Polž spleza čez dan. Reševanje nestandardnih nalog pri matematiki v osnovni šoli

• Tekač je 250 m pretekel v 36 sekundah. Poiščite povprečno hitrost tekača na razdalji. Odgovorite v kilometrih na uro in razložite algoritem za rešitev problema. 13
• Parcela ima obliko pravokotnika s stranicama 30 metrov in 20 metrov. Lastnik je na posesti ogradil kvadratno ogrado s stranico 12 metrov. Poiščite površino preostalega dela ploskve. Odgovor zapišite v kvadratnih metrih in zapišite algoritem za rešitev naloge. 15
• Kot pri oglišču, ki je nasproti osnovnici enakokrakega trikotnika, je 30°. Stranska stran trikotnika je 11. Poiščite ploščino tega trikotnika. Zapiši rešitev problema. 11
• V valjasti posodi doseže nivo tekočine 48 cm. Na kolikšni višini bo nivo tekočine, če jo nalijemo v drugo valjasto posodo, katere premer je 2-krat večji od premera prve? Razloži rešitev problema. 20
• Mesto N ima 150.000 prebivalcev. Med njimi je 15 % otrok in mladostnikov. Med odraslimi jih 45 % ne dela (upokojenci, študenti, gospodinje itd.). Koliko odraslih stanovalcev dela? Opišite rešitev problema. 21
• Beležnica v trgovini stane 22 rubljev. Koliko rubljev bo kupec plačal za 70 zvezkov, če pri nakupu več kot 50 zvezkov trgovina daje 5% popust na ceno celotnega nakupa? Napiši rešitev problema. 20
• Meter vrvi v trgovini stane 19 rubljev. Koliko rubljev bo kupec plačal za 60 metrov vrvi, če pri nakupu več kot 50 metrov vrvi trgovina daje 5% popust na ceno celotnega nakupa? Napišite algoritem za rešitev problema. 22

Naloga 20 Osnovna raven Enotnega državnega izpita

1) Polž se v enem dnevu povzpne po drevesu 1 m, višina drevesa pa je 13 m drevo prvič?(4-1 = 3, zjutraj 4. dan bo na višini 9 m, čez dan pa bo plazil 4 m. Odgovor: 4 )

2) Polž se v enem dnevu povzpne po drevesu 3 m, višina drevesa pa je 10 m drevo prvič?Odgovor: 7

3) Polž se v enem dnevu povzpne za 2 m, višina drevesa pa je 10 m.Odgovor:8

4) Palica je označena s prečnimi črtami rdeče, rumene in zelene barve. Če palico prerežete vzdolž rdečih črt, boste dobili 15 kosov, če vzdolž rumenih črt - 5 kosov, in če vzdolž zelenih črt - 7 kosov. Koliko kosov boš dobil, če boš palico prerezal po črtah vseh treh barv?? ( Če prerežete palico vzdolž rdečih črt, boste dobili 15 kosov, torej, če prerežete palico vzdolž rumenih črt, boste dobili 5 kosov, torej bodo 4 črte vzdolž zelenih črt, boste dobili 7 kosov, torej bo 6 vrstic: 14 + 4 + 6 = 24 vrstic. odgovor: 25 )

5) Palica je označena s prečnimi črtami rdeče, rumene in zelene barve. Če palico prerežete vzdolž rdečih črt, boste dobili 5 kosov, če vzdolž rumenih črt - 7 kosov, in če vzdolž zelenih črt - 11 kosov. Koliko kosov boš dobil, če boš palico prerezal po črtah vseh treh barv?Odgovori : 21

6) Palica je označena s prečnimi črtami rdeče, rumene in zelene barve. Če palico prerežete vzdolž rdečih črt, boste dobili 10 kosov, če vzdolž rumenih črt - 8 kosov, če vzdolž zelenih - 8 kosov. Koliko kosov boš dobil, če boš palico prerezal po črtah vseh treh barv?Odgovori : 24

7) Na menjalnici lahko opravite enega od dveh poslov:

za 2 zlatnika dobite 3 srebrne in enega bakrenega;

za 5 srebrnikov dobite 3 zlate in enega bakrenega.

Miklavž je imel samo srebrnike. Po večkratnem obisku menjalnice so njegovi srebrniki postali manjši, zlatnikov ni bilo, pojavilo pa se je 50 bakrenih kovancev. Za koliko se je zmanjšalo Miklavževo število srebrnikov? Odgovor: 10

8) Na menjalnici lahko opravite enega od dveh poslov:

· za 2 zlatnika dobite 3 srebrne in enega bakrenega;

· za 5 srebrnikov dobite 3 zlate in enega bakrenega.

Miklavž je imel samo srebrnike. Po večkratnem obisku menjalnice so njegovi srebrniki postali manjši, zlatnikov ni bilo, pojavilo pa se je 100 bakrenih kovancev. Za koliko se je zmanjšalo število Miklavževih srebrnikov? ? Odgovor: 20

9) V menjalnici lahko opravite enega od dveh poslov:

2) za 6 srebrnikov dobite 4 zlate in enega bakrenega.

Nikola je imel samo srebrnike. Po obisku menjalnice so se njegovi srebrniki zmanjšali, zlatnikov ni bilo, pojavilo pa se je 35 bakrenih kovancev. Za koliko se je zmanjšalo Nikolino število srebrnikov?Odgovor: 10

10) V menjalnici lahko opravite enega od dveh poslov:

1) za 3 zlate kovance dobite 4 srebrne in enega bakrenega;

2) za 7 srebrnikov dobite 4 zlate in enega bakrenega.

Nikola je imel samo srebrnike. Po obisku menjalnice so njegovi srebrniki postali manjši, zlatnikov ni bilo, pojavilo pa se je 42 bakrenih kovancev. Za koliko se je zmanjšalo Nikolino število srebrnikov?Odgovor: 30

11) V menjalnici lahko opravite enega od dveh poslov:

1) za 4 zlate kovance dobite 5 srebrnih in en bakren;

2) za 8 srebrnikov dobite 5 zlatih in enega bakrenega.

Nikolaj je imel samo srebrnike. Po večkratnem obisku menjalnice so njegovi srebrniki postali manjši, zlatnikov ni bilo, pojavilo pa se je 45 bakrenih kovancev. Za koliko se je zmanjšalo Miklavževo število srebrnikov?Odgovor: 35

12) V košarici je 50 gob: žafranike in mlečne gobe. Znano je, da je med poljubnimi 28 gobami vsaj en žafranik, med poljubnimi 24 gobami pa vsaj en mleček. Koliko mlečnih gob je v košari?( Glede na pogoje problema: (50-28)+1=23 - morajo biti kape iz žafranovega mleka. ( 50-24)+1=27 - morajo biti mlečne gobe. Odgovor: mlečne gobe v košari 27 .)

13) V košarici je 40 gob: žafranike in mlečne gobe. Znano je, da je med poljubnimi 17 gobami vsaj en žafranik, med poljubnimi 25 gobami pa vsaj en mleček. Koliko pokrovčkov žafranovega mleka je v košarici? (Glede na pogoje problema: (40-17)+1=24 - morajo biti kape iz žafranovega mleka. ( 40-25)+1=16 24 .)

14) V košarici je 30 gob: žafranike in mlečne gobe. Znano je, da je med poljubnimi 12 gobami vsaj en žafranik, med poljubnimi 20 gobami pa vsaj en mleček. Koliko pokrovčkov žafranovega mleka je v košarici?(Glede na izjavo o problemu: (30-12)+1=19 - morajo biti kape iz žafranovega mleka. ( 30-20)+1=11 - morajo biti mlečne gobe. Odgovor: pokrovčki žafrana v košarici 19 .)

15) V košarici je 45 gob: žafranike in mlečne gobe. Znano je, da je med poljubnimi 23 gobami vsaj en žafranik, med poljubnimi 24 gobami pa vsaj en mleček. Koliko pokrovčkov žafranovega mleka je v košarici?( Glede na pogoje problema: (45-23)+1=23 - morajo biti kape iz žafranovega mleka. ( 45-24)+1=22 - morajo biti mlečne gobe. Odgovor: pokrovčki žafrana v košarici 23 .)

16) V košarici je 25 gob: žafranike in mlečne gobe. Znano je, da je med poljubnimi 11 gobami vsaj en žafranik, med poljubnimi 16 gobami pa vsaj en mleček. Koliko pokrovčkov žafranovega mleka je v košarici? (Ker je med poljubnimi 11 gobami vsaj ena goba, potem ni več kot 10 gob. Ker je med poljubnimi 16 gobami vsaj ena goba, potem ni več kot 15 gob vsega skupaj v košarici, potem je natanko 10 mlečkov, klobučkov pa natanko Odgovor: 15.

17) Lastnik se je z delavci dogovoril, da mu bodo izkopali vodnjak pod naslednjimi pogoji: za prvi meter jim bo plačal 4200 rubljev, za vsakega naslednjega pa 1300 rubljev več kot za prejšnjega. Koliko denarja bo moral lastnik plačati delavcem, če izkopljejo vodnjak globok 11 metrov??(Odgovor: 117700)

18) Lastnik se je z delavci dogovoril, da mu bodo izkopali vodnjak pod naslednjimi pogoji: za prvi meter jim bo plačal 3700 rubljev, za vsak naslednji meter pa 1700 rubljev več kot za prejšnjega. Koliko denarja bo moral lastnik plačati delavcem, če izkopljejo vodnjak globok 8 metrov? (77200 )

19) Lastnik se je z delavci dogovoril, da bodo izkopali vodnjak pod naslednjimi pogoji: za prvi meter jim bo plačal 3500 rubljev, za vsak naslednji meter pa 1600 rubljev več kot za prejšnjega. Koliko denarja bo moral lastnik plačati delavcem, če izkopljejo vodnjak globok 9 metrov? (89100 )

20) Lastnik se je z delavci dogovoril, da mu bodo izkopali vodnjak pod naslednjimi pogoji: za prvi meter jim bo plačal 3900 rubljev, za vsak naslednji meter pa bo plačal 1200 rubljev več kot za prejšnjega. Koliko rubljev bo moral lastnik plačati delavcem, če izkopljejo vodnjak globok 6 metrov?(41400)

21) Trener je Andreju svetoval, naj prvi dan pouka preživi 15 minut na tekalni stezi, pri vsaki naslednji lekciji pa naj čas, porabljen na tekalni stezi, poveča za 7 minut. V koliko treningih bo Andrej skupaj preživel 2 uri in 25 minut na tekalni stezi, če bo upošteval nasvete trenerja? (5 )

22) Trener je Andreju svetoval, naj prvi dan pouka preživi 22 minut na tekalni stezi, pri vsaki naslednji lekciji pa naj poveča čas, porabljen na tekalni stezi, za 4 minute, dokler ne doseže 60 minut, nato pa nadaljuje z vadbo 60 minut. vsak dan V koliko treningih, začenši s prvim, bo Andrej skupno preživel 4 ure in 48 minut na tekalni stezi? (8 )

23) V prvi vrsti kina je 24 sedežev, v vsaki naslednji vrsti pa 2 sedeža več kot v prejšnji. Koliko sedežev je v osmi vrsti? (38 )

24) Zdravnik je bolniku predpisal jemanje zdravila po naslednjem režimu: prvi dan naj vzame 3 kapljice, vsak naslednji dan pa 3 kapljice več kot prejšnji dan. Po zaužitju 30 kapljic pije 30 kapljic zdravila še 3 dni, nato pa dnevno zmanjša vnos za 3 kapljice. Koliko stekleničk zdravila naj bolnik kupi za celotno zdravljenje, če vsaka vsebuje 20 ml zdravila (kar je 250 kapljic)?(2) vsota aritmetične progresije s prvim členom, ki je enak 3, razliko, ki je enaka 3, in zadnjim členom, ki je enak 30.; 165 + 90 + 135 = 390 kapljic; 3+ 3( n -1)=30; n =10 in 27- 3( n -1)=3; n =9

25) Zdravnik je bolniku predpisal jemanje zdravila po naslednjem režimu: prvi dan naj vzame 20 kapljic, vsak naslednji dan pa 3 kapljice več kot prejšnji. Po 15 dneh jemanja bolnik naredi 3 dni premora in nadaljuje z jemanjem zdravila po obratni shemi: 19. dan vzame enako število kapljic kot 15. dan, nato pa dnevno znižuje odmerek za 3 kapljice, dokler odmerek ne postane manjši od 3 kapljic na dan. Koliko steklenic zdravila naj bolnik kupi za celotno zdravljenje, če vsaka vsebuje 200 kapljic? (7 ) bo spil 615 + 615 + 55 = 1285 ;1285: 200 = 6,4

26) V trgovini z gospodinjskimi aparati je obseg prodaje hladilnikov sezonski. V januarju je bilo prodanih 10 hladilnikov, v naslednjih treh mesecih pa 10 hladilnikov. Od maja se je prodaja povečala za 15 enot v primerjavi s prejšnjim mesecem. Od septembra se je obseg prodaje začel zmanjševati vsak mesec za 15 hladilnikov glede na prejšnji mesec. Koliko hladilnikov je trgovina prodala v enem letu?(360) (5*10+2*25+2*40+2*55+70=360

27) Na površini globusa je s flomastrom narisanih 12 vzporednikov in 22 meridianov. Na koliko delov so narisane črte razdelile površje globusa?

( 13 22= 286)

28) Na površino globusa je bilo s flomastrom narisanih 17 vzporednikov in 24 meridianov. Na koliko delov so narisane črte razdelile površje globusa?Poldnevnik je krožni lok, ki povezuje severni in južni pol. Vzporednik je krožnica, ki leži v ravnini, ki je vzporedna z ravnino ekvatorja.( 18 24 = 432)

29) Katero najmanjše število zaporednih števil je treba vzeti, da bo njihov produkt deljiv s 7?(2) Če bi izjava o problemu zvenela takole: »Koliko je najmanjše število zaporednih števil, ki jih je treba vzeti, da bo njihov produkt zagotovljeno je bil deljiv s 7? Potem bi morali vzeti sedem zaporednih številk.

30) Katero najmanjše število zaporednih števil je treba vzeti, da bo njihov produkt deljiv z 9?(2)

31) Zmnožek desetih zaporednih števil je deljen s 7. Čemu je lahko enak ostanek?(0) Med 10 zaporednimi števili bo eno izmed njih zagotovo deljivo s 7, zato je produkt teh števil večkratnik števila sedem. Zato je ostanek pri deljenju s 7 nič.

32) Kobilica skoči vzdolž koordinatne črte v katero koli smer za enotski segment na skok. Koliko različnih točk je na koordinatni premici, na katerih lahko konča kobilica po natanko 6 skokih, začenši z izhodiščem? (kobilica lahko konča na točkah: −6, −4, −2, 0, 2, 4 in 6; samo 7 točk.)

33) Kobilica skoči vzdolž koordinatne črte v katero koli smer za enotski segment na skok. Koliko različnih točk je na koordinatni premici, na katerih lahko konča kobilica, potem ko je naredila točno 12 skokov, začenši z izhodiščem? (kobilica je lahko na točkah: −12, −10, −8, −6, −4, −2, 0, 2, 4, 6, 8, 10 in 12; samo 13 točk.)

34) Kobilica skoči vzdolž koordinatne črte v katero koli smer za enotski segment na skok. Koliko različnih točk je na koordinatni premici, na katerih lahko konča kobilica, potem ko je naredila natanko 11 skokov, začenši z izhodiščem?(lahko se pojavi na točkah: −11, −9, −7, −5, −3, −1, 1, 3, 5, 7, 9 in 11; skupaj 12 točk.)

35) Kobilica skače vzdolž koordinatne črte v poljubno smer za enotski segment na skok. Koliko različnih točk je na koordinatni premici, na katerih lahko konča kobilica po natanko 8 skokih, začenši z izhodiščem?

Upoštevajte, da lahko kobilica konča samo na točkah s sodimi koordinatami, saj je število skokov, ki jih naredi, sodo. Največja kobilica je lahko v točkah, katerih modul ne presega osem. Tako lahko kobilica konča na točkah: −8, −6, -2 ; −4, 0,2, 4, 6, 8 za skupno 9 točk.

Na enotnem državnem izpitu osnovne stopnje je naloga za iznajdljivost pod številko 20. Večino teh težav se reši precej preprosto. Razdelimo naloge, predstavljene v banki odprtih enotnih državnih izpitov, po vrstah in jim damo konvencionalno ime:

Poglejmo si prve štiri vrste.

Vrsta 1.

Kobilica v enem skoku skoči vzdolž koordinatne črte v poljubno smer enotskega odseka. Kobilica začne skakati iz izhodišča. Koliko različnih točk je na koordinatni premici, na katerih lahko konča kobilica po natanko 11 skokih?

rešitev . Upoštevajte, da je kobilica na koncu lahko konča le na točkah z lihimi koordinatami,ker število skokov, ki jih naredi, je liho.

Največja kobilica je lahko na točkahkaterega modul ne presega enajst. Tako lahko kobilica konča na točkah: −11, −9, −7, −5, −3, −1, 1, 3, 5, 7, 9 in 11;le 12 točk.

Odgovori: 12

Problemi za samostojno rešitev.

• Zajec skoči vzdolž koordinatne črte v katero koli smer za enotski segment na skok. Koliko različnih točk je na koordinatni premici, na katerih lahko konča zajec po natanko 6 skokih, začenši z izhodišča?

• Vrabec skače po ravni črti v katero koli smer. Dolžina skoka je enaka enotskemu odseku. Na koliko točkah lahko konča vrabec po 5 skokih?

• Kobilica skače vzdolž koordinatne črte v poljubno smer za enotski segment na skok. Koliko različnih točk je na koordinatni premici, na katerih lahko konča kobilica, potem ko je naredila točno 12 skokov, začenši z izhodiščem?

Vrsta 2.

Problem 1.Polž se v enem dnevu povzpne po drevesu 3 m, višina drevesa pa je 10 m prvič?

rešitev . Čez dan se bo polž splazil 4 metre, ponoči pa bo zdrsnil 3 metre. Skupno bo v enem dnevu zlezla meter. V šestih dneh se bo dvignila na višino šestih metrov. In naslednji dan bo že na vrhu drevesa.

odgovor: 7

Problem 2. Naftna družba vrta vrtino za pridobivanje nafte, ki po podatkih geoloških raziskav leži na globini 3 km. Čez delovni dan gredo vrtalci 300 metrov globoko, čez noč pa se vrtina spet »zamuli«, torej se napolni z zemljo do globine 30 metrov. Koliko delovnih dni bodo naftarji potrebovali, da izvrtajo vrtino do globine nafte?

rešitev . Čez dan se vrtina poveča za 300 − 30 = 270 m. Do začetka enajstega delovnega dne bodo naftaši izvrtali 2700 metrov. V enajstem delovnem dnevu bodo naftarji vrtali še 300 metrov, torej bodo dosegli globino 3 km.

odgovor: 11

Naloga 3. Zaradi poplave je bila jama napolnjena z vodo do višine 2 metrov. Gradbena črpalka neprekinjeno črpa vodo in zniža njen nivo za 20 cm na uro. Podtalna voda, nasprotno, poveča nivo vode v jami za 5 cm na uro. Po koliko urah delovanja črpalke bo gladina vode v jašku padla na 80 cm?

rešitev . V eni uri se gladina vode v jami zniža za 20 − 5 = 15 cm. Izčrpati je potrebno 2 · 100 − 80 = 120 cm vode. Posledično bo gladina vode v jami padla na 80 cm v 120 : 15 = 8 urah.

odgovor: 8

Problem 4. Polno vedro vode s prostornino 8 litrov vlijemo v rezervoar s prostornino 38 litrov vsako uro, od 12. ure naprej. Je pa na dnu rezervoarja majhna špranja, iz katere v eni uri priteče 3 litre. V katerem trenutku (v urah) bo rezervoar popolnoma napolnjen?

rešitev . Ob koncu vsake ure se prostornina vode v rezervoarju poveča za 8 − 3 = 5 litrov. Po 6 urah, torej ob 18. uri, bo v rezervoarju 30 litrov vode. Ob 18. uri se bo v rezervoar dodalo 8 litrov vode in prostornina vode v rezervoarju bo postala 38 litrov.

Odgovori: 18

Odločite se sami.

• Polž se v enem dnevu povzpne po drevesu 1 m, višina drevesa pa je 13 m prvič?

• Polž se čez dan povzpne po drevesu 2 m, višina drevesa pa je 26 m prvič?

• Polž se čez dan povzpne po drevesu 2 m, višina drevesa pa je 28 m prvič?

Vrsta 3.

Naloga 1. Saša je Petjo povabil na obisk in rekel, da živi v sedmem vhodu v stanovanju št. 462, vendar je pozabil povedati nadstropje. Ko se je približala hiši, je Petja ugotovila, da je hiša visoka sedem nadstropij. V katerem nadstropju živi Sasha? (V vseh nadstropjih je število stanovanj enako; številke stanovanj v stavbi se začnejo z ena.)

rešitev . Ker je v prvih 7 vhodih vsaj 462 stanovanj, jih je v vsakem vhodu najmanj 462: 7 = 66 stanovanj. Posledično je v vsakem od 7 nadstropij v vhodu vsaj 9 stanovanj.

Na vsakem podestu naj bo 9 stanovanj. Potem je v prvih sedmih vhodih le 9 · 7 · 7 = 441 stanovanj, stanovanje 462 pa bo v osmem vhodu, kar je v nasprotju s pogojem.

Naj bo na vsaki lokaciji 10 stanovanj. Potem je v prvih sedmih vhodih 10 · 7 · 7 = 490 stanovanj, v prvih šestih pa 420. Torej se stanovanje 462 nahaja v sedmem vhodu. Je 42. po vrsti, saj je v etaži 10 stanovanj, se nahaja v petem nadstropju.

Če bi bilo na vsakem mestu 11 stanovanj, bi bilo v prvih šestih vhodih 11 · 7 · 6 = 462 stanovanj, torej v šestem vhodu 462 stanovanj, kar je v nasprotju s pogojem.

Torej Sasha živi v petem nadstropju.

odgovor: 5

Problem 2. Vsi vhodi hiše imajo enako število etaž, v vsaki etaži pa je enako število stanovanj. V tem primeru je število nadstropij v hiši večje od števila stanovanj v nadstropju, število stanovanj v nadstropju je večje od števila vhodov in število vhodov je več kot en. Koliko nadstropij ima stavba, če je skupaj 110 stanovanj?

rešitev. Število stanovanj, etaž in vhodov je lahko samo celo število.

Upoštevajte, da je število 110 deljivo z 2, 5 in 11. Zato bi morala hiša imeti 2 vhoda, 5 stanovanj in 11 nadstropij.

odgovor: 11

Odločite se sami.

• Saša je Petjo povabil na obisk in rekel, da živi v osmem vhodu v stanovanju št. 468, vendar je pozabil povedati nadstropje. Ko se je približala hiši, je Petja ugotovila, da je hiša visoka 12 nadstropij. V katerem nadstropju živi Sasha? (V vseh nadstropjih je število stanovanj enako; številke stanovanj v stavbi se začnejo z ena.)

• Saša je Petjo povabil na obisk in rekel, da živi v dvanajstem vhodu v stanovanju št. 465, vendar je pozabil povedati nadstropje. Ko se je približala hiši, je Petja ugotovila, da je hiša visoka pet nadstropij. V katerem nadstropju živi Sasha? (V vseh nadstropjih je število stanovanj enako; številke stanovanj v stavbi se začnejo z ena.)

• Katya in njena prijateljica Lena sta šli obiskat Sveto, saj sta vedeli, da živi v stanovanju 364 v 6. vhodu. Ko so se približali hiši, so ugotovili, da je hiša visoka 16 nadstropij. V katerem nadstropju živi Sveta? (V vseh etažah je število stanovanj enako, številke stanovanj se začnejo od ena).

• Igor se je odločil, da bo domačo nalogo iz matematike naredil s Koljo in odšel v njegovo hišo, saj je vedel, da živi poleg hiše, v petem vhodu in v stanovanju 206. Ko se je približal hiši, je Igor ugotovil, da je visoka devet nadstropij. V katerem nadstropju živi Kolya? (Število stanovanj v vseh etažah je enako; številke stanovanj v stavbi se začnejo od ena).

• Vsi vhodi hiše imajo enako število etaž, vsaka etaža pa ima enako število stanovanj. V tem primeru je število nadstropij v hiši večje od števila stanovanj v nadstropju, število stanovanj v nadstropju je večje od števila vhodov in število vhodov je več kot en. Koliko nadstropij ima stavba, če je skupaj 170 stanovanj?

Vrsta 4.

V menjalnici lahko opravite enega od dveh poslov:

• za 2 zlatnika dobite 3 srebrne in enega bakrenega;

• za 5 srebrnikov dobite 3 zlate in enega bakrenega.

Miklavž je imel samo srebrnike. Po večkratnem obisku menjalnice so njegovi srebrniki postali manjši, zlatnikov ni bilo, pojavilo pa se je 50 bakrenih kovancev. Za koliko se je zmanjšalo Miklavževo število srebrnikov?

rešitev . Naj Nikolaj najprej izvede x operacij druge vrste, nato pa y operacij prve vrste. Ker po več operacijah ni ostalo nobenih zlatnikov inštevilo bakrenih kovancev se je povečalo za 50, sestavimo in rešimo sistem enačb:

Potem je bilo 3y -5x = 90 – 100 = -10 srebrnikov, torej 10 manj.

Odgovori: 10

Odločite se sami.

• za 3 zlatnike dobite 4 srebrne in enega bakrenega;za 6 srebrnikov dobite 4 zlate in enega bakrenega.Miklavž je imel samo srebrnike. Po obisku menjalnice so njegovi srebrniki postali manjši, zlatnikov ni bilo, pojavilo pa se je 35 bakrenih kovancev. Za koliko se je zmanjšalo Miklavževo število srebrnikov?

• V menjalnici lahko opravite enega od dveh poslov:za2 zlataepridobite kovance3 srebroein en baker;za5 dobite srebrnike3

rešitev:

Če izračunate, koliko metrov polž premakne v točno enem dnevu in s tem številom delite višino drevesa, bo odgovor napačen. Kajti polž bi podnevi lahko dosegel vrh drevesa, ponoči pa zlezel navzdol. Poleg tega, če na ta način rešite problem o polžu in drevesu, se izkaže, da polž na neki točki prileze višje od vrha drevesa. Zato tega pristopa ni mogoče uporabiti. Težavo bomo rešili postopoma.

Prvi dan Polž se je plazil `4` metre. Ta višina je manjša od višine drevesa, zato se izkaže, da polž prvi dan ni dosegel dane višine. Ponoči se je spustil za `2` metra, kar pomeni, da se je čez dan dvignil na višino `4−2=2` metra.

Drugi dan polž je zlezel na višino: `2+4=6` metrov in se ponoči spustil na `2` metra: `6-2=4` metre.

Za tretji dan:
dvignila do višine `4+4=8` metrov;
spustil na višino `8-2=6` metrov.

Za četrti dan:
dvignila do višine `6+4=10` metrov;
spustil na višino `10-2=8` metrov.

Peti dan:
dvignila do višine `8+4=12` metrov;
spustil na višino `12-2=10` metrov.

Za šesti dan:
dvignila do višine `10+4=14` metrov.

Tako se bo polž šesti dan prvič splazil do višine 14 metrov.

Reševanje olimpijskih nalog v osnovni šoli

Gibanje gosenice.

Ne moremo mimo zanimivega starodavnega problema:
V nedeljo ob 6. uri se je gosenica odločila splezati na vrh 12 metrov visokega drevesa. Čez dan se ji je uspelo dvigniti za 4 metre, ponoči pa je v spanju zdrsnila za 3 metre. Kdaj bo gosenica dosegla vrh?
Ugotovimo, koliko metrov lahko prepleza gosenica v enem dnevu.
4 – 3 = 1 (ft).
Odgovor je, da se bo gosenica dvignila 12 čevljev v 12 dneh. Toda ta odgovor je napačen, saj ni treba upoštevati zadnjega plazenja gosenice.
12 – 4 = 8 (ft).
8 dni je minilo. Gosenica se je dvignila 8 čevljev. Deveti dan se bo dvignila za 12 čevljev in v ponedeljek ob 18. uri dosegla vrh.
Odgovor: naslednji ponedeljek v enem tednu do 18. ure pride na vrh.
Pomembno je, da učenci razumejo, da ko gosenica doseže vrh, se takrat štetje časa ustavi. Dosegla je svoj cilj in ni več pomembno, ali gre dol ali ne.
Za prvo nalogo je bolje izbrati možnost, kjer je višina stebra majhna, s pomočjo risbe pa lahko izsledite celotno pot gosenice.
Polž spleza na 10 metrov visok drog. Čez dan se dvigne za 5 m, ponoči pa se spusti za 4 m. Koliko dni bo trajalo, da bo polž dosegel vrh stebra?

Slika prikazuje, da bo trajalo 6 dni, preden bo polž dosegel vrh drevesa. Zapisati je treba tudi aritmetično metodo za reševanje:
1. 5 – 4= 1(m) – polž se dvigne v enem dnevu.
2. 10 – 5 = 5 (m) – polž mora preteči brez zadnjega dviga.
3. 5: 1 = 5 (dni) – gosenica bo morala prevoziti 5 m.
4. 5 + 1 =6 (dni) – gosenica mora splezati na vrh drevesa, saj se bo zadnji šesti dan takoj dvignila 5 m in dosegla vrh.
V literaturi sem naletel na več problemov, ki jih lahko štejemo za različice tega problema.
1. Polž se plazi po drogu, visokem 20 m. Vsak dan se dvigne za 2 m in se spusti za 1 m.
2. Višina stebra je 10 m. Mravlja podnevi spleza 4 m navzgor, ponoči pa pade 2 m. Koliko dni bo mravlja potrebovala, da se priplazi na vrh stebra?
3. Polž se plazi po navpičnem drogu, visokem 6 m. Čez dan se dvigne za 4 m, čez noč pade za 3 m. Koliko dni bo potrebovala, da doseže vrh?
4. Polž pleza po drogu, visokem 100 m. Čez dan prepleza steber 5 m, čez noč pade 4 m. Koliko dni bo potrebovala, da se povzpne na vrh stebra?
5. Polž vsak dan prileze 7 m po steni, ponoči pa se spusti 4 m. Kateri dan bo, začenši s tal, dosegel streho hiše, katere višina je 19 m?
6. Po deblu lipe leze črv. Ponoči se dvigne za 4m, podnevi pa se spusti za 2m. Osmo noč je črv dosegel vrh drevesa. Kako visoka je lipa?
7. V ponedeljek ob 6. uri zjutraj se je gosenica začela plaziti po drevesu 12 m visoko bo dosegel vrh?
8. Petya, ki naredi korak na sekundo, hodi na naslednji način: 2 koraka naprej, en korak nazaj. V koliko sekundah bo naredil 20 korakov?
9. Gosenica se plazi po deblu jablane. V prvi uri se je dvignila za 10 cm, v drugi je padla za 4 cm, v tretji se je spet dvignila itd. Za koliko cm se bo dvignila gosenica v 11 urah?
10. Gnome Confusion gre v kletko s tigrom. Vsakič, ko naredi 2 koraka naprej, tiger zarenči, škrat pa stopi korak nazaj. Koliko časa bo potreboval, da doseže kletko, če je do nje 5 korakov, Zmedeni pa naredi en korak v 1 sekundi?
11. V nedeljo ob 6. uri se je gosenica začela plaziti po drevesu. Čez dan, torej do 18. ure, je zlezel do višine 5 m, ponoči pa se je spustil do 2 metra. Ob katerem dnevu in uri bo na višini 9 metrov?
12. Vitya opazuje pajka, ki se dvigne na vrh drevesa 12 m visoko: čez dan se dvigne 5 metrov, ponoči pa se spusti 4 m ali bo potreben pajek, da se povzpne na vrh?
13. Polž se giblje po navpičnem stebru, visokem 6 m. Čez dan se dvigne za 4 m, ponoči v spanju zdrsne za 3 m. Koliko dni bo potrebovala, da pride na vrh?