Paralelogram ima vse stranice enake ali ne. Raziskovalna naloga "paralelogram in njegove lastnosti"

Živimo v času tehnološkega napredka, ki z novimi in uporabnimi izumi v marsičem olajša življenje. Toda ti dosežki človeštva imajo tudi drugo stran medalje - posledice tega napredka neposredno vplivajo na ekološko stanje okolja po vsem svetu.

Številni obrati, tovarne in drugi proizvodni obrati nenehno oddajajo škodljive snovi v ozračje, s svojimi odpadki onesnažujejo vodna telesa, pa tudi zemljo, ko svoje odpadke odlagajo v zemljo. In to se ne odraža le lokalno na mestu izpuščanja odpadkov, ampak na celotnem našem planetu.

Kakšni okoljski problemi obstajajo v sodobnem svetu?

Onesnaženost zraka

Eden glavnih problemov je onesnaženost ozračja in s tem tudi zraka. Prav atmosferski zrak je prvi občutil posledice tehnološkega napredka. Samo predstavljajte si, da se v ozračje vsako uro vsakodnevno sprosti več deset tisoč ton škodljivih in strupenih snovi. Številne industrije in proizvodnje povzročijo nepopravljiv in preprosto osupljiv udarec okolju, na primer naftna, metalurška, prehrambena in druge vrste industrije. Zaradi tega se v ozračje sproščajo velike količine ogljikovega dioksida, zaradi česar se planet neprestano segreva. Kljub temu, da so temperaturne spremembe nepomembne, lahko to v bolj globalnem merilu resno vpliva na hidrološke režime oziroma njihove spremembe. Poleg vsega tega onesnaženost zraka vpliva na vremenske razmere, ki so se s prihodom tehnološkega napredka že spremenile.

Kisli dež, ki nastane zaradi vdora žveplovih oksidov v zrak, je zdaj zelo razširjen. To deževje negativno vpliva na marsikaj in povzroča škodo na drevesih, rastlinah, litosferi in zgornji plasti zemlje.

Za odpravo okoljskih problemov ni dovolj sredstev, tako finančnih kot fizičnih, zato so trenutno šele v fazi razvoja.

Onesnaženost vode

Ta problem je še posebej razširjen v Afriki in nekaterih azijskih državah. Pitne vode tam zelo primanjkuje, saj so vsi obstoječi rezervoarji strašno onesnaženi. Te vode ni mogoče uporabiti niti za pranje perila, kaj šele za pitje. To je spet posledica izpusta odpadkov v odpadne vode iz številnih industrijskih podjetij.

Onesnaževanje zemlje

Mnoga podjetja za odlaganje odpadkov uporabljajo metodo recikliranja v tleh. Nedvomno to negativno vpliva na tla, ne samo na grobišču, ampak tudi v bližnjih območjih. Posledično se v teh tleh gojijo zelenjava in sadje slabe kakovosti, ki lahko povzročijo številne smrtonosne bolezni.

Načini reševanja okoljskih problemov

Učinkovito recikliranje smeti in drugih nevarnih odpadkov.
Uporaba okolju prijaznega goriva, ki ne onesnažuje ozračja.
Stroge sankcije in globe na državni ravni za onesnaževanje zraka, vode in zemlje.
Izobraževalno delo in socialno oglaševanje med prebivalstvom.

Vsi ti koraki se zdijo zelo preprosti in lahko izvedljivi v praksi, vendar pogosto stvari niso tako preproste. Številne države in neprofitne organizacije se borijo proti kršiteljem, a jim za uresničitev projektov močno primanjkuje finančne podpore in človeških virov.

Paralelogram je štirikotnik, katerega nasprotni strani sta v parih vzporedni. Naslednja slika prikazuje paralelogram ABCD. Ima stranico AB vzporedno s stranico CD in stranico BC vzporedno s stranico AD.

Kot ste morda uganili, je paralelogram konveksen štirikotnik. Razmislimo o osnovnih lastnostih paralelograma.

Lastnosti paralelograma

1. V paralelogramu so nasprotni koti in nasprotne stranice enaki. Dokažimo to lastnost – razmislimo o paralelogramu, predstavljenem na naslednji sliki.

Diagonala BD ga deli na dva enaka trikotnika: ABD in CBD. Vzdolž stranice BD in obeh kotov, ki ležita na njej, sta enaka, saj kota navzkrižno ležita na sekanti BD vzporednih premic BC in AD oziroma AB in CD. Zato je AB = CD in
pr. Kr. = AD. In iz enakosti kotov 1, 2, 3 in 4 sledi, da je kot A = kot 1 + kot 3 = kot 2 + kot 4 = kot C.

2. Diagonali paralelograma sta razdeljeni na pol s presečiščem. Naj bo točka O presečišče diagonal AC in BD paralelograma ABCD.

Potem sta si trikotnik AOB in trikotnik COD enaka, vzdolž stranice in dveh sosednjih kotov. (AB = CD, ker sta to nasprotni strani paralelograma. In kot 1 = kot 2 in kot 3 = kot 4 sta kot navzkrižna kota, ko premici AB in CD sekata sekanti AC oziroma BD.) Iz tega sledi, da je AO = OC in OB = OD, kar je bilo treba dokazati.

Vse glavne lastnosti so prikazane na naslednjih treh slikah.

V katerem sta nasprotni stranici vzporedni, to pomeni, da ležita na vzporednih premicah. Posebni primeri paralelograma so pravokotnik, kvadrat in romb.

Lastnosti

Nasprotni stranici paralelograma sta enaki.
Nasprotna kota paralelograma sta enaka.
Vsota kotov, ki mejijo na eno stran, je enaka 180° (po lastnosti vzporednosti).
Diagonali paralelograma se sekata, presečišče pa ju deli na pol: $\levo|AO\desno| = \levo|OC\desno|, \levo|BO\desno| = \levo|OD\desno|$ .
Točka presečišča diagonal je središče simetrije paralelograma.
Paralelogram je diagonalno razdeljen na dva enaka trikotnika.
Srednji črti paralelograma se sekata v presečišču njegovih diagonal. Na tej točki sta njeni dve diagonali in dve srednji črti razpolovljeni.
Identiteta paralelograma: vsota kvadratov diagonal paralelograma je enaka dvakratni vsoti kvadratov njegovih dveh sosednjih stranic: naj bo a dolžina stranice AB, b dolžina stranice BC, $d_1$ in $d_2$ - dolžine diagonal; Potem $d_1^2+d_2^2 = 2(a^2 + b^2).$

Identiteta paralelograma je preprosta posledica Eulerjeve formule za poljuben štirikotnik: štirikratnik kvadrata razdalje med središči diagonal je enak vsoti kvadratov stranic štirikotnika minus vsota kvadratov njegovih diagonal. V paralelogramu sta nasprotni stranici enaki, razdalja med središči diagonal pa je enaka nič.

Afina transformacija vedno pretvori paralelogram v paralelogram. Za vsak paralelogram obstaja afina transformacija, ki ga preslika v kvadrat.

Znaki paralelograma

Štirikotnik ABCD je paralelogram, če je resničen eden od naslednjih pogojev (v tem primeru so resnični tudi vsi ostali):

Štirikotnik brez samopresečišč ima dve nasprotni stranici, ki sta enaki in vzporedni: $AB = CD, AB \ vzporedni CD$ .
Vsi nasprotni koti so v parih enaki: $\kot A = \kot C, \kot B = \kot D$ .
Za štirikotnik brez samopresečišč so vse nasprotne strani po parih enake: $AB = CD, BC = DA$ .
Vse nasprotne strani so v parih vzporedne: $AB\vzporednik CD, BC\vzporednik DA$ .
Diagonale so razdeljene na pol v točki njihovega presečišča: $AO = OC, BO = OD$ .
Vsota sosednjih kotov je 180 stopinj: $\kot A + \kot B = 180^\krog, \kot B + \kot C = 180^\krog, \kot C + \kot D = 180^\krog, \kot D + \kot A = 180^\ circ$ .
Vsota razdalj med razpolovišči nasprotnih stranic konveksnega štirikotnika je enaka njegovemu polobodju.
Vsota kvadratov diagonal je enaka vsoti kvadratov stranic konveksnega štirikotnika: $AC^2+BD^2 = AB^2+BC^2+CD^2+DA^2$ .

Območje paralelograma

Tukaj so formule, specifične za paralelogram. Glej tudi formule za površino poljubnih štirikotnikov.

Površina paralelograma je enaka produktu njegove osnove in višine:

$S = ah$ , Kje $a$ - stran, $h$ - višina narisana na to stran.

Površina paralelograma je enaka produktu njegovih stranic in sinusa kota med njima:

$S = ab\sin\alfa$ , Kje $a$ in $b$ - strani in $\alpha$ - kot med stranicama a in b.

Glej tudi

Napišite oceno o članku "Paralelogram"

Opombe

Po številu stranic

Pravilno

Trikotniki

Štirikotniki

Glej tudi

Odlomek, ki opisuje paralelogram

"Zdravnik pravi, da ni nevarnosti," je rekla grofica, toda medtem ko je to govorila, je z vzdihom dvignila oči navzgor in v tej kretnji je bil izraz, ki je bil v nasprotju z njenimi besedami.
-Kje je? Ali ga lahko vidim, lahko? - je vprašala princesa.
- Zdaj, princesa, zdaj, prijatelj moj. Je to njegov sin? - je rekla in se obrnila k Nikoluški, ki je vstopila z Desallesom. "Vsi se lahko prilegamo, hiša je velika." Oh, kako ljubek fant!
Grofica je odpeljala princeso v dnevno sobo. Sonya se je pogovarjala z m lle Bourienne. Grofica je pobožala dečka. Stari grof je stopil v sobo in pozdravil princeso. Stari grof se je zelo spremenil, odkar ga je princesa nazadnje videla. Takrat je bil živahen, veder, samozavesten starec, zdaj se je zdel usmiljenja vreden, izgubljen človek. Ko se je pogovarjal s princeso, se je ves čas ozrl naokoli, kot da bi vse spraševal, ali dela, kar je treba. Po propadu Moskve in njegovega posestva, ki ga je izrinil iz običajne tirnice, se je očitno izgubil zavest o svojem pomenu in začutil, da nima več mesta v življenju.
Kljub vznemirjenju, v katerem je bila, kljub želji, da bi čim prej videla svojega brata, in jezi, da se ravno v tem trenutku, ko ga je želela videti, ukvarja in namišljeno hvali svojega nečaka, je princesa opazila vse, kar dogajalo okoli nje, in čutila je potrebo, da se začasno podredi novemu redu, v katerega je vstopala. Vedela je, da je vse to potrebno, in ji je bilo težko, vendar se ni jezila nanje.
"To je moja nečakinja," je rekel grof in predstavil Sonyjo, "je ne poznate, princesa?"
Princesa se je obrnila k njej in jo poljubila, ko je poskušala ugasniti sovražni občutek do te deklice, ki se je dvignil v njeni duši. Toda postalo ji je težko, ker je bilo razpoloženje vseh okoli nje tako daleč od tistega, kar je bilo v njeni duši.
-Kje je? – je spet vprašala in se obrnila na vse.
"Spodaj je, Natasha je z njim," je Sonya odgovorila in zardela. - Pojdiva ugotovit. Mislim, da si utrujena, princesa?
Princeski so privrele solze jeze. Obrnila se je proč in je že hotela zopet vprašati grofico, kam naj gre k njemu, ko se zaslišijo na vratih lahki, hitri, na videz veseli koraki. Princesa se je ozrla in zagledala Natašo, ki je skoraj pritekla, tista Nataša, ki ji na tistem davnem srečanju v Moskvi ni bila tako všeč.
Toda preden je princesa imela čas pogledati ta Natašin obraz, je spoznala, da je to njen iskren spremljevalec v žalosti in torej njen prijatelj. Prihitela ji je naproti in jo objemajoč jokala na njeni rami.
Takoj ko je Nataša, ki je sedela ob postelji princa Andreja, izvedela za prihod princese Marije, je tiho zapustila njegovo sobo s tistimi hitrimi, kot se je zdelo princesi Mariji, na videz veselimi koraki in stekla proti njej.
Na njenem razburjenem obrazu, ko je pritekla v sobo, je bil le en izraz - izraz ljubezni, brezmejne ljubezni do njega, do nje, do vsega, kar ji je bilo blizu, izraz usmiljenja, trpljenja do drugih in strastna želja dati vse od sebe, da bi jim pomagala. Jasno je bilo, da v tistem trenutku v Natašini duši ni bilo niti ene misli o sebi, o njenem odnosu do njega.
Občutljiva princesa Marya je vse to razumela že ob prvem pogledu na Natašin obraz in jokala od žalostnega užitka na njenem ramenu.
»Daj no, pojdiva k njemu, Marie,« je rekla Natasha in jo odpeljala v drugo sobo.
Princesa Marya je dvignila obraz, si obrisala oči in se obrnila k Nataši. Čutila je, da bo vse razumela in se od nje naučila.

In spet vprašanje: ali je romb paralelogram ali ne?

S polno pravico - paralelogram, ker ima in (zapomnite si našo lastnost 2).

In še enkrat, ker je romb paralelogram, potem mora imeti vse lastnosti paralelograma. To pomeni, da so v rombu nasprotni koti enaki, nasprotni strani sta vzporedni, diagonali pa se v presečišču razpolovita.

Lastnosti romba

Poglej sliko:

Tako kot v primeru pravokotnika so te lastnosti posebne, to pomeni, da za vsako od teh lastnosti lahko sklepamo, da to ni samo paralelogram, ampak romb.

Znaki diamanta

In še enkrat, bodite pozorni: ne sme obstajati samo štirikotnik, katerega diagonale so pravokotne, ampak paralelogram. Prepričajte se:

Ne, seveda, čeprav so njegove diagonale pravokotne, diagonala pa je simetrala kotov in. Toda ... diagonale niso razdeljene na pol s presečiščem, torej - NI paralelogram in zato NI romb.

To pomeni, da je kvadrat pravokotnik in romb hkrati. Poglejmo, kaj se zgodi.

Je jasno zakaj? - romb je simetrala kota A, ki je enak. To pomeni, da se deli (in tudi) na dva kota.

No, saj je povsem jasno: diagonali pravokotnika sta enaki; Diagonale romba so pravokotne in na splošno je paralelogram diagonal razdeljen na pol s točko presečišča.

SREDNJA NIVO

Lastnosti štirikotnikov. Paralelogram

Lastnosti paralelograma

Pozor! besede " lastnosti paralelograma"pomeni, da če je v vaši nalogi Obstaja paralelogram, potem je mogoče uporabiti vse naslednje.

Izrek o lastnostih paralelograma.

V poljubnem paralelogramu:

Razumejmo, zakaj je vse to res, z drugimi besedami DOKAZALI BOMO izrek.

Zakaj je torej 1) res?

Če je paralelogram, potem:

leži navzkriž
ležijo kot križi.

To pomeni (v skladu z merilom II: in - splošno.)

No, to je to, to je to! - dokazano.

Ampak mimogrede! Dokazali smo tudi 2)!

Zakaj? Ampak (poglejte sliko), torej ravno zato.

Samo še 3).

Če želite to narediti, morate še vedno narisati drugo diagonalo.

In zdaj to vidimo - glede na II karakteristiko (koti in stranica "med" njimi).

Lastnosti dokazane! Pojdimo k znakom.

Znaki paralelograma

Spomnimo se, da znak paralelograma odgovarja na vprašanje "kako veš, da je figura paralelogram".

Pri ikonah je takole:

Zakaj? Lepo bi bilo razumeti zakaj – to je dovolj. Ampak poglej:

No, ugotovili smo, zakaj je znak 1 resničen.

No, še lažje je! Ponovno narišimo diagonalo.

Kar pomeni:

IN Prav tako je enostavno. Ampak...drugačen!

Pomeni,. Vau! Ampak tudi - notranja enostranska s sekanto!

Zato dejstvo, ki pomeni, da.

In če pogledate z druge strani, potem - notranja enostranska s sekantom! In zato.

Ali vidite, kako super je?!

In spet preprosto:

Popolnoma enako in.

Upoštevajte:če ste našli vsaj en znak paralelograma v vaši težavi, potem imate točno paralelogram in ga lahko uporabite vsi lastnosti paralelograma.

Za popolno jasnost si oglejte diagram:

Lastnosti štirikotnikov. Pravokotnik.

Lastnosti pravokotnika:

Točka 1) je povsem očitna - navsezadnje je znak 3 () preprosto izpolnjen

In točka 2) - zelo pomembno. Torej, dokažimo to

To pomeni na dveh straneh (in – splošno).

No, ker sta trikotnika enaka, sta enaki tudi njuni hipotenuzi.

To dokazal!

In predstavljajte si, enakost diagonal je značilna lastnost pravokotnika med vsemi paralelogrami. To pomeni, da je ta izjava resnična^

Razumejmo zakaj?

To pomeni (kar pomeni kote paralelograma). Toda spomnimo se še enkrat, da je paralelogram in zato.

Pomeni,. No, iz tega seveda sledi, da vsak od njih! Konec koncev morajo dati v celoti!

Tako so dokazali, da če paralelogram nenadoma (!) se izkaže, da sta diagonali enaki, potem to točno pravokotnik.

Ampak! Pozor! Govorimo o paralelogrami! Ne kar kdoštirikotnik z enakima diagonalama je pravokotnik in samo paralelogram!

Lastnosti štirikotnikov. Romb

In spet vprašanje: ali je romb paralelogram ali ne?

S polno desno - paralelogram, ker ima (Zapomnite si našo lastnost 2).

In spet, ker je romb paralelogram, mora imeti vse lastnosti paralelograma. To pomeni, da so v rombu nasprotni koti enaki, nasprotni strani sta vzporedni, diagonali pa se v presečišču razpolovita.

Obstajajo pa tudi posebne lastnosti. Oblikujmo ga.

Lastnosti romba

Zakaj? No, ker je romb paralelogram, so njegove diagonale razdeljene na pol.

Zakaj? Ja, zato!

Z drugimi besedami, izkazalo se je, da so diagonale simetrale vogalov romba.

Tako kot v primeru pravokotnika so te lastnosti značilen, vsak od njih je tudi znak romba.

Znaki diamanta.

zakaj je to In poglej,

To pomeni oboje Ti trikotniki so enakokraki.

Da bi bil štirikotnik romb, mora najprej "postati" paralelogram in nato pokazati lastnost 1 ali lastnost 2.

Lastnosti štirikotnikov. kvadrat

To pomeni, da je kvadrat pravokotnik in romb hkrati. Poglejmo, kaj se zgodi.

Je jasno zakaj? Kvadrat - romb - je simetrala kota, ki je enak. To pomeni, da se deli (in tudi) na dva kota.

No, saj je povsem jasno: diagonali pravokotnika sta enaki; Diagonale romba so pravokotne in na splošno je paralelogram diagonal razdeljen na pol s točko presečišča.

Zakaj? No, uporabimo Pitagorov izrek za...

POVZETEK IN OSNOVNE FORMULE

Lastnosti paralelograma:

Nasprotni stranici sta enaki: , .
Nasprotna kota sta enaka: , .
Koti na eni strani seštejejo: , .
Diagonali sta razdeljeni na pol s presečiščem: .

Lastnosti pravokotnika:

Diagonali pravokotnika sta enaki: .
Pravokotnik je paralelogram (za pravokotnik so izpolnjene vse lastnosti paralelograma).

Lastnosti romba:

Diagonali romba sta pravokotni: .
Diagonale romba so simetrale njegovih kotov: ; ; ; .
Romb je paralelogram (za romb so izpolnjene vse lastnosti paralelograma).

Lastnosti kvadrata:

Kvadrat je hkrati romb in pravokotnik, zato so za kvadrat izpolnjene vse lastnosti pravokotnika in romba. In tudi.

Tema lekcije

Lastnosti diagonal paralelograma.

Cilji lekcije

Seznanite se z novimi definicijami in se spomnite nekaterih že preučenih.
Navedi in dokaži lastnost diagonal paralelograma.
Naučite se uporabiti lastnosti oblik pri reševanju nalog.
Razvojni - razviti pozornost učencev, vztrajnost, vztrajnost, logično razmišljanje, matematični govor.
Izobraževalni - skozi lekcijo gojite pozoren odnos drug do drugega, vcepljajte sposobnost poslušanja tovarišev, medsebojne pomoči in neodvisnosti.

Cilji lekcije

Preizkusite sposobnosti študentov za reševanje problemov.

Načrt lekcije

Uvodne besede.
Ponavljanje predhodno preučene snovi.
Paralelogram, njegove lastnosti in značilnosti.
Primeri nalog.
Samopreverjanje.

Uvod

"Veliko znanstveno odkritje nudi rešitev za velik problem, vendar je v rešitvi vsakega problema zrno odkritja."

Lastnost nasprotnih stranic paralelograma

Paralelogram ima nasprotni stranici, ki sta enaki.

Dokaz.

Naj bo ABCD dani paralelogram. In naj se njegovi diagonali sekata v točki O.
Ker je Δ AOB = Δ COD po prvem kriteriju enakosti trikotnikov (∠ AOB = ∠ COD, kot navpičnih, AO=OC, DO=OB, po lastnosti diagonal paralelograma), potem je AB=CD. Enako iz enakosti trikotnikov BOC in DOA sledi BC = DA. Izrek je dokazan.

Lastnost nasprotnih kotov paralelograma

V paralelogramu sta nasprotna kota enaka.

Dokaz.

Naj bo ABCD dani paralelogram. In naj se njegovi diagonali sekata v točki O.
Iz dokazanega v izreku o lastnostih nasprotnih stranic paralelograma Δ ABC = Δ CDA na treh stranicah (AB=CD, BC=DA iz dokazanega, AC – splošno). Iz enakosti trikotnikov sledi ∠ ABC = ∠ CDA.
Dokazano je tudi, da je ∠ DAB = ∠ BCD, kar sledi iz ∠ ABD = ∠ CDB. Izrek je dokazan.

Lastnost diagonal paralelograma

Diagonali paralelograma se sekata in v presečni točki razpolovita.

Dokaz.

Naj bo ABCD dani paralelogram. Narišimo diagonalo AC. Označimo sredino O na nadaljevanju odseka DO, odložimo odsek OB 1, ki je enak DO.
Po prejšnjem izreku je AB 1 CD paralelogram. Zato je premica AB 1 vzporedna z DC. Toda skozi točko A lahko narišemo samo eno premico, vzporedno z DC. To pomeni, da premica AB 1 sovpada z premico AB.
Dokazano je tudi, da BC 1 sovpada s BC. To pomeni, da točka C sovpada s C 1. paralelogram ABCD sovpada s paralelogramom AB 1 CD. Posledično se diagonali paralelograma sekata in v presečišču razpolovita. Izrek je dokazan.

V učbenikih za redne šole (npr. v Pogorelovu) je dokazano takole: diagonale delijo paralelogram na 4 trikotnike. Razmislimo o enem paru in ugotovimo - enaka sta: njuni osnovi sta nasprotni strani, ustrezni koti, ki mejijo nanjo, so enaki, kot navpični koti z vzporednimi črtami. To pomeni, da so diagonalni segmenti enaki v parih. Vse.

Je to vse?
Zgoraj je bilo dokazano, da presečišče razpolavlja diagonali - če obstaja. Zgornje sklepanje nikakor ne dokazuje njegovega obstoja. To pomeni, da del izreka "diagonali paralelograma se sekata" ostaja nedokazan.

Smešno je, da je ta del veliko težje dokazati. Mimogrede, to izhaja iz bolj splošnega rezultata: pri vsakem konveksnem štirikotniku se bodo diagonale sekale, pri katerem koli nekonveksnem štirikotniku pa ne.

O enakosti trikotnikov vzdolž stranice in dveh sosednjih kotov (drugi znak enakosti trikotnikov) in drugi.

Thales je našel pomembno praktično uporabo izreka o enakosti dveh trikotnikov vzdolž stranice in dveh sosednjih kotov. V pristanišču v Miletu so zgradili merilnik razdalje za določanje razdalje do ladje na morju. Sestavljen je bil iz treh zabitih količkov A, B in C (AB = BC) in označene premice SC, pravokotne na CA. Ko se je na premici SK pojavila ladja, smo našli točko D tako, da so bile točke D, .B in E na isti premici. Kot je razvidno iz risbe, je razdalja CD na tleh želena razdalja do ladje.

Vprašanja

Ali so diagonale kvadrata razdeljene na pol s presečiščem?
Ali sta diagonali paralelograma enaki?
Ali sta nasprotna kota paralelograma enaka?
Navedite definicijo paralelograma?
Koliko znakov ima paralelogram?
Ali je romb lahko paralelogram?

Seznam uporabljenih virov

Kuznetsov A.V., učitelj matematike (5-9 razred), Kijev
“Enotni državni izpit 2006. Matematika. Izobraževalna in izobraževalna gradiva za pripravo študentov / Rosobrnadzor, ISOP - M.: Intellect-Center, 2006"
Mazur K. I. "Reševanje glavnih tekmovalnih problemov v matematiki zbirke, ki jo je uredil M. I. Skanavi"
L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, E. G. Poznyak, I. I. Yudina "Geometrija, 7 - 9: učbenik za izobraževalne ustanove"

Delali smo na lekciji

Kuznecov A.V.

Poturnak S.A.

Evgenij Petrov

Lahko postavite vprašanje o sodobnem izobraževanju, izrazite idejo ali rešite pereč problem na Izobraževalni forum, kjer se mednarodno srečuje izobraževalni svet sveže misli in delovanja. Ob ustvarjanju blog, Ne boste samo izboljšali svojega statusa kompetentnega učitelja, temveč boste pomembno prispevali k razvoju šole prihodnosti. Ceh izobraževalnih voditeljev odpira vrata vrhunskim strokovnjakom in jih vabi k sodelovanju pri ustvarjanju najboljših šol na svetu.

Predmeti > Matematika > Matematika 8. razred