Možnosti množenja števil. Nenavadni načini razmnoževanja

MBOU "Šolska šola" Volnoye" okrožje Kharabalinsky, regija Astrakhan

Projekt na temo:

« Nenavadni načini razmnoževanjain jaz»

Delo je zaključil:

Učenci 5. razreda :

Tulesheva Amina,

Sultanov Samat,

Kuyanguzova Rasita.

R vodja projekta:

učiteljica matematike

Fateeva T.V.

Volnoe 201 6 leto .

"Vse je število" Pitagora

Uvod

V 21. stoletju si je nemogoče predstavljati življenje osebe, ki ne računa: to so prodajalci, računovodje in navadni šolarji.

Študij skoraj katerega koli predmeta v šoli zahteva dobro znanje matematike, brez tega pa je nemogoče obvladati te predmete. V matematiki prevladujeta dva elementa - števila in figure s svojo neskončno raznolikostjo lastnosti in dejanj z njimi.

Želeli smo izvedeti več o zgodovini matematičnih operacij. Zdaj, ko se računalniška tehnologija hitro razvija, se veliko ljudi ne želi ukvarjati z mentalno aritmetiko. Zato smo se odločili pokazati ne le, da je sam postopek izvajanja dejanj lahko zanimiv, ampak tudi, da lahko, ko dobro obvladate tehnike hitrega štetja, tekmujete z računalnikom.

Pomen te teme je v tem, da uporaba nestandardnih tehnik pri oblikovanju računalniških spretnosti povečuje zanimanje učencev za matematiko in spodbuja razvoj matematičnih sposobnosti.

Namen dela:

INse naučijo nekaj nestandardnih tehnik množenja in pokažejo, da je zaradi njihove uporabe postopek računanja racionalen in zanimivin za izračun katerega zadostuje miselno računanje ali uporaba svinčnika, peresa in papirja.

Hipoteza:

EČe so naši predniki znali množiti na starodavne načine, potem se lahko po preučevanju literature o tem problemu tega nauči sodobni šolar ali so potrebne neke vrste nadnaravne sposobnosti?

Naloge:

1. Poiščite nenavadne načine za množenje.

2. Naučite se jih uporabljati.

3. Izberi si najbolj zanimive ali lažje od tistih, ki jih ponujajo v šoli, in jih uporabi pri štetju.

4. Nauči sošolce uporabljati novoenačinsmnoženje.

Predmet študija: matematična operacija množenje

Predmet raziskave: metode množenja

Raziskovalne metode:

Metoda iskanja z uporabo znanstvene in izobraževalne literature, interneta;

Raziskovalna metoda pri določanju metod množenja;

Praktična metoda reševanja primerov;

- - anketiranje anketirancev o poznavanju nestandardnih metod množenja.

Zgodovinsko ozadje

Obstajajo ljudje z izrednimi sposobnostmi, ki se lahko kosajo z računalniki v hitrosti miselnih izračunov. Imenujejo se "čudežni števci". In takih ljudi je veliko.

Rečeno je, da je Gaussov oče ob izplačilu svojih delavcev ob koncu tedna dodal plačilo vsakemu dnevnemu zaslužku za nadure. Nekega dne, ko je oče Gauss končal svoje izračune, je 3-letni otrok, ki je spremljal očetove operacije, vzkliknil: »Oče, izračun ni pravilen! To bi moral biti znesek!« Izračune so ponovili in presenečeni smo ugotovili, da je fant navedel pravilen znesek.

V Rusiji je na začetku 20. stoletja s svojimi veščinami blestel »čarovnik izračunov« Roman Semenovič Levitan, znan pod psevdonimom Arrago. Fantove edinstvene sposobnosti so se začele kazati že v zgodnjem otroštvu. V nekaj sekundah je kvadriral in kubiral desetmestna števila ter izluščil korenine različnih stopenj. Zdelo se je, da vse to počne z izjemno lahkoto. Toda ta lahkotnost je bila varljiva in je zahtevala veliko možganskega dela.

Leta 2007 je Mark Cherry, takrat star 2,5 leta, navdušil vso državo s svojimi intelektualnimi sposobnostmi. Mladi udeleženec šova Minute slave je z lahkoto v glavi štel večmestna števila in pri izračunih prehitel svoje starše in žirijo, ki je uporabljala kalkulatorje. Že pri dveh letih je osvojil tabelo kosinusov in sinusov ter nekaj logaritmov.

Na Inštitutu za kibernetiko Ukrajinske akademije znanosti so potekala tekmovanja med računalniki in ljudmi. Tekmovanja se je udeležil mladi kontrafenomen Igor Shelushkov in ZVM "Mir". Stroj je v nekaj sekundah izvedel veliko zapletenih operacij, a zmagovalec je bil Igor Šeluškov.

Univerza v Sydneyju v Indiji je gostila tudi tekmovanje človek-stroj. Pred računalnikom je bila tudi Shakuntala Devi.

Večina teh ljudi ima odličen spomin in talent. Toda nekateri med njimi nimajo posebnih sposobnosti pri matematiki. Poznajo skrivnost! In ta skrivnost je, da so se naučili tehnike hitrega štetja in si zapomnili več posebnih formul. To pomeni, da lahko tudi mi hitro in natančno štejemo s temi tehnikami.

Metode izračuna, ki jih uporabljamo zdaj, niso bile vedno tako preproste in priročne. V starih časih so uporabljali bolj okorne in počasnejše tehnike. In če bi lahko šolar 21. stoletja potoval pet stoletij nazaj, bi naše prednike presenetil s hitrostjo in natančnostjo svojih izračunov. Govorice o njem bi se razširile po okoliških šolah in samostanih, kar bi zasenčilo slavo najbolj izurjenih računalcev tiste dobe, in ljudje bi prihajali od vsepovsod, da bi se učili pri novem velikem mojstru.

Operaciji množenja in deljenja sta bili v starih časih še posebej težavni. Potem ni bilo nobene metode, ki bi jo praksa razvila za vsako dejanje.

Nasprotno, hkrati je bilo v uporabi skoraj ducat različnih metod množenja in deljenja - ena od druge bolj zapletenih tehnik, ki si jih človek s povprečnimi sposobnostmi ni mogel zapomniti. Vsak učitelj štetja se je držal svoje najljubše tehnike, vsak »mojster deljenja« (bilo je takih strokovnjakov) je pohvalil svoj način izvajanja tega dejanja.

V knjigi V. Bellustina »Kako so ljudje postopoma dosegli pravo aritmetiko« je orisanih 27 metod množenja in avtor ugotavlja: »zelo možno je, da se v vdolbinah knjižnih shramb skrivajo še druge metode, raztresene po številnih, predvsem ročno napisanih zbirke."

In vse te metode množenja - "šah ali orgle", "zlaganje", "križ", "mreža", "zadaj spredaj", "diamant" in druge so tekmovale med seboj in so se jih naučili z velikimi težavami.

Oglejmo si najbolj zanimive in preproste načine množenja.

Stara ruska metoda množenja na prste

To je ena najpogosteje uporabljenih metod, ki jo ruski trgovci uspešno uporabljajo že več stoletij.

Princip te metode: množenje enomestnih števil od 6 do 9 na prstih. Prsti so tukaj služili kot pomožna računalniška naprava.

Da bi to naredili, so na eni roki iztegnili toliko prstov, kolikor prvi faktor presega številko 5, na drugi pa so storili enako za drugi faktor. Preostali prsti so bili upognjeni. Nato smo vzeli število (skupaj) iztegnjenih prstov in jih pomnožili z 10, nato smo številke pomnožili, koliko prstov je bilo upognjenih, in rezultate sešteli.

Na primer, pomnožimo 7 z 8. V obravnavanem primeru bosta upognjena 2 in 3 prsta. Če seštejete število upognjenih prstov (2+3=5) in pomnožite število neupognjenih (2 3=6), dobite števili desetic oziroma enot želenega produkta 56. Tako lahko izračunate produkt katerega koli enomestnega števila, večjega od 5.

Množenje za številko 9 je zelo enostavno reproducirati "na prste"

Razvezdetisteprste na obeh rokah in roke obrnite tako, da so dlani obrnjene stran od vas. Svojim prstom v mislih dodelite številke od 1 do 10, začnite z mezincem leve roke in končajte z mezincem desne roke. Recimo, da želimo pomnožiti 9 s 6. Prst upognemo s številom, ki je enako številu, s katerim bomo pomnožili devet. V našem primeru moramo upogniti prst s številko 6. Število prstov na levi strani upognjenega prsta nam pokaže število desetic v odgovoru, število prstov na desni pa število enot. Na levi imamo 5 prstov, ki niso upognjeni, na desni - 4 prste. Tako je 9·6=54.

Množenje z 9 z uporabo celic v zvezku

Vzemimo za primer 10 celic v zvezku. Prečrtaj 8. polje. Na levi je še 7 celic, na desni 2 celici. Torej 9·8=72. Zelo preprosto je!

7 2

Metoda množenja "Mali grad"

Prednost metode množenja "Little Castle" je v tem, da so najpomembnejše števke določene od samega začetka, kar je lahko pomembno, če morate hitro oceniti vrednost.Številke zgornje številke, začenši z najpomembnejšo števko, se pomnožijo z nižjo številko in zapišejo v stolpec z dodanim zahtevanim številom ničel. Rezultati se nato seštejejo.

"Mreža množenje"

Najprej se nariše pravokotnik, razdeljen na kvadratke, dimenzije stranic pravokotnika pa ustrezajo številu decimalnih mest množitelja in množitelja.

Nato so kvadratne celice razdeljene diagonalno in »... dobite sliko, ki je videti kot rešetkasta polkna.. Takšna polkna so obešali na okna beneških hiš ...«

"Ruski kmečki način"

V Rusiji je bila med kmeti običajna metoda, ki ni zahtevala poznavanja celotne tabele množenja. Vse kar potrebujete je sposobnost množenja in deljenja števil z 2.

V eno vrstico zapišimo eno številko na levi in drugo na desni. Levo število bomo delili z 2, desno pa pomnožili z 2 in rezultate zapisali v stolpec.

Če med deljenjem nastane ostanek, se zavrže. Množenje in deljenje z 2 se nadaljuje, dokler na levi ne ostane 1.

Nato prečrtamo tiste vrstice iz stolpca, v katerih so na levi strani soda števila. Zdaj seštejte preostala števila v desnem stolpcu.

Ta metoda množenja je veliko preprostejša od prej obravnavanih metod množenja. Je pa tudi zelo zajeten.

"Množenje s križcem"

Stari Grki in Hindujci so v starih časih tehniko križnega množenja imenovali »metoda strele« ali »množenje s križem«.

24 in 32

2 4

3 2

4x2=8 - zadnja številka rezultata;

2x2=4; 4x3=12; 4+12=16 ; 6 je predzadnja številka rezultata, zapomnite si enoto;

2x3=6 in tudi število, ki ga imamo v mislih, imamo 7 - to je prva številka rezultata.

Dobimo vse številke izdelka: 7,6,8. odgovor:768.

Indijski način množenja

546 7

5 7=35 35

350+ 4 7=378 378

3780 + 6 7=3822 3822

546 7= 3822

Osnova te metode je ideja, da ista številka predstavlja enote, desetice, stotine ali tisočice, odvisno od tega, kje je številka. Zasedeni prostor, v odsotnosti števk, je določen z ničlami, dodeljenimi številkam.

UMnoženje začnemo od najvišje števke, nepopolne zmnožke pa zapišemo tik nad množenikom po koščkih. V tem primeru je najpomembnejša številka celotnega izdelka takoj vidna, poleg tega pa so odpravljene manjkajoče števke. Znak za množenje še ni bil poznan, zato je bila med faktorjema majhna razdalja

Kitajski (risarski) način množenja

Primer št. 1: 12 × 321 = 3852
Narišimoprva številka od zgoraj navzdol, od leve proti desni: ena zelena paličica (1 ); dve pomarančni palčki (2 ). 12 narisal
Narišimodruga številka od spodaj navzgor, od leve proti desni: tri majhne modre palčke (3 ); dve rdeči (2 ); ena lila ena (1 ). 321 narisal

Zdaj pa se sprehodimo po risbi s preprostim svinčnikom, razdelimo presečišča števil palic na dele in začnemo šteti točke. Premik od desne proti levi (v smeri urinega kazalca):2 , 5 , 8 , 3 . Številka rezultata bomo "zbrali" od leve proti desni (v nasprotni smeri urinega kazalca), kar smo dobili3852

Primer št. 2: 24 × 34 = 816
V tem primeru so nianse;-) Pri štetju točk v prvem delu se je izkazalo16 . Enega pošljemo in dodamo točkam drugega dela (20 + 1 )…

Primer št. 3: 215 × 741 = 159315

Med delom na projektu smo izvedli anketo. Dijaki so odgovarjali na naslednja vprašanja.

1. Ali sodobni človek potrebuje mentalno aritmetiko??

jašt

2. Ali poznate druge načine množenja poleg dolgega množenja?

jašt

3. Ali jih uporabljate??

jašt

4. Bi radi izvedeli še druge načine množenja??

res ne

Anketirali smo učence od 5. do 10. razreda.

Ta raziskava je pokazala, da sodobni šolarji ne poznajo drugih načinov izvajanja dejanj, saj se redko obračajo na gradivo izven šolskega kurikuluma.

Zaključek:

V zgodovini matematike je veliko zanimivih dogodkov in odkritij, žal pa vse te informacije ne pridejo do nas, sodobnih študentov.

S tem delom smo želeli to vrzel vsaj malo zapolniti in vrstnikom posredovati informacije o starodavnih metodah množenja.

Pri robotu smo spoznavali nastanek dejanja množenja. V starih časih ni bila lahka naloga obvladati to dejanje, tako kot danes še ni bilo ene tehnike, ki bi jo razvila praksa. Nasprotno, hkrati je bilo v uporabi skoraj ducat različnih metod množenja - metod ena bolj zapletena od druge, trdne, ki si jih povprečno sposoben človek ni mogel zapomniti. Vsak učitelj štetja se je držal svoje najljubše tehnike, vsak "mojster" (bilo je takih strokovnjakov) je pohvalil svoj način izvajanja tega dejanja. Ugotovljeno je bilo celo, da za obvladovanje umetnosti hitrega in natančnega množenja večmestnih števil potrebujete poseben naravni talent, izjemne sposobnosti; Ta modrost je navadnim ljudem nedostopna.

Z našim delom smo dokazali, da je naša hipoteza pravilna; ni treba imeti nadnaravnih sposobnosti, da bi lahko uporabljali starodavne metode množenja. Naučili smo se tudi izbrati snov, jo obdelati, torej izpostaviti glavno in sistematizirati.

Ko smo se naučili šteti na vse predstavljene načine, smo prišli do zaključka, da so najpreprostejše metode tiste, ki se jih učimo v šoli ali pa smo jih le vajeni.

Sodobna metoda množenja je preprosta in dostopna vsakomur.

Vendar menimo, da naša metoda množenja s stolpci ni popolna in da lahko pridemo do še hitrejših in zanesljivejših metod.

Mogoče je, da marsikdo ne bo mogel na hitro, na kraju samem, prvič opraviti teh ali drugačnih izračunov.

Brez težav. Potrebno je stalno računalniško usposabljanje. Pomagal vam bo pridobiti koristne mentalne aritmetične veščine!

Reference

1. Glazer, G. I. Zgodovina matematike v šoli ⁄ G. I. Glazer ⁄⁄ Zgodovina matematike v šoli: priročnik za učitelje ⁄ uredil V. N. Molodshy. – M.: Izobraževanje, 1964. – Str. 376.

Perelman Ya. I. Zabavna aritmetika: Uganke in čudeži v svetu številk. – M.: Založba Rusanova, 1994. – Str. 142.

Enciklopedija za otroke. T. 11. Matematika / Pogl. izd. M. D. Aksenova. – M.: Avata+, 2003. – Str. 130.

Revija "Matematika" št. 15 2011

Internetni viri.

Indijski način množenja

Najdragocenejši prispevek v zakladnico matematičnega znanja je bil narejen v Indiji. Hindujci so predlagali metodo, ki jo uporabljamo za pisanje števil z uporabo desetih znakov: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0.

Indijci so bili odlični v štetju. Iznašli so zelo preprost način za množenje. Izvajali so množenje, začenši z najpomembnejšo števko, nepopolne zmnožke pa zapisovali tik nad množenikom, po bitih. V tem primeru je bila takoj vidna najpomembnejša številka celotnega izdelka, poleg tega pa je bila odpravljena izpustitev katere koli številke. Znaka za množenje še niso poznali, zato so med faktorjema pustili majhno razdaljo. Na primer, pomnožimo jih z uporabo metode 537 s 6:

Množenje po metodi “MALI GRAD”.

Množenje števil se zdaj uči v prvem razredu šole. Toda v srednjem veku je le malo ljudi obvladalo umetnost množenja. Bil je redkokateri aristokrat, ki se je lahko pohvalil s poznavanjem množilne tabele, tudi če je diplomiral na evropski univerzi.

V tisočletjih razvoja matematike je bilo izumljenih veliko načinov množenja števil. Italijanski matematik Luca Pacioli v svoji razpravi »Vsota aritmetike, razmerij in sorazmernosti« (1494) navaja osem različnih metod množenja. Prvi od njih se imenuje "Mali grad", drugi pa nič manj romantično imenovan "Ljubosumje ali množenje rešetk".

Prednost metode množenja "Little Castle" je v tem, da so najpomembnejše števke določene od samega začetka, kar je lahko pomembno, če morate hitro oceniti vrednost.

Števke zgornje številke, začenši z najpomembnejšo števko, se pomnožijo z nižjo številko in zapišejo v stolpec z dodanim zahtevanim številom ničel. Rezultati se nato seštejejo.

Mestna izobraževalna ustanova "Kurovskaya srednja šola št. 6"

POVZETEK O MATEMATIKI NA TEMO:

« NEOBIČAJNI NAČINI MNOŽENJA».

Izpolnil učenec 6. "b" razreda

Krestnikov Vasilij.

Nadzornik:

Smirnova Tatjana Vladimirovna.

Uvod…………………………………………………………………………2

Glavni del. Nenavadni načini množenja…………………………3

2.1. Malo zgodovine………………………………………………………………..3

2.2. Množenje na prste…………………………………………………………4

2.3. Množenje z 9……………………………………………………………………………………5

2.4. Indijski način množenja…………………………………………….6

2.5. Množenje z metodo "majhnega gradu"…………………………………7

2.6. Množenje z metodo »ljubosumja«…………………………………………………………8

2.7. Kmečki način množenja……………………………………………..9

2.8 Nov način…………………………………………………………………………………..10

Zaključek……………………………………………………………………………………11

Reference……………………………………………………………….1 2

jaz. Uvod.

Človek v vsakdanjem življenju ne more brez izračunov. Zato nas pri pouku matematike najprej učijo izvajati operacije s števili, torej šteti. Množimo, delimo, seštevamo in odštevamo na običajne načine, ki se jih učijo v šoli.

Nekega dne sem po naključju naletel na knjigo S. N. Olekhnika, Yu V. Nesterenka in M. K. Potapova "Stare zabavne težave." Ko sem listal po tej knjigi, je mojo pozornost pritegnila stran z naslovom »Množenje na prste«. Izkazalo se je, da lahko množite ne le tako, kot nam je predlagano v učbenikih matematike. Zanima me, ali obstajajo še kakšne druge metode izračuna. Navsezadnje je sposobnost hitrega izvajanja izračunov odkrito presenetljiva.

Nenehna uporaba sodobne računalniške tehnologije vodi do tega, da učenci težko računajo, ne da bi imeli na voljo tabele ali računski stroj. Poznavanje poenostavljenih računskih tehnik omogoča ne le hitro izvajanje preprostih izračunov v mislih, temveč tudi nadzor, vrednotenje, iskanje in popravljanje napak, ki so posledica mehaniziranih izračunov. Poleg tega obvladovanje računalniških veščin razvija spomin, povečuje raven matematične kulture mišljenja in pomaga v celoti obvladati predmete fizičnega in matematičnega cikla.

Namen dela:

Prikaži nenavadnometode množenja.

Naloge:

Najdi jih čim večnenavadne metode izračuna.

Naučite se jih uporabljati.

Sebi izberite najzanimivejša ali lažja od tistih, kiso na voljov šoli in jih uporabite pri štetju.

II. Glavni del. Nenavadni načini množenja.

2.1. Malo zgodovine.

Operaciji množenja in deljenja sta bili v starih časih še posebej težavni. Potem ni bilo nobene metode, ki bi jo praksa razvila za vsako dejanje. Nasprotno, hkrati je bilo v uporabi skoraj ducat različnih metod množenja in deljenja - tehnik, ena bolj zapletenih od druge, ki si jih povprečno sposoben človek ni mogel zapomniti. Vsak učitelj štetja se je držal svoje najljubše tehnike, vsak »mojster deljenja« (bilo je takih strokovnjakov) je pohvalil svoj način izvajanja tega dejanja.

In vse te metode množenja - "šah ali orgle", "zlaganje", "križ", "mreža", "zadaj spredaj", "diamant" in druge so tekmovale med seboj in so se jih naučili z velikimi težavami.

Oglejmo si najbolj zanimive in preproste načine množenja.

2.2. Množenje na prste.

Staroruska metoda množenja na prste je ena najpogosteje uporabljenih metod, ki so jo že več stoletij uspešno uporabljali ruski trgovci. Naučili so se množiti enomestna števila od 6 do 9 na prste. V tem primeru je bilo dovolj, da so imeli osnovne veščine prstnega štetja v »enotah«, »parih«, »trojkah«, »štiricah« in »peticah«. "desetke". Prsti so tukaj služili kot pomožna računalniška naprava.

2.3. Pomnoži z 9.

Množenje števila 9– 9·1, 9·2 ... 9·10 – je lažje pozabiti iz spomina in težje preračunati ročno z metodo seštevanja, vendar se posebej za število 9 množenje zlahka reproducira »na prste«. Razširite prste na obeh rokah in obrnite dlani tako, da so dlani obrnjene stran od vas. Svojim prstom v mislih dodelite številke od 1 do 10, začnite z mezincem leve roke in končajte z mezincem desne roke (to je prikazano na sliki).

Recimo, da želimo pomnožiti 9 s 6. Prst upognemo s številom, ki je enako številu, s katerim bomo pomnožili devet. V našem primeru moramo upogniti prst s številko 6. Število prstov na levi strani upognjenega prsta nam pokaže število desetic v odgovoru, število prstov na desni pa število enot. Na levi imamo 5 neupognjenih prstov, na desni pa 4 prste. Tako je 9·6=54. Spodnja slika podrobno prikazuje celotno načelo "izračunavanja".

Drug primer: izračunati morate 9·8=?. Spotoma povejmo, da prsti ne morejo nujno delovati kot »računski stroj«. Vzemimo za primer 10 celic v zvezku. Prečrtaj 8. polje. Na levi je še 7 celic, na desni 2 celici. Torej 9·8=72. Je zelo preprosto.

7 celic 2 celici.

2.4. Indijski način množenja.

(5 ∙ 6 =30) 30

(300 + 3 ∙ 6 = 318) 318

(3180 +7 ∙ 6 = 3222) 3222

2.5 . Način množenja"MALI GRAD".

V tisočletjih razvoja matematike je bilo izumljenih veliko načinov množenja števil. Italijanski matematik Luca Pacioli v svoji razpravi »Vsota aritmetike, razmerij in sorazmernosti« (1494) podaja osem različnih metod množenja. Prvi od njih se imenuje "Mali grad", drugi pa nič manj romantično imenovan "Ljubosumje ali množenje rešetk".

Prednost metode množenja "Little Castle" je v tem, da so najpomembnejše števke določene od samega začetka, kar je lahko pomembno, če morate hitro oceniti vrednost.

Števke zgornje številke, začenši z najpomembnejšo števko, se pomnožijo z nižjo številko in zapišejo v stolpec z dodanim zahtevanim številom ničel. Rezultati se nato seštejejo.

2.6. Množenje številz uporabo metode "ljubosumja".

Druga metoda ima romantično ime "ljubosumje" ali "množenje rešetk".

Najprej se nariše pravokotnik, razdeljen na kvadratke, dimenzije stranic pravokotnika pa ustrezajo številu decimalnih mest množitelja in množitelja. Nato so kvadratne celice razdeljene diagonalno in "... rezultat je slika, podobna rešetkastim polknom," piše Pacioli. "Takšne polkna so obesili na okna beneških hiš in preprečili, da bi mimoidoči na ulicah videli gospe in nune, ki so sedele na oknih."

Tako pomnožimo 347 z 29. Narišimo tabelo, nad njo zapišimo številko 347, desno pa številko 29.

V vsako vrstico bomo nad to celico in desno od nje zapisali zmnožek števil, nad poševnico pa desetico zmnožka, pod njo pa enoto. Sedaj dodajamo številke v vsakem poševnem traku in izvajamo to operacijo od desne proti levi. Če je znesek manjši od 10, ga zapišemo pod spodnjo številko traku. Če se izkaže, da je večja od 10, potem zapišemo samo števko enot vsote, desetico pa dodamo naslednji vsoti. Kot rezultat dobimo želeni izdelek 10063.

2.7. TOkmečki način množenja.

Najbolj »domači« in najlažji način množenja je po mojem mnenju metoda, ki jo uporabljajo ruski kmetje. Ta tehnika sploh ne zahteva poznavanja tabele množenja, razen števila 2. Njeno bistvo je, da se množenje katerih koli dveh števil zmanjša na niz zaporednih delitev enega števila na pol ob hkratnem podvajanju drugega števila. Deljenje na pol se nadaljuje, dokler količnik ne doseže 1, medtem ko se drugo število istočasno podvoji. Zadnje podvojeno število daje želeni rezultat.

Če je število liho, odstranite eno in preostanek razdelite na pol; toda zadnji številki desnega stolpca boste morali prišteti vse tiste številke tega stolpca, ki stojijo nasproti lihih številk levega stolpca: vsota bo želeni produkt

Produkt vseh parov ustreznih števil je enak, torej

37 ∙ 32 = 1184 ∙ 1 = 1184

V primeru, da je eno od števil liho ali sta obe števili lihi, postopajte takole:

384 ∙ 1 = 384

24 ∙ 17 = 24∙(16+1)=24 ∙ 16 + 24 = 384 + 24 = 408

2.8 . Nov način razmnoževanja.

zanimivo nova metoda množenja, o kateri so nedavno poročali. Izumitelj novega sistema miselnega štetja, kandidat filozofije Vasilij Okonešnikov, trdi, da si je človek sposoben zapomniti ogromno informacij, glavna stvar je, kako te informacije urediti. Po mnenju samega znanstvenika je najbolj ugoden v tem pogledu devetkratni sistem - vsi podatki so preprosto postavljeni v devet celic, ki se nahajajo kot gumbi na kalkulatorju.

S takšno tabelo je zelo enostavno izračunati. Na primer, pomnožimo število 15647 s 5. V delu tabele, ki ustreza številki pet, izberite številke, ki ustrezajo števkam števila po vrstnem redu: ena, pet, šest, štiri in sedem. Dobimo: 05 25 30 20 35

Levo števko (v našem primeru nič) pustimo nespremenjeno in seštejemo naslednja števila v parih: pet z dvojko, pet s trojko, nič z dvojko, nič s trojko. Tudi zadnja številka je nespremenjena.

Kot rezultat dobimo: 078235. Število 78235 je rezultat množenja.

Če pri seštevanju dveh števk dobimo številko, večjo od devet, se njena prva številka doda prejšnji števki rezultata, druga pa se zapiše na "svojem" mestu.

III. Zaključek.

Od vseh nenavadnih metod štetja, ki sem jih našel, se je zdela bolj zanimiva metoda »množenja z mrežo ali ljubosumje«. Pokazala sem jo sošolcem in tudi njim je bila zelo všeč.

Najenostavnejša metoda se mi je zdela »podvojitev in delitev«, ki so jo uporabljali ruski kmetje. Uporabljam ga pri množenju ne prevelikih števil (zelo priročno ga je uporabljati pri množenju dvomestnih števil).

Nova metoda množenja me je zanimala, saj mi omogoča, da v mislih »premetavam« ogromna števila.

Mislim, da naša metoda množenja s stolpci ni popolna in da lahko pridemo do še hitrejših in zanesljivejših metod.

Literatura.

Depman I. "Zgodbe o matematiki." – Leningrad: Izobraževanje, 1954. – 140 str.

Korneev A.A. Fenomen ruskega množenja. Zgodba. http://numbernautics.ru/

Olehnik S. N., Nesterenko Yu., Potapov M. K. “Stari zabavni problemi.” – M.: Znanost. Glavna redakcija fizikalne in matematične literature, 1985. – 160 str.

Perelman Ya.I. Hitro štetje. Trideset preprostih mentalnih tehnik štetja. L., 1941 - 12 str.

Perelman Ya.I. Zanimiva aritmetika. M. Rusanova, 1994–205 str.

Enciklopedija »Raziskujem svet. matematika". – M.: Astrel Ermak, 2004.

Enciklopedija za otroke. "Matematika". – M.: Avanta +, 2003. – 688 str.

Svet matematike je zelo velik, vendar so me vedno zanimale metode množenja. Med delom na tej temi sem izvedel veliko zanimivih stvari in se naučil iz prebranega izbrati gradivo, ki ga potrebujem. Naučila sem se na različne načine reševati določene zabavne naloge, uganke in primere množenja ter na čem temeljijo aritmetični triki in intenzivne tehnike računanja.

O MNOŽENJU

Kaj večini ljudi ostane v mislih od tistega, kar so nekoč učili v šoli? Seveda je za različne ljudi drugače, a verjetno ima vsak tabelo množenja. Poleg truda, ki smo ga vložili, da bi ga "izvrtali", se spomnimo na stotine (če ne na tisoče) težav, ki smo jih rešili z njegovo pomočjo. Pred tristo leti je v Angliji človek, ki je poznal tabelo množenja, že veljal za učenega človeka.

Izumili so številne metode množenja. Italijanski matematik poznega 15. - zgodnjega 16. stoletja, Luca Pacioli, v svoji razpravi o aritmetiki podaja 8 različnih metod množenja. V prvem, ki se imenuje "mali grad", se števke zgornje številke, začenši z najvišjo, pomnožijo z nižjo številko in zapišejo v stolpec z dodanim zahtevanim številom ničel. Rezultati se nato seštejejo. Prednost te metode pred običajno je v tem, da so številke najpomembnejših števk določene že od samega začetka, kar je lahko pomembno pri grobih izračunih.

Druga metoda ima nič manj romantično ime "ljubosumje" (ali mrežno množenje). Izriše se mreža, v katero se nato vnesejo rezultati vmesnih izračunov, natančneje števila iz tabele množenja. Mreža je pravokotnik, razdeljen na kvadratne celice, te pa so razdeljene na pol z diagonalami. Prvi faktor je bil napisan na levi strani (od zgoraj navzdol), drugi pa na vrhu. Na presečišču ustrezne vrstice in stolpca je bil zapisan zmnožek števil v njih. Nato so nastala števila sešteli vzdolž narisanih diagonal in rezultat zapisali na koncu takšnega stolpca. Rezultat je bil prebran na spodnji in desni strani pravokotnika. "Takšna rešetka," piše Luca Pacioli, "spominja na rešetkasta polkna, ki so bila obešena na beneških oknih in so mimoidočim preprečila, da bi videli gospe in nune, ki so sedele na oknih."

Vse metode množenja, opisane v knjigi Luce Paciolija, so uporabljale množilno tabelo. Vendar so ruski kmetje znali množiti brez tabele. Njihova metoda množenja je uporabljala le množenje in deljenje z 2. Za množenje dveh števil sta ju zapisali drugo ob drugem, nato pa levo število delili z 2, desno pa pomnožili z 2. Če je rezultat deljenja ostanek, je bilo zavrženo. Nato so bile tiste vrstice v levem stolpcu, ki vsebujejo soda števila, prečrtane. Preostale številke v desnem stolpcu so bile seštete. Rezultat je bil produkt prvotnih števil. Preverite na več parih številk, ali je temu res tako. Dokaz o veljavnosti te metode je prikazan z uporabo binarnega številskega sistema.

Starodavna ruska metoda množenja.

Rusi so od antičnih časov in skoraj do osemnajstega stoletja računali brez množenja in deljenja: uporabljali so samo dve aritmetični operaciji - seštevanje in odštevanje ter tako imenovano "podvojitev" in "bifurkacijo". Bistvo starodavne ruske metode množenja je, da se množenje katerih koli dveh števil zmanjša na niz zaporednih delitev enega števila na polovico (zaporedno, bifurkacijsko) ob hkratnem podvajanju drugega števila. Če se v produktu, na primer 24 X 5, množitelj zmanjša za 2-krat (»double«), množitelj pa se poveča za 2-krat.

("dvojno"), potem se produkt ne bo spremenil: 24 x 5 = 12 X 10 = 120. primer:

Deljenje množitelja na pol se nadaljuje, dokler se količnik ne izkaže za 1, medtem ko se množitelj podvoji. Zadnje podvojeno število daje želeni rezultat. Torej 32 X 17 = 1 X 544 = 544.

V tistih starih časih so podvojitev in bifurkacijo celo jemali kot posebne aritmetične operacije. Kako posebni so. dejanja? Konec koncev, na primer, podvojitev števila ni posebno dejanje, ampak samo dodajanje danega števila samemu sebi.

Upoštevajte, da so števila ves čas deljiva z 2 brez ostanka. Kaj pa, če je množitelj deljiv z 2 z ostankom? primer:

Če množitelj ni deljiv z 2, se od njega najprej odšteje ena, nato pa deli z 2. Vrstice s sodimi množniki prečrtamo, desni deli vrstic z lihimi množniki pa dodamo.

21 X 17 = (20 + 1) X 17 = 20 X 17 + 17.

Zapomnimo si številko 17 (prva vrstica ni prečrtana!) in zmnožek 20 X 17 nadomestimo z enakim zmnožkom 10 X 34. Zmnožek 10 X 34 pa lahko nadomestimo z enakim zmnožkom 5. X 68; zato je druga vrstica prečrtana:

5 X 68 = (4 + 1) X 68 = 4 X 68 + 68.

Zapomnimo si številko 68 (tretja vrstica ni prečrtana!) in zmnožek 4 X 68 nadomestimo z enakim zmnožkom 2 X 136. Toda zmnožek 2 X 136 lahko nadomestimo z enakim zmnožkom 1 X 272; zato je četrta vrstica prečrtana. To pomeni, da morate za izračun produkta 21 X 17 sešteti števila 17, 68, 272 – desne strani črt z lihimi množitelji. Zmnožke s sodimi množniki lahko vedno nadomestimo s podvojitvijo množenika in podvojitvijo faktorja z enakimi zmnožki; zato so takšne vrstice izključene iz izračuna končnega produkta.

Poskušal sem se množiti na staromoden način. Vzel sem številki 39 in 247 in dobil sem tole:

Stolpci se bodo izkazali za celo daljše od mojih, če vzamemo množitelj več kot 39. Potem sem se odločil, isti primer na sodoben način:

Izkazalo se je, da je naša šolska metoda množenja števil veliko enostavnejša in varčnejša od stare ruske metode!

Samo mi moramo poznati najprej tabelo množenja, vendar je naši predniki niso poznali. Poleg tega moramo dobro poznati tudi samo pravilo množenja, vendar so znali le podvojiti in podvojiti števila. Kot lahko vidite, lahko množite veliko bolje in hitreje kot najslavnejši kalkulator v stari Rusiji. Mimogrede, pred nekaj tisoč leti so Egipčani izvajali množenje skoraj na enak način kot Rusi v starih časih.

Super je, da so se ljudje iz različnih držav množili na enak način.

Ne tako dolgo nazaj, pred slabimi sto leti, je bilo učenje množilne tabele za učence zelo težko. Avtorji matematičnih knjig se že dolgo zatekajo k temu, da bi študente prepričali o potrebi po znanju tabel na pamet. do poezije.

Tukaj je nekaj vrstic iz knjige, ki nam ni znana: »Toda za množenje morate imeti naslednjo tabelo, le imejte jo trdno v spominu, tako da vsako število, pomnoženo z njo, brez zadržkov v govoru reče oz. napiši, tudi 2 krat 2 je 4 ali 2 krat 3 je 6 in 3 krat 3 je 9 in tako naprej.”

Če kdo ne ponavlja tabele in je ponosen v vsej znanosti, ni brez muke,

Koliko ne more vedeti, ne da bi ga poučili s številkami, da ga bo množenje Tune potrlo

Res je, v tem odlomku in verzih ni vse jasno: nekako ni napisano čisto v ruščini, kajti vse to je pred več kot 250 leti, leta 1703, napisal Leontij Filipovič Magnitski, čudoviti ruski učitelj, in od takrat je ruščina jezik se je opazno spremenil.

L. F. Magnitsky je napisal in izdal prvi tiskani učbenik aritmetike v Rusiji; pred njim so bile le rokopisne matematične knjige. Veliki ruski znanstvenik M. V. Lomonosov, kot tudi mnogi drugi ugledni ruski znanstveniki 18. stoletja, so študirali iz "Aritmetike" L. F. Magnitskega.

Kako so se množili v tistih časih, v času Lomonosova? Poglejmo primer.

Kot razumemo, je bilo dejanje množenja takrat zapisano skoraj enako kot v našem času. Samo množitelj je bil imenovan »količina«, produkt pa »zmnožek« in poleg tega ni bil napisan znak za množenje.

Kako so takrat razložili množenje?

Znano je, da je M.V. Lomonosov znal na pamet celotno "Aritmetiko" Magnitskega. V skladu s tem učbenikom bi mali Miša Lomonosov razlagal množenje 48 z 8 takole: »8 krat 8 je 64, pod črto pišem 4 proti 8 in imam v mislih 6 decimalk. In potem je 8 krat 4 32, v mislih pa imam 3 in k 2 bom dodal 6 decimalk in bo 8. In to 8 bom napisal poleg 4, v vrstici na svojo levo roko in medtem ko je 3 v mojih mislih, bom pisal v vrsti blizu 8, na levi strani. In iz množenja 48 z 8 bo produkt 384.«

Da, in to razlagamo skoraj enako, le da govorimo moderno, ne starodavno, poleg tega pa kategorije poimenujemo. Na primer, 3 bi bilo treba napisati na tretjem mestu, ker bo to stotica, in ne samo "v vrsti poleg 8, na levi strani."

Zgodba "Maša je čarovnik."

"Lahko ugibam ne samo rojstni dan, kot je prejšnjič naredil Pavlik, ampak tudi leto rojstva," je začela Maša.

Število meseca, v katerem ste bili rojeni, pomnožite s 100 in dodajte svoj rojstni dan. , pomnožite rezultat z 2. , dobljenemu številu dodajte 2; rezultat pomnožite s 5, dobljenemu številu dodajte 1, rezultatu dodajte nič. , dobljenemu številu dodajte še 1 in na koncu dodajte še število svojih let.

Končano, imam 20721. - rečem.

* Pravilno,« sem potrdil.

In dobil sem 81321,« pravi Vitya, učenec tretjega razreda.

"Vi, Maša, ste se verjetno zmotili," je podvomila Petja. - Kako se to zgodi: Vitya je iz tretjega razreda in je bil tudi rojen leta 1949, kot Sasha.

Ne, Maša je pravilno uganila,« potrdi Vitya. Samo jaz sem bil eno leto dolgo bolan in sem zato dvakrat hodil v drugi razred.

* In dobil sem 111521,« poroča Pavlik.

Kako je to mogoče, se sprašuje Vasya, Pavlik je prav tako star 10 let, kot Sasha, in je rojen leta 1948. Zakaj ne leta 1949?

Ker pa je zdaj september, Pavlik pa se je rodil novembra, pa je star šele 10 let, čeprav je rojen leta 1948,« je pojasnila Maša.

Uganila je rojstne datume treh ali štirih drugih študentov in nato razložila, kako ji je to uspelo. Izkazalo se je, da od zadnjega števila odšteje 111, nato pa ostanek doda trem stranem od desne proti levi, vsaki dve števki. Srednji dve številki označujeta rojstni dan, prvi dve ali ena - mesec, zadnji dve števki pa število let. Če vemo, koliko je oseba stara, ni težko določiti leta rojstva. Dobil sem na primer številko 20721. Če od tega odštejete 111, dobite 20610. To pomeni, da sem zdaj star 10 let in sem rojen 6. februarja. Ker je zdaj september 1959, to pomeni, da sem rojen leta 1949.

Zakaj morate odšteti 111 in ne kakšne druge številke? - smo vprašali. -In zakaj so rojstni dan, številka meseca in število let razporejeni točno tako?

Ampak poglej,« je pojasnila Maša. - Na primer, Pavlik je izpolnjeval moje zahteve rešil naslednje primere:

1) 11 X 100 = 1100; 2) 1100 + J4 = 1114; 3) 1114 X 2 =

2228; 4) 2228 + 2 = 2230; 57 2230 X 5 = 11150; 6) 11150 1 = 11151; 7) 11151 X 10 = 111510

8)111510 1 1-111511; 9)111511 + 10=111521.

Kot vidite, je številko meseca (11) pomnožil s 100, nato z 2, nato še s 5 in na koncu še z 10 (dodal je vrečo), skupaj pa 100 X 2 X 5 X 10, to je z 10.000. To pomeni, da je 11 postalo desettisoč, kar pomeni, da sestavljajo tretjo stran, če štejete dve števki od desne proti levi. Tako ugotovijo številko meseca, v katerem ste rojeni. Svoj rojstni dan (14) je pomnožil z 2, nato s 5 in na koncu še z 10, skupaj pa z 2 X 5 X 10, torej s 100. To pomeni, da je treba rojstni dan iskati med stotimi, v drugi obraz, ampak tukaj je na stotine tujcev. Poglejte: seštel je število 2, ki ga je pomnožil s 5 in 10. To pomeni, da je dobil dodatno 2x5x10=100 - 1 stotico. To 1 stotico odštejem od 15 stotic v številu 111521, rezultat je 14 stotic. Tako izvem svoj rojstni dan. Število let (10) ni bilo pomnoženo z ničemer. To pomeni, da je treba to številko iskati med enotami, v prvem obrazu, vendar so tukaj tuje enote. Poglejte: prištel je število 1, ki ga je pomnožil z 10, nato pa dodal še 1. To pomeni, da je dobil le dodatek 1 x TO + 1 = 11 enot. Teh 11 enot odštejem od 21 enot v številu 111521, izkaže se 10. Tako ugotovim število let. In skupaj, kot vidite, sem od števila 111521 odštel 100 + 11 = 111. Ko sem od števila 111521 odštel 111, se je izkazalo, da je PNU. pomeni,

Pavlik se je rodil 14. novembra in je star 10 let. Zdaj je leto 1959, a 10 nisem odštel od leta 1959, ampak od leta 1958, saj je Pavlik lani, novembra, dopolnil 10 let.

Te razlage se seveda ne boste takoj spomnili, vendar sem jo poskušal razumeti na svojem primeru:

1) 2 X 100 = 200; 2) 200 + 6 = 206; 3) 206 X 2 = 412;

4) 412 + 2 = 414; 5) 414 X 5 = 2070; 6) 2070 + 1 = 2071; 7) 2071 X 10 = 20710; 8) 20710 + 1 = 20711; 9) 20711 + + 10 = 20721; 20721 - 111 = 2 "Obto; 1959 - 10 = 1949;

Puzzle.

Prva naloga: Opoldne potniški parnik odpluje iz Stalingrada proti Kujbiševu. Uro kasneje tovorna in potniška ladja zapusti Kujbišev proti Stalingradu in se premika počasneje od prve ladje. Ko se ladji srečata, katera bo dlje od Stalingrada?

To ni navaden aritmetični problem, ampak šala! Parniki bodo na enaki razdalji od Stalingrada in Kujbiševa.

In tukaj je druga naloga: prejšnjo nedeljo je naša ekipa in ekipa petega razreda posadila drevesa vzdolž ulice Bolshaya Pionerskaya. Ekipe so morale posaditi enako število dreves na vsaki strani ulice. Kot se spomnite, je naša ekipa prišla na delo zgodaj in preden so prispeli petošolci, nam je uspelo posaditi 8 dreves, vendar, kot se je izkazalo, ne na naši strani ulice: navdušeni smo bili in začeli delati na napačni strani. mesto. Potem smo delali na naši strani ulice. Petošolci so predčasno zaključili z delom. Niso pa nam ostali dolžni: prestopili so na našo stran in najprej posadili 8 dreves (»odplačali so dolg«), nato pa še 5 dreves in delo smo zaključili.

Vprašanje je, koliko več dreves so posadili petošolci kot mi?

: Seveda so petošolci posadili le 5 dreves več kot mi: ko so na naši strani posadili 8 dreves, so s tem poplačali dolg; in ko so posadili še 5 dreves, je bilo, kot da bi nam dali 5 dreves v posojo. Tako se izkaže, da so posadili le 5 dreves več kot mi.

Ne, sklepanje je napačno. Res je, da so nam petošolci naredili uslugo, da so nam posadili 5 dreves. Ampak potem, da bi dobili pravilen odgovor, morate razmišljati takole: našo nalogo smo premalo izpolnili za 5 dreves, medtem ko so petošolci za 5 dreves presegli svojo. Tako se izkaže, da razlika med številom dreves, ki so jih zasadili petošolci, in številom dreves, ki smo jih zasadili mi, ni 5, ampak 10 dreves!

In tukaj je zadnja uganka, Igranje z žogo, 16 učencev je bilo postavljenih na stranice kvadrata, tako da so bile na vsaki strani 4 osebe. Nato sta odšla 2 učenca, tako da so bili na vsaki strani kvadrata spet 4 osebe. Končno sta odšla še 2 študenta, ostali pa so se ustalili, tako da so bili na vsaki strani kvadrata še vedno 4 osebe. Kako se je to lahko zgodilo?

Dva trika za hitro množenje

Nekega dne je učitelj svojim učencem ponudil ta primer: 84 X 84. En deček je hitro odgovoril: 7056. "Kaj si štel?" - učitelj je vprašal učenca. "Vzel sem 50 X 144 in vrgel 144," je odgovoril. No, razložimo, kako je študent razmišljal.

84 x 84 = 7 X 12 X 7 X 12 = 7 X 7 X 12 X 12 = 49 X 144 = (50 - 1) X 144 = 50 X 144 - 144 in 144 petdeset je 72 stotin, torej 84 X 84 = 7200 - 144 =

Zdaj pa na enak način izračunajmo, koliko je 56 X 56.

56 X 56 = 7 X 8 X 7 X 8 = 49 X 64 = 50 X 64 - 64, to je 64 petdeset ali 32 stotin (3200), brez 64, tj. da pomnožite število s 49, potrebujete to število pomnožite s 50 (petdeset) in to število odštejte od nastalega produkta.

Tukaj so primeri za drugo metodo izračuna, 92 X 96, 94 X 98.

Odgovora: 8832 in 9212. Primer, 93 X 95. Odgovor: 8835. Naši izračuni so dali isto število.

Tako hitro lahko šteješ le, če so števila blizu 100. Tem številom poiščemo komplemente do 100: za 93 bo 7, za 95 pa 5, od prvega danega števila odštejemo komplement drugo: 93 - 5 = 88 - to bo v zmnožku stotic, pomnožite dodatke: 7 X 5 = 3 5 - toliko bo v zmnožku enot. To pomeni 93 X 95 = 8835. In zakaj točno to storiti, ni težko razložiti.

Na primer, 93 je 100 brez 7 in 95 je 100 brez 5. 95 X 93 = (100 - 5) x 93 = 93 X 100 - 93 x 5.

Če želite odšteti 5 krat 93, lahko odštejete 5 krat 100, vendar dodate 5 krat 7. Potem se izkaže:

95 x 93 = 93 x 100 - 5 x 100 + 5 x 7 = 93 celic. - 5 sto. + 5 X 7 = (93 - 5) celic. + 5 x 7 = 8800 + 35 = = 8835.

97 X 94 = (97 - 6) X 100 + 3 X 6 = 9100 + 18 = 9118, 91 X 95 = (91 - 5) x 100 + 9 x 5 = 8600 + 45 = 8645.

Množenje c. domino

S pomočjo domin je enostavno prikazati nekatere primere množenja večmestnih števil z enomestnim številom. Na primer:

402 X 3 in 2663 X 4

Zmagovalec bo tisti, ki mu bo v določenem času uspelo uporabiti največje število domin in sestaviti primere množenja tri- in štirimestnega števila z enomestnim številom.

Primeri množenja štirimestnih števil z enomestnimi.

2234 X 6; 2425 X 6; 2336 X 1; 526 X 6.

Kot lahko vidite, je bilo uporabljenih samo 20 domin. Zbrani so bili primeri za množenje ne le štirimestnih števil z enomestnim številom, temveč tudi tri-, pet- in šestmestnih števil z enomestnim številom. Uporabljenih je bilo 25 kock in sestavljeni so bili naslednji primeri:

Še vedno pa je mogoče uporabiti vseh 28 kock.

Zgodbe o tem, kako dobro je stari Hottabych poznal aritmetiko.

Zgodba »Pri aritmetiki dobim »5«.

Takoj ko sem naslednji dan šel k Miši, je takoj vprašal: "Kaj je bilo novega ali zanimivega v krožku?" Miši in njegovim prijateljem sem pokazal, kako pametni so bili ruski ljudje v starih časih. Nato sem jih prosil, naj v mislih izračunajo, koliko bi znašalo 97 X 95, 42 X 42 in 98 X 93. Tega seveda niso mogli narediti brez svinčnika in papirja in bili so zelo presenečeni, ko sem skoraj v trenutku dal pravilne odgovore. ti primeri. Končno smo vsi skupaj rešili zadano nalogo. Izkazalo se je, da je zelo pomembno, kako se pike nahajajo na listu papirja. Odvisno od tega lahko narišete eno, štiri ali šest ravnih črt skozi štiri točke, vendar ne več.

Nato sem otroke povabila, da z dominami sestavijo primere množenja, tako kot na skodelici. Uspelo nam je uporabiti 20, 24 in celo 27 kock, vendar nam od vseh 28 nikoli ni uspelo ustvariti primerov, čeprav smo pri tej nalogi dolgo časa sedeli.

Miša se je spomnil, da so danes v kinu predvajali film "Starec Hottabych". Na hitro smo zaključili z računanjem in tekli v kino.

Kakšna slika! Čeprav je pravljica, je še vedno zanimiva: pripoveduje o nas fantih, o šolskem življenju, pa tudi o ekscentričnem modrecu - Genie Hottabych. In Hottabych je naredil veliko napako, ko je Volku dal nekaj zemljepisnih nasvetov! Očitno so v davnih časih celo indijski modreci - džini - poznali geografijo zelo, zelo slabo. Sprašujem se, koliko let bi Hottabych dajal nasvete, če bi Volka opravil izpit iz aritmetike? Hottabych verjetno sploh ni dobro poznal aritmetike.

Indijski način množenja.

Recimo, da moramo 468 pomnožiti s 7. Množitelj zapišemo na levo, množitelj pa na desno:

Indijanci niso imeli znaka za množenje.

Zdaj pomnožim 4 s 7, dobimo 28. To številko zapišemo nad števko 4.

Zdaj pomnožimo 8 s 7, dobimo 56. 28 dodamo 5, dobimo 33; Zbrišemo 28, zapišemo 33, nad številko 8 zapišemo 6:

Izkazalo se je kar zanimivo.

Zdaj pomnožimo 6 s 7, dobimo 42, dodamo 4 36, dobimo 40; Izbrisali bomo 36 in zapisali 40; Zapišimo 2 nad številko 6. Torej, pomnožimo 486 s 7, dobimo 3402:

Rešitev je bila pravilna, a ne zelo hitro in priročno! Točno tako so množili najbolj znani kalkulatorji tistega časa!

Kot vidite, je stari Hottabych kar dobro poznal aritmetiko. Svoje početje pa je zapisoval drugače kot mi.

Pred davnimi časi, pred več kot tisoč tristo leti, so bili Indijci najboljši kalkulatorji. Vendar papirja še niso imeli in vse izračune so izvajali na majhni črni tabli, nanjo so pisali s trstičnim peresom in z zelo tekočo belo barvo, ki je puščala sledi, ki so se zlahka izbrisale.

Ko pišemo s kredo po tabli, malo spominja na indijanski način pisanja: na črni podlagi se pojavijo bele sledi, ki jih je enostavno izbrisati in popraviti.

Indijanci so računali tudi na belo tablico, posuto z rdečim prahom, na katero so s paličico pisali znake, tako da so se na rdečem polju pojavljali beli znaki. Približno enako sliko dobimo, če pišemo s kredo na rdečo ali rjavo ploščo - linolej.

Znaka za množenje takrat še ni bilo, med množiteljem in množiteljem je ostala le določena vrzel. Indijski način bi bil množenje, začenši z enotami. Vendar pa so Indijci sami izvajali množenje, začenši z najvišjo števko, in zapisovali nepopolne zmnožke tik nad množiteljem, delček za korakom. V tem primeru je bila takoj vidna najpomembnejša številka celotnega izdelka, poleg tega pa je bila odpravljena izpustitev katere koli številke.

Primer množenja na indijski način.

Arabska metoda množenja.

No, kako lahko v samem datumu izvedeš množenje na indijski način, če ga zapišeš na papir?

Ta način množenja za pisanje na papirju so že več kot tisoč let prilagodili slavni starodavni uzbekistanski znanstvenik Muhammad ibn Musa Alkhwariz-mi. pred tem izvedel množenje na pergamentu takole:

Očitno ni izbrisal nepotrebnih številk (na papirju je to že neprijetno), ampak jih je prečrtal; Nove številke je nad prečrtane seveda zapisoval po koščkih.

Primer množenja na enak način, zapisovanje v zvezek.

To pomeni 7264 X 8 = 58112. Toda kako pomnožiti z dvomestnim številom, z večmestnim številom?

Način množenja ostaja enak, zapis pa postane precej bolj zapleten. Na primer, morate pomnožiti 746 s 64. Najprej pomnožite s 3 desetice, se izkaže

Torej 746 X 34 = 25364.

Kot lahko vidite, prečrtavanje nepotrebnih števk in njihova zamenjava z novimi številkami pri množenju tudi z dvomestnim številom povzroči preveč okoren zapis. Kaj se zgodi, če pomnožiš s tri- ali štirimestnim številom?!

Da, arabska metoda množenja ni zelo priročna.

Ta način množenja se je v Evropi ohranil do osemnajstega stoletja, celih tisoč let. Imenovali so jo križna metoda ali chiasmus, ker je bila med množice številk postavljena grška črka X (chi), ki jo je postopoma nadomestil poševni križ. Zdaj jasno vidimo, da je naša sodobna metoda množenja najenostavnejša in najbolj priročna, verjetno najboljša od vseh možnih metod množenja.

Da, sama šolska metoda množenja večmestnih števil je zelo dobra. Vendar pa lahko množenje zapišemo tudi drugače. Morda bi bil najboljši način, da to storite na primer takole:

Ta metoda je res dobra: množenje se začne z najvišjo števko množitelja, najnižjo števko nepopolnih zmnožkov zapišemo pod pripadajočo števko množitelja, kar odpravlja možnost napake v primeru, da se v kateri koli števki množitelja pojavi ničla. množitelj. Približno tako pišejo češkoslovaški šolarji množenje večmestnih števil. To je zanimivo. In mislili smo, da lahko računske operacije zapišemo le tako, kot je pri nas v navadi.

Še nekaj ugank.

Tukaj je vaša prva preprosta naloga: turist lahko prehodi 5 km v eni uri. Koliko kilometrov bo prehodil v 100 urah?

Odgovor: 500 kilometrov.

In to je še eno veliko vprašanje! Natančneje moramo vedeti, kako je turist hodil teh 100 ur: brez počitka ali s premori. Z drugimi besedami, vedeti morate: 100 ur je čas, ki ga turist prepotuje ali preprosto čas, ki ga preživi na poti. Oseba verjetno ni sposobna biti v gibanju 100 ur zapored: to je več kot štiri dni; in hitrost gibanja bi se ves čas zmanjševala. Druga stvar je, če je turist hodil z odmori za kosilo, spanje itd. Potem lahko v 100 urah gibanja premaga vseh 500 km; le na poti naj ne bo štiri dni, ampak kakih dvanajst dni (če povprečno prevozi 40 km na dan). Če bi bil na poti 100 ur, bi lahko prevozil le približno 160-180 km.

Različni odgovori. To pomeni, da je treba k postavitvi problema nekaj dodati, sicer je nemogoče dati odgovor.

Rešimo zdaj naslednjo nalogo: 10 kokoši v 10 dneh poje 1 kg žita. Koliko kilogramov žita bo pojedlo 100 kokoši v 100 dneh?

Rešitev: 10 kokoši v 10 dneh poje 1 kg žita, kar pomeni, da 1 piščanec v istih 10 dneh poje 10-krat manj, to je 1000 g: 10 = 100 g.

V enem dnevu piščanec poje še 10-krat manj, to je 100 g: 10 = 10 g Zdaj vemo, da 1 piščanec poje 10 g žita. To pomeni, da 100 piščancev na dan poje 100-krat več, tj

10 g X 100 = 1000 g = 1 kg. Čez 100 dni bodo pojedli še 100-krat več, to je 1 kg X 100 = 100 kg = 1 kg. To pomeni, da 100 piščancev v 100 dneh poje cel center žita.

Obstaja hitrejša rešitev: piščancev je 10-krat več in jih je treba hraniti 10-krat dlje, kar pomeni, da je vseh potrebnih zrn 100-krat več, torej 100 kg. Vendar je v vseh teh argumentih ena pomanjkljivost. Pomislimo in poiščimo napako v sklepanju.

: -Bodimo pozorni na zadnjo utemeljitev: »100 kokoši v enem dnevu poje 1 kg zrnja, v 100 dneh pa jih poje 100-krat več. »

Navsezadnje bodo piščanci v 100 dneh (to je več kot tri mesece!) opazno zrasli in ne bodo več jedli 10 gramov žita na dan, ampak 40-50 gramov, saj navaden piščanec poje približno 100 gramov žita na dan. . To pomeni, da v 100 dneh 100 piščancev ne bo pojedlo 1 kvintal žita, ampak veliko več: dva ali tri kvintale.

In tukaj je zadnja uganka o zavezovanju vozla: »Na mizi je kos vrvi, raztegnjen v ravni črti. En konec vrvi morate prijeti z eno roko, drugi konec z drugo roko in, ne da bi izpustili konce vrvi iz rok, zavezati vozel. »Znano dejstvo je, da je nekatere probleme enostavno analizirati, če gremo od podatkov k problemskemu vprašanju, medtem ko druge, nasprotno, gremo od problemskega vprašanja k podatkom.

No, zato smo poskušali analizirati to težavo, pri čemer smo šli od vprašanja do podatkov. Naj bo na vrvi že vozel, njegovi konci pa so v vaših rokah in se ne sprostijo. Poskusimo se vrniti od rešenega problema do njegovih podatkov, v prvotni položaj: vrv leži raztegnjena na mizi, njeni konci pa niso izpuščeni iz rok.

Izkazalo se je, da če poravnate vrv, ne da bi izpustili njene konce iz rok, potem leva roka, ki gre pod iztegnjeno vrvjo in nad desno roko, drži desni konec vrvi; in desna roka, ki gre nad vrvjo in pod levo roko, drži levi konec vrvi

Mislim, da je po tej analizi problema vsem postalo jasno, kako zavezati vozel na vrvi, morate narediti vse v obratnem vrstnem redu.

Še dve tehniki hitrega množenja.

Pokazal vam bom, kako hitro pomnožite števila, kot so 24 in 26, 63 in 67, 84 in 86 itd. p., to je, ko je v faktorjih enako število desetic, enote pa skupaj tvorijo natanko 10. Navedite primere.

* 34 in 36, 53 in 57, 72 in 78,

* Dobite 1224, 3021, 5616.

Na primer, morate pomnožiti 53 s 57. Pomnožim 5 s 6 (1 več kot 5), izkaže se 30 - toliko stotin v produktu; Pomnožim 3 s 7, izkaže se 21 - toliko enot je v produktu. Torej 53 X 57 = 3021.

* Kako to razložiti?

(50 + 3) X 57 = 50 X 57 + 3 X 57 = 50 X (50 + 7) +3 X (50 + 7) = 50 X 50 + 7 X 50 + 3 x 50 + 3 X 7 = 2500 + + 50 X (7 + 3) + 3 X 7 = 2500 + 50 X 10 + 3 X 7 = =: 25 stotin. + 5 sto. +3 X 7 = 30 celic. + 3 X 7 = 5 X 6 celic. + 21.

Poglejmo, kako lahko hitro pomnožite dvomestna števila znotraj 20. Na primer, če želite pomnožiti 14 s 17, morate sešteti enoti 4 in 7, dobite 11 - to je, koliko desetic bo v produktu (to je 10 enot). Potem morate pomnožiti 4 s 7, dobite 28 - toliko enot bo v izdelku. Poleg tega je treba dobljenima številoma 110 in 28 prišteti natanko 100. To pomeni, da je 14 X 17 = 100 + 110 + 28 = 238. Dejansko:

14 X 17 = 14 X (10 + 7) = 14 X 10 + 14 X 7 = (10 + + 4) X 10 + (10 + 4) X 7 = 10 X 10 + 4 X 10 + 10 X 7 + 4 X 7 = 100 +(4 + 7) X 10 + 4 X 7 = 100+ 110 + + 28.

Nato smo rešili naslednje primere: 13 x 16 = 100 + (3 + 6) X 10 + 3 x 6 = 100 + 90 + + 18 = 208; 14 X 18 = 100 + 120 + 32 = 252.

Množenje na abakusu

Tukaj je nekaj tehnik, s pomočjo katerih bo vsakdo, ki zna hitro seštevati na abakusu, hitro izvedel primere množenja, ki jih sreča v praksi.

Množenje z 2 in 3 se nadomesti z dvojnim in trojnim seštevanjem.

Pri množenju s 4 najprej pomnožite z 2 in ta rezultat prištejte samemu sebi.

Množenje števila s 5 poteka na abakusu takole: premaknite celotno žico številke za eno višjo, to je, pomnožite jo z 10, nato pa to 10-kratno število razdelite na pol (kot če bi z abakusom delili z 2.

Namesto množenja s 6, pomnožite s 5 in dodajte, kar želite pomnožiti.

Namesto da bi pomnožili s 7, pomnožite z 10 in pomnoženo trikrat odštejte.

Množenje z 8 se nadomesti z množenjem z 10 minus dva pomnoženo.

Množijo z 9 na enak način: nadomestijo ga z množenjem z 10 minus ena, ki se množi.

Pri množenju z 10 prenesite, kot smo že rekli, vse številke eno žico višje.

Bralec bo verjetno sam ugotovil, kaj storiti pri množenju s števili, večjimi od 10, in kakšne zamenjave bodo tukaj najbolj primerne. Faktor 11 je seveda treba nadomestiti z 10 + 1. Faktor 12 je treba zamenjati z 10 + 2 ali praktično 2 + 10, se pravi, da najprej odstavijo podvojeno število in nato prištejejo desetkratnika. Množitelj 13 se nadomesti z 10 + 3 itd.

Oglejmo si nekaj posebnih primerov za prvih sto množiteljev:

Mimogrede je lahko videti, da je s pomočjo abakusa zelo priročno množiti s števili, kot so 22, 33, 44, 55 itd.; Zato moramo pri deljenju faktorjev stremeti k uporabi podobnih števil z enakimi števkami.

Podobne tehnike se uporabljajo tudi pri množenju s števili, večjimi od 100. Če so takšne umetne tehnike dolgočasne, potem seveda lahko vedno množimo z uporabo abaka po splošnem pravilu, tako da pomnožimo vsako števko množitelja in zapišemo delne produkte - to še vedno nekoliko skrajša čas.

"Ruski" način množenja

Ne morete pomnožiti večmestnih števil, niti dvomestnih, razen če si zapomnite vse rezultate množenja enomestnih števil, torej tako imenovano tabelo množenja. V starodavni »Aritmetiki« Magnitskega, ki smo jo že omenili, je potreba po trdnem poznavanju tabel množenja poveličana v naslednjih verzih (sodobnim ušesom tuje):

Če nekdo ne ponavlja tabel in je ponosen, ne more vedeti, kaj naj pomnoži s številom

In po vseh vedah nisem prost od muke, Koliko ne uči Tuna in me potrpi

In ne bo koristilo, če bo pozabil.

Avtor teh verzov očitno ni vedel ali pa je spregledal, da obstaja način množenja števil brez poznavanja tabele množenja. Ta metoda, podobna našim šolskim metodam, je bila uporabljena v vsakdanjem življenju ruskih kmetov in so jo podedovali od antičnih časov.

Njegovo bistvo je, da se množenje poljubnih dveh števil zmanjša na niz zaporednih delitev enega števila na polovico ob hkratnem podvajanju drugega števila. Tukaj je primer:

Delitev na polovico se nadaljuje, dokler se višina v količniku ne izkaže za 1, medtem ko se drugo število istočasno podvoji. Zadnje podvojeno število daje želeni rezultat. Ni težko razumeti, na čem temelji ta metoda: produkt se ne spremeni, če en faktor prepolovimo in drugega podvojimo. Jasno je torej, da kot rezultat večkratnega ponavljanja te operacije dobimo želeni izdelek.

Vendar, kaj storiti, če hkrati... Ali je mogoče liho število razdeliti na pol?

Ljudska metoda zlahka premaga to težavo. Treba je, pravi pravilo, če je liho število, vreči eno in preostanek razdeliti na pol; potem pa bo treba eni sami številki desnega stolpca prišteti vse tiste številke tega stolpca, ki so nasproti lihih številk levega stolpca - iskala se bo vsota? jaz delam. V praksi to poteka tako, da so vse vrstice s sodimi levimi številkami prečrtane; Ostanejo samo tisti, ki vsebujejo liho število na levi.

Tukaj je primer (zvezdice pomenijo, da je treba to vrstico prečrtati):

Če seštejemo številke, ki niso prečrtane, dobimo povsem pravilen rezultat: 17 + 34 + 272 = 32 Na čem temelji ta tehnika?

Pravilnost tehnike bo postala jasna, če bomo to upoštevali

19X 17 = (18+ 1)X 17= 18X17+17, 9X34 = (8 + 1)X34=; 8X34 + 34 itd.

Jasno je, da je treba številke 17, 34 itd., izgubljene pri delitvi lihega števila na pol, dodati rezultatu zadnjega množenja, da dobimo produkt.

Primeri pospešenega množenja

Prej smo omenili, da obstajajo tudi priročni načini za izvajanje tistih posameznih operacij množenja, na katere je razdeljena vsaka od zgornjih tehnik. Nekateri od njih so zelo preprosti in priročno uporabni; izračuni so tako enostavni, da jih sploh ne škodi, če jih želite uporabiti v običajnih izračunih.

To je na primer tehnika navzkrižnega množenja, ki je zelo priročna pri delu z dvomestnimi števili. Metoda ni nova; sega v Grke in Hindujce in se je v starih časih imenovala »metoda strele« ali »množenje s križem«. Zdaj je pozabljeno in ne škodi spomniti na to1.

Recimo, da želite pomnožiti 24X32. Mentalno razporedite številke eno pod drugo po naslednji shemi:

Zdaj zaporedno izvedemo naslednje korake:

1)4X2 = 8 je zadnja številka rezultata.

2)2X2 = 4; 4X3=12; 4+12=16; 6 - predzadnja številka rezultata; 1 zapomni si.

3)2X3 = 6, in tudi enoto, ki smo jo obdržali v mislih, imamo

7 je prva številka rezultata.

Dobimo vse števke produkta: 7, 6, 8 -- 768.

Po kratki vaji se te tehnike zelo enostavno naučimo.

Druga metoda, ki je sestavljena iz uporabe tako imenovanih "dodatkov", se priročno uporablja v primerih, ko so števila, ki se množijo, blizu 100.

Recimo, da želite pomnožiti 92X96. "Dodatek" za 92 do 100 bo 8, za 96 - 4. Dejanje se izvede po naslednji shemi: množitelji: 92 in 96 "dodatki": 8 in 4.

Prvi dve števki rezultata dobimo tako, da od množitelja preprosto odštejemo "komplement" množitelja ali obratno, tj. 4 odštejemo od 92 ali 8 od 96.

V obeh primerih imamo 88; Temu številu dodamo produkt »dodatkov«: 8X4 = 32. Dobimo rezultat 8832.

Da mora biti dobljeni rezultat pravilen, je jasno razvidno iz naslednjih transformacij:

92x9b = 88X96 = 88(100-4) = 88 X 100-88X4

1 4X96= 4 (88 + 8)= 4X 8 + 88X4 92x96 8832+0

Še en primer. Morate pomnožiti 78 s 77: faktorji: 78 in 77 "seštevalci": 22 in 23.

78 - 23 = 55, 22 X 23 = 506, 5500 + 506 = 6006.

Tretji primer. Pomnoži 99 X 9.

množitelji: 99 in 98 "dodatki": 1 in 2.

99-2 = 97, 1X2 = 2.

V tem primeru se moramo spomniti, da 97 tukaj pomeni število stotin. Torej seštejemo.

Kandidatka pedagoških znanosti Natalija Karpušina.

Če želite obvladati množenje večmestnih števil, morate le poznati tabelo množenja in znati seštevati števila. V bistvu je vsa težava v tem, kako pravilno postaviti vmesne rezultate množenja (delne produkte). Da bi olajšali izračune, so ljudje iznašli številne načine za množenje števil. V stoletni zgodovini matematike jih je bilo več deset.

Množenje z metodo rešetke. Ilustracija iz prve tiskane knjige o aritmetiki. 1487

Napierjeve palice. Ta preprosta računska naprava je bila prvič opisana v eseju Johna Napierja "Rhabdology". 1617

John Napier (1550-1617).

Model Schickardovega računskega stroja. To računalniško napravo, ki ni prišla do nas, je izumitelj izdelal leta 1623 in jo opisal leto kasneje v pismu Johannesu Keplerju.

Wilhelm Schickard (1592-1635).

Hindujska dediščina - metoda rešetke

Hindujci, ki so desetiški številski sistem poznali že od antičnih časov, so imeli raje ustno štetje kot pisno. Izumili so več načinov za hitro razmnoževanje. Kasneje so si jih izposodili Arabci, od njih pa so te metode prenesli na Evropejce. Ti pa se niso omejili nanje in so razvili nove, zlasti tisto, ki se jo učijo v šoli - množenje s stolpcem. Ta metoda je znana že od začetka 15. stoletja, v naslednjem stoletju se je trdno uveljavila med matematiki, danes pa se uporablja povsod. Toda ali je množenje stolpcev najboljši način za to aritmetično operacijo? Dejansko obstajajo druge, zdaj pozabljene metode množenja, ki niso nič slabše, na primer metoda rešetke.

Ta metoda je bila uporabljena v starih časih, v srednjem veku je postala razširjena na vzhodu in v renesansi - v Evropi. Mrežno metodo so imenovali tudi indijska, muslimanska ali »množenje na kvadrat«. In v Italiji so jo imenovali "gelosia" ali "množenje rešetk" (gelosia v prevodu iz italijanščine - "žaluzije", "mrežne polkna"). Dejansko so bile številke, dobljene iz števil, ko so bile pomnožene, podobne žaluzijam, ki so zakrivale okna beneških hiš pred soncem.

Razložimo bistvo tega preprostega načina množenja na primeru: izračunajmo zmnožek 296 × 73. Začnimo z risanjem tabele s kvadratnimi celicami, ki bo imela tri stolpce in dve vrstici, glede na število števk v faktorjih. . Celice razdelite na pol diagonalno. Nad tabelo napišemo številko 296, na desno stran navpično pa številko 73. Vsako števko prvega števila pomnožimo z vsako števko drugega in zmnožke zapišemo v ustrezne celice, pri čemer desetice postavimo nad diagonalo in tiste pod njim. Številke zahtevanega produkta dobimo tako, da seštejemo števke v poševnih trakovih. V tem primeru se bomo premikali v smeri urinega kazalca, začenši od spodnje desne celice: 8, 2 + 1 + 7 itd. Rezultate zapišimo pod tabelo, pa tudi levo od nje. (Če pri seštevanju dobimo dvomestno vsoto, označimo samo enice, desetice pa prištejemo vsoti števk iz naslednjega traku.) Odgovor: 21.608 Torej 296 x 73 = 21.608.

Metoda rešetke ni v ničemer slabša od množenja stolpcev. Je še preprostejši in zanesljivejši, kljub dejstvu, da je število izvedenih dejanj v obeh primerih enako. Prvič, delati morate samo z eno- in dvomestnimi številkami in z njimi je enostavno upravljati v glavi. Drugič, vmesnih rezultatov si ni treba zapomniti in slediti vrstnemu redu, v katerem jih je treba zapisati. Pomnilnik se razbremeni in pozornost ohrani, zato se zmanjša verjetnost napake. Poleg tega vam metoda rešetke omogoča hitrejše doseganje rezultatov. Ko to obvladate, se lahko prepričate sami.

Zakaj metoda rešetke vodi do pravilnega odgovora? Kakšen je njegov "mehanizem"? Ugotovimo to s pomočjo tabele, sestavljene podobno kot prva, le da so v tem primeru faktorji predstavljeni kot vsote 200 + 90 + 6 in 70 + 3.

Kot lahko vidite, so v prvem poševnem traku enote, v drugem - desetice, v tretjem - stotine itd. Ko seštejejo, dajo odgovor oziroma število enot, desetin, stotin itd. Slednje je očitno:

Z drugimi besedami, v skladu z zakoni aritmetike se zmnožek števil 296 in 73 izračuna na naslednji način:

296 x 73 = (200 + 90 + 6) x (70 + 3) = 14.000 + 6300 + 420 + 600 + 270 + 18 = 10.000 + (4000 + 6000) + (300 + 400 + 600 + 200) + (70) + 20 + 10) + 8 = 21.608.

Napier palice

Množenje z metodo rešetke je osnova preproste in izvirne računske naprave - Napierjeve palice. Njegov izumitelj John Napier, škotski baron in ljubitelj matematike, si je skupaj s strokovnjaki prizadeval izboljšati sredstva in metode računanja. V zgodovini znanosti je znan predvsem kot eden od ustvarjalcev logaritmov.

Napravo sestavlja deset ravnil, na katerih je nameščena tabela množenja. V vsaki celici, deljeni z diagonalo, je zapisan produkt dveh enomestnih števil od 1 do 9: število desetic je navedeno v zgornjem delu, število enot je navedeno v spodnjem delu. Eno ravnilo (levo) miruje, ostalo je mogoče preurediti z mesta na mesto in postaviti želeno kombinacijo številk. Z Napierjevimi palicami je enostavno pomnožiti večmestna števila, pri čemer se ta operacija zmanjša na seštevanje.

Na primer, če želite izračunati produkt števil 296 in 73, morate 296 pomnožiti s 3 in 70 (najprej s 7, nato z 10) in dodati dobljena števila. Na fiksno ravnilo pritrdimo še tri druge - s številkami 2, 9 in 6 na vrhu (tvorijo naj število 296). Zdaj pa poglejmo tretjo vrstico (številke vrstic so označene na zunanji vrstici). Številke v njem tvorijo množico, ki nam je že poznana.

Če jih seštejemo kot pri metodi rešetke, dobimo 296 x 3 = 888. Podobno, če pogledamo sedmo vrstico, ugotovimo, da je 296 x 7 = 2072, nato pa 296 x 70 = 20.720.
296 x 73 = 20.720 + 888 = 21.608.

Napierjeve palice so uporabljali tudi za zahtevnejše operacije – deljenje in pridobivanje kvadratnega korena. Večkrat so poskušali izboljšati to računsko napravo in jo narediti bolj priročno in učinkovito pri delovanju. Dejansko je bilo v nekaterih primerih za množenje števil, na primer s ponavljajočimi se številkami, potrebnih več kompletov palic. Toda ta problem je bil rešen z zamenjavo ravnil z vrtečimi se valji z množilno tabelo, ki je bila nanesena na površino vsakega od njih v enaki obliki, kot jo je predstavil Napier. Namesto enega kompleta palic jih je bilo devet naenkrat.

Takšni triki so dejansko pospešili in poenostavili izračune, vendar niso vplivali na glavno načelo delovanja Napierjeve naprave. Tako je metoda rešetke dobila drugo življenje, ki je trajalo še nekaj stoletij.

Chiccardov avto

Znanstveniki se že dolgo sprašujejo, kako težko računalniško delo prenesti na mehanske naprave. Prvi uspešni koraki pri ustvarjanju računskih strojev so bili narejeni šele v 17. stoletju. Menijo, da je nemški matematik in astronom Wilhelm Schickard prvi izdelal tak mehanizem. A ironično, za to je vedel le ozek krog ljudi, tako uporaben izum pa svet ni poznal več kot 300 let. Zato ni na noben način vplival na poznejši razvoj računalniških orodij. Opisi in skice Schickardovega stroja so bili odkriti šele pred pol stoletja v arhivih Johannesa Keplerja, malo kasneje pa je na podlagi ohranjenih dokumentov nastal njegov delujoči model.

V bistvu je Schickardov stroj šestmestno mehansko računalo, ki izvaja seštevanje, odštevanje, množenje in deljenje števil. Ima tri dele: napravo za množenje, napravo za seštevanje in mehanizem za shranjevanje vmesnih rezultatov. Osnova za prvo so bile, kot lahko ugibate, Napierjeve palice, zvite v valje. Namestili so jih na šest navpičnih osi in jih vrteli s posebnimi ročaji na vrhu stroja. Pred valji je bila plošča z devetimi vrstami oken, po šest v vsaki, ki so se odpirala in zapirala s stranskimi zapahi, ko je bilo treba videti potrebne številke in skriti ostale.

Schickardov računski stroj je zelo enostaven za uporabo. Če želite ugotoviti, čemu je enak zmnožek 296 x 73, morate valje postaviti v položaj, v katerem se v zgornji vrsti oken pojavi prvi faktor: 000296. Zmnožek 296 x 3 dobimo tako, da odpremo okna tretjo vrstico in seštevanje videnih števil, kot pri metodi rešetke. Na enak način z odpiranjem okenc sedme vrstice dobimo zmnožek 296 x 7, ki mu na desni dodamo 0. Ostane le še, da seštejemo najdena števila na seštevalniku.

Hitra in zanesljiva metoda množenja večmestnih števil, ki so jo nekoč izumili Hindujci in se je uporabljala dolga stoletja v izračunih, je zdaj, žal, pozabljena. A danes bi nam lahko pomagal, če ne bi bilo pri roki vsem tako znanega kalkulatorja.