Formula enačbe kroga. Kartezične koordinate ravninskih točk

Analitična geometrija zagotavlja enotne tehnike za reševanje geometrijskih problemov. V ta namen so vse dane in iskane točke in črte dodeljene enemu koordinatnemu sistemu.

V koordinatnem sistemu lahko vsako točko označimo s svojimi koordinatami, vsako črto pa z enačbo z dvema neznankama, katere graf je ta črta. Tako se geometrijski problem reducira na algebraičnega, kjer so vse računske metode dobro razvite.

Krog je geometrijsko mesto točk z eno specifično lastnostjo (vsaka točka na krogu je enako oddaljena od ene točke, imenovane središče). Enačba kroga mora odražati to lastnost in izpolnjevati ta pogoj.

Geometrična razlaga enačbe kroga je črta kroga.

Če postavite krog v koordinatni sistem, potem vse točke na krogu izpolnjujejo en pogoj - razdalja od njih do središča kroga mora biti enaka in enaka krogu.

Krog s središčem v točki A in polmer R postavimo v koordinatno ravnino.

Če središče koordinira (a;b) , in koordinate poljubne točke na krogu (x;y) , potem ima enačba kroga obliko:

Če je kvadrat polmera kroga enak vsoti kvadratov razlik med ustreznimi koordinatami katerekoli točke na krogu in njegovim središčem, potem je ta enačba enačba kroga v ravninskem koordinatnem sistemu.

Če središče kroga sovpada z izhodiščem, potem je kvadrat polmera kroga enak vsoti kvadratov koordinat katere koli točke na krogu. V tem primeru ima enačba kroga obliko:

Primeri reševanja nalog o enačbi kroga

Naloga. Napišite enačbo za dani krog

rešitev.
Obrnemo se na formulo za enačbo kroga:
R 2 = (x-a) 2 + (y-b) 2

Zamenjajmo vrednosti v formulo.
Polmer kroga R = 4
Koordinate središča kroga (glede na stanje)
a = 2
b = -3

Dobimo:
(x - 2 ) 2 + (y - (-3 )) 2 = 4 2
oz
(x - 2) 2 + (y + 3) 2 = 16.

Naloga. Ali točka pripada enačbi kroga?

rešitev.
Če točka pripada krogu, potem njegove koordinate zadoščajo enačbi kroga.
Če želite preveriti, ali točka z danimi koordinatami pripada krogu, nadomestite koordinate točke v enačbo danega kroga.

V enačbi ( x - 2) 2 + (l + 3) 2 = 16
Nadomestimo glede na pogoj koordinate točke A(2;3), tj
x = 2
y=3

Preverimo resničnost nastale enakosti
(x - 2) 2 + (l + 3) 2 = 16
(2 - 2) 2 + (3 + 3) 2 = 16
0 + 36 = 16 enakost je lažna

Torej dana točka ne pripada dana enačba kroga.

Definicija 1. Številčna os ( številska premica, koordinatna premica) Ox je premica, na kateri je izbrana točka O izvor (izhodišče koordinat)(slika 1), smer

O → x

naveden kot pozitivno smer in označen je segment, katerega dolžina se šteje za dolžinska enota.

Definicija 2. Odsek, katerega dolžina je vzeta kot enota dolžine, se imenuje merilo.

Vsaka točka na številski osi ima koordinato, ki je realno število. Koordinata točke O je nič. Koordinata poljubne točke A, ki leži na žarku Ox, je enaka dolžini odseka OA.

Koordinata poljubne točke A numerične osi, ki ne leži na žarku Ox, je negativna in v absolutni vrednosti enaka dolžini odseka OA. Definicija 3. Pravokotni kartezični koordinatni sistem Oxy na ravnini pokličite dva skupaj pravokotno numerični osi Ox in Oy z in enako lestvico skupna referenčna točka v točki O in tako, da se rotacija od žarka Ox pod kotom 90° do žarka Oy izvaja v smeri v nasprotni smeri urinega kazalca

(slika 2). Opomba. Pravokotni kartezični koordinatni sistem Oxy, prikazan na sliki 2, se imenuje desni koordinatni sistem , za razliko od levi koordinatni sistem , pri katerem se vrtenje žarka Ox pod kotom 90° glede na žarek Oy izvaja v smeri urinega kazalca. V tem vodniku smo upoštevamo samo desnosučne koordinatne sisteme

, ne da bi to posebej navedli. Če na ravnini uvedemo nek sistem pravokotnih kartezičnih koordinat Oxy, bo vsaka točka ravnine pridobila – dve koordinati in abscisa ordinata , ki se izračunajo na naslednji način. Naj bo A poljubna točka na ravnini. Iz točke A spustimo navpičnico A.A. , ki se izračunajo na naslednji način. Naj bo A poljubna točka na ravnini. Iz točke A spustimo navpičnico 1 in

2 na ravne črte Ox oziroma Oy (slika 3). Definicija 4. Abscisa točke A je koordinata točke A Definicija 4. Abscisa točke A je koordinata točke 1 na številski osi Ox je ordinata točke A koordinata točke

2 na številski osi Oy. Imenovanje A v pravokotnem kartezičnem koordinatnem sistemu običajno označimo z Oxy (slika 4). Definicija 4. Abscisa točke A je koordinata točke(x;l) oz Definicija 4. Abscisa točke A je koordinata točke = (x; l).

Opomba. Točka O, imenovana izvor, ima koordinate O(0 ; 0) .

Definicija 5. V pravokotnem kartezičnem koordinatnem sistemu Oxy numerično os Ox imenujemo abscisna os, numerično os Oy pa ordinatno os (slika 5).

Opredelitev 6. Vsak pravokotni kartezični koordinatni sistem deli ravnino na 4 četrtine (kvadrante), katerih oštevilčenje je prikazano na sliki 5.

Opredelitev 7. Imenuje se ravnina, na kateri je podan pravokotni kartezični koordinatni sistem koordinatna ravnina.

Opomba. Abscisna os je na koordinatni ravnini določena z enačbo l= 0 je ordinatna os podana na koordinatni ravnini z enačbo x = 0.

Izjava 1. Razdalja med dvema točkama koordinatna ravnina

Definicija 4. Abscisa točke A je koordinata točke 1 (x 1 ;l 1) in Definicija 4. Abscisa točke A je koordinata točke 2 (x 2 ;l 2)

izračunano po formuli

Dokaz . Razmislite o sliki 6.

Obseg je množica točk v ravnini, ki so enako oddaljene od dane točke, imenovane središče.

Če je točka C središče kroga, R njegov polmer in M ​​poljubna točka na krogu, potem po definiciji kroga

Enakost (1) je enačba kroga polmer R s središčem v točki C.

Naj bo pravokotni kartezični koordinatni sistem (slika 104) in točka C( A; b) je središče kroga s polmerom R. Naj bo M( X; pri) je poljubna točka tega kroga.

Ker |SM| = \(\sqrt((x - a)^2 + (y - b)^2) \), potem lahko enačbo (1) zapišemo kot sledi:

\(\sqrt((x - a)^2 + (y - b)^2) \) = R

(x-a) 2 + (y - b) 2 = R 2 (2)

Enačba (2) se imenuje splošna enačba kroga ali enačba kroga s polmerom R s središčem v točki ( A; b). Na primer enačba

(x - l) 2 + ( l + 3) 2 = 25

je enačba kroga s polmerom R = 5 s središčem v točki (1; -3).

Če središče kroga sovpada z izhodiščem koordinat, dobi enačba (2) obliko

x 2 + pri 2 = R 2 . (3)

Enačba (3) se imenuje kanonična enačba kroga .

Naloga 1. Zapišite enačbo kroga s polmerom R = 7 s središčem v izhodišču.

Z neposredno zamenjavo vrednosti polmera v enačbo (3) dobimo

x 2 + pri 2 = 49.

Naloga 2. Zapišite enačbo kroga s polmerom R = 9 s središčem v točki C(3; -6).

Če zamenjamo vrednost koordinat točke C in vrednost polmera v formulo (2), dobimo

(X - 3) 2 + (pri- (-6)) 2 = 81 ali ( X - 3) 2 + (pri + 6) 2 = 81.

Naloga 3. Poiščite središče in polmer kroga

(X + 3) 2 + (pri-5) 2 =100.

Če to enačbo primerjamo s splošno enačbo kroga (2), vidimo, da A = -3, b= 5, R = 10. Zato je C(-3; 5), R = 10.

Naloga 4. Dokaži, da je enačba

x 2 + pri 2 + 4X - 2l - 4 = 0

je enačba kroga. Poiščite njegovo središče in polmer.

Preoblikujemo levo stran te enačbe:

x 2 + 4X + 4- 4 + pri 2 - 2pri +1-1-4 = 0

(X + 2) 2 + (pri - 1) 2 = 9.

Ta enačba je enačba kroga s središčem v (-2; 1); Polmer kroga je 3.

Naloga 5. Zapišite enačbo krožnice s središčem v točki C(-1; -1), ki se dotika premice AB, če je A (2; -1), B(- 1; 3).

Zapišimo enačbo premice AB:

ali 4 X + 3l-5 = 0.

Ker se krožnica dotika dane premice, je polmer, narisan do stične točke, pravokoten na to premico. Če želite najti polmer, morate najti razdaljo od točke C(-1; -1) - središča kroga do ravne črte 4 X + 3l-5 = 0:

Zapišimo enačbo želenega kroga

(x +1) 2 + (l +1) 2 = 144 / 25

Naj bo v pravokotnem koordinatnem sistemu podan krog x 2 + pri 2 = R 2 . Upoštevajte njegovo poljubno točko M( X; pri) (slika 105).

Pustimo radij vektor OM> točka M tvori magnitudni kot t s pozitivno smerjo osi O X, potem se abscisa in ordinata točke M spreminjata glede na t

(0 t x in y skozi t, najdemo

x= Rcos t ; l= R sin t , 0 t

Enačbe (4) imenujemo parametrične enačbe kroga s središčem v izhodišču.

Naloga 6. Krog je podan z enačbami

x= \(\sqrt(3)\)cos t, l= \(\sqrt(3)\)sin t, 0 t

Zapišite kanonično enačbo tega kroga.

Iz pogoja izhaja x 2 = 3 cos 2 t, pri 2 = 3 greh 2 t. Če dodamo te enakosti člen za členom, dobimo

x 2 + pri 2 = 3(cos 2 t+ greh 2 t)

oz x 2 + pri 2 = 3

Če na koordinatno ravnino postavite številčni krog enote, lahko najdete koordinate za njegove točke. Številski krog je postavljen tako, da njegovo središče sovpada z izhodiščem ravnine, to je s točko O (0; 0).

Običajno so na krogu številk enote označene točke, ki ustrezajo izhodišču kroga

• četrtine - 0 ali 2π, π/2, π, (2π)/3,
• srednje četrtine - π/4, (3π)/4, (5π)/4, (7π)/4,
• tretjine četrtin - π/6, π/3, (2π)/3, (5π)/6, (7π)/6, (4π)/3, (5π)/3, (11π)/6.

Na koordinatni ravnini z zgornjo lokacijo enotskega kroga lahko najdete koordinate, ki ustrezajo tem točkam kroga.

Koordinate koncev četrtin je zelo enostavno najti. V točki 0 kroga je koordinata x 1, koordinata y pa 0. Označimo jo lahko kot A (0) = A (1; 0).

Konec prvega četrtletja bo na pozitivni osi y. Zato je B (π/2) = B (0; 1).

Konec druge četrtine je na negativni pol-osi: C (π) = C (-1; 0).

Konec tretje četrtine: D ((2π)/3) = D (0; -1).

Toda kako najti koordinate središč četrtin? Če želite to narediti, sestavite pravokotni trikotnik. Njegova hipotenuza je odsek od središča kroga (ali izhodišča) do sredine četrtine kroga. To je polmer kroga. Ker je krog enota, je hipotenuza enaka 1. Nato narišite pravokotnico iz točke na krogu na poljubno os. Naj bo proti osi x. Rezultat je pravokotni trikotnik, katerega dolžine krakov sta koordinati x in y točke na krogu.

Četrtina kroga je 90º. In pol četrtine je 45º. Ker je hipotenuza narisana na središče kvadranta, je kot med hipotenuzo in krakom, ki se razteza iz izhodišča, 45°. Toda vsota kotov katerega koli trikotnika je 180º. Posledično ostane tudi kot med hipotenuzo in drugo nogo 45º. Posledica tega je enakokraki pravokotni trikotnik.

Iz Pitagorovega izreka dobimo enačbo x 2 + y 2 = 1 2. Ker je x = y in 1 2 = 1, se enačba poenostavi na x 2 + x 2 = 1. Če jo rešimo, dobimo x = √½ = 1/√2 = √2/2.

Tako so koordinate točke M 1 (π/4) = M 1 (√2/2; √2/2).

V koordinatah središč drugih četrtin se bodo spremenili samo znaki, moduli vrednosti pa bodo ostali enaki, saj bo desni trikotnik le obrnjen. Dobimo:
M 2 ((3π)/4) = M 2 (-√2/2; √2/2)
M 3 ((5π)/4) = M 3 (-√2/2; -√2/2)
M 4 ((7π)/4) = M 4 (√2/2; -√2/2)

Pri določanju koordinat tretjih delov četrtin kroga se sestavi tudi pravokotni trikotnik. Če vzamemo točko π/6 in narišemo pravokotno na os x, bo kot med hipotenuzo in krakom, ki leži na osi x, 30°. Znano je, da je noga, ki leži nasproti kota 30º, enaka polovici hipotenuze. To pomeni, da smo našli koordinato y, enaka je ½.

Če poznamo dolžine hipotenuze in enega od krakov, z uporabo Pitagorovega izreka najdemo drugi krak:
x 2 + (½) 2 = 1 2
x 2 = 1 - ¼ = ¾
x = √3/2

Tako je T 1 (π/6) = T 1 (√3/2; ½).

Za točko druge tretjine prve četrtine (π/3) je bolje narisati pravokotno os na os y. Potem bo tudi kot v izhodišču 30º. Tu bo koordinata x enaka ½, y pa √3/2: T 2 (π/3) = T 2 (½; √3/2).

Za druge točke tretjih četrtin se bodo znaki in vrstni red vrednosti koordinat spremenili. Vse točke, ki so bližje osi x, bodo imele koordinatno vrednost modula x enako √3/2. Tiste točke, ki so bližje osi y, bodo imele vrednost modula y enako √3/2.
T 3 ((2π)/3) = T 3 (-½; √3/2)
T 4 ((5π)/6) = T 4 (-√3/2; ½)
T 5 ((7π)/6) = T 5 (-√3/2; -½)
T 6 ((4π)/3) = T 6 (-½; -√3/2)
T 7 ((5π)/3) = T 7 (½; -√3/2)
T 8 ((11π)/6) = T 8 (√3/2; -½)