Vse lastnosti pravilne piramide. Štirikotna piramida v problemu C2

• apotema- višina stranske ploskve pravilne piramide, ki je potegnjena iz njenega vrha (poleg tega je apotem dolžina navpičnice, ki je spuščena iz sredine pravilnega mnogokotnika na eno od njegovih stranic);
• stranski obrazi (ASB, BSC, CSD, DSA) - trikotniki, ki se stikajo na vrhu;
• stranska rebra ( AS , B.S. , C.S. , D.S. ) — skupne stranice stranskih ploskev;
• vrh piramide (t. S) - točka, ki povezuje stranska rebra in ki ne leži v ravnini baze;
• višina ( torej ) - pravokotni odsek, narisan skozi vrh piramide do ravnine njene osnove (konca takega odseka bosta vrh piramide in osnova pravokotnice);
• diagonalni prerez piramide- del piramide, ki poteka skozi vrh in diagonalo baze;
• osnova (ABCD) - mnogokotnik, ki ne pripada vrhu piramide.

Lastnosti piramide.

1. Ko so vsi stranski robovi enake velikosti, potem:

• enostavno je opisati krog blizu vznožja piramide, vrh piramide pa bo projiciran v središče tega kroga;
• stranska rebra tvorijo enake kote z ravnino baze;
• Poleg tega velja tudi obratno, tj. ko stranska rebra tvorijo enake kote z ravnino baze ali ko je mogoče opisati krog okoli baze piramide in bo vrh piramide projiciran v središče tega kroga, to pomeni, da so vsi stranski robovi piramide so enake velikosti.

2. Ko imajo stranske ploskve kot naklona na ravnino osnove enake vrednosti, potem:

• enostavno je opisati krog blizu vznožja piramide, vrh piramide pa bo projiciran v središče tega kroga;
• višine stranskih ploskev so enake dolžine;
• površina stranske površine je enaka ½ zmnožka oboda osnove in višine stranske ploskve.

3. Okoli piramide lahko opišemo kroglo, če je na dnu piramide mnogokotnik, okoli katerega lahko opišemo krog (nujen in zadosten pogoj). Središče krogle bo točka presečišča ravnin, ki potekajo skozi sredine robov piramide pravokotno nanje. Iz tega izreka sklepamo, da lahko kroglo opišemo tako okrog katere koli trikotne kot okoli vsake pravilne piramide.

4. Krogla je lahko včrtana v piramido, če se simetrali notranjih diedrskih kotov piramide sekata v 1. točki (nujen in zadosten pogoj). Ta točka bo postala središče krogle.

Najenostavnejša piramida.

Glede na število kotov delimo osnovo piramide na trikotne, štirikotne itd.

Tam bo piramida trikotne, štirikotne, in tako naprej, ko je osnova piramide trikotnik, štirikotnik itd. Trikotna piramida je tetraeder - tetraeder. Štirikotni - peterokotni in tako naprej.

Ta video vadnica bo uporabnikom pomagala dobiti predstavo o temi Piramida. Pravilna piramida. V tej lekciji se bomo seznanili s konceptom piramide in jo definirali. Razmislimo, kaj je pravilna piramida in kakšne lastnosti ima. Nato dokažemo izrek o stranski ploskvi pravilne piramide.

V tej lekciji se bomo seznanili s konceptom piramide in jo definirali.

Razmislite o mnogokotniku A 1 A 2...A n, ki leži v ravnini α, in točko p, ki ne leži v ravnini α (slika 1). Povežimo pike p z vrhovi A 1, A 2, A 3, … A n. Dobimo n trikotniki: A 1 A 2 R, A 2 A 3 R in tako dalje.

Opredelitev. Polieder RA 1 A 2 ...A n, sestavljen iz n-kvadrat A 1 A 2...A n in n trikotniki RA 1 A 2, RA 2 A 3 …RA n A n-1 se imenuje n- premogovna piramida. riž. 1.

riž. 1

Razmislite o štirikotni piramidi PABCD(slika 2).

R- vrh piramide.

ABCD- osnova piramide.

RA- stransko rebro.

AB- osnovno rebro.

Od točke R spustimo navpično RN na osnovno ravnino ABCD. Narisana navpičnica je višina piramide.

riž. 2

Celotna ploskev piramide je sestavljena iz stranske ploskve, to je ploskve vseh stranskih ploskev, in ploskve baze:

S polno = S stran + S glavno

Piramida se imenuje pravilna, če:

• njegova osnova je pravilen mnogokotnik;
• segment, ki povezuje vrh piramide s središčem baze, je njena višina.

Razlaga na primeru pravilne štirikotne piramide

Razmislite o pravilni štirikotni piramidi PABCD(slika 3).

R- vrh piramide. Osnova piramide ABCD- pravilen štirikotnik, to je kvadrat. Pika O, točka presečišča diagonal, je središče kvadrata. pomeni, RO je višina piramide.

riž. 3

Pojasnilo: v pravilnem n V trikotniku se središče včrtanega kroga in središče opisanega kroga ujemata. To središče se imenuje središče mnogokotnika. Včasih pravijo, da je vrh projiciran v središče.

Višina stranske ploskve pravilne piramide, ki je potegnjena iz njenega vrha, se imenuje apotema in je določen h a.

1. vsi stranski robovi pravilne piramide so enaki;

2. Stranice so enaki enakokraki trikotniki.

Te lastnosti bomo dokazali na primeru pravilne štirikotne piramide.

dano: PABCD- pravilna štirikotna piramida,

ABCD- kvadrat,

RO- višina piramide.

Dokaži:

1. RA = PB = RS = PD

2.∆ABP = ∆BCP =∆CDP =∆DAP Glej sl. 4.

riž. 4

Dokaz.

RO- višina piramide. Se pravi naravnost RO pravokotno na ravnino ABC, in torej neposredno JSC, VO, SO in NAREDI leži v njem. Torej trikotniki ROA, ROV, ROS, ROD- pravokotne.

Razmislite o kvadratu ABCD. Iz lastnosti kvadrata sledi, da AO = VO = CO = NAREDI

Nato pravi trikotniki ROA, ROV, ROS, ROD noga RO- splošno in noge JSC, VO, SO in NAREDI sta enaka, kar pomeni, da sta ti trikotnika enaka na dveh stranicah. Iz enakosti trikotnikov sledi enakost segmentov, RA = PB = RS = PD. Točka 1 je dokazana.

Segmenti AB in sonce so enake, ker so stranice istega kvadrata, RA = PB = RS. Torej trikotniki AVR in VSR - enakokraki in enaki na treh stranicah.

Na podoben način ugotovimo, da trikotniki ABP, VCP, CDP, DAP sta enakokraki in enaki, kot je treba dokazati v odstavku 2.

Ploščina stranske ploskve pravilne piramide je enaka polovici produkta oboda osnove in apoteme:

Da bi to dokazali, izberimo pravilno trikotno piramido.

dano: RAVS- pravilna trikotna piramida.

AB = BC = AC.

RO- višina.

Dokaži: . Glej sl. 5.

riž. 5

Dokaz.

RAVS- pravilna trikotna piramida. To je AB= AC = BC. Naj O- središče trikotnika ABC, Potem RO je višina piramide. Na dnu piramide leži enakostranični trikotnik ABC. Upoštevajte to .

Trikotniki RAV, RVS, RSA- enaki enakokraki trikotniki (po lastnostih). Trikotna piramida ima tri stranske ploskve: RAV, RVS, RSA. To pomeni, da je površina stranske površine piramide:

S stran = 3S RAW

Izrek je dokazan.

Polmer kroga, včrtanega na dnu pravilne štirikotne piramide, je 3 m, višina piramide je 4 m. Poiščite površino stranske površine piramide.

dano: pravilna štirikotna piramida ABCD,

ABCD- kvadrat,

r= 3 m,

RO- višina piramide,

RO= 4 m.

Najdi: S stran. Glej sl. 6.

riž. 6

rešitev.

V skladu z dokazanim izrekom,.

Najprej poiščimo stran baze AB. Vemo, da je polmer kroga, včrtanega v osnovi pravilne štirikotne piramide, 3 m.

Potem, m.

Poiščite obseg kvadrata ABCD s stranico 6 m:

Razmislite o trikotniku BCD. Naj M- sredina strani DC. Ker O- sredina BD, To (m).

Trikotnik DPC- enakokraki. M- sredina DC. to je RM- mediana in s tem višina v trikotniku DPC. Potem RM- apotem piramide.

RO- višina piramide. Potem naravnost RO pravokotno na ravnino ABC, in torej neposredno OM, leži v njem. Poiščimo apotemo RM iz pravokotnega trikotnika ROM.

Zdaj lahko najdemo stransko površino piramide:

Odgovori: 60 m2.

Polmer kroga, opisanega okoli vznožja pravilne trikotne piramide, je enak m. Stranska površina je 18 m 2. Poiščite dolžino apoteme.

dano: ABCP- pravilna trikotna piramida,

AB = BC = SA,

R= m,

S stranica = 18 m2.

Najdi: . Glej sl. 7.

riž. 7

rešitev.

V pravokotnem trikotniku ABC Polmer opisane krožnice je podan. Poiščimo stran AB ta trikotnik z uporabo zakona sinusov.

Če poznamo stran pravilnega trikotnika (m), najdemo njegov obseg.

Po izreku o bočni površini pravilne piramide, kjer h a- apotem piramide. Nato:

Odgovori: 4 m.

Torej, pogledali smo, kaj je piramida, kaj je pravilna piramida in dokazali smo izrek o stranski ploskvi pravilne piramide. V naslednji lekciji se bomo seznanili s prisekano piramido.

Reference

1. Geometrija. Razredi 10-11: učbenik za študente splošnoizobraževalnih ustanov (osnovna in specializirana raven) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. izd., rev. in dodatno - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 str.: ilustr.
2. Geometrija. Razredi 10-11: Učbenik za splošne izobraževalne ustanove / Sharygin I. F. - M.: Bustard, 1999. - 208 str .: ilustr.
3. Geometrija. 10. razred: Učbenik za splošnoizobraževalne ustanove s poglobljenim in specializiranim študijem matematike /E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6. izd., stereotip. - M.: Bustard, 008. - 233 str.: ilustr.

1. Internetni portal "Yaklass" ()
2. Internetni portal "Festival pedagoških idej "Prvi september" ()
3. Internetni portal “Slideshare.net” ()

domača naloga

1. Ali je lahko pravilen mnogokotnik osnova nepravilne piramide?
2. Dokaži, da sta ločena robova pravilne piramide pravokotna.
3. Poiščite vrednost diedričnega kota na strani vznožja pravilne štirikotne piramide, če je apotem piramide enak stranici njene osnove.
4. RAVS- pravilna trikotna piramida. Konstruirajte linearni kot diedričnega kota na dnu piramide.

Navodila

V primeru, da na bazi piramide leži kvadrat, poznana je dolžina njegove diagonale in dolžina roba tega piramide, To višina to piramide se lahko izrazi iz Pitagorovega izreka, ker trikotnik tvori rob piramide, in polovica diagonale na dnu je pravokotni trikotnik.
Pitagorov izrek pravi, da je kvadrat hipotenuze v pravokotnem trikotniku enak vsoti kvadratov njegovih katet (a² = b² + c²). Edge piramide- hipotenuza, ena od nog je polovica diagonale kvadrata. Nato dolžino neznane noge (višino) najdemo s formulami:
b² = a² - c²;
c² = a² - b².

Da bosta obe situaciji čim bolj jasni in razumljivi, lahko razmislite o paru.
Primer 1: Osnovna površina piramide 46 cm², njegova prostornina je 120 cm³. Na podlagi teh podatkov višina piramide se nahaja takole:
h = 3*120/46 = 7,83 cm
Odgovor: višina tega piramide bo približno 7,83 cm
Primer 2: U piramide, na dnu katerega leži mnogokotnik - kvadrat, njegova diagonala je 14 cm, dolžina roba je 15 cm višina piramide, morate uporabiti naslednjo formulo (ki je posledica Pitagorovega izreka):
h² = 15² - 14²
h² = 225 - 196 = 29
h = √29 cm
Odgovor: višina tega piramide je √29 cm ali približno 5,4 cm

Prosimo, upoštevajte

Če je na dnu piramide kvadrat ali drug pravilen poligon, potem lahko to piramido imenujemo pravilna. Takšna piramida ima številne lastnosti:
njegova stranska rebra so enaka;
njegove ploskve so med seboj enaki enakokraki trikotniki;
blizu takšne piramide lahko opišemo kroglo in jo tudi vpišemo.

Viri:

• Pravilna piramida

Piramida je figura, katere osnova je mnogokotnik, njene ploskve pa so trikotniki s skupnim vrhom za vse. V tipičnih problemih je pogosto treba konstruirati in določiti dolžino navpičnice, ki poteka iz oglišča piramide na ravnino njegove baze. Dolžino tega segmenta imenujemo višina piramide.

Potrebovali boste

• - ravnilo
• - svinčnik
• - kompas

Navodila

Za dokončanje zgradite piramido v skladu s pogoji naloge. Na primer, če želite zgraditi pravilen tetraeder, morate narisati figuro, tako da je vseh 6 robov enakih drug drugemu. Če morate graditi višinaštirioglato, potem naj bodo le 4 robovi baze enaki. Nato lahko zgradite robove stranskih ploskev, ki niso enaki robom mnogokotnika. Poimenujte piramido in vsa oglišča označite z latiničnimi črkami. Na primer za piramide s trikotnikom na dnu lahko izberete A, B, C (za osnovo), S (za vrh). Če pogoj določa posebne dimenzije reber, potem pri gradnji slike izhajajte iz teh vrednosti.

Za začetek pogojno izberite s šestilom tangento od znotraj na vse robove poligona. Če je piramida, potem točka (imenujte jo na primer H) na dnu piramide, v katero se višina spušča, mora ustrezati središču kroga, včrtanega v pravilno osnovo piramide. Središče bo ustrezalo točki, ki je enako oddaljena od katere koli druge točke na krogu. Če povežete vrh piramide S s središčem kroga H, potem bo odsek SH višina piramide. Ne pozabite, da lahko štirikotnik, katerega nasprotni strani imata enaki vsoti, vpiše krog. To velja za kvadrat in romb. V tem primeru bo točka H ležala na štirikotniku. Vsakemu trikotniku je mogoče včrtati in opisati krog.

Za gradnjo višina piramide, s šestilom nariši krog in nato z ravnilom poveži njegovo središče H z ogliščem S. SH je želena višina. Če v osnovi piramide SABC je nepravilna figura, potem bo višina povezovala vrh piramide s središčem kroga, v katerega je vpisan osnovni mnogokotnik. Vsa oglišča mnogokotnika ležijo na takem krogu. V tem primeru bo ta segment pravokoten na ravnino baze piramide. Štirikotniku lahko opišete krog, če je vsota nasprotnih kotov 180°. Potem bo središče takšnega kroga ležalo na presečišču ustreznih diagonal

Kako lahko zgradite piramido? Na letalu r Sestavimo mnogokotnik, na primer peterokotnik ABCDE. Izven letala r Vzemimo točko S. Če točko S povežemo z odseki na vse točke mnogokotnika, dobimo piramido SABCDE (sl.).

Točka S se imenuje vrh, in mnogokotnik ABCDE je osnova ta piramida. Tako je piramida z vrhom S in osnovo ABCDE unija vseh segmentov, kjer je M ∈ ABCDE.

Trikotniki SAB, SBC, SCD, SDE, SEA se imenujejo stranski obrazi piramide, skupne stranice stranskih ploskev SA, SB, SC, SD, SE - stranska rebra.

Piramide se imenujejo trikotni, štirikotni, p-kotni odvisno od števila stranic baze. Na sl. Podane so slike trikotnih, štirikotnih in šesterokotnih piramid.

Imenuje se ravnina, ki poteka skozi vrh piramide in diagonalo baze diagonala, nastali del pa je diagonala. Na sl. 186 je zasenčen eden od diagonalnih odsekov šesterokotne piramide.

Pravokotni odsek, ki poteka skozi vrh piramide na ravnino njene osnove, se imenuje višina piramide (konca tega odseka sta vrh piramide in osnova navpičnice).

Piramida se imenuje pravilno, če je osnova piramide pravilen mnogokotnik in je vrh piramide projiciran v njenem središču.

Vse stranske ploskve pravilne piramide so skladni enakokraki trikotniki. V pravilni piramidi so vsi stranski robovi skladni.

Višina stranske ploskve pravilne piramide, ki je potegnjena iz njenega vrha, se imenuje apotema piramide. Vsi apotemi pravilne piramide so skladni.

Če označimo stranico baze kot A, in apotem skozi h, potem je površina ene stranske ploskve piramide 1/2 ah.

Imenuje se vsota ploščin vseh stranskih ploskev piramide bočna površina piramida in je označena s stranico S.

Ker je stranska površina pravilne piramide sestavljena iz n skladni obrazi, torej

S stran = 1/2 ahn= P h / 2 ,

kjer je P obseg baze piramide. torej

S stran = P h / 2

tj. Površina stranske površine pravilne piramide je enaka polovici zmnožka oboda osnove in apoteme.

Skupna površina piramide se izračuna po formuli

S = S okn. + stran S. .

Prostornina piramide je enaka tretjini zmnožka površine njene osnove Socn. do višine H:

V = 1/3 S glavni. n.

Izpeljava te in nekaterih drugih formul bo podana v enem od naslednjih poglavij.

Zdaj pa zgradimo piramido na drugačen način. Naj bo podan poliedrski kot, na primer pentaedrski, z vrhom S (sl.).

Narišimo letalo r tako da seka vse robove danega poliedrskega kota v različnih točkah A, B, C, D, E (sl.). Potem lahko piramido SABCDE obravnavamo kot presečišče poliedrskega kota in polprostora z mejo r, v katerem leži oglišče S.

Očitno je lahko število vseh obrazov piramide poljubno, vendar ne manj kot štiri. Ko se tristranski kot preseka z ravnino, dobimo trikotno piramido, ki ima štiri stranice. Vsaka trikotna piramida se včasih imenuje tetraeder, kar pomeni tetraeder.

Prisekana piramida dobimo, če piramido sekamo z ravnino, ki je vzporedna z osnovno ravnino.

Na sl. Podana je podoba štirikotne prisekane piramide.

Imenujejo se tudi okrnjene piramide trikotni, štirikotni, n-kotni odvisno od števila stranic baze. Iz konstrukcije prisekane piramide izhaja, da ima dve osnovi: zgornjo in spodnjo. Osnovi prisekane piramide sta dva mnogokotnika, katerih stranice so v parih vzporedne. Stranske ploskve prisekane piramide so trapezi.

Višina prisekana piramida je pravokotni segment, ki je narisan iz katere koli točke zgornje baze na ravnino spodnje.

Pravilna prisekana piramida je del pravilne piramide, ki je zaprt med osnovo in prerezno ravnino, vzporedno z osnovo. Višina stranske ploskve pravilne prisekane piramide (trapeza) se imenuje apotema.

Dokažemo lahko, da ima pravilna prisekana piramida skladne stranske robove, vse stranske ploskve so skladne in vse apoteme skladne.

Če je v pravilnem okrnjenem n-premogovna piramida skozi A in b n navedite dolžine stranic zgornje in spodnje baze ter skozi h je dolžina apoteme, potem je površina vsake stranske ploskve piramide enaka

1 / 2 (A + b n) h

Vsota površin vseh stranskih ploskev piramide se imenuje površina njene stranske površine in je označena s stranjo S. . Očitno za pravilno okrnjeno n- premogovna piramida

S stran = n 1 / 2 (A + b n) h.

Ker pa= P in nb n= P 1 - obodi baz prisekane piramide, torej

S stran = 1/2 (P + P 1) h,

to pomeni, da je površina stranske površine pravilne prisekane piramide enaka polovici produkta vsote oboda njenih baz in apoteme.

Odsek vzporeden z vznožjem piramide

1) stranska rebra in višina bodo razdeljeni na sorazmerne dele;

2) v prerezu boste dobili mnogokotnik, podoben osnovi;

3) ploščine preseka in osnove so povezane kot kvadrati njihovih razdalj od vrha.

Dovolj je dokazati izrek za trikotno piramido.

Ker vzporedne ravnine seka tretja ravnina po vzporednih premicah, potem (AB) || (A 1 B 1), (BC) ||(B 1 C 1), (AC) || (A 1 C 1) (sl.).

Vzporedne premice režejo stranice kota na sorazmerne dele in torej

$$ \frac(\levo|(SA)\desno|)(\levo|(SA_1)\desno|)=\frac(\levo|(SB)\desno|)(\levo|(SB_1)\desno| )=\frac(\levo|(SC)\desno|)(\levo|(SC_1)\desno|) $$

Zato je ΔSAB ~ ΔSA 1 B 1 in

$$ \frac(\levo|(AB)\desno|)(\levo|(A_(1)B_1)\desno|)=\frac(\levo|(SB)\desno|)(\levo|(SB_1 )\desno|) $$

ΔSBC ~ ΔSB 1 C 1 in

$$ \frac(\levo|(BC)\desno|)(\levo|(B_(1)C_1)\desno|)=\frac(\levo|(SB)\desno|)(\levo|(SB_1 )\desno|)=\frac(\levo|(SC)\desno|)(\levo|(SC_1)\desno|) $$

torej

$$ \frac(\levo|(AB)\desno|)(\levo|(A_(1)B_1)\desno|)=\frac(\levo|(BC)\desno|)(\levo|(B_ (1)C_1)\desno|)=\frac(\levo|(AC)\desno|)(\levo|(A_(1)C_1)\desno|) $$

Ustrezna kota trikotnikov ABC in A 1 B 1 C 1 sta skladna, kot kota z vzporednimi in enakimi stranicami. zato

ΔABC ~ ΔA 1 B 1 C 1

Ploščini podobnih trikotnikov sta povezani kot kvadrata ustreznih stranic:

$$ \frac(S_(ABC))(S_(A_1 B_1 C_1))=\frac(\levo|(AB)\desno|^2)(\levo|(A_(1)B_1)\desno|^2 ) $$

$$ \frac(\levo|(AB)\desno|)(\levo|(A_(1)B_1)\desno|)=\frac(\levo|(SH)\desno|)(\levo|(SH_1 )\desno|) $$

torej

$$ \frac(S_(ABC))(S_(A_1 B_1 C_1))=\frac(\levo|(SH)\desno|^2)(\levo|(SH_1)\desno|^2) $$

Izrek. Če dve piramidi z enakimi višinami na enaki razdalji od vrha prerežeta ravnini, ki sta vzporedni z osnovami, sta ploščini odsekov sorazmerni s ploščino baz.

Naj (slika 84) sta B in B 1 ploščini baz dveh piramid, H je višina vsake od njiju, b in b 1 - območja prereza z ravninami, vzporednimi z osnovami in odmaknjenimi od oglišč na enaki razdalji h.

Glede na prejšnji izrek bomo imeli:

$$ \frac(b)(B)=\frac(h^2)(H^2)\: in \: \frac(b_1)(B_1)=\frac(h^2)(H^2) $ $
kjer
$$ \frac(b)(B)=\frac(b_1)(B_1)\: ali \: \frac(b)(b_1)=\frac(B)(B_1) $$

Posledica.Če je B = B 1, potem b = b 1, tj. Če imata dve enako visoki piramidi enaki osnovi, sta enaka tudi odseka, ki sta enako oddaljena od vrha.

Opredelitev. Stranski rob- to je trikotnik, v katerem en kot leži na vrhu piramide, nasprotna stran pa sovpada s stranjo baze (poligona).

Opredelitev. Stranska rebra- to so skupne stranice stranskih ploskev. Piramida ima toliko robov, kolikor je kotov mnogokotnika.

Opredelitev. Višina piramide- to je pravokotnik, spuščen od vrha do dna piramide.

Opredelitev. Apotema- to je pravokotna na stransko ploskev piramide, spuščena z vrha piramide na stran baze.

Opredelitev. Diagonalni odsek- to je odsek piramide z ravnino, ki poteka skozi vrh piramide in diagonalo baze.

Opredelitev. Pravilna piramida je piramida, katere osnova je pravilen mnogokotnik, višina pa se spušča v središče baze.

Prostornina in površina piramide

Formula. Prostornina piramide skozi osnovno površino in višino:

Lastnosti piramide

Če so vsi stranski robovi enaki, potem lahko okoli baze piramide narišemo krog, središče baze pa sovpada s središčem kroga. Tudi navpičnica, spuščena z vrha, poteka skozi središče osnove (kroga).

Če so vsi stranski robovi enaki, potem so nagnjeni na ravnino podnožja pod enakimi koti.

Stranska robova sta enaka, če tvorita enake kote z osnovno ravnino ali če lahko okoli osnove piramide opišemo krog.

Če so stranske ploskve nagnjene na ravnino podnožja pod enakim kotom, se lahko v osnovo piramide vpiše krog, vrh piramide pa se projicira v njeno središče.

Če sta stranski ploskvi nagnjeni na ravnino osnove pod enakim kotom, sta apotemi stranskih ploskvi enaki.

Lastnosti pravilne piramide

1. Vrh piramide je enako oddaljen od vseh vogalov osnove.

2. Vsi stranski robovi so enaki.

3. Vsa stranska rebra so nagnjena pod enakim kotom na podlago.

4. Apoteme vseh stranskih ploskev so enake.

5. Ploščine vseh stranskih ploskev so enake.

6. Vse ploskve imajo enake diedrske (ploske) kote.

7. Okoli piramide lahko opišemo kroglo. Središče obrobljene krogle bo presečišče navpičnic, ki gredo skozi sredino robov.

8. Kroglo lahko vgradite v piramido. Središče včrtane krogle bo točka presečišča simetral, ki izhajajo iz kota med robom in bazo.

9. Če središče včrtane krogle sovpada s središčem obrobljene krogle, potem je vsota ravninskih kotov pri oglišču enaka π ali obratno, en kot je enak π/n, kjer je n število kotov na dnu piramide.

Povezava med piramido in kroglo

Kroglo lahko opišemo okoli piramide, če je na dnu piramide polieder, okoli katerega lahko opišemo krog (nujen in zadosten pogoj). Središče krogle bo presečišče ravnin, ki potekajo pravokotno skozi središča stranskih robov piramide.

Okoli vsake trikotne ali pravilne piramide je vedno mogoče opisati kroglo.

Krogla je lahko včrtana v piramido, če se simetrali notranjih diedrskih kotov piramide sekata v eni točki (nujen in zadosten pogoj). Ta točka bo središče krogle.

Povezava piramide s stožcem

Pravimo, da je stožec vpisan v piramido, če njuni oglišči sovpadata in je osnova stožca vpisana v osnovo piramide.

Stožec je mogoče vpisati v piramido, če so apoteme piramide med seboj enake.

Pravimo, da je stožec obpisan okoli piramide, če njuni oglišči sovpadata in je vznožje stožca obkroženo okoli vznožja piramide.

Okoli piramide lahko opišemo stožec, če so vsi stranski robovi piramide med seboj enaki.

Razmerje med piramido in valjem

Piramida se imenuje včrtana v valj, če vrh piramide leži na eni podlagi valja, osnova piramide pa je včrtana v drugo osnovo valja.

Okoli piramide lahko opišemo valj, če lahko opišemo krog okoli vznožja piramide.

Tetraeder ima štiri ploskve in štiri oglišča ter šest robov, pri čemer katera koli dva roba nimata skupnih oglišč, vendar se ne dotikata.

Vsako oglišče je sestavljeno iz treh ploskev in robov, ki tvorijo trikotni kot.

Odsek, ki povezuje oglišče tetraedra s središčem nasprotne ploskve, se imenuje mediana tetraedra(GM).

Bimedian imenovan segment, ki povezuje središča nasprotnih robov, ki se ne dotikajo (KL).

Vse bimediane in mediane tetraedra se sekajo v eni točki (S). V tem primeru so bimediane razdeljene na pol, mediane pa v razmerju 3:1, začenši od vrha.

Opredelitev. Ostrokotna piramida- piramida, v kateri je apotem več kot polovica dolžine stranice baze.

Opredelitev. Topa piramida- piramida, pri kateri je apotem krajši od polovice stranice baze.

Opredelitev. Pravilni tetraeder- tetraeder, v katerem so vse štiri ploskve enakostranični trikotniki. Je eden od petih pravilnih mnogokotnikov. V pravilnem tetraedru so vsi diedrski koti (med ploskvami) in triedrski koti (pri oglišču) enaki.

Opredelitev. Pravokotni tetraeder imenujemo tetraeder, pri katerem je med tremi robovi na vrhu pravi kot (robovi so pravokotni). Oblikujejo se trije obrazi pravokoten trikotni kot in ploskve so pravokotni trikotnik, osnova pa poljuben trikotnik. Apotem katere koli ploskve je enak polovici stranice osnove, na katero pade apotem.

Opredelitev. Izoedrski tetraeder se imenuje tetraeder, katerega stranske ploskve so enake druga drugi, osnova pa je pravilen trikotnik. Takšen tetraeder ima ploskve, ki so enakokraki trikotniki.

Opredelitev. Ortocentrični tetraeder imenujemo tetraeder, pri katerem se vse višine (navpičnice), ki so spuščene z vrha na nasprotno ploskev, sekajo v eni točki.

Opredelitev. Zvezdna piramida imenujemo polieder, katerega osnova je zvezda.