Каким условием обладает график четной нечетной функций. Четность и нечетность функций
Которые в той или иной степени были вам знакомы. Там же было замечено, что запас свойств функций будет постепенно пополняться. О двух новых свойствах и пойдет речь в настоящем параграфе.
Определение 1.
Функцию у = f(x), х є Х, называют четной, если для любого значения х из множества X выполняется равенство f (-х) = f (х).
Определение 2.
Функцию у = f(x), х є X, называют нечетной, если для любого значения х из множества X выполняется равенство f (-х) = -f (х).
Доказать, что у = х 4 - четная функция.
Решение. Имеем: f(х) = х 4 , f(-х) = (-х) 4 . Но (-х) 4 = х 4 . Значит, для любого х выполняется равенство f(-х) = f(х), т.е. функция является четной.
Аналогично можно доказать, что функции у - х 2 ,у = х 6 ,у - х 8 являются четными.
Доказать, что у = х 3 ~ нечетная функция.
Решение. Имеем: f(х) = х 3 , f(-х) = (-х) 3 . Но (-х) 3 = -х 3 . Значит, для любого х выполняется равенство f (-х) = -f (х), т.е. функция является нечетной.
Аналогично можно доказать, что функции у = х, у = х 5 , у = х 7 являются нечетными.
Мы с вами не раз уже убеждались в том, что новые термины в математике чаще всего имеют «земное» происхождение, т.е. их можно каким-то образом объяснить. Так обстоит дело и с четными, и с нечетными функциями. Смотрите: у - х 3 , у = х 5 , у = х 7 - нечетные функции, тогда как у = х 2 , у = х 4 , у = х 6 - четные функции. И вообще для любой функции вида у = х" (ниже мы специально займемся изучением этих функций), где n - натуральное число , можно сделать вывод: если n - нечетное число, то функция у = х" - нечетная; если же n - четное число, то функция у = хn - четная.
Существуют и функции, не являющиеся ни четными, ни нечетными. Такова, например, функция у = 2х + 3. В самом деле, f(1) = 5, а f (-1) = 1. Как видите, здесь Значит, не может выполняться ни тождество f(-х) = f (х), ни тождество f(-х) = -f(х).
Итак, функция может быть четной, нечетной, а также ни той ни другой.
Изучение вопроса о том, является ли заданная функция четной или нечетной, обычно называют исследованием функции на четность.
В определениях 1 и 2 речь идет о значениях функции в точках х и -х. Тем самым предполагается, что функция определена и в точке х, и в точке -х. Это значит, что точка -х принадлежит области определения функции одновременно с точкой х. Если числовое множество X вместе с каждым своим элементом х содержит и противоположный элемент -х, то X называют симметричным множеством. Скажем, (-2, 2), [-5, 5], (-оо, +оо) - симметричные множества, в то время как \) .
Так как \(x^2\geqslant 0\) , то левая часть уравнения (*) больше или равна \(0+ \mathrm{tg}^2\,1\) .
Таким образом, равенство (*) может выполняться только тогда, когда обе части уравнения равны \(\mathrm{tg}^2\,1\) . А это значит, что \[\begin{cases} 2x^2+\mathrm{tg}^2\,1=\mathrm{tg}^2\,1 \\ \mathrm{tg}\,1\cdot \mathrm{tg}\,(\cos x)=\mathrm{tg}^2\,1 \end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} x=0\\ \mathrm{tg}\,(\cos x)=\mathrm{tg}\,1 \end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad x=0\] Следовательно, значение \(a=-\mathrm{tg}\,1\) нам подходит.
Ответ:
\(a\in \{-\mathrm{tg}\,1;0\}\)
Задание 2 #3923
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Найдите все значения параметра \(a\) , при каждом из которых график функции \
симметричен относительно начала координат.
Если график функции симметричен относительно начала координат, то такая функция является нечетной, то есть выполнено \(f(-x)=-f(x)\) для любого \(x\) из области определения функции. Таким образом, требуется найти те значения параметра, при которых выполнено \(f(-x)=-f(x).\)
\[\begin{aligned} &3\mathrm{tg}\,\left(-\dfrac{ax}5\right)+2\sin \dfrac{8\pi a+3x}4= -\left(3\mathrm{tg}\,\left(\dfrac{ax}5\right)+2\sin \dfrac{8\pi a-3x}4\right)\quad \Rightarrow\quad -3\mathrm{tg}\,\dfrac{ax}5+2\sin \dfrac{8\pi a+3x}4= -\left(3\mathrm{tg}\,\left(\dfrac{ax}5\right)+2\sin \dfrac{8\pi a-3x}4\right) \quad \Rightarrow\\ \Rightarrow\quad &\sin \dfrac{8\pi a+3x}4+\sin \dfrac{8\pi a-3x}4=0 \quad \Rightarrow \quad2\sin \dfrac12\left(\dfrac{8\pi a+3x}4+\dfrac{8\pi a-3x}4\right)\cdot \cos \dfrac12 \left(\dfrac{8\pi a+3x}4-\dfrac{8\pi a-3x}4\right)=0 \quad \Rightarrow\quad \sin (2\pi a)\cdot \cos \frac34 x=0 \end{aligned}\]
Последнее уравнение должно быть выполнено для всех \(x\) из области определения \(f(x)\) , следовательно, \(\sin(2\pi a)=0 \Rightarrow a=\dfrac n2, n\in\mathbb{Z}\) .
Ответ:
\(\dfrac n2, n\in\mathbb{Z}\)
Задание 3 #3069
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Найдите все значения параметра \(a\) , при каждом из которых уравнение \ имеет 4 решения, где \(f\) – четная периодическая с периодом \(T=\dfrac{16}3\) функция, определенная на всей числовой прямой, причем \(f(x)=ax^2\) при \(0\leqslant x\leqslant \dfrac83.\)
(Задача от подписчиков)
Так как \(f(x)\) – четная функция, то ее график симметричен относительно оси ординат, следовательно, при \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant 0\) \(f(x)=ax^2\) . Таким образом, при \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant \dfrac83\) , а это отрезок длиной \(\dfrac{16}3\) , функция \(f(x)=ax^2\) .
1) Пусть \(a>0\)
. Тогда график функции \(f(x)\)
будет выглядеть следующим образом:
Тогда для того, чтобы уравнение имело 4 решения, нужно, чтобы график \(g(x)=|a+2|\cdot \sqrtx\)
проходил через точку \(A\)
:
Следовательно, \[\dfrac{64}9a=|a+2|\cdot \sqrt8 \quad\Leftrightarrow\quad
\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &9(a+2)=32a\\
&9(a+2)=-32a \end{aligned} \end{gathered}\right.
\quad\Leftrightarrow\quad
\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &a=\dfrac{18}{23}\\
&a=-\dfrac{18}{41} \end{aligned} \end{gathered}\right.\]
Так как \(a>0\)
, то подходит \(a=\dfrac{18}{23}\)
.
2) Пусть \(a<0\)
. Тогда картинка окажется симметричной относительно начала координат:
Нужно, чтобы график \(g(x)\)
прошел через точку \(B\)
: \[\dfrac{64}9a=|a+2|\cdot \sqrt{-8} \quad\Leftrightarrow\quad
\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &a=\dfrac{18}{23}\\
&a=-\dfrac{18}{41} \end{aligned} \end{gathered}\right.\]
Так как \(a<0\)
, то подходит \(a=-\dfrac{18}{41}\)
.
3) Случай, когда \(a=0\) , не подходит, так как тогда \(f(x)=0\) при всех \(x\) , \(g(x)=2\sqrtx\) и уравнение будет иметь только 1 корень.
Ответ:
\(a\in \left\{-\dfrac{18}{41};\dfrac{18}{23}\right\}\)
Задание 4 #3072
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Найдите все значения \(a\) , при каждом из которых уравнение \
имеет хотя бы один корень.
(Задача от подписчиков)
Перепишем уравнение в виде \
и рассмотрим две функции: \(g(x)=7\sqrt{2x^2+49}\)
и \(f(x)=3|x-7a|-6|x|-a^2+7a\)
.
Функция \(g(x)\)
является четной, имеет точку минимума \(x=0\)
(причем \(g(0)=49\)
).
Функция \(f(x)\)
при \(x>0\)
является убывающей, а при \(x<0\)
– возрастающей, следовательно, \(x=0\)
– точка максимума.
Действительно, при \(x>0\)
второй модуль раскроется положительно (\(|x|=x\)
), следовательно, вне зависимости от того, как раскроется первый модуль, \(f(x)\)
будет равно \(kx+A\)
, где \(A\)
– выражение от \(a\)
, а \(k\)
равно либо \(-9\)
, либо \(-3\)
. При \(x<0\)
наоборот: второй модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\)
, где \(k\)
равно либо \(3\)
, либо \(9\)
.
Найдем значение \(f\)
в точке максимума: \
Для того, чтобы уравнение имело хотя бы одно решение, нужно, чтобы графики функций \(f\) и \(g\) имели хотя бы одну точку пересечения. Следовательно, нужно: \ \\]
Ответ:
\(a\in \{-7\}\cup\)
Задание 5 #3912
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Найдите все значения параметра \(a\) , при каждом из которых уравнение \
имеет шесть различных решений.
Сделаем замену \((\sqrt2)^{x^3-3x^2+4}=t\)
, \(t>0\)
. Тогда уравнение примет вид \
Будем постепенно выписывать условия, при которых исходное уравнение будет иметь шесть решений.
Заметим, что квадратное уравнение \((*)\)
может максимум иметь два решения. Любое кубическое уравнение \(Ax^3+Bx^2+Cx+D=0\)
может иметь не более трех решений. Следовательно, если уравнение \((*)\)
имеет два различных решения (положительных!, так как \(t\)
должно быть больше нуля) \(t_1\)
и \(t_2\)
, то, сделав обратную замену, мы получим: \[\left[\begin{gathered}\begin{aligned}
&(\sqrt2)^{x^3-3x^2+4}=t_1\\
&(\sqrt2)^{x^3-3x^2+4}=t_2\end{aligned}\end{gathered}\right.\]
Так как любое положительное число можно представить как \(\sqrt2\)
в какой-то степени, например, \(t_1=(\sqrt2)^{\log_{\sqrt2} t_1}\)
, то первое уравнение совокупности перепишется в виде \
Как мы уже говорили, любое кубическое уравнение имеет не более трех решений, следовательно, каждое уравнение из совокупности будет иметь не более трех решений. А значит и вся совокупность будет иметь не более шести решений.
Значит, чтобы исходное уравнение имело шесть решений, квадратное уравнение \((*)\)
должно иметь два различных решения, а каждое полученное кубическое уравнение (из совокупности) должно иметь три различных решения (причем ни одно решение одного уравнения не должно совпадать с каким-либо решением второго!)
Очевидно, что если квадратное уравнение \((*)\)
будет иметь одно решение, то мы никак не получим шесть решений у исходного уравнения.
Таким образом, план решения становится ясен. Давайте по пунктам выпишем условия, которые должны выполняться.
1) Чтобы уравнение \((*)\) имело два различных решения, его дискриминант должен быть положительным: \
2) Также нужно, чтобы оба корня были положительными (так как \(t>0\) ). Если произведение двух корней положительное и сумма их положительная, то и сами корни будут положительными. Следовательно, нужно: \[\begin{cases} 12-a>0\\-(a-10)>0\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad a<10\]
Таким образом, мы уже обеспечили себе два различных положительных корня \(t_1\) и \(t_2\) .
3)
Давайте посмотрим на такое уравнение \
При каких \(t\)
оно будет иметь три различных решения? Таким образом, мы определили, что оба корня уравнения \((*)\)
должны лежать в интервале \((1;4)\)
. Как записать это условие? имело четыре различных корня, отличных от нуля, представляющих вместе с \(x=0\)
арифметическую прогрессию. Заметим, что функция \(y=25x^4+25(a-1)x^2-4(a-7)\)
является четной, значит, если \(x_0\)
является корнем уравнения \((*)\)
, то и \(-x_0\)
будет являться его корнем. Тогда необходимо, чтобы корнями этого уравнения были упорядоченные по возрастанию числа: \(-2d, -d, d, 2d\)
(тогда \(d>0\)
). Именно тогда данные пять чисел будут образовывать арифметическую прогрессию (с разностью \(d\)
). Чтобы этими корнями являлись числа \(-2d, -d, d, 2d\)
, нужно, чтобы числа \(d^{\,2}, 4d^{\,2}\)
являлись корнями уравнения \(25t^2+25(a-1)t-4(a-7)=0\)
. Тогда по теореме Виета: Перепишем уравнение в виде \
и рассмотрим две функции: \(g(x)=20a-a^2-2^{x^2+2}\)
и \(f(x)=13|x|-2|5x+12a|\)
. Для того, чтобы уравнение имело хотя бы одно решение, нужно, чтобы графики функций \(f\)
и \(g\)
имели хотя бы одну точку пересечения. Следовательно, нужно: \
Решая данную совокупность систем, получим ответ: \\]
Ответ:
\(a\in \{-2\}\cup\)
Графики четной и нечетной функции обладают следующими особенностями:
Если функция является четной, то ее график симметричен относительно оси ординат. Если функция является нечетной, то ее график симметричен относительно начала координат.
Решение.
Рассмотрим функцию: \(f\left(x \right)=\left|x \right|\) и подставим вместо \(x \) противоположное \(-x \). В результате не сложных преобразований получим:
$$f\left(-x \right)=\left|-x \right|=\left|x \right|=f\left(x \right)$$
Другими словами, если аргумент заменить на противоположный по знаку, функция не изменится.
Значит эта функция - четная, а ее график будет симметричен относительно оси ординат (вертикальной оси). График этой функции приведен на рисунке слева. Это означает что при построении графика, можно строить только половину, а вторую часть (левее вертикальной оси рисовать уже симметрично правой части). Определив симметричность функции перед началом построения ее графика, можно намного упростить процесс построения или исследования функции. Если сложно выполнять проверку в общем виде, можно поступить проще: подставить в уравнение одинаковые значения разных знаков. Например -5 и 5. Если значения функции получатся одинаковыми, то можно надеяться что функция будет четной. С математической точки зрения такой подход не совсем правильный, но с практической - удобный. Чтобы увеличить достоверность результата можно подставить несколько пар таких противоположных значений. Решение.
Выполним проверку так же как в предыдущем примере:
$$f\left(-x \right)=x\left|-x \right|=-x\left|x \right|=-f\left(x \right)$$
Это означает, что исходная функция является нечетной (знак функции поменялся на противоположный).
Вывод: функция симметрична относительно начала координат. Можно строить только одн половину, а вторую рисовать симметрично. Такую симметрию рисовать сложнее. Это означает, что вы смотрите на график с другой строны листа да еще и перевернув вверх ногами. А можно еще так: берем нарисованную часть и вращаем ее вокруг начала координат на 180 градусов против часовой стрелки. Решение.
Выполним такую же проверку на смену знака, как и в предыдущих двух примерах.
$$f\left(-x \right)=\left(-x \right)^3+\left(-x \right)^2=-x^2+x^2$$
В результате получим, что:
$$f\left(-x \right)\not=f\left(x \right),f\left(-x \right)\not=-f\left(x \right)$$
А это означает, что функция не является ни четной, ни нечетной.
Вывод: функция не симметрична ни относительно начала координат ни относительно центра системы координат. Это произошло потому, что она представляет собой сумму двух функций: четной и не четной. Такая же ситуация будет если вычитать две разные функции. А вот умножение или деление приведет к другому результату. Например, произведение четной и нечетной функций дает нечетную. Или частное двух нечетных приводит к четной функции. Четная функция.
Четной
называется функция, знак которой не меняется при изменении знака x
. x
выполняется равенство f
(–x
) = f
(x
). Знак x
не влияет на знак y
. График четной функции симметричен относительно оси координат (рис.1). Примеры четной функции:
y
= cos x
y
= x
2 y
= –x
2 y
= x
4 y
= x
6 y
= x
2 + x
Пояснение: Нечетная функция.
Нечетной
называется функция, знак которой меняется при изменении знака x
. Говоря иначе, для любого значения x
выполняется равенство f
(–x
) = –f
(x
). График нечетной функции симметричен относительно начала координат (рис.2). Примеры нечетной функции:
y
= sin x
y
= x
3 y
= –x
3 Пояснение:
Возьмем функцию y = –x
3 . Свойства четной и нечетной функций:
ПРИМЕЧАНИЕ:
Не все функции являются четными или нечетными. Есть функции, которые не подчиняются такой градации. К примеру, функция корня у
= √х
не относится ни к четным, ни к нечетным функциям (рис.3). При перечислении свойств подобных функций следует давать соответствующее описание: ни четна, ни нечетна. Периодические функции.
Как вы знаете, периодичность – это повторяемость определенных процессов с определенным интервалом. Функции, описывающие эти процессы, называют периодическими функциями
. То есть это функции, в чьих графиках есть элементы, повторяющиеся с определенными числовыми интервалами.
Рассмотрим функцию \(f(x)=x^3-3x^2+4\)
.
Можно разложить на множители: \
Следовательно, ее нули: \(x=-1;2\)
.
Если найти производную \(f"(x)=3x^2-6x\)
, то мы получим две точки экстремума \(x_{max}=0, x_{min}=2\)
.
Следовательно, график выглядит так:
Мы видим, что любая горизонтальная прямая \(y=k\)
, где \(0
Таким образом, нужно: \[\begin{cases} 0<\log_{\sqrt2}t_1<4\\ 0<\log_{\sqrt2}t_2<4\end{cases}\qquad (**)\]
Давайте также сразу заметим, что если числа \(t_1\)
и \(t_2\)
различны, то и числа \(\log_{\sqrt2}t_1\)
и \(\log_{\sqrt2}t_2\)
будут различны, значит, и уравнения \(x^3-3x^2+4=\log_{\sqrt2} t_1\)
и \(x^3-3x^2+4=\log_{\sqrt2} t_2\)
будут иметь несовпадающие между собой корни.
Систему \((**)\)
можно переписать так: \[\begin{cases} 1
В явном виде выписывать корни мы не будем.
Рассмотрим функцию \(g(t)=t^2+(a-10)t+12-a\)
. Ее график – парабола с ветвями вверх, которая имеет две точки пересечения с осью абсцисс (это условие мы записали в пункте 1)). Как должен выглядеть ее график, чтобы точки пересечения с осью абсцисс были в интервале \((1;4)\)
? Так:
Во-первых, значения \(g(1)\)
и \(g(4)\)
функции в точках \(1\)
и \(4\)
должны быть положительными, во-вторых, вершина параболы \(t_0\)
должна также находиться в интервале \((1;4)\)
. Следовательно, можно записать систему: \[\begin{cases}
1+a-10+12-a>0\\
4^2+(a-10)\cdot 4+12-a>0\\
1<\dfrac{-(a-10)}2<4\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad 4
Функция \(g(x)\)
имеет точку максимума \(x=0\)
(причем \(g_{\text{верш}}=g(0)=-a^2+20a-4\)
):
\(g"(x)=-2^{x^2+2}\cdot \ln 2\cdot 2x\)
. Ноль производной: \(x=0\)
. При \(x<0\)
имеем: \(g">0\)
, при \(x>0\)
: \(g"<0\)
.
Функция \(f(x)\)
при \(x>0\)
является возрастающей, а при \(x<0\)
– убывающей, следовательно, \(x=0\)
– точка минимума.
Действительно, при \(x>0\)
первый модуль раскроется положительно (\(|x|=x\)
), следовательно, вне зависимости от того, как раскроется второй модуль, \(f(x)\)
будет равно \(kx+A\)
, где \(A\)
– выражение от \(a\)
, а \(k\)
равно либо \(13-10=3\)
, либо \(13+10=23\)
. При \(x<0\)
наоборот: первый модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\)
, где \(k\)
равно либо \(-3\)
, либо \(-23\)
.
Найдем значение \(f\)
в точке минимума: \
Пример.
Построить график функции \(y=x\left|x \right|\).
Пример.
Построить график функции \(y=x^3+x^2\).
Возьмем функцию y
= x
2 или y
= –x
2 .
При любом значении x
функция положительная. Знак x
не влияет на знак y
. График симметричен относительно оси координат. Это четная функция.
Все значения у
в ней будут со знаком минус. То есть знак x
влияет на знак y
. Если независимая переменная – положительное число, то и функция положительная, если независимая переменная – отрицательное число, то и функция отрицательная: f
(–x
) = –f
(x
).
График функции симметричен относительно начала координат. Это нечетная функция.
