Uporabimo vodilni vektor
do točke
. Razdalja od točke
na ravno črto je višina paralelograma, sestavljenega iz vektorjev in
. Poiščimo površino paralelograma s pomočjo navzkrižnega produkta:

Na drugi strani,. Iz enakosti desnih strani zadnjih dveh relacij sledi, da

. (3.27)

3.10. Elipsoid

Opredelitev. Elipsoid je površina drugega reda, ki jo v nekem koordinatnem sistemu definira enačba

. (3.28)

Enačbo (3.28) imenujemo kanonična enačba elipsoida.

Iz enačbe (3.28) sledi, da so koordinatne ravnine simetrijske ravnine elipsoida, izhodišče koordinat pa je simetrijsko središče. Številke
se imenujejo pol-osi elipsoida in predstavljajo dolžine segmentov od izhodišča do presečišča elipsoida s koordinatnimi osemi. Elipsoid je omejena ploskev, zaprta v paralelepiped
,
,
.

Določimo geometrijsko obliko elipsoida. Če želite to narediti, ugotovimo obliko črt presečišča njegovih ravnin, vzporednih s koordinatnimi osemi.

Če smo natančni, razmislite o črtah presečišča elipsoida z ravninami
, vzporedno z ravnino
. Enačba za projekcijo presečišča na ravnino
dobimo iz (3.28), če vanj vstavimo
. Enačba te projekcije je

. (3.29)

če
, potem je (3.29) enačba namišljene elipse in presečišč elipsoida z ravnino
št. Iz tega sledi
. če
, potem premica (3.29) degenerira v točke, tj. ravnine
dotaknite se elipsoida v točkah
in
. če
, To
in lahko uvedete notacijo

,
. (3.30)

Nato dobi enačba (3.29) obliko

, (3.31)

torej projekcija na ravnino
presečišča elipsoida in ravnine
je elipsa s polosemi, ki jih določajo enačbe (3.30). Ker je linija presečišča površine z ravninami, vzporednimi s koordinatnimi ravninami, projekcija, "dvignjena" na višino , potem je sama presečišče elipsa.

Pri zmanjševanju vrednosti gredi osi in povečajo in dosežejo največjo vrednost pri
, to je v prerezu elipsoida s koordinatno ravnino
dobimo največjo elipso s polosemi
in
.

Zamisel o elipsoidu je mogoče dobiti na drug način. Razmislite na letalu
družina elips (3.31) s polosemi in , definirana z razmerji (3.30) in odvisna od . Vsaka taka elipsa je ravninska črta, to je črta, na vsaki točki katere vrednost enako. Vsako takšno elipso »dvigniti« na višino , dobimo prostorski pogled na elipsoid.

Podobno sliko dobimo, če določeno ploskev sekamo z ravninami, vzporednimi s koordinatnimi ravninami
in
.

Tako je elipsoid zaprta eliptična površina. V primeru
Elipsoid je krogla.

Presek presečišča elipsoida s katero koli ravnino je elipsa, saj je taka črta omejena črta drugega reda, edina omejena črta drugega reda pa je elipsa.

Članek se začne z definicijo kota med premico in ravnino. Ta članek vam bo pokazal, kako s koordinatno metodo najdete kot med premico in ravnino. Podrobneje bomo obravnavali rešitve primerov in problemov.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Najprej je treba ponoviti pojem premica v prostoru in pojem ravnina. Za določitev kota med premico in ravnino je potrebnih več pomožnih definicij. Oglejmo si te definicije podrobneje.

Definicija 1

Premica in ravnina se sekata v primeru, ko ga imajo skupna točka, to je presečišče premice in ravnine.

Premica, ki seka ravnino, je lahko pravokotna na ravnino.

Definicija 2

Premica je pravokotna na ravnino ko je pravokotna na katero koli premico v tej ravnini.

Definicija 3

Projekcija točke M na ravninoγ je sama točka, če leži v dano letalo, ali je točka presečišča ravnine s premico, pravokotno na ravninoγ, ki poteka skozi točko M, pod pogojem, da ne pripada ravnini γ.

Definicija 4

Projekcija premice a na ravninoγ je množica projekcij vseh točk dane premice na ravnino.

Iz tega dobimo, da ima projekcija premice, pravokotne na ravnino γ, presečišče. Ugotovimo, da je projekcija premice a premica, ki pripada ravnini γ in poteka skozi presečišče premice a in ravnine. Poglejmo spodnjo sliko.

Vklopljeno v tem trenutku imamo vse potrebne informacije in podatke za oblikovanje definicije kota med premico in ravnino

Definicija 5

Kot med premico in ravnino imenujemo kot med to ravnino in njeno projekcijo na to ravnino, premica pa ni pravokotna nanjo.

Zgornja definicija kota pomaga priti do zaključka, da je kot med premico in ravnino kot med dvema sekajočima se premicama, to je dano premico skupaj z njeno projekcijo na ravnino. To pomeni, da bo kot med njima vedno oster. Oglejmo si spodnjo sliko.

Kot med ravno črto in ravnino se šteje za pravega, to je enakega 90 stopinj, vendar kot med vzporednimi ravnimi črtami ni določen. Obstajajo primeri, ko je njegova vrednost enaka nič.

Problemi, kjer je treba najti kot med premico in ravnino, imajo veliko različic rešitve. Sam potek rešitve je odvisen od razpoložljivih podatkov o stanju. Pogosti spremljevalci rešitve so znaki podobnosti ali enakosti figur, kosinusov, sinusov, tangentov kotov. Iskanje kota je možno s koordinatno metodo. Oglejmo si ga podrobneje.

Če v tridimenzionalni prostor uvedemo pravokotni koordinatni sistem O x y z, potem je v njem določena premica a, ki seka ravnino γ v točki M in ni pravokotna na ravnino. Treba je najti kot α, ki se nahaja med dano ravno črto in ravnino.

Najprej morate uporabiti definicijo kota med ravno črto in ravnino s koordinatno metodo. Potem dobimo naslednje.

V koordinatnem sistemu O x y z je določena premica a, ki ustreza enačbi premice v prostoru in usmerjevalni vektor premice v prostoru za ravnino γ ustreza enačbi ravnine in normale vektor ravnine. Potem je a → = (a x , a y , a z) smerni vektor dane premice a in n → (n x , n y , n z) normalni vektor za ravnino γ. Če si predstavljamo, da imamo koordinate usmerjevalnega vektorja premice a in normalnega vektorja ravnine γ, potem so njune enačbe znane, to je, da so določene s pogojem, potem je mogoče določiti vektorje a → in n → na podlagi enačbe.

Za izračun kota je potrebno transformirati formulo, da dobimo vrednost tega kota z uporabo obstoječih koordinat usmerjevalnega vektorja premice in normalnega vektorja.

Potrebno je narisati vektorja a → in n →, začenši s presečiščem premice a z ravnino γ. Obstajajo 4 možnosti za lokacijo teh vektorjev glede na dane črte in ravnine. Poglejte spodnjo sliko, ki prikazuje vse 4 različice.

Od tod dobimo, da je kot med vektorjema a → in n → označen z a → , n → ^ in je oster, potem je želeni kot α, ki se nahaja med ravno črto in ravnino, dopolnjen, to pomeni, da dobimo izraz oblike a → , n → ^ = 90 ° - α. Ko je po pogoju a →, n → ^ > 90 °, potem imamo a →, n → ^ = 90 ° + α.

Od tu imamo kosinuse enaki koti enaki, potem zadnje enakosti zapišemo v obliki sistema

cos a → , n → ^ = cos 90 ° - α , a → , n → ^< 90 ° cos a → , n → ^ = cos 90 ° + α , a → , n → ^ >90°

Za poenostavitev izrazov je treba uporabiti redukcijske formule. Nato dobimo enakosti oblike cos a → , n → ^ = sin α , a → , n → ^< 90 ° cos a → , n → ^ = - s i n α , a → , n → ^ >90°

Po izvedbi transformacij dobi sistem obliko sin α = cos a → , n → ^ , a → , n → ^< 90 ° sin α = - cos a → , n → ^ , a → , n → ^ >90 ° ⇔ sin α = cos a → , n → ^ , a → , n → ^ > 0 sin α = - cos a → , n → ^ , a → , n → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n → ^

Od tu dobimo sinus kota med premico in ravnino enak modulu kosinus kota med smernim vektorjem premice in normalnim vektorjem dane ravnine.

Poglavje o iskanju kota, ki ga tvorita dva vektorja, je razkrilo, da ima ta kot vrednost pikasti izdelek vektorji in produkt teh dolžin. Postopek izračuna sinusa kota, dobljenega s presečiščem ravne črte in ravnine, se izvede po formuli

sin α = cos a → , n → ^ = a → , n → ^ a → n → = a x n x + a y n y + a z n z a x 2 + a y 2 + a z 2 n x 2 + n y 2 + n z 2

To pomeni, da ima formula za izračun kota med premico in ravnino s koordinatama usmerjevalnega vektorja premice in normalnega vektorja ravnine po transformaciji obliko

α = a r c sin a → , n → ^ a → n → = a r c sin a x n x + a y n y + a z n z a x 2 + a y 2 + a z 2 n x 2 + n y 2 + n z 2

Iskanje kosinusa z znanim sinusom je dovoljeno z uporabo osnovnega trigonometrična identiteta. Nastane presečišče premice in ravnine oster kot. To nakazuje, da bo njegova vrednost pozitivno število, njegov izračun pa je narejen iz cos formuleα = 1 - sin α.

Za utrjevanje snovi rešimo več podobnih primerov.

Primer 1

Poiščite kot, sinus in kosinus kota, ki ga tvorita premica x 3 = y + 1 - 2 = z - 11 6 in ravnina 2 x + z - 1 = 0.

rešitev

Za pridobitev koordinat vektorja smeri je potrebno upoštevati kanonične enačbe premice v prostoru. Potem dobimo, da je a → = (3, - 2, 6) smerni vektor premice x 3 = y + 1 - 2 = z - 11 6.

Da bi našli koordinate normalnega vektorja, je treba upoštevati splošna enačba letala, saj je njihova prisotnost določena s koeficienti, ki so na voljo pred spremenljivke enačbe. Nato ugotovimo, da ima normalni vektor za ravnino 2 x + z - 1 = 0 obliko n → = (2, 0, 1).

Potrebno je nadaljevati z izračunom sinusa kota med ravno črto in ravnino. Da bi to naredili, je treba koordinate vektorjev a → in b → nadomestiti v dano formulo. Dobimo izraz forme

sin α = cos a → , n → ^ = a → , n → ^ a → n → = a x n x + a y n y + a z n z a x 2 + a y 2 + a z 2 n x 2 + n y 2 + n z 2 = = 3 2 + (- 2 ) 0 + 6 1 3 2 + (- 2) 2 + 6 2 2 2 + 0 2 + 1 2 = 12 7 5

Od tu najdemo vrednost kosinusa in vrednost samega kota. Dobimo:

cos α = 1 - sin α = 1 - 12 7 5 2 = 101 7 5

odgovor: sin α = 12 7 5, cos α = 101 7 5, α = a r c cos 101 7 5 = a r c sin 12 7 5.

Primer 2

Obstaja piramida, zgrajena z uporabo vrednosti vektorjev A B → = 1, 0, 2, A C → = (- 1, 3, 0), A D → = 4, 1, 1. Poiščite kot med premico A D in ravnino A B C.

rešitev

Za izračun želenega kota je potrebno imeti koordinate usmerjevalnega vektorja premice in normalnega vektorja ravnine. za premico A D ima smerni vektor koordinate A D → = 4, 1, 1.

Normalni vektor n → , letalo A B C, je pravokotna na vektorja A B → in A C →. To pomeni, da lahko upoštevamo normalni vektor ravnine A B C vektorski izdelek vektorja A B → in A C → . To izračunamo po formuli in dobimo:

n → = A B → × A C → = i → j → k → 1 0 2 - 1 3 0 = - 6 · i → - 2 · j → + 3 · k → ⇔ n → = (- 6 , - 2 , 3 )

Za izračun želenega kota, ki ga tvori presečišče ravne črte in ravnine, je treba nadomestiti koordinate vektorjev. dobimo izraz v obliki:

α = a r c sin A D → , n → ^ A D → · n → = a r c sin 4 · - 6 + 1 · - 2 + 1 · 3 4 2 + 1 2 + 1 2 · - 6 2 + - 2 2 + 3 2 = a r c sin 23 21 2

odgovor: a r c greh 23 21 2 .

Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter

Koncept kota med ravno črto in ravnino lahko uvedemo za katero koli relativni položaj ravna in ravna.

Če je ravna črta l pravokotna na ravnino, se šteje, da je kot med l in enak 90.

Če je ravna črta l vzporedna z ravnino ali leži v tej ravnini, potem velja, da je kot med l in enak nič.

Če je premica l nagnjena na ravnino, potem je kot med l in to kot "med premico l in njeno projekcijo p na ravnino (slika 39).

riž. 39. Kot med premico in ravnino

Torej, spomnimo se definicije za ta netrivialni primer: če je ravna črta nagnjena, potem je kot med ravno črto in ravnino kot med to ravno črto

in svojo projekcijo na dano ravnino.

7.1 Primeri reševanja problemov

Oglejmo si tri naloge, razvrščene po težavnosti. Tretja naloga stopnje C2 na enotnem državnem izpitu iz matematike.

Naloga 1. V pravilnem tetraedru poiščite kot med stranskim robom in ravnino osnove.

Naloga 2. V pravilnem trikotna prizma ABCA1 B1 C1 stranski rob je enak stranici podnožja. Poiščite kot med premico AA1 in ravnino ABC1.

rešitev. Kot med premico in ravnino se ne spremeni, če premico premaknemo vzporedno druga z drugo. Ker je CC1 vzporedna z AA1, je zahtevani kot kot med premico CC1 in ravnino ABC1 (slika 41).

B 1"

riž. 41. K nalogi 2

Naj bo M razpolovišče AB. V trikotnik CC1 M narišimo višino CH. Pokažimo, da je CH pravokotna na ravnino ABC1. Če želite to narediti, morate predstaviti dve sekajoči se črti te ravnine, pravokotni na CH.

Prva ravna črta je očitna - C1 M. Res, CH ? C1 M po konstrukciji.

Druga vrstica je AB. Dejansko je projekcija nagnjene CH na ravnino ABC premica CM; medtem ko AB ? CM. Iz izreka o treh navpičnicah potem sledi AB ? CH.

Torej CH? ABC1. Zato je kot med CC1 in ABC1 " = \CC1 H. Vrednost CH najdemo iz relacije

C1 M CH = CC1 CM

(obe strani tega razmerja sta enaki dvakratni površini trikotnika CC1 M). Imamo:

CM = a 2 3 ;

Še vedno je treba najti kot ":

Odgovor: arcsin 3 7 .

sin " = CH =3 : CC1 7

Naloga 3. Na robu A1 B1 kocke ABCDA1 B1 C1 D1 je vzeta točka K tako, da je A1 K: KB1 = 3: 1. Poiščite kot med premico AK in ravnino BC1 D1.

rešitev. Po izdelavi risbe (slika 42, levo) razumemo, da so potrebne dodatne konstrukcije.

Najprej opazimo, da premica AB leži v ravnini BC1 D1 (ker AB k C1 D1 ). Drugič, narišimo B1 M vzporedno z AK (slika 42, desno). Narišimo tudi B1 C in naj bo N presečišče B1 C in BC1.

Pokažimo, da je premica B1 C pravokotna na ravnino BC1 D1. Pravzaprav:

1) B 1 C ? BC1 (kot diagonale kvadrata);

2) B 1 C ? AB po izreku treh navpičnic (navsezadnje je AB pravokotna na premico BC projekcije nagnjene B1 C na ravnino ABC).

Tako je B1 C pravokotna na dve sekajoči se premici ravnine BC1 D1; torej B1 C ? BC1 D1. Zato je projekcija premice MB

sin " = B 1 N =2 2 :B 1 M 5

Video tečaj »Get an A« vključuje vse teme, potrebne za uspeh opravljanje enotnega državnega izpita pri matematiki za 60-65 točk. Popolnoma vse težave 1-13 Enotni državni izpit za profil v matematiki. Primeren tudi za opravljanje osnovnega enotnega državnega izpita iz matematike. Če želite opraviti enotni državni izpit z 90-100 točkami, morate 1. del rešiti v 30 minutah in brez napak!

Pripravljalni tečaj za enotni državni izpit za 10.-11. razred, pa tudi za učitelje. Vse, kar potrebujete za rešitev 1. dela Enotnega državnega izpita iz matematike (prvih 12 težav) in 13. naloga (trigonometrija). In to je več kot 70 točk na Enotnem državnem izpitu in brez njih ne more niti študent s 100 točkami niti študent humanistike.

Vse potrebna teorija. Hitri načini rešitve, pasti in skrivnosti enotnega državnega izpita. Analizirane so vse trenutne naloge 1. dela iz banke nalog FIPI. Tečaj v celoti ustreza zahtevam Enotnega državnega izpita 2018.

Tečaj obsega 5 velikih tem, vsaka po 2,5 ure. Vsaka tema je podana od začetka, preprosto in jasno.

Na stotine nalog enotnega državnega izpita. Težave z besedilom in teorija verjetnosti. Preprosti in lahko zapomniti si algoritme za reševanje problemov. Geometrija. teorija, referenčno gradivo, analiza vseh vrst nalog enotnega državnega izpita. Stereometrija. Zapletene rešitve, uporabne goljufije, razvoj prostorske domišljije. Trigonometrija od začetka do problema 13. Razumevanje namesto nabijanja. Vizualna razlaga zapleteni pojmi. Algebra. Koreni, potence in logaritmi, funkcija in odvod. Osnova za rešitev kompleksne naloge 2 dela enotnega državnega izpita.