Vrednotenje logaritemskih izrazov. Reševanje logaritemskih enačb

\(a^(b)=c\) \(\Levodesna puščica\) \(\log_(a)(c)=b\)

Razložimo bolj preprosto. Na primer \(\log_(2)(8)\) enako moči, na katerega je treba dvigniti \(2\), da dobimo \(8\). Iz tega je jasno, da \(\log_(2)(8)=3\).

Argument in osnova logaritma

Vsak logaritem ima naslednjo "anatomijo":

Argument logaritma je običajno zapisan na njegovi ravni, osnova pa je zapisana v indeksu bližje znaku logaritma. In ta vnos se glasi takole: "logaritem od petindvajset na osnovo pet."

Kako izračunati logaritem?

Če želite izračunati logaritem, morate odgovoriti na vprašanje: na kakšno potenco je treba dvigniti osnovo, da dobimo argument?

Na primer, izračunajte logaritem: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) Na kakšno potenco je treba dvigniti \(4\), da dobimo \(16\)? Očitno drugega. Zato:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) Na kakšno potenco je treba dvigniti \(\sqrt(5)\), da dobimo \(1\)? Kakšna moč naredi katero koli številko ena? Nula, seveda!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) Na kakšno potenco je treba dvigniti \(\sqrt(7)\), da dobimo \(\sqrt(7)\)? Prvič, vsako število na prvo potenco je enako samemu sebi.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) Na kakšno potenco je treba dvigniti \(3\), da dobimo \(\sqrt(3)\)? Ker vemo, kaj je delna moč, in to pomeni Kvadratni koren je potenca \(\frac(1)(2)\) .

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

Primer : Izračunajte logaritem \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

rešitev :

Odgovori : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

Zakaj je bil izumljen logaritem?

Da bi to razumeli, rešimo enačbo: \(3^(x)=9\). Samo ujemite \(x\), da bo enačba delovala. Seveda \(x=2\).

Zdaj rešite enačbo: \(3^(x)=8\). Čemu je x enak? To je bistvo.

Najpametnejši bodo rekli: "X je malo manj kot dva." Kako točno napisati to številko? Za odgovor na to vprašanje je bil izumljen logaritem. Zahvaljujoč njemu lahko tukaj odgovor zapišemo kot \(x=\log_(3)(8)\).

Želim poudariti, da \(\log_(3)(8)\), kot vsak logaritem je samo število. Da, izgleda nenavadno, vendar je kratko. Ker če bi to želeli zapisati v obliki decimalno, bi bilo videti takole: \(1,892789260714.....\)

Primer : Rešite enačbo \(4^(5x-4)=10\)

rešitev :

Odgovori : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Decimalni in naravni logaritmi

Kot je navedeno v definiciji logaritma, je njegova osnova lahko katera koli pozitivno število, razen enote \((a>0, a\neq1)\). In med vsemi možni razlogi Dva sta tako pogosta, da so za logaritme z njima izumili poseben kratek zapis:

Naravni logaritem: logaritem, katerega osnova je Eulerjevo število \(e\) (enako približno \(2,7182818…\)), logaritem pa je zapisan kot \(\ln(a)\).

to je \(\ln(a)\) je enako \(\log_(e)(a)\)

Decimalni logaritem: Logaritem z osnovo 10 je zapisan \(\lg(a)\).

to je \(\lg(a)\) je enako kot \(\log_(10)(a)\), kjer je \(a\) neko število.

Osnovna logaritemska identiteta

Logaritmi imajo številne lastnosti. Eden od njih se imenuje "Basic logaritemska identiteta« in izgleda takole:

Ta lastnost izhaja neposredno iz definicije. Poglejmo, kako natančno je nastala ta formula.

Spomnimo se kratka opomba definicije logaritma:

če \(a^(b)=c\), potem \(\log_(a)(c)=b\)

To pomeni, \(b\) je enako kot \(\log_(a)(c)\). Potem lahko zapišemo \(\log_(a)(c)\) namesto \(b\) v formuli \(a^(b)=c\). Izkazalo se je \(a^(\log_(a)(c))=c\) - glavna logaritemska identiteta.

Najdete lahko druge lastnosti logaritmov. Z njihovo pomočjo lahko poenostavite in izračunate vrednosti izrazov z logaritmi, ki jih je težko neposredno izračunati.

Primer : Poiščite vrednost izraza \(36^(\log_(6)(5))\)

rešitev :

Odgovori : \(25\)

Kako zapisati število kot logaritem?

Kot že omenjeno, je vsak logaritem samo število. Velja tudi obratno: vsako število lahko zapišemo kot logaritem. Na primer, vemo, da je \(\log_(2)(4)\) enako dve. Potem lahko napišete \(\log_(2)(4)\) namesto dveh.

Toda \(\log_(3)(9)\) je enako tudi \(2\), kar pomeni, da lahko zapišemo tudi \(2=\log_(3)(9)\) . Podobno z \(\log_(5)(25)\) in z \(\log_(9)(81)\) itd. Se pravi, izkaže se

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

Tako lahko, če potrebujemo, dva zapišemo kot logaritem s katero koli osnovo kjer koli (bodisi v enačbi, izrazu ali neenačbi) - osnovo na kvadrat preprosto zapišemo kot argument.

Enako je s trojko – lahko jo zapišemo kot \(\log_(2)(8)\), ali kot \(\log_(3)(27)\), ali kot \(\log_(4)( 64) \)... Tukaj zapišemo osnovo v kocki kot argument:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

In s štirimi:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

In z minus ena:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1 )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\) \(...\)

In z eno tretjino:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

Vsako število \(a\) je mogoče predstaviti kot logaritem z osnovo \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)

Primer : Poiščite pomen izraza \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

rešitev :

Odgovori : \(1\)

Logaritemski izrazi, reševanje primerov. V tem članku si bomo ogledali probleme, povezane z reševanjem logaritmov. Naloge postavljajo vprašanje iskanja pomena izraza. Upoštevati je treba, da se koncept logaritma uporablja v številnih nalogah in da je razumevanje njegovega pomena izjemno pomembno. Kar se tiče enotnega državnega izpita, se pri reševanju enačb uporablja logaritem v uporabni problemi, tudi pri nalogah, povezanih s študijem funkcij.

Za razumevanje samega pomena logaritma navedimo primere:

Osnovna logaritemska identiteta:

Lastnosti logaritmov, ki si jih moramo vedno zapomniti:

*Logaritem produkta enaka vsoti logaritmi faktorjev.

* * *

*Logaritem količnika (ulomek) enako razliki logaritmi faktorjev.

* * *

*Logaritem stopnje enako zmnožku eksponent z logaritmom svoje osnove.

* * *

*Prehod na novo podlago

* * *

Več nepremičnin:

* * *

Izračun logaritmov je tesno povezan z uporabo lastnosti eksponentov.

Naštejmo jih nekaj:

Bistvo te nepremičnine je v tem, da se pri prenosu števca na imenovalec in obratno znak eksponenta spremeni v nasprotno. Na primer:

Posledica te lastnosti:

* * *

Pri povišanju potence na potenco ostane osnova enaka, eksponenti pa se pomnožijo.

* * *

Kot ste videli, je sam koncept logaritma preprost. Glavna stvar je tisto, kar je potrebno dobra praksa, ki daje določeno veščino. Seveda je potrebno poznavanje formul. Če spretnost pri pretvorbi elementarnih logaritmov ni bila razvita, potem pri reševanju preproste naloge Lahko se zmotiš.

Vadite, najprej rešite najpreprostejše primere iz tečaja matematike, nato pa nadaljujte s kompleksnejšimi. V prihodnosti bom zagotovo pokazal, kako se rešujejo "strašljivi" logaritmi; na Enotnem državnem izpitu se ne bodo pojavili, vendar so zanimivi, ne zamudite jih!

To je vse! Srečno!

S spoštovanjem, Alexander Krutitskikh

P.S: Hvaležen bi bil, če bi mi povedali o spletnem mestu na družbenih omrežjih.

Logaritem števila n temelji na A imenovan eksponent X , na katerega morate graditi A da dobiš številko n

Pod pogojem, da
,
,

Iz definicije logaritma sledi, da
, tj.
- ta enakost je osnovna logaritemska identiteta.

Logaritme z osnovo 10 imenujemo decimalni logaritmi. Namesto
pisati
.

Logaritmi na osnovo e se imenujejo naravne in so označene
.

Osnovne lastnosti logaritmov.

Logaritem ena v poljubni osnovi enako nič

Logaritem produkta je enak vsoti logaritmov faktorjev.

3) Logaritem količnika je enak razliki logaritmov

Faktor
imenujemo modul prehoda od logaritmov do baze a na logaritme na osnovi b .

Z uporabo lastnosti 2-5 je pogosto mogoče reducirati logaritem kompleksnega izraza na rezultat preprostih aritmetičnih operacij na logaritmih.

na primer

Take transformacije logaritma imenujemo logaritmi. Transformacije, inverzne logaritmom, se imenujejo potenciranje.

Poglavje 2. Elementi višje matematike.

1. Omejitve

Omejitev funkcije
je končno število A, če, kot xx 0 za vsako vnaprej določeno
, obstaja taka številka
da takoj, ko
, To
.

Funkcija, ki ima limit, se od nje razlikuje za neskončno majhno količino:
, kjer je- b.m.v., tj.
.

Primer. Upoštevajte funkcijo
.

Pri prizadevanju
, funkcija l teži k ničli:

1.1. Osnovni izreki o mejah.

Omejitev konstantna vrednost enaka tej stalni vrednosti

.

Omejitev zneska (razlike). končno število funkcij je enaka vsoti (razliki) limitov teh funkcij.

Limita produkta končnega števila funkcij je enaka produktu limitov teh funkcij.

Limita kvocienta dveh funkcij je enaka kvocientu limes teh funkcij, če limit imenovalca ni enak nič.

Čudovite meje

,
, Kje

1.2. Primeri izračuna omejitev

Vseh omejitev pa ni mogoče izračunati tako preprosto. Pogosteje se izračun meje zmanjša na razkritje negotovosti tipa: ali .

.

2. Odvod funkcije

Naj imamo funkcijo
, neprekinjeno na segmentu
.

Prepir dobil nekaj povečanja
. Nato bo funkcija prejela prirastek
.

Vrednost argumenta ustreza vrednosti funkcije
.

Vrednost argumenta
ustreza vrednosti funkcije.

Zato,.

Poiščimo mejo tega razmerja pri
. Če ta meja obstaja, se imenuje odvod dane funkcije.

Definicija 3 Odvod dane funkcije
z argumentom se imenuje meja razmerja med prirastkom funkcije in prirastkom argumenta, ko se prirastek argumenta poljubno nagiba k ničli.

Odvod funkcije
lahko označimo na naslednji način:

; ; ; .

Definicija 4. Operacija iskanja odvoda funkcije se imenuje diferenciacija.

2.1. Mehanski pomen izpeljanke.

Oglejmo si premočrtno gibanje nekega togega telesa ali materialne točke.

Naj v nekem trenutku gibljiva točka
je bil na daljavo iz začetnega položaja
.

Po določenem času
premaknila se je daleč
. Odnos =- Povprečna hitrost materialna točka
. Poiščimo mejo tega razmerja ob upoštevanju tega
.

Posledično se določitev trenutne hitrosti gibanja materialne točke zmanjša na iskanje odvoda poti glede na čas.

2.2. Geometrijski pomen izpeljanka

Imejmo grafično definirano funkcijo
.

riž. 1. Geometrijski pomen izpeljanke

če
, nato pokažite
, se bo premikal vzdolž krivulje in se približal točki
.

Zato
, tj. vrednost izpeljanke za dano vrednost argumenta številčno enak tangensu kota, ki ga tvori tangenta v dani točki s pozitivno smerjo osi
.

2.3. Tabela osnovnih diferenciacijskih formul.

Funkcija moči

Eksponentna funkcija

Logaritemska funkcija

Trigonometrična funkcija

Inverzna trigonometrična funkcija

2.4. Pravila razlikovanja.

Izpeljanka iz

Odvod vsote (razlike) funkcij

Odvod produkta dveh funkcij

Odvod kvocienta dveh funkcij

2.5. Izpeljanka iz kompleksna funkcija.

Naj bo funkcija podana
tako, da ga je mogoče predstaviti v obliki

in
, kjer je spremenljivka je torej vmesni argument

Odvod kompleksne funkcije je enak zmnožku odvoda dane funkcije glede na vmesni argument in odvoda vmesnega argumenta glede na x.

Primer 1.

Primer 2.

3. Diferencialna funkcija.

Naj bo
, diferencibilen na nekem intervalu
naj gre pri ta funkcija ima izpeljanko

,

potem lahko pišemo

(1),

Kje - neskončno majhna količina,

od kdaj

Pomnožimo vse člene enakosti (1) s
imamo:

Kje
- b.m.v. višjega reda.

Magnituda
imenujemo diferencial funkcije
in je določen

.

3.1. Geometrijska vrednost diferenciala.

Naj bo funkcija podana
.

Slika 2. Geometrijski pomen diferenciala.

.

Očitno je diferencial funkcije
je enak prirastku ordinate tangente v dani točki.

3.2. Odvodi in diferenciali različnih vrst.

Če tam
, Potem
se imenuje prva izpeljanka.

Odvod prvega odvoda imenujemo odvod drugega reda in ga zapišemo
.

Odvod n-tega reda funkcije
se imenuje odvod (n-1) reda in je zapisan:

.

Diferencial diferenciala funkcije imenujemo drugi diferencial ali diferencial drugega reda.

.

.

3.3 Reševanje bioloških problemov z diferenciacijo.

Naloga 1. Študije so pokazale, da je rast kolonije mikroorganizmov v skladu z zakonom
, Kje n – število mikroorganizmov (v tisočih), t – čas (dnevi).

b) Se bo populacija kolonije v tem obdobju povečala ali zmanjšala?

Odgovori. Velikost kolonije se bo povečala.

Naloga 2. Vodo v jezeru občasno testiramo na vsebnost patogenih bakterij. Skozi t dni po testiranju se koncentracija bakterij določi z razmerjem

.

Kdaj bo v jezeru minimalna koncentracija bakterij in bo v njem možno plavati?

Rešitev: funkcija doseže max ali min, ko je njen odvod enak nič.

,

Določimo najvišjo ali najnižjo vrednost čez 6 dni. Da bi to naredili, vzemimo drugi derivat.

Odgovor: Po 6 dneh bo koncentracija bakterij minimalna.

Logaritme, tako kot vsa števila, lahko seštevamo, odštevamo in preoblikujemo na vse načine. Ampak saj logaritmi niso ravno običajne številke, tukaj veljajo pravila, ki se imenujejo glavne lastnosti.

Ta pravila vsekakor morate poznati - brez njih ni mogoče rešiti niti enega resnega problema. logaritemski problem. Poleg tega jih je zelo malo - vsega se lahko naučiš v enem dnevu. Pa začnimo.

Seštevanje in odštevanje logaritmov

Razmislite o dveh logaritmih z enakimi osnovami: log a x in dnevnik a l. Nato jih je mogoče seštevati in odštevati in:

1. dnevnik a x+ dnevnik a l=log a (x · l);
2. dnevnik a x− dnevnik a l=log a (x : l).

Torej je vsota logaritmov enaka logaritmu produkta, razlika pa je enaka logaritmu količnika. Opomba: ključni trenutek tukaj - enake podlage. Če so razlogi drugačni, ta pravila ne delujejo!

Te formule vam bodo pomagale izračunati logaritemski izraz, tudi če ne upoštevate njegovih posameznih delov (glejte lekcijo »Kaj je logaritem«). Oglejte si primere in si oglejte:

Dnevnik 6 4 + dnevnik 6 9.

Ker imajo logaritmi enake osnove, uporabimo formulo za vsoto:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Naloga. Poišči vrednost izraza: log 2 48 − log 2 3.

Osnove so enake, uporabljamo formulo razlike:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Naloga. Poišči vrednost izraza: log 3 135 − log 3 5.

Osnove so spet enake, tako da imamo:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Kot lahko vidite, so prvotni izrazi sestavljeni iz "slabih" logaritmov, ki se ne izračunajo posebej. A po transformacijah dobimo povsem normalne številke. Mnogi so zgrajeni na tem dejstvu testne naloge. Kaj pa kontrole? podobni izrazi z vso resnostjo (včasih skoraj brez sprememb) so na voljo na Enotnem državnem izpitu.

Ekstrakcija eksponenta iz logaritma

Zdaj pa malo zapletimo nalogo. Kaj pa, če je osnova ali argument logaritma potenca? Nato lahko eksponent te stopnje vzamemo iz znaka logaritma po naslednjih pravilih:

Zlahka je videti, da zadnje pravilo sledi prvima dvema. Vendar je bolje, da si ga vseeno zapomnite - v nekaterih primerih bo to znatno zmanjšalo količino izračunov.

Seveda so vsa ta pravila smiselna, če se upošteva ODZ logaritma: a > 0, a ≠ 1, x> 0. In še nekaj: naučite se uporabljati vse formule ne samo od leve proti desni, ampak tudi obratno, tj. Številke pred znakom za logaritem lahko vnesete v sam logaritem. To je tisto, kar se najpogosteje zahteva.

Naloga. Poišči vrednost izraza: log 7 49 6 .

Znebimo se stopnje v argumentu s prvo formulo:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Naloga. Poiščite pomen izraza:

[Napis k sliki]

Upoštevajte, da imenovalec vsebuje logaritem, katerega osnova in argument sta natančni potenci: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Imamo:

Mislim, da zadnji primer potrebno pojasnilo. Kam so izginili logaritmi? Do zadnjega trenutka delamo samo z imenovalcem. Osnovo in argument logaritma, ki stoji tam, smo predstavili v obliki potenc in vzeli eksponente - dobili smo "trinadstropni" ulomek.

Zdaj pa poglejmo glavni del. Števec in imenovalec vsebujeta isto število: log 2 7. Ker je log 2 7 ≠ 0, lahko ulomek skrajšamo - 2/4 bo ostalo v imenovalcu. Po aritmetičnih pravilih lahko štiri prenesemo v števec, kar je bilo tudi storjeno. Rezultat je bil odgovor: 2.

Prehod na novo podlago

Ko sem govoril o pravilih za seštevanje in odštevanje logaritmov, sem posebej poudaril, da delujejo le z enakimi osnovami. Kaj pa, če so razlogi drugačni? Kaj pa, če nista natančni potenci istega števila?

Na pomoč pridejo formule za prehod na novo podlago. Oblikujmo jih v obliki izreka:

Naj bo dano logaritem dnevnik a x. Potem za poljubno število c tako da c> 0 in c≠ 1 velja enakost:

[Napis k sliki]

Še posebej, če postavimo c = x, dobimo:

[Napis k sliki]

Iz druge formule sledi, da lahko osnovo in argument logaritma zamenjamo, vendar je v tem primeru celoten izraz "obrnjen", tj. logaritem se pojavi v imenovalcu.

Te formule redko najdemo v običajnih številski izrazi. Kako priročni so, je mogoče oceniti le z odločitvijo logaritemske enačbe in neenakosti.

Vendar pa obstajajo težave, ki jih sploh ni mogoče rešiti, razen s selitvijo na novo podlago. Oglejmo si nekaj teh:

Naloga. Poiščite vrednost izraza: log 5 16 log 2 25.

Upoštevajte, da argumenta obeh logaritmov vsebujejo natančne potence. Izločimo indikatorje: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Zdaj pa "obrnimo" drugi logaritem:

Ker se zmnožek pri preurejanju faktorjev ne spremeni, smo mirno pomnožili štiri in dva, nato pa se lotili logaritmov.

Naloga. Poiščite vrednost izraza: log 9 100 lg 3.

Osnova in argument prvega logaritma sta natančni potenci. Zapišimo to in se znebimo indikatorjev:

Zdaj pa se znebimo decimalnega logaritma s premikom na novo osnovo:

Osnovna logaritemska identiteta

Pogosto je treba v procesu reševanja število predstaviti kot logaritem na dano osnovo. V tem primeru nam bodo pomagale naslednje formule:

V prvem primeru številka n postane pokazatelj stopnje veljave v argumentu. številka n je lahko popolnoma karkoli, ker je le logaritemska vrednost.

Druga formula je pravzaprav parafrazirana definicija. Temu se reče: osnovna logaritemska identiteta.

Pravzaprav, kaj se bo zgodilo, če bo številka b dvigniti na takšno moč, da število b tej moči daje število a? Tako je: dobite isto številko a. Še enkrat natančno preberite ta odstavek - veliko ljudi se mu zatakne.

Tako kot formule za prehod na novo bazo je osnovna logaritemska identiteta včasih edina možna rešitev.

Naloga. Poiščite pomen izraza:

[Napis k sliki]

Upoštevajte, da je log 25 64 = log 5 8 - preprosto vzel kvadrat iz osnove in argumenta logaritma. Upoštevanje pravil za množenje potenc s enaka osnova, dobimo:

Če kdo ne ve, je bila to prava naloga iz enotnega državnega izpita :)

Logaritemska enota in logaritemska ničla

Za zaključek bom podal dve identiteti, ki ju težko imenujemo lastnosti - prej sta posledici definicije logaritma. Nenehno se pojavljajo v težavah in, presenetljivo, delajo težave tudi »naprednejšim« študentom.

1. dnevnik a a= 1 je logaritemska enota. Zapomnite si enkrat za vselej: logaritem na poljubno osnovo a iz te baze je enako ena.
2. dnevnik a 1 = 0 je logaritemska ničla. Osnova a je lahko karkoli, če pa argument vsebuje ena, je logaritem enak nič! Ker a 0 = 1 je neposredna posledica iz definicije.

To so vse lastnosti. Bodite prepričani, da jih vadite v praksi! Prenesite goljufijo na začetku lekcije, jo natisnite in rešite naloge.

1. Preverite, ali so pod znakom logaritma negativna števila ali ena. Ta metoda uporabna za izraze oblike log b ⁡ (x) log b ⁡ (a) (\displaystyle (\frac (\log _(b)(x))(\log _(b)(a)))). Vendar pa ni primeren za nekatere posebne primere:

   • Logaritem negativno število ni določeno na nobeni podlagi (npr. log ⁡ (− 3) (\displaystyle \log(-3)) oz log 4 ⁡ (− 5) (\displaystyle \log _(4)(-5))). V tem primeru napišite "ni rešitve".
   • Tudi logaritem nič na katero koli osnovo je nedefiniran. Če te ujamejo ln ⁡ (0) (\displaystyle \ln(0)), zapišite "ni rešitve".
   • Logaritem ena na poljubno osnovo ( dnevnik ⁡ (1) (\displaystyle \log(1))) je vedno nič, ker x 0 = 1 (\displaystyle x^(0)=1) za vse vrednosti x. Namesto tega logaritma zapišite 1 in ne uporabite spodnje metode.
   • Če imajo logaritmi različne osnove, npr l o g 3 (x) l o g 4 (a) (\displaystyle (\frac (log_(3)(x))(log_(4)(a)))), in niso reducirani na cela števila, vrednosti izraza ni mogoče najti ročno.

2. Pretvori izraz v en logaritem.Če izraz ni eden od zgornjih posebne priložnosti, ga lahko predstavimo kot en sam logaritem. Za to uporabite naslednjo formulo: log b ⁡ (x) log b ⁡ (a) = log a ⁡ (x) (\displaystyle (\frac (\log _(b)(x))(\log _(b)(a)))=\ log_(a)(x)).

   • Primer 1: Razmislite o izrazu log ⁡ 16 log ⁡ 2 (\displaystyle (\frac (\log (16))(\log (2)))).
     Najprej predstavimo izraz kot en sam logaritem z uporabo zgornje formule: log ⁡ 16 log ⁡ 2 = log 2 ⁡ (16) (\displaystyle (\frac (\log (16))(\log (2)))=\log _(2)(16)).
   • Ta formula za "zamenjavo osnove" logaritma izhaja iz osnovnih lastnosti logaritmov.

3. Če je mogoče, vrednost izraza ocenite ročno. Najti log a ⁡ (x) (\displaystyle \log _(a)(x)), predstavljajte si izraz " a? = x (\displaystyle a^(?)=x)«, torej se vprašajte naslednje vprašanje: »Na kakšno moč naj dvignemo a, Za pridobitev x?. Za odgovor na to vprašanje boste morda potrebovali kalkulator, a če boste imeli srečo, ga boste morda lahko našli ročno.

   • Primer 1 (nadaljevanje): Prepišite kot 2? = 16 (\displaystyle 2^(?)=16). Ugotoviti morate, katera številka naj stoji namesto znaka "?". To je mogoče storiti s poskusi in napakami:
     2 2 = 2 ∗ 2 = 4 (\displaystyle 2^(2)=2*2=4)
     2 3 = 4 ∗ 2 = 8 (\displaystyle 2^(3)=4*2=8)
     2 4 = 8 ∗ 2 = 16 (\displaystyle 2^(4)=8*2=16)
     Torej je število, ki ga iščemo, 4: dnevnik 2 ⁡ (16) (\displaystyle \log _(2)(16)) = 4 .

4. Pustite odgovor v logaritemski obliki, če ga ne morete poenostaviti. Veliko logaritmov je zelo težko izračunati ročno. V tem primeru boste za natančen odgovor potrebovali kalkulator. Če pa pri pouku rešujete nalogo, bo učitelj najverjetneje zadovoljen z odgovorom v logaritemski obliki. Spodaj obravnavana metoda se uporablja za reševanje bolj zapletenega primera:

   • primer 2: kaj je enako log 3 ⁡ (58) log 3 ⁡ (7) (\displaystyle (\frac (\log _(3)(58))(\log _(3)(7))))?
   • Pretvorimo ta izraz v en logaritem: log 3 ⁡ (58) log 3 ⁡ (7) = log 7 ⁡ (58) (\displaystyle (\frac (\log _(3)(58))(\log _(3)(7)))=\ log_(7)(58)). Upoštevajte, da osnova 3, ki je skupna obema logaritmama, izgine; to velja iz katerega koli razloga.
   • Prepišimo izraz v obliki 7? = 58 (\displaystyle 7^(?)=58) in poskusimo najti vrednost?:
     7 2 = 7 ∗ 7 = 49 (\displaystyle 7^(2)=7*7=49)
     7 3 = 49 ∗ 7 = 343 (\displaystyle 7^(3)=49*7=343)
     Ker je 58 med tema dvema številkama, ni izraženo kot celo število.
   • Odgovor pustimo v logaritemski obliki: dnevnik 7 ⁡ (58) (\displaystyle \log _(7)(58)).