Enačba s parametrom je edina rešitev. Enačbe s parametri

TO naloge s parametrom To lahko vključuje na primer iskanje rešitev linearnih in kvadratnih enačb v splošni obliki, preučevanje enačbe za število razpoložljivih korenin glede na vrednost parametra.

Brez navajanja podrobnih definicij upoštevajte naslednje enačbe kot primere:

y = kx, kjer sta x, y spremenljivki, k je parameter;

y = kx + b, kjer sta x, y spremenljivki, k in b sta parametra;

ax 2 + bx + c = 0, kjer so x spremenljivke, a, b in c pa parameter.

Reševanje enačbe (neenačbe, sistema) s parametrom praviloma pomeni reševanje neskončne množice enačb (neenačb, sistemov).

Naloge s parametrom lahko razdelimo na dve vrsti:

A) pogoj pravi: reši enačbo (neenakost, sistem) - to pomeni, da za vse vrednosti parametra najdeš vse rešitve. Če vsaj en primer ostane nepreiskan, se taka rešitev ne more šteti za zadovoljivo.

b) potrebno je navesti možne vrednosti parametra, pri katerih ima enačba (neenakost, sistem) določene lastnosti. Na primer, ima eno rešitev, nima nobene rešitve, ima rešitve, ki pripadajo intervalu itd. Pri takih nalogah je treba jasno navesti, pri kateri vrednosti parametra je zahtevani pogoj izpolnjen.

Parameter, ki je neznano fiksno število, ima nekakšno posebno dvojnost. Najprej je treba upoštevati, da domnevna slava kaže, da je treba parameter zaznati kot številko. Drugič, svoboda manipulacije parametra je omejena z njegovo nejasnostjo. Na primer, operacije deljenja z izrazom, ki vsebuje parameter, ali pridobivanje korena sode stopnje iz takega izraza zahtevajo predhodno raziskavo. Zato je pri ravnanju s parametrom potrebna previdnost.

Če želite na primer primerjati dve števili -6a in 3a, morate upoštevati tri primere:

1) -6a bo večje od 3a, če je a negativno število;

2) -6a = 3a v primeru, ko je a = 0;

3) -6a bo manjše od 3a, če je a pozitivno število 0.

Rešitev bo odgovor.

Naj bo podana enačba kx = b. Ta enačba je kratka različica neskončnega števila enačb z eno spremenljivko.

Pri reševanju takih enačb so lahko primeri:

1. Naj bo k poljubno realno število, ki ni enako nič, in b poljubno število iz R, potem je x = b/k.

2. Naj bo k = 0 in b ≠ 0, izvirna enačba bo imela obliko 0 x = b. Očitno je, da ta enačba nima rešitev.

3. Naj sta k in b števili enaki nič, potem velja enačba 0 x = 0. Njena rešitev je poljubno realno število.

Algoritem za reševanje te vrste enačbe:

1. Določite "kontrolne" vrednosti parametra.

2. Rešite prvotno enačbo za x za vrednosti parametrov, ki so bile določene v prvem odstavku.

3. Rešite prvotno enačbo za x za vrednosti parametrov, ki se razlikujejo od tistih, izbranih v prvem odstavku.

4. Odgovor lahko zapišete v naslednji obliki:

1) za ... (vrednosti parametrov) ima enačba korenine ...;

2) za ... (vrednosti parametrov), v enačbi ni korenin.

Primer 1.

Rešite enačbo s parametrom |6 – x| = a.

rešitev.

Lahko vidimo, da je tukaj a ≥ 0.

V skladu s pravilom modula 6 – x = ±a izrazimo x:

Odgovor: x = 6 ± a, kjer je a ≥ 0.

Primer 2.

Rešite enačbo a(x – 1) + 2(x – 1) = 0 glede na spremenljivko x.

rešitev.

Odprimo oklepaje: aх – а + 2х – 2 = 0

Zapišimo enačbo v standardni obliki: x(a + 2) = a + 2.

Če izraz a + 2 ni nič, tj. če je a ≠ -2, imamo rešitev x = (a + 2) / (a ​​​​+ 2), tj. x = 1.

Če je a + 2 enako nič, tj. a = -2, potem imamo pravilno enakost 0 x = 0, torej je x poljubno realno število.

Odgovor: x = 1 za a ≠ -2 in x € R za a = -2.

Primer 3.

Rešite enačbo x/a + 1 = a + x glede na spremenljivko x.

rešitev.

Če je a = 0, potem enačbo pretvorimo v obliko a + x = a 2 + ax ali (a – 1)x = -a(a – 1). Zadnja enačba za a = 1 ima obliko 0 x = 0, torej je x poljubno število.

Če je a ≠ 1, bo zadnja enačba v obliki x = -a.

To rešitev lahko ponazorimo na koordinatni premici (slika 1)

Odgovor: za a = 0 ni rešitev; x – poljubno število z a = 1; x = -a za a ≠ 0 in a ≠ 1.

Grafična metoda

Razmislimo o drugem načinu reševanja enačb s parametrom - grafično. Ta metoda se uporablja precej pogosto.

Primer 4.

Od parametra a je odvisno, koliko korenin ima enačba ||x| – 2| = a?

rešitev.

Za reševanje z grafično metodo sestavimo grafe funkcij y = ||x| – 2| in y = a (slika 2).

Risba jasno prikazuje možne primere lokacije ravne črte y = a in število korenin v vsaki od njih.

Odgovor: enačba ne bo imela korenov, če a< 0; два корня будет в случае, если a >2 in a = 0; enačba bo imela tri korene v primeru a = 2; štiri korenine - pri 0< a < 2.

Primer 5.

Pri kolikšnem je enačba 2|x| + |x – 1| = ima en sam koren?

rešitev.

Upodabljajmo grafe funkcij y = 2|x| + |x – 1| in y = a. Za y = 2|x| + |x – 1|, razširimo module z intervalno metodo, dobimo:

(-3x + 1, pri x< 0,

y = (x + 1, za 0 ≤ x ≤ 1,

(3x – 1, za x > 1.

Vklopljeno Slika 3 Jasno je razvidno, da bo imela enačba en sam koren le, če je a = 1.

Odgovor: a = 1.

Primer 6.

Določite število rešitev enačbe |x + 1| + |x + 2| = a odvisno od parametra a?

rešitev.

Graf funkcije y = |x + 1| + |x + 2| bo prekinjena črta. Njegova oglišča se bodo nahajala na točkah (-2; 1) in (-1; 1) (slika 4).

Odgovor: če je parameter a manjši od ena, potem enačba ne bo imela korenov; če je a = 1, potem je rešitev enačbe neskončna množica števil iz intervala [-2; -1]; če so vrednosti parametra a večje od ena, bo enačba imela dva korena.

Imate še vprašanja? Ne veste, kako rešiti enačbe s parametrom?
Če želite dobiti pomoč mentorja, se registrirajte.
Prva lekcija je brezplačna!

spletne strani, pri kopiranju materiala v celoti ali delno je obvezna povezava do vira.

1. Sistemi linearnih enačb s parametrom

Sisteme linearnih enačb s parametrom rešujemo z enakimi osnovnimi metodami kot navadne sisteme enačb: metodo substitucije, metodo seštevanja enačb in grafično metodo. Poznavanje grafične interpretacije linearnih sistemov olajša odgovor na vprašanje o številu korenin in njihovem obstoju.

Primer 1.

Poiščite vse vrednosti parametra a, za katere sistem enačb nima rešitev.

(x + (a 2 – 3)y = a,
(x + y = 2.

rešitev.

Oglejmo si več načinov za rešitev te naloge.

1 način. Uporabimo lastnost: sistem nima rešitev, če je razmerje koeficientov pred x enako razmerju koeficientov pred y, ni pa enako razmerju prostih členov (a/a 1 = b /b 1 ≠ c/c 1). Potem imamo:

1/1 = (a 2 – 3)/1 ≠ a/2 ali sistem

(in 2 – 3 = 1,
(a ≠ 2.

Iz prve enačbe a 2 = 4 torej ob upoštevanju pogoja a ≠ 2 dobimo odgovor.

Odgovor: a = -2.

Metoda 2. Rešujemo z metodo substitucije.

(2 – y + (a 2 – 3)y = a,
(x = 2 – y,

((a 2 – 3)y – y = a – 2,
(x = 2 – y.

Ko vzamemo skupni faktor y iz oklepajev v prvi enačbi, dobimo:

((a 2 – 4)y = a – 2,
(x = 2 – y.

Sistem nima rešitev, če prva enačba nima rešitev, tj

(in 2 – 4 = 0,
(a – 2 ≠ 0.

Očitno je a = ±2, vendar ob upoštevanju drugega pogoja pride odgovor samo z odgovorom minus.

odgovor: a = -2.

Primer 2.

Poiščite vse vrednosti parametra a, za katere ima sistem enačb neskončno število rešitev.

(8x + ay = 2,
(ax + 2y = 1.

rešitev.

Glede na lastnost, če je razmerje med koeficientoma x in y enako in je enako razmerju prostih članov sistema, potem ima neskončno število rešitev (tj. a/a 1 = b/ b 1 = c/c 1). Zato je 8/a = a/2 = 2/1. Z rešitvijo vsake nastale enačbe ugotovimo, da je a = 4 odgovor v tem primeru.

odgovor: a = 4.

2. Sistemi racionalnih enačb s parametrom

Primer 3.

(3|x| + y = 2,
(|x| + 2y = a.

rešitev.

Pomnožimo prvo enačbo sistema z 2:

(6|x| + 2y = 4,
(|x| + 2y = a.

Če odštejemo drugo enačbo od prve, dobimo 5|x| = 4 – a. Ta enačba bo imela edinstveno rešitev za a = 4. V drugih primerih bo imela ta enačba dve rešitvi (za a< 4) или ни одного (при а > 4).

Odgovor: a = 4.

Primer 4.

Poiščite vse vrednosti parametra a, za katere ima sistem enačb edinstveno rešitev.

(x + y = a,
(y – x 2 = 1.

rešitev.

Ta sistem bomo reševali z grafično metodo. Tako je graf druge enačbe sistema parabola, dvignjena vzdolž osi Oy navzgor za en segment enote. Prva enačba podaja niz premic, vzporednih s premico y = -x (slika 1). Iz slike je jasno razvidno, da ima sistem rešitev, če je premica y = -x + a tangentna na parabolo v točki s koordinatami (-0,5, 1,25). Če zamenjamo te koordinate v enačbo premice namesto x in y, najdemo vrednost parametra a:

1,25 = 0,5 + a;

Odgovor: a = 0,75.

Primer 5.

Z metodo substitucije ugotovite, pri kateri vrednosti parametra a ima sistem edinstveno rešitev.

(ax – y = a + 1,
(ax + (a + 2)y = 2.

rešitev.

Iz prve enačbe izrazimo y in jo nadomestimo v drugo:

(y = sekira – a – 1,
(ax + (a + 2)(ax – a – 1) = 2.

Zreducirajmo drugo enačbo na obliko kx = b, ki bo imela enolično rešitev za k ≠ 0. Imamo:

ax + a 2 x – a 2 – a + 2ax – 2a – 2 = 2;

a 2 x + 3ax = 2 + a 2 + 3a + 2.

Kvadratni trinom a 2 + 3a + 2 predstavimo kot produkt oklepajev

(a + 2)(a + 1), na levi pa vzamemo x iz oklepaja:

(a 2 + 3a)x = 2 + (a + 2)(a + 1).

Očitno a 2 + 3a ne bi smelo biti enako nič, zato

a 2 + 3a ≠ 0, a(a + 3) ≠ 0, kar pomeni a ≠ 0 in ≠ -3.

odgovor: a ≠ 0; ≠ -3.

Primer 6.

Z metodo grafičnega reševanja ugotovite, pri kateri vrednosti parametra a ima sistem enolično rešitev.

(x 2 + y 2 = 9,
(y – |x| = a.

rešitev.

Na podlagi pogoja konstruiramo krog s središčem v izhodišču in polmerom treh enotskih segmentov; to določa prva enačba sistema

x 2 + y 2 = 9. Druga enačba sistema (y = |x| + a) je lomljena črta. Z uporabo slika 2 Upoštevamo vse možne primere njegove lokacije glede na krog. Preprosto je videti, da je a = 3.

Odgovor: a = 3.

Imate še vprašanja? Ne veste, kako rešiti sisteme enačb?
Če želite dobiti pomoč mentorja, se registrirajte.
Prva lekcija je brezplačna!

spletne strani, pri kopiranju materiala v celoti ali delno je obvezna povezava do vira.

1. Naloga.
Pri katerih vrednostih parametrov a enačba ( a - 1)x 2 + 2x + a- Ali ima 1 = 0 točno en koren?

1. Rešitev.
pri a= 1 je enačba 2 x= 0 in ima očitno en koren x= 0. Če ašt. 1, potem je ta enačba kvadratna in ima en koren za tiste vrednosti parametrov, pri katerih je diskriminanta kvadratnega trinoma enaka nič. Če diskriminanco izenačimo z nič, dobimo enačbo za parameter a 4a 2 - 8a= 0, od koder a= 0 oz a = 2.

1. Odgovor: enačba ima en sam koren pri a O (0; 1; 2).

2. Naloga.
Poiščite vse vrednosti parametrov a, za katero ima enačba dva različna korena x 2 +4sekira+8a+3 = 0.
2. Rešitev.
Enačba x 2 +4sekira+8a+3 = 0 ima dva različna korena, če in samo če D = 16a 2 -4(8a+3) > 0. Dobimo (po zmanjšanju za skupni faktor 4) 4 a 2 -8a-3 > 0, od koder

2. Odgovor:

3. Naloga.
Znano je, da
f 2 (x) = 6x-x 2 -6.
a) Narišite graf funkcije f 1 (x) pri a = 1.
b) V kakšni vrednosti a funkcijski grafi f 1 (x) In f 2 (x) imajo eno skupno točko?

3. Rešitev.
3.a. Preobrazimo se f 1 (x), kot sledi
Graf te funkcije pri a= 1 je prikazano na sliki na desni.
3.b. Naj takoj opozorimo, da so grafi funkcij l = kx+b in l = sekira 2 +bx+c (ašt. 0) sekajo v eni sami točki, če in samo če je kvadratna enačba kx+b = sekira 2 +bx+c ima en sam koren. Uporaba Pogleda f 1 od 3.a, izenačimo diskriminanto enačbe a = 6x-x 2-6 proti nič. Iz enačbe 36-24-4 a= 0 dobimo a= 3. Naredite enako z enačbo 2 x-a = 6x-x 2-6 bomo našli a= 2. Preprosto je preveriti, ali te vrednosti parametrov izpolnjujejo pogoje problema. odgovor: a= 2 oz a = 3.

4. Naloga.
Poiščite vse vrednosti a, za katerega je množica rešitev neenačbe x 2 -2sekira-3a i 0 vsebuje segment .

4. Rešitev.
Prva koordinata vrha parabole f(x) = x 2 -2sekira-3a enako x 0 = a. Iz lastnosti kvadratne funkcije pogoj f(x) і 0 na segmentu je enakovreden nizu treh sistemov
ima točno dve rešitvi?

5. Rešitev.
Zapišimo to enačbo v obliki x 2 + (2a-2)x - 3a+7 = 0. To je kvadratna enačba, ki ima natanko dve rešitvi, če je njena diskriminanta strogo večja od nič. Z izračunom diskriminante ugotovimo, da je pogoj za prisotnost natanko dveh korenin izpolnitev neenakosti a 2 +a-6 > 0. Reševanje neenačbe najdemo a < -3 или a> 2. Prva od neenačb očitno nima rešitev v naravnih številih, najmanjša naravna rešitev druge pa je število 3.

5. Odgovor: 3.

6. Težava (10 tipk)
Poiščite vse vrednosti a, za katerega je graf funkcije ali po očitnih transformacijah a-2 = | 2-a| . Zadnja enačba je enakovredna neenakosti a jaz 2.

6. Odgovor: a O kjer so \ spremenljivke, \ je parameter;

\[y = kx + b,\] kjer so \ spremenljivke, \ je parameter;

\[аx^2 + bх + с = 0,\] kjer je \ spremenljivka, \[а, b, с\] je parameter.

Reševanje enačbe s parametrom praviloma pomeni reševanje neskončne množice enačb.

Vendar pa lahko po določenem algoritmu enostavno rešite naslednje enačbe:

1. Določite "kontrolne" vrednosti parametra.

2. Rešite izvirno enačbo za [\x\] z vrednostmi parametrov, definiranimi v prvem odstavku.

3. Rešite izvirno enačbo za [\x\] za vrednosti parametrov, ki se razlikujejo od tistih, izbranih v prvem odstavku.

Recimo, da imamo naslednjo enačbo:

\[\sredina 6 - x \sredina = a.\]

Po analizi začetnih podatkov je jasno, da \[\ge 0.\]

V skladu s pravilom modula izrazimo \

Odgovor: \kje\

Kje lahko na spletu rešim enačbo s parametrom?

Enačbo lahko rešite na naši spletni strani https://site. Brezplačni spletni reševalec vam bo omogočil reševanje spletnih enačb katere koli zahtevnosti v nekaj sekundah. Vse kar morate storiti je, da preprosto vnesete svoje podatke v reševalec. Ogledate si lahko tudi video navodila in se naučite reševati enačbo na naši spletni strani. In če imate še vedno vprašanja, jih lahko postavite v naši skupini VKontakte http://vk.com/pocketteacher. Pridružite se naši skupini, vedno vam z veseljem pomagamo.