Электронная структура твердых тел. Электронные состояния твердых тел

Целями освоения дисциплины «Электронные свойства твердых тел» являются формирование у студентов представления о свойствах твердых тел, обусловленных изменением состояния электронной подсистемы при различного рода внешних полевых воздействиях на твердое тело.

Изучение дисциплины предполагает выполнение следующих задач:

1. знакомство с методами теоретического и экспериментального изучения топологии поверхности Ферми;
2. изучение методов расчета кинетических коэффициентов при различного рода полевых воздействий на твердое тело;
3. использование полученных теоретических знаний об электронной структуре и электронных свойствах к анализу электронной структуры металлов и их сплавов.
4. приобретение навыков и умений по решению практических задач по электронной структуре и электронным свойствам твердых тел.

Дисциплина «Электронные свойства твердых тел» относится к общенаучному циклу магистерской программы «физика конденсированного состояния вещества». Она содержательно знакомит слушателей с тем, как на основе изучения энергетического спектра твердых тел развивалось новое научное направление физики твердого тела – исследование вещества в условиях комбинированного воздействия электрических и магнитных полей, и градиента температуры. Она показыв ает слушателям как успехи, достигнутые в этой области, позволяют решать задачи целенаправленного изменения характеристик вещества, получения веществ с новыми свойствами.

1. Теоретические и экспериментальные методы изучения топологии поверхности Ферми.

Поверхность Ферми в различных энергетических полосах. Метод Харрисона построения поверхности Ферми в схеме расширенных и повторяющих зон Бриллюэна. Полуклассическая модель динамики электронов. Эквивалентный гамильтониан. Движение в постоянном электрическом поле. Циклотронный резонанс. Квантование орбит свободного электрона в магнитном поле. Эффект де Гааза-ван-Альфена.

2. Полуклассическая теория проводимости металлов.

Валентные электроны во внешних полях. Кинетический метод расчета потока электронов в металлах. Кинетическое уравнение Больцмана. Приближение времени релаксации. Коэффициент электропроводности. Обобщенные уравнения потоков. Кинетические коэффициенты. Термоэлектрические явления (эффекты Зеебека, Пельтье). Теплопроводность, закон Видемана-Франца. Явление переноса в слабом магнитном поле. Эффект Холла.

3. Электронная структура и свойства простых металлов и сплавов.

Одновалентные щелочные и благородные металлы. Двухвалентные металлы. Трехвалентные металлы. Четырехвалентные металлы. Полуметаллы. Переходные металлы. Сплавы переходных металлов. Правило Юм-Розери.

Приблизительные вопросы для экзамена:

1. Поверхность Ферми в различных энергетических полосах в поле периодического потенциала.
2. Динамика электронов в магнитном поле. Траектория движения в фазовом и реальном пространствах.
3. Период и частота циклического движения в магнитном поле.
4. Электронная структура одновалентных металлов.
5. Явление циклотронного резонанса.
6. Электронная структура 2-х. валентных металлов.
7. Анализ знака эффективной массы электронов.
8. Электронная структура трехвалентных металлов.
9. Квантование орбит в магнитном поле.
10. Электронная структура четырехвалентных металлов. Полуметаллы.
11. Распределение электронов в k-пространстве в присутствии квантующего магнитного поля.
12. Переходные металлы. Электронная структура сплавов.
13. Качественное описание эффекта де-Гааза-ван-Альфена.
14. Экспериментальные данные о роли электронной концентрации в ограниченной растворимости в твердом состоянии.
15. Валентные электроны во внешних полях и при наличии градиента температуры.
16. Электронная теория ограниченных твердых растворов на основе Cu.
17. Динамика электронов в электрическом поле.
18. Кинетический метод расчета потока электронов в металлах.
19. Метод Харрисона построения поверхности Ферми в схеме расширенных зон Бриллюэна.
20. Кинетическое уравнение Больцмана. Интеграл столкновений.
21. Метод Харрисона построения поверхности Ферми в схеме повторяющихся зон Бриллюэна.
22. Решение стационарного кинетического уравнения Больцмана в приближении времени релаксации.
23. Современная схема построения поверхности Ферми простых металлов.
24. Коэффициент электропроводности.
25. Динамика электронов в кристаллах. Эффективная масса электронов.
26. Коэффициент электропроводности в различных частных случаях.
27. Общее выражение для плотности потока заряда и тепла.
28. Коэффициент теплопроводности. Закон Видемана-Франца.
29. Расчет кинетических коэффициентов.
30. Решение кинетического уравнения Больцмана в скрещенных E и H полях.
31. Термоэлектрические эффекты.
32. Константа Холла и магнетосопротивление однополосного металла.
33. Поглощение ультразвука в магнитном поле.
34. Константа Холла двухполосного металла.

Литература

а) основная литература:

1. Займан Дж. Электроны и фононы. - М.: ИИЛ, 1962. - Гл. 2.
2. Займан Дж. Принципы теории твердого тела. - М.: Мир, 1966.
3. Абрикосов А.А. Введение в теорию нормальных металлов. - М.: Наука, 1972. - Гл. 7, 10.
4. Кудрявцева Н.В. Основы теории твердого тела. - Томск: Изд-во Том. ун-та, 1972. - Т.2. - Гл. 5, 6.
5. Жирифалько Л. Статистическая физика твердого тела* - М.: Мир, 1975. - Гл. 4.
6. Ашкрофт Н., Мермин Н. Физика твердого тела. - М.: Мир, 1979. - Т. 1. - Гл. 15.
7. Егорушкин В.Е., Хон Ю.А. Электронная теория сплавов переходных металлов. - Новосибирск: Наука, 1985. - Гл. 2.
8. Брандт Н.Б., Чудинов С.М. Электроны и фононы в металлах. - М.: Изд. Моск. ун-та, 1990.

б) дополнительная литература:

1. Брандт Н.Б., Чудинов С.М. Электронная структура металлов. - М.: Изд. Моск. ун-та, 1973. - Гл. 2.
2. Киттель Ч. Введение в физику твердого тела. - М.: ФММ, 1978. - Гл. 10-11
3. Вонсовский С.В., Концельсон М.И. Квантовая физика твердого тела. - М.: Наука, 1983. - Гл. 3.

Твердое тело можно рассматривать как очень большую молекулу, в которой соблюдается дальний или ближний порядок расположения атомов или молекул. Дальний порядок отвечает идеально регулярным кристаллам, пространственная симметрия которых описывается 230 федоровскими группами. Ближний порядок характерен для реальных кристаллов с дефектами кристаллической решетки, аморфных тел, полимеров и т.д.: для них характерно проявление лишь локальной симметрии в определенных фрагментах структуры – кластерах. Для каждого из этих случаев существуют свои способы описания электронной структуры. Идеальные регулярные кристаллы рассматриваются как бесконечно протяженные (наличие поверхности игнорируется), и их электронные волновые функции определяются с явным учетом симметрии кристалла. Структуры некоторых идеальных атомных и молекулярных кристаллов представлены на рис.

В твердых телах с ближним порядком, нестехиометрических кристаллах и при изучении поверхностных эффектов часто достаточно использовать модифицированные молекулярные модели, выделив

Кристаллические структуры NaCl (а), алмаза (б), бензола (в)

и диборида магния (г)

Одноэлектронные волновые функции в бесконечных периодических кристаллах и методы их расчета Трансляционная симметрия кристалла

В идеальном кристалле можно ввести три вектора трансляций a, b иc так, что физические свойства кристалла в некоторой произвольно выбранной точке r точно воспроизводятся в любой другой точке r удовлетворяющей условию

r = r + T = r + n1 a + n2 b + n3 c ,

где n1 , n2 , n3 произвольные целые числа. Совокупность точек r, определяемая

выражением (58), при различных n1 , n2 , n3 дает кристаллическую решетку, которая является геометрическим образом регулярного периодического расположения атомов в пространстве.

Параллелепипед, имеющий в качестве ребер векторы a, b иc , называетсяэлементарной ячейкой кристалла. Перемещение в пространстве ячейки как целого, описываемое векторомT = n 1 a + n 2 b + n 3 c , называетсятрансляцией. Вектор трансляции связывает любые две соответственные точки кристаллической решетки (рис. 49). Посредством операций трансляции элементарной ячейкой можно заполнить все пространство кристаллической

структуры. Такое свойство кристалла называется 3

трансляционной симметрией.

Посредством соответствующих операций трансляций элементарной ячейкой можно заполнить все пространство кристаллической структуры. Такое свойство кристалла названо трансляционной симметрией.

Трансляционная симметрия предполагает бесконечную протяженность кристалла. Конечно, регулярные структуры не являются бесконечными, а при отсутствии бесконечности теряется важное свойство трансляционной симметрии.

Один из способов сохранения трансляционной симметрии конечных систем - наложение циклических граничных условий (условия Борна-фон-Кармана). Суть их в том, что эквивалентные группы атомов отождествляются друг с другом так, чтобы граница отсутствовала.

Электрон в периодическом поле кристалла Рассмотрим случй одномерных систем. Для цепочки точек, изображающих

атомы, периодичность равносильна изгибу цепочки в окружность большого радиуса и соединению между собой концевых точек.

Образование периодической системы на примере одномерной цепочки атомов с периодом а

Если движение электрона, например, вдоль оси х , ничем не ограничено (свободный электрон), его волновая функция есть бегущая волна ei kx . Кинетическая энергия свободного электрона равна

Екин = p2 /2m =(kh )2 /82 m,

(p – импульс, а длина волны электрона), потенциальная энергия равна нулю, а волновое число k = 2 / может принимать любые значения.

Движение электрона ограничено в пространстве элементарной ячейкой кристалла. Граничные условия, накладываемые на волновую функцию электрона: (0)= (а) = 0 (a – размер ящика). Движение электрона в ящике

можно описать как суперпозицию волн, бегущих в противоположных направлениях. Волновые функции различных состояний электрона, движущегося в периодическом пространстве, имеют вид

т.е. представляют собой стоячие волны. Из-за граничных условий волновое число и энергия электрона могут принимать лишь дискретные значения:k= (/а)n

(n =1,2,3,…; n = 0 исключается как противоречащее условию нормировки волновых функций). Энергия электрона теперь зависит от волновых чисел и записывается следующим образом:

Стоячие волны, энергия которых пропорциональна u2 , имеют узлы и пучности в разных областях пространства по отношению к атомным остовам: каждая из волн указывает места концентрации электронов в точках пространства, отвечающих различным значениям потенциальной энергии.

В случае нечетных n cos2 [(/а)nx ]= 1 приx =а : стоячая волна u2 описывает

концентрации электронов вблизи атомных остовов, где отрицательная потенциальная энергия взаимодействия «электрон-остов» максимальна по абсолютной величине.

В случае четных n функции u1 описывают концентрации электронов между остовами, где потенциальная энергия электрона не столь отрицательна. В среднем по периоду энергия волны u1 выше, а волны u2 – ниже, чем у бегущей волны, описывающей свободный электрон. Разность этих энергий, возникающая приk i = (/а )n i как следствие трансляционной симметрии, называетсяэнергетической

щелью и обозначается Eg .

Рис. иллюстрирует сказанное для случая n = 1 иn = 2 : поведение волновых функций позволяет заключить, что u2 соответствует связывающим, а u1 –

разрыхляющим кристаллическим волновым функциям.

В кристалле электроны движутся в трехмерном периодическом потенциале с периодом a ~ 1 Å: V(r) = V(r +а ), в этом случае волновая функция электрона, обладающая трансляционными свойствами и являющаяся собственной функцией одноэлектронного гамильтониана, имеет вид

uk (r) = Neikr k (r),

где k (r) – периодическая в кристаллической решетке функция, N –

нормировочный множитель. Одноэлектронная функция uk называетсяфункцией Блоха . Кристаллические орбиталиk (r) – аналоги МО – строятся как линейные

комбинации функций Блоха (62):

k (r) = cj (k )ukj (r).

Функции Блоха k (r), таким образом, играют в кристалле роль базисных функций.

Вследствие трансляционной симметрии волновые функции электронов кристалла оказываются зависящими от волновых векторов, пробегающих дискретные («разрешенные») значения. Энергии соответствующих электронных состояний называются энергетическими уровнями , а их совокупности формируют

энергетические полосы или энергетические зоны. Симметрия прямого пространства определяет симметрию пространства волновых векторов, которое называется обратным пространством. Важно, что в обратном пространстве также можно выделить наименьшую область, из которой операциями симметрии строится все обратное пространство. Эта область в k –пространстве называется первой зоной Бриллюэна; в одномерном случае она лежит между - / a и + / a (рис.

52). Зависимость энергии электронов от k в более высоких зонах Бриллюэна, охватывающих все k –пространство, получают из информации о первой зоне. Для этого достаточно сдвинуть кривую, описывающую эту зависимость, вдоль осиk на величину, кратную 2 /a (рис.). Такое представление называется схемой

Состояние движения электронов в твердом теле было бы точно известно, если бы удалось решить уравнение Шредингера

и найти собственные волновые функции и значения энергии Оператор Гамильтона для кристалла в общем случае имеет вид

Первых два слагаемых в (2.2) - операторы кинетической энергии электронов с массами и ядер с массами последующие слагаемые определяют соответственно энергии попарного кулоновского взаимодействия электронов, взаимодействия всех электронов со всеми ядрами и взаимодействия ядер между собой Радиусы-векторы электронов и ядер обозначены через

Уравнение (2.1) содержит координат частиц, где число атомов в кристалле; заряд ядра. Поскольку уравнение Шредингера не решается точно даже для отдельных атомов, за исключением атома водорода, то естественно, что невозможно найти точное решение (2.1). Поэтому задача сводится к нахождению приближенных решений в рамках физически оправданных упрощающих предположений .

Зонная теория, лежащая в основе современной физики металлов, диэлектриков и полупроводников, базируется на двух приближениях: адиабатическом, или приближении Борна - Оппенгеймера, и одноэлектронном.

В адиабатическом приближении учитывается различный характер движения легких частиц - электронов и тяжелых частиц - ядер. Вследствие резкого различия их масс движение электронов будет быстрым по сравнению с движением ядер. Поэтому при рассмотрении движения электронов в любой момент времени ядра можно считать неподвижными, а при рассмотрении движения ядер учитывать лишь усредненное по времени поле, создаваемое всеми электронами. На математическом языке это означает, что волновая функция в (2.1) может быть представлена в виде произведения двух функций

одна из которых с описывает медленное движение ядер, а вторая лишь параметрически зависит от координат ядер. Тогда (2.1) распадается на уравнение для электронов

и уравнение для ядер

Обычно движение ядер, т. е. тепловые колебания решетки, рассматривается как возмущения, а в уравнение (2.3) вместо координат ядер подставляют координаты неподвижных узлов решетки. Однако и после этого уравнение Шредингера решить

нельзя. Решение становится возможным только тогда, когда задача о движении многих взаимодействующих частиц сводится к задаче о движении одного электрона в поле всех остальных частиц. Это достигается путем введения так называемого самосогласованного поля

которое равно потенциальной энергии всех электронов, за исключением в той точке, в которой расположен электрон. С помощью гамильтониан системы представляется в виде суммы гамильтонианов, относящихся к отдельным электронам

а волновую функцию в (2.3) можно искать как произведение

Твердое тело - сложная многочастичная система, состоящая из ядер и электронов. Его можно представить себе как совокупность сблизившихся атомов так что электронные волновые функции стали перекрываться. При этом электроны внешних оболочек перестают быть локализованными около своего атома.

Металлы, диэлектрики, полупроводники.
Итак, при сближении атомов, уровни энергии расщепляются и образуются зоны. Становится ясным откуда возникают понятия 2s - зона, 3р - зона и т.д., это указания на атомные термы, из которых произошла данная зона.

Различные зоны могут перекрываться или оставаться разделенными зонами запрещенных энергий. Пусть зоны не перекрываются. Тогда, из полностью заполненных (полностью пустых, частично заполненных) атомных термов образуются полностью заполненные (соответственно, полностью пустые или частично заполненные) зоны. Если же зоны перекрываются (гибридизация зон), то из атомного терма, занятого электроном, и терма с незаполненным состоянием может образоваться частично заполненная электронами полоса энергии. Согласно принципу Паули, при Т = 0 в зоне будут заняты ZN/2 энергетических состояний с наименьшей энергией, где N - число атомов, Z - число электронов на соответствующих уровнях в атоме, 2 возникла из-за спина. Всего же в одной зоне Брюллиэна содержится N состояний с различными значениями к. Таким образом, по заряду иона Z можно судить о характере заполнения зоны. Например, при нечетном Z заведомо появятся частично заполненные зоны. И действительно, такая ситуация имеет место, например, в щелочных металлах, где на верхнем заполненном уровне имеется один электрон (Z = 1).

Оглавление
1 Основные методы и приближения для описания электронных состояний в твердом теле.
1.1 Адиабатическое приближение
1.2 Приближение самосогласованного поля, метод Хартри-Фока
1.3 Волновая функция электрона в периодическом поле
2 Спектр электронов в твердом теле, зонная структура
2.1 Спектр электронов в твердом теле
2.2 Модель почти свободных электронов
2.3 Приближение сильной связи
3 Свойства блоховских электронов
3.1 Металлы, диэлектрики, полупроводники
3.2 Динамика блоховского электрона
3.3 Эффективная масса
3.4 Зонная структура типичных полупроводников
3.5 Плотность состояний
4 Приближение эффективной массы.
4.1 Электроны и дырки
4.2 Уравнение приближения эффективной массы
4.3 Примесные атомы
4.4 Экситоны Ваннье-Мотта
5 Статистика носителей заряда в металлах и полупроводниках.
5.1 Распределение Ферми-Дирака
5.2 Вырожденный электронный газ. Металл
5.3 Невырожденный электронный газ
6 Диэлектрическая проницаемость твердого тела. Формула Линдхарда.
6.1 Пространственная и временная дисперсия
6.2 Вычисление диэлектрической проницаемости с помощью теории возмущений
6.3 Экранирование статического (w = 0) поля в проводниках
6.4 Низкочастотная диэлектрическая проницаемость диэлектриков
6.5 Экранирование на высоких частотах. (q - 0, w - велика)
6.6 Переход Мотта-Хаббарда
7 Явление переноса в твердых телах. Кинетическое уравнение
7.1 Кинетическое уравнение Больцмана
7.2 Кинетическое уравнение Больцмана
7.3 Время релаксации импульса
7.4 Вид интеграла столкновений при рассеянии па фононах
7.5 Интеграл межэлектронных столкновений
7.6 Время рассеяния импульса на фононах
8 Кинетические явления. Решение уравнения Больцмана. Проводимость. Термоэлектрические эффекты.
8.1 Решение кинетического уравнения в т - приближении. Отклик на однородное поле Е
8.2 Стационарное решение кинетического уравнения при наличии электрического и магнитного полей и градиента температуры
8.3 Ток в неоднородном проводнике и градиент электрохимического потенциала
8.4 Термоэлектрические эффекты
9 Гальваномагнитные явления
9.1 Эффект Холла
9.2 Поперечное магнетосопротивление
10 Разогрев электронного газа.
10.1 Время рассеяния энергии
10.2 Горячие электроны, электронная температура
11 Контактная разность потенциалов
11.1 Работа выхода
11.2 Контакт металл - полупроводник
11.3 Двумерный электронный газ
12 Сверхпроводимость i
12.1 Эффективное электрон-электронное взаимодействие в системе электронов и фононов
12.2 Куперовские пары
12.3 Фазовый переход и спонтанное нарушение симметрии
12.4 Метод самосогласованного поля в теории сверхпроводимости
12.5 Незатухающий ток в сверхпроводнике
Программа курса лекций по электронным свойствам твердых тел
Контрольные вопросы.

Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Электронные свойства твердых тел, Артеменко С.Н., 2001 - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Скачать djvu
Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России.

Электронные состояния в твердых телах.

Рассмотрим прежде всего изменение энергетических уровней отдельного атома при наложении на него внешней или возмущающей силы.

Если возмущающая сила оказывает воздействие на электроны атома, то энергетические уровни электронов смещаются, поскольку при этом изменяется полная энергия электронов.

Электронные уровни могут при наложении возмущающей силы расщепиться на уровни с несколько различными по величине энергиями.

Причина этого расщепления заключается в том, что электроны, находящиеся в различных квантовых состояниях, но обладающие одинаковой энергией, могут по-разному взаимодействовать с возмущающей силой.

Когда атомы сближаются друг с другом, образуя твердое тело, взаимодействие между ними оказывает возмущающее действие на первоначальные атомные энергетические уровни.

В результате при достаточно сильном сближении симметрия электронных состояний, существовавшая в изолированных атомах, нарушается, вследствие чего уровни расщепляются.

Тогда единственный энергетический уровень твердого тела с большим расстоянием между атомами в решетке превращается в большое число близко расположенных друг к другу уровней твердого тела с малым межатомным расстоянием, образуя полосу (зону) энергетических уровней.

Некоторые свойства полос энергетических уровней совершенно очевидны.

Во-первых, энергия связи твердого тела должна обусловливаться сдвигом энергетических уровней электронов, подобно тому, что происходит при образовании химической связи.

Следовательно, при образовании твердого тела энергетические уровни должны в среднем смещаться вниз.

Во-вторых, больше всего подвержены возмущающему действию соседних атомов наиболее удаленные от ядра, или валентные электроны, так как они расположены ближе всех остальных электронов к соседним атомам.

В-третьих, равновесное расстояние между атомами решетки должно соответствовать минимуму энергии, поскольку при дальнейшем сближении атомов энергетические уровни начинают смещаться вверх.

В-четвертых, состояния исходной системы при сближении атомов должны деформироваться непрерывным образом.

Чтобы уяснить физическое происхождение энергетической структуры кристалла, следует детально рассмотреть по крайней мере три задачи:

1) природу сил притяжения между атомами;

2) природу сил отталкивания, действующих при слишком тесном сближении атомов друг с другом;

3) степень расщепления энергетических уровней вследствие взаимодействий между атомами.

Ответ на первый вопрос дать трудно, поскольку он различен для разных структур твердого тела.

Атомы отталкиваются при сближении друг с другом в основном потому, что каждому данному электронному состоянию соответствует вполне определенная область пространства.

Принцип запрета Паули утверждает, что одинаковые волновые функции различных атомов не могут локализоваться в одной и той же области пространства, так как в этом случае они описывали бы одно и то же состояние.

Если атомы сближаются так, что пространственная область, в которой определены волновые функции, становится все меньше и меньше.

Происходит пространственное перекрытие волновых функций и возникают условия, в которых принцип Паули не может удовлетворяться и в силу действия принципа неопределенности энергия системы возрастает.

Таким образом, когда атомы оказываются слишком близко друг к другу, их полная энергия возрастает.

Это эквивалентно действию отталкивающей силы.

Третий вопрос является предметом положения о том, что электроны в зоне энергетических уровней подвижны, а не локализуются на индивидуальных атомах.

Подвижность электронов в твердых телах можно объяснить, рассматривая изменения волновой функции, возникающие при сближении изолированных атомов, когда происходит перекрытие волновых функций.

Перекрытие появляется уже при каком-то конечном расстоянии между атомами, однако оно становится заметным тогда, когда межатомное расстояние достигает величины порядка 10 ангстрем или менее.

Для электрона, находящегося в какой-то момент времени на орбите одного из атомов, существует конечная вероятность того, что он будет захвачен соседним атомом.

Чем больше степень перекрытия, тем больше вероятность миграции электрона от атома к атому.

При межатомном расстоянии, соответствующем реальным кристаллическим решеткам, перекрытие волновых функций весьма велико, так что электрон не может долго находиться на орбите данного атома и легко переходит к соседнему атому.

Поскольку переходы электронов от атома к атому происходят быстро, рассматриваемые электроны следует считать принадлежащими всему коллективу атомов кристалла, а не отдельным атомам

Волновые функции электронов, расположенных ниже валентной оболочки, сильнее локализованы вблизи ядра, чем волновые функции валентных электронов, поэтому степень перекрытия этих функций значительно меньше.

Следовательно, внутренние электроны не участвуют заметным образом в процессах перехода от атома к атому.

Кристаллическое и аморфное состояние вещества.

Вещество в окружающем нас трехмерном мире может находиться в четырех агрегатных состояниях: жидком, твердом, газообразном и в виде плазмы (плюс пятое - наносостояние).

Согласно классическому определению в твердом состоянии вещество с трудом изменяет объем и форму (ничтожно мало сжимается и деформируется), в жидком - с трудом изменяет объем, но легко изменяет форму (ничтожно мало сжимается, но легко деформируется), в газообразном легко изменяет и объем,

и форму.

В этих трех состояниях химическая целостность и индивидуальность атомов сохраняются.