V naključnem poskusu se vržeta dve karti. Verjetnost kocke
Naloge za verjetnost kocke nič manj priljubljena kot težave z metom kovancev. Pogoj takega problema običajno zveni takole: pri metu ene ali več kock (2 ali 3) kakšna je verjetnost, da bo vsota točk enaka 10, ali bo število točk 4, oz. zmnožek števila točk ali zmnožek števila točk deljen z 2 itd.
Uporaba formule klasična verjetnost je glavna metoda za reševanje tovrstnih problemov.
Ena smrt, verjetnost.
Z enim se je zelo preprosto spopasti kocke.
se določi s formulo: P=m/n, kjer je m število ugodnih izidov za dogodek, n pa število vseh elementarnih enako možnih izidov poskusa z metanjem kosti ali kocke.
Problem 1. Kocka je vržena enkrat. Kakšna je verjetnost, da dobite sodo število točk? Ker je kocka kocka (oz. jo imenujemo tudi običajna kocka, bo kocka padla na vse strani z enako verjetnostjo, saj je uravnotežena), ima kocka 6 strani (število točk od 1 do 6, ki so običajno označeno s pikami), to pomeni, v čem je težava skupno število
izidi: n=6. Dogodku dajejo prednost le izidi, pri katerih se pojavi stran s sodimi točkami 2, 4 in 6; kocka ima naslednje strani: m=3. Zdaj lahko določimo želeno verjetnost kocke: P=3/6=1/2=0,5.
Naloga 2. Kocka se vrže enkrat. Kakšna je verjetnost, da boste dobili vsaj 5 točk?
Ta problem je rešen po analogiji z zgornjim primerom. Pri metu kocke je skupno število enako možnih izidov: n=6, le 2 izida pa izpolnjujeta pogoj problema (vsaj 5 vrženih točk, to je 5 ali 6 vrženih točk), kar pomeni m =2. Nato poiščemo zahtevano verjetnost: P=2/6=1/3=0,333.
Dve kocki, verjetnost.
Pri reševanju problemov z metanjem dveh kock je zelo priročno uporabiti posebno tabelo točkovanja. Na njem je vodoravno izpisano število točk, ki je padlo na prvi kocki, navpično pa število točk, ki je padlo na drugi kocki. Obdelovanec izgleda takole: Toda postavlja se vprašanje, kaj bo v praznih celicah tabele? Odvisno od problema, ki ga je treba rešiti. Če je v težavi o seštevku točk, potem je tam zapisan seštevek, če pa o razliki, potem je zapisana razlika itd.
Naloga 3. Istočasno sta vrženi 2 kocki. Kakšna je verjetnost, da dobite manj kot 5 točk?
Najprej morate ugotoviti, kakšno bo skupno število rezultatov poskusa. Vse je bilo očitno pri metanju ene kocke, 6 strani kocke - 6 rezultatov eksperimenta. Ko pa že obstajata dve kocki, lahko možne izide predstavimo kot urejene pare števil oblike (x, y), kjer x kaže, koliko točk je bilo vrženih na prvi kocki (od 1 do 6), y pa - koliko točk je bilo vrženih na drugi kocki (od 1 do 6). Skupaj bo takšnih številskih parov: n=6*6=36 (v tabeli rezultatov ustrezajo natančno 36 celicam).
Zdaj lahko izpolnite tabelo; v vsako celico se vnese število točk, ki so padle na prvo in drugo kocko. Izpolnjena tabela izgleda takole:
S pomočjo tabele bomo določili število izidov, ki dajejo prednost dogodku "skupaj bo manj kot 5 točk." Preštejmo število celic, v katerih bo vrednost vsote manjše število 5 (to so 2, 3 in 4). Za udobje prebarvamo takšne celice m=6:
Glede na podatke tabele, verjetnost kocke je enako: P=6/36=1/6.
Naloga 4. Vrženi sta bili dve kocki. Določite verjetnost, da bo zmnožek števila točk deljiv s 3.
Za rešitev naloge naredimo tabelo zmnožkov točk, ki so padle na prvi in drugi kocki. V njem takoj izpostavimo števila, ki so večkratnika 3:
Zapišemo skupno število izidov eksperimenta n=36 (utemeljitev je enaka kot pri prejšnja naloga) in število ugodnih izidov (število celic, ki so v tabeli osenčene) m=20. Verjetnost dogodka je: P=20/36=5/9.
Problem 5. Kocka je vržena dvakrat. Kolikšna je verjetnost, da bo razlika v številu točk na prvi in drugi kocki od 2 do 5?
Za določitev verjetnost kocke Zapišimo tabelo točkovnih razlik in v njej izberimo tiste celice, katerih vrednost razlike bo med 2 in 5:
Število ugodnih izidov (število osenčenih celic v tabeli) je m=10, skupno število enako možnih elementarnih izidov bo n=36. Določi verjetnost dogodka: P=10/36=5/18.
V primeru preprostega dogodka in pri metanju 2 kock morate sestaviti tabelo, nato v njej izbrati potrebne celice in njihovo število deliti s 36, to se bo štelo za verjetnost.
Problemi 1.4 - 1.6
Stanje problema 1.4
Navedite napako v "rešitvi" problema: vrženi sta dve kocki; poiščite verjetnost, da je vsota izžrebanih točk 3 (dogodek A). "Rešitev". Možna sta dva izida testa: vsota izžrebanih točk je 3, vsota izžrebanih točk ni enaka 3. Dogodku A daje prednost en izid, skupno število izidov je dva. torej zahtevana verjetnost je enako P(A) = 1/2.
Rešitev problema 1.4
Napaka v tej "rešitvi" je, da zadevni rezultati niso enako možni. Prava odločitev: Skupno število enako možnih izidov je enako (vsako število vrženih točk na eni kocki se lahko kombinira z vsemi števili, vrženimi na drugi kocki). Med temi izidi sta samo dva izida naklonjena dogodku: (1; 2) in (2; 1). To pomeni, da zahtevana verjetnost 
odgovor:
Stanje problema 1.5
Vrženi sta dve kocki. Poišči verjetnosti naslednjih dogodkov: a) vsota izžrebanih točk je sedem; b) seštevek izžrebanih točk je osem, razlika pa štiri; c) vsota izžrebanih točk je osem, če je znano, da je njihova razlika štiri; d) vsota ovrženih točk je pet, zmnožek pa štiri.
Rešitev problema 1.5
a) Šest možnosti na prvi kocki, šest na drugi. Skupaj možnosti: (glede na pravilo izdelka). Možnosti za vsoto, ki je enaka 7: (1,6), (6,1), (2,5), (5,2), (3,4), (4,3) - skupaj šest možnosti. pomeni,
b) Obstajata samo dve ustrezni možnosti: (6,2) in (2,6). pomeni,
c) Obstajata le dve ustrezni možnosti: (2,6), (6,2). Ampak v celoti možne možnosti 4: (2,6), (6,2), (1,5), (5,1). Pomeni,.
d) Za vsoto, ki je enaka 5, so primerne naslednje možnosti: (1,4), (4,1), (2,3), (3,2). Izdelek je 4 samo za dve možnosti. Potem
Odgovor: a) 1/6; b) 1/18; c) 1/2; d) 1/18
Stanje problema 1.6
Kocka, katere vsi robovi so obarvani, je razžagana na tisoč kock enake velikosti, ki jih nato temeljito premešamo. Ugotovite verjetnost, da ima kocka, ki jo je izrisala sreča, obarvane ploskve: a) eno; b) dva; c) tri.
Rešitev problema 1.6
Skupaj je nastalo 1000 kock. Kocke s tremi barvnimi ploskvami: 8 (to so kotne kocke). Z dvema obarvanima ploskvama: 96 (ker je 12 robov kocke z 8 kockami na vsakem robu). Kocke z barvnimi robovi: 384 (ker je 6 ploskev in je na vsaki 64 kock). Vse, kar ostane, je, da vsako najdeno količino delimo s 1000.
Odgovor: a) 0,384; b) 0,096 c) 0,008
Pustil odgovor Gost
Z eno kocko je situacija nespodobno preprosta. Naj vas spomnim, da se verjetnost ugotovi po formuli P=m/n
p
=
m
n
, kjer je n
n
je število vseh enako možnih elementarnih izidov poskusa, ki vključuje met kocke ali kocke, in m
m
- število izidov, ki dajejo prednost dogodku.
Primer 1: Kocka se vrže enkrat. Kakšna je verjetnost, da se je zgodilo sodo število očala?
Ker je kocka kocka (pravijo tudi navadna kocka, to je uravnotežena kocka, tako da z enako verjetnostjo pristane na vse strani), ima kocka 6 ploskev (s številom točk od 1 do 6, običajno označenih po točkah), potem in skupno število izidov v nalogi n=6
n
=
6
. Edini izidi, ki dajejo prednost dogodku, so tisti, kjer se pojavi stran z 2, 4 ali 6 točkami (samo soda števila); takšnih strani je m=3;
m
=
3
. Potem je zahtevana verjetnost P=3/6=1/2=0,5
p
=
3
6
=
1
2
=
0.5
.
Primer 2. Kocka je vržena. Poiščite verjetnost, da bo padlo vsaj 5 točk.
Razmišljamo enako kot v prejšnjem primeru. Skupno število enako možnih izidov pri metanju kocke n=6
n
=
6
, pogoj "vsaj 5 vrženih točk", to je "bodisi 5 ali 6 vrženih točk", je izpolnjen z 2 izidoma, m=2
m
=
2
. Zahtevana verjetnost je P=2/6=1/3=0,333
p
=
2
6
=
1
3
=
0.333
.
Sploh ne vidim smisla navajati več primerov, pojdimo na dve kocki, kjer postane vse bolj zanimivo in zapleteno.
Dve kocki
Ko gre za težave z metanjem 2 kock, je zelo priročno uporabiti tabelo točkovanja. Narišimo vodoravno število točk, ki so padle na prvi kocki, in navpično število točk, ki so padle na drugi kocki. Vzemimo nekaj takega (običajno to naredim v Excelu, datoteko lahko prenesete spodaj):
tabela točk za metanje 2 kock
Sprašujete, kaj je v celicah tabele? In od tega je odvisno, kakšen problem bomo rešili. Sledila bo naloga o seštevku točk - tja bomo zapisali vsoto, o razliki - napisali bomo razliko in tako naprej. Pa začnimo?
Primer 3. Istočasno sta vrženi 2 kocki. Poiščite verjetnost, da bo vsota manjša od 5 točk.
Najprej si poglejmo skupno število izidov poskusa. ko smo vrgli eno kocko, je bilo vse očitno, 6 strani - 6 izidov. Tu sta že dve kocki, zato lahko izide predstavimo kot urejene pare števil oblike (x,y)
x
,
l
, kjer je x
x
- koliko točk je bilo vrženih na prvi kocki (od 1 do 6), y
l
- koliko točk je padlo na drugi kocki (od 1 do 6). Očitno bo takih parov števil n=6⋅6=36
n
=
6
⋅
6
=
36
(in ustreza jim natanko 36 celic v tabeli rezultatov).
Zdaj je čas, da izpolnite tabelo. V vsako celico vpišemo vsoto vrženih točk na prvi in drugi kocki in dobimo naslednjo sliko:
tabela seštevka točk pri metu 2 kock
Zdaj nam bo ta tabela pomagala najti število izidov, ki so ugodni za dogodek "skupaj se bo pojavilo manj kot 5 točk." Da bi to naredili, preštejemo število celic, v katerih je vrednost vsote manjša od 5 (to je 2, 3 ali 4). Zaradi jasnosti pobarvajmo te celice, tam bo m=6
m
=
6
:
tabela skupnih točk manj kot 5 pri metu 2 kock
Potem je verjetnost: P=6/36=1/6
p
=
6
36
=
1
6
.
Primer 4. Vrženi sta dve kocki. Poiščite verjetnost, da je produkt števila točk deljiv s 3.
Izdelamo tabelo zmnožkov vrženih točk na prvi in drugi kocki. Takoj izpostavimo tiste številke, ki so večkratniki 3:
Tabela produkta točk pri metu 2 kock
Preostane le še zapisati, da je skupno število izidov n=36
n
=
36
(glej prejšnji primer, sklepanje je enako) in število ugodnih izidov (število osenčenih celic v zgornji tabeli) m=20
m
=
20
. Potem bo verjetnost dogodka enaka P=20/36=5/9
p
=
20
36
=
5
9
.
Kot lahko vidite, je tovrstno težavo s pravilno pripravo (poglejmo še nekaj težav) hitro in enostavno rešiti. Za popestritev naredimo še eno nalogo z drugo tabelo (vse tabele lahko prenesete na dnu strani).
Primer 5: Kocka je vržena dvakrat. Poiščite verjetnost, da bo razlika v številu točk na prvi in drugi kocki od 2 do 5.
Zapišimo tabelo točkovnih razlik, v njej označimo celice, v katerih bo vrednost razlike med 2 in 5:
Tabela razlike točk pri metu 2 kock
Torej je skupno število enako možnih elementarnih izidov n=36
n
=
36
in število ugodnih izidov (število osenčenih celic v zgornji tabeli) m=10
m
=
10
. Potem bo verjetnost dogodka enaka P=10/36=5/18
p
=
10
36
=
5
18
.
Torej, v primeru metanja 2 kock in preprost dogodek, morate sestaviti tabelo, v njej izbrati potrebne celice in njihovo število deliti s 36, to bo verjetnost. Poleg nalog o vsoti, zmnožku in razliki števila točk so na voljo tudi naloge o modulu razlike, najmanjšem in največjem številu izžrebanih točk (primerne tabele boste našli v Excelovi datoteki).
