Как решать простые логарифмические неравенства. Все о логарифмических неравенствах

Вам кажется, что до ЕГЭ еще есть время, и вы успеете подготовиться? Быть может, это и так. Но в любом случае, чем раньше школьник начинает подготовку, тем успешнее он сдает экзамены. Сегодня мы решили посвятить статью логарифмическим неравенствам. Это одно из заданий, а значит, возможность получить дополнительный балл.

Вы уже знаете, что такое логарифм(log)? Мы очень надеемся, что да. Но даже если у вас нет ответа на этот вопрос, это не проблема. Понять, что такое логарифм очень просто.

Почему именно 4? В такую степень нужно возвести число 3, чтобы получилось 81. Когда вы поняли принцип, можно приступать и к более сложным вычислениям.

Неравенства вы проходили еще несколько лет назад. И с тех пор они постоянно встречаются вам в математике. Если у вас проблемы с решением неравенств, ознакомьтесь с соответствующим разделом.
Теперь, когда мы познакомились с понятиями по отдельности, перейдем к их рассмотрению в общем.

Самое простое логарифмическое неравенство.

Простейшие логарифмические неравенства не ограничиваются этим примером, есть еще три, только с другими знаками. Зачем это нужно? Чтобы полнее понять, как решать неравенство с логарифмами. Теперь приведем более применимый пример, все еще достаточно простой, сложные логарифмические неравенства оставим на потом.

Как это решить? Все начинается с ОДЗ. О нем стоит знать больше, если хочется всегда легко решать любое неравенство.

Что такое ОДЗ? ОДЗ для логарифмических неравенств

Аббревиатура расшифровывается как область допустимых значений. В заданиях для ЕГЭ нередко всплывает данная формулировка. ОДЗ пригодится вам не только в случае логарифмических неравенств.

Посмотрите еще раз на вышеприведенный пример. Мы будем рассматривать ОДЗ, исходя из него, чтобы вы поняли принцип, и решение логарифмических неравенств не вызывало вопросов. Из определения логарифма следует что, 2х+4 должно быть больше нуля. В нашем случае это означает следующее.

Это число по определению должно быть положительным. Решите неравенство, представленное выше. Это можно сделать даже устно, здесь явно, что X не может быть меньше 2. Решение неравенства и будет определением области допустимых значений.
Теперь перейдем к решению простейшего логарифмического неравенства.

Отбрасываем из обеих частей неравенства сами логарифмы. Что в результате у нас остается? Простое неравенство.

Решить его несложно. X должен быть больше -0,5. Теперь совмещаем два полученных значения в систему. Таким образом,

Это и будет область допустимых значений для рассматриваемого логарифмического неравенства.

Зачем вообще нужно ОДЗ? Это возможность отсеять неверные и невозможные ответы. Если ответ не входит в область допустимых значений, значит, ответ попросту не имеет смысла. Это стоит запомнить надолго, так как в ЕГЭ часто встречается необходимость поиска ОДЗ, и касается она не только логарифмических неравенств.

Алгоритм решения логарифмического неравенства

Решение состоит из нескольких этапов. Во-первых, необходимо найти область допустимых значений. В ОДЗ будет два значения, это мы рассмотрели выше. Далее нужно решить само неравенство. Методы решения бывают следующими:

метод замены множителей;
декомпозиции;
метод рационализации.

В зависимости от ситуации стоит применять один из вышеперечисленных методов. Перейдем непосредственно к решению. Раскроем наиболее популярный метод, который подходит для решения заданий ЕГЭ практически во всех случаях. Далее мы рассмотрим метод декомпозиции. Он может помочь, если попалось особенно «заковыристое» неравенство. Итак, алгоритм решения логарифмического неравенства.

Примеры решения :

Мы не зря взяли именно такое неравенство! Обратите внимание на основание. Запомните: если оно больше единицы, знак остается прежним при нахождении области допустимых значений; в противном случае нужно изменить знак неравенства.

В результате мы получаем неравенство:

Теперь приводим левую часть к виду уравнения, равному нулю. Вместо знака «меньше» ставим «равно», решаем уравнение. Таким образом, мы найдем ОДЗ. Надеемся, что с решением такого простого уравнения у вас не будет проблем. Ответы -4 и -2. Это еще не все. Нужно отобразить эти точки на графике, расставить «+» и «-». Что нужно для этого сделать? Подставить в выражение числа из интервалов. Где значения положительны, там ставим «+».

Ответ : х не может быть больше -4 и меньше -2.

Мы нашли область допустимых значений только для левой части, теперь нужно найти область допустимых значений правой части. Это не в пример легче. Ответ: -2. Пересекаем обе полученные области.

И только теперь начинаем решать само неравенство.

Упростим его, насколько возможно, чтобы решать было легче.

Снова применяем метод интервалов в решении. Опустим выкладки, с ним уже и так все понятно по предыдущему примеру. Ответ.

Но этот метод подходит, если логарифмическое неравенство имеет одинаковые основания.

Решение логарифмических уравнений и неравенств с разными основаниями предполагает изначальное приведение к одному основанию. Далее применяйте вышеописанный метод. Но есть и более сложный случай. Рассмотрим один из самых сложных видов логарифмических неравенств.

Логарифмические неравенства с переменным основанием

Как решать неравенства с такими характеристиками? Да, и такие могут встретиться в ЕГЭ. Решение неравенств нижеследующим способом тоже полезно скажется на вашем образовательном процессе. Разберемся в вопросе подробным образом. Отбросим теорию, перейдем сразу к практике. Чтобы решать логарифмические неравенства, достаточно однажды ознакомиться с примером.

Чтобы решить логарифмическое неравенство представленного вида, необходимо привести правую часть к логарифму с тем же основанием. Принцип напоминает равносильные переходы. В итоге неравенство будет выглядеть следующим образом.

Собственно, остается создать систему неравенств без логарифмов. Используя метод рационализации, переходим к равносильной системе неравенств. Вы поймете и само правило, когда подставите соответствующие значения и проследите их изменения. В системе будут следующие неравенства.

Воспользовавшись методом рационализации при решении неравенств нужно помнить следующее: из основания необходимо вычесть единицу, х по определению логарифма из обеих частей неравенства вычитается (правое из левого), два выражения перемножаются и выставляются под исходным знаком по отношению к нулю.

Дальнейшее решение осуществляется методом интервалов, здесь все просто. Вам важно понять отличия в методах решения, тогда все начнет легко получаться.

В логарифмических неравенствах много нюансов. Простейшие из них решать достаточно легко. Как сделать так, чтобы решать каждое из них без проблем? Все ответы вы уже получили в этой статье. Теперь впереди вас ждет длительная практика. Постоянно практикуйтесь в решении самых разных задач в рамках экзамена и сможете получить наивысший балл. Успехов вам в вашем непростом деле!

При решении логарифмических неравенств за основу берем свойства логарифмических функций . А именно то, что функция у =log a x при а > 1 будет монотонно возрастающей, а при 0 < а < 1 - монотонно убывающей.

Проанализируем преобразования необходимые для решения неравенства

log 1/5 (x - l) > - 2.

Первоначально требуется уравнять основания логарифмов , в указанном случае показать правую часть в виде логарифма с необходимым основанием . Преобразуем -2=-2 log 1/5 1/5= log 1/5 1/5 -2 = log 1/5 25 , далее укажем выбранное неравенство в виде:

log 1/5 (x- l) > log 1/5 25.

Функция у = log 1/5 x будет монотонно убывающей. Получается, большему значению этой функции соответствует меньшее значение аргумента. И соответственно имеем, х —1 < 25. К указанному неравенству требуется добавить еще неравенство х - 1 > 0, соответствующее тому факту, что под знаком логарифма может быть только положительная величина. Получается, что данное неравенство идентично системе двух линейных неравенств . Учитывая, что основание логарифма меньше единицы, в идентичной системе знак неравенства меняется на противоположный:

Решив которое видим, что:

1 < х < 26.

Имеет большое значение не забыть условие х- 1 > 0, иначе получится не правильный вывод: х < 26. Тогда бы в эти «решения» входило бы и значение х = 0, при котором левая часть первоначального неравенства не существует.

решение неравенства в режиме онлайн решение почти любого заданного неравенства онлайн . Математические неравенства онлайн для решения математики. Быстро найти решение неравенства в режиме онлайн . Сайт www.сайт позволяет найти решение почти любого заданного алгебраического , тригонометрического или трансцендентного неравенства онлайн . При изучении практически любого раздела математики на разных этапах приходится решать неравенства онлайн . Чтобы получить ответ сразу, а главное точный ответ, необходим ресурс, позволяющий это сделать. Благодаря сайту www.сайт решение неравенства онлайн займет несколько минут. Основное преимущество www.сайт при решении математических неравенства онлайн - это скорость и точность выдаваемого ответа. Сайт способен решать любые алгебраические неравенства онлайн , тригонометрические неравенства онлайн , трансцендентные неравенства онлайн , а также неравенства с неизвестными параметрами в режиме онлайн . Неравенства служат мощным математическим аппаратом решения практических задач. C помощью математических неравенств можно выразить факты и соотношения, которые могут показаться на первый взгляд запутанными и сложными. Неизвестные величины неравенств можно найти, сформулировав задачу на математическом языке в виде неравенств и решить полученную задачу в режиме онлайн на сайте www.сайт. Любое алгебраическое неравенство , тригонометрическое неравенство или неравенства содержащие трансцендентные функции Вы легко решите онлайн и получите точный ответ. Изучая естественные науки, неизбежно сталкиваешься с необходимостью решения неравенств . При этом ответ должен быть точным и получить его необходимо сразу в режиме онлайн . Поэтому для решения математических неравенств онлайн мы рекомендуем сайт www.сайт, который станет вашим незаменимым калькулятором для решения алгебраических неравенств онлайн , тригонометрических неравенств онлайн , а также трансцендентных неравенств онлайн или неравенств с неизвестными параметрами. Для практических задач по нахождению инетравол решений различных математических неравенств ресурса www.. Решая неравенства онлайн самостоятельно, полезно проверить полученный ответ, используя онлайн решение неравенств на сайте www.сайт. Необходимо правильно записать неравенство и моментально получите онлайн решение , после чего останется только сравнить ответ с Вашим решением неравенства. Проверка ответа займет не более минуты, достаточно решить неравенство онлайн и сравнить ответы. Это поможет Вам избежать ошибок в решении и вовремя скорректировать ответ при решении неравенств онлайн будь то алгебраическое , тригонометрическое , трансцендентное или неравенство с неизвестными параметрами.

С ними находятся внутри логарифмов.

Примеры:

$\log_3⁡x≥\log_3⁡9$
$\log_3⁡ {(x^2-3)}< \log_3⁡{(2x)}$
$\log_{x+1}⁡{(x^2+3x-7)}>2$
$\lg^2⁡{(x+1)}+10≤11 \lg⁡{(x+1)}$

Как решать логарифмические неравенства:

Любое логарифмическое неравенство нужно стремиться привести к виду $\log_a⁡{f(x)} ˅ \log_a{⁡g(x)}$ (символ $˅$ означает любой из ). Такой вид позволяет избавиться от логарифмов и их оснований, сделав переход к неравенству выражений под логарифмами, то есть к виду $f(x) ˅ g(x)$.

Но при выполнении этого перехода есть одна очень важная тонкость:
$-$ если - число и оно больше 1 - знак неравенства при переходе остается прежним,
$-$ если основание - число большее 0, но меньшее 1 (лежит между нулем и единицей), то знак неравенства должен меняться на противоположный, т.е.

Примеры:

$\log_2⁡{(8-x)}<1$
ОДЗ: $8-x>0$
$-x>-8$
$x<8$

Решение:
$\log$$_2$ $(8-x)<\log$$_2$ ${2}$
$8-x$$<$ $2$
$8-2 \(x>6$
Ответ: $(6;8)$

$\log$$_{0,5⁡}$ $(2x-4)$≥$\log$$_{0,5}$ ⁡${(x+1)}$
ОДЗ: $\begin{cases}2x-4>0\\x+1 > 0\end{cases}$
$\begin{cases}2x>4\\x > -1\end{cases}$ $\Leftrightarrow$ $\begin{cases}x>2\\x > -1\end{cases}$ $\Leftrightarrow$ $x\in(2;\infty)$

Решение:
$2x-4$$≤$ $x+1$
$2x-x≤4+1$
$x≤5$
Ответ: $(2;5]$

Очень важно! В любом неравенстве переход от вида $\log_a{⁡f(x)} ˅ \log_a⁡{g(x)}$ к сравнению выражений под логарифмами можно делать только если:

Пример . Решить неравенство: $\log$$≤-1$

Решение:

$\log$$_{\frac{1}{3}}⁡{\frac{3x-2}{2x-3}}$ $≤-1$	Выпишем ОДЗ.
ОДЗ: $\frac{3x-2}{2x-3}$ $>0$
$⁡\frac{3x-2-3(2x-3)}{2x-3}$ $≥$ $0$	Раскрываем скобки, приводим .
$⁡\frac{-3x+7}{2x-3}$ $≥$ $0$	Умножаем неравенство на $-1$, не забыв при этом перевернуть знак сравнения.
$⁡\frac{3x-7}{2x-3}$ $≤$ $0$
$⁡\frac{3(x-\frac{7}{3})}{2(x-\frac{3}{2})}$ $≤$ $0$	Построим числовую ось и отметим на ней точки $\frac{7}{3}$ и $\frac{3}{2}$ . Обратите внимание, точка из знаменателя – выколота, несмотря на то, что неравенство нестрогое. Дело в том, что эта точка не будет решением, так как при подстановке в неравенство приведет нас к делению на ноль.
$x∈($$\frac{3}{2}$ $;$$\frac{7}{3}]$	Теперь на ту же числовую ось наносим ОДЗ и записываем в ответ тот промежуток, который попадает в ОДЗ.
	Записываем окончательный ответ.

Ответ: $x∈($$\frac{3}{2}$ $;$$\frac{7}{3}]$

Пример . Решить неравенство: $\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0$

Решение:

$\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0$	Выпишем ОДЗ.
ОДЗ: $x>0$	Приступим к решению.
Решение: $\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0$	Перед нами типичное квадратно-логарифмическое неравенство. Делаем .
$t=\log_3⁡x$ $t^2-t-2>0$	Раскладываем левую часть неравенства на .
$D=1+8=9$ $t_1= \frac{1+3}{2}=2$ $t_2=\frac{1-3}{2}=-1$ $(t+1)(t-2)>0$
	Теперь нужно вернуться к исходной переменной – иксу. Для этого перейдем к , имеющей такое же решение, и сделаем обратную замену.
$\left[ \begin{gathered} t>2 \\ t<-1 \end{gathered} \right.$ $\Leftrightarrow$ $\left[ \begin{gathered} \log_3⁡x>2 \\ \log_3⁡x<-1 \end{gathered} \right.$	Преобразовываем $2=\log_3⁡9$, $-1=\log_3⁡\frac{1}{3}$.
$\left[ \begin{gathered} \log_3⁡x>\log_39 \\ \log_3⁡x<\log_3\frac{1}{3} \end{gathered} \right.$	Делаем переход к сравнению аргументов. Основания у логарифмов больше $1$, поэтому знак неравенств не меняется.
$\left[ \begin{gathered} x>9 \\ x<\frac{1}{3} \end{gathered} \right.$	Соединим решение неравенства и ОДЗ на одном рисунке.
	Запишем ответ.

Ответ: $(0; \frac{1}{3})∪(9;∞)$

Решение простейших логарифмических неравенств и неравенств, где основание логарифма фиксировано, мы рассматривали в прошлом уроке .

А что делать, если в основании логарифма стоит переменная?

Тогда нам на помощь придет рационализация неравенств. Чтобы понять, как это работает, давайте рассмотрим, например, неравенство:

$$\log_{2x} x^2 > \log_{2x} x.$$

Как положено, начнем с ОДЗ.

ОДЗ

$$\left[ \begin{array}{l}x>0,\\ 2x ≠ 1. \end{array}\right.$$

Решение неравенства

Давайте рассуждать, как если бы мы решали неравенство с фиксированным основанием. Если основание больше единицы, избавляемся от логарифмов, и знак неравенства не меняется, если меньше единицы - меняется.

Запишем это в виде системы:

$$\left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l}2x>1,\\ x^2 > x; \end{array}\right. \\ \left\{ \begin{array}{l}2x<1,\\ x^2 < x; \end{array}\right. \end{array} \right.$$

Для дальнейших рассуждений перенесем все правые части неравенств влево.

$$\left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l}2x-1>0,\\ x^2 -x>0; \end{array}\right. \\ \left\{ \begin{array}{l}2x-1<0,\\ x^2 -x<0; \end{array}\right. \end{array} \right.$$

Что у нас получилось? Получилось, что нам нужно, чтобы выражения `2x-1` и `x^2 - x` были одновременно либо положительными, либо отрицательными. Такой же результат получится, если мы решим неравенство:

$$(2x-1)(x^2 - x) >0.$$

Это неравенство так же как и исходная система верно, если оба множителя либо положительны, либо отрицательны. Получается можно от логарифмического неравенства перейти к рациональному (учтя при этом ОДЗ).

Сформулируем метод рационализации логарифмических неравенств $$\log_{f(x)} g(x) \vee \log_{f(x)} h(x) \Leftrightarrow (f(x) - 1)(g(x)-h(x)) \vee 0,$$ где `\vee` - это любой знак неравенства. (Для знака `>` мы только что проверили справедливость формулы. Для остальных предлагаю проверить самостоятельно - так запомнится лучше).

Вернемся к решению нашего неравенства. Разложив на скобки (чтобы было лучше видно нули функции), получим

$$(2x-1)x(x - 1) >0.$$

Метод интервалов даст следующую картину:

(Поскольку неравенство строгое и концы интервалов нас не интересуют, они не закрашены.) Как видно, полученные интервалы удовлетворяют ОДЗ. Получили ответ: `(0,\frac{1}{2}) \cup (1,∞)`.

Пример второй. Решение логарифмического неравенства с переменным основанием

$$\log_{2-x} 3 \leqslant \log_{2-x} x.$$

ОДЗ

$$\left\{\begin{array}{l}2-x > 0,\\ 2-x ≠ 1, \\ x > 0. \end{array}\right.$$

$$\left\{\begin{array}{l}x < 2,\\ x ≠ 1, \\ x > 0. \end{array}\right.$$

Решение неравенства

По только что полученному нами правилу рационализации логарифмических неравенств, получим, что данное неравенство тождественно (с учетом ОДЗ) следующему:

$$(2-x -1) (3-x) \leqslant 0.$$

$$(1-x) (3-x) \leqslant 0.$$

Совместив это решение с ОДЗ, получим ответ: `(1,2)`.

Третий пример. Логарифм от дроби

$$\log_x\frac{4x+5}{6-5x} \leqslant -1.$$

ОДЗ

$$\left\{\begin{array}{l} \dfrac{4x+5}{6-5x}>0, \\ x>0,\\ x≠ 1.\end{array} \right.$$

Поскольку система относительно сложная, давайте сразу нанесем решение неравенств на числовую ось:

Таки образом, ОДЗ: `(0,1)\cup \left(1,\frac{6}{5}\right)`.

Решение неравенства

Представим `-1` в виде логарифма с основанием `x`.

$$\log_x\frac{4x+5}{6-5x} \leqslant \log_x x^{-1}.$$

С помощью рационализации логарифмического неравенства получим рациональное неравенство:

$$(x-1)\left(\frac{4x+5}{6-5x} -\frac{1}{x}\right)\leqslant0,$$

$$(x-1)\left(\frac{4x^2+5x - 6+5x}{x(6-5x)}\right)\leqslant0,$$

$$(x-1)\left(\frac{2x^2+5x - 3}{x(6-5x)}\right)\leqslant0.$$

\(\log\)\(_{\frac{1}{3}}⁡{\frac{3x-2}{2x-3}}\) \(≤-1\)	Выпишем ОДЗ.
ОДЗ: \(\frac{3x-2}{2x-3}\) \(>0\)
\(⁡\frac{3x-2-3(2x-3)}{2x-3}\) \(≥\) \(0\)	Раскрываем скобки, приводим .
\(⁡\frac{-3x+7}{2x-3}\) \(≥\) \(0\)	Умножаем неравенство на \(-1\), не забыв при этом перевернуть знак сравнения.
\(⁡\frac{3x-7}{2x-3}\) \(≤\) \(0\)
\(⁡\frac{3(x-\frac{7}{3})}{2(x-\frac{3}{2})}\) \(≤\) \(0\)	Построим числовую ось и отметим на ней точки \(\frac{7}{3}\) и \(\frac{3}{2}\) . Обратите внимание, точка из знаменателя – выколота, несмотря на то, что неравенство нестрогое. Дело в том, что эта точка не будет решением, так как при подстановке в неравенство приведет нас к делению на ноль.
\(x∈(\)\(\frac{3}{2}\) \(;\)\(\frac{7}{3}]\)	Теперь на ту же числовую ось наносим ОДЗ и записываем в ответ тот промежуток, который попадает в ОДЗ.
	Записываем окончательный ответ.

\(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)	Выпишем ОДЗ.
ОДЗ: \(x>0\)	Приступим к решению.
Решение: \(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)	Перед нами типичное квадратно-логарифмическое неравенство. Делаем .
\(t=\log_3⁡x\) \(t^2-t-2>0\)	Раскладываем левую часть неравенства на .
\(D=1+8=9\) \(t_1= \frac{1+3}{2}=2\) \(t_2=\frac{1-3}{2}=-1\) \((t+1)(t-2)>0\)
	Теперь нужно вернуться к исходной переменной – иксу. Для этого перейдем к , имеющей такое же решение, и сделаем обратную замену.
\(\left[ \begin{gathered} t>2 \\ t<-1 \end{gathered} \right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left[ \begin{gathered} \log_3⁡x>2 \\ \log_3⁡x<-1 \end{gathered} \right.\)	Преобразовываем \(2=\log_3⁡9\), \(-1=\log_3⁡\frac{1}{3}\).
\(\left[ \begin{gathered} \log_3⁡x>\log_39 \\ \log_3⁡x<\log_3\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)	Делаем переход к сравнению аргументов. Основания у логарифмов больше \(1\), поэтому знак неравенств не меняется.
\(\left[ \begin{gathered} x>9 \\ x<\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)	Соединим решение неравенства и ОДЗ на одном рисунке.
	Запишем ответ.