Primeri diferencialnih enačb Bernoullijeve enačbe. Bernoullijeva enačba za realno tekočino

Tema 7

Analiza in uporaba Bernoullijeve enačbe

1. Enačba kontinuitete v hidravliki. Poraba.

2. Analiza Bernoullijeve enačbe.

3. Energijski pomen Bernoullijeve enačbe.

4. Meja uporabnosti Bernulijeve enačbe.

5. Primeri uporabe Bernoullijeve enačbe.

5.1. Venturijev merilnik pretoka.

5.2. Merjenje hitrosti (Pitotova cev).

5.3. Kavitacija.

5.4. Toricellijeva formula.

6. Enačba kontinuitete v hidravliki. Poraba.

7.1. Poraba. Enačba kontinuitete v hidravliki

Oglejmo si enakomerni tok med bivalnimi odseki 1,2 (slika 26).

kjer je površina živega prereza, in je povprečna hitrost v prerezu.

V tem času skozi bivalni del 2 izteče količina tekočine

kjer je območje živega odseka 2, je povprečna hitrost v odseku 2.

Ker se oblika prostornine 1-2 s časom ne spreminja, je tekočina nestisljiva, mora biti prostornina tekočine enaka prostornini, ki izteka.

Zato lahko pišemo

Ta enačba se imenuje enačba kontinuitete.

Iz enačbe kontinuitete sledi, da

Povprečne hitrosti so obratno sorazmerne s površinami ustreznih odsekov.

7.2. Analiza Bernoullijeve enačbe

Zapišimo Bernoullijevo enačbo za enakomerno gibanje idealne stisljive tekočine pod pogojem njene barotropije () v polju masnih sil

,

ob integraciji imamo

.

Za potencialni tok je konstanta Bernoullijeve enačbe konstantna v celotnem območju toka. Pri vrtinčnem gibanju idealne tekočine je konstanta Z v Bernoullijevem integralu ohranja konstantno vrednost samo za dano vrtinčno črto in ne za celoten prostor, kot v primeru irotacijskega toka.

Bernoullijeva enačba je ena glavnih v dinamiki tekočin, saj določa spremembo glavnih parametrov toka – tlaka, hitrosti in višine tekočine.

Integrirajmo Bernoullijevo diferencialno enačbo za zadnji del toka 1-2

.

Integral izraža delo tlačnih sil, ki s pritiskom premaknejo kilogram tekočine iz območja 1 r 1 v območje 2 s pritiskom r 2 .

Vrednost integrala se spreminja glede na vrsto procesa (termodinamičnega), ki ga tekočina izvaja, torej na vrsto odvisnosti.

Oglejmo si izobarni proces (slika 27)

V izohornem procesu

Za nestisljivo tekočino, ki teče brez izmenjave mehanskega dela z zunanjim okoljem, dobimo iz Bernoullijeve enačbe

,

ali množenje z r

,

ali deljenje z rg

,

kjer imajo konstante naslednji fizični pomen:

Z- skupna mehanska energija kilograma tekočine oz polni pritisk, ,

Skupna mehanska energija mase tekočine s prostornino kubičnega metra oz polni pritisk, oz oče ,

- skupna mehanska energija oz polni pritisk v metrih stolpca dane tekočine.

Vse tri količine imajo enak fizikalni pomen; katera koli od njih ima ime polna glava.

Komponente celotne mehanske energije tekočine so najbolj jasno prikazane in merjene v metrih stolpca tekočine,

g z,rgz,z- potencialna energija položaja tekočine, merjena od poljubno izbrane horizontalne nivelmanske ravnine, oz geometrijska glava, ,

Potencialna energija tlaka tekočine oz piezometrična glava,,

-potencialna energija tekočine oz hidrostatska glava,,

- kinetična energija tekočine oz ekspresno pritisk, .

Piezometrična glava r se lahko meri iz polnega vakuuma p=0 ali na primer zaradi pritiska okolja. Absolutni ali presežni tlak je treba nadomestiti na obeh straneh enačb.

Izhodišče za energijo je poljubno, vendar mora biti enako za obe strani enačb.

7.3. Energijski pomen Bernoullijeve enačbe

Sestavljen je iz vzpostavitve zakona o ohranitvi celotne mehanske energije na enoto mase nestisljive tekočine

a) s potencialnim tokom za katero koli točko v prostoru,

b) z vrtincem - samo vzdolž vrtinčne pretočne črte in elementarno

Ta zakon je včasih formuliran kot izrek treh višin.

V danih pogojih ostane vsota treh višin - geometrijske, piezometrične in dinamične - nespremenjena.

V tem primeru se komponente celotne energije lahko med seboj pretvarjajo.

Upoštevati je treba, da spremembe kinetične energije nestisljive tekočine vzdolž elementarnega toka ni mogoče določiti poljubno: v skladu z enačbo kontinuitete je ta sprememba enolično določena s spremembo površine prečnega prereza kanal

Tok v vodoravnem curku je velikega praktičnega pomena; realiziran je v šobah motorja. Zapišimo Bernoullijevo enačbo pri z= konst

.

Torej povečanje hitrosti nestisljive tekočine v vodoravnem elementarnem toku vedno spremlja zmanjšanje tlaka, zmanjšanje hitrosti pa vedno spremlja povečanje tlaka do v= 0. Zato se tlak z visoko hitrostjo pogosto uporablja, na primer za dovajanje vode v hladilni sistem, lomljenje kamenja itd.

Zaradi dejstva, da se lahko hitrost nestisljive tekočine zmanjša le zaradi spremembe površine prečnega prereza, pridemo do pomembne ugotovitve, da vzorec tokov med tokom nestisljive tekočine enolično določa ne le spremembo hitrosti , temveč tudi statični tlak: ko se tok zgosti, se tlak zmanjša, z raztezanjem pa se poveča. To pravilo se pogosto uporablja pri analizi gibanja tekočine in njene interakcije s telesi.

7.4. Meja uporabnosti kontinuitete in Bernoullijeve enačbe

Ko tekočina teče skozi kanal pri konstantnem in pri poljubno spremenljivem območju 2. Zdi se, da

.

Vendar pa glede na Bernoullijevo enačbo pri

,

pritisk bi moral vzeti vrednost minus neskončnost, kar nima smisla: absolutni tlak ne more biti manjši od nič.

Tako kontinuiteta in Bernoullijeva enačba veljata le, dokler je minimalni tlak v toku večji od nič.

Dokumentarni izobraževalni filmi. Serija "Fizika".

Daniel Bernoulli (29. januar (8. februar) 1700 - 17. marec 1782), švicarski univerzalni fizik, mehanik in matematik, eden od ustvarjalcev kinetične teorije plinov, hidrodinamike in matematične fizike. Akademik in tuji častni član (1733) Sanktpeterburške akademije znanosti, član akademij: bolonjske (1724), berlinske (1747), pariške (1748), londonske Kraljeve družbe (1750). Sin Johanna Bernoullija.

Bernoullijev zakon (enačba) je (v najpreprostejših primerih) posledica zakona o ohranitvi energije za stacionarni tok idealne (to je brez notranjega trenja) nestisljive tekočine:

Tukaj

Bernoullijevo enačbo lahko izpeljemo tudi kot posledico Eulerjeve enačbe, ki izraža ravnovesje gibalne količine gibljive tekočine.

V znanstveni literaturi se običajno imenuje Bernoullijev zakon Bernoullijeva enačba(ne zamenjujte z Bernoullijevo diferencialno enačbo), Bernoullijev izrek oz Bernoullijev integral.

Konstanta na desni strani se pogosto imenuje polni pritisk in je v splošnem primeru odvisen od pretoka.

Razsežnost vseh členov je enota energije na prostorninsko enoto tekočine. Prvi in ​​drugi člen v Bernoullijevem integralu imata pomen kinetične in potencialne energije na prostorninsko enoto tekočine. Treba je opozoriti, da je tretji člen v svojem izvoru delo tlačnih sil in ne predstavlja rezerve kakšne posebne vrste energije (»energija pritiska«).

Razmerje, ki je blizu zgoraj navedenemu, je leta 1738 dobil Daniel Bernoulli, čigar ime se običajno povezuje Bernoullijev integral. Integral v sodobni obliki je okoli leta 1740 dobil Johann Bernoulli.

Za vodoravno cev je višina konstantna in Bernoullijeva enačba ima obliko: .

To obliko Bernoullijeve enačbe lahko dobimo z integracijo Eulerjeve enačbe za stacionarni enodimenzionalni tok tekočine pri konstantni gostoti: .

Po Bernoullijevem zakonu skupni tlak v enakomernem toku tekočine ostane konstanten vzdolž tega toka.

Skupni pritisk sestoji iz teže, statičnega in dinamičnega tlaka.

Iz Bernoullijevega zakona sledi, da se z zmanjševanjem preseka toka zaradi povečanja hitrosti, to je dinamičnega tlaka, zmanjšuje statični tlak. To je glavni razlog za Magnusov učinek. Bernoullijev zakon velja tudi za laminarne plinske tokove. Pojav zmanjšanja tlaka s povečanjem pretoka je osnova za delovanje različnih vrst merilnikov pretoka (na primer Venturijeva cev), vodnih in parnih črpalk. In dosledna uporaba Bernoullijevega zakona je pripeljala do nastanka tehnične hidromehanske discipline - hidravlike.

Bernoullijev zakon velja v svoji čisti obliki le za tekočine, katerih viskoznost je enaka nič. Za aproksimacijo toka realnih tekočin v tehnični mehaniki tekočin (hidravlika) se uporablja Bernoullijev integral z dodatkom členov, ki upoštevajo izgube zaradi lokalnih in porazdeljenih uporov.

Posplošitve Bernoullijevega integrala so znane za nekatere razrede tokov viskoznih tekočin (na primer za ravninsko vzporedne tokove), v magnetohidrodinamiki in ferohidrodinamiki.

Bernoullijeva enačba velja za enega od osnovnih zakonov mehanike tekočine; vzpostavlja povezavo med tlakom v toku tekočine in hitrostjo njenega gibanja v hidravličnih sistemih: s povečevanjem hitrosti toka mora tlak v njej padati; . Pomaga razložiti številne hidrodinamične učinke. Poglejmo nekaj dobro znanih. Dviganje in pršenje tekočine v razpršilni steklenici (slika 1) nastane zaradi zmanjšanega tlaka v zračnem toku, ki prehaja z veliko hitrostjo preko cevi, spuščene v posodo s tekočino. Tekočina se dviga navzgor zaradi atmosferskega tlaka, ki je večji od tlaka v zračnem toku.
Žogica za namizni tenis (slika 2) enakomerno lebdi v navpičnem toku zraka, saj je tlak v curku manjši od atmosferskega tlaka, kar pritiska žogico na curek in ji preprečuje padec.
Ladje, ki plujejo vzporedno (slika 3), se med seboj privlačijo, kar je vzrok številnih pomorskih nesreč. To je razloženo z zmanjšanjem tlaka med ladjami zaradi večje hitrosti vode v zoženem prostoru med njimi.
Dvig krila (slika 4) je posledica prisotnosti tlačne razlike p1 in p2 zaradi razlike v hitrosti V1 in V2, kdaj V1 manj V2, saj delci zraka, ki se nahajajo nad krilom, prepotujejo daljšo razdaljo, preden se srečajo na koncu krila, kot delci, ki se nahajajo spodaj.
Če pihate med dvema listoma papirja, ki se dotikata drug drugega (slika 5), ​​se ne bosta ločila, kot se zdi, da bi se moralo zgoditi, ampak se bosta, nasprotno, stisnila drug ob drugega.
Tako vidimo, da ima Bernoullijeva enačba široko paleto aplikacij za razlago številnih hidrodinamičnih pojavov. Daniel Bernoulli jo je objavil leta 1738 po dolgih letih razmišljanja in raziskovanja, iskanja in dvomov. Bil je popolnoma prepričan v pravilnost zakona, ki ga je odkril in povezal statični tlak v tekočini s hitrostjo njenega gibanja.
Oglejmo si izpeljavo te enačbe za elementarni tok tekočine (streamline), kot je podana v vseh učbenikih, za stacionarni laminarni tok idealne nestisljive tekočine. Da bi odpravili vpliv gravitacije na gibanje tekočine, vzamemo vodoravni odsek cevi (slika 6) in vodoravno postavimo tudi osnovni tok.
Oglejmo si gibanje fluidnega elementa, ki ga določa dolžina l1. Na izbrani del tekočine bo vplivala pogonska sila, ki jo ustvari statični tlak p1:
, (1)
kje S1- površina prečnega prereza na levi strani izbranega dela tekočine in sila upora, določena s statičnim tlakom p2:
, (2)
kje S2- površina prečnega prereza na desni strani mesta.
Tlak, ki deluje na stransko površino tekočega elementa, je po mnenju avtorjev pravokoten na premike in ne bo opravil nobenega dela.
Pod vplivom teh dveh sil se bo sproščeni del tekočine premikal od leve proti desni. Predpostavimo, da se premakne na kratki razdalji in zavzame položaj, določen z dolžino l2, medtem ko se bo levi konec tekočega elementa premaknil za količino D l1, desno pa z vrednostjo D l2.
V skladu z zakoni mehanike bo gibanje tekočega elementa označeno s tem, da bo sprememba njegove kinetične energije enaka delu vseh sil, ki delujejo nanj:
, (3)
kje m- maso izbranega fluidnega elementa in - končno in začetno hitrost njegovega masnega središča.
Desno stran izraza (3) lahko transformiramo, če smo pozorni na to, da je v obeh položajih izbranega elementa skupni del (na sliki 6 ni osenčen), ki bo imel enako kinetično energijo. Ta del energije lahko vnesete v enačbo (3), tako da ga seštejete in odštejete na desni strani:
(4)
kje mtotal- masa skupnega dela, - hitrost težišča skupnega dela.
Izrazi v oklepajih predstavljajo kinetične energije zasenčenih področij dolžine D l1 in D l2, ki se zaradi majhnega obsega gibljejo s konstantnimi hitrostmi za vse točke V1 in V2. Zato bo enačba (4) imela obliko:
, (5)
kje Dm1 in Dm2- mase zasenčenih površin tekočine.
Zaradi kontinuitete pretoka tekočine bodo prostornine in mase osenčenih delov enake:
, (6)
kje r- gostota tekočine.
Deljenje izraza (5) z S1Dl1=S2Dl2, ga pretvorite v obliko:
(7)
Po prerazporeditvi členov bo enačba dobila obliko:
(8)
To je Bernoullijeva enačba. Ker lahko fluidni element vzamemo kjerkoli v toku in katere koli dolžine, lahko Bernoullijevo enačbo zapišemo na naslednji način:
, (9)
kjer sta p in V statični tlak in hitrost gibanja na katerem koli mestu v osnovnem toku tekočine. Izraz rV2/ 2 se imenuje dinamični tlak.
Iz enačbe (9) sledi, da bo tam, kjer je hitrost večja, statični tlak manjši in obratno. Da je temu res tako, potrjujejo izkušnje. Vzemimo za primer Venturijevo cev (slika 7). Raven tekočine v merilnih ceveh jasno kaže, da je statični tlak manjši na koncu zožitve, kjer je pretok večji. Poleg tega je to mogoče potrditi z dejstvom, da je dobljeni rezultat, kot je navedeno v delu, neposredna posledica drugega Newtonovega zakona. Ko se tekočina premika iz širokega dela v zoženi del, se njena hitrost poveča in pospešek je usmerjen v smeri gibanja. In ker je pospešek določen z razliko v tlaku, ki deluje na element tekočine na levi in ​​desni strani, mora biti tlak v širokem delu cevi večji kot v ozkem delu. Res je, tukaj lahko opazite, da pospešek ni določen s pritiskom, temveč s silo, sila pa ni odvisna samo od tlaka, ampak tudi od površine prečnega prereza. Večjo silo je torej mogoče dobiti z manjšim pritiskom, zato predstavljeni argument ni prepričljiv.
Zdi se torej, da je v zgornjem razmišljanju vse logično. Vse hidrodinamične učinke pa je mogoče razložiti drugače. Dejstvo je, da imamo vedno opravka ne z idealom, ampak z viskozno tekočino, ki se obnaša povsem drugače.
Razmislimo, kaj se bo zgodilo z viskozno tekočino, ki teče skozi cev (slika 8). Zaradi prisotnosti trenja med tokom tekočine in stenami cevi ter med plastmi same tekočine bo hitrost delcev tekočine na različnih točkah v istem delu toka različna: v središču cevi bo največja, v bližini sten bo nič. Posledično bo polje hitrosti v prerezu toka tekočine določeno z izrazom:
, (10)
kje V- hitrost v središču toka, r- trenutni radij, R je polmer cevi in ​​bo imel obliko, prikazano na sliki 8. S poljem hitrosti je neločljivo povezano skalarno polje kinetične energije, ki ga označuje izraz:
, (11)
kje Edm- kinetična energija sproščene osnovne mase dm, ki je določen z izrazom:
(12)
Tukaj: dl- osnovna dolžina v aksialni smeri, r- gostota tekočine.
Ker polje kinetične energije ni enakomerno, bo na elementarni delec tekočine delovala sila, usmerjena proti središču toka:
(13)
Ta sila se nanaša na cilindrični del površine delcev dS, ki se običajno nahaja na silo:
, (14)
bo določil tlak, ki nastane na dani točki toka pod vplivom dane sile:
(15)
Ta pritisk je odvisen le od elementarne sile dF, zato ga lahko imenujemo diferenčni tlak. Skupni tlak na dani točki v tekočini bo odvisen od elementarnih vztrajnostnih sil, ki delujejo na druge delce tekočine. Ker vsa moč dF imajo radialno smer in so usmerjeni proti središču toka, bo skupni tlak na točki določen s silami, ki ležijo na istem radiju in se nahajajo na strani, ki je zunanja glede na zadevno točko. Zato je skupni tlak mogoče najti z integracijo izraza (15). r v razponu od r do R:
(16)
Tukaj znak minus označuje smer stiskanja (proti sredini odseka).
Rezultat je bil presenetljiv, saj je ta izraz podoben izrazu za kinetično energijo (11), povezano z volumnom osnovne mase dm:
, (17)
tiste. skupni tlak je gostota kinetične energije v določenem elementarnem volumnu v bližini obravnavane točke.
Iz izraza (16) sledi, da je na osi toka (pri r=0) bo tlak največji in na njegovi meji (pri r=R) bo enako nič.
Pod delovanjem radialnih sil bo tok stisnjen proti svoji osi, zaradi česar se bo pritisk na stene cevi zmanjšal, tj. pojavi se podtlak, katerega vrednost je mogoče najti kot radialno povprečje izraza (16). Da bi to naredili, ga integriramo v območju od 0 do R in delite z R:
. (18)
Enak rezultat bomo dobili, če z izrazom (13) najdemo silo, ki deluje na osnovno območje površine same cevi in ​​je usmerjena na središčnico cevi, za katero ta izraz upošteva izraz (12), mora biti integriran v območju od 0 do R:
(19)
Če to silo delimo z velikostjo osnovne površine:
, (20)
dobimo vrednost podtlaka na notranji površini cevi:
.
Zaradi tega tlaka se bo statični tlak v bližini sten cevi zmanjšal. Nastali statični tlak je določen z izrazom:
(21)
Ker je velikost podtlaka odvisna od kvadrata hitrosti, je povsem naravno, da bo njegova vrednost v ozkem delu toka bistveno večja kot v širokem. Zato bodo v Venturijevi cevi v njenem ozkem delu merilniki tlaka kazali manjši tlak kot v njenem širokem delu. Odvisnost velikosti podtlaka na stenah cevi od hitrosti gibanja vode je prikazana na sliki 9.
Kot drug primer lahko upoštevamo princip delovanja brizgalne pištole, ko plinski tok posrka tekočino v posodi (glej sliko 1). Domneva se, da se tekočina vsesa zaradi dejstva, da tlak v plinskem toku zaradi njegove hitrosti postane nižji od atmosferskega, kar iztisne tekočino iz posode, plinski tok pa jo odnese s seboj. Vendar pa bo enak učinek povzročil prisotnost podtlaka, ki ga povzroči prisotnost neenakomernega polja kinetične energije v toku toka plina, ki uhaja iz pršilne šobe. Poleg tega bo curek prenašal delce okoliškega zraka, kar bo povzročilo pojav lastnega polja kinetične energije, katerega gradient bo razlog za absorpcijo tekočine iz posode.
Potem se pojavi vprašanje: če razlog za zmanjšanje tlaka v Venturijevi cevi in ​​sesanje v brizgalni pištoli morda ni zmanjšanje tlaka v toku premikajoče se tekočine ali plina, kako potem razumeti bistvo Bernoullijeve enačbe? Navsezadnje se hitrost tekočine v zoženem delu toka dejansko poveča in to je, kot kaže, mogoče le z zmanjšanjem protiučinka, poskusi pa kažejo, da je lahko tlak v toku nižji od atmosferskega, saj v manometrični cevi se tekočina dvigne nad nivo, ki ustreza atmosferskemu tlaku (slika .10). Po drugi strani pa je prav tako neizpodbitno, da bi zoženje toka moralo povečati upor proti gibanju in s tem povečati pritisk v toku tekočine. V tem primeru lahko do povečanja hitrosti toka pride le zaradi povečanja pogonske sile, tj. tlak na levi strani označenega pretočnega elementa. Dejansko je mogoče narediti podoben sklep, če se obrnemo na enačbo (7):

Ne smemo pozabiti, da ta enačba velja za celotno prostornino tekočine, ki smo jo izolirali in jo obravnavamo kot celoto. Zato ga ni mogoče ločiti, kot je to storjeno v izrazu (9). To si je zelo pomembno zapomniti. Iz izraza (7) sledi, da z naraščajočo hitrostjo V2 pri konstantni hitrosti V1 razlika v tlaku se bo povečala p1 in p2. Do tega povečanja lahko pride bodisi zaradi zmanjšanja p2, in zaradi povečanja p1. Pri analizi Bernoullijeve enačbe raje govorijo o znižanju tlaka p2. Toda kaj je pritisk p2? To je tlak, ki preprečuje gibanje tekočine ali plina. Kako se določa? Vzemimo za primer stožčasto šobo za cevovod (slika 11). Jasno je, da protitlak p2 Tlak ne sme biti nižji od atmosferskega, sicer tekočina ne bo iztekla iz šobe. Če želimo povečati pretok tekočine pri določeni šobi, moramo v skladu z enačbo (7) povečati tlak p1. A to še ni vse. Od hitrosti V1 in V2 soodvisni, z naraščajočo hitrostjo V2 povečala se bo tudi hitrost V1, nato pa razlika v tlaku p1 in p2 zmanjšati, kar ustreza povečanju tlaka p2 pri konstantnem tlaku p1.
Tako analiza Bernoullijeve enačbe razkrije problem pri razumevanju njenega bistva. Da bi bolje razumeli ta problem, uporabimo enačbo (7) za preučevanje gibanja tekočine v stožčasti šobi (glej sliko 11). Iz pogoja zveznosti toka sledi, da sta hitrosti v odsekih 1 in 2 povezani z razmerjem:
, (22)
kje R1 in R2- polmeri prerezov v odsekih 1 in 2.
Zamenjava te vrednosti hitrosti v izraz (7) in reševanje za hitrost V2, dobimo:
(23)
Analizirajmo ta izraz. Vzemimo omejevalne relacije R2/R1. pri R2/R1=0 hitrost V2 bo enako:
, (24)
medtem ko je popolnoma jasno, da bi morala biti enaka nič. Res je, zdrava pamet narekuje ta pritisk p1 in p2 v skladu s Pascalovim zakonom morata biti enaka, njuna razlika pa mora biti enaka nič. Vendar ta okoliščina ne izhaja iz izraza (24).
pri R2/R1= 1 hitrost V2 bo enako neskončno:
, (25)
kar pa seveda ne more biti res. Vendar pa tudi tukaj lahko najdete izhod z izjavo, da je pritisk p1 in p2 bo tudi enaka, saj mora biti hitrost konstantna. Vendar pa ne bomo mogli najti velikosti hitrosti V2, saj bo določen z razmerjem ničel.
Kaj pa vmesne vrednosti razmerja? R2/R1? Razlika v tlaku ne more p1 in p2 biti ves čas enak nič. Kako se bo ta razlika spremenila? Na ta vprašanja ni odgovora. Samo ena stvar postane jasna: Bernoullijeva enačba, tudi za idealno tekočino, ni točna in je ni mogoče uporabiti za izračun hitrosti ali tlakov; v njej nekaj manjka. To je vprašanje, s katerim se je treba ukvarjati, in z digitalnimi izračuni.
Takšni izračuni, čeprav približni, obstajajo za odtok tekočine iz rezervoarja (slika 12). Bernoullijeva enačba ima v tem primeru ob upoštevanju potencialne energije iz teže tekočine obliko:
(26)
kjer je g=9,81 m/s2 gravitacijski pospešek, koordinate z 1 in z 2 se štejejo od neke poljubne ravni, saj je pri reševanju problema potrebna le njihova razlika: H=z 1 - z 2 . Sprejeto je, da V1=0, saj V1<<V2, potem se iz izraza (26) izkaže:
, (27)
kje p2 enaka atmosferskemu tlaku.
če p1 bo enakovreden p2, potem bo formula (27) dobila še preprostejšo obliko:
, (28)
iz tega sledi, da je hitrost iztekanja tekočine enaka hitrosti prostega pada trdnega telesa z višine H.
Ta izraz je dobil Toricelli 100 let pred Bernoullijem in se zato imenuje Toricellijeva formula.
Vendar se tudi tu, kljub očitnosti izpeljave te enačbe, pojavljajo vprašanja, ki nimajo odgovora: ali bo na primer hitrost pretoka tekočine odvisna od velikosti luknje ali od velikosti stožčaste šobe, ki jo lahko pritrjen na rezervoar (glej sliko 12,b)? Ali je lahko tok tekočine skozi majhno luknjo podoben njenemu prostemu padcu? To je seveda zelo dvomljivo tudi za približno določitev hitrosti.
Za poenostavitev analize tega problema vzemimo navpično nameščen stožčasti rezervoar (slika 13), v katerega teče in izteka tekočina, tako da njen nivo ves čas ostaja enak. Ob upoštevanju razmerja (22) iz Bernoullijeve enačbe dobimo:
(29)
Iz tega izraza sledi, da ko R2/R1=0 hitrost V2 bo enako nič le, če:
, (30)
iz katerega sledi:
, (31)
kar sploh ne izhaja iz pogojev problema.
pri R2/R1=1 V2=¥ , čeprav je povsem očitno, da bo tekočina padla, če ji nasprotuje zunanji tlak, ki bo enak atmosferskemu tlaku: p2=p0, stopnja padanja pa mora imeti zelo specifično vrednost.
Tako smo ugotovili, da pritisk p2 v pretoku tekočine se mora spreminjati glede na razmerje R2/R1 znotraj:
, (32)
zakon spreminjanja, ki ga ne poznamo.
Da bi ugotovili to razmerje, si najprej oglejmo zaprto stožčasto posodo, v kateri je plin pod določenim pritiskom (slika 14). V tem primeru lahko težo plina zaradi njegove majhnosti zanemarimo. V skladu s Pascalovim zakonom bo tlak plina na vseh točkah posode enak. Predpostavimo, da tlak v posodi nastane s strani prvega odseka s silo F1, katere vrednost bo enaka:
, (33)
kje S1- površina prečnega prereza v prvem delu. V drugem delu bo plin deloval na dno s silo F2, enako:
, (34)
kje p2=p1, S2- spodnji del.
Ker območje S2 manjša površina S1, moč F2 bo manj moči F1. Povsem očitno je, da je razlika med temi silami:
(35)
bo izravnan z uporom stranskih sten posode.
Tako zožitev žile zagotavlja dodaten upor proti sili F1, zaradi česar bo na dno delovala manjša sila.
Zdaj odstranimo dno posode. Ker bo plin v posodi pod tlakom, večjim od atmosferskega, bo začel iz posode iztekati z določeno hitrostjo. To gibanje lahko nastane samo zaradi zmanjšanja tlaka plina, saj se kinetična energija gibanja plina lahko pojavi le zaradi potencialne energije njegovega tlaka. Očitno je, da bi se moralo v tem primeru razmerje med tlakom v prvem in drugem odseku spremeniti, saj bodo hitrosti gibanja delcev plina v njih različne in s tem tudi količina potencialne energije (tlaka), pretvorjene v kinetično energijo gibanja. bo tudi drugačen.
Zdaj ostane le še ugibati, kako se bosta spreminjala tlaka v obeh odsekih, če bosta hitrosti plinov v njiju V1 in V2 in statični tlak p1 se bo ohranil na stalni ravni. Ker je vir gibanja le tlak plina, je zaradi zmanjšanja potencialne energije, katere energija gibanja se pojavi, povsem smiselno uporabiti zakon o ohranitvi energije ob predpostavki, da ni izgub energije. Mimogrede, pri izpeljavi svoje enačbe je Bernoulli uporabil tudi ta zakon, saj se je celotno delo tlačnih sil spremenilo v kinetično energijo gibanja.
V skladu z zakonom o ohranjanju energije bodo statični tlaki v prvem in drugem odseku postali manjši od začetnih za količino volumetrične gostote kinetične energije v njih:
; (36)
, (37)
ker p2=p1.
Iz teh razmerij je razvidno, da vzpostavljamo povezavo med tlaki in hitrostmi v obeh odsekih, pri čemer bo tlak v drugem odseku odvisen od tlaka v prvem odseku. Hitrosti V1 in V2 so tudi soodvisni. Tako lahko trdimo, da so pritiski soodvisni.
Če tlakom dodamo izgube potencialne energije, pretvorjene v kinetično energijo gibanja in , potem bo statični tlak v prvem in drugem odseku med seboj enak in enak p1, tj.:
, (38)
ki je analog Bernoullijeve enačbe.
Tako smo dobili Bernoullijevo enačbo, ki temelji na zakonu o ohranitvi energije za enakomeren tok idealne tekočine. V bistvu smo razširili obseg Pascalovega zakona tako, da smo ga razširili na gibljivo tekočino.
Zaradi spremembe tlaka v prvem in drugem odseku se spremenijo tudi sile, ki delujejo v njih. V skladu z izrazoma (36) in (37) bo velikost teh sil enaka:
; (39)
(40)
Poglejmo, kaj se zgodi s protisilo D.F.Če ga opredelimo kot razliko v silah in , ugotovimo:
, (41)
iz česar sledi, da se nasprotna sila iz sten poveča.
Iz obravnavanega primera in predpostavk, ki smo jih naredili, je mogoče narediti naslednje sklepe.
Prvič, vsako zoženje kanala, skozi katerega se giblje tekočina ali plin, kaže upor proti temu gibanju, katerega velikost je odvisna od stopnje zožitve, tj. večja kot je zožitev, večji je upor. In prisotnost tega upora ne bo odvisna od tega, skozi kateri kanal teče tekočina - skozi široko cev ali v elementarnem toku. Količina upora bo odvisna tudi od razmerja hitrosti toka v različnih odsekih, kot izhaja iz formule (41). Pri izpeljavi Bernoullijeve enačbe ta upor ni upoštevan.
Drugič, tlak v drugem odseku je odvisen od tlaka v prvem odseku, ki je enak:

Tlak v drugem odseku bo odvisen tudi od hitrosti pretoka tekočine, ki se zmanjša za količino. Iz tega sledi, da tlak ni zunanji upor glede na izbrani element tekočine, je notranja lastnost zadevnega dela tekočine. In to je v bistvu pritisk, ki ga sproščeni element tekočine izvaja na naslednji, zavrženi del tekočine, tj. ustvarja silo, ki povzroči gibanje naslednjih delov tekočine. In kar je zelo pomembno, ta tlak ne bo neposredno odvisen od zunanjega tlaka izbranega tekočega elementa s strani zavrženega naknadnega dela tekočine, ki ga označimo z . Tu bo odvisnost posredna: hitrosti bodo odvisne od tlaka V1 in V2, in to že od hitrosti V2 pritisk bo odvisen. Opozoriti je treba, da bo ena od komponent tlaka na splošno pritisk okolja, zlasti atmosferski tlak. To neposredno izhaja iz dejstva, da tlak v toku tekočine ne more biti manjši od atmosferskega. Tako iz vsega zgoraj navedenega sledi, da pri izpeljavi Bernoullijeve enačbe tlaka ne bi smeli upoštevati kot vzrok za pojav sile upora - sila upora bo nastala samo s pritiskom.
Tretjič, sila upora D F, ki nastane zaradi zožitve kanala, je določen le z razliko v silah v prvem in drugem odseku in neposredno nasprotuje sili, tj. lahko domnevamo, da je uporabljen v prvem delu. Ker je sila določena s pritiskom, odvisno od pritiska p1, nato pa nasprotna sila D F odvisno tudi od pritiska p1 in je zato tako rekoč samozavorna sila toka tekočine, ko se premika v zoženem delu. Zato je pri izpeljavi Bernoullijeve enačbe sila D F, prvič, je treba upoštevati, in drugič, za določitev njegovega dela je treba pomnožiti z gibanjem levega konca tekočine D l1.
Na koncu je treba povedati, da so vsi zaključki, ki smo jih naredili, postali mogoči, ker smo gibanje izbranega fluidnega elementa obravnavali kot eno samo telo in ne kot dva majhna odseka, ki se nahajata na njegovih koncih. Očitno je, da ta pristop najbolj natančno izpolnjuje nalogo.
Zdaj pa se vrnimo k obravnavi problema odtoka vode iz stožčastega rezervoarja (glej sliko 13). V rezervoarju s tekočino je v drugem delu tlak, s katerim se določi reakcijska sila DF razen pritiska p1 bo določen tudi s pritiskom rn nastala zaradi teže tekočine:
, (42)
kje n- višina stolpca tekočine, merjena od njegove zgornje ravni, v povezavi s katero bosta izraza (36) in (37) dobila obliko:
; (43)
(44)
V povezavi z zgoraj navedenim je mogoče določiti sile, ki delujejo na izbrani fluidni element:
; (45)
; (46)
(47)
Poleg tega moramo upoštevati uporno silo iz zavrženega naslednjega dela tekočine:
, (48)
kjer bo v tem primeru enak atmosferskemu tlaku ro.
Pri sestavljanju enačbe gibanja za prostornino obravnavane tekočine moramo upoštevati samo sili in , saj je bilo zgoraj pokazano, da sila ni sila upora. Pokazalo se je tudi, da pri iskanju dela sil in D F pomnožiti jih je treba z gibanjem tekočine v prvem delu - D l1. Še vedno je treba razjasniti vprašanje, kako ravnati z uporno silo: kakšen premik D l treba ga je pomnožiti z D l1 ali D l2? Da bi rešili to težavo, združimo sile D F in:
(49)
iz česar dobimo, da drugi izraz v oklepaju predstavlja presežni tlak tekočine glede na tlak v drugem delu:
(50)
Iz tega sledi, da je treba delo sile določiti tako, da ga pomnožimo s premikom Dl1.
Tako je enačba gibanja v obliki zakona o spremembi kinetične energije za ta problem določena z izrazom:
(51)
Po zamenjavi ustreznih vrednosti sil, določenih z izrazoma (45) in (49), se izraz (51) pretvori v obliko:
(52)
ki po deljenju s produktom S1 D l1 in ustrezne transformacije bodo imele obliko:
(53)
Izražanje hitrosti V1 skozi hitrost V2 v skladu z izrazom (22) in reševanjem enačbe (53) glede hitrosti V2, dobimo formulo za izračun:
(54)
Analizirajmo to formulo. pri R2/R1=0 hitrost V2 bo enako nič, saj bo števec enak nič in imenovalec ena. pri R2/R1= 1 hitrost V2 bo enako:
, (55)
ki sovpada z izrazom (27). In ta izraz bo v tem primeru res ustrezal prostemu padcu tekočine, saj R2=R1. Pri vmesnih vrednostih razmerja R2/R1 hitrost V2 bo imel pomen, ki ustreza temu razmerju. Rezultati izračuna te hitrosti pri vrednostih === n/m2 in pri n=10,2 m so prikazani na sliki 15. Kot bi lahko pričakovali, z naraščajočim razmerjem R2/R1 hitrost gladko narašča od nič do največje vrednosti, ki ustreza prostemu padu. Poleg tega lahko s formulo (44) ugotovimo tlak v toku tekočine, ki teče iz stožčastega rezervoarja. Analiza te formule kaže, da ko V2=0 bo tlak v tekočini enak:

in pri , kar ustreza prostemu padu, =. Izračunana krivulja za tlak =+= je predstavljena na sliki 15, iz katere je razvidno, da bo tlak v iztekajočem curku večji od atmosferskega tlaka za vsa razmerja radijev. R2/R1, razen če sta ta tlaka enaka.
Da bo vse povedano bolj prepričljivo, bomo podali še eno izpeljavo enačbe gibanja z upoštevanjem vztrajnostnih sil, ki delujejo na izbrani element idealne tekočine. V tem primeru bodo na podlagi zakonov mehanike sile, ki delujejo na zadevni fluidni element, v ravnotežju.
Za določitev vztrajnostne sile upoštevajte del stožčastega kanala, skozi katerega se premika tekočina (slika 16). Izberimo elementarni volumen tekočine dm, ki se bo premaknil iz prvega položaja v drugega in spreminjal hitrost svojega masnega središča od vrednosti do vrednosti . Nastala elementarna vztrajnostna sila se lahko določi s formulo:
, (56)
kje
, (57)
znak minus pa kaže smer vztrajnostne sile.
Razmerje med hitrostmi v obeh obravnavanih legah elementarne mase dm je določen z izrazom:
, (58)
kje
(59)
Z uporabo te relacije dobimo:
(60)
Dvig binoma na četrto potenco in deljenje vsakega člena z D ls in nato sprejem D ls enaka nič, najdemo izraz za elementarno vztrajnostno silo:
(61)
Predpostavimo, da je točka Si je na daljavo l od prvega odseka bo razmerje med hitrostmi in polmeri odsekov na teh točkah imelo obliko:
; (62)

(63)
Če nadomestimo te vrednosti hitrosti in polmera v izraz (61), dobimo:
(64)
Sedaj je treba sešteti elementarne vztrajnostne sile po celotnem izbranem volumnu gibljive tekočine, tj. po dolžini l. Zamenjava vrednosti mase v izraz (64) dm:
(65)
in upoštevanje integrala izraza (64) v območju od 0 do L, poiščemo vztrajnostno silo, ki deluje iz celotne gibljive mase tekočine na prvi odsek, kjer deluje gonilna sila F1:
(66)
kje .
Iz izraza (66) sledi, da vztrajnostna sila dejansko deluje na prvi odsek, saj se razlika v gostoti energije v drugem in prvem odseku (izraz v oklepaju) pomnoži s površino prvega odseka.
Tako bodo na sproščeno količino tekočine delovale naslednje sile:
;
;
;
, (67)
pod vplivom katerega bo ta volumen tekočine, ki ga obravnavamo kot eno telo, v skladu z zakoni mehanike, v ravnovesju, tj. izpolnjen bo naslednji pogoj:
, (68)
ki se po zamenjavi vrednosti vseh sil pretvori v obliko:
(69)
Po zmanjšanju pogojev in deljenju z S1 izraz (69) bo imel obliko:
,
kar popolnoma sovpada s predhodno dobljenim izrazom (53). Zato je bilo naše sklepanje pošteno in nastale formule za določanje hitrosti V2 in pritiski so pravilni.
Tako se zdi, da smo rešili problem iskanja hitrosti pretoka tekočine. Če pa situacijo razumemo z vidika zakonov mehanike, se pojavijo dvomi o veljavnosti dobljenih formul. Dejansko, če pogledamo na primer navpično padajoč tok tekočine, ki teče iz cevi s konstantnim prerezom (slika 17), potem lahko takoj opazimo, da se tok tekočine, tudi zunaj cevi, premika kot eno telo s tekočino v cevi in ​​mora imeti zato v vseh svojih točkah enako hitrost. Če se to ne zgodi, se tok prekine, saj mora pri padcu pod vplivom gravitacije hitrost nenehno naraščati. Vendar v praksi takšne vrzeli ni opaziti. Ta okoliščina je posledica prisotnosti adhezijskih sil (kohezije) med molekulami tekočine, te sile pa so lahko precej velike. Tako za čisto vodo brez primesi njena natezna trdnost doseže 3107 N/m2, kar ustreza 300 atm ali vodnemu stolpcu 3000 m. Povsem očitno je, da morajo v idealni tekočini obstajati kohezijske sile. Zato, ko se katerikoli fluidni element premakne r m na njej razen gravitacije Fstrand delovala bo tudi sila upora Odpornost od zgornjih delov tekočine in pogonske sile Fdv s spodnje strani. Zaradi prostega pada tekočega elementa r m ne bo, sam element pa bo pod vplivom sil, ki delujejo nanj, doživel natezne deformacije, zaradi česar bo stisnjen v prečni smeri, celoten tok kot celota pa se bo zožil (na sliki 17 zožitev toka je prikazan s črtkano črtkano črto). Zaradi tega zožitve se hitrost elementa dm ko pade, se mora spremeniti, hitrost pa tudi ne V1, niti hitrosti V2 nam niso poznane in jih, kot izhaja iz našega razmišljanja, ni mogoče najti z zgornjimi formulami.
Da bi se nekako izvlekli iz te situacije, upoštevajmo vsaj približno učinek iztekajočega dela toka zunaj cevi na tekočino, ki se nahaja v cevi. Ta zunanji vpliv bo vlečen, tj. to bo ustvarilo dodaten pritisk rd v toku, kar olajša njegovo gibanje. Velikost zunanje vlečne sile bo določena s težo stebra tekočine, ki se nahaja zunaj cevi. Ker se tok zoži, ko pada, bo teža stebra tekočine enaka teži vodnega stožca (slika 18):
, (70)
kje mh- masa stolpca tekočine, R2 in Rh- polmera stebra na začetku in na koncu obravnavanega dela toka. Višina droga h, je očitno odvisno od dane višine padca toka, na primer v kakšno posodo, ali izgube oprijema med delci tekočine, ko se ta razredči, ko tok začne razpadati na posamezne kapljice. Dobili bomo vrednost h poljubno, brez upoštevanja situacij, kritičnih za razpad curka, saj to vprašanje zahteva posebno raziskavo.
Če želite najti težo tekočega stolpca, je potrebno z znanim polmerom R2 poiščite polmer Rh, ki ustreza višini padca h. Za približno določitev tega polmera upoštevajte padec nekega tekočega elementa z maso Dm od zgoraj h le pod vplivom lastne teže, čeprav bo podvržen adhezijskim silam z zgornje in spodnje strani, razmerje med katerimi se bo spreminjalo s padcem izbranega elementa.
V skladu z drugim Newtonovim zakonom bomo imeli:
(71)
To enačbo rešimo z začetnimi pogoji:
(72)
Kot rezultat dobimo:
; (73)
(74)
Iz izraza (74) najdemo jesenski čas t:
(75)
Zamenjava te vrednosti t v izraz (73), dobimo odvisnost hitrosti padanja Vh iz koordinate h:
(76)
Uporaba pogoja kontinuitete toka:
, (77)
dobimo:
(78)
Na sl. Na sliki 19 so prikazane oblike tekočih curkov, ki jih dobimo kot rezultat izračunov razmerja Rh/R2 v skladu s formulo (78) za hitrosti izpušnih plinov V2 enaka 0,1 m/s in 0,5 m/s, odvisno od višine padca h. Iz slik je razvidno, da bo pri nizki hitrosti iztoka zoženje curka močnejše.
Da bi upoštevali vpliv dodatne pogonske sile na hitrost toka in tlak v njem, ga moramo upoštevati v enačbah, ki smo jih dobili. To lahko storite tako, da ga dodelite prvemu odseku, kjer deluje pogonska sila, ki jo določa tlak p1 in površino prečnega prereza S1. Potem bo tlak, ki ga ustvari ta dodatna sila, enak:
(79)
Ta izraz je bolj priročno predstaviti v obliki:
, (80)
ker potem odnos Gh/S2 bo dobil preprosto obliko:
, (81)
in izraz (80) pretvorimo v obliko:
(82)
Nato bodo formule za izračun hitrosti in tlakov v drugem delu, ob upoštevanju adhezije, določene v skladu s formulami, ki smo jih prej dobili z naslednjim izrazom:
; (83)
(84)
pri R2/R1=1 formula (83) bo imela obliko:
, (85)
in kdaj ==:
, (86)
Sliki 20 in 21 prikazujeta rezultate izračunov hitrosti in tlakov brez upoštevanja in upoštevanja adhezije v notranjosti tekočine na višini stožčaste posode, iz katere teče tekočina, na 10,32875 m in 1 m ustreza atmosferski pritisk. V obeh primerih višina h je bil enak n in n/R1=10, =.
Kot je razvidno iz krivulj, se lahko pretok močno poveča zaradi višine padca h. S tem se bo vrednost iztočne hitrosti približala rezultatu, ki ga določa Toricellijeva formula. Tlak v curku se bo povečal, saj se del izgubljenega tlaka (potencialne energije) zaradi povečanja hitrosti toka kompenzira z dodanim tlakom. Vendar pa s prostim padcem tekočine pri R2/R1=1 tlak v obeh primerih postane enak atmosferskemu tlaku.
Tako lahko formule, ki smo jih dobili, uporabimo za približno določitev hitrosti toka v njegovih različnih odsekih, te hitrosti pa bodo v veliki meri odvisne od velikosti h(glej sliko 22, a in b).

Zanimivo se zdi obravnavati tudi problem gibanja toka tekočine navzgor na izstopu iz cevi (slika 23). V tem primeru bo v odseku 2-2 na tok delovala dodatna sila upora, ki je enaka teži zunanjega dela toka tekočine z višino h. Ta sila bo ustvarila dodaten pritisk v drugem delu, katerega vrednost bo približno enaka:
(87)
(predpostavljamo, da ima tekoči stolpec tekočine valjasto obliko).
Ta tlak bo vključen kot komponenta tlaka, ki je vključen v formule za izračun. Nato bo tlak določen z izrazom:
(88)
Povsem očitno je, da je hitrost V2 zmanjšalo se bo. Vendar za izračun V2 morate poznati višino dviga h, kar pa je odvisno od hitrosti izpušnih plinov V2. zato h naj se nekako izrazi v hitrosti V2. Razmišljali bomo takole. Pretočni element r m v odseku 2 ima nekakšno kinetično energijo, ki se v zgornjem delu toka spremeni v potencialno. Zato mora biti izpolnjeno naslednje razmerje:
, (89)
od koder dobimo:
(90)
Potem bo pritisk videti takole:
(91)

To vrednost tlaka je treba nadomestiti v prvotno enačbo (53), ki jo po rešitvi glede na V2 bo dal naslednji izraz:

(92)
Za cev s konstantnim prerezom, tj. pri R2/R1=1 bo ta izraz imel obliko:
, (93)
in kdaj p1=p0 dobimo:
(94)
Če nadomestimo to vrednost hitrosti v izraz (90), ugotovimo:
(95)
Tako bo višina dviga tekočine dvakrat manjša od razlike v njenih nivojih H. Ponovno upoštevajte, da bodo to približne vrednosti za hitrost V2 in višine dviga h, saj presek zunanjega toka ne sme ostati konstanten: povečevati se mora z oddaljenostjo od iztoka zaradi padca hitrosti in pogoja kontinuitete njegovega toka. Poleg tega bo na vrednost preseka toka vplival del toka navzdol, ki bo ustvaril vlečno silo, ki poveča hitrost toka.
Ocenjene vrednosti hitrosti V2, tlak in nadmorska višina h dvig vode sta predstavljena na slikah 20 in 21 za dva primera, ko n=10,32875 m in n=1m. Tlak v tem primeru se določi z običajno formulo:

Ker bo pretok v tem primeru manjši zaradi prisotnosti dodatnega upora vodnega stolpca, bo tlak večji kot pri tečenju tekočine navzdol, če ne upoštevamo prisotnosti dodatne sile zaradi adhezije tekočih delcev.
Oglejmo si zdaj gibanje ne idealne, ampak realne viskozne tekočine. Zaviranje plasti tekočine ob stene cevi in ​​med seboj vodi do zmanjšanja hitrosti gibanja delcev tekočine in posledično do izgube dela kinetične energije toka. Za določitev kinetične energije toka definiramo zakon spremembe hitrosti vzdolž polmera poljubnega odseka v obliki:
, (96)
kje Vl in Rl- oziroma hitrost tekočine na osi toka in polmer prečnega prereza na daljavo l iz prvega razdelka. Kinetično energijo je treba določiti iz povprečnega pretoka, ki ga je mogoče ugotoviti iz volumetričnega pretoka tekočine Q:
, (97)
kje Sl- površina prečnega prereza na daljavo l. Iz izraza (97) imamo:
(98)
Volumetrični pretok bomo našli z uporabo izraza (96) za osnovne obročaste odseke, katerih površina je določena z izrazom:
, (99)
kje dr- širina obroča. V skladu s tem bo osnovni volumetrični pretok enak:
(100)
Z integracijo tega izraza od 0 do R, dobimo skupni volumetrični pretok tekočine v odseku l:
(101)
S formulo (98) poiščemo povprečno hitrost pretoka v prerezu l:
(102)
Kinetična energija toka v določenem območju D l v tem primeru bo enako:
, (103)
kjer D m- ustreza dolžini D l masa območja tekočine.
Enačba gibanja izbrane prostornine tekočine v obliki vsote sil ob upoštevanju sile trenja Ftr bo določen z izrazom:
(104)
Ta izraz upošteva povprečne prečne hitrosti pretoka v odsekih 1 in 2. Silo trenja je treba določiti iz obstoječih eksperimentalnih podatkov.
Po potrebnih transformacijah reduciramo izraz (104) na obliko:
(105)
kje najdemo hitrost? V2:
, (106)
kje
(107)
izguba tlaka po dolžini L=H(pritisk se zmanjša za to količino p1 v razdelku 2).
Analiza tega izraza kaže, da kdaj R2/R1=0 hitrost V2 bo enako nič, in kdaj R2/R1=1 izraz (107) bo imel obliko:
(108)
Povprečna hitrost pretoka v drugem odseku bo dvakrat manjša.
Vrednost tlaka v drugem delu se bo zmanjšala zaradi izgube energije za premagovanje sil trenja in bo določena z izrazom:
(109)
Ko se tekočina premika navzdol, je treba upoštevati medmolekularno kohezijo. Potem pa hitrost V2 bo določen z izrazom:
(110)
Ko tekočina teče navpično navzgor, lahko tlak, kot je prikazano zgoraj, predstavimo z izrazom:
(111)
Nato izraz za hitrost V2 bo imel obliko:
(112)
Tlak v tekočini, ko se premika navzdol in navzgor, bo določen z izrazom (109), le hitrost V2 seveda bodo drugačni. To pomeni, da bodo pritiski različni.
Tlak v tekočini, ob upoštevanju njegove kompresije, bo v skladu s formulo (18) večji za količino povprečnega podtlaka:
,
obstenski tlak je za to količino manjši, tj.
; 113)
(114)
Za izračun hitrosti pretoka tekočine in tlaka v njej ob upoštevanju sile trenja je potrebno določiti silo trenja. Za to uporabimo Poiseuillevo formulo, ki določa pretok tekočine v laminarnem režimu toka:
, (115)
kje Q- pretok tekočine v m3/s, p1-p2- padec tlaka v toku tekočine na odseku valjaste cevi dolžine L v N/m2, m- dinamična viskoznost tekočine v kg/ms, d- premer cevi v m.
S tem izrazom lahko najdete povprečno hitrost v preseku cevi:
, (116)
kjer je, kot je navedeno zgoraj, povprečna hitrost enaka polovici največje osne hitrosti V.
Z izrazom (116) ugotovimo izgubo tlaka zaradi trenja po dolžini L:
(117)
Ker obravnavamo posodo (cev) spremenljivega prereza, zapišemo izraz (117) v diferencialni obliki:
, (118)
kje Vl- aksialna hitrost v odseku, ki je oddaljen od prvega odseka l, Rl- polmer tega odseka, dl- osnovna dolžina odseka, ki ustreza osnovni izgubi tlaka dp(Slika 24).
Za nadaljnje transformacije uporabimo pogoj kontinuitete toka:
,
kjer najdemo:
, (119)
kje
(120)
Z uporabo teh izrazov dobimo:
(121)
Z integracijo dobljenega izraza čez l v razponu od 0 do L, poiščemo izgubo tlaka po celotni dolžini L:
(122)
Ker je izraz v oklepaju:
, (123)
a tg a je določen z izrazom:
, 124)
formulo (122) pretvorimo v obliko:
(125)
Izrazimo hitrost V1 skozi hitrost V2 z uporabo pogoja kontinuitete toka:
(126)
in zreducirajmo izraz (125) na obliko:
(127)
Z uporabo dobljenih formul so bile izdelane tri možnosti izračuna za naslednje velikosti stožčaste cevi:
1) H=L=10,32875 m (kar ustreza atmosferskemu tlaku);
2) H=L=1,0 m;
3) H=L=0,1 m
V vseh primerih razmerje H/R1 je bilo vzeto enako 10, h=H, je bila voda vzeta kot tekočina, za katero je bil koeficient dinamične viskoznosti m enako 0,001 kg/ms. Izračuni so pokazali, da se za izbrane velikosti cevi povprečna hitrost toka vode ob prisotnosti viskoznosti praktično ne razlikuje od hitrosti idealne tekočine, ki jo prikazuje graf na sliki 15. To je posledica majhne vrednosti koeficienta m. Tudi tlak v curku, brez upoštevanja adhezije med molekulami in njegovega stiskanja, zaradi prisotnosti gradienta polja kinetične energije bo enak kot pri idealni tekočini. Če upoštevamo te dejavnike, se lahko tlak v curku znatno poveča, pritisk ob steni pa se lahko zmanjša in postane manjši od atmosferskega in celo negativen. Rezultati izračuna za tri možnosti so predstavljeni na slikah 25-27. Slike prikazujejo krivulje, ki označujejo spremembo tlaka in in
relacijske funkcije R2/R1, ko se tok premika navzdol brez upoštevanja sklopke
interakcije med molekulami tekočine (krivulje 1), ko se tok giblje navzdol ob upoštevanju molekularne kohezije (krivulje 2) in ko se tok giblje navzgor (krivulje 3). Iz krivulj je razvidno, da so spremembe tlaka najpomembnejše pri večjih premerih cevi in ​​jih je zato mogoče zlahka opazovati.
Tako smo preverili, kako se spreminjata hitrost toka in tlak v njem, ko tekočina teče skozi cev s spremenljivim prerezom. Izračuni kažejo, da bo tlak v viskozni tekočini na izhodu iz cevi večji od atmosferskega tlaka. Očitno bo ta tlak nekaj časa večji od atmosferskega, tudi ko se tekočina premika izven cevi. Oglejmo si podrobneje to vprašanje.
Če je tlak v tekočini na izstopu iz luknje večji od atmosferskega tlaka, se mora curek takoj razširiti na izhodu, vendar se to ne zgodi; curek se celo skrči. Razlog za to smo že razpravljali. Prvič, to je razloženo z ohranjanjem gradienta polja kinetične energije zaradi razlike v hitrostih v središču in ob robovih toka, ki se še niso izravnale. Sila, ki jo določa gradient, bo še naprej stiskala tok. Drugič, tok tekočine bo stisnjen s silo, ki nastane zaradi gibanja zraka, ki ga potegne tok tekočine. V tem primeru se bo v zračnem toku pojavilo tudi polje kinetične energije, katerega gradient bo določal delujočo silo.
Določimo tlak, s katerim zrak stisne tok tekočine. Slika 28 prikazuje vzorec polja hitrosti v zraku, ki ga lahko označimo z izrazom:
, (128)
kje r- oddaljenost od središča curka.
Nato kinetična energija neke osnovne mase dm bo enako:
, (129)
kje
(130)
Tukaj: rв- gostota zraka.
Izpeljanka tega izraza bo določila elementarno silo dFв:
,(131)
usmerjen proti središču toka.
Razmerje med to silo in osnovno površino dS=rdjdh, ki ustreza osnovni masi, bo določil diferenčni tlak dpv:
(132)
(predznak minus izpustimo).
Skupni tlak, ki deluje na osnovno maso iz vseh zunanjih delcev zraka, bo določen z integralom izraza (132), prevzetim po r v območju od r do:
(133)
Na površini curka ( r=Rh) bo zračni tlak enak:
(134)
Tretjič, curek bo stisnjen zaradi prisotnosti nateznih sil, ki jih povzroča adhezija med molekulami tekočine, pa tudi, kot je navedeno zgoraj, zaradi povečanja hitrosti padanja pod vplivom gravitacije.
Četrtič, curek se bo stisnil zaradi prisotnosti površinske napetosti.
Tako bo na tok tekočine, ki teče iz cevi, delovalo več sil, katerih kombinacija bo določala tako njegovo obliko kot tlak v njej in katerih vpliv je težko matematično upoštevati.
Poskusimo pa to narediti vsaj približno. Ker ima curek natančno izraženo stožčasto obliko, lahko predpostavimo, da bo gibanje tekočine v curku podobno gibanju v zoženem kanalu (cevi) in poznali bomo hitrosti na začetku in koncu gibanje V2 in Vh, kot tudi tlak na izstopu curka iz cevi. Hitrost Vh ki ga povzroča gibanje pod vplivom gravitacije, kot smo pokazali zgoraj, je določen s približnim izrazom:

Za rešitev problema predpostavimo, da do povečanja hitrosti pride le zaradi izrabe potencialne energije curka, tj. z zmanjšanjem njenega notranjega tlaka. Takšna domneva je do neke mere mogoča, če se spomnimo, da gibanje tekočine pod vplivom gravitacije preprečujejo sile, ki nastanejo zaradi adhezije med njenimi delci (molekulami), tj. kohezijske sile.
Ker gibanje toka ne tvori noben kanal in teža curka ne sodeluje pri ustvarjanju dodatnega tlaka, uporabimo Bernoullijevo enačbo v čisti obliki:
, (135)
kje najdeš pritisk tel:
(136)
Uporaba izraza za hitrost Vh, pretvorimo enačbo (136) v obliko:
(137)
Dobljeni izraz se lahko uporabi za določitev višine padca pretoka h, pri katerem tlak tel bo enako atmosferskemu:
(138)
Za tri primere, ki smo jih obravnavali, ko H»10 m, H=1m in H=0,1m bosta vrednosti enaki:
1) m
2) m
3) m
V vseh treh primerih se je višina padca curka, pri kateri bo notranji tlak v njem enak atmosferskemu, približno 4-krat večja od višine h=H. Seveda bodo to, kot smo že omenili, približne vrednosti, ki jih je treba eksperimentalno preveriti.
Vsi primeri, ki smo jih obravnavali, prepričljivo kažejo, da tlak v curku idealne in realne tekočine ne more biti nižji od atmosferskega. Lahko pa je tlak v steni bistveno nižji, kar se kaže pri uporabi tlačnih cevi. Z izrazom (114) lahko uporabite tlak, ugotovljen z uporabo manometrične cevi, da določite tlak v toku tekočine:
(139)
Drugi člen v tem izrazu je pravzaprav metodološka merilna napaka, saj ne gre za napako naprave ali kakšno naključno napako, temveč za napako, povezano s samo metodo merjenja.
S formulo (114) lahko določimo hitrost gibanja tekočine v cevovodu pri znanem tlaku stene, ugotovljenem eksperimentalno. Da bi to naredili, ga je treba predstaviti v razširjeni obliki ob upoštevanju izrazov (109) in (107):
(140)
Oglejmo si dva primera merjenja tlaka, predstavljena na slikah 7 in 10. Tlaka, ki ju prikazujeta manometrični cevi v odsekih 1 in 2 v prvem primeru (slika 7), se bosta zaradi razlike v hitrosti tekočine v teh odsekih razlikovala za znesek h. . Sami tlaki stene za vodoravno cev bodo v skladu s formulo (140) enaki:
; (141)
, (142)
zato je njihova razlika določena z izrazom:
(143)
Z relacijo (22) iz izraza (143) poiščemo hitrost V1:
(144)
Za drugi primer (slika 10) vzpostavimo razmerje med stenskim in atmosferskim tlakom v ozkem delu v obliki razmerja:
, (145)
kje rm- gostota tekočine v manometrični cevi, h- višina tekočine v cevi nad gladino tekočine v posodi pod atmosferskim tlakom. Iz izraza (145) najdemo pretok tekočine V:
(146)
Poiščimo zdaj napako pri merjenju tlaka v toku tekočine s sondo (slika 29). Oglejmo si primer, ko je cev sonde nameščena vzdolž osi toka. Prisotnost cevi bo povzročila spremembo narave gibanja toka, spremembo vzorca polja hitrosti v njem (slika 30), saj se bo cev, tako kot stene cevi, upočasnila pretok tekočine. Polje hitrosti lahko razdelimo na dva dela glede na največjo vrednost hitrosti toka Vm: prvi del - iz cevi polmerne sonde r3 na polmer rm, ki ustreza največji hitrosti, in drugi del - od rm na steno cevi, tj. na polmer R.
Predpostavimo, da bo polje hitrosti v teh odsekih določeno z izrazi:
; (147)
(148)
Iz teh izrazov sledi, da ko r=rm hitrosti in bo imel enako vrednost Vm, in kdaj r=r3 in r=R bodo enake nič.
Prisotnost ustreznih polj kinetične energije vodi do pojava radialnih vztrajnostnih sil, usmerjenih od cevi sonde in od stene cevi do sredine toka. Te sile bodo stisnile tok in ustvarile podtlak na steni cevi in ​​na površini cevi sonde. Ta tlak bo zmanjšal statični tlak, ki ga meri sonda. Velikost negativnega tlaka v obeh območjih bo določena, kot je prikazano zgoraj, s povprečno gostoto kinetične energije:
(149)
Ta tlak se bo povečeval z naraščajočim premerom cevi sonde, saj se bo povečala hitrost toka, katere vrednost je mogoče najti iz pogoja kontinuitete toka:
, (150)
kje V- hitrost pretoka tekočine brez motenj sonde. Iz izraza (150) dobimo:
(151)
Tako se izkaže, da obstoječi merilni instrumenti ne morejo natančno izmeriti tlaka v toku tekočine. Ta okoliščina je, kot vidimo, posledica same tehnike merjenja tlaka.
Naša analiza problema določanja hitrosti toka tekočine in tlaka v njej kaže, da ta problem nima dokaj enostavne rešitve. To je predvsem posledica dejstva, da tekočina, za razliko od trdne snovi, zlahka spremeni svojo obliko zaradi bistveno manjše adhezije med svojimi delci. In vendar so adhezijske sile dovolj, da vplivajo na gibanje celotne količine tekočine, ki se nahaja tako v samem hidravličnem sistemu kot zunaj njega. Tako se na primer z razširljivo stožčasto šobo poveča pretok tekočine, tj. poveča se hitrost njegovega odtoka iz žile. Ta pojav lahko razložimo le s povečanjem mase padajoče tekočine in posledično povečanjem dodatnega tlaka. Zato je treba tekočino v in zunaj hidravličnega sistema obravnavati kot eno telo, ki je podvrženo različnim deformacijam v različnih delih sistema.
V luči vsega navedenega se postavlja vprašanje o fizičnem bistvu enačbe, ki jo je dobil sam Daniel Bernoulli.
Da bi razjasnili njeno bistvo, se obrnemo na to enačbo v obliki izraza (8). Tukaj p1 in p2 statični in in so dinamični tlaki. Iz te enačbe sledi, da je vsota statičnih in dinamičnih tlakov, tj. skupni tlak je konstantna vrednost za elementarno tokovno cev po vsej njeni dolžini. Vendar bo ta izjava resnična le pod enim pogojem - pod pritiskom p2, kot smo pokazali zgoraj, ne smemo razumeti kot protitlak iz odbitega dela tekočine, ki smo ga označili kot , temveč kot tlak v toku obravnavanega odseka tekočine. V Bernoullijevem zakonu ta pogoj ni določen ali celo impliciran.
Bistvo Bernoullijevega zakona lahko komentiramo še drugače. Statični tlak, v skladu z zakonom o ohranitvi energije, ko se tekočina premika, bi se moral zmanjšati za količino dinamičnega tlaka, čeprav v resnici dinamičnega tlaka v toku tekočine ni, saj se izraz kaže samo kot realni tlak ko se celoten tok ali kateri koli njegov del upočasni. Pravzaprav je izraz volumetrična gostota kinetične energije, tj. količino kinetične energije na enoto prostornine gibajoče se tekočine. Pravzaprav ta izraz predstavlja izgubo statičnega tlaka zaradi njegove pretvorbe v energijo gibanja. Torej, če gremo na statični tlak r dodamo izgubo tlaka, nato pa se vrnemo na prvotni statični tlak, ki bi nastal v odsotnosti gibanja tekočine. Torej pritisk p1 v Bernoullijevi enačbi je dejansko tlak, manjši od prvotnega tlaka p1. Enako lahko rečemo za pritiske v drugem delu. Vendar tudi ta okoliščina ni navedena pri izpeljavi enačbe. Če torej v prvem in drugem odseku toka tlakom dodamo ustrezne izgube tlaka zaradi gibanja tekočine, lahko na podlagi enačbe (8) rečemo, da je začetni statični tlak v obeh odsekih v odsotnosti gibanja tekočine je bilo enako. V bistvu je to zakon konstantnosti začetnega hidrostatskega tlaka, tj. to je analog Pascalovega zakona za gibajočo se tekočino.
Obstaja še en način za razlago fizičnega bistva Bernoullijevega zakona. Omenili smo že, da izraz predstavlja volumetrično gostoto kinetične energije gibajoče se tekočine. Očitno je enako mogoče reči za statični tlak r, kar lahko štejemo tudi za gostoto energije, vendar ne kinetične, ampak potencialne. Glede pritiska teže rgH, potem se lahko šteje tudi za gostoto potencialne energije teže tekočine. Zato lahko Bernoullijev zakon razlagamo tudi kot zakon o ohranitvi volumetrične gostote energije, tj. zakon o ohranitvi energije na prostorninsko enoto tekočine.
Tako analiza Bernoullijevega zakona kaže, da ima zelo strog fizični pomen, povezan z zakonom o ohranitvi energije. Vendar pa Bernoullijeve enačbe ni mogoče uporabiti za neposredno iskanje stopenj pretoka tekočine iz znanih tlakov ali obratno, tudi za idealno tekočino, saj ne upošteva zunanjega upora in upora v odseku zožitve toka. Pri izpeljavi te enačbe je bilo delo sil napačno izračunano, saj jih je bilo treba vse reducirati na prvi odsek in jih torej pomnožiti s premikom Dl1. Uporaba Bernoullijeve enačbe za določanje hitrosti ali tlakov vodi do znatnih napak. Tudi uporaba Toricellijeve formule za določanje hitrosti toka tekočine iz poljubne luknje je nezakonita, saj v tem primeru ni govora o prostem padu.
Posledično je bil Bernoullijev zakon ves čas svojega obstoja napačno razumljen, pravzaprav je eden od mitov mehanike, vendar se je z njegovo pomočjo izkazalo, da je mogoče razložiti skoraj vse hidrodinamične pojave (učinke) v gibajoči se tekočini. In, presenetljivo, ta priložnost se je pojavila zaradi napak, ki so bile storjene pri izpeljavi te enačbe. Zgodilo se je, da je bilo pri izpeljavi enačbe vse delo tlačnih sil porabljeno za spreminjanje samo kinetične energije enakih prostornin tekočine, mase r m, zaradi česar je bil pridobljen fizikalno pomemben rezultat, ki je v bistvu sestavljen iz prehoda potencialne energije v kinetično energijo in posledično nespremenljivosti vsote teh energij v vseh odsekih toka tekočine.
K napačnemu razumevanju Bernoullijevega zakona je prispevala tudi odsotnost koncepta polja kinetične energije v gibajoči se tekočini in spremljajočega gradienta.
Na koncu je treba opozoriti, da lahko formule, ki smo jih pridobili, uporabimo le za približen izračun hitrosti in tlakov znotraj toka tekočine, saj zunanjega tlaka ni mogoče natančno najti zaradi delovanja kohezivnih sil na delce tekočine.

Oglejmo si laminarno gibanje idealne (to je brez notranjega trenja) nestisljive tekočine v ukrivljeni cevi različnih premerov. Vemo že, da iz enačbe kontinuitete tekočine S⋅v = const. Katere druge zaključke je mogoče potegniti?

Oglejmo si cev različnih odsekov:

Vzemimo rezino tekočine v tubo. Iz enačbe kontinuitete sledi, da ko se presek cevi zmanjša, se pretok tekočine poveča. Če se hitrost poveča, potem po drugem Newtonovem zakonu deluje sila F = m⋅a. Ta sila nastane zaradi razlike v tlaku med stenami prečnega prereza toka tekočine. To pomeni, da je pritisk na zadnji strani večji kot na sprednji strani odseka. Ta pojav je prvi opisal Daniel Bernoulli.

Bernoullijev zakon

V tistih območjih toka tekočine, kjer je hitrost večja, je tlak nižji in obratno.

Kot vsako telo tudi tekočina pri gibanju opravlja delo, tj. sprošča ali absorbira energijo. Zakon o ohranitvi energije pravi, da energija telesa nikoli več ne izgine ali se pojavi, temveč se lahko le transformira iz ene vrste v drugo. Ta zakon je univerzalen. Ima svojo formulacijo v različnih vejah fizike.

Poglejmo delo, ki ga opravi tekočina:

• Tlak tekočine (EP). Tlak tekočine se izraža v tem, da tekočina zadaj pritiska na tekočino spredaj.
• Delo za premikanje tekočine na višino h (E h). Ko se tekočina spusti, je to delo negativno; ko se dvigne, je pozitivno.
• Delo za posredovanje hitrosti tekočini (E v). Ko se cev zoži, je delo pozitivno, ko se razširi pa negativno. To imenujemo tudi kinetična energija ali dinamični tlak.

Ker razmišljamo o idealni tekočini, ni trenja, kar pomeni, da ni dela sile trenja. Toda v pravi tekočini je prisoten.

Po zakonu o ohranitvi energije:

E p + E h + E v = konst

Zdaj pa ugotovimo, čemu je vsako od teh del enako.

Tlak tekočine (EP)

Formula za tlak je: P = F/S, F = P⋅S. Delo sile, ki ustvarja pritisk:

E P = P⋅S⋅ΔL = P⋅V

Delo za premikanje tekočine na višino h (E h)

Delo, opravljeno pri premikanju tekočine na višino h, je sprememba potencialne energije, ki je enaka:

E h = m⋅g⋅h = V⋅ρ⋅g⋅h

Delo za posredovanje hitrosti tekočini (E v)

Delo za prenos hitrosti tekočine je kinetična energija, ki je odvisna od mase telesa in njegove hitrosti ter je enaka:

E k = m⋅v 2 /2 = V⋅ρ⋅v 2 /2

Dobimo formulo za ohranitev energije tekočine:

P⋅V + V⋅ρ⋅g⋅h + V⋅ρ⋅v 2 /2 = konst

Zmanjšajmo vsak člen za V. Dobimo enačbo:

Bernoullijeva formula

P + ρ⋅g⋅h + ρ⋅v 2 /2 = konst

Razdelimo vsak člen zadnje enačbe ρ⋅g, dobimo

kjer je h geometrijska glava, m;
P / ρ∙g - piezometrični tlak, m;
v 2 / 2g - hitrostna višina, m.

Nastalo enačbo imenujemo Bernoullijeva enačba za elementarni tok idealne tekočine. Leta 1738 ga je pridobil Daniel Bernoulli.

Vsota treh členov enačbe se imenuje skupni tlak.

Ali pa lahko rečemo drugače – za idealno gibajočo se tekočino je vsota treh tlakov: geometrijskega, piezometričnega in hitrostnega konstantna vrednost vzdolž toka.

Bernoullijeva enačba jaz Bernoullijeva enačba

Diferencialna enačba 1. reda oblike:

dy/dx + Py = Qy α ,

kje P, Q- dane zvezne funkcije iz x; α - stalno število. Uvedba nove funkcije z = y --α+1 B. u. zmanjša na linearno diferencialno enačbo (glej Linearne diferencialne enačbe) glede na z. B. u. je leta 1695 obravnaval J. Bernoulli, metodo rešitve pa je leta 1697 objavil J. Bernoulli.

Velika sovjetska enciklopedija. - M.: Sovjetska enciklopedija. 1969-1978 .

Oglejte si, kaj je "Bernoullijeva enačba" v drugih slovarjih:

- (Bernoullijev integral) v hidroaeromehaniki (poimenovan po švicarskem znanstveniku D. Bernoulliju), eden glavnih. enačbe hidromehanike, ki ima pri enakomernem gibanju nestisljive idealne tekočine v enakomernem gravitacijskem polju obliko: kjer je v... ... Fizična enciklopedija

Povezuje hitrost in tlak v toku idealne nestisljive tekočine pri enakomernem toku. Bernoullijeva enačba izraža zakon o ohranitvi energije gibajoče se tekočine. Pogosto se uporablja v hidravliki in tehnični dinamiki tekočin. Izpeljano z D....... Veliki enciklopedični slovar

V aerodinamiki in hidrodinamiki razmerje, ki povezuje plin ali hidrodinamične spremenljivke vzdolž toka enakomernega barotropnega toka idealne tekočine ali plina v potencialnem polju masnih sil F = grad(Π), kjer (Π) potencial: (Π) + V2/2 + … Enciklopedija tehnologije

Povezuje hitrost in tlak v toku idealne nestisljive tekočine pri enakomernem toku. Bernoullijeva enačba izraža zakon o ohranitvi energije gibajoče se tekočine. Pogosto se uporablja v hidravliki in tehnični dinamiki tekočin. Izhod...... Enciklopedični slovar

Navadna diferencialna enačba 1. reda kjer. realno število, ki ni enako nič in ena. To enačbo je prvi obravnaval J. Bernoulli. Z zamenjavo B. u. se reducira na linearno nehomogeno enačbo 1. reda (glej... ... Matematična enciklopedija

Bernoullijeva enačba Enciklopedija "Letalstvo"

Bernoullijeva enačba- v aero in hidrodinamiki razmerje, ki povezuje plin ali hidrodinamične spremenljivke vzdolž toka enakomernega barotropnega [ρ = ρ(p)] toka idealne tekočine ali plina v potencialnem polju masnih sil (F = ‑gradΠ, kjer je Π … … Enciklopedija "Letalstvo"

- [ime po švicar. znanstvenik D. Bernoulli (1700 1782)] eden glavnih. enačba hidrodinamike, ki izraža zakon o ohranitvi energije. 1) B. pri. za elementarni (majhen presek) tok idealne tekočine: kjer so p, PO in v statični... ... Veliki enciklopedični politehnični slovar

Povezuje hitrost in tlak v toku idealne nestisljive tekočine pri enakomernem toku. B. u. izraža zakon o ohranitvi energije gibajoče se tekočine. Pogosto se uporablja v hidravliki in tehnologiji. hidrodinamika. Razvil D. Bernoulli leta 1738... Naravoslovje. Enciklopedični slovar

Bernoullijeva enačba, osnovna enačba hidrodinamike, ki povezuje (za enakomeren tok) hitrost tekoče tekočine v, tlak v njej p in višino h lokacije majhne prostornine tekočine nad referenčno ravnino. B. u. je razvil D. Bernoulli leta... Velika sovjetska enciklopedija

knjige

• Hidrodinamika ali opombe o silah in gibanju tekočin, D. Bernoulli. Ta knjiga bo izdelana v skladu z vašim naročilom s tehnologijo Print-on-Demand.