Непрерывность в точке. Непрерывность функций

Определение. Пусть функция у = f(x) определена в точке x0 и некоторой её окрестности. Функция у = f(x) называется непрерывной в точке x0 , если:

1. существует
2. этот предел равен значению функции в точке x0:

При определении предела подчёркивалось, что f(x) может быть не определена в точке x0, а если она определена в этой точке, то значение f(x0) никак не участвует в определении предела. При определении непрерывности принципиально, что f(x0) существует, и это значение должно быть равно lim f(x).

Определение. Пусть функция у = f(х) определена в точке x0 и некоторой её окрестности. Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если для всех ε>0 существует положительное число δ, такое что для всех x из δ-окрестности точки x0 (т.е. |х-x0|
Здесь учитывается, что значение предела должно быть равно f(x0), поэтому, по сравнению с определением предела, снято условие проколотости δ-окрестности 0
Дадим ещё одно (равносильное предыдущим) определение в терминах приращений. Обозначим Δх = x - x0, эту величину будем называть приращением аргумента. Так как х->x0, то Δх->0, т е. Δх - б.м. (бесконечно малая) величина. Обозначим Δу = f(х)-f(x0), эту величину будем называть приращением функции, так как |Δу| должно быть (при достаточно малых |Δх|) меньше произвольного числа ε>0, то Δу- тоже б.м. величина, поэтому

Определение. Пусть функция у = f(х) определена в точке x0 и некоторой её окрестности. Функция f(х) называется непрерывной в точке x0 , если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Определение. Функция f(х), не являющаяся непрерывной в точке x0, называется разрывной в этой точке.

Определение. Функция f(х) называется непрерывной на множестве X, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Теорема о непрерывности суммы, произведения, частного

Теорема о переходе к пределу под знаком непрерывной функции

Теорема о непрерывности суперпозиции непрерывных функций

Пусть функция f(x) определена на отрезке и монотонна на этом отрезке. Тогда f(x) может иметь на этом отрезке только точки разрыва первого рода.

Теорема о промежуточном значении. Если функция f(x) непрерывна на отрезке и в двух точках а и b (a меньше b) принимает неравные значения A = f(a) ≠ В = f(b), то для любого числа С, лежащего между А и В, найдётся точка c ∈ , в которой значение функции равно С: f(c) = C.

Теорема об ограниченности непрерывной функции на отрезке. Если функция f(x) непрерывна на отрезке, то она ограничена на этом отрезке.

Теорема о достижении минимального и максимального значений. Если функция f(x) непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке свои нижнюю и верхнюю грани.

Теорема о непрерывности обратной функции. Пусть функция y=f(x) непрерывна и строго возрастает (убывает) на отрезке [а,b]. Тогда на отрезке существует обратная функция х = g(y), также монотонно возрастающая (убывающая) на и непрерывная.

Исследование функции на непрерывность в точке проводится по уже накатанной рутинной схеме, которая состоит в проверке трёх условий непрерывности:

Пример 1

Исследовать функцию на непрерывность. Определить характер разрывов функции, если они существуют. Выполнить чертёж.

Решение :

1) Под прицел попадает единственная точка , в которой функция не определена.

Односторонние пределы конечны и равны.

Таким образом, в точке функция терпит устранимый разрыв.

Как выглядит график данной функции?

Хочется провести упрощение , и вроде бы получается обычная парабола. НО исходная функция не определена в точке , поэтому обязательна следующая оговорка:

Выполним чертёж:

Ответ : функция непрерывна на всей числовой прямой кроме точки , в которой она терпит устранимый разрыв.

Функцию можно доопределить хорошим или не очень способом, но по условию этого не требуется.

Вы скажете, пример надуманный? Ничуть. Десятки раз встречалось на практике. Почти все задачи сайта родом из реальных самостоятельных и контрольных работ.

Разделаемся с любимыми модулями:

Пример 2

Исследовать функцию на непрерывность. Определить характер разрывов функции, если они существуют. Выполнить чертёж.

Решение : почему-то студенты боятся и не любят функции с модулем, хотя ничего сложного в них нет. Таких вещей мы уже немного коснулись на уроке Геометрические преобразования графиков . Поскольку модуль неотрицателен, то он раскрывается следующим образом: , где «альфа» - некоторое выражение. В данном случае , и наша функция должна расписаться кусочным образом:

Но дроби обоих кусков предстоит сократить на . Сокращение, как и в предыдущем примере, не пройдёт без последствий. Исходная функция не определена в точке , так как знаменатель обращается в ноль. Поэтому в системе следует дополнительно указать условие , и первое неравенство сделать строгим:

Теперь об ОЧЕНЬ ПОЛЕЗНОМ приёме решения : перед чистовым оформлением задачи на черновике выгодно сделать чертёж (независимо от того, требуется он по условию или нет). Это поможет, во-первых, сразу увидеть точки непрерывности и точки разрыва, а, во-вторых, 100%-но убережёт от ошибок при нахождении односторонних пределов.

Выполним чертёж. В соответствии с нашими выкладками, слева от точки необходимо начертить фрагмент параболы (синий цвет), а справа - кусок параболы (красный цвет), при этом функция не определена в самой точке :

Если есть сомнения, возьмите несколько значений «икс», подставьте их в функцию (не забывая, что модуль уничтожает возможный знак «минус») и сверьтесь с графиком.

Исследуем функцию на непрерывность аналитически:

1) Функция не определена в точке , поэтому сразу можно сказать, что не является в ней непрерывной.

2) Установим характер разрыва, для этого вычислим односторонние пределы:

Односторонние пределы конечны и различны, значит, функция терпит разрыв 1-го рода со скачком в точке . Заметьте, что не имеет значения, определена функция в точке разрыва или нет.

Теперь остаётся перенести чертёж с черновика (он сделан как бы с помощью исследования;-)) и завершить задание:

Ответ : функция непрерывна на всей числовой прямой кроме точки , в которой она терпит разрыв первого рода со скачком.

Иногда требуют дополнительно указать скачок разрыва. Вычисляется он элементарно - из правого предела нужно вычесть левый предел: , то есть в точке разрыва наша функция прыгнула на 2 единицы вниз (о чём нам сообщает знак «минус»).

Пример 3

Исследовать функцию на непрерывность. Определить характер разрывов функции, если они существуют. Сделать чертёж.

Это пример для самостоятельного решения, примерный образец решения в конце урока.

Перейдём к наиболее популярной и распространённой версии задания, когда функция состоит из трёх кусков:

Пример 4

Исследовать функцию на непрерывность и построить график функции

.

Решение : очевидно, что все три части функции непрерывны на соответствующих интервалах, поэтому осталось проверить только две точки «стыка» между кусками. Сначала выполним чертёж на черновике, технику построения я достаточно подробно закомментировал в первой части статьи. Единственное, необходимо аккуратно проследить за нашими особенными точками: в силу неравенства значение принадлежит прямой (зелёная точка), и в силу неравенство значение принадлежит параболе (красная точка):


Ну вот, в принципе, всё понятно =) Осталось оформить решение. Для каждой из двух «стыковых» точек стандартно проверяем 3 условия непрерывности:

I)

1)

Односторонние пределы конечны и различны, значит, функция терпит разрыв 1-го рода со скачком в точке .

Вычислим скачок разрыва как разность правого и левого пределов:
, то есть, график рванул на одну единицу вверх.

II) Исследуем на непрерывность точку

1) - функция определена в данной точке.

2) Найдём односторонние пределы:

- односторонние пределы конечны и равны, значит, существует общий предел.

3)

На завершающем этапе переносим чертёж на чистовик, после чего ставим финальный аккорд:

Ответ : функция непрерывна на всей числовой прямой, кроме точки , в которой она терпит разрыв первого рода со скачком.

Пример 5

Исследовать функцию на непрерывность и построить её график .

Это пример для самостоятельного решения, краткое решение и примерный образец оформления задачи в конце урока.

Может сложиться впечатление, что в одной точке функция обязательно должна быть непрерывной, а в другой - обязательно должен быть разрыв. На практике это далеко не всегда так. Постарайтесь не пренебрегать оставшимися примерами - будет несколько интересных и важных фишек:

Пример 6

Дана функция . Исследовать функцию на непрерывность в точках . Построить график.

Решение : и снова сразу выполним чертёж на черновике:

Особенность данного графика состоит в том, что при кусочная функция задаётся уравнением оси абсцисс . Здесь данный участок прорисован зелёным цветом, а в тетради его обычно жирно выделяют простым карандашом. И, конечно же, не забываем про наших баранов: значение относится к ветке тангенса (красная точка), а значение принадлежит прямой .

Из чертежа всё понятно - функция непрерывна на всей числовой прямой, осталось оформить решение, которое доводится до полного автоматизма буквально после 3-4-х подобных примеров:

I) Исследуем на непрерывность точку

2) Вычислим односторонние пределы:

, значит, общий предел существует.

Случился тут небольшой курьёз. Дело в том, что я создал немало материалов о пределах функции , и несколько раз хотел, да несколько раз забывал об одном простом вопросе. И вот, невероятным усилием воли таки заставил себя не потерять мысль =) Скорее всего, некоторые читатели-«чайники» сомневаются: чему равен предел константы? Предел константы равен самой константе. В данном случае предел нуля равен самому нулю (левосторонний предел).

3) - предел функции в точке равен значению данной функции в данной точке.

Таким образом, функция непрерывна в точке по определению непрерывности функции в точке.

II) Исследуем на непрерывность точку

1) - функция определена в данной точке.

2) Найдём односторонние пределы:

И здесь, в правостороннем пределе - предел единицы равен самой единице.

- общий предел существует.

3) - предел функции в точке равен значению данной функции в данной точке.

Таким образом, функция непрерывна в точке по определению непрерывности функции в точке.

Как обычно, после исследования переносим наш чертёж на чистовик.

Ответ : функция непрерывна в точках .

Обратите внимание, что в условии нас ничего не спрашивали про исследование всей функции на непрерывность, и хорошим математическим тоном считается формулировать точный и чёткий ответ на поставленный вопрос. Кстати, если по условию не требуется строить график, то вы имеете полное право его и не строить (правда, потом преподаватель может заставить это сделать).

Небольшая математическая «скороговорка» для самостоятельного решения:

Пример 7

Дана функция .

Исследовать функцию на непрерывность в точках . Классифицировать точки разрыва, если они есть. Выполнить чертёж.

Постарайтесь правильно «выговорить» все «слова» =) И график нарисовать поточнее, точность, она везде лишней не будет;-)

Как вы помните, я рекомендовал незамедлительно выполнять чертёж на черновике, но время от времени попадаются такие примеры, где не сразу сообразишь, как выглядит график. Поэтому в ряде случаев выгодно сначала найти односторонние пределы и только потом на основе исследования изобразить ветви. В двух заключительных примерах мы, кроме того, освоим технику вычисления некоторых односторонних пределов:

Пример 8

Исследовать на непрерывность функцию и построить её схематический график.

Решение : нехорошие точки очевидны: (обращает в ноль знаменатель показателя) и (обращает в ноль знаменатель всей дроби). Малопонятно, как выглядит график данной функции, а значит, сначала лучше провести исследование:

I) Исследуем на непрерывность точку

2) Найдём односторонние пределы:

Обратите внимание на типовой приём вычисления одностороннего предела : в функцию вместо «икса» мы подставляем . В знаменателе никакого криминала: «добавка» «минус ноль» не играет роли, и получается «четыре». А вот в числителе происходит небольшой триллер: сначала в знаменателе показателя убиваем -1 и 1, в результате чего получается . Единица, делённая на , равна «минус бесконечности», следовательно: . И, наконец, «двойка» в бесконечно большой отрицательной степени равна нулю: . Или, если ещё подробнее: .

Вычислим правосторонний предел:

И здесь - вместо «икса» подставляем . В знаменателе «добавка» снова не играет роли: . В числителе проводятся аналогичные предыдущему пределу действия: уничтожаем противоположные числа и делим единицу на:

Правосторонний предел бесконечен, значит, функция терпит разрыв 2-го рода в точке .

II) Исследуем на непрерывность точку

1) Функция не определена в данной точке.

2) Вычислим левосторонний предел:

Метод такой же: подставляем в функцию вместо «икса» . В числителе ничего интересного - получается конечное положительно число . А в знаменателе раскрываем скобки, убираем «тройки», и решающую роль играет «добавка» .

По итогу, конечное положительное число, делённое на бесконечно малое положительное число , даёт «плюс бесконечность»: .

Правосторонний предел, как брат близнец, за тем лишь исключением, что в знаменателе выплывает бесконечно малое отрицательное число :

Односторонние пределы бесконечны, значит, функция терпит разрыв 2-го рода в точке .

Таким образом, у нас две точки разрыва, и, очевидно, три ветки графика. Для каждой ветки целесообразно провести поточечное построение, т.е. взять несколько значений «икс» и подставить их в . Заметьте, что по условию допускается построениесхематического чертежа, и такое послабление естественно для ручной работы. Я строю графики с помощью проги, поэтому не имею подобных затруднений, вот достаточно точная картинка:

Прямые являются вертикальными асимптотами для графика данной функции.

Ответ : функция непрерывна на всей числовой прямой кроме точек , в которых она терпит разрывы 2-го рода.

Более простая функция для самостоятельного решения:

Пример 9

Исследовать на непрерывность функцию и выполнить схематический чертёж.

Примерный образец решения в конце, который подкрался незаметно.

До скорых встреч!

Решения и ответы:

Пример 3: Решение : преобразуем функцию: . Учитывая правило раскрытия модуля и тот факт, что , перепишем функцию в кусочном виде:


Исследуем функцию на непрерывность.

1) Функция не определена в точке .

Односторонние пределы конечны и различны, значит, функция терпит разрыв 1-го рода со скачком в точке . Выполним чертёж:

Ответ : функция непрерывна на всей числовой прямой кроме точки , в которой она терпит разрыв первого рода со скачком. Скачок разрыва: (две единицы вверх).

Пример 5: Решение : каждая из трёх частей функции непрерывна на своём интервале.
I)
1)

2) Вычислим односторонние пределы:

, значит, общий предел существует.
3) - предел функции в точке равен значению данной функции в данной точке.
Таким образом, функция непрерывна в точке по определению непрерывности функции в точке.
II) Исследуем на непрерывность точку

1) - функция определена в данной точке. функция терпит разрыв 2-го рода, в точке

Как найти область определения функции?

Примеры решений

Если где-то нет чего-то, значит, где-то что-то есть

Продолжаем изучение раздела «Функции и графики», и следующая станция нашего путешествия - Область определения функции . Активное обсуждение данного понятия началось на первом же уроке о графиках функций , где я рассмотрел элементарные функции, и, в частности, их области определения. Поэтому чайникам рекомендую начать с азов темы, поскольку я не буду вновь останавливаться на некоторых базовых моментах.

Предполагается, читатель знает области определения основных функций: линейной, квадратичной, кубической функции, многочленов, экспоненты, логарифма, синуса, косинуса. Они определены на . За тангенсы, арксинусы, так и быть, прощаю =) Более редкие графики запоминаются далеко не сразу.

Область определения - вроде бы вещь простая, и возникает закономерный вопрос, о чём же будет статья? На данном уроке я рассмотрю распространённые задачи на нахождение области определения функции. Кроме того, мы повторим неравенства с одной переменной , навыки решения которых потребуются и в других задачах высшей математики. Материал, к слову, весь школьный, поэтому будет полезен не только студентам, но и учащимся. Информация, конечно, не претендует на энциклопедичность, но зато здесь не надуманные «мёртвые» примеры, а жареные каштаны, которые взяты из настоящих практических работ.

Начнём с экспресс-вруба в тему. Коротко о главном: речь идёт о функции одной переменной . Её область определения - это множество значений «икс» , для которых существуют значения «игреков». Рассмотрим условный пример:

Область определения данной функции представляет собой объединение промежутков:
(для тех, кто позабыл: - значок объединения). Иными словами, если взять любое значение «икс» из интервала , или из , или из , то для каждого такого «икс» будет существовать значение «игрек».

Грубо говоря, где область определения - там есть график функции. А вот полуинтервал и точка «цэ» не входят в область определения, поэтому графика там нет.

Да, кстати, если что-нибудь не понятно из терминологии и/или содержания первых абзацев, таки лучше вернуться к статье Графики и свойства элементарных функций .

Непрерывная функция представляет собой функцию без «скачков», то есть такую, для которой выполняется условие: малым изменениям аргумента следуют малые изменения соответствующих значений функции. График подобной функции представляет из себя плавную или непрерывную кривую.

Непрерывность в точке, предельной для некоторого множества, можно определить с помощью понятия предела, а именно: функция должна иметь в этой точке предел, который равен ее значению в предельной точке.

При нарушении этих условий в некоторой точке, говорят, что функция в данной точке терпит разрыв, то есть ее непрерывность нарушается. На языке пределов точку разрыва можно описать как несовпадение значения функции в разрывной точке с пределом функции (если он существует).

Точка разрыва может быть устранимой, для этого необходимо существование предела функции, но несовпадающего с его значением в заданной точке. В этом случае ее в этой точке можно «поправить», то есть доопределить до непрерывности.
Совсем иная картина складывается, если предела функции в заданной существует. Возможно два варианта точек разрыва:

• первого рода - имеются и конечны оба из односторонних пределов, и значение одного из них или обоих не совпадают со значением функции в заданной точке;
• второго рода, когда не существует один или оба из односторонних пределов или их значения бесконечны.

Свойства непрерывных функций

• Функция, полученная в результат арифметических действий, а также суперпозиции непрерывных функций на их области определения также является непрерывной.
• Если дана непрерывная функция, которая положительна в некоторой точке, то всегда можно найти достаточно малую ее окрестность, на которой она сохранит свой знак.
• Аналогично, если ее значения в двух точках A и B равны, соответственно, a и b, причем a отлично от b, то для промежуточных точек она примет все значения из промежутка (a ; b). Отсюда можно сделать интересное заключение: если дать растянутой резинке сжаться так, чтобы она не провисала (оставалась прямолинейной), то одна из ее точек останется неподвижной. А геометрически это означает, что существует прямая, проходящая через любую промежуточную точку между A и B, которая пересекает график функции.

Отметим некоторые из непрерывных (на области их определения) элементарных функций:

• постоянная;
• рациональная;
• тригонометрические.

Между двумя фундаментальными понятиями в математике - непрерывностью и дифференцируемостью - существует неразрывная связь. Достаточно только вспомнить, что для дифференцируемости функции необходимо, чтобы это была непрерывная функция.

Если же функция в некоторой точке дифференцируема, то там она непрерывна. Однако совсем не обязательно, чтобы и ее производная была непрерывной.

Функция, имеющая на некотором множестве непрерывную производную, принадлежит отдельному классу гладких функций. Иначе говоря, это - непрерывно дифференцируемая функция. Если же производная имеет ограниченное количество точек разрыва (только первого рода), то подобную функцию называют кусочно гладкой.

Еще одним важным понятием является равномерная непрерывность функции, то есть ее способность быть в любой точке своей области определения одинаково непрерывной. Таким образом, это свойство, которое рассматривается на множестве точек, а не в какой-либо отдельно взятой.

Если же зафиксировать точку, то получится не что иное, как определение непрерывности, то есть из наличия равномерной непрерывности вытекает, что перед нами непрерывная функция. Вообще говоря, обратное утверждение неверно. Однако согласно теореме Кантора, если функция непрерывна на компакте, то есть на замкнутом промежутке, то она на нем равномерно непрерывна.

Определение непрерывности функции в точке
Функция f(x) называется непрерывной в точке x 0 окрестности U(x 0) этой точки, и если предел при x стремящемся к x 0 существует и равен значению функции в x 0 :
.

Здесь подразумевается, что x 0 - это конечная точка. Значение функции в ней может быть только конечным числом.

Определение непрерывности справа (слева)
Функция f(x) называется непрерывной справа (слева) в точке x 0 , если она определена на некоторой правосторонней (левосторонней) окрестности этой точки, и если правый (левый) предел в точке x 0 равен значению функции в x 0 :
.

Примеры

Пример 1

Используя определения по Гейне и Коши доказать, что функция непрерывна для всех x .

Пусть есть произвольное число. Докажем, что заданная функция непрерывна в точке . Функция определена для всех x . Поэтому она определена в точке и в любой ее окрестности.

Используем определение по Гейне

Используем . Пусть есть произвольная последовательность, сходящаяся к : . Применяя свойство предела произведения последовательностей имеем:
.
Поскольку есть произвольная последовательность, сходящаяся к , то
.
Непрерывность доказана.

Используем определение по Коши

Используем .
Рассмотрим случай . Мы вправе рассматривать функцию на любой окрестности точки . Поэтому будем считать, что
(П1.1) .

Применим формулу:
.
Учитывая (П1.1), сделаем оценку:

;
(П1.2) .

Применяя (П1.2), оценим абсолютную величину разности:
;
(П1.3) .
.
Согласно свойствам неравенств, если выполняется (П1.3), если и если , то .

.

Теперь рассмотрим точку . В этом случае
.
.

.
Это означает, что функция непрерывна в точке .

Аналогичным способом можно доказать, что функция , где n - натуральное число, непрерывна на всей действительной оси.

Пример 2

Используя доказать, что функция непрерывна для всех .

Заданная функция определена при . Докажем, что она непрерывна в точке .

Рассмотрим случай .
Мы вправе рассматривать функцию на любой окрестности точки . Поэтому будем считать, что
(П2.1) .

Применим формулу:
(П2.2) .
Положим . Тогда
.

Учитывая (П2.1), сделаем оценку:


.
Итак,
.

Применяя это неравенство, и используя (П2.2), оценим разность:

.
Итак,
(П2.3) .

Вводим положительные числа и , связав их соотношениями:
.
Согласно свойствам неравенств, если выполняется (П2.3), если и если , то .

Это означает, что для любого положительного всегда найдется . Тогда для всех x , удовлетворяющих неравенству , автоматически выполняется неравенство:
.
Это означает, что функция непрерывна в точке .

Теперь рассмотрим точку . Нам нужно показать, что заданная функция непрерывна в этой точке справа. В этом случае
.
Вводим положительные числа и :
.

Отсюда видно, что для любого положительного всегда найдется . Тогда для всех x , таких что , выполняется неравенство:
.
Это означает, что . То есть функция непрерывна справа в точке .

Аналогичным способом можно доказать, что функция , где n - натуральное число, непрерывна при .

Использованная литература:
О.И. Бесов. Лекции по математическому анализу. Часть 1. Москва, 2004.
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.

Рассмотрим две функции, графики которых изображены на рис. 1 и 2. График первой функции можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги. Эту функцию можно назвать непрерывной. График другой функции так нарисовать нельзя. Он состоит из двух непрерывных кусков, а в точке имеет разрыв, и функцию мы назовем разрывной.

Такое наглядное определение непрерывности никак не может устроить математику, поскольку содержит совершенно нематематические понятия «карандаш» и «бумага». Точное математическое определение непрерывности дается на основе понятия предела и состоит в следующем.

Пусть функция определена на отрезке и - некоторая точка этого отрезка. Функция называется непрерывной в точке , если при стремлении к ( рассматривается только из отрезка ) значения функции стремятся к , т.е. если

. (1)

Функция называется непрерывной на отрезке, если она непрерывна в каждой его точке.

Если в точке равенство (1) не выполняется, функция называется разрывной в точке .

Как видим, математически свойство непрерывности функции на отрезке определяется через местное (локальное) свойство непрерывности в точке.

Величина называется приращением аргумента, разность значений функции называется приращением функции и обозначается . Очевидно, что при стремлении к приращение аргумента стремится к нулю: .

Перепишем равенство (1) в равносильном виде

.

Используя введенные обозначения, его можно переписать так:

Итак, если функция непрерывна, то при стремлении приращения аргумента к нулю приращение функции стремится к нулю. Говорят и иначе: малому приращению аргумента соответствует малое приращение функции. На рис. 3 приведен график непрерывной в точке функции, приращению соответствует приращение функции . На рис. 4 приращению соответствует такое приращение функции , которое, как бы мало ни было, не будет меньше половины длины отрезка ; функция разрывна в точке .

Наше представление о непрерывной функции как о функции, график которой можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги, прекрасно подтверждается свойствами непрерывных функций, которые доказываются в математическом анализе. Отметим, например, такие их свойства.

1. Если непрерывная на отрезке функция принимает на концах отрезка значения разных знаков, то в некоторой точке этого отрезка она принимает значение, равное нулю.

2. Функция , непрерывная на отрезке , принимает все промежуточные значения между значениями в концевых точках, т.е. между и .

3. Если функция непрерывна на отрезке, то на этом отрезке она достигает своего наибольшего и своего наименьшего значения, т.е. если - наименьшее, а - наибольшее значения функции на отрезке , то найдутся на этом отрезке такие точки и , что и .

Геометрический смысл первого из этих утверждений совершенно ясен: если непрерывная кривая переходит с одной стороны оси на другую, то она пересекает эту ось (рис. 5). Разрывная функция этим свойством не обладает, что подтверждается графиком функции на рис. 2, а также свойствами 2 и 3. На рис. 2 функция не принимает значения , хотя оно заключено между и . На рис. 6 приведен пример разрывной функции (дробная часть числа ), которая не достигает своего наибольшего значения..

Сложение, вычитание, умножение непрерывных на одном и том же отрезке функций вновь приводят к непрерывным функциям. При делении двух непрерывных функций получится непрерывная функция, если знаменатель всюду отличен от нуля.

К понятию непрерывной функции математика пришла, изучая в первую очередь различные законы движения. Пространство и время непрерывны, и зависимость, например, пути от времени , выраженная законом , дает пример непрерывной функции .

С помощью непрерывных функций описывают состояния и процессы в твердых телах, жидкостях и газах. Изучающие их науки - теория упругости, гидродинамика и аэродинамика - объединяются одним названием - «механика сплошной среды».