Zapišite enačbo premice, ki poteka skozi točki in. Enačba premice, ki poteka skozi dve dani točki

Enačba premice na ravnini.
Smerni vektor je raven. Normalni vektor

Ravna črta na ravnini je ena najpreprostejših geometrijske oblike, ki vam je znan od mlajši razredi, danes pa se bomo naučili, kako se z njim spopasti z metodami analitično geometrijo. Če želite obvladati gradivo, morate biti sposobni zgraditi ravno črto; vedeti, katera enačba določa premico, zlasti premico, ki poteka skozi koordinatno izhodišče, in premice, vzporedne s koordinatnimi osemi. Te informacije najdete v priročniku Grafi in lastnosti elementarnih funkcij, ustvaril sem ga za matana, toda razdelek o linearna funkcija Izkazalo se je zelo uspešno in podrobno. Zato se, dragi čajniki, najprej ogrejte tam. Poleg tega morate imeti osnovno znanje O vektorji, sicer bo razumevanje gradiva nepopolno.

Vklopljeno to lekcijo Ogledali si bomo načine, kako lahko sestavite enačbo premice na ravnini. Priporočam, da ne zanemarite praktičnih primerov (tudi če se zdijo zelo preprosti), saj jim bom ponudil osnovne in pomembna dejstva, tehnične tehnike, ki bodo potrebne v prihodnosti, tudi v drugih oddelkih višje matematike.

• Kako zapisati enačbo ravne črte s kotnim koeficientom?
• Kako?
• Kako najti smerni vektor z uporabo splošne enačbe ravne črte?
• Kako napisati enačbo ravne črte glede na točko in normalni vektor?

in začnemo:

Enačba premice z naklonom

Dobro znana "šolska" oblika enačbe ravne črte se imenuje enačba premice z naklon . Na primer, če je ravna črta podana z enačbo, potem je njen naklon: . Oglejmo si geometrijski pomen tega koeficienta in kako njegova vrednost vpliva na lokacijo črte:

Pri tečaju geometrije je to dokazano naklon premice je enak tangens kota med pozitivno smerjo osiin ta vrstica: , in kot se "odvije" v nasprotni smeri urinega kazalca.

Da ne bi risal v nered, sem kote narisal samo za dve ravni črti. Poglejmo "rdečo" črto in njen naklon. Glede na zgoraj navedeno: (kot "alfa" je označen z zelenim lokom). Za "modro" premico s kotnim koeficientom velja enakost ("beta" kot je označen z rjavim lokom). In če je znan tangens kota, ga je po potrebi enostavno najti in sam vogal z uporabo inverzna funkcija– arktangens. Kot pravijo, trigonometrična tabela ali mikrokalkulator v vaših rokah. torej kotni koeficient označuje stopnjo naklona ravne črte na os abscise.

V tem primeru je možno naslednje primere:

1) Če je naklon negativen: potem črta, grobo rečeno, poteka od zgoraj navzdol. Primeri so "modre" in "maline" ravne črte na risbi.

2) Če je naklon pozitiven: črta poteka od spodaj navzgor. Primeri - "črne" in "rdeče" ravne črte na risbi.

3) Če je naklon enako nič: , potem ima enačba obliko , pripadajoča premica pa je vzporedna z osjo. Primer je "rumena" ravna črta.

4) Za družino črt, vzporednih z osjo (na risbi ni primera, razen same osi), kotni koeficient ne obstaja (tangenta 90 stopinj ni definirana).

Večji kot je koeficient naklona v absolutni vrednosti, bolj strm je graf ravne črte..

Na primer, razmislite o dveh ravnih črtah. Tu ima torej ravna črta bolj strm naklon. Naj vas spomnim, da vam modul omogoča, da ignorirate znak, ki nas zanima samo absolutne vrednosti kotni koeficienti.

Po drugi strani pa je ravna črta bolj strma od ravnih črt .

Nasprotno: manjši kot je koeficient naklona v absolutni vrednosti, bolj položna je ravna črta.

Za ravne črte neenakost je resnična, zato je premica bolj položna. Otroški tobogan, da si ne naredite modric in udarcev.

Zakaj je to potrebno?

Podaljšajte svoje muke Poznavanje zgornjih dejstev vam omogoča, da takoj vidite svoje napake, zlasti napake pri gradnji grafov - če se izkaže, da je risba "očitno nekaj narobe." Priporočljivo je, da takoj jasno je bilo, da je na primer ravna črta zelo strma in gre od spodaj navzgor, ravna črta pa je zelo ravna, pritisnjena blizu osi in gre od zgoraj navzdol.

IN geometrijske težave Pogosto se pojavi več ravnih črt, zato jih je priročno nekako označiti.

Poimenovanja: ravne črte so označene kot majhne z latinskimi črkami: . Priljubljena možnost je, da jih označite z isto črko z naravnimi indeksi. Na primer, pet vrstic, ki smo si jih pravkar ogledali, lahko označimo z .

Ker je vsaka ravna črta enolično določena z dvema točkama, jo lahko označimo s temi točkami: itd. Oznaka jasno pomeni, da točke pripadajo premici.

Čas je, da se malo ogrejemo:

Kako zapisati enačbo ravne črte s kotnim koeficientom?

Če sta znana točka, ki pripada določeni premici, in kotni koeficient te premice, potem je enačba te premice izražena s formulo:

Primer 1

Napišite enačbo za premico z naklonom, če je znano, da točka pripada dani premici.

rešitev: Sestavimo enačbo premice s pomočjo formule . V tem primeru:

Odgovori:

Pregled se naredi preprosto. Najprej pogledamo nastalo enačbo in se prepričamo, da je naš naklon pravilen. Drugič, koordinate točke morajo izpolnjevati ta enačba. Vključimo jih v enačbo:

Dobimo pravilno enakost, kar pomeni, da točka zadošča nastali enačbi.

Zaključek: Enačba je bila pravilno ugotovljena.

Bolj kočljiv primer za neodvisna odločitev:

Primer 2

Napiši enačbo za premico, če je znano, da je njen naklonski kot na pozitivno smer osi , točka pa pripada tej premici.

Če imate kakršne koli težave, ponovno preberite teoretično gradivo. Natančneje, bolj praktično, preskočim veliko dokazov.

Zazvonilo je Zadnji klic, maturantska zabava je mimo in pred vrati naše domače šole nas čaka sama analizna geometrija. šale je konec... Ali pa se šele začenjajo =)

Nostalgično pomahamo s peresom znanemu in se seznanimo s splošno enačbo premice. Ker se v analitični geometriji uporablja točno to:

Splošna enačba premice ima obliko: , kje so številke. Hkrati so koeficienti istočasno niso enake nič, saj enačba izgubi pomen.

Oblecimo se v obleko in povežimo enačbo s koeficientom naklona. Najprej premaknimo vse izraze na levo stran:

Izraz z "X" mora biti postavljen na prvo mesto:

Načeloma ima enačba že obliko , vendar mora biti po pravilih matematičnega bontona koeficient prvega člena (v tem primeru) pozitiven. Spreminjanje znakov:

Zapomni si to tehnična lastnost! Prvi koeficient naredimo (najpogosteje) pozitiven!

V analitični geometriji bo skoraj vedno podana enačba ravne črte splošna oblika. No, če je potrebno, ga je mogoče enostavno zmanjšati na "šolsko" obliko s kotnim koeficientom (z izjemo ravnih črt, vzporednih z ordinatno osjo).

Vprašajmo se kaj dovolj znate sestaviti premico? Dve točki. Ampak o tem otroški kovček kasneje, zdaj pravilo palice s puščicami. Vsaka ravna črta ima zelo specifičen naklon, ki se mu zlahka »prilagodi«. vektor.

Vektor, ki je vzporeden s premico, imenujemo smerni vektor te premice. Očitno je, da ima vsaka ravna črta neskončno število smernih vektorjev in vsi bodo kolinearni (sosmerni ali ne - ni pomembno).

Smerni vektor bom označil takole: .

Toda en vektor ni dovolj za konstrukcijo ravne črte; vektor je prost in ni vezan na nobeno točko na ravnini. Zato je dodatno potrebno poznati še kakšno točko, ki pripada premici.

Kako napisati enačbo ravne črte z uporabo točke in smernega vektorja?

Če sta znana določena točka, ki pripada premici, in smerni vektor te premice, potem lahko enačbo te premice sestavimo s formulo:

Včasih se imenuje kanonična enačba premice .

Kaj storiti, ko eno od koordinat enaka nič, bomo razumeli v spodnjih praktičnih primerih. Mimogrede, upoštevajte - obe naenkrat koordinate ne morejo biti enake nič, saj ničelni vektor ne določa določene smeri.

Primer 3

Napišite enačbo za ravno črto z uporabo točke in smernega vektorja

rešitev: Sestavimo enačbo premice po formuli. V tem primeru:

Z uporabo lastnosti razmerja se znebimo ulomkov:

In enačbo pripeljemo do Splošni videz:

Odgovori:

Praviloma v takih primerih ni treba narediti risbe, ampak zaradi razumevanja:

Na risbi vidimo začetno točko, prvotni smerni vektor (lahko ga izrišemo iz katerekoli točke na ravnini) in zgrajeno premico. Mimogrede, v mnogih primerih je najbolj priročno zgraditi ravno črto z uporabo enačbe s kotnim koeficientom. Našo enačbo je enostavno preoblikovati v obliko in enostavno izbrati drugo točko za sestavo ravne črte.

Kot smo omenili na začetku odstavka, ima ravna črta neskončno veliko smernih vektorjev in vsi so kolinearni. Na primer, narisal sem tri takšne vektorje: . Ne glede na smerni vektor, ki ga izberemo, bo rezultat vedno enaka enačba ravne črte.

Ustvarimo enačbo ravne črte z uporabo točke in vektorja smeri:

Rešitev razmerja:

Obe strani delite z –2 in dobite znano enačbo:

Zainteresirani lahko na enak način testirajo vektorje ali kateri koli drug kolinearni vektor.

Zdaj pa se odločimo inverzni problem:

Kako najti smerni vektor z uporabo splošne enačbe ravne črte?

Zelo preprosto:

Če je ravna črta podana s splošno enačbo v pravokotni sistem koordinate, potem je vektor smerni vektor te premice.

Primeri iskanja smernih vektorjev ravnih črt:

Stavek nam omogoča, da najdemo samo en smerni vektor od neskončnega števila, vendar jih ne potrebujemo več. Čeprav je v nekaterih primerih priporočljivo zmanjšati koordinate vektorjev smeri:

Tako enačba podaja ravno črto, ki je vzporedna z osjo, koordinate dobljenega smernega vektorja pa so priročno deljene z –2, s čimer dobimo točno osnovni vektor kot smerni vektor. Logično.

Podobno enačba podaja ravno črto, vzporedno z osjo, in če koordinate vektorja delimo s 5, dobimo enotski vektor kot smerni vektor.

Zdaj pa naredimo to preverjanje primera 3. Primer se je povečal, zato vas spominjam, da smo v njem sestavili enačbo ravne črte s točko in smernim vektorjem

Prvič, z uporabo enačbe premice obnovimo njen smerni vektor: – vse je v redu, prejeli smo izvirni vektor (v nekaterih primerih je lahko rezultat kolinearen vektor izvirnemu, kar je običajno enostavno opaziti po sorazmernosti ustreznih koordinat).

Drugič, morajo koordinate točke zadoščati enačbi. Zamenjamo jih v enačbo:

Dosežena je pravilna enakost, česar smo zelo veseli.

Zaključek: Naloga je bila pravilno opravljena.

Primer 4

Napišite enačbo za ravno črto z uporabo točke in smernega vektorja

To je primer, ki ga morate rešiti sami. Rešitev in odgovor sta na koncu lekcije. Zelo priporočljivo je, da preverite z algoritmom, o katerem smo pravkar razpravljali. Poskusite vedno (če je mogoče) preveriti osnutek. Neumno je delati napake, kjer se jim je mogoče 100% izogniti.

V primeru, da je ena od koordinat smernega vektorja enaka nič, postopajte zelo preprosto:

Primer 5

rešitev: Formula ni primerna, ker je imenovalec na desni strani nič. Obstaja izhod! Z uporabo lastnosti sorazmerja prepišemo formulo v obliki, ostalo pa valjamo po globoki ruti:

Odgovori:

Pregled:

1) Obnovite usmerjevalni vektor premice:
– dobljeni vektor je kolinearen prvotnemu smernemu vektorju.

2) Nadomestite koordinate točke v enačbo:

Dobljena je pravilna enakost

Zaključek: naloga pravilno opravljena

Postavlja se vprašanje, zakaj bi se mučili s formulo, če obstaja univerzalna različica, ki bo delovala v vsakem primeru? Razloga sta dva. Prvič, formula je v obliki ulomka veliko bolje zapomniti. In drugič, pomanjkljivost univerzalna formula je to tveganje za zmedo se znatno poveča pri zamenjavi koordinat.

Primer 6

Napišite enačbo za ravno črto z uporabo točke in smernega vektorja.

To je primer, ki ga morate rešiti sami.

Vrnimo se k vseprisotnim dvema točkama:

Kako zapisati enačbo ravne črte z uporabo dveh točk?

Če sta znani dve točki, lahko enačbo ravne črte, ki poteka skozi ti točki, sestavimo s formulo:

Pravzaprav je to vrsta formule in tukaj je razlog: če sta znani dve točki, bo vektor smerni vektor dane črte. Pri lekciji Vektorji za lutke smo upoštevali najpreprostejša naloga– kako najti koordinate vektorja iz dveh točk. V skladu s tem problemom so koordinate vektorja smeri:

Opomba : točke lahko "zamenjamo" in uporabimo formulo . Takšna rešitev bo enakovredna.

Primer 7

Napišite enačbo premice z dvema točkama .

rešitev: Uporabljamo formulo:

Česanje imenovalcev:

In premešaj krov:

Zdaj je čas, da se znebite ulomkov. V tem primeru morate obe strani pomnožiti s 6:

Odprite oklepaje in si opomnite enačbo:

Odgovori:

Pregled je očitno - koordinate začetnih točk morajo izpolnjevati nastalo enačbo:

1) Zamenjajte koordinate točke:

Prava enakost.

2) Zamenjajte koordinate točke:

Prava enakost.

Zaključek: Enačba premice je pravilno zapisana.

če vsaj en točk ne zadošča enačbi, poiščite napako.

Omeniti velja, da je grafično preverjanje v tem primeru težko, saj zgradite ravno črto in preverite, ali ji točke pripadajo , ni tako preprosto.

Omenil bom še nekaj tehničnih vidikov rešitve. Morda je pri tej težavi bolj donosno uporabiti zrcalno formulo in na istih točkah naredi enačbo:

Manj frakcij. Če želite, lahko rešitev izvedete do konca, rezultat mora biti enaka enačba.

Druga točka je pogledati končni odgovor in ugotoviti, ali ga je mogoče še poenostaviti? Na primer, če dobite enačbo , je priporočljivo, da jo zmanjšate za dve: – enačba bo definirala isto ravno črto. Vendar je to že tema pogovora relativni položaj črt.

Po prejemu odgovora v primeru 7 sem za vsak slučaj preveril, ali so VSI koeficienti enačbe deljivi z 2, 3 ali 7. Čeprav se najpogosteje takšna zmanjšanja izvajajo med reševanjem.

Primer 8

Napišite enačbo za premico, ki poteka skozi točke .

To je primer neodvisne rešitve, ki vam bo omogočila boljše razumevanje in vadbo računskih tehnik.

Podobno kot v prejšnjem odstavku: če je v formuli eden od imenovalcev (koordinata smernega vektorja) postane nič, potem ga prepišemo v obliki . Spet opazite, kako nerodno in zmedeno je videti. Ne vidim velikega smisla v prinašanju praktični primeri, saj smo takšno težavo že dejansko rešili (glej št. 5, 6).

Neposredni normalni vektor (normalni vektor)

Kaj je normalno? Z enostavnimi besedami, normala je pravokotna. To pomeni, da je normalni vektor premice pravokoten na dano premico. Očitno jih ima vsaka premica neskončno število (kot tudi smernih vektorjev) in vsi normalni vektorji premice bodo kolinearni (sosmerni ali ne, ni razlike).

Ukvarjanje z njimi bo še lažje kot z vodilnimi vektorji:

Če je premica podana s splošno enačbo v pravokotnem koordinatnem sistemu, potem je vektor normalni vektor te premice.

Če je treba koordinate smernega vektorja previdno "izvleči" iz enačbe, lahko koordinate normalnega vektorja preprosto "odstranimo".

Normalni vektor je vedno pravokoten na smerni vektor premice. Preverimo ortogonalnost teh vektorjev z uporabo pikasti izdelek:

Podal bom primere z enakimi enačbami kot za vektor smeri:

Ali je mogoče sestaviti enačbo premice z eno točko in normalnim vektorjem? To čutim v svojem črevesju, možno je. Če je normalni vektor znan, je smer same ravne črte jasno določena - to je "toga struktura" s kotom 90 stopinj.

Kako napisati enačbo ravne črte glede na točko in normalni vektor?

Če sta znana določena točka, ki pripada premici, in normalni vektor te premice, potem je enačba te premice izražena s formulo:

Tu se je vse izšlo brez ulomkov in drugih presenečenj. To je naš normalni vektor. Ljubim ga. In spoštovanje =)

Primer 9

Napišite enačbo premice, dani sta točka in normalni vektor. Poiščite smerni vektor premice.

rešitev: Uporabljamo formulo:

Splošna enačba premice je bila pridobljena, preverimo:

1) "Odstranite" koordinate normalnega vektorja iz enačbe: – ja, res, originalni vektor je bil dobljen iz pogoja (oz. bi moral biti kolinearni vektor).

2) Preverimo, ali točka ustreza enačbi:

Prava enakost.

Ko se prepričamo, da je enačba pravilno sestavljena, opravimo drugi, lažji del naloge. Izvzamemo usmerjevalni vektor premice:

Odgovori:

Na risbi je situacija videti takole:

Za namene usposabljanja podobna naloga za samostojno reševanje:

Primer 10

Napiši enačbo premice, dani točki in normalnemu vektorju. Poiščite smerni vektor premice.

Zadnji del lekcije bo namenjen manj pogostim, a tudi pomembne vrste enačbe premice na ravnini

Enačba ravne črte v segmentih.
Enačba premice v parametrični obliki

Enačba premice v segmentih ima obliko , kjer so konstante, ki niso nič. Nekaterih vrst enačb ni mogoče predstaviti v tej obliki, na primer neposredne sorazmernosti (ker je prosti člen enak nič in ga ni mogoče dobiti na desni strani).

To je, figurativno rečeno, »tehnična« vrsta enačbe. Pogosta naloga je predstaviti splošno enačbo premice kot enačbo premice v segmentih. Kako je priročno? Enačba črte v segmentih vam omogoča hitro iskanje točk presečišča črte s koordinatnimi osmi, kar je lahko zelo pomembno pri nekaterih problemih višje matematike.

Poiščimo presečišče premice z osjo. Ponastavimo »y« na nič in enačba ima obliko . Želena točka se pridobi samodejno: .

Enako z osjo – točka, v kateri premica seka ordinatno os.

Ta članek nadaljuje temo enačbe premice na ravnini: to vrsto enačbe bomo obravnavali kot splošno enačbo premice. Definirajmo izrek in podajmo njegov dokaz; Ugotovimo, kaj je nepopolna splošna enačba premice in kako narediti prehode iz splošne enačbe v druge vrste enačb premice. Celotno teorijo bomo podkrepili z ilustracijami in rešitvami praktičnih nalog.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Naj bo na ravnini določen pravokotni koordinatni sistem O x y.

1. izrek

Vsaka enačba prve stopnje, ki ima obliko A x + B y + C = 0, kjer so A, B, C nekateri realna števila(A in B nista enaka nič hkrati) določa premico v pravokotnem koordinatnem sistemu na ravnini. Po drugi strani pa je vsaka ravna črta v pravokotnem koordinatnem sistemu na ravnini določena z enačbo, ki ima obliko A x + B y + C = 0 za določen niz vrednosti A, B, C.

Dokaz

Ta izrek je sestavljen iz dveh točk; dokazali bomo vsako od njih.

1. Dokažimo, da enačba A x + B y + C = 0 določa premico na ravnini.

Naj obstaja neka točka M 0 (x 0 , y 0), katere koordinate ustrezajo enačbi A x + B y + C = 0. Torej: A x 0 + B y 0 + C = 0. Če od leve in desne strani enačb A x + B y + C = 0 odštejemo levo in desno stran enačbe A x 0 + B y 0 + C = 0, dobimo novo enačbo, ki izgleda kot A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . Enakovredno je A x + B y + C = 0.

Nastala enačba A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 je potrebna in zadosten pogoj pravokotnost vektorjev n → = (A, B) in M ​​0 M → = (x - x 0, y - y 0). Tako določa množica točk M (x, y) premico v pravokotnem koordinatnem sistemu, pravokotno na smer vektorja n → = (A, B). Lahko domnevamo, da temu ni tako, vendar potem vektorja n → = (A, B) in M ​​0 M → = (x - x 0, y - y 0) ne bi bila pravokotna in enakost A (x - x 0 ) + B (y - y 0) = 0 ne bi bilo res.

Posledično enačba A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 določa določeno premico v pravokotnem koordinatnem sistemu na ravnini, zato ekvivalentna enačba A x + B y + C = 0 določa ista vrstica. Tako smo dokazali prvi del izreka.

1. Naj dokažemo, da lahko vsako premico v pravokotnem koordinatnem sistemu na ravnini podamo z enačbo prve stopnje A x + B y + C = 0.

Določimo premico a v pravokotnem koordinatnem sistemu na ravnini; točka M 0 (x 0 , y 0), skozi katero gre ta premica, kot tudi normalni vektor te premice n → = (A, B) .

Naj obstaja tudi neka točka M (x, y) - plavajoča vejica na premici. V tem primeru sta vektorja n → = (A, B) in M ​​0 M → = (x - x 0, y - y 0) pravokotna drug na drugega in njuna skalarni produkt tam je ničla:

n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0

Prepišemo enačbo A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0, definiramo C: C = - A x 0 - B y 0 in kot končni rezultat dobimo enačbo A x + B y + C = 0.

Tako smo dokazali drugi del izreka in dokazali celoten izrek v celoti.

Definicija 1

Enačba oblike A x + B y + C = 0 - To splošna enačba premice na ravnini v pravokotnem koordinatnem sistemuOxy.

Na podlagi dokazanega izreka lahko sklepamo, da sta premica in njena splošna enačba, definirana na ravnini v nepremičnem pravokotnem koordinatnem sistemu, neločljivo povezani. Z drugimi besedami, prvotna črta ustreza njeni splošni enačbi; splošna enačba premice ustreza dani premici.

Iz dokaza izreka tudi sledi, da sta koeficienta A in B pri spremenljivkah x in y koordinati normalnega vektorja premice, ki je podana s splošno enačbo premice A x + B y + C = 0.

Razmislimo konkreten primer splošna enačba premice.

Naj bo podana enačba 2 x + 3 y - 2 = 0, ki ustreza premici v danem pravokotnem koordinatnem sistemu. Normalni vektor te premice je vektor n → = (2 , 3)​. Na risbi narišimo dano premico.

Zatrdimo lahko tudi naslednje: premica, ki jo vidimo na risbi, je določena s splošno enačbo 2 x + 3 y - 2 = 0, saj tej enačbi ustrezajo koordinate vseh točk na dani premici.

Enačbo λ · A x + λ · B y + λ · C = 0 dobimo tako, da pomnožimo obe strani splošne enačbe premice s številom λ, ki ni enako nič. Nastala enačba je enakovredna prvotni splošni enačbi, zato bo opisovala isto premico na ravnini.

Popolna splošna enačba premice– taka splošna enačba premice A x + B y + C = 0, v kateri so števila A, B, C različna od nič. Sicer je enačba nepopolna.

Analizirajmo vse različice nepopolne splošne enačbe premice.

1. Ko je A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0, ima splošna enačba obliko B y + C = 0. Takšna nepopolna splošna enačba definira ravno črto v pravokotnem koordinatnem sistemu O x y, ki je vzporedna z osjo O x, saj za katero koli dejanska vrednost x spremenljivka y bo prevzela vrednost - C B. Z drugimi besedami, splošna enačba premice A x + B y + C = 0, ko je A = 0, B ≠ 0, podaja geometrijsko mesto točk (x, y), katerih koordinate so enake istemu številu - C B.
2. Če je A = 0, B ≠ 0, C = 0, ima splošna enačba obliko y = 0. to nepopolna enačba določa abscisno os O x .
3. Ko je A ≠ 0, B = 0, C ≠ 0, dobimo nepopolno splošno enačbo A x + C = 0, ki določa premico, vzporedno z ordinato.
4. Naj bo A ≠ 0, B = 0, C = 0, potem bo nepopolna splošna enačba imela obliko x = 0 in to je enačba koordinatne premice O y.
5. Nazadnje, za A ≠ 0, B ≠ 0, C = 0 ima nepopolna splošna enačba obliko A x + B y = 0. In ta enačba opisuje ravno črto, ki poteka skozi izhodišče. Pravzaprav par števil (0, 0) ustreza enakosti A x + B y = 0, saj je A · 0 + B · 0 = 0.

Naj grafično ponazorimo vse zgornje vrste nepopolne splošne enačbe premice.

Primer 1

Vemo, da je dana premica vzporedna z ordinatno osjo in poteka skozi točko 2 7, - 11. Zapisati je treba splošno enačbo dane premice.

rešitev

Premica, vzporedna z ordinatno osjo, je podana z enačbo oblike A x + C = 0, v kateri je A ≠ 0. Pogoj podaja tudi koordinate točke, skozi katero poteka premica, koordinate te točke pa izpolnjujejo pogoje nepopolne splošne enačbe A x + C = 0, tj. enakost velja:

A 2 7 + C = 0

Iz nje je mogoče določiti C, če damo A neko neničelno vrednost, na primer A = 7. V tem primeru dobimo: 7 · 2 7 + C = 0 ⇔ C = - 2. Poznamo oba koeficienta A in C, ju nadomestimo v enačbo A x + C = 0 in dobimo zahtevano enačbo premice: 7 x - 2 = 0

odgovor: 7 x - 2 = 0

Primer 2

Na risbi je prikazana ravna črta, zapisati morate njeno enačbo.

rešitev

Podana risba nam omogoča, da enostavno vzamemo začetne podatke za rešitev problema. Na risbi vidimo, da je dana premica vzporedna z osjo O x in poteka skozi točko (0, 3).

Premica, ki je vzporedna z absciso, je določena z nepopolno splošno enačbo B y + C = 0. Poiščimo vrednosti B in C. Koordinate točke (0, 3), ker dana premica poteka skozi njo, bodo zadostile enačbi premice B y + C = 0, potem velja enakost: B · 3 + C = 0. Nastavimo B na neko vrednost, ki ni nič. Recimo B = 1, v tem primeru lahko iz enakosti B · 3 + C = 0 najdemo C: C = - 3. Uporabljamo znane vrednosti B in C, dobimo zahtevano enačbo premice: y - 3 = 0.

odgovor: y - 3 = 0 .

Splošna enačba premice, ki poteka skozi dano točko v ravnini

Naj gre dana premica skozi točko M 0 (x 0 , y 0), potem njene koordinate ustrezajo splošni enačbi premice, tj. enakost velja: A x 0 + B y 0 + C = 0. Odštejmo levo in desno stran te enačbe od leve in desne strani generalke popolna enačba naravnost. Dobimo: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C = 0, ta enačba je enakovredna prvotni splošni, poteka skozi točko M 0 (x 0, y 0) in ima normalo vektor n → = (A, B) .

Rezultat, ki smo ga dobili, omogoča pisanje splošne enačbe premice z znane koordinate normalni vektor premice in koordinate določene točke na tej premici.

Primer 3

Dana je točka M 0 (- 3, 4), skozi katero poteka premica, in normalni vektor te premice n → = (1 , - 2) . Zapisati je treba enačbo dane premice.

rešitev

Začetni pogoji nam omogočajo, da pridobimo potrebne podatke za sestavo enačbe: A = 1, B = - 2, x 0 = - 3, y 0 = 4. Nato:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 (x - (- 3)) - 2 y (y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0

Težavo bi lahko rešili drugače. Splošna enačba ravne črte je A x + B y + C = 0. Dani normalni vektor nam omogoča, da dobimo vrednosti koeficientov A in B, nato pa:

A x + B y + C = 0 ⇔ 1 x - 2 y + C = 0 ⇔ x - 2 y + C = 0

Zdaj pa poiščimo vrednost C z uporabo podano s pogojem problemska točka M 0 (- 3, 4), skozi katero gre premica. Koordinate te točke ustrezajo enačbi x - 2 · y + C = 0, tj. - 3 - 2 4 + C = 0. Zato je C = 11. Zahtevana enačba premice ima obliko: x - 2 · y + 11 = 0.

odgovor: x - 2 y + 11 = 0 .

Primer 4

Dana je premica 2 3 x - y - 1 2 = 0 in točka M 0, ki leži na tej premici. Znana je le abscisa te točke, ki je enaka -3. Določiti je treba ordinato dane točke.

rešitev

Koordinati točke M 0 označimo z x 0 in y 0 . Izvorni podatki kažejo, da je x 0 = - 3. Ker točka pripada dani premici, njene koordinate ustrezajo splošni enačbi te premice. Potem bo enakost resnična:

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0

Določite y 0: 2 3 · (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2

odgovor: - 5 2

Prehod s splošne enačbe premice na druge vrste enačb premice in obratno

Kot vemo, obstaja več vrst enačb za isto premico na ravnini. Izbira vrste enačbe je odvisna od pogojev problema; možno je izbrati tistega, ki je bolj primeren za reševanje. Veščina pretvarjanja enačbe ene vrste v enačbo druge vrste je tukaj zelo uporabna.

Najprej razmislimo o prehodu iz splošne enačbe oblike A x + B y + C = 0 v kanonično enačbo x - x 1 a x = y - y 1 a y.

Če je A ≠ 0, potem izraz B y prenesemo na desna stran splošna enačba. Na levi strani vzamemo A iz oklepaja. Kot rezultat dobimo: A x + C A = - B y.

To enakost lahko zapišemo kot razmerje: x + C A - B = y A.

Če je B ≠ 0, pustimo le člen A x na levi strani splošne enačbe, ostale prenesemo na desno stran, dobimo: A x = - B y - C. Iz oklepaja vzamemo – B, potem: A x = - B y + C B .

Zapišimo enakost v obliki razmerja: x - B = y + C B A.

Dobljenih formul si seveda ni treba zapomniti. Dovolj je poznati algoritem dejanj pri prehodu s splošne enačbe na kanonično.

Primer 5

Podana je splošna enačba premice 3 y - 4 = 0. Treba ga je pretvoriti v kanonično enačbo.

rešitev

Zapišimo izvirna enačba kot 3 y - 4 = 0 . Naprej nadaljujemo po algoritmu: člen 0 x ostane na levi strani; in na desni strani postavimo - 3 iz oklepaja; dobimo: 0 x = - 3 y - 4 3 .

Dobljeno enakost zapišimo kot razmerje: x - 3 = y - 4 3 0 . Tako smo dobili enačbo kanonične oblike.

Odgovor: x - 3 = y - 4 3 0.

Če želite pretvoriti splošno enačbo ravne črte v parametrične, najprej pojdite na kanonična oblika, nato pa prehod s kanonične enačbe premice na parametrične enačbe.

Primer 6

Ravna črta je podana z enačbo 2 x - 5 y - 1 = 0. Zapišite parametrične enačbe za to premico.

rešitev

Naredimo prehod iz splošne enačbe v kanonično:

2 x - 5 y - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

Zdaj vzamemo obe strani dobljene kanonične enačbe enake λ, potem:

x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

odgovor:x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Splošno enačbo lahko pretvorimo v enačbo premice z naklonom y = k · x + b, vendar le, če je B ≠ 0. Za prehod pustimo člen B y na levi strani, ostale prenesemo na desno. Dobimo: B y = - A x - C . Obe strani dobljene enakosti delimo z B, različnim od nič: y = - A B x - C B.

Primer 7

Splošna enačba premice je podana: 2 x + 7 y = 0. To enačbo morate pretvoriti v enačbo naklona.

rešitev

Izdelali bomo potrebna dejanja po algoritmu:

2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y = - 2 7 x

odgovor: y = - 2 7 x .

Iz splošne enačbe premice je dovolj, da preprosto dobimo enačbo v segmentih oblike x a + y b = 1. Za takšen prehod premaknemo število C na desno stran enačbe, obe strani dobljene enakosti delimo z – C in na koncu prenesemo koeficienta za spremenljivki x in y na imenovalca:

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1

Primer 8

Treba je transformirati splošno enačbo premice x - 7 y + 1 2 = 0 v enačbo premice v segmentih.

rešitev

Premaknimo 1 2 na desno stran: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 .

Podelimo obe strani enakosti z -1/2: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 .

odgovor: x - 1 2 + y 1 14 = 1 .

Na splošno je tudi obratni prehod enostaven: od drugih vrst enačb do splošne.

Enačbo premice v segmentih in enačbo s kotnim koeficientom lahko enostavno pretvorimo v splošno tako, da preprosto zberemo vse člene na levi strani enakosti:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Kanonična enačba se pretvori v splošno po naslednji shemi:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y · (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a y x - a x y - a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Če se želite premakniti s parametričnih, se najprej premaknite na kanoničnega in nato na splošnega:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

Primer 9

Podane so parametrične enačbe premice x = - 1 + 2 · λ y = 4. Treba je zapisati splošno enačbo te premice.

rešitev

Naredimo prehod iz parametrične enačbe na kanonično:

x = - 1 + 2 · λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 · λ y = 4 + 0 · λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0

Preidimo od kanoničnega k splošnemu:

x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 · (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0

odgovor: y - 4 = 0

Primer 10

Podana je enačba premice v odsekih x 3 + y 1 2 = 1. Treba je preiti na splošno obliko enačbe.

rešitev:

Enostavno prepišemo enačbo v zahtevani obliki:

x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0

odgovor: 1 3 x + 2 y - 1 = 0 .

Sestavljanje splošne enačbe premice

Zgoraj smo povedali, da lahko splošno enačbo zapišemo z znanimi koordinatami normalnega vektorja in koordinatami točke, skozi katero gre premica. Takšna ravna črta je definirana z enačbo A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0. Tam smo tudi analizirali ustrezen primer.

Zdaj pa poglejmo več zapleteni primeri, v katerem morate najprej določiti koordinate normalnega vektorja.

Primer 11

Dana je premica, ki je vzporedna s premico 2 x - 3 y + 3 3 = 0. Znana je tudi točka M 0 (4, 1), skozi katero poteka dana premica. Zapisati je treba enačbo dane premice.

rešitev

Začetni pogoji nam povedo, da sta premici vzporedni, nato pa kot vektor normale premice, katere enačbo moramo zapisati, vzamemo smerni vektor premice n → = (2, - 3): 2 x - 3 y + 3 3 = 0. Zdaj poznamo vse potrebne podatke za izdelavo splošne enačbe črte:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0

odgovor: 2 x - 3 y - 5 = 0 .

Primer 12

Dana premica poteka skozi izhodišče pravokotno na premico x - 2 3 = y + 4 5. Treba je ustvariti splošno enačbo za dano premico.

rešitev

Normalni vektor dane premice bo smerni vektor premice x - 2 3 = y + 4 5.

Potem je n → = (3, 5) . Premica poteka skozi izhodišče, tj. skozi točko O (0, 0). Ustvarimo splošno enačbo za dano črto:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0

Odgovori: 3 x + 5 y = 0 .

Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter

Enačba premice, ki poteka skozi dve točki. V članku" " Obljubil sem vam, da si ogledam drugo metodo reševanja predstavljenih problemov iskanja odvoda, z ta grafikon funkcijo in tangento na ta graf. O tej metodi bomo razpravljali v , Ne spreglejte! zakaj v naslednjem?

Dejstvo je, da bo tam uporabljena formula za enačbo ravne črte. Seveda bi lahko samo pokazal to formulo in vam svetujem, da se ga naučite. Vendar je bolje razložiti, od kod izvira (kako je izpeljan). Nujno je! Če ga pozabite, ga lahko hitro obnovitene bo težko. Spodaj je vse podrobno opisano. Torej imamo dve točki A na koordinatni ravnini(x 1;y 1) in B(x 2;y 2) je skozi označene točke narisana premica:

Tukaj je neposredna formula:

*To pomeni, da pri zamenjavi določenih koordinat točk dobimo enačbo oblike y=kx+b.

**Če si preprosto »zapomnite« to formulo, potem obstaja velika verjetnost, da se zamenjate z indeksi, ko X. Poleg tega je mogoče indekse označiti na različne načine, na primer:

Zato je pomembno razumeti pomen.

Zdaj pa izpeljava te formule. Vse je zelo preprosto!

Trikotnika ABE in ACF sta si podobna v ostrem kotu (prvi znak podobnosti pravokotne trikotnike). Iz tega sledi, da so razmerja ustreznih elementov enaka, to je:

Sedaj preprosto izrazimo te segmente z razliko v koordinatah točk:

Seveda ne bo napake, če napišete razmerja elementov v drugačnem vrstnem redu (glavno je ohraniti doslednost):

Rezultat bo enaka enačba premice. To je vse!

To pomeni, ne glede na to, kako so označene same točke (in njihove koordinate), boste z razumevanjem te formule vedno našli enačbo ravne črte.

Formulo lahko izpeljemo z uporabo lastnosti vektorjev, vendar bo princip izpeljave enak, saj bomo govorili o sorazmernosti njihovih koordinat. V tem primeru deluje enaka podobnost pravokotnih trikotnikov. Po mojem mnenju je zgoraj opisan zaključek bolj jasen)).

Ogled rezultatov prek vektorskih koordinat >>>

Naj bo na koordinatni ravnini zgrajena premica, ki poteka skozi dve dani točki A(x 1;y 1) in B(x 2;y 2). Označimo poljubno točko C na premici s koordinatami ( x; l). Označimo tudi dva vektorja:

Znano je, da so za vektorje, ki ležijo na vzporednih premicah (ali na isti premici), njihove ustrezne koordinate sorazmerne, to je:

— zapišemo enakost razmerij ustreznih koordinat:

Poglejmo primer:

Poiščite enačbo premice, ki poteka skozi dve točki s koordinatama (2;5) in (7:3).

Niti vam ni treba zgraditi same ravne črte. Uporabimo formulo:

Pomembno je, da pri sestavljanju razmerja razumete korespondenco. Ne morete zgrešiti, če napišete:

Odgovor: y=-2/5x+29/5 pojdi y=-0,4x+5,8

Da bi se prepričali, da je nastala enačba pravilna, preverite - nadomestite koordinate podatkov v pogoju točk vanj. Enačbe morajo biti pravilne.

To je vse. Upam, da vam je bil material koristen.

S spoštovanjem, Alexander.

P.S: Hvaležen bi bil, če bi mi povedali o spletnem mestu na družbenih omrežjih.

Lastnosti premice v evklidski geometriji.

Skozi vsako točko lahko narišemo neskončno število ravnih črt.

Skozi katera koli dva neusklajene točke lahko narišemo samo eno ravno črto.

Dve divergentni premici v ravnini se sekata v eni točki ali pa sta

vzporedno (izhaja iz prejšnjega).

V tridimenzionalnem prostoru obstajajo tri možnosti relativni položaj dve ravni črti:

• črte se sekajo;

• črte so vzporedne;

• ravne črte se sekajo.

Naravnost linija— algebraična krivulja prvega reda: in kartezični sistem koordinira premico

je na ravnini podana z enačbo prve stopnje (linearna enačba).

Splošna enačba premice.

Opredelitev. Vsako premico na ravnini je mogoče določiti z enačbo prvega reda

Ax + Wu + C = 0,

in stalna A, B niso enake nič hkrati. Ta enačba prvega reda se imenuje splošno

enačba premice. Odvisno od vrednosti konstant A, B in Z Možni so naslednji posebni primeri:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- premica poteka skozi izhodišče

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0)- ravna črta, vzporedna z osjo Oh

. B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- ravna črta, vzporedna z osjo OU

. B = C = 0, A ≠0- ravna črta sovpada z osjo OU

. A = C = 0, B ≠0- ravna črta sovpada z osjo Oh

Enačbo ravne črte lahko predstavimo v v različnih oblikah odvisno od danosti

začetni pogoji.

Enačba premice iz točke in normalnega vektorja.

Opredelitev. V kartezičnem pravokotnem koordinatnem sistemu vektor s komponentami (A, B)

pravokotna na premico, podano z enačbo

Ax + Wu + C = 0.

Primer. Poiščite enačbo premice, ki poteka skozi točko A (1, 2) pravokotno na vektor (3, -1).

rešitev. Z A = 3 in B = -1 sestavimo enačbo premice: 3x - y + C = 0. Da bi našli koeficient C

Zamenjajmo koordinate dane točke A v dobljeni izraz, torej dobimo: 3 - 2 + C = 0

C = -1. Skupaj: zahtevana enačba: 3x - y - 1 = 0.

Enačba premice, ki poteka skozi dve točki.

V prostoru naj bosta podani dve točki M 1 (x 1, y 1, z 1) in M2 (x 2, y 2, z 2), Potem enačba premice,

skozi te točke:

Če je kateri od imenovalcev enak nič, mora biti ustrezni števec enak nič. Vklopljeno

ravnini, je zgoraj zapisana enačba premice poenostavljena:

če x 1 ≠ x 2 in x = x 1, Če x 1 = x 2 .

Ulomek = k klical naklon naravnost.

Primer. Poiščite enačbo premice, ki poteka skozi točki A(1, 2) in B(3, 4).

rešitev. Z uporabo zgoraj zapisane formule dobimo:

Enačba ravne črte z uporabo točke in naklona.

Če splošna enačba premice Ax + Wu + C = 0 Voditi do:

in določiti , potem se pokliče nastala enačba

enačba premice z naklonom k.

Enačba premice iz točke in smernega vektorja.

Po analogiji s točko, ki upošteva enačbo ravne črte skozi normalni vektor, lahko vnesete nalogo

premica skozi točko in usmerjevalni vektor premice.

Opredelitev. Vsak neničelni vektor (α 1, α 2), katerih komponente izpolnjujejo pogoj

Aα 1 + Bα 2 = 0 klical usmerjevalni vektor premice.

Ax + Wu + C = 0.

Primer. Poiščite enačbo premice s smernim vektorjem (1, -1) in poteka skozi točko A(1, 2).

rešitev. Enačbo iskane premice bomo iskali v obliki: Ax + By + C = 0. Po definiciji je

koeficienti morajo izpolnjevati naslednje pogoje:

1 * A + (-1) * B = 0, tj. A = B.

Potem ima enačba premice obliko: Ax + Ay + C = 0, oz x + y + C / A = 0.

pri x = 1, y = 2 dobimo C/A = -3, tj. zahtevana enačba:

x + y - 3 = 0

Enačba ravne črte v segmentih.

Če je v splošni enačbi ravne črte Ах + Ву + С = 0 С≠0, potem z deljenjem z -С dobimo:

ali kje

Geometrijski pomen koeficientov je, da je koeficient a koordinata presečišča

ravna z osjo Oh, A b- koordinata presečišča črte z osjo OU.

Primer. Podana je splošna enačba premice x - y + 1 = 0. Poiščite enačbo te premice v segmentih.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Normalna enačba naravnost.

Če obe strani enačbe Ax + Wu + C = 0 deli s številom ki se imenuje

normalizacijski faktor, potem dobimo

xcosφ + ysinφ - p = 0 -normalna enačba premice.

Predznak ± normalizacijskega faktorja mora biti izbran tako, da μ*C< 0.

R- dolžina navpičnice, spuščene iz izhodišča na premico,

A φ - kot, ki ga tvori ta navpičnica s pozitivno smerjo osi Oh.

Primer. Podana je splošna enačba premice 12x - 5y - 65 = 0. Obvezno za pisanje Različne vrste enačbe

ta ravna črta.

Enačba te premice v segmentih:

Enačba te premice z naklonom: (deli s 5)

Enačba premice:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.

Upoštevati je treba, da vsake ravne črte ni mogoče predstaviti z enačbo v segmentih, na primer ravne črte,

vzporedno z osema ali poteka skozi izhodišče.

Kot med premicami na ravnini.

Opredelitev. Če sta podani dve vrstici y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, To oster kot med temi vrsticami

bo definiran kot

Dve premici sta vzporedni, če k 1 = k 2. Dva ravne črte so pravokotne,

če k 1 = -1/ k 2 .

Izrek.

Neposredno Ax + Wu + C = 0 in A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 vzporedno, kadar so koeficienti sorazmerni

A 1 = λA, B 1 = λB. Če tudi С 1 = λС, potem črte sovpadajo. Koordinate presečišča dveh črt

najdemo kot rešitev sistema enačb teh premic.

Enačba premice, ki poteka skozi to točko pravokotno na to premico.

Opredelitev. Premica, ki poteka skozi točko M 1 (x 1, y 1) in pravokotno na premico y = kx + b

predstavljen z enačbo:

Razdalja od točke do črte.

Izrek. Če je podana točka M(x 0, y 0), potem razdalja do premice Ax + Wu + C = 0 definirano kot:

Dokaz. Naj bistvo M 1 (x 1, y 1)- osnova navpičnice, spuščene iz točke M za dano

neposredno. Nato razdalja med točkami M in M 1:

(1)

Koordinate x 1 in ob 1 lahko najdemo kot rešitev sistema enačb:

Druga enačba sistema je enačba premice, ki poteka skozi dano točko M 0 pravokotno

dana ravna črta. Če pretvorimo prvo enačbo sistema v obliko:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

potem z reševanjem dobimo:

Če nadomestimo te izraze v enačbo (1), ugotovimo:

Izrek je dokazan.

Kanonične enačbe premice v prostoru so enačbe, ki definirajo premico, ki poteka skozi dano točko kolinearno na smerni vektor.

Naj sta podana točka in smerni vektor. Poljubna točka leži na premici l le če sta vektorja in kolinearna, tj. je zanju izpolnjen pogoj:

.

Zgornje enačbe so kanonične enačbe naravnost.

Številke m , n in str so projekcije smernega vektorja na koordinatne osi. Ker je vektor različen od nič, potem so vsa števila m , n in str ne more biti istočasno enaka nič. Toda eden ali dva od njih se lahko izkažeta enako nič. V analitični geometriji je na primer dovoljen naslednji vnos:

,

kar pomeni, da projekcije vektorja na os Oj in Oz so enake nič. Zato sta vektor in premica, definirana s kanoničnimi enačbami, pravokotna na osi Oj in Oz, torej letala yOz .

Primer 1. Napišite enačbe za premico v prostoru, pravokotno na ravnino in poteka skozi presečišče te ravnine z osjo Oz .

rešitev. Poiščimo presečišče te ravnine z osjo Oz. Ker katera koli točka leži na osi Oz, ima koordinate , torej ob predpostavki, da je v podana enačba letalo x = y = 0, dobimo 4 z- 8 = 0 oz z= 2. Zato je presečišče te ravnine z osjo Oz ima koordinate (0; 0; 2) . Ker je želena premica pravokotna na ravnino, je vzporedna z normalnim vektorjem. Zato je lahko usmerjevalni vektor premice normalni vektor dano letalo.

Zdaj pa zapišimo zahtevane enačbe premice, ki poteka skozi točko A= (0; 0; 2) v smeri vektorja:

Enačbe premice, ki poteka skozi dve dani točki

Ravno črto lahko določimo z dvema točkama, ki ležita na njej in V tem primeru je lahko usmerjevalni vektor premice vektor . Nato dobijo kanonične enačbe premice obliko

.

Zgornje enačbe določajo premico, ki poteka skozi dve dani točki.

Primer 2. Napišite enačbo za premico v prostoru, ki poteka skozi točki in .

rešitev. Zapišimo zahtevane enačbe premice v obliki, ki je podana zgoraj v teoretični referenci:

.

Ker je , potem je želena premica pravokotna na os Oj .

Ravna kot presečišče ravnin

Ravno črto v prostoru lahko definiramo kot presečišče dveh nevzporednih ravnin in, tj. kot niz točk, ki izpolnjujejo sistem dveh linearnih enačb

Imenujemo tudi enačbe sistema splošne enačbe naravnost v prostoru.

Primer 3. Sestavite kanonične enačbe premice v prostoru, podane s splošnimi enačbami

rešitev. Če želite napisati kanonične enačbe premice ali, kar je enako, enačbe premice, ki poteka skozi dve dani točki, morate najti koordinate poljubnih dveh točk na premici. Lahko sta točki presečišča premice s katerima koli dvema koordinatne ravnine, Na primer yOz in xOz .

Presečišče premice in ravnine yOz ima absciso x= 0. Zato ob predpostavki v tem sistemu enačb x= 0, dobimo sistem z dvema spremenljivkama:

Njena odločitev l = 2 , z= 6 skupaj z x= 0 določa točko A(0; 2; 6) želeno vrstico. Verjeti torej v danem sistemu enačbe l= 0, dobimo sistem

Njena odločitev x = -2 , z= 0 skupaj z l= 0 določa točko B(-2; 0; 0) presečišče premice z ravnino xOz .

Zdaj pa zapišimo enačbe premice, ki poteka skozi točke A(0; 2; 6) in B (-2; 0; 0) :

,

ali po delitvi imenovalcev z -2:

,