Цилиндрические поверхности.

Определение. Цилиндрической поверхностью называется множество параллельных прямых (образующих), проходящих через все точки некоторой линии, называемой направляющей .

Пусть цилиндрическая поверхность задана таким образом в прямоугольной системе координат OXYZ, что образующие этой

поверхности параллельны оси OZ, а направляющая лежит в плоскости OXY и задается уравнением:

Если взять произвольную точку M(z,y,z) на цилиндрической поверхности, то ее проекция на плоскость OXY есть точка M 1 (х 1 ,у 1 ,0). Так как точки M и М 1 лежат на образующей, то х 1 =х, у 1 =у. А так как точка М 1 лежит на направляющей, то координаты точки М 1 , а, значит, и точки M, удовлетворяют уравнению F(x,у)=0.

Итак, уравнению удовлетворяют координаты любой точки

цилиндрической поверхности. Следовательно, уравнение

– искомое уравнение цилиндрической поверхности .

Если в прямоугольной системе координат OXYZ направляющая является кривой второго порядка, задаваемой каноническим уравнением вида F(x,у)=0, а образующие параллельны оси OZ, то цилиндрическими поверхностями второго порядка будут:

х 2 +y 2 =z 2 - прямой круговой цилиндр ;

2)
- эллиптический цилиндр ;

3)
-гиперболический цилиндр ;

4) у 2 =2рх - параболический цилиндр .

Заметим, что характерной чертой уравнения рассматриваемых цилиндрических поверхностей, является отсутствие в этих уравнениях одной из переменных.

Конические поверхности

Определение . Конической поверхностью называется множество прямых (образующих ), проходящих через некоторую точку (вершину) и пересекающих некоторую линию (направляющую) .

Коническая ПВП - коническая поверхность с направляющей, являющейся КВП.

Если вершина совпадает с началом прямоугольной системы координат OXY, а направляющей служит эллипс:

То уравнение конической поверхности имеет вид:

– уравнение конической поверхности

Поверхности вращения

Определение. Поверхность называется поверхностью вращения, если она вместе с каждой своей точкой содержит и всю окружность, полученную вращением этой точки вокруг некоторой фиксированной прямой, называемой осью вращении .

Пусть на плоскости YOZ задана кривая линия l уравнением вида

Тогда уравнение поверхности вращения, образованной вращением кривой l вокруг оси OZ имеет вид:

Эллипсоид

Гиперболоид.

Однополостный гиперболоид:

Каноническое уравнение двухполо c ного гиперболоида имеет вид:

Параболоид

Эллиптический параболоид.

z=ах 2 +by 2 (а,b>0).

Гиперболический параболоид.

z=-ax 2 +by 2 (a,b>0)

Литература:

1. Александров П.С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – М: Наука, 1979.

2. Биркгоф Г., Барти Т. Современная прикладная алгебра. – М.: Мир, 1976.

3. Бузланов А.В., Монахов В.С. Лабораторные работы по курсу «Алгебра и теория чисел». – Гомель: Ротапринт ГГУ им. Ф. Скорины, 1991.

4. Бузланов А.В., Каморников С.Ф., Кармазин А.П. Лабораторные работы по курсу «Алгебра и теория чисел» (раздел «Линейная алгебра») для студентов математического факультета. Часть I, II, III. – Гомель: Ротапринт ГГУ им. Ф. Скорины, 1990, 1991.

5. Бурдун А.А., Мурашко Е.А., Толкачёв М.М., Феденко А.О. Сборник задач по алгебре и аналитической геометрии. – Мн.: Университетское, 1989.

6. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. – М.: Наука, 1982.

7. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. – М.: Наука, 1974.

8. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. – М.: Наука, 1968.

9. Милованов М.В., Тышкевич Р.И., Феденко А.С. Алгебра и аналитическая геометрия. Часть I, II. – Мн.: Вышэйшая школа, 1984, 1987.

10. Рублёв А.Н. Курс линейной алгебры и аналитической геометрии. – М.: Вышэйшая школа, 1972.

Учебное издание

ХОДАЛЕВИЧ АЛЕКСАНДР ДМИТРИЕВИЧ

БОРОДИЧ РУСЛАН ВИКТОРОВИЧ

РЫЖИК ВАЛЕНТИНА НИКОЛАЕВНА

Цилиндрической поверхностью называется поверхность, составленная из всех прямых, пересекающих данную линию L и параллельных данной прямой I. При этом линия L называется направляющей цилиндрической поверхности, а каждая из прямых, составляющих эту поверхность и параллельных прямой - образующей (рис. 89). В дальнейшем мы будем рассматривать только такие цилиндрические поверхности, направляющие которых лежат в одной из координатных плоскостей, а образующие параллельны координатной оси, перпендикулярной этой плоскости.

Рассмотрим в плоскости Оху некоторую линию L, имеющую в системе координат Оху уравнение

Построим цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси Oz и направляющей L (рис. 90). Покажем, что уравнением этой поверхности будет уравнение (39), если его отнести к системе координат в пространстве . Пусть - любая фиксированная точка построенной цилиндрической поверхности.

Обозначим через N точку пересечения направляющей L и образующей, проходящей через точку М. Точка очевидно, будет проекцией точки М на плоскость Поэтому точки М и N имеют одну и ту же абсциссу и одну и ту же ординату у. Но точка N лежит на кривой L, и ее координаты х и у удовлетворяют уравнению (39) этой кривой. Следовательно, этому уравнению удовлетворяют и координаты точки , так как не содержит . Таким образом, координаты любой точки данной цилиндрической поверхности удовлетворяют уравнению (39). Координаты же точек, не лежащих на этой поверхности, уравнению (39) не удовлетворяют, так как эти точки проектируются на плоскость вне кривой

Таким образом, не содержащее уравнение если его отнести к системе координат в пространстве , является уравнением цилиндрической поверхности с образующими, параллельными оси и направляющей L, которая в плоскости задается тем же уравнением

В пространстве направляющая L определяется системой двух уравнений:

Аналогично можно показать, что уравнение не содержащее у, и уравнение не содержащее определяют в пространстве Охуг цилиндрические поверхности с образующими, параллельными соответственно осям

Рассмотрим примеры цилиндрических поверхностей.

1. Поверхность, определяемая уравнением

является цилиндрической и называется эллиптическим цилиндром (рис. 91).

Ее образующие параллельны оси а направляющей является эллипс с полуосями а и b, лежащий в плоскости . В частности, если то направляющей является окружность, а поверхность является прямым круговым цилиндром. Его уравнение

2. Цилиндрическая поверхность, определяемая уравнением

называется гиперболическим цилиндром (рис. 92). Образующие этой поверхности параллельны оси а направляющей служит расположенная в плоскости гипербола с действительной полуосью а и мнимой полуосью b.

3. Цилиндрическая поверхность, определяемая уравнением

называется параболическим цилиндром (рис. 93). Ее направляющей является парабола, лежащая в плоскости , а образующие параллельны оси Ох.

Замечание. Как известно, прямая в пространстве может быть задана уравнениями различных пар плоскостей, пересекающихся по этой прямой. Подобно этому кривая в пространстве может быть задана с помощью уравнений различных поверхностей, пересекающихся по этой кривой.

Занятие № 10.

Тема: Поверхности вращения.
Цилиндрические поверхности

Теоретические сведения.

1. Поверхности вращения.

Пределение. Поверхностью вращения называется поверхность, образованная вращением плоской линии  вокруг оси, лежащей в плоскости этой линии.

Пусть
, тогда ее можно задать уравнениями

Уравнение поверхности, образованной вращением линии  вокруг оси Oz будет иметь вид:

(1)

2. Цилиндрические поверхности .

Пусть в пространстве дана некоторая плоская линия  и вектор , не параллельный плоскости этой линии.

Определение . Цилиндрической поверхностью называется множество точек пространства, лежащих на прямых параллельных данному вектору и пересекающих данную линию .

Иния  называется направляющей цилиндрической поверхности, прямые называются образующими.

Рассмотрим частный случай: направляющая линия  лежит в плоскости xOy : и задается уравнениями:
а направляющий вектор образующих имеет координаты
,
.

В этом случае уравнение цилиндрической поверхности имеет вид

. (2)

Упражнения.

1. Получите уравнение поверхности вращения (1).

   Получите уравнение цилиндрической поверхности (2).

Основные типовые задачи.

1. Составление уравнения поверхности вращения по уравнениям направляющей и оси вращения.

   Составление уравнения цилиндрической поверхности по уравнениям направляющей и направляющему вектору образующих.

Примеры решения задач.

Задача 1. В плоскости yOz дана окружность с центром в точке (0; 4; 0) радиуса 1. Написать уравнение поверхности, образованной вращением данной окружности вокруг оси Oz .

Ешение.

Уравнения окружности, лежащей в плоскости yOz с центром в точке (0; 4; 0) радиуса 1, имеют вид

(3)

При вращении этой окружности вокруг оси Oz получается поверхность, называемая тором. Пусть М – произвольная точка на торе. Проведем через точку М плоскость , перпендикулярную оси вращения, т.е. оси Oz , в сечении получим окружность. Обозначим центр этой окружности P , а точку пересечения плоскости  с окружностью, образующей поверхность вращения, – N .

Обозначим координаты точки M (x , y , z ), тогда P (0, 0, z ), а N(0,, z ). Так как точки M и N лежат на окружности с центром в точке P , то

,

.

Последнее равенство запишем в координатах

. (4)

Точка N лежит на окружности, при вращении которой образуется тор, значит ее координаты должны удовлетворять уравнениям (3), запишем первое уравнение системы (3)

,

,

.

Возведем последнее равенство в квадрат.

и подставим выражение для из равенства (4), получим

Уравнение (5) – искомое.

Задача 2. Составить уравнение цилиндрической поверхности, если направляющая лежит в плоскости xOy и имеет уравнение
, а образующие параллельны вектору {1; 2; –1}.

Пусть точка M (x , y , z ) – произвольная точка цилиндрической поверхности. Проведем через точку М образующую l , она пересекает направляющую в точке
. Так как направляющая лежит в плоскости xOy , то
. Составим канонические уравнения прямой l

.

Приравняем первую и вторую дроби к последней

(6)

Точка N лежит на направляющей, значит ее координаты удовлетворяют ее уравнению:

.

Подставляя выражения для и из системы (6), получим

. (7)

(7) – искомое уравнение.

а) эллипса
;

б) гиперболы
;

в) параболы
.

а) Направляющая лежит в плоскости
и имеет уравнение , а образующие параллельны вектору {1; 0; 1};

б) направляющая лежит в плоскости yOz и имеет уравнение
, а образующие параллельны оси Ox ;

в) направляющая лежит в плоскости xOz и является окружностью
, а образующие параллельны оси Oy.

Напишите уравнение цилиндрической поверхности, если:

а) направляющая задана уравнениями
а образующая параллельна вектору
;

б) направляющая задана уравнениями
а образующая параллельна прямой x = y = z .

а)
,
,
, М (2; 0; 1);

б) l :
, М (2; –1; 1).

Занятие № 11.

Тема: Конические поверхности.

Теоретические сведения.

Пусть в пространстве дана некоторая плоская линия  и точка S , не лежащая в плоскости этой линии.

Определение . Конической поверхностью называется множество точек пространства, лежащих на прямых проходящих через данную точку S и пересекающих данную линию .

Линия  называется направляющей конической поверхности, точка S – вершиной, прямые называются образующими.

Ассмотрим частный случай: вершина S совпадает с началом координат, направляющая линия  лежит в плоскости, параллельной плоскости xOy : z = c , и задается уравнением:
.

В этом случае уравнение конической поверхности имеет вид

. (1)

Если направляющая является эллипсом с центром на оси Oz ,

то получаем поверхность, называемую конусом второго порядка, уравнение этой поверхности имеет вид:

. (2)

Ось Oz в этом случае является осью конуса второго порядка.

Сечения конуса второго порядка:

Пусть плоскость  не проходит через вершину конуса второго порядка, тогда плоскость  пересекает конус:

а) по эллипсу, если  пересекает все образующие конуса;

б) по гиперболе, если  параллельна двум образующим конуса;

в) по параболе, если  параллельна одной образующей конуса.

Упражнения.

Получите уравнение конической поверхности (1).

Получите уравнение конической поверхности второго порядка (2).

Основные типовые задачи.

Составление уравнения конической поверхности по координатам вершины и уравнению направляющей.

Примеры решения задач.

Задача 1. Написать уравнение конической поверхности, вершина которой находится в начале координат, а направляющая задана уравнениями

Пусть точка M (x , y , z ) – произвольная точка конической поверхности. Проведем через эту точку образующую l , она пересечет направляющую в точке
. Запишем канонические уравнения прямой l , как уравнения прямой, проходящей через точку N и вершину конуса О(0, 0, 0)

,

.

Выразим из последней системы и :
,
. Т.к. точка N лежит на направляющей конической поверхности, то ее координаты должны удовлетворять уравнениям направляющей:

(3)

Подставим найденные выражения во второе уравнение системы (3)

,

,

,

. (4)

,
. (5)

Подставляем (4) и (5) в первое уравнение системы (3)

,

.

Полученное уравнение является искомым уравнением конической поверхности.;Линейная зависимость векторов . Система координат. Ортонормированный базис. Линейные операции над векторами в координатах. Скалярное произведение векторов . Векторное произведение векторов ...

§1. Цилиндрические и конические поверхности.

Определение . Конической поверхностью (конусом) с вершиной в точке называется поверхность, которая с каждой своей точкой М
содержит всю прямую
.

Коническую поверхность будем получать следующим образом. Рассмотрим в пространстве линию и точку ,
. Поверхность, образованная всеми прямыми, каждая из которых проходит через точку и всеми прямыми, каждая и которых проходит через точку и пересекает линию , является конической поверхностью. Линия называется направляющей , прямые – образующими .

Задачи.


Решение. Заметим, что направляющая конуса задана как пересечение двух множеств: поверхности
и плоскости
. Пусть произвольная точка
, то есть прямая
должна пересекать направляющую . Тогда
, то есть прямолинейная образующая
конической поверхности К пересекает плоскость
(нарисуйте картинку). Запишем эти условия в виде уравнений.

. Найдем координаты
точки пересечения прямой
с плоскостью .

. Найденные координаты
должны удовлетворять уравнению поверхности
. Получим

Переобозначив переменные, получим

Решение. Пусть






. Это уравнение искомой конической поверхности. 
Определение. Поверхность, содержащая с каждой своей точкой всю прямую, проходящую через эту точку параллельно некоторому фиксированному вектору , называется цилиндрической поверхностью или цилиндром.

Цилиндрическая поверхность может быть образована следующим образом. Пусть - некоторая линия, а - ненулевой вектор. Поверхность, образованная всеми прямыми, каждая из которых проходит через некоторую точку линии параллельно вектору , будет цилиндрической. Линия называется направляющей , прямые – образующими .

Параметрические уравнения прямой :
. Пересечем эту прямую с плоскостью и найдем координаты
точки пересечения: . Координаты этой точки удовлетворяют уравнению поверхности
, то есть

. Переобозначив переменные, получим уравнение искомой цилиндрической поверхности:
. 

Решение. Пусть
Ц
. Вычислим
, где
. Тогда
.

Аналогично находим
. Итак, получим . Это уравнение искомой цилиндрической поверхности. 

Задачи к проверочной работе.


20 * . Написать уравнение цилиндрической поверхности вращения, зная уравнения трех ее образующих , , (ПДСК).

21 * . Написать уравнение кругового конуса, если ост координат являются его прямолинейными образующими, ось лежит в 1 и 7 октантах (АСК).

22 * . Написать уравнение конуса, описанного около сфер
и
(ПДСК).
§2. Прямолинейные образующие поверхностей второго порядка.

Определение . Прямая, лежащая на поверхности, называется прямолинейной образующей этой поверхности.

Задачи.

Чтобы это уравнение выполнялось при любом надо, чтобы

. Итак, мы получили два направляющих вектора, для которых прямая содержится в поверхности:
и
. Непосредственная проверка показывает, что эти векторы задают прямолинейные образующие. Тогда через данную точку
проходят две прямолинейные образующие данной поверхности. 
Рассмотрим каноническое уравнение однополостного гиперболоида
и представим его в виде
. Тогда уравнения двух семейств прямолинейных образующих имеют вид:

;
, где

Где
.

Нам нужно найти такие числа
, чтобы прямолинейные образующие были перпендикулярны оси
. Для этого найдем направляющие векторы этих прямых.

. Тогда

Тогда . Потребуем, чтобы
, то есть

. Подставим в уравнения . Получим

и
.

Семейство рассматривается аналогично. 

Решение. Запишем уравнение однополостного гиперболоида в виде и запишем уравнения двух семейств прямолинейных образующих

Где
.

Нам нужно найти такие числа
, чтобы прямолинейные образующие проходили через точку (1,0,0). Рассмотрим прямые семейства
. Так как точка (1,0,0) должна принадлежать таким прямым, то ее координаты удовлетворяют этой системе уравнений, то есть
. Подставим это в уравнения и сократим на . Тогда
- уравнения искомой прямолинейной образующей. Второе семейство прямолинейных образующих рассматривается аналогично. 

Рассмотрим каноническое уравнение гиперболического параболоида
и представим его в виде
. Тогда уравнения двух семейств прямолинейных образующих имеют вид:
;
, где
и хотя бы одно число в каждой паре отлично от нуля.


и составим уравнения двух семейств прямолинейных образующих

, где

, чтобы прямолинейные образующие были параллельны плоскости
. Имеем
, то есть
. Так как параллелен плоскости
, по критерию параллельности вектора и плоскости получим
. Подставим в уравнения .

. Это противоречит требованию, чтобы хотя бы одно число пары
было отлично от нуля. Решения в этом случае нет.

- искомое решение. Аналогично рассматривается случай . 


Решение. Запишем уравнения гиперболического параболоида в виде
и составим уравнения двух семейств прямолинейных образующих
, где
и хотя бы одно число в каждой паре отлично от нуля. Нам нужно найти такие числа
, чтобы прямолинейные образующие лежали в плоскости
. Найдем направляющий вектор прямых семейства .

, то есть

не содержится в плоскости
(а параллельна ей).

Рассмотрим второе семейство
и проведем аналогичные вычисления.

, то есть
. Чтобы прямая содержалась в плоскости, ее направляющий вектор должен быть параллелен этой плоскости, то есть

. В первом случае получаем противоречивую систему (аналогично предыдущей задаче), а во втором случае имеем
. Чтобы убедиться, что эта прямая лежит в плоскости
, нам достаточно взять любую точку на плоскости, например, (-1,0,0) и проверить, принадлежит ли эта точка прямой . Подставляя координаты (-1,0,0) в уравнения , видим, что точка не принадлежит прямой, то есть прямая не содержится в плоскости
(а параллельна ей). Итак, мы получили, что не существует прямолинейных образующих, принадлежащих плоскости
. 

Задачи к проверочной работе.


§3. Метод сечений. Изображение поверхностей второго порядка 1 .

Задачи.


Решение. Каноническое уравнение эллипсоида имеет вид
. Найдем его сечение плоскостью
. В этой плоскости есть "плоская" система координат
. Точка
в
и та же точка
в
. Если М принадлежит эллипсоиду, то ее "пространственные" координаты удовлетворяют уравнению эллипсоида, то есть верно равенство
или
. На это равенство можно посмотреть как на соотношение координат
в
, то есть мы получили уравнение линии пересечения эллипсоида и плоскости
в системе координат
. Сравним полученное равенство с данным в условии задачи. Получим
. Тогда каноническое уравнение эллипсоида принимает вид:
. Нам осталось найти только значение . Для этого используем то, что точка
принадлежит эллипсоиду, то есть ее координаты удовлетворяют его уравнению:
. Итак, каноническое уравнение эллипсоида
. 


Решение. Рассмотрим поверхность
, и будем исследовать ее методом сечений, то есть пересекать эту поверхность координатными плоскостями и плоскостями, им параллельными.

Рассмотрим плоскость
. Тогда уравнение линии пересечения поверхности
с этой плоскостью в "плоской" системе координат
имеет вид
(см. задачу 1). Это уравнение задает гиперболу с вещественной осью
. Рисуем ее на картинке. получаем положительное число. Разделив на это число обе части уравнения, получим. 