Množenje matrik 3 z 1. Operacije z matricami

Matrike so med seboj povezane tabele števil. Na njih je mogoče izvesti vrsto različnih operacij, o katerih vam bomo povedali v nadaljevanju.

Velikost matrice je določena z njeno naročila- število vrstic $m$ in stolpcev $n$, ki so prisotni v njem. Vrstice tvorijo elementi, ki stojijo na vodoravnih črtah, stolpce pa elementi, ki stojijo na ravnih navpičnih črtah. Če je število vrstic enako številu stolpcev, je vrstni red zadevne tabele določen z eno samo vrednostjo $m = n$.

Opomba 1

Pri vsakem elementu matrike je v indeksu najprej zapisana številka vrstice, v kateri se nahaja, nato pa številka stolpca, to pomeni, da vnos $a_(ij)$ pomeni, da je element v $i$- vrstici in v stolpcu $j$-om.

Seštevanje in odštevanje

Torej o seštevanju in odštevanju. Ta dejanja je mogoče izvesti samo z matricami enake velikosti.

Za izvedbo teh dejanj je treba vsakemu elementu matrike dodati ali odšteti element druge matrike, ki stoji na istem mestu kot element v prvi.

Kot primer poiščimo vsoto $A+B$, kjer je:

$A = \begin(pmatrix) a_(11) & a_(12) & a_(13) \\ a_(21) & a_(22) & a_(23)\\ a_(31) & a_(32) & a_(33) \\ \end(pmatrix)$

in $B = \begin(pmatrix) b_(11) & b_(12) & b_(13) \\ b_(21) & b_(22) & b_(23) \\ b_(31) & b_(32) & b_(33)\\ \end(pmatrix)$

Vsota katerega koli elementa nove nastale matrične tabele $A + B$ je enaka $a_(ij) + b_(ij)$, na primer element z indeksom $11$ je enak $a_(11) + b_ (11)$ in celoten rezultat izgleda takole:

$A + B = \begin(pmatrix) a_(11)+b_(11) & a_(12)+b_(12) & a_(13)+ b_(13) \\ a_(21)+ b_(21) & a_(22)+b_(22) & a_(23)+ b_(23) \\ a_(31)+ b_(31) & a_(32)+ b_(32) & a_(33) + b_(33) ) \\ \end(pmatrix)$

Odštevanje za dve matriki $A-B$ se izvede podobno, vendar bo vsak element nove rezultatske matrike izračunan po formuli $a_(ij) – b_(ij)$.

Upoštevajte, da je seštevanje in odštevanje za matrike mogoče izvesti samo, če sta njuna vrstna reda enaka.

Primer 1

Rešite naslednje primere matrik: $A + B$; $A – B$.

$A=\begin(pmatrix) 0 & 5 & 2 \\ 1 & -1 & 3 \\ -2 & 0 & 7 \\ \end(pmatrix)$

$B=\begin(pmatrix) 0 & 3 & 2 \\ -4 & 0 & -1 \\ 0 & 7 & -3 \\ \end(pmatrix)$

Pojasnilo:

Izvedemo dejanja za vsak par elementov $a_(ij)$ oziroma $b_(ij)$:

$A+B=\začetek(pmatrika) 0+0 & 5+3 & 2+2 \\ 1-4 & -1+0 & 3 - 1\\ -2+0 & 0+7 & 7 - 3 \ \\end(pmatrix)=\begin(pmatrix) 0 & 8 & 4 \\ -3 & -1 & 2 \\ -2 & 7 & 4\\ \end(pmatrix)$

$A-B=\začetek(pmatrica) 0-0 & 5-3 & 2-2 \\ 1+4 & -1-0 & 3 + 1\\ -2-0 & 0-7 & 7 + 3 \\ \ end(pmatrix)=\begin(pmatrix) 0 & 2 & 0 \\ 5 & -1 & 4 \\ -2 & -7 & 10 \\ \end(pmatrix)$

Množenje matrike s številom

Če želite pomnožiti matrično tabelo s poljubnim številom, morate s tem številom pomnožiti vsak njen element, to je kateri koli element nove matrike $C$, ki je rezultat zmnožka $A$ z $λ $, bo enako $с_(ij)= λ \cdot a_(ij)$.

Primer 2

Pomnožite $A$ z $λ$, kjer je $A=\begin(pmatrix) 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 0 \\ 2 & 1 & 3 \\ \end(pmatrix)$ in $λ =5$:

$A \cdot λ = 5 \cdot \begin(pmatrix) 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 0 \\ 2 & 1 & 3 \\ \end(pmatrix) = \begin(pmatrix) 1 \cdot 5 & ​​​​0 \cdot 5 & 2 \cdot 5 \\ -1 \cdot 5 & 3 \cdot 5 & 0 \cdot 5 \\ 2 \cdot 5 & 1\cdot 5 & 3\cdot 5 \\ \end (pmatrix ) = \begin(pmatrix) 5 & 0 & 10 \\ -5 & 15 & 0 \\ 10 & 5 & 15 \\ \end(pmatrix)$.

Izdelek matričnih tabel

Ta naloga je nekoliko bolj zapletena od prejšnjih, vendar tudi v njej ni nič zapletenega.

Za množenje dveh matrik $A \cdot B$ se mora število stolpcev v $A$ ujemati s številom vrstic v $B$.

Matematično se lahko zapiše takole:

$A_(m \times n)\cdot B_(n \times p) = С_(m \times p)$

To pomeni, da lahko takoj določite vrstni red nastale nove matrike, ko vidite, kako se izvirne matrice množijo. Na primer, če morate pomnožiti $A_(3 \times 2)$ in $B_(2 \times 3)$, bo dobljeni rezultat imel velikost $3 \times 3$:

$\begin(pmatrix) a_(11) & a_(12) \\ a_(21) & a_(22) \\ a_(31) & a_(32) \\ \end(pmatrix) \times \begin(pmatrix ) b_(11) & b_(12) &b_(13) \\ b_(21) & b_(22) & b_(23) \\ b_(31) & b_(32) &b_(33) \\ \end( pmatrix) = \begin(pmatrix) & & \\ & & \\ & & \\ \end(pmatrix)= \begin(pmatrix) (a_(11)b_(11) + a_(12)b_(21)) & (a_(11)b_(12) + a_(12)b_(22)) & (a_(11)b_(13) + a_(12)b_(23)) \\ (a_(21)b_(11) ) + a_(22)b_(21)) & (a_(21)b_(12) + a_(22)b_(22)) & (a_(11)b_(13) + a_(22)b_(23) ) \\ (a_(31)b_(11) + a_(32)b_(21)) & (a_(31)b_(12) + a_(32)b_(22)) & (a_(31)b_( 13) + a_(32)b_(23)) \\ \end(pmatrix)$

Če se število stolpcev prvega matričnega množitelja ne ujema s številom vrstic drugega matričnega množitelja, množenja ni mogoče izvesti.

Primer 3

Reši primer:

$A \times B = ?$ če je $A=\begin(pmatrix) 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 0 \\ 2 & 1 & 3 \\ \end(pmatrix)$ in $B = \ begin(pmatrix) 3 & - 1 & 2 \\ -4 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 2 \\ \end(pmatrix)$.

$A \times B = \begin(pmatrix) (1 \cdot 3 + 0 \cdot (-4) + 2 \cdot 1) & (1 \cdot(-1) + 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1) & (1 \cdot 2 + 0 \cdot 2 + 2 \cdot 2) \\ (-1) \cdot 3 + 3 \cdot (-4) + 0 \cdot 1) & (-1 \cdot(-1) + 3 \cdot 0 + 0 \cdot 1) & (-1 \cdot 2 + 3 \cdot 2 + 0 \cdot 2) \\ (2 \cdot 3 + 1 \cdot (-4) + 3 \cdot 1) & 2 \cdot (-1) + 1 \cdot 0 + 3 \cdot 1) & (2 \cdot 2 + 1 \cdot 2 + 3 \cdot 2) \\ \end(pmatrix) $

$A \times B= \begin(pmatrix) (3 + 0+ 2) & (-1 + 0 + 2) & (2 + 0 + 4) \\ (-3-12+0) & (1 + 0) + 0) & (-2+6+0) \\ (6-4+3) & (-2 + 0 + 3) & (4 + 2 + 6) \\ \end(pmatrix) = \begin(pmatrix ) 5 & 1 & 6 \\ -15 & 1 & 4 \\ 5 & 1 & 12 \\ \end(pmatrix)$.

Iskanje determinante matrike

Determinanta matrike je označena kot $Δ$ ali $\det$.

Opomba 2

Determinanto lahko najdemo samo za kvadratne različice matrik.

V najpreprostejšem primeru, ko je matrika sestavljena samo iz enega elementa, je njena determinanta enaka temu elementu: $det A = |a_(11)|= a_(11)$

Determinanto matrike drugega reda lahko izračunate z upoštevanjem tega pravila:

Definicija 1

Determinanta matrike velikosti 2 je enaka razliki med zmnožki elementov na glavni diagonali in zmnožki elementov na sekundarni diagonali:

$\begin(array)(|cc|) a_(11)& a_(12) \\ a_(21) & a_(22) \\ \end(array) = a_(11) \cdot a_(22) – a_(12)\cdot a_(21)$

Če je determinanta matrike podana z velikostjo $3 \krat 3$, jo lahko najdete z uporabo mnemoničnih pravil: Sarrus ali trikotniki, matriko lahko razširite tudi po vrstici ali stolpcu ali uporabite Gaussove transformacije.

Za večje determinante je mogoče uporabiti Gaussove transformacije in razširitev vrstic.

Inverzne matrike

Po analogiji z običajnim množenjem števila z njegovo inverzno $(1+\frac1x= 1)$, množenje inverzne matrike $A^(-1)$ z izvirno matriko rezultira v identitetni matriki $E$.

Najenostavnejša metoda reševanja pri iskanju inverzne matrike je Jordan-Gauss. Zraven matrike zamorca je zapisana enotska matrika enake velikosti, nato pa se prvotna s transformacijami reducira na enotsko matriko, vsa izvedena dejanja pa se ponovijo z $E$.

Primer 4

Podano $A=\begin(pmatrix)(cc) 1& 2 \\ 3 & 4 \\ \end(pmatrix)$

Dobite inverzno matriko.

rešitev:

Skupaj zapišemo $A$ in desno od njega ustrezno velikost $E$:

$ \begin(matrika)(cc|cc) 1& 2 & 1& 0\\ 3 & 4& 0 & 1 \\ \end(matrika)$

V zadnji vrstici na prvem mestu dobimo ničlo: dodajte ji zgornjo, pomnoženo z $-3$:

$ \begin(matrika)(cc|cc) 1& 2 & 1 & 0\\ 0 & -2 & -3 & 1 \\ \end(matrika)$

Zdaj ponastavimo zadnji element prve vrstice. Če želite to narediti, dodajte spodnjo vrstico zgornji vrstici:

$ \begin(matrika)(cc|cc) 1& 0 & -2 & 1\\ 0 & -2 & -3 & 1 \\ \end(matrika)$

Drugo delite z $-2$:

$ \begin(matrika)(cc|cc) 1& 0 & -2 & 1\\ 0 & 1& 3/2 & -1/2 \\ \end(matrika)$

Dobili smo rezultat:

$A=\begin(pmatrix)(cc) -2& 1 \\ 3/2 & -1/2 \\ \end(pmatrix)$

Transponiranje matričnih tabel

Transpozicija je zamenjava vrstic in stolpcev v matriki ali determinanti ob ohranjanju njihovega prvotnega vrstnega reda. Determinanta transponirane matrične tabele $A^T$ bo enaka determinanti originalne matrike $A$.

Primer 5

Transponirajte matriko $A$ in se preizkusite z iskanjem determinante $A$ in transponirane matrične tablice.

$A=\begin(pmatrix) 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ - 1 & -2 & -3\\ \end(pmatrix)$

rešitev:

Za determinanto uporabimo Sarrusovo metodo:

$\det A= 1 \cdot 5 \cdot (-3) + 2 \cdot 6 \cdot (-1) + 3 \cdot 4 \cdot (-2) – 2 \cdot 4 \cdot (-3) – 1 \cdot 6 \cdot (-2) – 3 \cdot 5 \cdot (-1) = -15 – 12 – 24+ 24 + 12 + 15 = 0$.

Dobili smo singularno matriko.

Zdaj prestavimo $A$, da bi to naredili, bomo matriko obrnili na desno stran:

$A^T = \begin(pmatrix) 1 & 4 & -1 \\ 2 & 5 & -2 \\ 3 & 6 & -3 \\ \end(pmatrix)$

Poiščimo determinanto za $A^T$ z uporabo istega pravila:

$det A^T = 1 \cdot 5 \cdot (-3) + 4 \cdot (-2) \cdot 3 + (-1) \cdot 2 \cdot 6 – 4 \cdot 2 \cdot (-3) – 1 \cdot (-2) \cdot 6 – (- 1) \cdot 5 \cdot 3 = - 15 -24 - 12+24+12+15 = 0$.

To je ena najpogostejših matričnih operacij. Matriko, ki jo dobimo po množenju, imenujemo produkt matrik.

Izdelek Matrix Am × n na matrico Bn × k tam bo matrica Cm × k tako da matrični element C, ki se nahaja v i-ta vrstica in j-th stolpec, to je element c ij enaka vsoti produktov elementov i vrstico matrike A na ustrezne elemente j stolpec matrike B.

Proces matrično množenje je možno le, če je število stolpcev prve matrike enako številu vrstic druge matrike.

primer:
Ali je mogoče matriko pomnožiti z matriko?

m =n, kar pomeni, da je mogoče podatke matrike pomnožiti.

Če matriki zamenjamo, potem pri takšnih matrikah množenje ne bo več mogoče.

m≠ n, zato množenja ni mogoče izvesti:

Pogosto lahko najdete naloge s trikom, ko je učenec vprašan množilne matrike, katerega množenje je očitno nemogoče.

Upoštevajte, da lahko včasih matrike pomnožite na kateri koli način. Na primer za matrike in morda kot množenje MN, in množenje N.M.

To ni zelo težko dejanje. Matrično množenje je bolje razumeti s posebnimi primeri, ker sama definicija je lahko zelo zmedena.

Začnimo z najpreprostejšim primerom:

Treba je pomnožiti z. Najprej podajamo formulo za ta primer:

- tukaj je jasen vzorec.

Pomnožite z .

Formula za ta primer je: .

Množenje matrike in rezultat:

Kot rezultat, t.i ničelna matrika.

Zelo pomembno si je zapomniti, da "pravilo preurejanja mest pojmov" tukaj ne deluje, saj skoraj vedno MN≠ N.M.. Zato proizvodnja operacija množenja matrik V nobenem primeru jih ne smete zamenjati.

Zdaj pa si poglejmo primere množenja matrik tretjega reda:

Pomnožite na .

Formula je zelo podobna prejšnjim:

Matrična rešitev: .

To je isto množenje matrik, le praštevilo je vzeto namesto druge matrike. Kot morda ugibate, je takšno množenje veliko lažje izvesti.

Primer množenja matrike s številom:

Tukaj je vse jasno - da bi pomnoži matriko s številom, mora biti vsak element matrike zaporedno pomnožen z določenim številom. V tem primeru - do 3.

Še en uporaben primer:

- množenje matrike z delnim številom.

Najprej vam bomo pokazali, česa ne smete storiti:

Pri množenju matrike z ulomkom ulomka ni treba vnašati v matriko, saj to, prvič, le oteži nadaljnja dejanja z matriko, in drugič, učitelju oteži preverjanje rešitve.

In poleg tega ni treba deliti vsakega elementa matrike z -7:

.

V tem primeru je treba matriki dodati minus:

.

Če bi imeli primer, kjer bi bili vsi elementi matrike deljivi s 7 brez ostanka, bi lahko (in morali!) deliti.

V tem primeru je možno in potrebno vse elemente matrike pomnožiti s ½, ker Vsak element matrike je deljiv z 2 brez ostanka.

Opomba: v teoriji visokošolske matematike ni pojma »delitev«. Namesto da rečete »to deljeno s tem«, lahko vedno rečete »to pomnoženo z ulomkom«. To pomeni, da je deljenje poseben primer množenja.

Matrični produkt (C = AB) je operacija samo za ujemajoči se matriki A in B, pri kateri je število stolpcev matrike A enako številu vrstic matrike B:

C ⏟ m × n = A ⏟ m × p × B ⏟ p × n

Primer 1

Dane matrike:

• A = a (i j) dimenzij m × n;
• B = b (i j) velikosti p × n

Matrika C, katere elementi c i j so izračunani po naslednji formuli:

c i j = a i 1 × b 1 j + a i 2 × b 2 j + . . . + a i p × b p j , i = 1 , . . . m, j = 1, . . . m

Primer 2

Izračunajmo produkte AB=BA:

A = 1 2 1 0 1 2 , B = 1 0 0 1 1 1

Rešitev z uporabo pravila množenja matrik:

A ⏟ 2 × 3 × B ⏟ 3 × 2 = 1 2 1 0 1 2 × 1 0 0 1 1 1 = 1 × 1 + 2 × 0 + 1 × 1 1 × 0 + 2 × 1 + 1 × 1 0 × 1 + 1 × 0 + 2 × 1 0 × 0 + 1 × 1 + 2 × 1 = = 2 3 2 3 ⏟ 2 × 2

B ⏟ 3 × 2 × A ⏟ 2 × 3 = 1 0 0 1 1 1 × 1 2 1 0 1 2 = 1 × 1 + 0 × 0 1 × 2 + 0 × 1 1 × 1 + 0 × 2 0 × 1 + 1 × 0 0 × 2 + 1 × 1 0 × 1 + 1 × 2 1 × 1 + 1 × 0 1 × 2 + 1 × 1 1 × 1 + 1 × 2 = 1 2 1 0 1 2 1 3 3 ⏟ 3×3

Produkt A B in BA A sta najdena, vendar sta matriki različnih velikosti: A B ni enako BA A.

Lastnosti množenja matrik

Lastnosti matričnega množenja:

• (A B) C = A (B C) - asociativnost matričnega množenja;
• A (B + C) = A B + A C - distributivnost množenja;
• (A + B) C = A C + B C - distributivnost množenja;
• λ (A B) = (λ A) B

Preverimo lastnost št. 1: (A B) C = A (B C) :

(A × B) × A = 1 2 3 4 × 5 6 7 8 × 1 0 0 2 = 19 22 43 50 × 1 0 0 2 = 19 44 43 100,

A (B × C) = 1 2 3 4 × 5 6 7 8 1 0 0 2 = 1 2 3 4 × 5 12 7 16 = 19 44 43 100.

Primer 2

Preverimo lastnost št. 2: A (B + C) = A B + A C:

A × (B + C) = 1 2 3 4 × 5 6 7 8 + 1 0 0 2 = 1 2 3 4 × 6 6 7 10 = 20 26 46 58,

A B + A C = 1 2 3 4 × 5 6 7 8 + 1 2 3 4 × 1 0 0 2 = 19 22 43 50 + 1 4 3 8 = 20 26 46 58.

Produkt treh matrik

Produkt treh matrik A B C se izračuna na 2 načina:

• poišči A B in pomnoži s C: (A B) C;
• ali najprej poiščite B C in nato pomnožite A (B C).

Pomnožite matrike na dva načina:

4 3 7 5 × - 28 93 38 - 126 × 7 3 2 1

Algoritem dejanj:

• poiščite produkt 2 matrik;
• nato spet poiščite produkt 2 matrik.

1). A B = 4 3 7 5 × - 28 93 38 - 126 = 4 (- 28) + 3 × 38 4 × 93 + 3 (- 126) 7 (- 28) + 5 × 38 7 × 93 + 5 (- 126 ) = 2 - 6 - 6 21

2). A B C = (A B) C = 2 - 6 - 6 21 7 3 2 1 = 2 × 7 - 6 × 2 2 × 3 - 6 × 1 - 6 × 7 + 21 × 2 - 6 × 3 + 21 × 1 = 2 0 0 3 .

Uporabimo formulo A B C = (A B) C:

1). B C = - 28 93 38 - 126 7 3 2 1 = - 28 × 7 + 93 × 2 - 28 × 3 + 93 × 1 38 × 7 - 126 × 2 38 × 3 - 126 × 1 = - 10 9 14 - 12

2). A B C = (A B) C = 7 3 2 1 - 10 9 14 - 12 = 4 (- 10) + 3 × 14 4 × 9 + 3 (- 12) 7 (- 10) + 5 × 14 7 × 9 + 5 (- 12) = 2 0 0 3

Odgovor: 4 3 7 5 - 28 93 38 - 126 7 3 2 1 = 2 0 0 3

Množenje matrike s številom

Produkt matrike A s številom k je matrika B = A k enake velikosti, ki jo dobimo iz prvotne z množenjem vseh njenih elementov z danim številom:

b i, j = k × a i, j

Lastnosti množenja matrike s številom:

• 1 × A = A
• 0 × A = ničelna matrika
• k (A + B) = k A + k B
• (k + n) A = k A + n A
• (k × n) × A = k (n × A)

Poiščimo produkt matrike A = 4 2 9 0 s 5.

5 A = 5 4 2 9 0 5 × 4 5 × 2 5 × 9 5 × 0 = 20 10 45 0

Množenje matrike z vektorjem

Če želite najti produkt matrike in vektorja, morate pomnožiti s pravilom "vrstica za stolpcem":

• če matriko pomnožite z vektorjem stolpca, se mora število stolpcev v matriki ujemati s številom vrstic v vektorju stolpca;
• Rezultat množenja vektorja stolpca je samo vektor stolpca:

A B = a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a m 1 a m 2 ⋯ a m n b 1 b 2 ⋯ b 1 n = a 11 × b 1 + a 12 × b 2 + ⋯ + a 1 n × b n a 21 × b 1 + a 22 × b 2 + ⋯ + a 2 n × b n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a m 1 × b 1 + a m 2 × b 2 + ⋯ + a m n × b n = c 1 s 2 ⋯ s 1 m

• če matriko pomnožite z vrstičnim vektorjem, mora biti matrika, ki jo množite, izključno stolpčni vektor, število stolpcev pa se mora ujemati s številom stolpcev v vrstičnem vektorju:

A B = a a ⋯ a b b ⋯ b = a 1 × b 1 a 1 × b 2 ⋯ a 1 × b n a 2 × b 1 a 2 × b 2 ⋯ a 2 × b n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a n × b 1 a n × b 2 ⋯ a n × b n = c 11 c 12 ⋯ c 1 n c 21 c 22 ⋯ c 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ c n 1 c n 2 ⋯ c n n

Primer 5

Poiščimo produkt matrike A in vektorja stolpca B:

A B = 2 4 0 - 2 1 3 - 1 0 1 1 2 - 1 = 2 × 1 + 4 × 2 + 0 × (- 1) - 2 × 1 + 1 × 2 + 3 × (- 1) - 1 × 1 + 0 × 2 + 1 × (- 1) = 2 + 8 + 0 - 2 + 2 - 3 - 1 + 0 - 1 = 10 - 3 - 2

Primer 6

Poiščimo produkt matrike A in vrstičnega vektorja B:

A = 3 2 0 - 1 , B = - 1 1 0 2

A B = 3 2 0 1 × - 1 1 0 2 = 3 × (- 1) 3 × 1 3 × 0 3 × 2 2 × (- 1) 2 × 1 2 × 0 2 × 2 0 × (- 1) 0 × 1 0 × 0 0 × 2 1 × (- 1) 1 × 1 1 × 0 1 × 2 = - 3 3 0 6 - 2 2 0 4 0 0 0 0 - 1 1 0 2

Odgovor: A B = - 3 3 0 6 - 2 2 0 4 0 0 0 0 - 1 1 0 2

Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter

Najprej, KAJ bi moral biti rezultat množenja treh matrik? Mačka ne bo rodila miši. Če je matrično množenje izvedljivo, bo tudi rezultat matrika. Hmmm, no, moj učitelj algebre ne razume, kako naj razložim zaprtost algebraične strukture glede na njene elemente =)

Produkt treh matrik je mogoče izračunati na dva načina:

1) poiščite in nato pomnožite z matriko “ce”: ;

2) najprej poišči, nato pomnoži.

Rezultati bodo zagotovo sovpadali, in to v teoriji to lastnost imenujemo asociativnost množenja matrik:

Primer 6

Pomnožite matrike na dva načina

Algoritem rešitve dvostopenjski: najdemo zmnožek dveh matrik, nato spet najdemo zmnožek dveh matrik.

1) Uporabite formulo

Prva akcija:

Drugo dejanje:

2) Uporabite formulo

Prva akcija:

Drugo dejanje:

Odgovori:

Prva rešitev je seveda bolj poznana in standardna, kjer je »navidez vse v redu«. Mimogrede, glede naročila. Pri obravnavani nalogi se pogosto pojavi iluzija, da govorimo o nekakšnih permutacijah matrik. Ni jih tukaj. Še enkrat vas spomnim, da V splošnem MATRIKE NE MOREJO BITI TRAJNO TRAJNE. Torej, v drugem odstavku, v drugem koraku, izvedemo množenje, vendar v nobenem primeru ne . Pri navadnih številih bi tako število delovalo, pri matrikah pa ne.

Lastnost asociativnega množenja ne velja samo za kvadratne, ampak tudi za poljubne matrike - dokler so pomnožene:

Primer 7

Poiščite produkt treh matrik

To je primer, ki ga morate rešiti sami. V vzorčni rešitvi se izračuni izvajajo na dva načina; analiziramo, katera pot je donosnejša in krajša.

Lastnost asociativnosti množenja matrik velja tudi za večje število faktorjev.

Zdaj je čas, da se vrnemo k močem matrik. Kvadrat matrike je obravnavan na samem začetku in je na dnevnem redu.

Matrika je definirana kot pravokotna miza , geometrijsko, je pravokotnik z dimenzijami in . Dve matriki - dva pravokotnika: z dimenzijami in , z dimenzijami in . Pri obravnavi operacije seštevanja matrik je bila odkrita zahteva po usklajevanju velikosti pravokotnikov: =, =. Ta zahteva zagotavlja interakcijo matrik v vektorskih sistemih:

=
-
- …-
– veriga črt,

=
-
- …-
– veriga stolpcev,

Še več, če matriko predstavljeno v diagramu , nato matriko je treba prikazati v istem diagramu. Ampak, glavna stvar: matrike komunicirajo s skupinami elementov - vektorji!

Če operacijo množenja matrike definiramo kot: · =, potem se pojavi vprašanje: koliko vrstic in stolpcev ima matrika? ? To je določilo samo dve možni shemi za interakcijo matrik pri njihovem množenju:

1* : vrstica leve matrike ↔ stolpec desne matrike,

2* : levi stolpec matrike ↔ desna vrstica matrike.

Za vezje 1* : v matrici . Za vezje 2* : v matrici toliko vrstic, kot je matrika , je toliko stolpcev, kot je matrika .

Uporaba sheme se je uveljavila v praksi 1* , kar je praviloma skrajšano: vrstica - stolpec .

Komentiraj: Iz definicije produkta matrik izhaja: element enaka skalarnemu produktu niza - matrice na stolpec- matrice .

Lastnosti operacije množenja matrike :

1* .
≠
– ni komutativno (ni komutativno);

2* .
=
=
– kombinacijske (asociativne).

3* .
=
+
– razdelilni (distributivni).

Komentiraj: imejte v mislih: v lastnini 1* na splošno se lahko zgodi, da matrika
obstaja in matrika
ne obstaja!

V zvezi z uvedbo operacije matričnega produkta se postavlja vprašanje: kako izvesti matrični produkt in da dobimo matriko, transponirano glede na matriko . Če transponirane matrike označimo kot:
,
in
, potem velja naslednji izrek.

1) Predstavljajte si produkt matrik:
v obliki diagrama za izračun elementov matrice :

2). Ob upoštevanju definicije matrične transpozicije prikažemo tudi enakost
=
v obliki podobnega diagrama:

Vidimo: element matrice
enako elementu matrike C.◄

Komentiraj: Definicijo matrične transpozicije in dokazan izrek o transpoziciji produkta matrik bomo večkrat uporabili pri obravnavi determinant in matric linearnih transformacij v vektorskih prostorih.

Primer 4–05 : Izračunajte zmnožek matrik: C =A B =

.

rešitev:

A in B :

C B ;

C B ;

Uporaba tehnološke predloge v obliki tabele vam bo omogočila izdelavo algoritma za izračun produkta matrik in zaščito pred napakami v izračunih. Sledimo izračunu stolpca-1 matrike C: =
, =
.

odgovor: C=
.

Primer 4–06 : Izračunajte zmnožek matrik: C =A B =

.

rešitev:

Tabela prikazuje shemo za izračun produkta matrik A in B :

▫ za izračun stolpca 1 matrike C nad matriko postavimo stolpec-1 matrike B ;

▫ za izračun matrike stolpec-2 C nad matriko postavimo stolpec-2 matrike B ;

C B ;

C:

=, =, =.

odgovor: =
.

Primer 4–07 C=AB=

.

rešitev:

Tabela prikazuje shemo za izračun produkta matrik A in B :

▫ za izračun stolpca 1 matrike C nad matriko postavimo stolpec-1 matrike B ;

▫ za izračun matrike stolpec-2 C nad matriko postavimo stolpec-2 matrike B ;

▫ za izračun matrike stolpec-3 C nad matriko postavimo stolpec-3 matrike B ;

▫ za izračun matrike stolpec-4 C nad matriko postavimo stolpec-4 matrike B .

(nadaljevanje tabele).

Iz tabele vidimo odgovor. Sledimo izračunu stolpca-1 matrike C:

=, =,

=, =.

odgovor: C=
.

Primer 4–08 :Izračunaj: C=
, Če A =
.

rešitev:

1) Zapišimo verigo vrstnih vektorjev matrike A:

(,0,0,...,0,...,0), (0,,0,...,0,...,0), ... , (0,0,0,...,),

in pomnožite (skalarno) s stolpcem- matrice A: (0,0, 0, ... , , ...,0). Preprosto je videti, kaj je v matrici C=
=
stolpec- bo imel obliko (0,0, 0, ... , , ...,0). To pomeni, da je veriga vektorjev vrstic matrike C =
bo imel obliko:

(,0,0,...,0,...,0), (0, , ...,0), ... , (0,0, 0, ... ,0, ..., ).

2) Če zdaj izračunamo C=
=
, nato pa veriga vektorjev vrstic matrike C =
bo imel obliko:

(,0,0,...,0,...,0), (0, ,0,...,0,...,0), ... , (0,0,0,..., , ...,0), ... , (0,0, 0, ... ,0, ..., ).

3) Z uporabo metode matematične indukcije za matriko C =
lahko napišemo:

(,0,0,...,0,...,0), (0, ,0,...,0,...,0), ... , (0,0,0,..., , ...,0), ... , (0,0, 0, ... ,0, ..., ).

odgovor: C=
.

Primer 4–09 : Dokaži, da če matrike A in B– kvadrat, in
≠
, potem vedno držijo naslednje trditve: a);

rešitev:

1) Ob upoštevanju porazdelitvene lastnosti matričnega množenja:
=
+
, napišimo:

.

2) Ob upoštevanju porazdelitvene lastnosti matričnega množenja:
=
+
, napišimo:

.

Odgovor: dokazano.

Primer 4–10 : Poiščite vse matrike, ki komutirajo z matriko: =.

rešitev:

1) Imejmo matriko: , tako da
=
. Če upoštevamo pravilo množenja matrik, lahko vidimo, da je množenje teh matrik možno le, če je matrika - kvadrat in enake dimenzije kot matrica .

2) Sprejmimo: =
, in zapišite izraz
=
:

C=AB.

Iz tabele vidimo odgovor.

3) Zapišimo zdaj izraz
=
:

Tabela prikazuje shemo za izračun produkta matrik D=BA.

Iz tabele vidimo odgovor.

4) Uporabimo enakost:
→ dobimo enačbe za izračun matrike :

3 a + d =3 a → d =0; 3 d + g =3 d → g =0; 3 b + e =a+ 3b → e =a ; 3 e + h =d+ 3e → h =0;

3 h =g + 3h → h =h ; 3 c + f =b+ 3c → f =b ; 3 f + k =e+ 3f → k =e ; 3 k =h+ 3k → h =0.

5) Z dobljenimi enačbami lahko zapišemo: =
.

odgovor: =
.

Primer 4–11 :Dokaži, da je matrika: =
izpolnjuje enačbo: –(a+d) x+oglas–
=0.

rešitev:

Komentiraj: zadevni primer je zanimiv, ker prikazuje sodelovanje v matričnem izrazu skalar matrike:
=
.

1) Izračunajmo:
=

=
;
=
.

2) Nadomestite matriko v enačbo : ali:

–
+
=
.

Odgovor: dokazano.

Primer 4–12 :Izračunajte zmnožek matrik: A= (4 0 -2 3 1) in B=: a) AB; b) B.A..

Komentiraj: obravnavani primer je zanimiv v tem, da izjemno jasno dokazuje neenakost :
.

rešitev:

A)
= (4·3 + 0·1 + (-2)·(-1) + 3·5 + 1·2) = (31) – matrika z enim elementom;

b)
=
=
.

Odgovor: matrice v besedilu.