Формы представления зависимостей между величинами примеры. Величины и их взаимосвязь

Тема: «Моделирование зависимостей между величинами»

Цели урока:

1. Познакомиться с понятиями:

«величины»,

«математическая модель»,

«табличная модель»,

«графическая модель»

Развивающие:

Создать условия для развития умения выделять главное, сравнивать, анализировать, обобщать.

Воспитательные:

Воспитывать внимательность, стремление довести дело до намеченного результата;

Установление взаимных контактов и обмен опытом между учащимися и преподавателем.

Оборудование: компьютер учителя с мультимедийным проектором.

План урока

Организационный момент (2 мин) Постановка целей урока. Объяснение нового материала. (17 мин) Закрепление нового материала (5 мин) Решение заданий из демоверсии ЕГЭ 2010г (15 мин) Подведение итогов (3 мин) Задание на дом (3 мин)

Ход урока

(слайд 2)

Цели урока:

1. Познакомиться с понятиями:

«величины»,

« зависимости между величинами»,

«математическая модель»,

«табличная модель»,

«графическая модель»

Рассмотреть на примерах зависимости между величинами.

2. Совершенствовать навыки решения заданий из КИМов ЕГЭ.

(слайд 3)

Применение математического моделирования постоянно требует учета зависимостей одних величин от других.

1. Время падения тела на землю зависит от первоначальной высоты;

2. Давление газа в баллоне зависит от его температуры;

3. Частота заболеваний жителей бронхиальной астмой зависит от качества городского воздуха

(слайд 4)

Всякое исследование нужно начинать с выделения количественных характеристик исследуемого объекта. Такие характеристики называются величинами. Со всякой величиной связаны три основных свойства: имя, значения, тип.

Имя величины может быть полным (давление газа), а может быть символическим (Р). Для определенных величин используются стандартные имена: время – T, скорость – V, сила – F…

(слайд 5)

Если значение величины не меняется, то она называется постоянной величиной или константой

(π =3,14159…).

Величина, меняющая свое значение, называется переменной.

(слайд 6)

Тип определяет множество значений, которые может принимать величина. Основные типы величин: числовой, символьный, логический. Так как мы будем говорить лишь о количественных характеристиках, то и рассматриваться будут только величины числового типа.

(Слайд 7)

Вернемся к примерам и обозначим переменные величины, зависимости между которыми нас интересуют.

В примере 1:

Т (сек) – время падения; Н (м) – высота падения. Ускорения свободного падения g (м/сек2) – константа.

В примере 2: Р(н/м2) – давление газа; t° C - температура газа.

В примере 3:

Загрязненность воздуха характеризуется концентрацией примесей С(мг/куб. м). Уровень заболеваемости характеризуется числом хронических больных астмой на 1000 жителей данного города – Р(бол/тыс.)

(Слайд 8)

Рассмотрим Методы представления зависимостей

Математическая модель Табличная модель Графическая модель

(Слайд 9)

Математическая модель

Это совокупность количественных характеристик некоторого объекта(процесса) и связей между ними, представленных на языке математики.

Для первого примера математическая модель представляется в виде формулы:

455 " style="width:341.25pt">

(Слайд 11)

Графическая модель

и нарисуем график

(Слайд 12)

Информационные модели, которые описывают развитие систем во времени, имеют специальное название: динамические модели.

В физике динамические информационные модели описывают движение тел; в биологии – развитие организмов и популяций животных; в химии – протекание химических реакций и т. д

(слайд 13)

Решение задачи: (1 ученик у доски, остальные в тетрадях)

Построить математическую, табличную и графическую модели задачи:

Тело движется по закону x (t)=5 t2+2 t-5,

где x – перемещение в метрах, t – время в секундах. Найти скорость тела в момент времени t=2.

Построить таблицу, отражающую зависимость скорости тела от времени движения тела с интервалом в 3 секунды.

Ответьте на Вопросы:

1. Какие вам известны формы представления зависимостей между величинами? (ответ 1 ученика )

2. Обоснуйте преимущества и недостатки каждой из трёх форм представления

зависимостей. (ответ 1 ученика )

Повторение 10-ой, 2-ой, 8-ой и 16-ой систем счисления.

Решение задания из демоверсии ЕГЭ (1 )

1. Как представлено число 26310 в восьмеричной системе счисления?

Решение:

Как записывается число 5678 в двоичной системе счисления?

(1 ученик у доски, остальные в тетрадях )

Решение:

Как записывается число А8716 в восьмеричной системе счисления?

(1 ученик у доски, остальные в тетрадях )

Решение:

Задание А1 из демоверсии 2010г. (1 ученик у доски, остальные в тетрадях )

Дано: а=9D16, b=2378 . Какое из чисел С, записанных в двоичной системе счисления, удовлетворяет неравенству

Решение:

Подведение итогов (3 мин) Задание на дом (3 мин) §36, вопросы. Пример.

Дано: а= 3328, b= D416. Какое из чисел С, записанных в двоичной системе счисления, удовлетворяет неравенству a

Предварительная подготовка. Вопросы и задания

При решении каких информационных задач используются
электронные таблицы?

а) Как адресуются данные в электронной таблице?

б) Данные каких типов могут храниться в ячейках ЭТ?

в) Что такое принцип относительной адресации?

г) Как можно отменить действие относительной адресации?

В чем состоит назначение диаграмм?

Как определяется область выбора данных из таблицы для построения диаграммы и порядок выбора? Какие величины откладываются по горизонтальной (ОХ) оси и вертикальной (OY) оси?

В каких ситуациях предпочтительнее использовать: гистограммы; графики; круговые диаграммы?

Информационное моделирование в планировании и управлении производством

Изучаемые вопросы

Наиболее распространенные типы задач планирования и управления

Представление зависимостей между величинами

Статистика и статистические данные

Метод наименьших квадратов

Построение регрессионных моделей с помощью табличного процессора

Прогнозирование по регрессионной модели

Понятие о корреляционных зависимостях. Расчет корреляционных зависимостей в электронной таблице

Оптимальное планирование. Использование MS Excel для решения задачи оптимального планирования

Наиболее распространенные типы задач планирования и управления

В управлении и планировании существует целый ряд ти­повых задач, которые можно переложить на плечи компью­тера. Пользователь таких программных средств может даже и не знать глубоко математику, стоящую за применяемым аппаратом. Он лишь должен понимать суть решаемой проб­лемы, готовить и вводить в компьютер исходные данные, интерпретировать полученные результаты.

В данной теме рассмотрим три типа задач, которые часто приходится решать специалистам в области планирования и управления:

1) прогнозирование - поиск ответа на вопросы «Что будет через какое-то время?», или «Что будет, если...?»;

2) определение влияния одних факторов на другие - поиск ответа на вопрос «Как сильно влияет фактор Б на фактор А?», или «Какой фактор - Б или В - влияет сильнее на фактор А?»;

3) поиск оптимальных решений - поиск ответа на вопрос «Как спланировать производство, чтобы достичь оптимального значения некоторого показателя (например, максимума прибыли, или минимума расхода электроэнергии)? ».

Инструментом информационных технологий, который мы будем использовать, является табличный процессор MS Excel.

Представление зависимостей между величинами

Решение задач планирования и управления постоянно требует учета зависимостей одних факторов от других. Примеры зависимостей:

‒ время падения тела на землю зависит от первоначальной высоты;

‒ давление зависит от температуры газа в баллоне;

‒ частота заболевания жителей бронхиальной астмой зависит от качества городского воздуха.

Рассмотрим различные методы представления зависимостей .

Всякое исследование нужно начинать с выделения количественных характеристик исследуемого объекта (процесса, явления). Такие характеристики называются величинами.

Со всякой величиной связаны три основные свойства : имя, значение, тип.

Имя величины может быть полным (подчеркивающим ее смысл), а может быть символическим. Примером полного имени является «Давление газа»; а символическое имя для этой же величины - Р. В базах данных величинами явля­ются поля записей. Для них, как правило, используются полные имена, например: «Фамилия», «Вес», «Оценка» и т. п. В физике и других науках, использующих математи­ческий аппарат, применяются символические имена для обозначения величин.

Если значение величины не изменяется, то она называет­ся постоянной величиной или константой. Пример кон­станты - число Пифагора π=3,14159... Величина, меняю­щая свое значение, называется переменной . Например, в описании процесса падения тела переменными величинами являются высота (Н) и время падения (t).

Третьим свойством величины является ее тип . Тип определяет множество значений, которые может прини­мать величина. Основные типы величин: числовой, символь­ный, логический.

А теперь вернемся к примерам 1-3 и обозначим (поименуем) все переменные ве­личины, зависимости между которыми нас будут интересо­вать. Кроме имен укажем размерности величин. Размерности определяют единицы, в которых представляются значения величин.

1. t (сек) - время падения; Н (м) - высота падения. Зависимость будем представлять, пренебрегая учетом сопротивления воздуха. Ускорение свободного падения g (м/сек 2) - константа.

2. Р (кг/м 2) - давление газа; t (С) - температура газа. Давление при нуле градусов Р о считается константой для данного газа.

3. Загрязненность воздуха будем характеризовать концентрацией примесей - С (мг/куб. м). Единица измерения - масса примесей, содержащихся в 1 кубическом метре воздуха, выраженная в миллиграммах. Уровень заболеваемости будем характеризовать числом хронических больных астмой, приходящимся на 1000 жителей данного города - Р (бол./тыс).

Если зависимость между величинами удается предста­вить в математической форме, то мы имеем математическую модель.

Математическая модель - это совокупность количественных характеристик некоторого объекта (процесса) и связей между ними, представленных на языке ма­тематики.

Хорошо известны математические модели для первых двух примеров из перечисленных выше. Они отражают фи­зические законы, и представляется в виде формул:

Это примеры зависимостей, представленных в функциональной форме. Первую зависимость называют корневой (время пропорционально квадратному корню от высоты), вторую - линейной (давление прямо пропорционально тем­пературе).

В более сложных задачах математические модели пред­ставляются в виде уравнений или систем уравнений. В этом случае для извлечения функциональной зависимости вели­чин нужно уметь решать эти уравнения. В конце данной главы будет рассмотрен пример математической модели, ко­торая выражается системой неравенств.

Рассмотрим примеры двух других способов представления зависимостей между величинами: табличного и графического . Представьте себе, что мы решили проверить закон свободного падения тела экспериментальным путем. Эксперимент организовали следующим образом: бросаем стальной шарик с балкона 2-го этажа, 3-го этажа (и так далее) десятиэтажного дома, замеряя высоту начального положения шарика и время падения. По результатам эксперимента мы со­ставили таблицу и нарисовали график.

Предмет: математика
Класс: 4
Тема урока: Зависимости между скоростью, длиной пройденного пути и временем
движения.
Цель: выявить и обосновать зависимости между величинами: скорость, время,
расстояние;
Задачи: способствовать развитию нестандартного мышления, умение делать выводы,
рассуждать; содействовать воспитанию познавательной активности.
Оборудование: индивидуальные карточки разных цветов, критерии оценивания,
карточка для рефлексии, круги двух цветов.
Ход урока.
1. Орг.момент.
Карточка двух цветов: желтая и синяя. Показать с помощью карточки свое настроение
в начале и конце урока.
Заполнение карточки на начало урока (Приложение 1.)
№ Утверждение
Конец урока
Начало урока
Да
Нет
Не знаю Да
Нет Не
знаю
1. Я знаю все формулы
задач на движение
2. Я понимаю решение
задач на движение
3. Я могу сам решать эти
задачи
4. Я умею составлять
схемы к задачам на
движение
5. Я знаю, какие ошибки
допускаю в решении
задач на движение
2. Повторение.
­ Как найти скорость? Время? Расстояние?
­ Назовите единицы измерения величины скорости, расстояние, время.
3. Сообщение темы урока.
­ Чему будем учиться на уроке?
4. Работа в группе.
­ Соединить объекты движения (Приложение 2)
Пешеход 70км/ч
Лыжник 5км/ч

Автомобиль 10км/ч
Реактивный самолет 12км/ч
Поезд 50км/ч
Улитка 900км/ч
Лошадь 90 км\ч
Проверка работ.
5. Математическая головоломка(самостоятельная работа)
­ Во сколько скорость велосипедиста меньше скорости поезда?
­ На сколько км скорость лыжника больше скорости пешехода?
­ Во сколько раз скорость автомобиля меньше скорости реактивного самолета?
­ Найди общую скорость самого скоростного движущегося средства и самого
медленного.
­ Найди общую скорость поезда велосипедиста и лыжника.
6. Самопроверка работ по критериям.
7. Физминутка.
Красный цвет квадрата­ стоим
Зеленый – идем
Желтый – хлопаем 1 раз в ладоши
8. Работа в группе. (Карточка желтого цвета) (метод Джегсо)
Задача.
Две бабы­яги поспорили, что быстроходнее ступа или помело? Одну и ту же
дистанцию в 228км баба­яга в ступе пролетела за 4ч, а баба­яга на помеле за 3ч. Что
больше, скорость ступы или помела?
9. Работа в паре «Эксперимент».
Придумать задачу на движение, используя величины: 18км/ч, 4ч, 24 км, 3ч.
Проверка работ.
10. Тест.
1.Записать формулу нахождения скорости.
2. Записать формулу нахождения времени.
3. Как найти расстояние? Запиши формулу.
4. Запиши 8 км/мин в км/ч
5. Найди время, за которое пройдет пешеход 42 км, двигаясь со скоростью 5км/ч.
6. Какое расстояние пройдет пешеход, двигаясь со скоростью 5км/ч в течение 6 часов?
11. Итог урока.
Заполнить таблицу, с какими результатами мы пришли к концу урока.
Показать карточку, которая соответствует вашему настроению.

Начало урока
Да
Нет
Приложение 1.
Конец урока
Не знаю Да
№ Утверждение
1. Я знаю все формулы
задач на движение
2. Я понимаю решение
задач на движение
3. Я могу сам решать эти
задачи
4. Я умею составлять
схемы к задачам на
движение
5. Я знаю, какие ошибки
допускаю в решении
задач на движение
Соединить объекты движения.
Пешеход 70км/ч
Лыжник 5км/ч
Автомобиль 10км/ч
Реактивный самолет 12км/ч
Поезд 50км/ч
Улитка 900км/ч
Лошадь 90 км\ч
Нет Не
знаю
Приложение 2.

Тема урока «Зависимость между величинами».

Цели урока:

1.Дать понятие зависимости между величинами, выяснить способы их задания.

2.Развивать способность учащихся анализировать и синтезировать учебный материал.

3.Воспитывать творческое отношение к учебному труду.

4.Преподнести учебный материал через эмоционально - переживательную сферу ученика.

А теперь опишем по технологию построения учителем методики урока по технологии деятельностного метода.

1. Этап самоопределения нормы N

На этом этапе определяется тема и обучающая цель урока: «На уроке мы рассмотрим зависимость между различными величинами», то есть объявляется операция без уточнения условий ее применения.

2. Этап актуализации знаний и фиксация затруднения в деятельности.

На этом этапе учитель предлагает список заданий, выполнение которых предполагает выполнение известной ранее нормы.

Как найти:

Площадь прямоугольника?

Периметр прямоугольника?

Объем прямоугольного параллелепипеда?

Скорость по течению?

Скорость против течения?

Последним вопросом на этапе актуализации знаний должен быть вопрос, который фиксирует затруднения в деятельности учащихся, то есть, ранее изученных знаний не хватает, возникает учебная проблема. В данном случае это вопрос: «Для чего нужны эти правила и соответствующие формулы?».

3. Этап постановки учебной задачи.

Учитель ставит перед учащимися проблему: Как измерить площадь участка прямоугольной формы, если мы не знаем формулу S =ав? Можно разбить участок на прямоугольники размером в 1 кв. метр и сосчитать их количество. Удобно ли это?

Учащиеся отвечают, что это возможно, но неудобно. Значит, формулы нужны для вычисления величин, измерение которых затруднительно.

Учитель ставит еще более убедительную проблему: как измерить расстояние от Земли до Солнца? Итак, налицо кризис ранее известной нормы N .

4. Этап построения проекта выхода из затруднения.

Ученые установили, что расстояние от Земли до Солнца 150 млн. км. А как они узнали об этом? Совместно с детьми выясняется формула вычисления расстояния от Земли до Солнца s = ct , где с=300000км, t =8 мин, время, за которое свет доходит до Земли. Вычисления показывают, что s =2400000 км. Почему у нас получилось расхождение с известным фактом?

Вывод: Формулу можно применить только в том случае, когда единицы измерения входящих в нее величин согласованы между собой.

На этом этапе уместно воздействие на эмоционально – переживательную сферу ученика с помощью небольшой воспитательной беседы. « Свет от Земли до Солнца идет в течение 8 минут, значит, мы видим Солнце таким, каким оно было 8 минут назад. Есть звезды, свет от которых идет до нас миллионы лет: звезда может уже погасла, а свет от нее идет до сих пор. Так же бывают и люди: человека уже нет с нами, а его тепло, свет согревают нас всю жизнь. Таким человеком был народный поэт Башкортостана Мустай Карим, день памяти которого мы отмечаем сегодня. Его духовная энергия, тепло его сердца будет нам служить нравственным ориентиром многие годы».

На данном этапе урока учащимся предлагаются различные способы задания зависимостей между величинами: табличный, графический и с помощью формулы.

Дети на этом этапе включаются в ситуацию выбора метода решения учебной задачи: они сравнивают различные способы задания зависимостей между величинами. Результаты сравнения фиксируются на опорно – узловой матрице.

Способы задания Формула график таблица

1-универсальность, 2-точность, 3-наглядность;

(Условные обозначения «Д»- да, «Н»- нет)

На основе анализа опорно – узловой матрицы учащиеся делают вывод о том, что наиболее лучшим является задание зависимости между величинами с помощью формулы, потому что он обладает свойством универсальности: из формулы можно получить таблицу зависимости и построить график зависимости между величинами.

5. Этап первичного закрепления во внешней речи.

Разбирается задача №90

По одной формуле зависимости ширины прямоугольника от его длины при постоянной площади: b =12/а составить таблицу этой зависимости и построить её график.

1 ,5

1,5

График зависимости длины прямоугольника от ширины

Итак, мы связали 3 способа задания зависимостей между величинами:

С помощью формулы,

Графический,

Табличный.

6. Этап самостоятельной работы с самопроверкой по эталону.

Учащиеся самостоятельно решают задания на новый способ действий, выполняют самопроверку по эталону и сами оценивают свои результаты. Создаётся ситуация успеха, снова задействована эмоционально-переживательная сфера ученика. На одном этапе учащимся предлагают задания №133, №140. Для реализации принципа минимакса деятельностной технологии обучения учащимся предлагают задания двух уровней: М, А и В.

Уровень М: №133, А: №140. Уровень В: № 145

7. Включение новых знаний в знаний.

На данном этапе учащиеся убеждаются, что вновь приобретённые знания имеют ценность для дальнейшего обучения. Выполняя упражнение №139, они устанавливают зависимость между

Объёмом V куба и его ребром а;

Площадью S прямоугольного треугольника и катетами а и b

Диаметром D и радиусом R этой окружности;

Длиной стороны а прямоугольника, его периметром Р и площадью S ;

S куба и его ребром а

Площадью полной поверхности S прямоугольного параллелепипеда и его измерениями а, b и с.

8. Рефлексия деятельности (итог урока)

Учащиеся выполняют самооценку собственной деятельности (что нового узнали, какой метод использовали, успешность выполненных шагов). Происходит фиксация успешности деятельности и вывод о следующих шагах. Выявляются ученики, выполнившие задания уровня А и В.

Примечание.

Урок проведён по учебнику Г.В.Дорофеева, Л.Г.Петерсон. Математика, учебник для 6 класса. Часть 2. Ювента. 2011г