Определение прерывности фнп. Непрерывность функции нескольких переменных

Размер: px

Начинать показ со страницы:

Транскрипт

1 Функции нескольких переменных 11. Определение функции нескольких переменных. Предел и непрерывность ФНП 1. Определение функции нескольких переменных ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть X = { 1 n i X i R } U R. Функция: X U называется функцией n переменных. Записывают: u = 1 n где закон задающий соответствие между 1 n и u. Значение u = 1 n при 1 = 1 = n = n записывают в виде u = 1 n или u 1 1 n n

2 Называют: X область определения функции Обозначают: Du 1 n аргументы независимые переменные U область значений Обозначают: Eu u u U зависимая переменная функция. СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ФНП 1 словесный; табличный; 3 аналитический: а явное задание т.е. формулой u = 1 n б неявное задание т.е. уравнением F 1 n u =. 4 Функцию = можно задать графически. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Графиком функции = называется геометрическое место точек пространства с координатами; ; D. График функции = будем также называть «поверхностью =».

3 Линией уровня функции = называют геометрическое место точек плоскости в которых функция принимает одно и то же значение C. 1 Линия уровня линия в D которая имеет уравнение = C. Линия уровня проекция на плоскость O линии пересечения графика функции = и плоскости = C. Полагаем C равными C 1 C 1 + h C 1 + h C 1 + nh. Получим линии уровня по расположению которых можно судить о графике функции и следовательно о характере изменения функции.

4 Таким образом там где линии «гуще» функция изменяется быстрее поверхность изображающая функцию идет круче.

5 Поверхностью уровня функции u = называют геометрическое место точек пространства O в которых функция принимает одно и то же значение C. Уравнение поверхности уровня: = C.. Предел функции нескольких переменных Напомним: Число AR называется пределом функции при стремящемся к пределом функции в точке если > > такое что если U * то UA.

6 O ; = = где DO. ; O u = = где DO. ; ; По аналогии последовательность 1 n будем считать декартовыми координатами точки n-мерного пространства и рассматривать функцию n переменных как функцию точки этого пространства. Обозначают: R n n-мерное пространство u = где 1 n R n функции n переменных.

7 Если 1 1 O то расстояние между ними обозначают: 1 находится по формуле: Если O то Если O то Обобщая эти формулы будем считать что расстояние между точками n-мерного пространства 1 1 n 1 n R n равно n n

8 Пусть 1 n R n. Множество точек R n находящихся от на расстоянии меньшем будем называть -окрестностью точки и обозначать U. Иначе говоря -окрестность 1 n состоит из таких точек 1 n для которых имеет место неравенство 1 1 n n При n = 1 U = {O = < } = +. При n = U { O т.е. U точки круг с центром в точке и радиусом. При n = 3 U { O } т.е. U точки шар с центром в точке и радиусом. }

9 -окрестность точки R n без самой точки будем называть проколотой и обозначать U* Пусть функция n переменных u = определена в некоторой окрестности точки R n кроме может быть самой. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Число AR называется пределом функции при стремящемся к пределом функции в точке если > > такое что если U * то UA. Записывают в общем случае: lim A A ïðè Для функции = : lim A.

10 Замечания. 1 Условие U * означает что выполняется неравенство: n 1 1 n Условие UA означает что для выполняется неравенство A < 3 Так как формально определение предела функции n переменных ничем не отличается от определения предела функции одной переменной то все утверждения которые были получены о пределах функции одной переменной и в которых не используется упорядоченность точек числовой прямой остаются верными и для предела функции n переменных. 4 Определение бесконечно большой функции переносится на случай функции n переменных тоже дословно сформулировать самостоятельно.

11 3. Непрерывность функции нескольких переменных Пусть u = определена в некоторой окрестности R n. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Функция называется непрерывной в точке если справедливо равенство lim или иначе говоря если > > такое что если U т.е. < то U т.е. <. Справедливы утверждения: 1 арифметические операции над непрерывными в точке функциями приводят к непрерывным в этой точке функциям при условии что деление производится на функцию не обращающуюся в ноль; сложная функция составленная из нескольких непрерывных функций тоже будет непрерывной.

12 Если функция u = определена в некоторой окрестности точки за исключением может быть самой но не является в этой точке непрерывной то ее называют разрывной в точке а саму точку точкой разрыва. Пусть G некоторое множество точек в R n и G. Точка называется внутренней точкой множества G если U G. Множество каждая точка которого внутренняя называется открытым. Точка называется граничной точкой множества G если в любой ее -окрестности есть как точки из G так и точки не принадлежащие G. Множество всех граничных точек множества G называется его границей. Множество содержащее свою границу называется замкнутым.

13 Множество G называется связным если любые две его точки можно соединить непрерывной кривой состоящей из точек этого множества. Замечание. Непрерывной кривой в n-мерном пространстве называется геометрическое место точек 1 n координаты которых удовлетворяют уравнениям 1 = 1 t = t n = n t где 1 = 1 t = t n = n t непрерывные функции параметра t;. Связное открытое множество называется областью. Связное замкнутое множество называется замкнутой областью. Область целиком лежащая в некоторой -окрестности точки O называется ограниченной.

14 ТЕОРЕМА аналог теорем Вейерштрасса и Коши для ФНП. Если функция n переменных u = непрерывна в замкнутой и ограниченной области D то она 1 ограничена; достигает в D своего наибольшего и наименьшего значения; 3 принимает все промежуточные значения между любыми двумя своими значениями.

15 1. Частные производные Для наглядности здесь и далее все определения и утверждения будем формулировать для функции -х или 3-х переменных. На случай большего числа неизвестных они обобщаются естественным образом. Пусть = D = D O D открытая область. Пусть D. Придадим приращение оставляя значение неизмененным так чтобы точка + D. При этом = получит приращение = = +. называется частным приращением функции = по в точке.

16 ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Предел при отношения если он существует и конечен называется частной производной функции = по переменной в точке. Обозначают: или

17 Замечания. 1 Обозначения и надо понимать как целые символы а не как частное двух величин. Отдельно взятые выражения и смысла не имеют. характеризует скорость изменения функции = по в точке физический смысл частной производной по. Аналогично определяется частная производная функции = по переменной в точке: lim lim Обозначают:

18 Соответствие и является функцией определенной на D 1 D D. Ее называют частной производной функции = по переменной и обозначают Операция нахождения для функции = ее частных производных называется дифференцированием функции = по переменной и соответственно. ; ; ; ;. è

19 Фактически это обыкновенная производная функции = рассматриваемой как функция одной переменной соответственно при постоянном значении другой переменной. Поэтому вычисление частных производных производится по тем же самым правилам что и для функции одной переменой. При этом одна из переменных считается константой. ПРИМЕР. Найти частные производные по и по функции = + + 3

20 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ частных производных функции ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ. Пусть функция = имеет в частную производную по. Пусть поверхность S график функции =. S P T A Тогда tg tg где угол наклона к оси OO касательной проведенной в точке P к линии пересечения поверхности S и плоскости = =. S P K B

5 Глава ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Пространство R n Понятие функции нескольких переменных Определение Множество всех упорядоченных наборов (, n), где, n - действительные числа называется n-мерным

13. Частные производные высших порядков Пусть = имеет и определенные на D O. Функции и называют также частными производными первого порядка функции или первыми частными производными функции. и в общем

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Функции одной независимой переменной не охватывают все зависимости, существующие в природе. Поэтому естественно расширить известное понятие функциональной зависимости и ввести

М И Н И С Т Е Р С Т В О О Б Р А З О В А Н И Я И Н А У К И Р О С С И Й С К О Й Ф Е Д Е Р А Ц И И ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «Национальный исследовательский

I Определение функции нескольких переменных Область определения При изучении многих явлений приходится иметь дело с функциями двух и более независимых переменных Например температура тела в данный момент

ЛЕКЦИЯ N9. Функции нескольких переменных. Предел. Непрерывность..Основные определения и обозначения.....понятие функции нескольких переменных.... 3.Предел функции нескольких переменных.... 3 4.Непрерывность

Лекции Глава Функции нескольких переменных Основные понятия Некоторые функции многих переменных хорошо знакомы Приведем несколько примеров Для вычисления площади треугольника известна формула Герона S

Лекция подготовлена доц Мусиной МВ Непрерывность функции Пусть функция y = f(x) определена в точке x и в некоторой окрестности этой точки Функция y = f(x) называется непрерывной в точке x, если существует

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 1. Основные понятия. Если каждой паре независимых друг от друга переменных, из некоторого множества D ставится в соответствие переменная величина, то называется функцией двух

Раздел 2 Теория пределов Тема Числовые последовательности Определение числовой последовательности 2 Ограниченные и неограниченные последовательности 3 Монотонные последовательности 4 Бесконечно малые и

Глава 3 Функция нескольких переменных 1 Основные понятия Пусть имеется n+1 переменная 1, n, которые связаны между собой так, что каждому набору числовых значений переменных 1, n соответствует единственное

~ 1 ~ ФУНКЦИЯ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 3 Функция двух переменных, область определения, способы задания и геометрический смысл. Определение: z f, называется функцией двух переменных, если каждой паре значений,

44 Пример Найти полную производную сложной функции = sin v cos w где v = ln + 1 w= 1 По формуле (9) d v w v w = v w d sin cos + cos cos + 1 sin sin 1 Найдем теперь полный дифференциал сложной функции f

Непрерывность функций Непрерывность функции в точке Односторонние пределы Определение Число A называется пределом функции f(x) слева при стремлении x к a, если для любого числа существует такое число

Поздравляю с началом нового учебного года. Желаю успехов в изучении функций многих переменных и дифференциальных уравнений Веб- страница кафедры http://kvm.gubkin.ru 1 Функции многих переменных 2 Определение

СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ 5 Тема ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Лекция Пространство R 6 Лекция Предел и непрерывность функции нескольких переменных 5 Лекция 3 Функции многих переменных

3. Бесконечно большие последовательности ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Числовая последовательность { n } называется бесконечно большой, если M> NN такое, что n >M, n>n. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

Тема 8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Лекция 8.1. Функции нескольких переменных. Частные производные П л а н 1. Понятие функции двух и нескольких переменных.. Предел и непрерывность

4. Непрерывность функции 1. Основные определения Пусть f(x) определена в некоторой окрестности точки x. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Функция f(x) называется непрерывной в точке x если справедливо равенство f (x). (1)

Последовательность. Определение. Если каждому натуральному числу (N) по некоторому закону приведено в соответствие число { }, то этим определена числовая последовательность,... (или просто последовательность).

ЛЕКЦИЯ N33. Функции комплексного переменного. Пределы. Непрерывность. Элементарные функции. Дифференцирование ФКП. Свойства производных. 1.Последовательности комплексных чисел. Предел.... 1.Ограниченные

Математический анализ Раздел: Введение в анализ Тема: Предел функции предел функции и его свойства, бесконечно большие функции и их свойства Лектор Янущик ОВ 215 г 3 Предел функции 1 Определение предела

[ определение геометрическое представление для функции двух переменных способы задания функций классификация множеств R (n) предел функции - непрерывность теоремы о непрерывных функциях - примеры ] Функция

Методические указания и варианты РГР по теме Функция нескольких переменных для студентов специальности Дизайн. Если величина однозначно определяется заданием значений величин и, независимых друг от друга,

Уметь: Тема 1. Предел и непрерывность функции Вычислять пределы функций и числовых последовательностей, используя различные приемы, в том числе, замечательные пределы, проводить сравнение бесконечно малых

Введение в анализ функции нескольких переменных Л.И. Терехина, И.И. Фикс Функции нескольких переменных Лекция 1 До сих пор подробно изучалась теория функций одного независимого переменного. В действительности

Тема 6. Пределы последовательностей и функций, их свойства и приложения 1 Теория функций нескольких переменных (аргументов) Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных Определение функции

Дифференцирование неявно заданной функции Рассмотрим функцию (,) = C (C = const) Это уравнение задает неявную функцию () Предположим, мы решили это уравнение и нашли явное выражение = () Теперь можно

Занятие 7 Теоремы о среднем. Правило Лопиталя 7. Теоремы о среднем Теоремы о среднем это три теоремы: Ролля, Лагранжа и Коши, каждая следующая из которых обобщает предыдущую. Эти теоремы называют также

Практическое занятие ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНОЙ И НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ Дифференцирование сложной функции Дифференцирование неявной функции задаваемой одним уравнением Системы неявных и параметрически заданных

ПЕРЕМЕННЫЕ И ПОСТОЯННЫЕ ВЕЛИЧИНЫ В результате измерения физических величин (время, площадь, объем, масса, скорость и т.д.) определяются их числовые значения. Математика занимается величинами, отвлекаясь

Тема Теория пределов Практическое занятие Числовые последовательности Определение числовой последовательности Ограниченные и неограниченные последовательности Монотонные последовательности Бесконечно малые

1 Расположение точек на комплексной плоскости Определим для функций двух действительных переменных основные геометрические понятия, связанные с расположением точек на плоскости. Определения будем давать

Составитель ВПБелкин 1 Лекция 1 Функция нескольких переменных 1 Основные понятия Зависимость = f (1, n) переменной от переменных 1, n называется функцией n аргументов 1, n В дальнейшем будем рассматривать

5 Точка в которой F F F или хотя бы одна из этих производных не существует называется особой точкой поверхности В такой точке поверхность может не иметь касательной плоскости Определение Нормалью к поверхности

ФУНКЦИЯ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО Понятие функции Понятие функции связано с установлением зависимости между элементами двух множеств Пример: А множество натуральных чисел а В множество квадратов натуральных чисел

ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

8 Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида k a, (46) где (a k) - заданная числовая последовательность с комплексными членами k Ряд (46) называется сходящимся, если

Лекция. Функциональные ряды. Определение функционального ряда Ряд, членами которого являются функции от x, называется функциональным: u = u (x) + u + K+ u + K = Придавая x определенное значение x, мы

ЛЕКЦИЯ 8 Дифференциал функции в точке Производная сложной и обратной функции Дифференциал функции в точке Пусть функция f () определена в некоторой окрестности точки Если приращение функции f () можно

Лекции 89 Глава 5 Непрерывность функции 5 Непрерывность функции в точке Понятие непрерывности функции является одним из основных понятий высшей математики Очевидно графиком непрерывной функции является

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ Найти область определения D и множество значений Е функции y Р е ш е н и е Функция y определена если те если Поэтому областью определения функции является множество f ; D R Поскольку

2 2. Метрические пространства Одним из часто встречающихся в математике понятий является понятие расстояния. Оно используется в аналитической геометрии при изучении свойств геометрических объектов в евклидовых

I курс, задача. Докажите, что функция Римана, если 0, m m R(), если, m, m 0, и дробь несократима, 0, если иррационально, разрывна в каждой рациональной точке и непрерывна в каждой иррациональной. Решение.

Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Дифференциальное исчисление Составитель:

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский

ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Математический анализ (v.) 1 Числовые ряды. 1.1 Понятие числового ряда. Сходимость числового ряда. Определение. Рассмотрим числовую последовательность {a n } и образуем выражение вида: a 1 + a +... + a

Понятие комплексного переменного Предел и непрерывность комплексного переменного Пусть дано два множества комплексных чисел D и Δ и каждому числу z D поставлено в соответствие число ω Δ которое обозначается

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Интегральные суммы и определённый интеграл Пусть дана функция y = f (), определённая на отрезке [, b ], где < b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. ПРИЛОЖЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ Понятие производных и дифференциалов высших порядков Производная f (называется производной первого порядка (или

10 Исследование функций и построение графиков 10 ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ 1 Возрастание и убывание функции 1 x (1 1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ Функция y = f (x) называется возрастающей (неубывающей)

Лекция 4 Дифференциальные уравнения первого порядка Общие понятия Дифференциальными уравнениями называются уравнения, в которых неизвестными являются функции одной или нескольких переменных, и в уравнения

Вопросы для подготовки к экзамену Тема. Линейная алгебра 1. Что такое определитель? При каких преобразованиях величина определителя не меняется? 2. В каких случаях определитель равен нулю? Что следует

ЛЕКЦИЯ N Свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций Замечательные пределы Непрерывность функций Свойства бесконечно малых Признаки существования предела 3Свойства бесконечно больших 4Первый

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Понятие производной, ее геометрический и физический смысл Задачи, приводящие к понятию производной Определение Касательной S к линии y f (x) в точке A x ; f (

Lim 3 Дифференцирование функций 3 Производная функции Производной функции f в точке называют следующий предел f f df f " d, где f " и df d условные обозначения производной Операция нахождения производной

Математический анализ Раздел: Интегрирование ФНП Тема: Криволинейный интеграл II рода Лектор Пахомова Е.Г. 2013 г. 10 10. Криволинейный Криволинейный интеграл интеграл II II рода рода по по координатам

Лекция 6 1 СА Лавренченко Производные 1 Определения производной Производная функции фундаментальное понятие дифференциального исчисления определяется как предел разностного отношения Определение 11 (производной

Построение графиков функций 1. План исследования функции при построении графика 1. Найти область определения функции. Часто полезно учесть множество значений функции. Исследовать специальные свойства функции:

РАЗДЕЛ 5 Интегральное исчисление функций одной переменной Материалы подготовлены преподавателями математики кафедры общеобразовательных дисциплин для системы электронного дистанционного обучения Содержание

Лекция 9. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля. Пусть функция y дифференцируема на некотором отрезке [b]. В таком случае ее производная

Лекция 5 Производные основных элементарных функций Аннотация: Даются физическая и геометрическая интерпретации производной функции одной переменной Рассматриваются примеры дифференцирования функции и правила

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» МА Бодунов, СИ Бородина, ВВ Показеев, БЭ Теуш ОИ Ткаченко, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» ОГ Павловская ЕС Плюснина МАТЕМАТИКА Часть Функции нескольких переменных Методические указания

I Множества Основные понятия Отображение множеств Множество одно из основных понятий математики, которое не определяется Множество состоит из элементов Всякая совокупность элементов произвольного рода

Для функций нескольких переменных могут быть введены понятия предела и непрерывности. Введенные ранее понятия предела и непрерывности для функции одной переменной представляют собой частный случай этих понятий для функций нескольких перменных.

Число А называется пределом функции y = f(X) =f(х 1 , х 2 , …х n)при Х, стремящемся к Х (0) = (х 1 (0) , х 2 (0) , …х n (0)) (или в точке Х (0) ), если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа, найдется такое положительное число(зависящее от, т.е.=()), что для всех точек Х, отстоящих от Х (0) на расстояние, меньшее, (кроме, разве что, самой точки Х (0) , т.е. при) верно неравенство: |f(Х) - А| <.

Предел функции в точке Х (0) обозначается
или f(X)А приXХ (0) или
.

Итак, число А есть предел функции у = f(X) при XХ (0) , если для любого> 0 найдется такая-окрестность точки Х (0) , что для всех точек из этой окрестности значения функции f(Х) будут заключены в-окрестности точки А на числовой оси значений функции.

Вычисление пределов функций многих переменных значительно сложнее, чем в случае функций одной переменной. Если на прямой существуют всего два направления, по которым аргумент может стремиться к предельной точке (справа и слева), то в простанствах большей размерности (даже в двумерном пространстве - на плоскости) таких направлений бесконечное много, и пределы функции по разным направлениям могут не совпадать. Однако, в некоторых случаях такие пределы вычисляются достаточно легко (пример - см. учебник Кремера стр. 407).

Функция многих переменных называется непрерывной в точке, если она определена в этой точке, имеет в ней конечный предел, и этот предел равен значению функции в этой точке, т.е.
.

Геометрический смысл непрерывности функции двух переменных заключается в том, что график этой функции представляет собой сплошную поверхность.

Частные производные функции многих переменных

Возьмем точку X = (х 1 , х 2 , …х n). Дадим аргументу х 1 приращениех 1 , аргументу х 2 приращениех 2 и т.д., аргументу х n приращениех n ; тогда функцияz=f(x) получит приращениеz=f(х 1 +х 1 , х 2 +х 2 , …х n +х n) -f(X). Эту величину называютсяполным приращением функции в точке X. Если задать приращение только одного из аргументов, то полученные приращения функции называючастными . Например,,,- частные приращения.

В общем случае полное приращение функции, не равно сумме частных, хотя иногда такая ситуация может иметь место.

Например, найдем частные и полное приращение функции z= 1/(х 1 х 2).

Частное приращение по аргументу х 1 примет вид:

Частное приращение по аргументу х 2 примет вид:

Полное приращение примет вид:

Можно показать, что в этом примере сумма частных приращений не равна полному приращению функции z:

Частной производной функции нескольких переменныхz=f(X) называют предел отношения соответствующего частного приращения функции к приращению рассматриваемого аргумента при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует):.

Частную производную обозначают илиz/x j .

Из определения частных производных следует, что для нахождения производной z/x j надо считать постоянными все переменные аргументы, кроме одного -x j .

В частности, если zпредставляет собой функцию двух переменныхxиy(z=f(x,y)), то ее частная производная по х равна
, и для ее нахождения надо считать постоянным аргументy. Частная производнаяzпоyравна
, и для ее нахождения надо считать постоянным аргумент х.

Например, найдем частные производные следующих функций:

Пример 1 .z=xlny+y/x

Чтобы найти частную производную по х, считаем у постоянной величиной. Тогда, z x " =lny* (x)" +y*(1/x)" =lny+y*(-1)*x -2 =lny–y/(x 2).

Аналогично продифференцируем эту функцию по у, считаея х постоянной: z y " =x(lny)" + (1/x)*(y)" =x/y+ 1/x

Пример 2 .z=x y

Частная производная по х представляет собой производную степенной функции, т.е. z x " =yx y -1 .

Частная производная по yпредставляет собой производную показательной функции, т.е.z y " =x y lnx.

Понятие частной производной имеет вполне четкий экономический смысл. Поскольку функции нескольких переменных в экономике выражают зависимость некоторой величины от нескольких других факторов (иногда включая время), частная производная выступает как скорость изменения этой величины во времени или относительного другого исследуемого фактора при условии, что остальные факторы не меняются.

Например, пусть магазин продает мороженое – сливочное по 25 руб. за штуку, шоколадное по 30 руб. за штуку и фисташковое по 32 руб. за штуку. Обозначим х 1 – объем продаж сливочного мороженого (шт.), х 2 – объем продаж шоколадного мороженого (шт.), х 3 – объем продаж фисташкового мороженого (шт.). Тогда выручкуz(руб.) магазина от продажи этих сортов мороженого можно рассчитать с помощью функции трех переменныхz= 25х 1 + 30х 2 + 32х 3 . Найдем частную производную этой функции по х 1:= 25. Каков экономический смысл этой величины? Она показывает, на сколько возрастет выручка при единичном изменении продаж сливочного мороженого, при условии, что продажи остальных видов мороженого останутся на прежнем уровне. Иными словами, это скорость изменения общей выручки относительно изменения продаж сливочного мороженого. Аналогичные рассуждения можно провести для обеих других переменных.

Рассмотренное выше понятие частной производной относится к частной производной первого порядка . Введем понятия частных производных более высоких порядков.

Если частные производные первого порядка являются дифференцируемыми функциями, то можно найти и их частные производные, которые называются частными производными второго порядка :
. На основании частных производных второго порядка можно вычислить частные производные третьего порядка и т.д.

Можно доказать, что если частные производные второго порядка функции z = f(x, у) непрерывны в некоторой точке, то в этой точке
.

ГЛАВА III. Функции нескольких переменных §11. Определение функции нескольких переменных. Предел и непрерывность ФНП 1. Определение функции нескольких переменных ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть X = {(x 1, x 2, …, x n) | x i X i }, U. Функция f: X U называется функцией n переменных. Записывают:u = f(x 1, x 2, …, x n), где f – закон, задающий соответствие между x 1, x 2, …, x n и u. Значение u = f(x 1, x 2, …, x n) при x 1 = x 01, x 2 = x 02, …, x n = x 0n записывают в виде u = f(x 01, x 02, …, x 0n) или

Называют: X – область определения функции (Обозначают: D(u)), x 1, x 2, …, x n – аргументы (независимые переменные), U – область значений (Обозначают: E(u)), u (u U) – зависимая переменная (функция). СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ФНП 1) словесный; 2) табличный; 3) аналитический: а) явное задание (т.е. формулой u = f(x 1, x 2, …, x n)) б) неявное задание (т.е. уравнением F(x 1, x 2, …, x n,u) = 0). 4) Функцию z = f(x,y) можно задать графически. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Графиком функции z = f(x,y) называется геометрическое место точек пространства с координатами (x; y; f(x,y)), (x,y) D(z). График функции z = f(x,y) будем также называть «поверх- ностью z = f(x,y) ».

Линией уровня функции z = f(x,y) называют геометрическое место точек (x,y) плоскости, в которых функция принимает одно и то же значение C. 1) Линия уровня – линия в D(z), которая имеет уравнение f(x,y) = C. 2) Линия уровня – проекция на плоскость xOy линии пере- сечения графика функции z = f(x,y) и плоскости z = C. Полагаем C равными C 1, C 1 + h, C 1 + 2h, …, C 1 + nh. Получим линии уровня, по расположению которых можно судить о графике функции и, следовательно, о характере изменения функции.

Поверхностью уровня функции u = f(x,y,z) называют геометри- ческое место точек пространства Oxyz, в которых функция принимает одно и то же значение C. Уравнение поверхности уровня: f(x,y,z) = C. 2. Предел функции нескольких переменных Напомним: Число A называется пределом функции f(x) при x стремящемся к x 0 (пределом функции f(x) в точке x 0), если >0 >0 такое, что если x U * (x 0,), то f(x) U(A,). 0 >0 такое, что если x U * (x 0,), то f(x) U(A,).">

(x,y) M xOy ; z = f(x,y) = f(M), где M D xOy. (x,y,z) M Oxyz u = f(x,y,z) = f(M), где M D Oxyz. По аналогии, последовательность (x 1, x 2, …, x n) будем считать декартовыми координатами точки n-мерного пространства и рассматривать функцию n переменных как функцию точки этого пространства. Обозначают: n – n-мерное пространство, u = f(M), где M(x 1, x 2, …, x n) n – функции n переменных.

Если M 1 (x 1), M 2 (x 2) Ox, то расстояние между ними (обознача- ют: | M 1 M 2 |) находится по формуле: Если M 1 (x 1,y 1), M 2 (x 2,y 2) xOy, то Если M 1 (x 1,y 1,z 1), M 2 (x 2,y 2,z 2) Oxyz, то Обобщая эти формулы, будем считать, что расстояние между точками n-мерного пространства M 1 (x 1, x 2, …, x n), M 2 (y 1, y 2, …, y n) n равно

Пусть M 0 (x 01, x 02, …, x 0n) n. Множество точек n, находя- щихся от M 0 на расстоянии меньшем, будем называть -окрестностью точки M 0 и обозначать U(M 0,). Иначе говоря, -окрестность M 0 (x 01, x 02, …, x 0n) состоит из таких точек M(x 1, x 2, …, x n), для которых имеет место неравенство При n = 1 U(M 0,) = {M Ox | |M 0 M| = |x – x 0 |

Окрестность точки M 0 n без самой точки M 0 будем называть проколотой и обозначать U*(M 0,) Пусть функция n переменных u = f(M) определена в некоторой окрестности точки M 0 n, кроме, может быть, самой M 0. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Число A называется пределом функции f(M) при M стремящемся к M 0 (пределом функции f(M) в точке M 0), если >0 >0 такое, что если M U * (M 0,), то f(M) U(A,). Записывают в общем случае: Для функции z = f(x,y): 0 >0 такое, что если M U * (M 0,), то f(M) U(A,). Записывают в общем случае: Для функции z = f(x,y):">

Замечания. 1)Условие M U * (M 0,) означает, что выполняется неравен- ство: 2)Условие f(M) U(A,) означает, что для f(M) выполняется неравенство| f(M) – A |

0 >0 такое, что еслиM U(M 0,) " title="3. Непрерывность функции нескольких переменных Пусть u = f(M) определена в некоторой окрестности M 0 n. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Функция f(M) называется непрерывной в точке M 0 если справедливо равенство или, иначе говоря, если >0 >0 такое, что еслиM U(M 0,) " class="link_thumb"> 12 3. Непрерывность функции нескольких переменных Пусть u = f(M) определена в некоторой окрестности M 0 n. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Функция f(M) называется непрерывной в точке M 0 если справедливо равенство или, иначе говоря, если >0 >0 такое, что еслиM U(M 0,) (т.е. | MM 0 | 0 >0 такое, что еслиM U(M 0,) "> 0 >0 такое, что еслиM U(M 0,) (т.е. | MM 0 | 0 >0 такое, что еслиM U(M 0,) " title="3. Непрерывность функции нескольких переменных Пусть u = f(M) определена в некоторой окрестности M 0 n. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Функция f(M) называется непрерывной в точке M 0 если справедливо равенство или, иначе говоря, если >0 >0 такое, что еслиM U(M 0,) "> title="3. Непрерывность функции нескольких переменных Пусть u = f(M) определена в некоторой окрестности M 0 n. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Функция f(M) называется непрерывной в точке M 0 если справедливо равенство или, иначе говоря, если >0 >0 такое, что еслиM U(M 0,) ">

Если функция u = f(M) определена в некоторой окрестности точки M 0 (за исключением, может быть, самой M 0), но не является в этой точке непрерывной, то ее называют разрывной в точке M 0, а саму точку M 0 – точкой разрыва. Пусть G – некоторое множество точек в n и M 0 G. Точка M 0 называется внутренней точкой множества G, если U(M 0,) G. Множество, каждая точка которого – внутренняя, называется открытым. Точка M 0 называется граничной точкой множества G, если в любой ее -окрестности есть как точки из G, так и точки, не принадлежащие G. Множество всех граничных точек множества G называется его границей. Множество, содержащее свою границу, называется замкнутым.

Множество G называется связным, если любые две его точки можно соединить непрерывной кривой, состоящей из точек этого множества. Замечание. Непрерывной кривой в n-мерном пространстве называется геометрическое место точек M(x 1, x 2, …, x n), координаты которых удовлетворяют уравнениям x 1 = x 1 (t), x 2 = x 2 (t), …, x n = x n (t), гдеx 1 = x 1 (t), x 2 = x 2 (t), …, x n = x n (t) – непрерывные функции параметра t (;). Связное открытое множество называется областью. Связное замкнутое множество называется замкнутой областью. Область, целиком лежащая в некоторой -окрестности точки O(0,0,…,0), называется ограниченной.

ТЕОРЕМА (аналог теорем Вейерштрасса и Коши для ФНП). Если функция n переменных u = f(M) непрерывна в замкнутой и ограниченной области D, то она 1) ограничена; 2) достигает в D своего наибольшего и наименьшего зна- чения; 3) принимает все промежуточные значения между любыми двумя своими значениями.

§12. Частные производные Для наглядности, здесь и далее все определения и утверждения будем формулировать для функции 2-х (или 3-х) переменных. На случай большего числа неизвестных они обобщаются естественным образом. Пусть z = f(x,y), D(z) = D xOy, D – открытая область. Пусть M 0 (x 0,y 0) D. Придадим x 0 приращение x, оставляя значение y 0 неиз- мененным (так, чтобы точка M(x 0 + x,y 0) D). При этом z = f(x,y) получит приращение x z(M 0) = f(M) – f(M 0) = f(x 0 + x,y 0) – f(x 0,y 0). x z(M 0) называется частным приращением функции z = f(x,y) по x в точке M 0 (x 0,y 0).

Замечания. 1) Обозначения и надо понимать как целые символы, а не как частное двух величин. Отдельно взятые выражения z(x 0,y 0) и x смысла не имеют. 2) характеризует скорость изменения функции z = f(x,y) по x в точке M 0 (x 0,y 0) (физический смысл частной производной по x). Аналогично определяется частная производная функции z = f(x,y) по переменной y в точке M 0 (x 0,y 0): Обозначают:

Соответствие (и) является функцией, определенной на D 1 (D 2) D(f). Ее называют частной производной функции z = f(x,y) по переменной x (y) и обозначают Операция нахождения для функции z = f(x,y) ее частных производных называется дифференцированием функции z = f(x,y) по переменной x и y соответственно.

Фактически, – это обыкновенная про- изводная функции z = f(x,y), рассматриваемой как функция одной переменной x (соответственно y) при постоянном значении другой переменной. Поэтому, вычисление частных производных производится по тем же самым правилам, что и для функции одной переменой. При этом, одна из переменных считается константой. ПРИМЕР. Найти частные производные по x и по y функции f(x,y) = x 2 + xy 2 + y 3

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ частных производных функции ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ. Пусть функция z = f(x,y) имеет в M 0 (x 0,y 0) частную произ- водную по x. Пусть поверхность S – график функции z = f(x,y). Тогда где – угол наклона к оси Ox касательной, проведенной в точке P 0 (x 0,y 0, f(x 0,y 0)) к линии пересечения поверхности S и плоскости y = y 0.

«Тема: Определение ФНП. Предел и непрерывность ФНП. Частные производные Лектор Рожкова С.В. 2012 г. ГЛАВА III. Функции нескольких переменных §12. Определение функции...»

Математический анализ

Раздел: Функция нескольких переменных

Тема: Определение ФНП.

Предел и непрерывность ФНП.

Частные производные

Лектор Рожкова С.В.

ГЛАВА III. Функции нескольких переменных

§12. Определение функции нескольких переменных.

Предел и непрерывность ФНП

1. Определение функции нескольких переменных

ОПРЕДЕЛЕНИЕ.

Пусть X = {(x1, x2, …, xn) | xiXi }, U.

Функция f: X U называется функцией n переменных.

Записывают: u = f(x1, x2, …, xn), где f – закон, задающий соответствие между x1, x2, …, xn и u.

Значение u = f(x1, x2, …, xn) при x1 = x01, x2 = x02, …, xn = x0n записывают в виде u = f(x01, x02, …, x0n) или u x1 = x01, x2 = x02,K, xn = x0 n

Называют:

X – область определения функции (Обозначают: D(u)), x1, x2, …, xn – аргументы (независимые переменные), U – область значений (Обозначают: E(u)), u (u U) – зависимая переменная (функция).

СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ФНП

1) словесный;

2) табличный;

3) аналитический:

а) явное задание (т.е. формулой u = f(x1, x2, …, xn))

б) неявное задание (т.е. уравнением F(x1, x2, …, xn,u) = 0).

4) Функцию z = f(x,y) можно задать графически.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Графиком функции z = f(x,y) называется геометрическое место точек пространства с координатами (x; y; f(x,y)), (x,y)D(z).

График функции z = f(x,y) будем также называть «поверхностью z = f(x,y) ».

Линией уровня функции z = f(x,y) называют геометрическое место точек (x,y) плоскости, в которых функция принимает одно и то же значение C.

1) Линия уровня – линия в D(z), которая имеет уравнение f(x,y) = C.

2) Линия уровня – проекция на плоскость xOy линии пересечения графика функции z = f(x,y) и плоскости z = C.

Полагаем C равными C1, C1 + h, C1 + 2h, …, C1 + nh.

Получим линии уровня, по расположению которых можно судить о графике функции и, следовательно, о характере изменения функции.

z y x Таким образом, там, где линии «гуще», функция изменяется быстрее (поверхность, изображающая функцию, идет круче).

Поверхностью уровня функции u = f(x,y,z) называют геометрическое место точек пространства Oxyz, в которых функция принимает одно и то же значение C.

Уравнение поверхности уровня: f(x,y,z) = C.

2. Предел функции нескольких переменных

Напомним:

Число A называется пределом функции f(x) при x стремящемся к x0 (пределом функции f(x) в точке x0), если 0 0 такое, что если xU*(x0,), то f(x)U(A,).

z = f(x,y) = f(M), где MDxOy. M (x; y) x (x,y,z) MOxyz

– – –

3) Так как формально определение предела функции n переменных ничем не отличается от определения предела функции одной переменной, то все утверждения, которые были получены о пределах функции одной переменной и в которых не используется упорядоченность точек числовой прямой, остаются верными и для предела функции n переменных.

4) Определение бесконечно большой функции переносится на случай функции n переменных тоже дословно (сформулировать самостоятельно).

3. Непрерывность функции нескольких переменных Пусть u = f(M) определена в некоторой окрестности M0 n.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Функция f(M) называется непрерывной в точке M0 если справедливо равенство lim f (M) = f (M 0) M M 0 или, иначе говоря, если 0 0 такое, что (т.е. | MM0 |), если MU(M0,) f(M)U(f(M0),) (т.е. | f(M) – f(M0) |).

Справедливы утверждения:

1) арифметические операции над непрерывными в точке M0 функциями приводят к непрерывным в этой точке функциям (при условии, что деление производится на функцию, не обращающуюся в ноль);

2) сложная функция, составленная из нескольких непрерывных функций, тоже будет непрерывной.

Пусть G – некоторое множество точек в n и M0G.

Точка M0 называется внутренней точкой множества G, если U(M0,)G.

Множество, каждая точка которого – внутренняя, называется открытым.

Точка M0 называется граничной точкой множества G, если в любой ее -окрестности есть как точки из G, так и точки, не принадлежащие G.

Множество всех граничных точек множества G называется его границей.

Множество, содержащее свою границу, называется замкнутым.

Множество G называется связным, если любые две его точки можно соединить непрерывной кривой, состоящей из точек этого множества.

Замечание.

Непрерывной кривой в n-мерном пространстве называется геометрическое место точек M(x1, x2, …, xn), координаты которых удовлетворяют уравнениям x1 = x1(t), x2 = x2(t), …, xn = xn(t), где x1 = x1(t), x2 = x2(t), …, xn = xn(t) – непрерывные функции параметра t(;).

Связное открытое множество называется областью.

Связное замкнутое множество называется замкнутой областью.

Область, целиком лежащая в некоторой -окрестности точки O(0,0,…,0), называется ограниченной.

ТЕОРЕМА (аналог теорем Вейерштрасса и Коши для ФНП).

Если функция n переменных u = f(M) непрерывна в замкнутой и ограниченной области D, то она

1) ограничена;

2) достигает в D своего наибольшего и наименьшего значения;

3) принимает все промежуточные значения между любыми двумя своими значениями.

§13. Частные производные

– – –

Похожие работы:

«В.Н.Кузнецов Эра Разума (религия и реальность) Днепропетровск Издательство "Литограф" УДК 001.92 ББК 86.30 К 64 Кузнецов В.Н.К64 Эра Разума: религия и реальность. – Днепропетровск: Издательство "Литограф", 2013.-212с. ISBN 978-966-226...»

«Борис Хасапов Кто Вы, барон Шиллинг? К биографии изобретателя электромагнитного телеграфа Павел Львович Шиллинг (1786 – 1837), член-корреспондент Петербургской академии наук, был физиком и востоковедом, криптографом и основателем русской литографии. Он изобрел первый минный электрический запал и создал пе...»

«Геология и геофизика, 2013, т. 54, № 8, с. 1275-1279 УДК 553.98 (268.53) НАЧАЛЬНЫЕ ГЕОЛОГИЧЕСКИЕ РЕСУРСЫ УГЛЕВОДОРОДОВ ШЕЛЬФА МОРЯ ЛАПТЕВЫХ А.Ф. Сафронов, А.И. Сивцев, О.Н. Чалая, И.Н. Зуева, А.Н. Соколов, Г.С. Фрадкин Институт проблем нефти и газа СО РАН, 677891...»

«КРАТКИЙ ОБЗОР РАБОТ КОМПАНИЙ ХОЛДИНГА HOOD RIVER FINLAND LTD Основным направлением деятельности компаний Холдинга Hood River Finland LTD в лице ООО Акваджет и ЗАО ЭРГ является решение вопросов водоснабжения, водоподготовки питье...»

«ХИМИЯ, 11 (12) класс Анализ результатов, Ноябрь 2016г. Анализ результатов краевой диагностической работы по химии для учащихся 11 (12) классов ОО Краснодарского края 1. Общая характеристика заданий и статистика результатов 14 ноября 2016 г. в Краснодарском крае в соответствии с приказом МОН и МП КК № 4704 от 04.10.2016...»

«с. 5. Феропатнов А. П. Новый подход к оценке качества продукции [Текст] / А. П. Феропатнов // Стандарты и качество. – 1993. – №10. – С. 55–57. 6. Липатов Н. Н. Методологические подходы к проэктированию рецептур многокомпонентных пищевых продуктов III поколения [...»

«Theoretical Research, 30.07.2013 SECTION 31. Economic research, Finance, innovation. Naumov Anatoly Aleksandrovich candidate of technical Sciences, аssociate Professor, Center of Applied Mathematical Research, Novosibirsk, Russia MATHEMATICAL MODEL OF THE SYSTEM OF CAREER MANAGEMENT OF IT-PRODUCTS OF THE BANK The article d...»

« В. П. Ч У ПИН. С Н Н МАГМАТИЧЕСКИЙ ЭТАП ФОРМИРОВАНИЯ ГРАНИТНЫХ ПЕГ...»

2017 www.сайт - «Бесплатная электронная библиотека - электронные матриалы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам , мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.