, n 1 <n 2 , c 1 >c 2 .

Требуется доказать, что время прохождения света по такому лучу самое короткое по сравнению с временем прохождения по любому другому преломленному лучу. Применим доказательство от противного. Допустим, что свет прошел по другому лучу AFC , так что точка F отстоит от точки A дальше, чем точка B . Проведем прямую FO ", параллельную AB , и построим перпендикуляры AO и BH к этим прямым. Опустим также перпендикуляр FG на прямую BC . Из того, что равен , а равен (как углы с соответственно ортогональными сторонами), следует, что

Поэтому, согласно (1), время распространения света по отрезку HF равно времени распространения по отрезку BG :

Таким образом, время прохождения света по лучу OF было бы равно времени прохождения света по пути ABG . Далее очевидно, что так как гипотенуза FC больше катета GC , то время прохождения по пути OFC больше, чем по пути ABC . Наконец, поскольку гипотенуза AF больше катета OF , то время прохождения света по пути AFC больше времени прохождения света по пути OFC и тем более по пути ABC . К аналогичному заключению можно прийти и в случае, когда точка F лежит левее точки B . Таким образом, время прохождения света по ABC самое короткое из возможных, что и требовалось доказать.

Интересно, что доказательству Гюйгенса закона преломления на основании его гипотезы о волновой природе света (которое приводится в школьном курсе физики) предшествовало рассуждение патера Меньяна "О солдатском фронте" (1648) (см. ). Его использовал Исаак Барроу (1631-1667) в своих "Лекциях по математике и оптике" (1668), в подготовке к изданию которых участвовал Исаак Ньютон (1643-1727). (Ньютон был учеником и преемником Барроу по Лукасовской кафедре в Кембриджском университете.) Эти рассуждения очень просты и наглядны. Они сводятся к тому, что при переходе из одной среды в другую световой фронт меняет свое направление так же, как меняет направление шеренга солдат, когда луг, по которому идут солдаты, преграждается пашней и граница между пашней и лугом проходит под углом к шеренге. Скорость движения солдат по пашне меньше, чем по лугу. Для сохранения строя солдаты должны маршировать по параллельным линиям как при движении по лугу, так и по пашне. Рисунок, иллюстрирующий такое движение солдатского фронта, аналогичен тому, который использовал Гюйгенс для объяснения изменения волнового фронта при преломлении и который теперь воспроизводится во всех учебниках. Очевидно, что фронт солдат быстрее всего пересечет любое замеченное место на пашне, если направление шеренги будет подчиняться закону преломления (1). Таким образом, в этих рассуждениях фактически содержалось доказательство закона преломления на основании принципа Ферма.

Принцип Ферма справедлив для любой неоднородной оптической среды с непрерывно изменяющимся показателем преломления . Здесь только следует сделать существенную оговорку: в неоднородной оптической среде две точки могут быть соединены несколькими лучами (примером может служить ход лучей при возникновении нижнего миража ) (см. ). Поэтому требуется уточнение формулировки принципа Ферма: время распространения света вдоль луча между двумя точками неоднородной оптической среды с непрерывно изменяющимся показателем преломления минимально по сравнению с временем распространения света вдоль любой бесконечно близкой траектории, соединяющей эти же точки. По поводу других уточнений формулировки принципа Ферма мы вынуждены отослать читателя к более детальному изложению этого вопроса .

Задача о брахистохроне

Теперь расскажем более подробно о том самом вариационном принципе, который был предложен Иоганном Бернулли (1667-1748). Поставленная им задача получила название задачи о брахистохроне , то есть о линии наибыстрейшего спуска. Предполагается, что материальная точка находится в однородном поле тяжести и может скатываться вниз по некоторой траектории (как бусинка, нанизанная на проволоку определенной формы). Трением при этом пренебрегают, а начальная скорость материальной точки равна нулю. Ответ, полученный И. Бернулли: этой кривой является циклоида - кривая, которую описывает точка на ободе колеса при его качении.

Рассмотрим одно важное для дальнейшего свойство циклоиды. Пусть задана окружность диаметра d , которая катится по прямой y = d в положительном направлении оси ОX , как это показано на рис. 2.

Пусть точка М окружности в начальный момент времени имела координаты x = 0, y = d . К моменту времени t окружность повернулась на угол , и точкой касания окружности оси OX является точка N . Точка N имеет нулевую мгновенную скорость, и, как говорят, через нее проходит мгновенная ось вращения. Поэтому точка М в данный момент движется по окружности радиуса MN , а касательная к циклоиде в точке M перпендикулярна к мгновенному радиусу вращения MN .x = 0, y = d ), из которой исходит циклоида, a = 0 и, следовательно, касательная параллельна оси OY . Сместившись на малую величину D вдоль оси ОY , получим с помощью (4) новое направление касательной и, перемещаясь вдоль этого направления опять на малую величину D , найдем новую точку циклоиды, в которой таким же способом сможем определить следующее положение касательной и т.д.

Итак, мы привели ответ, не показав, как он был получен. Не будем в точности повторять доказательство Бернулли, но используем его основную идею. Он исходил из принципа Ферма. Ведь минимум времени прохождения света, как мы видели в предыдущем разделе, целиком определяется выполнением закона преломления, связывающего синусы углов падения и отражения со скоростями света в соответствующих средах. Рассмотрим слоистую плоскую среду , где в каждом слое свет имеет свою скорость. Закон преломления в этом случае может быть выражен соотношением

где - угол падения на границу, разделяющую i -й и (i + 1)-й слои, c i - скорость света в i -м слое, a - некоторая константа, одинаковая для всех слоев.

Очевидно, что принцип минимума времени движения будет справедлив и для материальной точки, если для нее выполняется аналогичное соотношение между величиной скорости в данной точке траектории и синусом угла между направлением скорости и направлением, перпендикулярным к плоскости слоя, в котором абсолютное значение скорости одинаково. (Слова Бернулли: "Что мешает нам в этом случае поставить одно на место другого?")

Скорость тела при его движении в однородном поле тяжести, когда оно движется без трения по некоторой поверхности (например, по наклонной плоскости), зависит только от высоты падения: , где g - ускорение свободного падения, h - высота падения. Таким образом, слои, в которых скорости материальной точки одинаковы, расположены горизонтально, а направление, ортогональное к плоскости слоя, совпадает с направлением вертикали. Следовательно, задача о брахистохроне сводится к нахождению такой кривой, соединяющей две заданные точки, для которой синус угла между касательной к траектории и вертикалью удовлетворял бы соотношению (5)

где b - пока произвольная константа. Сравнивая (6) с (4), мы видим, что уравнение совпадает с уравнением циклоиды, причем константа b имеет смысл диаметра окружности, а h =d -y .

Из поэмы «Кавказский пленник» (1821) А. С. Пушкина (1799-1837). Позднее это выражение использует М. Ю. Лермонтов в своей поэме «Демон» (1838).

Иносказательно: о днях молодости и счастья.

С латинского: Ex ungue leonem [экс унгвэ леонэм]. В буквальном переводе: По когтю льва.

Смысл выражения: узнать льва можно по одному его когтю, или, по иной версии этого выражения, известной с античных времен, дорисовать льва по одной этой детали.

Самый древний автор, у которого, как считается, впервые встречается это выражение, - древнегреческий поэт Алкей (610 до н.э.). Позднее - у поэта Софрона Сиракузского (V в. до н.э.). Приписывается оно также и древнегреческому скульптору Фидию (500 до н.э.).

Используется обычно в переносном смысле: великого, выдающегося человека, мастера своего дела видно по его делам - его творения говорят сами за себя, свидетельствуют о таланте, мастерстве автора. Аналог русского фольклорного выражения «видно сокола по полету».

Выражение восходит к басне «Лев, Лисица и Орел» легендарного древнегреческого поэта-баснописца Эзопа (VI до н. э.), который рассказывает, как делят свою добычу эти три хищника. Позже этот же сюжет использовали другие авторы - Федр и Лафонтен.

Эту же тему развил и русский баснописец И. А. Крылов. В его басне «Лев на ловле» (1808) четыре героя - Лев, Волк, Лиса и Собака - договорились о том, что «ловить» зверей (то есть охотиться) они будут сообща, а делить добычу - поровну. Когда Волк, Лиса и Собака загнали оленя, к ним подошел Лев и начал «справедливую» дележку:

«Мы, братцы, вчетвером».

И на четверо он оленя раздирает.

«Теперь давай делить! Смотрите же, друзья:

Вот эта часть моя

По договору;

Вот эта мне, как Льву, принадлежит без спору;

Вот эта мне за то, что всех сильнее я;

А к этой чуть из вас лишь лапу кто протянет,

Тот с места жив не встанет».

Изначально выражение «львиная доля» означало большую и лучшую часть чего-либо, полученную кем-либо заведомо несправедливо, по праву сильного.

Впоследствии это выражение стало означать просто большую (лучшую) часть чего-либо.

Из эпиграммы «На Воронцова» («Сказали раз царю...», 1823) А. С. Пушкина (1799-1837). При жизни поэта не публиковалась - впервые была напечатана (1861) в Берлине в сборнике «Стихотворения Пушкина, не вошедшие в полное собрание его сочин)ений». Эта эпиграмма была снабжена примечанием: «Написано по следующему случаю: однажды за обедом во дворце, когда речь зашла о смерти Риего, граф М. С. Воронцов (впоследствии князь и наместник кавказский) сказал: «Тем лучше, одним мерзавцем меньше».

Рафаэль Риего-и-Нуньес (1785-1823) - испанский общественный деятель, лидер партии эксальтадос, возглавил восстание 1 января 1820 г., которое положило начало Испанской революции 1820-1823 гг. После поражения этой революции Риего был казнен.

В некоторых изданиях встречается иной вариант второй строки: «И в самой подлости оттенок благородства», что говорит о том, что эти стихи ходили в списках, были популярны, часто цитировались и некоторые их изменения были неизбежны.

Но подлинным, оригинальным считается текст первого, берлинского издания: ...осанку благородства.

Используется как комментарий к поведению того, кто пресмыкается перед вышестоящими, угодничает, утратив чувство собственного достоинства (неодобр., презрит., ирон.).

Из романа в стихах «Евгений Онегин» (1823-1831) А. С. Пушкина (1799-1837), гл. 8, строфа 2.

В опере П. И. Чайковского «Евгений Онегин» эти строки вошли в арию Гремина, мужа Татьяны.

Используется как шутливо-иронический комментарий по поводу пылких, юношеских чувств немолодого человека.

Из песни «Любимый город», написанной композитором Никитой Богословским на стихи Евгения Ароновича Долматовского (р. 1915) для кинофильма «Истребители» (1939). После исполнения этой песни Марком Бернесом, который играл в этом фильме роль летчика Сергея Кожухарова, она и приобрела широкую известность:

Пройдет товарищ все бои и войны,

Не зная сна, не зная тишины.

Любимый город может спать спокойно

И видеть сны, и зеленеть среди весны.

Иносказательно: все в порядке, беспокоиться не о чем (шутливо).

Из книги «Земля людей» («Terre des hommes», 1939) французского летчика и писателя Антуана де Сент-Экзюпери (1900-1944). Перевод Норы Галь.

По когтям узнают льва

По когтям узнают льва
С латинского: Ex ungue leonem pingere (экс унгвэ леонэм пингэрэ). Перевод: Нарисовать льва, начав этот рисунок с его когтя.
Выражение восходит к древнегреческому источнику. Согласно историку Плутарху («Об оракулах»), автором этих слов является Алкей (VII в. до н. э.). Как сообщает писатель Лукиан («Hermotimus»), так однажды выразился великий скульптор Древней Греции Фидий (ок. 500 до н. э.).
Уже в Древнем Риме выражение стало употребляться в современном смысле: «по когтям» (одному какому-либо признаку) узнать человека в целом, то есть узнать чью-либо «руку» (талант, ум) в каком-либо деле.
В современной Греции до сих пор бытуют фольклорные производные от вышеприведенного выражения: «По ноге узнаем Геркулеса» (одобр.) и «По ушам узнают осла» (неодобр.).
В русской литературе впервые встречается у известного церковного деятеля и писателя XVII в. Дмитрия Ростовского: «От ногтей познается лев» (Филарет. Обзор русской духовной литературы. СПб., 1884). Известна также современная, поэтическая версия этого выражения, принадлежащая Борису Пастернаку: «По когтям узнаю тебя, львица» (применяется, естественно, к женщине).

Энциклопедический словарь крылатых слов и выражений. - М.: «Локид-Пресс» . Вадим Серов . 2003 .

Смотреть что такое "По когтям узнают льва" в других словарях:

С латинского: Ex ungue leonem (экс унгвэ леонэм). В буквальном переводе: По когтю льва. Смысл выражения: узнать льва можно по одному его когтю, или, по иной версии этого выражения, известной с античных времен, дорисовать льва по одной этой детали … Словарь крылатых слов и выражений

Вид на остров из космоса … Википедия

В Викицитатнике есть страница по теме Латинские пословицы Во многих языках мира, в том числе в … Википедия

Алкей, Alkaios, из Митилены на Лесбосе, VII/VI вв. до н. э., греческий лирический поэт. Современник Сапфо, наиболее выдающийся рядом с ней эолийский поэт (то есть писавший на эолийском диалекте) с острова Лесбос. Происходил из аристократического… … Античные писатели

- (Mustelidae)* * Семейство куньи включает 23 современных рода и около 65 видов хищных, от мелких (в том числе самых мелких представителей отряда) до средних (до 45 кг). Куньи распространены по всей Евразии, Африке, Северной и Южной Америке … Жизнь животных

По когтям узнают льва
С латинского: Ex ungue leonem pingere (экс унгвэ леонэм пингэрэ). Перевод: Нарисовать льва, начав этот рисунок с его когтя.
Выражение восходит к древнегреческому источнику. Согласно историку Плутарху («Об оракулах»), автором этих слов является Алкей (VII в. до н. э.). Как сообщает писатель Лукиан («Hermotimus»), так однажды выразился великий скульптор Древней Греции Фидий (ок. 500 до н. э.).
Уже в Древнем Риме выражение стало употребляться в современном смысле: «по когтям» (одному какому-либо признаку) узнать человека в целом, то есть узнать чью-либо «руку» (талант, ум) в каком-либо деле.
В современной Греции до сих пор бытуют фольклорные производные от вышеприведенного выражения: «По ноге узнаем Геркулеса» (одобр.) и «По ушам узнают осла» (неодобр.).
В русской литературе впервые встречается у известного церковного деятеля и писателя XVII в. Дмитрия Ростовского: «От ногтей познается лев» (Филарет. Обзор русской духовной литературы. СПб., 1884). Известна также современная, поэтическая версия этого выражения, принадлежащая Борису Пастернаку: «По когтям узнаю тебя, львица» (применяется, естественно, к женщине).

• - пос. Лев-Толстовского района Октябрьского сельсовета. Усадьба совхоза им. Льва Толстого. Совхоз и поселок названы по находящемуся рядом районному центру – поселку городского типа Лев Толстой...

  Липецкая топонимия

• - 1) Орден церингенского Л. учрежден Карлом-Людовиком-Фридрихом, вел. герцогом Баденским, в 1812 г.; имеет 6 степеней, к которым в 1877 г. был прибавлен орден Бертольда, как высшая степень...
• - сердце Скорпиона - главные звезды в этих созвездиях...

  Энциклопедический словарь Брокгауза и Евфрона

• - Знала бы наседка, узнает и соседка. Ср. Was du weisst allein, das ist gänzlich dein. Was kommt in den dritten Mund, Wird aller Welt kund. Ср. Man flüstert oft einem in"s Ohr, was die Spatzen auf den Dächern wissen...
• - С латинского: Ex ungue leonem pingere . Перевод: Нарисовать льва, начав этот рисунок с его когтя. Выражение восходит к древнегреческому источнику...

  Словарь крылатых слов и выражений

• - Книжн. Устар. Сильный, смелый, решительный человек узнается по поступкам. БМС 1998, 205...

  Большой словарь русских поговорок

• - ЛЬВА, льву и т.д. см....

  Толковый словарь Ушакова

• - Знать зверя по когтям, знать и по копытам. Ср. Ни мне, ни площадному шуту Не удалось прикрыть своих проказ: Он по когтям узнал меня в минуту, Я по ушам узнал его как раз. А.С. Пушкин. Ex ungue leonem...

  Толково-фразеологический словарь Михельсона

• - Знать звѣря по когтямъ, да по ушамъ. Знать звѣря по когтямъ, знать и по копытамъ...
• - Скажешь съ уха на ухо, узнаютъ съ угла на уголъ. Знала бы насѣдка, узнаетъ и сосѣдка. Ср. Was du weisst allein, das ist gänzlich dein. Was kommt in den dritten Mund, Wird aller Welt kund. Ср. Man flüstert oft einem in’s Ohr, was die Spatzen auf den Dächern wissen...

  Толково-фразеологический словарь Михельсона (ориг. орф.)

• - Устар. Прост. Поговорка о человеке, о котором можно судить по его поступкам, поведению. Не хочу я вас побуждать, как делают прочие, к продолжению сего труда, ниже вас хвалить; зверёк по когтям виден...

  Фразеологический словарь русского литературного языка

• - См. ИГРЫ - ЗАБАВЫ -...
• - См. ПУТЬ -...

  В.И. Даль. Пословицы русского народа

• - По зубам, да по когтям и зверя знать...

  В.И. Даль. Пословицы русского народа

• - См. МОЛВА -...

  В.И. Даль. Пословицы русского народа

• - сущ., кол-во синонимов: 1 сингапур...

  Словарь синонимов

"По когтям узнают льва" в книгах

К патографии Льва Толстого (К вопросу об эпилептических припадках у Льва Толстого) Проф. Сегалин Г. В

Их не узнают