Vrste trikotnikov glede na stranice. Topokotni trikotnik: dolžine stranic, vsota kotov

Med študijem matematike se učenci začnejo seznanjati z različnimi vrstami geometrijskih oblik. Danes bomo govorili o različnih vrstah trikotnikov.

Opredelitev

Geometrijske figure, ki so sestavljene iz treh točk, ki niso na isti premici, imenujemo trikotniki.

Odseke, ki povezujejo točke, imenujemo stranice, točke pa oglišča. Točke so označene z velikimi črkami, na primer: A, B, C.

Stranice so označene z imeni dveh točk, iz katerih so sestavljene - AB, BC, AC. Sekajoče se stranice tvorijo kote. Spodnja stran velja za osnovo figure.

riž. 1. Trikotnik ABC.

Vrste trikotnikov

Trikotniki so razvrščeni glede na kote in stranice. Vsaka vrsta trikotnika ima svoje lastnosti.

Na vogalih so tri vrste trikotnikov:

• ostrokotni;
• pravokoten;
• topokoten.

Vsi koti ostrokoten trikotniki so ostri, kar pomeni, da stopnja vsakega ni večja od 90 0.

Pravokoten trikotnik vsebuje pravi kot. Druga dva kota bosta vedno ostra, saj bo sicer vsota kotov trikotnika presegla 180 stopinj, kar je nemogoče. Stran, ki je nasproti pravemu kotu, se imenuje hipotenuza, drugi dve pa kateta. Hipotenuza je vedno večja od noge.

Topo trikotnik vsebuje top kot. To je kot, večji od 90 stopinj. Druga dva kota v takem trikotniku bosta ostra.

riž. 2. Vrste trikotnikov na vogalih.

Pitagorejski trikotnik je pravokotnik, katerega stranice so 3, 4, 5.

Poleg tega je večja stran hipotenuza.

Takšni trikotniki se pogosto uporabljajo za konstruiranje preprostih problemov v geometriji. Zato si zapomnite: če sta dve strani trikotnika enaki 3, bo tretja zagotovo 5. To bo poenostavilo izračune.

Vrste trikotnikov na straneh:

• enakostranični;
• enakokraki;
• vsestranski.

Enakostranični Trikotnik je trikotnik, v katerem so vse stranice enake. Vsi koti takega trikotnika so enaki 60 0, kar pomeni, da je vedno oster.

Enakokraki trikotnik - trikotnik, ki ima samo dve strani enaki. Te strani se imenujejo stranske, tretja pa osnova. Poleg tega so koti na dnu enakokrakega trikotnika enaki in vedno ostri.

Vsestranski ali poljuben trikotnik je trikotnik, v katerem vse dolžine in vsi koti med seboj niso enaki.

Če problem ne vsebuje nobenih pojasnil glede figure, potem je splošno sprejeto, da govorimo o poljubnem trikotniku.

riž. 3. Vrste trikotnikov na straneh.

Vsota vseh kotov trikotnika, ne glede na njegovo vrsto, je 1800.

Nasproti večjega kota je večja stranica. In tudi dolžina katere koli stranice je vedno manjša od vsote njenih drugih dveh strani. Te lastnosti potrjuje izrek o neenakosti trikotnika.

Obstaja koncept zlatega trikotnika. To je enakokraki trikotnik, v katerem sta dve strani sorazmerni z osnovo in enaki določenemu številu. Pri takšni sliki so koti sorazmerni v razmerju 2:2:1.

Naloga:

Ali obstaja trikotnik s stranicami 6 cm, 3 cm, 4 cm?

rešitev:

Za rešitev te naloge morate uporabiti neenakost a

Kaj smo se naučili?

Iz tega gradiva pri predmetu matematika v 5. razredu smo izvedeli, da trikotnike delimo glede na stranice in velikosti kotov. Trikotniki imajo določene lastnosti, ki jih lahko uporabimo za reševanje problemov.

Znanost o geometriji nam pove, kaj so trikotnik, kvadrat in kocka. V sodobnem svetu ga vsi brez izjeme študirajo v šolah. Tudi znanost, ki neposredno proučuje, kaj je trikotnik in kakšne lastnosti ima, je trigonometrija. O tem, kaj je trikotnik, bo danes podrobno raziskala vse pojave, povezane s podatki. Spodaj bodo opisane njihove vrste, pa tudi nekateri izreki, povezani z njimi.

Kaj je trikotnik? Opredelitev

To je raven mnogokotnik. Ima tri vogale, kot je razvidno iz imena. Ima tudi tri stranice in tri oglišča, od katerih so prvi segmenti, drugi pa točke. Če veste, čemu sta dva kota enaka, lahko tretjega najdete tako, da od števila 180 odštejete vsoto prvih dveh.

Katere vrste trikotnikov obstajajo?

Lahko jih razvrstimo po različnih merilih.

Najprej jih delimo na ostrokotne, tupokotne in pravokotne. Prvi imajo ostre kote, torej tiste, ki so enaki manj kot 90 stopinj. Pri topih kotih je eden od kotov top, to je tisti, ki je enak več kot 90 stopinj, druga dva pa sta ostra. Med ostre trikotnike spadajo tudi enakostranični trikotniki. Takšni trikotniki imajo vse stranice in kote enake. Vsi so enaki 60 stopinjam, to lahko enostavno izračunamo tako, da vsoto vseh kotov (180) delimo s tri.

Pravokotni trikotnik

Nemogoče je ne govoriti o tem, kaj je pravi trikotnik.

Taka figura ima en kot enak 90 stopinj (ravna), to pomeni, da sta dve strani pravokotni. Preostala dva kota sta ostra. Lahko sta enaka, potem bo enakokraka. Pitagorov izrek je povezan s pravokotnim trikotnikom. Z njim lahko najdete tretjo stran, če poznate prvi dve. V skladu s tem izrekom, če dodate kvadrat ene noge kvadratu druge, lahko dobite kvadrat hipotenuze. Kvadrat kraka lahko izračunamo tako, da od kvadrata hipotenuze odštejemo kvadrat znanega kraka. Ko govorimo o tem, kaj je trikotnik, se lahko spomnimo tudi enakokrakega trikotnika. To je tisto, pri katerem sta dve stranici enaki in dva kota sta enaka.

Kaj sta noga in hipotenuza?

Krak je ena od stranic trikotnika, ki tvori kot 90 stopinj. Hipotenuza je preostala stran, ki je nasproti pravemu kotu. Iz njega lahko na nogo spustite pravokotno. Razmerje med sosednjo stranico in hipotenuzo se imenuje kosinus, nasprotno stran pa sinus.

- kakšne so njegove značilnosti?

Pravokoten je. Njegovi kateti so tri in štiri, hipotenuza pa pet. Če vidite, da sta kraka danega trikotnika enaka tri in štiri, ste lahko prepričani, da bo hipotenuza enaka pet. Tudi s tem načelom lahko enostavno ugotovite, da bo noga enaka tri, če je druga enaka štirim, hipotenuza pa pet. Za dokaz te izjave lahko uporabite Pitagorov izrek. Če sta dva kraka enaka 3 in 4, potem je 9 + 16 = 25, koren iz 25 je 5, kar pomeni, da je hipotenuza enaka 5. Egiptovski trikotnik je tudi pravokoten trikotnik, katerega stranice so 6, 8 in 10. ; 9, 12 in 15 ter druga števila v razmerju 3:4:5.

Kaj drugega bi lahko bil trikotnik?

Trikotnike lahko tudi včrtamo ali obrobimo. Lik, okoli katerega je opisan krog, se imenuje včrtana; vsa njegova oglišča so točke, ki ležijo na krogu. Okrožen trikotnik je tisti, v katerega je vpisan krog. Vse njegove strani se na določenih mestih dotikajo nje.

Kako se nahaja?

Površina katere koli figure se meri v kvadratnih enotah (kvadratni metri, kvadratni milimetri, kvadratni centimetri, kvadratni decimetri itd.) To vrednost je mogoče izračunati na različne načine, odvisno od vrste trikotnika. Območje katere koli figure s koti je mogoče najti tako, da njeno stran pomnožimo s pravokotnico, ki je nanjo padla iz nasprotnega kota, in to sliko delimo z dvema. To vrednost lahko najdete tudi tako, da pomnožite dve strani. Nato to število pomnožite s sinusom kota, ki se nahaja med tema stranicama, in rezultat delite z dva. Če poznate vse strani trikotnika, vendar ne poznate njegovih kotov, lahko območje najdete na drug način. Če želite to narediti, morate najti polovico oboda. Nato od tega števila izmenično odštejte različne strani in pomnožite dobljene štiri vrednosti. Nato poiščite iz številke, ki je prišla. Območje včrtanega trikotnika je mogoče najti tako, da pomnožite vse stranice in dobljeno število delite s tistim, ki je okoli njega opisano, pomnoženo s štiri.

Območje okroglega trikotnika najdemo na ta način: polovico oboda pomnožimo s polmerom kroga, ki je vanj vpisan. Če je potem njegovo območje mogoče najti na naslednji način: kvadrirajte stran, dobljeno številko pomnožite s korenom iz tri, nato pa to številko delite s štiri. Na podoben način lahko izračunate višino trikotnika, v katerem so vse strani enake; za to morate eno od njih pomnožiti s korenom iz tri in nato to število deliti z dvema.

Izreki, povezani s trikotnikom

Glavni izreki, povezani s to sliko, so zgoraj opisani Pitagorov izrek in kosinusi. Drugi (sinusov) je, da če katero koli stran delite s sinusom nasprotnega kota, lahko dobite polmer kroga, ki je opisan okoli nje, pomnožen z dva. Tretji (kosinus) je, da če od vsote kvadratov obeh strani odštejemo njihov produkt, pomnožen z dvema in kosinus kota med njima, dobimo kvadrat tretje strani.

Dali trikotnik - kaj je to?

Mnogi, ko se soočijo s tem konceptom, najprej pomislijo, da je to nekakšna definicija v geometriji, vendar to sploh ni tako. Dalijev trikotnik je skupno ime za tri kraje, ki so tesno povezani z življenjem slavnega umetnika. Njegovi "vrhunci" so hiša, v kateri je živel Salvador Dali, grad, ki ga je podaril svoji ženi, pa tudi muzej nadrealističnih slik. Med ogledom teh krajev lahko izveste veliko zanimivih dejstev o tem edinstvenem ustvarjalnem umetniku, znanem po vsem svetu.

Trikotnik je mnogokotnik s tremi stranicami (ali tremi koti). Stranice trikotnika so pogosto označene z malimi črkami (a, b, c), ki ustrezajo velikim črkam, ki označujejo nasprotna oglišča (A, B, C).

Če so vsi trije koti trikotnika ostri, potem je ostrokotni trikotnik.

Če je eden od kotov v trikotniku pravi, potem je pravokotni trikotnik. Imenujejo se stranice, ki tvorijo pravi kot noge. Stran nasproti pravega kota se imenuje hipotenuza.

Če je eden od kotov v trikotniku top, potem je topokotni trikotnik.

Enakokraki trikotnik, če sta njegovi strani enaki; te enake stranice se imenujejo stranske, tretja stranica pa se imenuje osnova trikotnika.

Enakostranični trikotnik, če so vse njegove stranice enake.

Osnovne lastnosti trikotnikov

V poljubnem trikotniku:

1. Nasproti večje stranice leži večji kot in obratno.

2. Nasproti enakih stranic ležita enaka kota in obratno.
Predvsem so vsi koti v enakostraničnem trikotniku enaki.

3. Vsota kotov trikotnika je 180º.
Iz zadnjih dveh lastnosti sledi, da je vsak kot v enakostranici
trikotnik je 60º.

4. Če nadaljujemo eno od strani trikotnika, dobimo zunanjo
kotiček. Zunanji kot trikotnika je enak vsoti notranjih kotov,
ne meji nanj.

5. Katera koli stranica trikotnika je manjša od vsote drugih dveh stranic in večja
njihove razlike.

Znaki enakosti trikotnikov.

Trikotniki so skladni, če so enaki:

A) dve stranici in kot med njima;
b) dva vogala in stran, ki meji nanju;
c) tri strani.

Znaki enakosti pravokotnih trikotnikov.

Dva pravokotna trikotnika sta skladna, če je izpolnjen eden od naslednjih pogojev:

1) noge so enake;
2) noga in hipotenuza enega trikotnika sta enaki nogi in hipotenuzi drugega;
3) hipotenuza in ostri kot enega trikotnika sta enaka hipotenuzi in ostremu kotu drugega;
4) krak in sosednji ostri kot enega trikotnika sta enaka kraku in sosednjemu ostremu kotu drugega;
5) krak in nasprotni ostri kot enega trikotnika sta enaka kraku in nasprotni ostri kot drugega.

Višina trikotnika je navpičnica, spuščena iz poljubnega oglišča na nasprotno stran (ali njeno nadaljevanje). Ta stranica se imenuje osnova trikotnika. Tri višine trikotnika se vedno sekajo v eni točki, imenovani ortocenter trikotnika. Ortocenter ostrega trikotnika se nahaja znotraj trikotnika, ortocenter tupokotnega trikotnika pa zunaj; Ortocenter pravokotnega trikotnika sovpada z vrhom pravega kota.

Mediana je odsek, ki povezuje poljubno oglišče trikotnika s sredino nasprotne stranice. Tri mediane trikotnika se sekajo v eni točki, ki vedno leži znotraj trikotnika in je njegova težišče. Ta točka deli vsako mediano v razmerju 2:1, šteto od vrha.

Lastnost mediane enakokrakega trikotnika. V enakokrakem trikotniku je mediana, potegnjena na osnovo, simetrala in nadmorska višina.

Simetrala- to je simetrala kota od vrha do presečišča z nasprotno stranjo. Tri simetrale trikotnika se sekajo v eni točki, ki vedno leži znotraj trikotnika in je središče včrtanega kroga. Simetrala deli nasprotno stranico na dele, ki so sorazmerni s sosednjimi stranicami.

Srednja pravokotna je navpičnica, potegnjena iz sredine odseka (stranice). Tri srednje pravokotnice trikotnika se sekajo v eni točki, ki je središče opisanega kroga. V ostrokotnem trikotniku ta točka leži znotraj trikotnika; v tupem kotu - zunaj; v pravokotnem - na sredini hipotenuze. Ortocenter, težišče, središče kroga in včrtana krožnica sovpadajo samo v enakostraničnem trikotniku.

Srednja črta trikotnika je odsek, ki povezuje razpoloviščni točki obeh stranic.

Lastnost srednje črte trikotnika. Srednja črta trikotnika, ki povezuje razpolovišči dveh danih stranic, je vzporedna s tretjo stranico in enaka njeni polovici.

Pitagorov izrek. V pravokotnem trikotniku je kvadrat dolžine hipotenuze enak vsoti kvadratov dolžin katet. c 2 = a 2 + b 2 .

Dokazi Pitagorovega izreka lahko vidite Tukaj.

Sinusni izrek. Stranice trikotnika so sorazmerne s sinusi nasprotnih kotov .

Kosinusni izrek. Kvadrat katere koli stranice trikotnika je enak vsoti kvadratov drugih dveh strani brez dvojnega zmnožka teh stranic s kosinusom kota med njima .

Dokazi sinusnega in kosinusnega izreka lahko vidite Tukaj.

Izrek o vsoti kotov v trikotniku. Vsota notranjih kotov trikotnika je 180°.

Izrek o zunanjem kotu trikotnika. Zunanji kot trikotnika je enak vsoti dveh notranjih kotov, ki mu ne mejita.

Vrste trikotnikov

Oglejmo si tri točke, ki ne ležijo na isti premici, in tri segmente, ki te točke povezujejo (slika 1).

Trikotnik je del ravnine, ki ga omejujejo ti segmenti, segmenti se imenujejo stranice trikotnika, konci segmentov (tri točke, ki ne ležijo na isti premici) pa so oglišča trikotnika.

Tabela 1 navaja vse možne vrste trikotnikov odvisno od velikosti njihovih kotov .

Tabela 1 - Vrste trikotnikov glede na velikost kotov

risanje	Vrsta trikotnika	Opredelitev
	Ostrokotni trikotnik	Trikotnik z vsi koti so ostri , ki se imenujejo ostrokotni
	Pravokotni trikotnik	Trikotnik z eden od kotov je pravi , imenovan pravokoten
	Topokotni trikotnik	Trikotnik z eden od kotov je top , ki se imenuje tupa

Ostrokotni trikotnik

definicija: Trikotnik z vsi koti so ostri , ki se imenujejo ostrokotni

Pravokotni trikotnik

definicija: Trikotnik z eden od kotov je pravi , imenovan pravokoten

Topokotni trikotnik

definicija: Trikotnik z eden od kotov je top , ki se imenuje tupa

Odvisno od dolžin stranic Obstajata dve pomembni vrsti trikotnikov.

Tabela 2 – Enakokraki in enakostranični trikotniki

risanje	Vrsta trikotnika	Opredelitev
	Enakokraki trikotnik	straneh, tretja stranica pa se imenuje osnova enakokrakega trikotnika
	Enakostranični (pravilno) trikotnik	Trikotnik, v katerem so vse tri stranice enake, se imenuje enakostranični ali pravilni trikotnik.

Enakokraki trikotnik

definicija: Trikotnik, katerega stranice so enake, se imenuje enakokraki trikotnik. V tem primeru se imenujeta dve enaki strani straneh, tretja stranica pa se imenuje osnova enakokrakega trikotnika

Enakostranični (pravokotni) trikotnik

definicija: Trikotnik, v katerem so vse tri stranice enake, se imenuje enakostranični ali pravilni trikotnik.

Znaki enakosti trikotnikov

Trikotnike imenujemo skladne, če so lahko kombinirate s prekrivanjem .

Tabela 3 prikazuje znaki enakosti trikotnikov.

Tabela 3 – Znaki enakosti trikotnikov

risanje	Ime funkcije	Besedilo atributa
	Avtor: dve stranici in kot med njima
	Preizkus enakovrednosti trikotnikov Avtor: stranica in dva sosednja kota
	Preizkus enakovrednosti trikotnikov Avtor: tri stranke

Znaki enakosti pravokotnih trikotnikov

Naslednja imena se običajno uporabljajo za stranice pravokotnih trikotnikov.

Hipotenuza je stranica pravokotnega trikotnika, ki leži nasproti pravega kota (slika 2), drugi dve strani pa imenujemo noge.

Tabela 4 – Znaki enakosti pravokotnih trikotnikov

risanje	Ime funkcije	Besedilo atributa
	Avtor: dve strani
	Test enakosti pravokotnih trikotnikov Avtor: krak in sosednji ostri kot
	Test enakosti pravokotnih trikotnikov Avtor: krak in nasprotni ostri kot	Če sta krak in nasprotni ostri kot enega pravokotnega trikotnika enaka kraku in nasprotni ostri kot drugega pravokotnega trikotnika, sta takšna pravokotna trikotnika skladna
	Test enakosti pravokotnih trikotnikov Avtor: hipotenuza in ostri kot	Če sta hipotenuza in ostri kot enega pravokotnega trikotnika enaka hipotenuzi in ostremu kotu drugega pravokotnega trikotnika, sta takšna pravokotna trikotnika skladna
	Test enakosti pravokotnih trikotnikov Avtor: noga in hipotenuza	Če sta krak in hipotenuza enega pravokotnega trikotnika enaki kraku in hipotenuzi drugega pravokotnega trikotnika, sta takšna pravokotna trikotnika skladna

Trikotnik je mnogokotnik s tremi stranicami (ali tremi koti). Stranice trikotnika so pogosto označene z malimi črkami, ki ustrezajo velikim črkam, ki predstavljajo nasprotna oglišča.

Ostrokotni trikotnik imenujemo trikotnik, v katerem so vsi trije koti ostri.

Topokotni trikotnik imenujemo trikotnik, v katerem je eden od kotov top.

Pravokotni trikotnik imenujemo trikotnik, v katerem je eden od kotov raven, to je enak 90 °; Stranici a, b, ki tvorita pravi kot, imenujemo noge; stran c nasproti pravemu kotu imenujemo hipotenuza.

Enakokraki trikotnik imenujemo trikotnik, katerega strani sta enaki (a = c); te enake stranice imenujemo stranski, se pokliče tretja oseba osnova trikotnika.

Enakostranični trikotnik imenujemo trikotnik, v katerem so vse stranice enake (a = b = c). Če v trikotniku nobena njegova stranica (abc) ni enaka, potem je to enakostranični trikotnik.

Osnovne lastnosti trikotnikov

V poljubnem trikotniku:

Znaki enakosti trikotnikov

Trikotniki so skladni, če so enaki:

Znaki enakosti pravokotnih trikotnikov

Dva pravokotna trikotnika sta skladna, če je izpolnjen eden od naslednjih pogojev:

Višinatrikotnik je navpičnica, spuščena iz poljubnega oglišča na nasprotno stran (ali njeno nadaljevanje). Ta stran se imenuje osnova trikotnika. Tri višine trikotnika se vedno sekajo v eni točki, imenovani ortocenter trikotnika.

Ortocenter ostrega trikotnika se nahaja znotraj trikotnika, ortocenter tupokotnega trikotnika pa zunaj; Ortocenter pravokotnega trikotnika sovpada z vrhom pravega kota.

Mediana je odsek, ki povezuje poljubno oglišče trikotnika s sredino nasprotne stranice. Tri mediane trikotnika se sekajo v eni točki, ki vedno leži znotraj trikotnika in je njegovo težišče. Ta točka deli vsako mediano v razmerju 2:1, šteto od vrha.

Simetrala- to je simetrala kota od vrha do presečišča z nasprotno stranjo. Tri simetrale trikotnika se sekajo v eni točki, ki vedno leži znotraj trikotnika in je središče včrtane krožnice. Simetrala deli nasprotno stranico na dele, ki so sorazmerni s sosednjimi stranicami.

Srednja pravokotna je navpičnica, potegnjena iz sredine odseka (stranice). Tri sredinske navpičnice trikotnika se sekajo v eni točki, ki je središče opisanega kroga.

V ostrokotnem trikotniku ta točka leži znotraj trikotnika, v tupokotnem trikotniku zunaj, v pravokotnem trikotniku pa na sredini hipotenuze. Ortocenter, težišče, središče opisanega kroga in središče včrtanega kroga sovpadajo samo v enakostraničnem trikotniku.

Pitagorov izrek

V pravokotnem trikotniku je kvadrat dolžine hipotenuze enak vsoti kvadratov dolžin katet.

Dokaz Pitagorovega izreka

Konstruirajmo kvadrat AKMB s hipotenuzo AB kot stranico. Nato podaljšamo stranice pravokotnega trikotnika ABC, da dobimo kvadrat CDEF s stranico a + b. Zdaj je jasno, da je površina kvadrata CDEF enaka (a + b) 2. Po drugi strani pa je ta površina enaka vsoti ploščin štirih pravokotnih trikotnikov in kvadrata AKMB, tj. ,

c 2 + 4 (ab / 2) = c 2 + 2 ab,

c 2 + 2 ab = (a + b) 2,

in končno imamo:

c 2 = a 2 + b 2 .

Razmerje stranic v poljubnem trikotniku

V splošnem primeru (za poljuben trikotnik) imamo:

c 2 = a 2 + b 2 - 2 ab * cos C,

kjer je C kot med stranicama a in b.

• school-club.ru - katere vrste trikotnikov obstajajo?
• math.ru - vrste trikotnikov;
• raduga.rkc-74.ru - vse o trikotnikih za najmlajše.